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抽象函数常见题型解法综述
赵春祥
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一?类函数。山于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：
一、定义域问题
例1.已知函数/(x2)的定义域是［1, 2］,求f(x)的定义域。
解：/(A-2)的定义域是［1, 2］,蔑旨1 < A- < 2 ,所以/(x2)中的子满足1^子^4
从而函数f(x)的定义域是［1, 4］
评析：一般地，已知函数的定义域是A,求f(x)的定义域问题，相当于已知
f ((p(x))中X的取值范围为A,据此求9(尤)的值域问题。
例2.已知函数/的定义域是［-1, 2J,求函数/［lo gl(3-x)］的定义域。
2
解：八尤)的定义域是［-1, 2］,意思是凡被f作用的对象都在［-1, 2］中，山此可得
-1 < log ］ (3-x) < 2 => (―)2 < 3-x < (―)-1 => 1 < x < —
2 2 2
所以函数/［log. (3 - X)］的定义域是［1, —|
i 4
评析：这类问题的一般形式是：已知函数f(x)的定义域是A,描数f ((p(x))的定义域。
正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知
9(、)的值域B,且B Q A,据此求x的取值范围。例2和例1形式上正相反。
二、求值问题
例3.已知定义域为R*的函数f(x),同时满足下列条件：①/(2) = 1, /(6)=-；②
/(x-y) = /(x) + /(y),求f(3), f(9)的值。
解：取x = 2,)，= 3,得/(6) = /(2) + /(3)
1 4
因为 f (2) = 1,/(6)=-,所以/(3)=--
往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向
X — 1
函数f (罚满足/(X )+ /(——)= 1 + 4,求 X X — |
(1)中以—代换其中X,得:
X(2)
Q
得 f(9) = f ⑶+ /(3)= -三
评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取x = 2, y = 3,这样便把已知条 件/(2)
= I, /(6) = 1与欲求的f(3)沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。
三、值域问题
例4.设函数f(x)定义于实数集上,对于任意实数x 、y, /(x+ y) = /(x)/(y)总成立， 且存在玉x 2,使得/(%]) /(x 2),求函数/'(X )的值域。
解:令工=),=0,得/(0)=[/(0)]2,即有/(0) = 0或/(0) = 1。
若/(0) = 0, [flij /(X )= /(x + 0) = ,/(A :)/(0) = 0 ,对任意 xeR 均成立，这与存在 实数玉女尤2，使得成立矛盾，故/(0)^0,必有/(0) = 1 o
由于/(x + y) = /(x)/(y)对任意X 、y e R 均成立，因此，对任意xe R 9有
/⑴=/(( + ；)= f (初(9 =［冷之 > 0
下面来证明，对任意XE R, f(x) 0
设存在 X °E R ，使得/(A o ) = 0，则 f(O) = f(x o -x ()) = f(x o )f(-x ()) = O 这与上面己证的/(0) 0矛盾，因此，对任意xcR, f(x) 0 所以f(x)>0
评析：在处理抽象函数的问题时， 特殊转化的必要手段。 四、解析式问题
例5.设对满足x^O, x 。1的所有实数
x
f(x)的解析式。
X — |
解：在/(x) + /(-—) = 1 + 1
X
1
-) = ^ x
x-1 X
再在⑴中以-一代换X,得
X — i
/(一一) + /?) =壬(3)
X-1 X- I
⑴―(2) + (3)化简得：/W = —-
2尤(尤一1)
x— 1
评析：如果把X和一分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是X
解题关键。通常情况下,给某些变量适当赋值,使之在关系中“消失”，进而保留一-个变量,
是实现这种转化的里要策略。
五、单调性问题
例6.设f(x)定义于实数集上，当x〉0时，/(x) > 1 ,且对于任意实数x> y,有
/(x+y) = /(X)./(y),求证：/(X)在R上为增函数。
