若向量a叉乘向量b得c，由向量积的性质，c是一个垂直于a,b的向量，则
1、若a,b是二维的，则(一般)不可能存在3个二维向量互相垂直
2、若a,b是四维或更高维的，则又至少有两个向量与a,b互相垂直
对于1，c是不可定义的，对于2，c得定义似乎是歧义的(?)
Q0. 所以，向量积只存在于三维向量中？
其实想起这个事是想用向量积算面积的，于是有下面的问题：
Q1. 对于两个n维向量，是否存在一个关于坐标的运算，其结果是这两向量所夹平行四边形的面积？或者类似于向量积，其结果是个向量而其模是面积？
自然的，三维里面还有个混合积的东西，这东西在高数书里使用行列式定义的，三个三维向量算行列式没问题，三个四维向量就bug了...于是有
Q2.对于三个n维向量，是否存在一个关于坐标的运算，其结果是这三个向量所夹平行六面体的体积？
类似的，可以发散成下面这个很泛化的问题
Q3. n维空间中的m个向量可唯一确定一个m维超"立方"体，如何通过这些向量的坐标计算超"立方"体的体积？(显然不一定立方，但也不知道怎么称呼...)
假定你学过线性代数，不然没法讲……
向量积有很多名字，比如说叉积、外积。它的推广也有很多种。不过，要回答你这个问题，我们还是用外积这个名字吧。
为什么不用向量积这个名字呢？向量的模表示的是一个长度，两个向量的外积的模表示的却是一个面积。虽然我们习惯了，但细想起来这还是有点不自然的。而且，如果把两个向量的外积当作一个向量的话，这个向量是依赖于坐标系的。也就是说，它在坐标变换下不能保持不变。这实在不是什么好的性质。从物理学的角度来看，它们的量纲也是不同的。
也就是说，我们应该把它们区分开来看，把向量与向量的外积看成是不同的东西；至少看成是不同的空间中的向量。
那么，应该把向量的外积看作是什么东西呢？
考虑三维空间里的一组基，它们对应于3条坐标轴。两个向量的外积是一个“面积向量”，于是可以想象，如果把全体“面积向量”组成的线性空间记作的话，
的基底可以取成对应于3个坐标平面（对，恰好也是3个）。把这组基记为
。这里用了这个符号，这是外代数里表示外积的符号，叫做wedge，是楔子的意思，因此外积也叫楔积。
为了方便，我们还可以增加一些约定。由一个向量和它自己张成的“平行四边形”（可以看成是退化的平行四边形）面积为0，于是可以约定
、、。另一方面，在考虑物理等实际问题的时
候定向是很重要的，从正面看过去的“面积”和从反面看过来的“面积”可以看成是相反的，所以可以约定：、、。
这样一来，我们已经定义好了对于三个基底这个
该怎么算。于是，很容易把这个双线性地延拓成一个的运算。
比如说，对于
和，就等于
有没有发现这有结果看起来点熟悉？
如果把最后的
换成，换成，换成，这就是我们熟悉的“向量积”了。
但我们不换。
对于面积，我们有了。于是很自然地想到，对于体积，我们也应该有个。而且，它的一组基是。也就是说，是一个一维的向量空间。然后约定，对于，如果调换其中两项，得到的就是原来的乘以-1，比如说
。这样，如果中有两项是一样的，比如
说，那么调换这两项的次序，就有，于是它只能等于0。
这样，和前面类似，我们就可以定义三个向量的外积了。经过验算（具体过程我就不写了）就会发现：三个向量的外积就是我们熟悉的混合积，当然还要乘上一个。
再看一遍前面的过程，就会发现“三”这个维数在这里并没有起到什么特别的作用，顶多是使得的维数和恰好一样。于是，我们可以把这些东西推广到任意一个有限维的向量空间。也就是说，对一个维的向量空间，取它的一组基。这样，对
，就可以取为由
张成的向量空间（这个空间是维的）。然后约定，对（这里不要求
），如果调换其中两项，得到的东西等于原来的乘以-1。然后就可以像前面那样那样定义个维向量的外积。然后，这个外积（在这个维空间中）
的模就是你所问的那个“体积”了。特别地，在的时候，是个一维空间，个
维向量正好可以排成一个的方阵，这些向量外积正好相当于这个矩阵的行列式（具体的我也不算了）。
到目前为止已经回答了你的全部问题。
不过，中两个向量取了一下外积就到了里，中的东西再和中的东西取外积又到了里……这样总有点不方便。于是我们可以把它们统一一下。我们把实数域当作一维的向量空间，就记作，约定它和其他东西的外积就等于数乘。然后把
自己记作。然后取所有这些直和，得到
，记作。它也是个向量空间。除了向量空间的结构，这个东西上面还有一个外积运算。我们把这个东西叫做外代数。
前面都是先选了上的一组基，然后才定义出这么一堆东西。其实它们的定义也可以不依赖于基的选取，不过要先讲张量什么的，我这里就不介绍了。
外代数还有个叫“泛性质”的性质（这段看不懂就算了）：对任一个结合代数（这里说的“结合代数”指的是有某种形式的“乘法”运算，而且这个运算满足结合律的向量空间，下面就把这
个“乘法”记作）和任何一个线性映射，如果对中任一个元素都有
