线性代数解决生活中实际问题举例
课程名称：线性代数
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2012年月日
摘要：代数的功能是把许多看似不相关的事物“结合在一起”，也就是进行抽象。如果掌握的线性代数及线性规划，那么你就可以讲实际生活中的大量问题抽象为线性规划问题。以得到最优解。
关键词：线性代数，线性规划，运筹学，矩阵，应用，向量。
Linear algebra to solve practical problems in life
Abstract: Algebra is the function of a lot of seemingly unrelated things "together", also is in the abstract. If the mastery of the linear algebra and linear programming, so you can speak in real life, a lot of problems abstract for linear programming problem. In order to get the optimal solution.
Key words: Linear algebra, linear programming, operations research, matrix, application, vector.
线性代数是代数的一个重要学科，线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。把一些看似不相关的问题化归为一类问题。线性代数中的一个重要概念是线性空间（对所谓的“加法”和“数乘”满足8条公理的集合），而其元素被称为向量。也就是说，只要满足那么几条公理，我们就可以对一个集合进行线性化处理。可以把一个不太明白的结构用已经熟知的线性代数理论来处理，如果我们可以知道所研究的对象的维数(比如说是n)，我们就可以把它等同为R^n，量决定了质！多么深刻而美妙的结论！上面我说的是代数的一个抽象特性。这个对我们的影响是思想性的！如果我们能够把他用在生活中，那么我们的生活将是高效率的。
线性代数研究最多的就是矩阵了。矩阵实质上就是一张长方形的数表，无论是在日常生活中还是科学研究中，矩阵是一种非常常见的数学现象。学校课表、成绩单、工厂里的生产进度表、车站时刻表、价目表、故事中的证劵价目表、科研领域中的数据分析表，它是表述或处理大量的生活、生产与科研问题的有力的工具。矩阵的重要作用主要是它能把头绪纷繁的十五按一定的规则清晰地展现出来，使我们不至于背一些表面看起来杂乱无章的关系弄得晕头转
向。塌还可以恰当的给出事物之间内在的联系，并通过矩阵的运算或变换来揭示事物之间的内在联系。它也是我们求解数学问题时候“数形结合”的途径。矩阵的运算是非常重要的内容。矩阵的初等变化，矩阵的秩，初等矩阵，线性方程组的解。向量组的线性相关，向量空间，向量组的秩，n 维向量。这些都是线性代数的核心概念。线性代数在应用上的重要性与计算机的计算性能成正比例增长。而这一性能伴随着计算机软硬件的不断创新提升，最终，计算机并行处理和大规模计算的迅猛发展将会吧计算机科学与线性代数紧密的联系在一起并广泛应用于解决飞机制造，桥梁设计，交通规划，石油勘探，经济管理等科学领域。线性模型比复杂的非线性模型更易于用计算机进行计算。线性方程组应用广泛。主要有网络流模型，人口迁移模型，基因问题，求血液的流率和血管分支点出的压强等等。线性方程组的解法其中至关重要的。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位；在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分；该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的；随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间
的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。我们可以简单地说数学中的线性问题——-那些表现出线性的问题——是最容易被解决的。比如微分学研究很多函数线性近似的问题。在实践中与非线性问题的差异是很重要的。线性代数方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它（必要时可使用矩阵运算）的方法。这是数学与工程学中最主要的应用之一。另外，进一步的学科有运筹学。运筹学的一个重要议题是线性规划，而线性规划要用到大量的线性代数的处理。如果掌握的线性代数及线性规划，那么你就可以讲实际生活中的大量问题抽象为线性规划问题。以得到最优解：比如你是一家小商店的老板，你可以合理的安排各种商品的进货，以达到最大利润。如果你是一个大家庭中的一员，你又可以用规划的办法来使你们的家庭预算达到最小。这些都是实际的应用啊！总之，线性代数历经如此长的时间而生命力旺盛，可见它的应用之广！线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意 , 而且写了成千篇关于这两个课题的文章。向量的概念 , 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合 , 然而它以力或速度作为直接的物理意义 , 并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。向量用于梯度 , 散度 , 旋度就更有说服力。同样 , 行列式和矩阵如导数一样（虽然 dy/dx
在数学上不过是一个符号 , 表示包括△y/△x的极限的长式子 , 但导数本身是一个强有力的概念 , 能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。
线代在科学与工程中的应用举例
高斯（ Gauss ）大约在 1800 年提出了高斯消元法并用它解决了天体计算和后来的地球表面测量计算中的最小二乘法问题。（这种涉及测量、求取地球形状或当地精确位置的应用数学分支称为测地学。）虽然高斯由于这个技术成功地消去了线性方程的变量而出名，但早在几世纪中国人的手稿中就出现了解释如何运用“高斯”消去的方法求解带有三个未知量的三方程系统。在当时的几年里，高斯消去法一直被认为是测地学发展的一部分，而不是数学。而高斯 - 约当消去法则最初是出现在由 Wilhelm Jordan 撰写的测地学手册中。许多人把著名的数学家 Camille Jordan 误认为是“高斯 - 约当”消去法中的约当。矩阵代数的丰富发展，人们需要有合适的符号和合适的矩阵乘法定义。二者要在大约同一时间和同一地点相遇。1848 年英格兰的 J.J. Sylvester 首先提出了矩阵这个词，它来源于拉丁语，代表一排数。 1855 年矩阵代数得到了 Arthur Cayley 的工作培育。 Cayley 研究了线性变换的组成并提出了矩阵乘法的定义，使得复合变换 ST 的系数矩阵变为矩阵 S 和矩阵 T 的乘积。他还进一步研究了那些包括矩阵逆在内的代数问题。著名的 Cayley-
