10.5定积分在物理中的应用

§5 定积分在物理中的应用

定积分在物理中着极其广泛的应用.在物理问一、液体静压力应用微元法化为计算题中, 常遇到的物理量具有连续性与可加性. 要求三、功与功率

二、引力出某物理量, 重要的是找到,然后 ()dF f x dx I =()b

a I f x dx

x x x

x

a

e

定积分的性质与计算方法

定积分的性质与计算方法 摘要: 定积分是微积分学中的一个重要组成部分,其计算方法和技巧非常 丰富。本文主要给出定积分的定义及讨论定积分的性质和计算方法,并通过一些很有代表性的例题说明了其计算方法在简化定积分计算中的强大功能。 关键词:定积分 性质 计算方法 定积分的定义 设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n 个子区间[x 0,x 1], (x 1,x 2], (x 2,x 3], …, (x n-1,x n ]，其中x 0=a ，x n =b 。可知各区间的长度依次是：△x 1=x 1-x 0, △x 2=x 2-x 1, …, △x n =x n -x n-1。在每个子区间(x i-1,x i ]中任取一点i ξ（1,2,...,n ），作和式1()n i i f x ι=ξ?∑。设λ=max{△x 1, △x 2, …, △x n }（即λ是 最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为: ()b a f x dx ?。 其中：a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。 对于定积分，有这样一个重要问题：函数()f x 在[a,b]上满足怎样的条件， ()f x 在[a,b]上一定可积？下面给出两个充分条件： 定理1： 设()f x 在区间[a,b]上连续，则()f x 在[a,b]上可积。 定理2： 设()f x 在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则 ()f x 在[a,b]上可积。 例：利用定义计算定积分1 20x dx ?. 解：因为被积函数2()f x x =在积分区间[0,1]上连续，而连续函数是可积的，所以积分与区间[0,1]的分法及点i ξ的取法无关。因此，为了 便于计算，不妨把区间[0,1]分成n 等份，分点为i i x n = ，1,2,,1i n =?-;这样，

求定积分的方法

系（院）数学与信息科学学院 专业数学与应用数学 年级 姓名 论文题目求定积分的若干方法指导教师职称副教授 2010 年5月20日 1

目录 摘要 (3) 关键词 (3) Abstract (3) Keywords (3) 前言 (3) 1. 定义法求定积分 (3) 1.1 定义法 (3) 1.2 典型例题 (4) 2. 换元法求定积分 (5) 2.1 换元积分法 (5) 2.2 典型例题 (5) 3. 分部法求定积分 (8) 3.1 分部积分法 (8) 3.2 典型例题 (8) 4. 区间性质求定积分 (9) 4.1 常见的三种题型 (9) 4.2 典型例题 (9) 5. 有理函数求积分 (11) 5.1 有理函数积分法 (11) 5.2 典型例题 (11) 参考文献 (13) 2

3 求定积分的若干方法 摘 要：本文主要考虑定积分的计算方法，对一些常用的方法和技巧进行归纳和总结，主要方法包括定义法、换元积分法、分部积分法等，并对每种方法给出了典型例题． 关键词：定积分；换元积分法；分部积分法；有理函数积分 Methods of Calculation on Definite Integral Abstract: In this paper, we study the calculation of definite integral and some usual methods and techniques for computation and described. The chief methods include definition integration, act-for-Yuan integration, and integration by parts and so on. So, different subjects should use different calculation methods in order to simplify the calculation. Key Words: definite integral ；act-for-Yuan integration ；integration by parts ； integral rational function ． 前言 由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的 数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学．微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造．一个定积分的计算，首先要求准确性，其次是快速性，而这两个目的的实现就需要有好的方法和技巧．本文主要以求解定积分的各种方法为主线，对其分别概述，举例，并加以分析说明，从而得出对于不同的题型应当运用合适的方法来解决的结论．学习中应着眼于基本方法的积累，有了这种积累，才会孕育出技巧． 1 定义法求定积分 1.1 定义法 已知函数()f x 在],[b a 上可积，由于积分和的极限唯一性，可做],[b a 的一个

