第二章 拉普拉斯变换的数学方法
2-1 试求下列函数的拉氏变换 （1）23)(2
++=t t t f
解：3
2232()=++F s s s s
（2）t t t f 2cos 32sin 5)(?=
解：22
103()44=?++s
F s s s （3）at
n e t t f ?=)(
解：1
!
()()+=?n n F s s a （4）t e t f t
6sin )(2?=
解：2
6
()(2)36
=++F s s （5）at t t f cos )(=
解：1()cos ()2
?==+jat
jat f t t at t e e
22
2222222
111()2()()()4??+=+=??+??+??s a F s s ja s ja s a a s
（6）t t f 2
cos )(= 解：1cos 2()2+=
t
f t 22
2211112
()()22424(4)
+=+?=+=+++s s s F s s s s s s s （7）)(5)(2t e t f t
δ+=
解：1
()52
=
+?F s s
（8）)(sin )(cos )(t u t t t t f ???=δ
解：1
111)(22
2+=+?=s s s s F
2-2 已知)
1(10
)(+=
s s s F
（1）利用终值定理，求∞→t 时的)(t f 值。 解：0
01010
lim ()lim ()lim lim 10(1)1
→∞
→→→====++t s s s f t sF s s
s s s
（2）通过取)(s F 拉氏反变换，求∞→t 时的)(t f 值
解：1210
()(1)1
=
=+++c c F s s s s s
12011010
lim
10,lim 10
11010()1()1010lim ()lim(1010)10
→→???→∞
→∞
====?+=?+=?=?=s s t
t t t c c s s F s s s f t e f t e 2-3 已知2
)2(1
)(+=
s s F
（1）利用初值定理求)0(f 值。
解：2
1
(0)lim ()lim ()lim 0(2)→→∞
→∞
====+t s s f f t sF s s
s
（2）通过取)(s F 拉氏反变换求)(t f ，然后求)0(f 。
解：2
1
()(2)
=
+F s s 220
()(0)lim 0
??→===t
t t f t te f te
2-4 求下列图所示函数)(t f 的拉氏变换。
解：
（1）周期信号()f t 在一个周期(0,2)∈t t 内的数学表达式
题图
2-4 (a) (b)
[]()2()
1
()2112()()()11????=Α?Α??Α=
?Α??ΑΑ??
=Γ=?=???????s
s s s x t u t x s e s s
F s f t x s e e e s s τττττ 解：(2) ()8()2(2)=????f t u t u t
282
()?=?s F s e s s
2-5 试求下列函数的拉氏反变换
（1）41
)(2
+=s s F 解：2
22222
2121)(+?
=+=s s s F t t f 2sin 2
1
)(=
（2）4
)1(1
)(+=
s s F
解：431
113!
()(1)3!(1)
+=
=?++F s s s 31
()6
?=?t f s t e
（3）52)(2
+?=
s s s
s F 解： 4
1252)(2
2++?=+?=s s s
s s s s F 222
22
222222)1(1212
)1(12)1(1
2)1(12)1(+??++??=+?+
+??=+?=
s s s s s s s s
t e t e t f t
t 2sin 2
12cos )(???+
= （4）93
2)(2
++=
s s s F 解：222
2323
()999
+==++++s s F s s s s ()2cos3sin 3=+f t t t
（5）)
3)(1(3
)(?++=
s s s s F
解：121
323)3)(1(3
)(+??=?++=s s s s s s F
t t e e t f ????=
2123)(3 （6）6
1
)(2?++=s s s s F
解：2
112131
()6(3)(2)5352
++=
==?+?+?+?+?s s F s s s s s s s 3223
()55
?=+t t f t e e
（7）13
45
2)(2+++=s s s s F
解：222
252(2)13
()413(2)93(2)9
++=
=+?++++++s s F s s s s s 221
()2cos3sin 33
??=+t t f t te te
（8）2
()(2)(1)
s
F s s s =
++ 解：22122
()(2)(1)(1)12
??=
=+++++++s F s s s s s s
t t t e e te t f 222)(????+?=
2-6 求下列卷积 （1）11?
[]2
12111
11111s s s
t
s ?Γ?=?=??
?=Γ=????
解：
（2）t t ?
[]224
13
4111116t t s s s t t t s ?Γ?=
?=??
?=Γ=????解：
（3）t
e t ?