Hamilton 理论即断言一个矩阵的平方就是它的特征多项式的根，就是由 Cayley 在 1858 年在他的矩阵理论文集中提出的。利用单一的字母 A 来表示矩阵是对矩阵代数发展至关重要的。在发展的早期公式 det( AB ) = det( A )det( B ) 为矩阵代数和行列式间提供了一种联系。数学家 Cauchy 首先给出了特征方程的术语，并证明了阶数超过 3 的矩阵有特征值及任意阶实对称行列式都有实特征值；给出了相似矩阵的概念，并证明了相似矩阵有相同的特征值；研究了代换理论，矩阵的发展是与线性变换密切相连的。到 19 世纪它还仅占线性变换理论形成中有限的空间。现代向量空间的定义是由 Peano 于 1888 年提出的。二次世界大战后随着现代数字计算机的发展，矩阵又有了新的含义，特别是在矩阵的数值分析等方面。由于计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。于是作为处理离散问题的线性代数，成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。
线性代数在经济学中的应用
线性代数的重要性便集中体现在计量经济学中对大量数据的处理上。比如欲预测10年后某地区的房屋价格，可通过搜集人均收入、土地价格、建筑原材料价格等多种变量的基期数据，用假定和计量的方法、统计学的知识分析房屋价格与各因素的相关程度并用线性代数的数学方法解多元线性方程组，从而计算出相应公式，再加入通货膨胀、利息率等现实因素，便可大致模拟出10年后该地的房屋价格。又如在国民经济部门，投入产出分析主要是编制棋盘式的投入产出表
和建立相应的线性代数方程式体系，构成一个模拟现实的国民经济结果和社会产品再生产的经济数学模型，借助计算机综合分析和确定国民经济各部门间错综复杂的联系和再生产的重要比例关系。
这里我想重点分析一下列昂惕夫的“投入-产出”模型。（关于列昂惕夫：列昂惕夫用线性代数研究经济数学模型，1949年曾用计算机计算出了由美国统计局的25万条经济数据所组成的42个未知数42个方程的方程组。）投入产出分析的方法基础包括：线性方程组和矩阵运算（静态模型）、微分方程和差分方程（动态模型）、电子计算机。其中线性方程组和矩阵运算、微分方程和差分方程都属于数学领域的知识，而我们这里主要考虑数学中的线性代数与经济学的关系，即这里的线性方程组和矩阵运算。
矩阵运算初步：
矩阵：按行和列规则排列的矩形表叫矩阵（行与列相等的叫方阵）。
向量：只有一行或一列的矩阵叫向量，向量是一个特殊的矩阵。两个矩阵相加减，是指对应元素相加减，前提条件是两个矩阵行列数必须对应相等。对于经济工作而言，矩阵加法是同类性质的两个或两个以上表格相加（汇总）的过程，矩阵减法则是汇总表减去一个或若干个局部表所得到的数据表。（矩阵加减法满足交换律和结合律）矩阵与矩阵相乘，是指前面矩阵的每一行与后面矩阵的每一列对应元素乘积之和，前提是前面矩阵的列数与后面矩阵的行数相同。数与矩阵相乘，用该数乘以矩阵中的每一个元素，相当于若干个相同的
矩阵相加。（矩阵乘法满足结合律和分配律，不满足于交换律）逆矩阵：一个矩阵A与另一个矩阵B相乘，其结果是单位矩阵E，则称B矩阵是A矩阵的逆矩阵。（只有方阵才有逆矩阵，但不是所有的方阵都有逆矩阵，当方阵的行列式值不等于零时，才有逆矩阵）矩阵A的逆矩阵可以等于矩阵A的行列式分之一乘以矩阵A的伴随矩阵。（伴随矩阵是原矩阵的代数余子式组成的转置矩阵）投入产出分析：
首先要理解投入产出模型的概念，然后列出投入产出平衡表，并写出产品分配平衡方程组和产值构造平衡方程组，最后要能对平衡方程组进行求解。
根据假设，每一个部门都负担着生产和消费的作用，就产品的分配来看，一方面将自己的产品分配给各部门作为生产资料或满足社会的非生产性消费需求，并提供积累;另一方面，每一个生产部门在其生产过程中，也要消耗各部门的产品。所以该经济系统各部门之间就形成了一个错综复杂的关系。为了清楚地表示这个关系，就利用投入产生平衡表来表示。投入产出平衡表分为四个部分与平面直角坐标系对应，左上，右上，左下，右下分别称为第1、第2、第3、第4象限。
在第1象限，横行看，该部门作为生产部门将自己的产品分配给各部门;纵行看，该部门又作为消费者在生产过程中消耗各部门的产品；行与列的交叉点可以看作是列行部门消耗行部门的产品量。这部分是投入产出平衡表最基本的部分。
第2象限，是第1象限的横向延伸，它反映了该经济系统各生产部门用于最终产品的情况。横行看，反映了该部门用于最终产品的分配情况；纵列看，反映了该部门用于消费、积累等方面的最终产品分别由各部门提供的数量情况。
第3 象限，是第1象限的纵向延伸，它反映了主要的经济关系。横行看，反映了各部门创造的价值（劳动报酬与纯收入）的构成情况；纵列看，反映了该部门创造的价值的数量情况。
第4象限，反应总收入的再分配情况。
第1,2象限的每一行都可以写出线性方程，得到一个方程组，这个方程组称为产品分配平衡方程组。第1,3象限的每一列也可以写出线性方程，得到一个方程组，这个方程组称为产值构成平衡方程组。分别求出产品分配平衡方程组和产值构成平衡方程组即完成了该投入产出的分析工作。
线性代数中的一个重要概念是线性空间，而其元素被称为向量。也就是说，只要满足那么几条公理，我们就可以对一个集合进行线性化处理。可以把一个不太明白的结构用已经熟知的线性代数理论来处理。总之，线性代数在生活中有着广泛而且重要的作用。
参考文献
[1]瓦西里列昂惕夫，《投入产出经济学》[M]
[2]董承章，《投入产出分析》[M]
[3]许宪春、刘起运，《中国投入产出理论与实践》[M]
分工情况
资料查找由完成
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线性代数应用实例 ● 求插值多项式 右表给出函数()f t 上4个点的值，试求三次插值多项式230123()p t a a t a t a t =+++，并求(1.5)f 的近似值。 解：令三次多项式函数230123()p t a a t a t a t =+++过 表中已知的4点，可以得到四元线性方程组： ?????? ?=+++-=+++=+++=6 27931842033 210321032100 a a a a a a a a a a a a a 对于四元方程组，笔算就很费事了。应该用计算机求解了，键入： >>A=[1,0,0,0;1,1,1,1;1,2,4,8;1,3,9,27], b=[3;0;-1;6], s=rref([A,b]) 得到x = 1 0 0 0 3 0 1 0 0 -2 0 0 1 0 -2 0 0 0 1 1 得到01233,2,2,1a a a a ==-=-=，三次多项函数为23 ()322p t t t t =--+，故(1.5)f 近 似等于23 (1.5)32(1.5)2(1.5)(1.5) 1.125p =--+=-。 在一般情况下，当给出函数()f t 在n+1个点(1,2,,1)i t i n =+ 上的值()i f t 时，就可以用n 次多项式2012()n n p t a a t a t a t =++++ 对()f t 进行插值。 ● 在数字信号处理中的应用----- 数字滤波器系统函数 数字滤波器的网络结构图实际上也是一种信号流图。它的特点在于所有的相加节点都限定为双输入相加器；另外，数字滤波器器件有一个迟延一个节拍的运算，它也是一个线性算子，它的标注符号为z -1。根据这样的结构图，也可以用类似于例7.4的方法，求它 的输入输出之间的传递函数，在数字信号处理中称为系统函数。 图1表示了某个数字滤波器的结构图，现在要求出它的系统函数，即输出y 与输入u 之比。先在它的三个中间节点上标注信号的名称x1,x2,x3，以便对每个节点列写方程。