定积分的简单应用——求体积

4.2定积分的简单应用(二) 复习： （1） 求曲边梯形面积的方法是什么？ （2） 定积分的几何意义是什么？ （3） 微积分基本定理是什么？ 引入： 我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。 1. 简单几何体的体积计算 问题：设由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的平面图形（如图甲）绕x 轴 旋转一周所得旋转体的体积为V ，如何求V ？ 分析： 在区间[,]a b 内插入1n -个分点，使0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，把曲线 ()y f x =（a x b ≤≤）分割成n 个垂直于x 轴的“小长条”，如图甲所示。设第i 个“小长条”的宽是1i i i x x x -?=-，1,2,,i n =。这个“小长条”绕x 轴旋转一周就得到一个厚度是i x ?的小圆片，如图乙所示。当i x ?很小时，第i 个小圆片近似于底面半径为()i i y f x =的小圆柱。因此，第i 个小圆台的体积i V 近似为2()i i i V f x x π=? 该几何体的体积V 等于所有小圆柱的体积和： 2221122[()()()]n n V f x x f x x f x x π≈?+?+ +? 这个问题就是积分问题，则有：

22()()b b a a V f x dx f x dx ππ==?? 归纳： 设旋转体是由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转 而成，则所得到的几何体的体积为2()b a V f x dx π =? 2. 利用定积分求旋转体的体积 （1） 找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数 （2） 分清端点 （3） 确定几何体的构造 （4） 利用定积分进行体积计算 3. 一个以y 轴为中心轴的旋转体的体积 若求绕y 轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为y ，其公式为2()b a V g y dy π =? 类型一：求简单几何体的体积 例1：给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积 思路： 由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定 积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。 解：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为,x y 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 如图:BC y a =。则该旋转体即为圆柱的体积为： 22300|a a V a dx a x a πππ=?==? 规律方法： 求旋转体的体积，应先建立平面直角坐标系，设旋转曲线函数为()f x 。确定积分上、下限,a b ，则体积2()b a V f x dx π=? 练习1：如图所示，给定直角边为a 的等腰直角三角形，绕y 轴旋转一周，求形成的几何体的 体积。 解：形成的几何体的体积为一圆柱的体积减去一圆锥的体积。

定积分在物理学中的应用

数学与计算科学学院 学年论文 题目定积分在物理学中的应用 姓名邓花蝶 学号 1209403047 专业年级 2012级数学与应用数学 指导教师耿平 2015年 9 月 1 日

定积分在物理学中的应用 ——求刚体的转动惯量 摘要 众所周知，物理学是一门综合性极高的学科，我们在学习的过程常都 会将课堂理论知识和实践活动有机的结合在一起，然而，在物理学中，我 们通常都会遇到很多难题，比如解积分困难等。因此当前我们在对物理学 的学习中，就要将定积分应用到其中。定积分是高等数学的重要组成部分， 在物理学中也有广泛的应用。微元法是将物理问题抽象成定积分非常实用 的方法。本文主要利用＂微元法＂的思想求物理学中几种常见均匀刚体的 转动惯量。 关键词 定积分；物理应用；微元法; 转动惯量；均匀刚体 The application of definite integral in physics ——For the moment of inertia of rigid body Abstract As we all know, physics is a comprehensive high discipline, in the learning process We will usually make the classroom theoretical knowledge and practical activity of organic unifies in together, however, in physics, we often encounter some problems, such as the difficulty of solving integral. So in physics learning, we should apply definite integral to it. The integral is an important part of higher mathematics, they are widely used in physics. The differential method is a practical method that physical problems are abstracted integral.In this paper, using the ideas of "micro element method" to solve inertia of several common uniform rigid body in physics.