，那么就有唯一的一个代数同态，使得，这里是到的嵌入，也就是把等同于中的那个。
当然，向量积还有别的一些推广，不过我不是很了解，就不说了。可以参考维基百科的Cross Product词条。我这里只举一个跟你的问题关系不是很大的小例子：
考虑三阶反对称矩阵（也就是满足的矩阵）的全体。这种矩阵一定长成
的形式，因此是一个三维的线性空间。然后在上定义一种叫“李括号”的运算
。算算看，这样会得到什么东西？
就说这么多。不说了。
第4章 n 维向量空间 §4.1 n 维向量 定义 1 n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组),,,(21n a a a 称为 n 维向量, 这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量. n 维向量可写成一行，称为行向量，也可以写成一列,称为列向量. 向量常用黑体小写字母 、、、b a 等表示, 即n 维列向量记为 n a a a 21 ,n 维行向量记为),,,(21n . 行向量与列向量的计算按矩阵的运算规则进行运算. 例 设.)1,0,1,0(,)2,4,7,1(,)3,1,0,2(T T T (1) 求 32 ; (2) 若有x , 满足,0253 x 求 .x 解（1） 32 T T T )1,0,1,0(3)2,4,7,1()3,1,0,2(2 .)1,2,4,5(T （2）由,0253 x 得 x )53(21 ])1,0,1,0(5)2,4,7,1()3,1,0,2(3[2 1 T T T .)8,2/7,1,2/5(T 在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），这就是上面定义的3维向量. 因此，当3 n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3 n 时，n 维向量没有直观的几何形象. §4.2 向量组的线性相关性 1、向量组的概念 若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组.
例如，一个n m 矩阵 mn m m n n a a a a a a a a a A 21 222 2111211 每一列 mj j j j a a a 21 ),2,1(n j 组成的向量组n ,,,21 称为矩阵A 的列向量组， 而由矩阵A 的的每一行),,2,1(),,,(21m i a a a T in i i i 组成的向量组 m ,,,21 称为矩阵A 的行向量组. 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。 2、线性组合与线性表示 定义2 给定向量组s A ,,,:21 ，对于任何一组实数s k k k ,,,21 , 表达式s s k k k 2211称为向量组A 的一个线性组合, s k k k ,,,21 称为这 个线性组合的系数. 给定向量组s A ,,,:21 和向量 , 若存在一组数,,,,21s k k k 使 ,2211s s k k k 则称向量 是向量组A 的线性组合, 又称向量 能由向量组A 线性表示(或线性表出). 例 设).3,0,0,1(),1,4,0,3(),1,2,0,1(21 由于212 , 因此 是21, 的线性组合. 例2 n 维向量组 T n T T )1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21 称为n 维单位坐标向量组，任意一个n 维向量T n a a a ),,,(21 都能由它们线性表示。
若向量a叉乘向量b得c，由向量积的性质，c是一个垂直于a,b的向量，则 1、若a,b是二维的，则(一般)不可能存在3个二维向量互相垂直 2、若a,b是四维或更高维的，则又至少有两个向量与a,b互相垂直 对于1，c是不可定义的，对于2，c得定义似乎是歧义的(?) Q0. 所以，向量积只存在于三维向量中？ 其实想起这个事是想用向量积算面积的，于是有下面的问题： Q1. 对于两个n维向量，是否存在一个关于坐标的运算，其结果是这两向量所夹平行四边形的面积？或者类似于向量积，其结果是个向量而其模是面积？ 自然的，三维里面还有个混合积的东西，这东西在高数书里使用行列式定义的，三个三维向量算行列式没问题，三个四维向量就bug了...于是有 Q2.对于三个n维向量，是否存在一个关于坐标的运算，其结果是这三个向量所夹平行六面体的体积？ 类似的，可以发散成下面这个很泛化的问题 Q3. n维空间中的m个向量可唯一确定一个m维超"立方"体，如何通过这些向量的坐标计算超"立方"体的体积？(显然不一定立方，但也不知道怎么称呼...) 