高二数学◆选修2-2◆导学案编写：刘方贵张晓丽审核：仇国宗陈兆平袁全升2011-03-21 1 建立数学模型§1.4生活中的优化问题举例 教学目标： 1．使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作 用 2．提高将实际问题转化为数学问题的能力 教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题． 教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题． 一．创设情景 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节， 我们利用导数，解决一些生活中的优化问题． 二．新课讲授 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有 以下几个方面： 1、与几何有关的最值问题； 2、与物理学有关的最值问题； 3、与利润及其成本有关的最值问题； 4、效率最值问题。 解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函 数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是 建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决， 在这个过程中，导数是一个有力的工具． 利用导数解决优化问题的基本思路： 三．典例分析 例1．海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图 1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。 如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？ 本节课精华记录预习心得：解决数学模型 作答用函数表示的数学问题 优化问题用导数解决数学问题 优化问题的答案
线性代数应用案例
行列式的应用 案例1 大学生在饮食方面存在很多问题，多数大学生不重视吃早餐，日常饮 食也没有规律，为了身体的健康就需要注意日常饮食中的营养。大学生每天的配餐中需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，下表给出了这三种食物提供的营养以及大学生的正常所需营养（它们的质量以适当的单位计量）。 试根据这个问题建立一个线性方程组，并通过求解方程组来确定每天需要摄入的上述三种食物的量。 解：设123,, x x x 分别为三种食物的摄入量，则由表中的数据可以列出下列 方程组 123231 23365113337 1.1352347445 x x x x x x x x ++=?? +=? ?++=? 利用matlab 可以求得 x = 0.27722318361443 0.39192086163701 0.23323088049177 案例2 一个土建师、一个电气师、一个机械师组成一个技术服务社。假设在 一段时间内，每个人收入1元人民币需要支付给其他两人的服务费用以及每个人的实际收入如下表所示，问这段时间内，每人的总收入是多少？（总收入=实际收入+支付服务费）
解：设土建师、电气师、机械师的总收入分别是123,,x x x 元，根据题 意，建立方程组 1232133 120.20.35000.10.47000.30.4600 x x x x x x x x x --=?? --=??--=? 利用matlab 可以求得 x = 1.0e+003 * 1.25648414985591 1.44812680115274 1.55619596541787 案例3 医院营养师为病人配制的一份菜肴由蔬菜、鱼和肉松组成，这份菜肴 需含1200cal 热量，30g 蛋白质和300mg 维生素c ，已知三种食物每100g 中的有关营养的含量如下表，试求所配菜肴中每种食物的数量。 解：设所配菜肴中蔬菜、鱼和肉松的数量分别为123,,x x x 百克，根据题意，建立方程组 12312312360300600120039630906030300 x x x x x x x x x ++=?? ++=? ?++=? 利用matlab 可以求得 x = 1.52173913043478 2.39130434782609
线性代数矩阵性及应用举例
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华北水利水电学院线性代数解决生活中实际问题 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2012年11月7日
关于矩阵逆的判定及求逆矩阵方法的探讨 摘 要：矩阵的可逆性判定及逆矩阵的求解是高等代数的主要内容之一。本文给出 判定矩阵是否可逆及求逆矩阵的几种方法。 关键词：逆矩阵 伴随矩阵 初等矩阵 分块矩阵 矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位。下面通过引入逆矩阵的定义，就矩阵可逆性判定及求逆矩阵的方法进行探讨。 定义1 n 级方阵A 称为可逆的，如果n 级方阵B ，使得 AB=BA=E （1） 这里E 是n 级单位矩阵。 定义2 如果B 适合（1），那么B 就称为A 的逆矩阵，记作1 -A 。 定理1 如果A 有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的。 逆矩阵的基本性质： 性质1 当A 为可逆阵，则A A 1 1 = -. 性质 2 若A 为可逆阵，则k kA A (,1 -为任意一个非零的数)都是可逆阵，且A A =--1 1)( )0(1)(1 1≠= --k A k kA . 性质3 111 ) (---=A B AB ，其中A ，B 均为n 阶可逆阵. 性质4 A ()()'11 '=--A . 由性质3有 定理2 若)2(,21≥n A A A n Λ是同阶可逆阵，则n A A A Λ21,是可逆阵，且21(A A 下面给出几种判定方阵的可逆性及求逆矩阵的方法： 方法一 定义法 利用定义1，即找一个矩阵B ，使AB=E ，则A 可逆，并且B A =-1 。 方法二 伴随矩阵法 定义3 设)(ij a A =是n 级方阵，用ij A 表示A 的),(j i 元的代数余子式)1,(n j i Λ=，
二、预习内容 ：生活中的优化问题，如何用导数来求函数的最小
二、学习过程 1.汽油使用效率最高的问题 阅读例1，回答以下问题： （1）是不是汽车速度越快，汽油消耗量越大？ （2）“汽车的汽油使用效率最高”含义是什么？ （3）如何根据图3.4-1中的数据信息，解决汽油的使用效率最高的问题？ 2.磁盘最大存储量问题 阅读背景知识，思考下面的问题： 问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环形区域。（1）是不是r越小，磁盘的存储量越大？ （2）r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？ 3饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 阅读背景知识，思考下面的问题： （1）请建立利润y与瓶子半径r的函数关系。 （2）分别求出瓶子半径多大时利润最小、最大。 （3）饮料瓶大小对饮料公司利润是如何影响的？ 三、反思总结 通过上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：