定积分在物理中的应用

定积分在物理中的应用 目录： 一．摘要 二．变力沿直线所作的功 三．液体的侧压力 四．引力问题 五．转动惯量

摘要： 伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分。 微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行。 微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用。

定义： 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a ，b]中任意插入若干个分点 a=X0

定积分的应用

定积分的应用

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

浅谈定积分的应用 **** **** （天津商业大学经济学院，中国天津 300134) 摘要：定积分在我们日常生活和学习中有很多的用处，本文阐述了定积分的定义和几何意义，并通过举例分析了定积分在高等数学、物理学、经济学等领域的应用条件及其应用场合，通过分析可以看出利用定积分求解一些实际问题是非常方便及其准确的。 关键词 定积分 定积分的应用 求旋转体体积 变力做功 The Application of Definite Integral **** **** (Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134，China) Abstract:Definite integral in our daily life and learning have a lot of use, this paper expounds the definition of defi nite integral and geometric meaning, and through the example analysis of the definite integral in the higher mathe matics, physics, economics, and other fields of application condition and its applications, through the analysis can be seen that the use of definite integral to solve some practical problems is very convenient and accurate. Keywords: definite integral, the application of definite integral, strives for the body of revolution, volume change forces work 0、前言 众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数，所以，微分与积分互为逆运算。在我们日常生活当中，定积分的应用是十分广泛的。定积分作为人类智慧最伟大的成就之一，既可以作为基础学科来研究，也可以作为一个解决问题的方法来使用。 微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分渗透到我们生活中的方方面面，推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展[1-5] 。本文将举例介绍定积分在 的我们日常学习和生活当中的应用。 1定积分的基本定理和几何意义 1.1、定积分的定义 定积分就是求函数)(x f 在区间[]b a ,中图线下包围的面积。即由0=y ，a x =， b x =,()x f y =所围成图形的面积。 定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是： 如果)(x f 是[]b a ,上的连续函数，并且有())(' x f X F =，那么 ()()()1)(Λa F b F dx x f b a -=?

最新高中数学选修2-2-定积分的简单应用

[学习目标] 1.理解定积分的几何意义，会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积.2.掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法.3.通过具体实例了解定积分在物理中的应用，会求变速直线运动的路程和变力做功的问题. 知识点一 定积分在求几何图形面积方面的应用 1.求由一条曲线y ＝f (x )和直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )及y ＝0所围成的平面图形的面积S . (1)如图①，f (x )＞0，??a b f (x )d x ＞0，所以S ＝??a b f (x )d x . (2)如图②，f (x )＜0，??a b f (x )d x ＜0，所以S ＝??????a b f (x )d x ＝－??a b f (x )d x . (3)如图③，当a ≤x ≤c 时，f (x )≤0，??a c f (x )d x ＜0；当c ≤x ≤b 时，f (x )≥0，??a b f (x )d x ＞0.所以 S ＝???? ? ?a c f (x )d x ＋??c b f (x )d x ＝－??a c f (x ) d x ＋? ?c b f (x )d x . 2.求由两条曲线f (x )和g (x )(f (x )＞g (x ))，直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )所围成平面图形的面积S . (1)如图④，当f (x )＞g (x )≥0时，S ＝??a b [f (x )－g (x )]d x .

(2)如图⑤，当f (x )＞0，g (x )＜0时，S ＝? ?a b f (x )d x ＋??????a b g (x )d x ＝??a b [f (x )－g (x )]d x . 3.当g (x )＜f (x )≤0时，同理得S ＝??a b [f (x )－g (x )]d x . 思考 (1)怎样利用定积分求不分割型图形的面积？ (2)当f (x )<0时，f (x )与x 轴所围图形的面积怎样表示？ 答案 (1)求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可. (2)如图，因为曲边梯形上边界函数为g (x )＝0，下边界函数为f (x )，所以 S ＝??a b (0－f (x ))d x ＝－??a b f (x )d x . 4.利用定积分求平面图形面积的步骤： (1)画出图形：在平面直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； (2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标(或纵坐标)，确定积分上、下限； (3)确定被积函数； (4)写出平面图形面积的定积分表达式； (5)利用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积，写出答案. 知识点二 定积分在物理中的应用 1.在变速直线运动中求路程、位移 路程是位移的绝对值之和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b