假定你学过线性代数，不然没法讲…… 向量积有很多名字，比如说叉积、外积。它的推广也有很多种。不过，要回答你这个问题，我们还是用外积这个名字吧。 为什么不用向量积这个名字呢？向量的模表示的是一个长度，两个向量的外积的模表示的却是一个面积。虽然我们习惯了，但细想起来这还是有点不自然的。而且，如果把两个向量的外积当作一个向量的话，这个向量是依赖于坐标系的。也就是说，它在坐标变换下不能保持不变。这实在不是什么好的性质。从物理学的角度来看，它们的量纲也是不同的。 也就是说，我们应该把它们区分开来看，把向量与向量的外积看成是不同的东西；至少看成是不同的空间中的向量。 那么，应该把向量的外积看作是什么东西呢？ 考虑三维空间里的一组基，它们对应于3条坐标轴。两个向量的外积是一个“面积向量”，于是可以想象，如果把全体“面积向量”组成的线性空间记作的话，的基底可以取成对应于3个坐标平面（对，恰好也是3个）。把这组基记为 。这里用了这个符号，这是外代数里表示外积的符号，叫做wedge，是楔子的意思，因此外积也叫楔积。
第三章 n 维向量与向量空间 §3—1 §3—2 §3—3 一、设向量(4,7,3,2)α=-，(11,12,8,58)β=-，求满足322(5)γαβγ-=-的向量γ. 二、选择题： 1．设1234,,,αααα是一组n 维向量，其中123,,ααα线性相关，则 ( ) (A ) 123,,a a a 中必有零向量 (B ) 12,αα必线性相关 (C ) 23,αα必线性无关 (D ) 1234,,,αααα必线性相关 2．若n 维向量组12,,,m αααL 线性无关，则 ( ) (A ) 组中增加一个向量后也线性无关 (B ) 组中去掉一个向量后仍线性无关 (C ) 组中只有一个向量不能由其余向量线性表示 （D ）m n > 3．若n 维向量12,,,m αααL 线性无关，则 (A ) 每个向量增加第(1)n +个分量后也线性无关； (B ) 每个向量去掉第n 个分量后也线性无关； (C ) 每个向量去掉第n 个分量后也线性相关； （D ）每个向量增加第(1)n +个分量后也线性相关 4．若n 维向量12,,,m αααL 线性无关，则必有 ( ) (A ) m n < (B ) m n > (C ) m n ≤ (D ) m n ≥ 三、判断题： 1．若m n >，则n 维向量组1,2,,m αααL 线性相关． ( ) 2．若向量组U 线性相关，则U 的任意一个部分组都线性相关． ( ) 四、判别下列向量组的线性相关性： 1．1(1,1,2)α=，2(2,4,5)α=，3(1,1,0)α=-，4(2,2,6)α=． 2．1(1,1,0)α=-，2(2,1,1)α=，3(1,3,1)α=-． 3．1(1,1,3,1)α=，2(4,1,3,2)α=-，3(1,0,1,2)α=-． 五、证明： 1．若向量组12,,,m αααL 线性无关，而且β不能由12,,,m αααL 线性表示，则向量组12,,,,m αααβL 线性无关．
第二节 n 维向量空间 定义1：n 个实数组成的有序数组称为n 维向量,一般用γβα,,等希腊字母 表示。称()n a a a ,,,21 =α为n 维行向量,称()T n n b b b b b b ,,,2121 =?????? ? ??=β为n 维列向 量。称i i b a ,分别为向量βα,的第i 个分量。 特别对矩阵=A ?? ? ? ? ? ? ??mn m m n n a a a a a a a a a 2 1 22221 11211中每一行()in i i a a a ,,,21 ),,2,1(m i =称为 矩阵A 的行向量；每一列() T nj j j a a a ,,,21 ),,2,1(n j =称为矩阵A 的列向量。 定义2：所有分量都是零的向量称为零向量，零向量记作0＝()000 。 定义3：由n 维向量()n a a a ,,,21 =α各分量的相反数组成的向量，称为α的负向量，记作：()n a a a ---=-,,,21 α。 定义4：若n 维向量()n a a a ,,,21 =α与()n b b b ,,,21 =β的所有对应分量相等，即),,2,1(n i b a i i ==，则称这两个向量相等，记作βα=。 定义5：设n 维向量()n a a a ,,,21 =α,()n b b b ,,,21 =β，βα与对应分量的和所构成的n 维向量，称为向量βα与的和，记作βα+。 ()n n b a b a b a +++=+,,,2211 βα ()βαβα-=-+()n n b a b a b a ---=,,,2211 定义6：设n 维向量()n a a a ,,,21 =α的各分量都乘以数k 后所组成的n 维向量，称为数k 与向量α的乘积，记作： k α＝()n ka ka ka ,,,21 。 向量的运算性质： （1）αββα+=+ （2）γβαγβα++=++)()(