收集一下各种型号打印纸的数据资料，并说明其中所蕴含的设计原理。【资料】打印纸型号数据（单位：厘米）
§3.4 生活中的优化问题举例教学目标： 1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y 与自变量x ，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式()y f x =，根据实际问题确定函数()y f x =的定义域； 2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答. 重点：求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论 值应予舍去。 难点：在实际问题中，有()0f x '=常常仅解到一个根，若能判断函数的最大（小）值 在x 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值。 教学方法：尝试性教学 教学过程： 前置测评： （1）求曲线y=x 2+2在点P(1,3)处的切线方程. （2）若曲线y=x 3上某点切线的斜率为3，求此点的坐标。 【情景引入】 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题 例1.汽油的使用效率何时最高 材料：随着我国经济高速发展，能源短缺的矛盾突现，建设节约性社会是众望所归。现实生活中，汽车作为代步工具，与我们的生活密切相关。众所周知，汽车的每小时耗油量与汽车的速度有一定的关系。如何使汽车的汽油使用效率最高（汽油使有效率最高是指每千米路程的汽油耗油量最少）呢？ 通过大量统计分析，得到汽油每小时的消耗量 g(L/h)与汽车行驶的平均速度v （km/h ）之间的函数关系g=f(v) 如图3.4-1，根据图象中的信息，试说出汽车的速度v 为多少时，汽油的使用效率最高？ 解：因为G=w/s=(w/t)/(s/t)=g/v 这样，问题就转化为求g/v 的最小值，从图象上看，g/v
生活中的优化问题举例 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．内接于半径为的圆的矩形的面积的最大值是（ ） A ．32 B ．16 C ．16π D ．64 2．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为 V ，那么其表面积最小时，底面边长为（ ） D ．3．若商品的年利润y （万元）与年产量x （百万件）的函数关系式为y ＝－x 3 ＋27x ＋123（x>0），则获得最大利润时的年产量为（ ） A ．1百万件 B ．2百万件 C ．3百万件 D ．4百万件 4．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为（ ） A ．1∶ 2 B ．1∶π C ．2∶1 D ．2∶π 5．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则其高为（ ） A cm B ．100cm C ．20cm D ．20 cm 3 6．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关数据统计显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y （分钟）与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用如下函数表示：3 213368 4y t t t =-- +-6294 ，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是（ ） A ．6时 B ．7时 C ．8时 D ．9时 7．三棱锥O －ABC 中，OA 、OB 、OC 两两垂直，OC ＝2x ，OA ＝x ，OB ＝y ，且x ＋y ＝3，则三棱锥O －ABC 体积的最大值为（ ） A ．4 B ．8 C ． 43 D ．83 8．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100 元，若总收入R （x ）元与年产量x 的关系是()R x =3 400,0390,90090090,390,x x x x ?- +≤≤???>? 则当
课题六生活中的实际问题 教学内容 教材第46页。 教材分析 本课是运用前面所学的知识解决生活中实际问题的应用课，教学时要注意引导学生认真读题，弄清题意，找出题里有用的数学信息和问题，然后再合作探究、交流出解决问题的方法。 学情分析 学生在生活中有时会遇到像穿珠子这样的实际问题，解决这类问题时，要引导学生找出有用的数学信息和问题，然后组织学生合作探究，动手操作，利用学生所掌握的数的组成等知识来解决问题，在提升学生解决问题能力的同时感受数学与生活的密切关系。 教学目标 1、初步培养学生从具体的生活情境中收集数学信息，提出问题并解决问题的能力。 2、让学生经历探究过程，通过合作、交流，找到解决问题的有效方法。 3、培养学生与人合作、交流的意愿和初步的能力。 教学重难点 重点：灵活运用所学知识解决生活中的简单的实际问题。 难点：运用恰当的方法和策略解决简单的实际问题。 教学具准备 小棒
教学课时 1课时 教学过程 一、复习引入 1、复习数的组成。 45里面有（）个十和（）个一。 3个十和8个一组成的数是（）。 2、尝试自主解决问题。 有10颗纽扣，每件上衣要钉5颗纽扣，可以钉几件上衣？ 学生尝试自主解决后交流。 3、引入。其实，在生活中我们经常会遇到这类问题，今天我们共同来学习解决这类问题的方法。（板书课题） 二、探究新知 （一）示题，引导学生观察主题图 （二）图文结合，引导学生找出数学信息和问题 1、提问：结合图，你能从题里找出什么数学信息？ 学生思考后交流： 数学信息①有58个珠子 数学信息②每10个珠子穿一串 2、指名学生答：要解决的问题是什么？ （学生：能穿几串？） 师：你能将信息和问题用自己的话表述一遍吗？ （学生口述：------） （三）探究解决问题的方法 引导学生动手操作，找寻解决问题的有效方法。