定积分的简单应用求体积

定积分的简单应用求体 积 Document number：BGCG-0857-BTDO-0089-2022

定积分的简单应用(二) 复习： （1） 求曲边梯形面积的方法是什么 （2） 定积分的几何意义是什么 （3） 微积分基本定理是什么 引入： 我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。 1. 简单几何体的体积计算 问题：设由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的平面图形（如图甲） 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为V ，如何求V 分析： 在区间[,]a b 内插入1n -个分点，使0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，把曲线()y f x =（a x b ≤≤）分割成n 个垂直于x 轴的“小长条”，如图甲所示。设第i 个“小长条”的宽是1i i i x x x -?=-，1,2,,i n =。这个“小长条”绕x 轴旋转一周就得到一个厚度是i x ?的小圆片，如图乙所示。当i x ?很小时，第i 个小圆片近似于底面半径为()i i y f x =的小圆柱。因此，第i 个小圆台的体积i V 近似为2()i i i V f x x π=? 该几何体的体积V 等于所有小圆柱的体积和：

2221122[()()()]n n V f x x f x x f x x π≈?+?+ +? 这个问题就是积分问题，则有： 22()()b b a a V f x dx f x dx ππ==?? 归纳： 设旋转体是由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成，则所得到的几何体的体积为2()b a V f x dx π=? 2. 利用定积分求旋转体的体积 （1） 找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数 （2） 分清端点 （3） 确定几何体的构造 （4） 利用定积分进行体积计算 3. 一个以y 轴为中心轴的旋转体的体积 若求绕y 轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为y ，其公式为 2()b a V g y dy π=? 类型一：求简单几何体的体积 例1：给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积 思路： 由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。 解：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为,x y 轴建立如图所示的平面直角 坐标系，如图:BC y a =。则该旋转体即为圆柱的体积为： 22300|a a V a dx a x a πππ=?==?

定积分计算例题

第5章 定积分及其应用 （一）、单项选择题 1．函数()x f 在区间[a ，b]上连续是()x f 在[a ，b]上可积的（ ）。 A ．必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件 2．下列等式不正确的是（ ）。 A ． ()()x f dx x f dx d b a =??????? B. ()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C. ()()x f dx x f dx d x a =??????? D. ()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 3．? ?→x x x tdt tdt sin lim 的值等于( ). A.-1 B.0 C.1 D.2 4．设x x x f +=3 )(，则 ? -2 2 )(dx x f 的值等于（ ）。 A ．0 B.8 C. ? 2 )(dx x f D. ?2 )(2dx x f 5．设广义积分 ? +∞ 1 dx x α收敛，则必定有（ ）。 A.1-<α B. 1->α C. 1<α D. 1>α 6．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）。 A.［0，2e ］ B.［0，2］ C.［1，2］ D.［0，1］ 7．由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。 A.dy y ? 2 1 ln B. dy e e x ? 2 C.dy y ? 2 ln 1ln D. ()d x e x ?-2 1 2 8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为（ ）。 A. ()[]dy y y ?--1 1 B. ()[]dx x x ? -+-21 1 C. ()[]dy y y ? --210 1 D.()[]dx x x ? +--1 1 9．由e x x y x y e ===,log ,ln 1围成曲边梯形，用微法求解时，若选ｘ为积分变量，面积微元为 （ ）。 A.dx x x e ???? ? ? +1 log ln B.dy x x e ???? ? ?+1log ln C.dx x x e ???? ? ?-1log ln D.dy x x e ??? ? ? ?-1log ln 10．由0,1,1,2==-==y x x x y 围成平面图形的面积为（ ）。 A. ? -1 1 2dx x B. ? 1 2dx x C. ? 1 dy y D.? 1 2 dy y