n 维向量空间 §3.1 n 维向量的定义 1. 定义 定义：n 个数n a a a ,,,21 构成的有序数组, 记作),,,(21n a a a =α, 称为n 维行向量． i a –– 称为向量α的第i 个分量 R ∈i a –– 称α为实向量 C ∈i a –– 称α为复向量 零向量：)0,,0,0( =θ 负向量：),,,()(21n a a a ---=- α 列向量：n 个数n a a a ,,,21 构成的有序数组, 记作 ??? ?????????=n a a a 21α, 或者T 21),,,(n a a a =α, 称为n 维列向量． 零向量： ? ? ? ? ?? ??????=000 θ 负向量：????????????---=-n a a a 21)(α 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组． n 维向量 n 个数a 1,a 2,…,a n 组成的一个有序数组(a 1,a 2,…,a n ) 称为一个n 维向量,记为 1212()(,, ,) ...T n n a a a a a a αα?? ? ?== ? ??? 列向量形式或（行向量形式），其中第i 个数a i 称为向量的第i 个分量。 说明 1. 列向量即为列矩阵,行向量即为行矩阵 2. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； 3. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列
向量。行向量可看作是列向量的转置。 零向量 0=(0,0,…,0)T (维数不同, 零向量不同) 负向量 12(,, ,)T n a a a α-=---。 向量相等 设1212(,, ,)(,, ,)T T n n a a a b b b αβ==，，若,1,2, ,i i a b i n ==则αβ=。 向量运算规律： ① αββα+=+ ② ()()αβγαβγ++=++ ③ 0αα+=（0是零向量，不是数零） ④ ()0αα+-= ⑤ 1αα= ⑥ ()()()λμαλμαμλα== ⑦ ()λαβλαλβ+=+ ⑧ ()λμαλαμα+=+ 满足以上8条性质的向量加法、数乘两种运算,称为线性运算。 1． 内积的概念 定义1：n 维实向量 ??? ???? ??=??????? ??=n n b b b a a a 2121,βα，称n n b a b a b a +++= 2211),(βα ()β αT n n b b b a a a =???? ??? ??= 2121,,,为α和β的内积。 若βα,为行向量，则T αββα=),(。 向量空间的性质： (1) ),(),(αββα= (2) ),(),(),(γβγαγβα+=+
第三章 n 维向量空间 1．教学目的和要求： (1) 理解n 维向量、向量的线性表示的概念. (2) 理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会用向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法. (3) 了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩. (4) 了解向量组等价的概念以及向量组的秩与矩阵秩的关系. (5) 理解向量空间的概念以及会求向量空间的基和维数，了解向量在基下的坐标，了解内积、欧式空间、标准正交基以及正交矩阵的概念. 2．教学重点： (1) 向量的线性表示，判断向量组线性相关与线性无关. (2) 向量组的极大线性无关组的求法. (3) 向量组的秩与矩阵秩的关系. (4) 向量空间的判别. 3．教学难点： 向量组的线性相关性的判别与极大线性无关组的求法. 4．本章结构： 从向量的运算引出向量组的线性相关性的概念，进而推出向量组 线性相关性的判别方法，又讨论了向量组的极大线性无关组，从而定义了向量组的秩，将向量组与矩阵联系起来，这样向量组的秩与矩阵的秩之间的关系就对应起来了，最后介绍了向量空间和欧式空间的概念，讨论了向量空间的基和维数。 5．教学内容： §3.1 n 维向量的定义 1. 定义 定义：n 个数n a a a ,,,21 构成的有序数组, 记作),,,(21n a a a =α, 称为n 维行向量． i a –– 称为向量α的第i 个分量 R ∈i a –– 称α为实向量（下面主要讨论实向量） C ∈i a –– 称α为复向量 零向量：)0,,0,0( =θ 负向量：),,,()(21n a a a ---=- α