生活中的最优化问题 新乡市一中刘秀辉初中生的数学学习过程，事实上是一个体验生活、不断积累生活经验的过程。数学课程 中许多问题的解决，实际上就是为学生创设一个或若干个选择的情境，让学生在模拟的实际 背景下学会解决问题，在解决问题的过程中学会“选择”。教师应尽可能多地为学生设置“真 实情景”的活动平台，使学生在对数学实际问题的探究活动中学会选择最佳解决方案。下面 是我在《生活中的最优化问题》的教学过程中，利用生活中的几个实际问题，引导学生学会 如何做出最佳选择的。 一、创设问题情景，搭建“选择”平台 师：数学来源于生活。生活中许多实际问题可以转化为数学问题来解决，请同学们看大 屏幕，认真观察老师为大家收集的几个生活中的问题，看这些问题背景材料有什么共同特点？ 背景材料1：（人教版七年级上册教材100页数学活动1）一种笔记本售价为2.3元/本，如 果买100本以上（不含100本），售价为2.2元/本。某班级要统一购买练习本，怎样购买才划算？ 背景材料2：某地上网有两种收费方式 用户可以任选其一： （A）记时制：2.8元/时 （B）包月制：60元/月 此外，每一种上网方式都加收通信费1.2元/时。你能帮一位新上网客户策划一下选用哪种 收费方式？ 背景材料3：为了使学生更多地了解牧野文化，新乡市一中七年级某班班主任带领学生准 备去牧野公园参观，参观门票是每张20元，售票员告诉老师说有两种优惠方式：一种是老师 免费，学生按7.25折优惠；一种是全体师生都按7折优惠。如果你是这个班的班主任，怎样购 买门票划算？ 背景材料4：某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月租费， 然后每通话1分钟，再付电话费0.4元；“神州行”不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元。如果你的爸爸因为工作需要刚刚购买一部手机，你能帮他参考选用哪种收费方式吗？ (同学们边看边小声议论，问题展示完毕，便有同学站起来回答老师的问题。) 生1：我认为这些生活的数学问题，都提供了多种方案，让我们做出选择。 生2：在选择这些实际问题的方案时要结合自己的实际情况，没有最好，只有更好！ 师：同学们的见解很独到，很精彩！对问题的理解比较到位。让我们快行动起来，来探 究这些有趣的数学问题吧！ 二、实际问题探究，引领学生学会“选择”
线性代数在生活中的实际应用 大学数学是自然科学的基本语言，是应用模式探索现实世界物质运动机理的主要手段。学习数学的意义不仅仅是学习一种专业的工具而已。；；初等的数学 知识学习线性代数数学建模函数模型的建立及应用，作为变化率的额倒数在几何学、物理学、经济学中的应用，抛体运动的数学建模及其应用，最优化方法及其在工程、经济、农业等领域中的应用，逻辑斯谛模型及其在人口预测、新产品的推广与经济增长预测方面的应用，网络流模型及其应用，人口迁移模型及其应用，常用概率模型及其应用，等等。 线性代数中行列式实质上是又一些竖直排列形成的数表按一定的法则计算得到的一个数。早在1683年与1693年，日本数学家关孝和与德国数学家莱布尼茨就分别独立的提出了行列式的概念。之后很长一段时间，行列式主要应用与对现行方程组的而研究。大约一个半世纪后，行列式逐步发展成为线性代数的一个独立的理论分支。1750年瑞士数学家克莱姆也在他的论文中提出了利用行列式求解线性方程组的著名法则一一克莱姆法则。随后1812年，法国数学家柯西发现了行列式在解析几何中的应用，这一发现机器了人们对行列式的应用进行探索的浓厚兴趣。如今，由于计算机和计算软件的发展，在常见的高阶行列式计算中，行列式的数值意义虽然不大，但是行列式公式依然可以给出构成行列式的数表的重要信息。在线性代数的某些应用中，行列式的只是依然非常重要。 例如：有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千克含氮70克，磷8克，钾2克；乙种、化肥每千克含氮64克，磷10克，钾0.6克；丙种化肥每千克含氮 70克，磷5克，钾1.4克.若把此三种化肥混合，要求总重量23千克且含磷 149克，钾30克，问三种化肥各需多少千克?
线性代数应用题集锦 郑波 重庆文理学院数学与统计学院 2011年10月
目录 案例一. 交通网络流量分析问题 (1) 案例二. 配方问题 (4) 案例三. 投入产出问题 (6) 案例四. 平板的稳态温度分布问题 (8) 案例五. CT图像的代数重建问题 (10) 案例六. 平衡结构的梁受力计算 (12) 案例七. 化学方程式配平问题 (15) 案例八. 互付工资问题 (17) 案例九. 平衡价格问题 (19) 案例十. 电路设计问题 (21) 案例十一. 平面图形的几何变换 (23) 案例十二. 太空探测器轨道数据问题 (25) 案例十三. 应用矩阵编制Hill密码 (26) 案例十四. 显示器色彩制式转换问题 (28) 案例十五. 人员流动问题 (30) 案例十六. 金融公司支付基金的流动 (32) 案例十七. 选举问题 (34) 案例十八. 简单的种群增长问题 (35) 案例十九. 一阶常系数线性齐次微分方程组的求解 (37) 案例二十. 最值问题 (39) 附录数学实验报告模板 (40)
这里收集了二十个容易理解的案例. 和各类数学建模竞赛的题目相比, 这些案例确实显得过于简单. 但如果学生能通过这些案例加深对线性代数基本概念、理论和方法的理解, 培养数学建模的意识, 那么我们初步的目的也就达到了. 案例一. 交通网络流量分析问题 城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵。 图1 某地交通实况 图2 某城市单行线示意图 【模型准备】某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(单位: 辆).
§3.4 生活中的优化问题举例 课时目标 通过用料最省、利润最大、效率最高等优化问题，使学生体会导数在解决 实际问题中的作用，会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题． 1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为____________，通过前面的学习，我们知道________是求函数最大(小)值的有力工具，运用________，可以解决一些生活中的______________． 2．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系，这需通过分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间，而且其上有惟一的极值，则它就是函数的最值． 3．解决优化问题的基本思路是： 用函数表示的数学问题→用函数表示的数学问题 ↓ 优化问题的答案←用导数解决数学问题 上述解决优化问题的过程是一个典型的_________ _过程． 一、选择题 1．某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2?? ?? 60－x 2 (0
矩阵在自己专业中的应用及举例
摘要： I、矩阵是线性代数的基本概念，它在线性代数与数学的许多分支中都有重要的应用，许多实际问题可以用矩阵表达并用相关的理论得到解决。 II、文中介绍了矩阵的概念、基本运算、可逆矩阵、矩阵的秩等容。 III、矩阵在地理信息系统中也有许多的应用，比如文中重点体现的在计算机图形学中应用。 关键词： 矩阵可逆矩阵图形学图形变换 正文： 第一部分引言 在线性代数中，我们主要学习了关于行列式、矩阵、方程、向量等相关性比较强的容，而这些容在我们专业的其他一些学科中应用也是比较广泛的，是其它一些学科的很好的辅助学科之一。因此，能够将我们所学的东西融会贯通是一件非常有意义的事，而且对我们的学习只会有更好的促进作用。在计算机图形学中矩阵有一些最基本的应有，但是概念已经与线性代数中的有一些不同的意义。在计算机图形学中，矩阵可以是一个新的额坐标系，也可以是对一些测量点的坐标变换，例如：平移、错切等等。在后面的文章中，我通过查询一些相关的资料，对其中一些容作了比较详细的介绍，希望对以后的学习能够有一定的指导作用。在线性代数中，矩阵也占据着一定的重要地位，