定积分的简单应用求体积

4.2 定积分的简单应用(二) 复习： （1） 求曲边梯形面积的方法是什么？ （2） 定积分的几何意义是什么？ （3） 微积分基本定理是什么？ 引入： 1. x 轴 y =是?()i f x 的设旋转体是由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成，则所得到的几何体的体积为2()b a V f x dx π =? 2. 利用定积分求旋转体的体积 （1） 找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数 （2） 分清端点 （3） 确定几何体的构造 （4） 利用定积分进行体积计算

3. 一个以y 轴为中心轴的旋转体的体积 若求绕y 轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为y ，其公式为 2()b a V g y dy π=? 类型一：求简单几何体的体积 例1：给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积 思路： 定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。 解：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为,x y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，如图:BC y a =。则该旋转体即为圆柱的体积为： 规律方法： 求旋转体的体积，应先建立平面直角坐标系，设旋转曲线函数为()f x 。确定积分上、下限,a b ，则体积2()b a V f x dx π=? 练习1：如图所示，给定直角边为a 的等腰直角三角形，绕y 轴旋转一周，求形成的几何体 的体积。 解：形成的几何体的体积为一圆柱的体积减去一圆锥的体积。 类型二：求组合型几何体的体积 例2：如图，求由抛物线28(0)y x y =>与直线60x y +-=及0y =所围成的图形绕x 轴旋 转一周所得几何体的体积。 思路： 解答本题可先由解析式求出交点坐标。 再把组合体分开来求体积。 解：解方程组28(0)60 y x y x y ?=>?+-=? 得：24x y =??=? 28y x ∴=与直线60x y +-=的交点坐标为(2,4) 所求几何体的体积为： 规律方法：

定积分在物理上的应用(学习资料)

授课题目定积分在物理上的应用 课时数1课时 教学目标用定积分解决物理学上的变力做功以及液体压力问题。 重点与难点教学重点：定积分方法分析变力做功和液体压力。教学难点：定积分的元素法以及物理量的计算公式。 学情分析我所教授的学生从知识结构上来说属于好坏差别很大，有的接受新知识很快，有的很慢，有的根本听不懂，基 于这些特点，结合教学内容，我以板书教学为主，多媒 体教学为辅，把概念较强的课本知识直观化、形象化， 引导学生探索性学习。 教材分析本次课是学生学习完定积分的概念和计算方法以及定积分在几何上的应用后的学习，定积分的元素法在几何和 物理上的应用为学生尝试解决各种实际问题做了很好的 铺垫。将来把元素法的思想推广到多元函数后，其应用 范围将会更宽更广。所以无论从内容还是数学思想方面， 本次课在教材中都处于重要的地位。 教学方法根据对学生的学情分析，本次课主要采用案例教学法，问题驱动教学法，讲与练互相结合，以教师的引导和讲 解为主，同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的 积极性。 教学手段传统教学与多媒体资源相结合。

课程资源 同济大学《高等数学》（第七版）上册 教学内容与过程 一、 变力沿直线所作的功 dx x F dW )(= ?=b a dx x F W )( ，求电场力所做的功。 处处移动到从距离点电荷直线下，一个单位正电荷沿电荷所产生的电场作用、在一个带例)(1b a b a q <+为时，由库仑定律电场力原点解：当单位正电荷距离r 2r q k F = dr r kq dW 2=则功的元素为： 所求功为 )11(]1[2b a kq r kq dr r kq W b a b a -=-==? 例2、在底面积为S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体，由于气体的膨胀，把容器中的一个面积为S 的活塞a 移动到b 处（如图），求移动过程中气体压力所做的功。 解：建立坐标系如图. 由波义耳---马略特定律知压强p 与体积V 成反比，即xS k V k p == ，故作用在活塞上的力为 x k S p F =?= x a b x x x d +q +o r a b r r d r +1+S o x a b x x d x +