证明：在/(x + y) = /U)/(y)中取x = y = O,得/(0) = [/(0)]2
若./(0) = 0?令x > 0, y = 0，则/(x) = 0,与f\x) > 1 矛盾
所以/(0)^0,即有/(0) = 1
当工>0 时，/(x)>l>0；当xv。时，一尤>0, /(―尤)>1>0
而JO—x) = /.(()) = 1
又当x = 0时，/(0) = 1 > 0
所以对任意xwR,恒有/(x)>0
设一00 V X] < x2 < +00 ,则x2 - > 0, f(x2一尤])> 1
所以f (尤2)= /[^1 +(工2 —尤1)] = /U1)/U2一尤1)> /(玉)
所以y = /(x)在R上为增函数。
评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。
六、奇偶性问题
例7.已知函数/(X)(X €/?, X^O)对任意不等于零的实数羽、心都有
/(%! -X2)= /(^1)+ /(X2)?试判断函数f(X)的奇偶性。
解：取叫二一1, x2 =1 得：/(-I) = /(-!) + /(!),所以/(1) = 0
又取=x2=-l 得:/(!) = /(-!) + /(-I),所以/(-l) = 0
再取X[ =x, x2 =-1 则/'(f ) = f(T) + f(W，即f(~x) = /(x)
因为f (x)为非零函数，所以f (对为偶函数。
七、对称性问题
例8.已知函数y = /(x)满足/(x) + /(-x) = 2002,求f\x) + /-,(2002-x)的值。
解：已知式即在对称关系式f(a + x) + f(a-x) = 2b中取。=0, b =2002,所以函数y= /(x)的图象关于点(°, 2002)对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数y = f-\x)的图象关于点(2002, 0)对称。
所以.厂? + 1001) +尸(1001-对=0
将上式中的x用x —1001代换，得f-](x) + /■* (2002 一W = 0
评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a、b
均为常数，函数)，=f(x)对一切实数x都满足f\a + x) + f(a-x) = 2b,则函数y = /(x)的图象关于点(a, b)成中心对称图形。
八、网络综合问题
例9.定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m, n,总有+ = .fl. 当x>0 时，0 (1)判断f(x)的单调性; (2)设A = {(x, y) I/(x2)-/(y2) >/(!)}, B = ((x,)，)lf(ox —)，+扼)= 1, QE R},若AflB = 0,试确定a 的取值范围。 解(1)在f(m + ■) = f(m)? f(n)中，令m = 1, n = 0，得/(I) = /(I)? /(0),因为/(I) 0,所以/(0) = 1 o 在JS+ 〃)= /'(/〃)?/'(〃)中，令m = x, n = -x 因为当x>0时，0 所以当工<0时—x>0, 0< /(-x) < 1 >1>0 妇) 又当x=0时，/(0) = 1>0,所以，综上可知，对于任意xwR,均有/(x)>0o 设一 8 V X] < X 2 < +8 ,则X2 - X] > 0, 0 < /(X2 -^|) < 1 所以f(x2) = f[x x + (x2一玉)]=/(Xj)-/(X2-xj < /(X,) 所以y = /(x)在R上为减函数。 (2)山于函数y=f(x)在R上为减函数，所以/(x2)- f(y2) = /U2 + y2)> /(I) 即有x2 + y2 < 1 又/(6zx-y + V2) = l = /(()),根据函数的单调性，有。工一)+ 0 =。 山A^B = 0 ,所以直线ax-y + ^2= 0与圆面x2 + y2 <\±公共点。因此有 ,-2：2_ >1,解n-i J/ + 1 评析：(1)要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题：一?是f(O)的取值问题，二是f(x)>0 的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。 年级高中学科数学版本J电数 内容标题抽象函数常见题型解法综述 分类索引号G. 622. 46分类索引描述辅导与自学 主题词抽象函数常见题型解法综述栏目名称学法指导 供稿老师审稿老师 录入许咏梅一校胡丹二校审核
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