与行列式、方程、向量、二次型等容有着密切的联系，在解决一些问题的思想上是相同的。尤其他们在作为处理一些实际问题的工具上的时候。 图形变换是计算机图形学领域的主要容之一，为方便用户在图形交互式处理过程中度图形进行各种观察，需要对图形实施一系列的变换，计算机图形学主要有以下几种变换：几何变换、坐标变换和观察变换等。这些变换有着不同的作用，却又紧密联系在一起。 第二部分 研究问题及成果 1. 矩阵的概念 定义：由n m ?个数排列成的m 行n 列的矩阵数表 ????? ???????ann an an n a a a n a a a ΛM ΛM M K Λ212222111211 称为一个n m ?矩阵，其中an 表示位于数表中第i 行第j 列的数，i=1,2,3，…n ，又称为矩阵的元素。A,B 元素都是实数的矩阵称为实矩阵。元素属于复数的矩阵称为复矩阵。 下面介绍几种常用的特殊矩阵。 （1）行距阵和列矩阵 仅有一行的矩阵称为行距阵（也称为行向量），如 A=(a11 a12 .... a1n), 也记为 a=(a11,a12,.....a1n). 仅有一列的矩阵称为列矩阵（也称为列向量），如
用数学解决生活中的实际问题学生在学习知识后，不考虑所学数学知识的作用，不应用数学知识去解决现实生活中的实际问题，那么，这样的教学培养出来的学生，只是适应考试的解题能手。学生掌握了某项数学知识后，让他们应用这些知识去解决我们身边的某些实际问题，他们是十分乐意的，这也是我们教学所必须达到的目标。 如：学生在学习了长方形和正方形的周长以后，让学生在自己的照片装饰上精美的边框；学习了长方形和正方形的面积后，让学生回家去帮助父母并计算房间地面面积、计算铺地板砖的数量及购买钱数。这样，既培养了学生的动手能力、预算能力、社会能力，又十分有效地巩固了所学的数学知识。再如在一级数学活动课上我讲了这样一个故事：有两位小青年来到卖螃蟹的李大爷跟前问："螃蟹多少钱一斤？"李大爷说："30元一斤。"甲青年说："我喜欢吃身子，只有一半应按15元一斤算。"乙青年说："我喜欢吃爪子，也应按15元一斤算。"于是李大爷就把螃蟹分下来卖给了他们，回家的路上，李大爷仔细一算才发觉上了当，请你们用学过的数学知识来解释一下李大爷为什么上当了？学生被这一情境引发了好奇心，由好奇引发需要，因需要而进行了积极思考，这样学生不但加深了对乘法分配率的理解，同时也让学生体会到数学离不开生活，生活离不开数学，用学到的数学知识解决生活中的实际问题，是学习数学的真正意义。 可见，如果我们能在教学中高度重视数学知识的生活化，那么，
一定会使数学更贴近生活。同时也会越来越让人感到生活离不开数学，数学也会变得有活力，学生才会更有兴致地喜欢数学，更加主动地学习数学，巩固数学甚至发展数学。数学生活化是教育现代化对数学教学提出的新的要求，教师要充分发掘来源于现代生活实际的内容，将其转化为数学模型问题，并运用所学知识解决实际问题，培养学生学习数学知识、应用数学知识的意志和兴趣，提高学生的数学素质。让学生真正体会到数学学习的趣味性和实用性, 使学生发现生活数学,喜欢数学, 让数学课堂教学适应社会生活实际,才能培养出一批真正适应未来社会需要的人才。
线性代数在数学建模中的应用举例 1 基因间“距离”的表示 在ABO 血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究。如果我们把四种等位基因A 1，A 2，B ，O 区别开，有人报道了如下的相对频率，见表1.1。 表1.1基因的相对频率 问题 一个群体与另一群体的接近程度如何？换句话说，就是要一个表示基因的“距离”的合宜的量度。 解 有人提出一种利用向量代数的方法。首先，我们用单位向量来表示每一个群体。为此目的，我们取每一种频率的平方根，记ki ki f x = .由于对这四种群 体的每一种有14 1 =∑=i ki f ，所以我们得到∑==4 1 2 1i ki x .这意味着下列四个向量的每个都 是单位向量.记 .444342414,343332313,242322212,141312111???? ? ? ??????=????????????=????????????=????????????=x x x x a x x x x a x x x x a x x x x a
在四维空间中，这些向量的顶端都位于一个半径为1的球面上. 现在用两个向量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的.如果我们把a 1和a 2之间的夹角记为θ，那么由于| a 1|=| a 2|=1，再由内只公式，得 21cos a a ?=θ 而 .8307.03464.02943.03216.0,8228.01778.00000.05398.021???? ? ? ??????????????? ???=a a 故 9187.0c o s 21=?=a a θ 得 2.23=θ°. 按同样的方式，我们可以得到表1.2. 表1.2基因间的“距离” 由表1.2可见，最小的基因“距离”是班图人和英国人之间的“距离”，而爱斯基摩人和班图人之间的基因“距离”最大. 2 Euler 的四面体问题 问题 如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？这个问题是由Euler （欧拉）提出的. 解 建立如图2.1所示坐标系，设A ，B ，C 三点的坐标分别为（a 1,b 1,c 1）,( a 2,b 2,c 2)和（a 3,b 3,c 3），并设四面体O-ABC 的六条棱长分别为.,,,,,r q p n m l 由立体几何知道，该四面体的体积V 等于以向量→ → → OC OB OA ,,组成右手系时，以它们为棱的平行
张俊陈福满贴近生活实际解决数学问题万方3000 摘要： 数学作为一门自然科学，数学的学习的过程和现实生活有着广泛密切的联系，新课程标准的背景下，已经提出了数学学习要做到从生活经验和数学知识的角度出发，让学生们能够结合自身的生活实际，将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用。这样才能把枯燥、抽象的数学知识和现实生活相联系。这样才能充分激发学生的学习兴趣，提高数学学习的效果。 关键字：数学学习；生活实际；抽象；问题 正文： 新课程标准对于当前我国数学学习提出了新的要求，要求数学教学，应从学生已有的知识经验出发，让学生亲身经历参与特定的教学活动，将实际问题抽象成数学模型，并对此进行解释和应用。”这就要求当前在数学教学过程中，教师能够结合学生生活的实际，做好学生学习空间的扩展工作。对于数学教学中存在的问题进行优化，让学生们能够做到运用自身所学知识去解决现实生活中的实际问题。另一方面通过现实的生活场景、活动场景等形式来实现学习素材，为教师组织教学提供丰富的教学资源，为学生提供足够的探索知识的空间。 一、从生活中积累素材，培养学生的应用意识 教学中，我们要关注学生的生活经验和学生体验，捕捉贴近学生的生活素材，选择学生熟悉的例子。因此，课堂教学中必须开放小教室，把生活中的鲜活题材引入学习数学的大课堂，吸引并引进具有时