定积分计算的总结论文

定积分计算的总结 闫佳丽 摘 要：本文主要考虑定积分的计算,对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结.在定积分的计算中,常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法. 关键词：定义、牛顿—莱布尼茨公式、分部积分、换元. 1前言 17世纪后期，出现了一个崭新的数学分支—数学分析.它在数学领域中占据着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限运算.而其中的微分和积分这两个过程，则构成系统微积分的核心.并奠定了全部分析学的基础.而定积分是微积分学中的一个重要组成部分. 2正文 那么，究竟什么是定积分呢？我们给定积分下一个定义：设函数()f x 在[],a b 有定义，任给[],a b 一个分法T 和一组{}k ξξ=，有积分和 1 (,)()n k k k T f x σξξ==?∑，若当()0l T →时，积分和(,)T σξ存在有限极限，设 ()0 ()0 1 lim (,)lim ()n k k l T l T k T f x I σξξ→→==?=∑，且数I 与分法T 无关，也与k ξ在[] 1,k k x x -的取法无关，即{}0,0,:(),k T l T εδδξξ?>?>?

定积分的简单应用_求体积

4.2定积分的简单应用(二) 复习： （1） 求曲边梯形面积的方法是什么？ （2） 定积分的几何意义是什么？ （3） 微积分基本定理是什么？ 引入： 我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。 1. 简单几何体的体积计算 问题：设由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的平面图形（如图甲）绕x 轴 旋转一周所得旋转体的体积为V ，如何求V ？ 分析： 在区间[,]a b 内插入1n -个分点，使0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，把曲线 ()y f x =（a x b ≤≤）分割成n 个垂直于x 轴的“小长条”，如图甲所示。设第i 个“小长条”的宽是1i i i x x x -?=-，1,2,,i n =。这个“小长条”绕x 轴旋转一周就得到一个厚度是i x ?的小圆片，如图乙所示。当i x ?很小时，第i 个小圆片近似于底面半径为()i i y f x =的小圆柱。因

此，第i 个小圆台的体积i V 近似为2()i i i V f x x π=? 该几何体的体积V 等于所有小圆柱的体积和： 2221122[()()()]n n V f x x f x x f x x π≈?+?+ +? 这个问题就是积分问题，则有： 2 2()()b b a a V f x dx f x dx ππ==?? 归纳： 设旋转体是由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成，则所得到的几何体的体积为2()b a V f x dx π =? 2. 利用定积分求旋转体的体积 （1） 找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数 （2） 分清端点 （3） 确定几何体的构造 （4） 利用定积分进行体积计算 3. 一个以y 轴为中心轴的旋转体的体积 若求绕y 轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为y ，其公式为2()b a V g y dy π=? 类型一：求简单几何体的体积 例1：给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积 思路： 由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。 解：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为,x y 轴建立如图所示的平面直角坐标 系，如图:BC y a =。则该旋转体即为圆柱的体积为：

定积分在物理中的应用 说课稿 教案 教学设计

定积分的简单应用 一：教学目标 知识与技能目标 1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。 过程与方法 情感态度与价值观 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程： 1、复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 解：2 01y x x x y x ?=??==?=??及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=1 1 20 xdx x dx = -? ?，所以 ?1 20S =(x -x )dx 32 1 3023 3x x ??=-????=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。 巩固练习 计算由曲线3 6y x x =-和2 y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯 2 x y =y x A B C D O