代性、地方性的数学信息资料来处理教材内容。例如，我们学校举行公开课“列方程解应用题”时，老师根据生活中经常做的买菜呀、做饭、打扫卫生等具体情况，设计了一系列方程应用题:如何统筹女排买菜做饭的时间、买菜的时候用同样的钱可以买哪些小同的菜……这样把教材中缺少生活气息的题材改编成了学生感兴趣的、活生生的题目，使学生积极主动地投入学习生活中。再例如在教学“两步加减应用题”时，可首先播放一段生活录象:一辆公交车上有28人，到了第一站下来15人，又上来9人，车上共有几个人?然后再引导学生分析、理解。这样的学习活动使学生感到生活中处处有数学，处处离小开数学，从而培养学生的数学应用意识。 二、结合当前生活的实际解决问题，使数学问题生活化、具体化。 解决数学问题是数学教学的根本目的，也是数学教学的归宿，通过数学知识的掌握，数学技能的训练，数学方法的练习，归根结底是要解决数学问题，数学计算、数学推理、数学思维方法等都为解决问题服务，而问题的解决不是独立于生活之上的，而是融入生活实际当中，在实际应用的过程中总结方法，提升能力。例如小学数学教学中的追及问题和相遇问题，面对相对、相向等许多名词，学生很难一下找准对策，我们可以把课堂搬到运动场上，采取比赛、演示等方式，让学生在亲身实践中理解相关问题，找出解决此类问题的一般方法，化解难点。 三、结合生活实际进行问题分析，简化数学问题 分析问题是解决数学问题的关键所在，有效的分析能帮助学生找准
線性代數在生活中の實際應用 大學數學是自然科學の基本語言，是應用模式探索現實世界物質運動機理の主要手段。學習數學の意義不僅僅是學習一種專業の工具而已。 ；；；初等の數學知識 學習線性代數數學建模 函數模型の建立及應用，作為變化率の額倒數在幾何學、物理學、經濟學中の應用，拋體運動の數學建模及其應用，最優化方法及其在工程、經濟、農業等領域中の應用，邏輯斯諦模型及其在人口預測、新產品の推廣與經濟增長預測方面の應用，網絡流模型及其應用，人口遷移模型及其應用，常用概率模型及其應用，等等。 線性代數中行列式 實質上是又一些豎直排列形成の數表按一定の法則計算得到の一個數。早在1683年與1693年，日本數學家關孝和與德國數學家萊布尼茨就分別獨立の提出了行列式の概念。之後很長一段時間，行列式主要應用與對現行方程組の而研究。大約一個半世紀後，行列式逐步發展成為線性代數の一個獨立の理論分支。1750年瑞士數學家克萊姆也在他の論文中提出了利用行列式求解線性方程組の著名法則——克萊姆法則。隨後1812年，法國數學家柯西發現了行列式在解析幾何中の應用，這一發現機器了人們對行列式の應用進行探索の濃厚興趣。如今，由於計算機和計算軟件の發展，在常見の高階行列式計算中，行列式の數值意義雖然不大，但是行列式公式依然可以給出構成行列式の數表の重要信息。在線性代數の某些應用中，行列式の只是依然非常重要。 矩陣實質上就是一張長方形の數表，無論是在日常生活中還是科學研究中，矩陣是一種非常常見の數學現象。學校課表、成績單、工廠裏の生產進度表、車站時刻表、價目表、故事中の證劵價目表、科研領域中の數據分析表，它是表述或處理大量の生活、生產與科研問題の有力の工具。矩陣の重要作用主要是它能把頭緒紛繁の十五按一定の規則清晰地展現出來，使我們不至於背一些表面看起來雜亂無章の關系弄得暈頭轉向。塌還可以恰當の給出事物之間內在の聯系，並通過矩陣の運算或變換來揭示事物之間の內在聯系。它也是我們求解數學問題時候“數形結合”の途徑。矩陣の運算是非常重要の內容。 例：計算?????? ??----------?n n n n n n n n n n n n n n n 11111 1 11 112 解： ?????? ??-------- - -n n n n n n n n n n n n n 111111 1 1 1 1 ??? ?????????? ? ?---------=11 1 1111 1112 n n n n ???? ? ? ?---------= 11 1 1111 1112 2 n n n n ?? ? ?? ? ? ??---------=)1()1() 1(12n n n n n n n n n n n n n
论文:线性代数的应用与心得体会班级： 姓名： 学号: 指导老师: 完成时间：2014年10月20日
目录 【摘要】 (2) 【关键词】 (2) 一、线性代数被广泛运用的原因 (2) 二、线性代数在实际中的应用 (2) 1. 用二阶行列式求平行四边形面积，用三阶行列 式求平行六面面体 (2) 2. 希尔密码 (2) 3.在人们平常日常生活的应用——减肥配方的实 现 (3) 4、在城市人们出行的应用——交通流的分析 (4) 5、马尔可夫链 (5) 6、在人口迁移的应用人口迁徙模型 (5) 三、心得与体会 (7)
【摘要】我们对线性代数的了解大概是，线性代数理论有着悠久的历史和丰富的内容，还有其主要知识：矩阵、方程组和向量；我们也应该了解其在众多的科学技术领域和实际生活中的应用都十分广泛。下面就是看一些具体实例应用，和一些心得体会。 【关键词】线性代数；实际生活；应用实例；心得体会； 。 一、线性代数被广泛运用的原因 为什么线性代数得到广泛运用，也就是说，为什么在实际的科学研究中解线性方程组是经常的事，而并非解非线性方程组是经常的事呢？ 原因之一，大自然的许多现象恰好是线性变化的，研究的是单个变量之间的关系。例如我们高中学过的物理学科中，物理可以分为机械运动、电运动、还有量子力学的运动。而比较重要的机械运动的基本方程是牛顿第二定律，即物体的加速度同它所受到的力成正比，其实这又恰恰符合基本的线性微分方程。再如电运动的基本方程是麦克思韦方程组，这个方程组表明电场强度与磁场的变化率成正比，而磁场的强度又与电场强度的变化率成正比，因此麦克思韦方程组也正好是线性方程组。 原因之二，之后随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，因为各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而且由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，所以，线性代数因这方面的成为了解决这些问题的有力工具而被广泛应用。 原因之三，在数学中线性代数与几何和代数有着不可分割的联系。线性代数所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念变为抽象出来的公理化方法，对于强化人们的数学训练，增强科学性是非常有用的。 二、线性代数在实际中的应用 1.用二阶行列式求平行四边形面积，用三阶行列式求平行六面面体 2.希尔密码 希尔密码（Hill Password）是运用基本矩阵论原理的替换密码，由Lester S. Hill在1929年发明。每个字母当作26进制数字：A=0, B=1, C=2... 一串字母当成n维向量，跟一个n×n 的矩阵相乘，再将得出的结果模26。注意用作加密的矩阵（即密匙）在\mathbb_^n必须是可逆的，否则就不可能译码。只有矩阵的行列式和26互质，才是可逆的。 例题、 设明文为HPFRPAHTNECL,密钥矩阵为：
线性代数在生活中的实际应用 大学数学就是自然科学的基本语言,就是应用模式探索现实世界物质运动机理的主要手段。学习数学的意义不仅仅就是学习一种专业的工具而已。 ;;;初等的数学知识 学习线性代数数学建模 函数模型的建立及应用,作为变化率的额倒数在几何学、物理学、经济学中的应用,抛体运动的数学建模及其应用,最优化方法及其在工程、经济、农业等领域中的应用,逻辑斯谛模型及其在人口预测、新产品的推广与经济增长预测方面的应用,网络流模型及其应用,人口迁移模型及其应用,常用概率模型及其应用,等等。 线性代数中行列式 实质上就是又一些竖直排列形成的数表按一定的法则计算得到的一个数。早在1683年与1693年,日本数学家关孝与与德国数学家莱布尼茨就分别独立的提出了行列式的概念。之后很长一段时间,行列式主要应用与对现行方程组的而研究。大约一个半世纪后,行列式逐步发展成为线性代数的一个独立的理论分支。1750年瑞士数学家克莱姆也在她的论文中提出了利用行列式求解线性方程组的著名法则——克莱姆法则。随后1812年,法国数学家柯西发现了行列式在解析几何中的应用,这一发现机器了人们对行列式的应用进行探索的浓厚兴趣。如今,由于计算机与计算软件的发展,在常见的高阶行列式计算中,行列式的数值意义虽然不大,但就是行列式公式依然可以给出构成行列式的数表的重要信息。在线性代数的某些应用中,行列式的只就是依然非常重要。 例如:有甲、乙、丙三种化肥,甲种化肥每千克含氮70克,磷8克,钾2克;乙种、 化肥每千克含氮64克,磷10克,钾0、6克;丙种化肥每千克含氮70克,磷5克,钾1、4克.若把此三种化肥混合,要求总重量23千克且含磷149克,钾30克,问三种化肥各需多少千克？ 解: 题意得方程组 依千克、、各需设甲、乙、丙三种化肥３２,1x x x ??? ??=++=++=++. 304.16.02,1495108,23321 321321x x x x x x x x x ,527- =D 此方程组的系数行列式81275 81 321-=-=-=D D D ，，又 由克莱姆法则,此方程组有唯一解:3=x １;52=x ;.153=x 即甲乙丙三种化肥各需 3千克 5千克 15千克、 矩阵实质上就就是一张长方形的数表,无论就是在日常生活中还就是科学研究中,矩阵就是一种非常常见的数学现象。学校课表、成绩单、工厂里的生产进度 表、车站时刻表、价目表、故事中的证劵价目表、科研领域中的数据分析表,它就是表述或处理大量的生活、生产与科研问题的有力的工具。矩阵的重要作用主要就是它能把头绪纷繁的十五按一定的规则清晰地展现出来,使我们不至于背一些表面瞧起来杂乱无章的关系弄得晕头转向。塌还可以恰当的给出事物之间内在的联系,并通过矩阵的运算或变换来揭示事物之间的内在联系。它也就是我们求解数学问题时候“数形结合”的途径。矩阵的运算就是非常重要的内容。
线性代数在企业生产中的应用 小组：第五组 系部：工商管理系 专业：市场营销 指导老师：赵梅春 提交日期：2015年5月27日
目录 线性代数在企业生产中的应用 (1) 摘要 (2) 简介 (3) 什么是线性代数 (3) 线性代数在经营管理领域中的应用 (4) 线性代数应用广泛的原因 (4) 相关知识 (5) 实例分析 (9) 1、价格平衡模型 (9) 2、生产总值问题 (11) 3、产品成本计算 (13) 4、投入产出数学模型 (14) 参考文献 (15) 致谢 (15)
摘要 线性代数是一门讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的学科。当代，睡着线性代数在企业生产领域的广泛应用，线性代数显得日益的重要。通过对线性代数知识的运用，企业可以预测市场变化、计算投资与回报、调节最优的生产模式等。科学地运用线性代数可以使企业生产更加适应当今不断变化的市场环境。可见，对线性代数研究的深浅将直接影响我国企业是否能在未来的生产中顺利发展。本文将围绕线性代数在企业生产中的应用，通过四个线性代数在企业生产中应用的实例，即运用线性代数建立投入产出模型、运用线性代数计算产品成本、运用线性代数解决生产总值问题等四个实例，目的在于通过对这四个实例的分析，来说明线性代数在企业生产中有着那些应用，并解释为什么这些应用对企业生产有着不可替代的重要作用，以及解答如何在企业生产中科学地运用小小大，而更重要的是，我们希望本文的研究成果，能为企业在运用线性代数解决生产问题这一方面提供科学有效的参考价值。 关键词：线性代数企业生产数学模型预测市场 Abstract
Linear algebra is a discussion of matrix theory, matrix binding and subject finite-dimensional vector space linear transformation theory. Contemporary, asleep linear algebra is widely used in the production field, linear algebra is becoming increasingly important. Through the use of linear algebra, companies can predict market changes, and return on investment calculation, adjusting optimal production mode. Scientific use of linear algebra can make production more responsive to today's ever-changing market environment. Seen on the depth of linear algebra will directly affect whether the smooth development of Chinese enterprises in the future production. This article will focus on linear algebra in the enterprise production, by way of example in the production of four linear algebra applied, that the use of linear algebra establish input-output model, using linear algebra calculation of product cost, using linear algebra to solve the problem of GDP four instances, the aim of the analysis by these four examples to illustrate the production of linear algebra with those applications, and explain why these applications on the production plays an irreplaceable role, and how to answer in enterprise production Little Big scientific use, but more importantly, we hope that results of this study can provide