定积分计算应当注意的几个问题

定积分计算中应当注意的几个问题 辛 开 远 定积分计算是高等数学中很重要的内容，本文针对应当注意的几个问题，通过求解例题，让读者掌握解题技巧。 一、利用函数奇偶性简化计算 若)(x f 在],[a a -上连续并且为偶函数，则有 ??=-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( ， （)(x f 是偶函数） 若)(x f 在],[a a -上连续并且为奇函数，则有 0)(=? -a a dx x f ， （)(x f 是奇函数） 例1：计算 ? - 2 2 10sin π π xdx x 解 ：因为x x x f sin )(10 =是奇函数，积分区间对称于原点，所以，原式＝0。 例2：计算 ?---a a dx x a x a 2 2 解：原式＝ ? ? -----a a a a dx x a x dx x a a 2 2 2 2 右边第一个积分的被积函数是偶函数，第二个积分的被积函数是奇函数，积分区间对称于原点，从而 原式＝a a x a dx x a a a a π=??? ?? =-? 00 2 2arcsin 22 例3：计算 () dx x x x x ?-++-1 1 341cos sin 95200 解：原式＝() 5 1212 10 4 = +?dx x 二、利用函数的周期性简化计算 设)(x f 是以T 为周期的连续函数，则有 ??=+T T a a dx x f dx x f 0 )()( ?? =+T nT a a dx x f n dx x f 0 )()( （n 为整数） 例4：计算 ? +- 2 1002 100222sin π π xdx x tg

定积分简单应用——求体积

4.2定积分的简单应用(二) 复习: (1) 求曲边梯形面积的方法是什么? (2) 定积分的几何意义是什么？ (3) 微积分基本定理是什么？ 引入： 我们前面学习了定积分的简单应用一一求面积。 求体积问题也是定积分的一个重要应用 下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。 1. 简单几何体的体积计算 问题：设由连续曲线y f(x)和直线x a ， x b 及x 轴围成的平面图形 旋转一周所得旋转体的体积为V ，如何求V ? 小圆片，如图乙所示。当图和很小时，第i 个小圆片近似于底面半径为y i f (x)的小圆柱。 因此，第i 个小圆台的体积V i 近似为V f 2 (x) x i 该几何体的体积V 等于所有小圆柱的体积和： 2 2 2 V [f (X i )为 f (X 2)x L f (X n ) X n ] 这个问题就是积分问题，则有： b 2 b 2 V f 2 (x)dx f 2 (x)dx a a 归纳： 设旋转体是由连续曲线y f (x)和直线x a ， x b 及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转 b o 而成，贝U 所得到的几何体的体积为 V f 2 (x)dx a (如图甲)绕x 轴 分析: y f(x)( a X 的宽是 x X i x i ，i 分割成S 个垂直于x 轴的 1,2,L ,n 。这个“小长: b ，把曲线 1图甲所示。 设第i 个“小长条” 旋转一周就得到一个厚度是 人的 在区间[a,b]内插入 点，使a x 0 X n 1 X n

2.利用定积分求旋转体的体积

(1)找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数 (2)分清端点 (3)确定几何体的构造 (4)利用定积分进行体积计算 3.一个以y轴为中心轴的旋转体的体积 b c 若求绕y轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为y，其公式为V g2( y)dy a 类型一：求简单几何体的体积 例1：给定一个边长为a的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积思路：由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。 解：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为x, y轴建立如图所示的平面直角坐标系，如图BC : y a。则该旋转体即为圆柱的体积为： a 2 2 a 3 V 0 a dx a x|o a 规律方法： 求旋转体的体积，应先建立平面直角坐标系，设旋转曲线函数为 b 2 a,b，则体积V f (x)dx a 练习1：如图所示，给定直角边为a的等腰直角三角形，绕y轴旋转体积。 解：形成的几何体的体积为一圆柱的体积减去一圆锥的体积 V a2ga a y2dy a3 1 y3 g —a3 0 3 3 类型二：求组合型几何体的体积O A x f (x)。确定积分上、下限周，求形成的几何体的

定积分的简单运算与应用

3.4专题 定积分与微积分基本定理 【一】基础知识 【1】定积分的定义 【2】定积分的几何意义 当()0f x ≥时，定积分()b a f x dx ?表示由直线,x a x b ==和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积. 【3】定积分的基本性质 （1） ()()b b a a kf x dx k f x =?? （2） ()()()()1212b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx +=+??? （3）()()() b c b a a c f x dx f x dx f x dx =+??? 【4】微积分基本定理 如果函数()f x 是区间[],a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么 ()()()b a f x dx F b F a =-?.

【二】例题分析 【模块1】利用微积分基本定理求定积分 【例1】计算下列定积分的值： （1）3 2dx =? .（2）46cos 2xdx ππ=? . 【例2】计算定积分 ()121sin x x dx -+=? . 【例3】计算定积分 ()11cos x e x dx -+=? . 【例4】计算定积分 2211x x dx x ??-+= ???? . 【例5】 201x dx -=? .

【例6】 3201x dx -=? . 【例7】若函数()3sin ,112,12 x x x f x x ?+-≤≤=?<≤?，则()21f x dx -=? . 【模块2】利用定积分求平面图形的面积 【例1】由直线,,033x x y ππ=- ==与曲线cos y x =所围成的封闭图像的面积为 . 【例2】由直线,,022x x y ππ=- ==与曲线sin y x =所围成的封闭图像的面积为 . 【例3】由曲线23,y x y x ==所围成的封闭图形的面积为 .

完整版定积分简单应用求体积

4.2定积分的简单应用(二) 求曲边梯形面积的方法是什么? 定积分的几何意义是什么? 微积分基本定理是什么? 引入: 我们前面学习了定积分的简单应用一一求面积。 求体积问题也是定积分的一个重要应用。 F 面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。 1. 简单几何体的体积计算 a ， x b 及x 轴围成的平面图形(如图甲)绕 x 轴 小圆片，如图乙所示。当图丁很小时，第i 个小圆片近彳似于底面半径为y f(x)的小圆柱。 该几何体的体积V 等于所有小圆柱的体积和: 这个问题就是积分问题，则有: 归纳: 2. 利用定积分求旋转体的体积 复习: 分析: 旋转一周所得旋转体的体积为V ， 如何求V 在区间［a,b ］内插入 y f (x) ( a X b P 的宽是 x x i x 1， < n r 个分点，使a x 0 :r I 分割成 n 个垂直于X 轴的 1,2,L ,n 。这个“小长: “小长条”，女論甲所示。设第i 个“小长条” 旋转一周就得到一个厚度是 X i 的 问题：设由连续曲线y f(x)和直线X 因此，第i 个小圆台的体积V i 近似为V f 2(x) X i 2 2 V [f (X 1) X 1 f (X 2) 2 X 2 L f (X n ) X n ] b 2 V a f 2 (x)dx b 2 a f 2 (x)dx 设旋转体是由连续曲线y f (x)和直线x x b 及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转 而成，则所得到的几何体的体积为 V b 2 a f (x)dx S) X n 1 X n b ，把曲线

(1) 找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数 规律方法: V 0 a 2 dx a 2x|a a 3 求旋转体的体积，应先建立平面直角坐标系，设旋转曲线函数为 a,b ，则体积V b 2 a f (x)dx 练习1：如图所示, 体积。 JC A f (x)。确定积分上、下 给定直角边为a 的等腰直角三角形，绕y 轴旋转一周，求形成的几何体的 解：形成的几何体的体积为一圆柱的体积减去一圆锥的体积。 2 a V a2S y 2dy a 3 类型二：求组合型几何体的体积 例2：如图，求由抛物线y 2 8x(y 0)与直线x y 思路: 一周所得几何体的体积。 解答本题可先由解析式求出交点坐标。 再把组合体分开来求体积。 利用定积分进行体积计算 3. 一个以y 轴为中心轴的旋转体的体积 若求绕y 轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为y ,其公式为V 类型一：求简单几何体的体积 例1：给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积 思路: 由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定 积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。 解：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为 x,y 轴建立如图所示的平面直角坐标系, 如图BC : y a 。则该旋转体即为圆柱的体积为: (2) 分清端点 (3) 确定几何体的构造 b 2 a g (y)dy 6