21122111
11111111t
t t
t e s s t e s s s s s t e ????Γ?=
???????????=Γ?=Γ++??????????
=??+解： （4）t t sin ?
[]2211222211
sin 1111
1sin 11sin t t s s t t s s s s t t
??Γ?=
?
+?????=Γ?=Γ?????++????
=?解：
2-7 用拉氏变换的方法解下列微分方程
（1）43,(0)(0)1t
x x x e x x ?′′′′++===
22222312
2211221"4'3(0)'(0)1
1()(0)'(0)4()4(0)3()1
1
(43)()141
1(5)(1)66
()(43)(1)(1)(3)
(1)13
661
lim 3
2lim t s s x x x e x x s x s sx x sx s x x s s s s x s s s s s s s x s s s s s s c c c s s s s s c s s c ?→?→?++===??+?+=+++=
+++++++++==
+++++=++
+++++==
++=解：22123212366(26)(3)(66)7
'lim 3(3)4663
lim (1)4117131()2(1)4143173()244
s s t t t
s s s s s s s s s c s x s s s s x t te e e →?→??????+++?++==??++??++==?
+=?+???
+++=+?
（2）220,(0)0,(0)1x x x x x ′′′′++===
2222"2'20(0)0,'(0)1
()(0)'(0)2()2(0)2()0(22)()111
()22(1)1
()sin t x x x x x s x s sx x sx s x x s s s x s x s s s s x t e t
?++===??+?+=++==
=
++++=解：
常用拉普拉斯变换总结 1、指数函数 000)(≥
数学物理方法 课程类别校级优秀□省级优质√省级精品□国家精品□项目主持人李高翔 课程建设主要成员陈义成、王恩科、吴少平、刘峰数学物理方法是理科院校物理类学生的一门重要基础课，该课程所涉内容，不仅为其后续课程所必需，而且也为理论和实际研究工作广为应用。因此，本课程教学质量的优劣，将直接影响到学生对后续课程的学习效果，以及对学生分析问题和解决问题的能力的培养。数学物理方法是物理专业师生公认的一门“难教、难学、难懂”的课程，为了将其变为一门“易教、易学、易懂”的课程，我们对该课程的课程体系、内容设置、教学方法等方面进行了改革和建设，具体做法如下： 一、师资队伍建设 优化组合的教师队伍，是提高教学质量的根本保证。本课程师资队伍为老、中、青三结合，其中45岁以下教师全部具有博士学位，均具有高级职称。课程原责任教师汪德新教授以身作则，有计划地对青年教师进行传、帮、带，经常组织青年教师观摩老教师的课堂教学、参与数学物理方法教材编写的讨论；青年教师主动向老教师学习、请教，努力提高自身素质和教学水平。现在该课程已拥有一支以中青年教师为主的教师队伍。同时，系领导对该课程教师队伍的建设一直比较重视，有意识地安排青年教师讲授相关的后续课程，例如，本课程现责任教师李高翔教授为物理系本科生和函授生多次主讲过《电动力学》、《量子力学》、《热力学与统计物理》等课程，使得他们熟知本门课程与后续专业课程的连带关系，因此在教学中能合理取舍、突出重点，并能将枯燥的数学结果转化为具体的物理结论，有利于提高学生的学习兴趣。培养学生独立分析问题和解决问题能力的一个重要前提是教师应该具有较强的科研能力，该课程的任课教师都是活跃在国际前沿的学术带头人或学术骨干，近5年来，他们承担国家自然科学基金项目共8项，在国内外重要学术刊物上发表科研论文60余篇，并将科研成果注入教学中。此外，本课程大多数教师有多次出国合作研究的经历，并且在学校教务处和外事处的支持下，吴少平副教授参加了由国家留学基金委员会组织的赴英“双语教学研修项目”，为本课程双语教学的开展打下了良好的基础。 二、教学内容 数学物理方法是联系高等数学和物理专业课程的重要桥梁，本课程的重要任务是教会学生如何把各种物理问题翻译成数学的定解问题，并掌握求解定解问题的多种方法。本门课程的基本教学内容主要包括复变函数论、数学物理方程两部分。与国内流行的教材和教学内容相比，在讲解数理方程的定解问题时，本门课程教学内容的特色之一是按解法分类而不按方程的类型分类，这样，可以避免同一方法的多次重复介绍；特色之二是把线性常微分方程的级数解法和特殊函数置于复变函数论之后、数学物理方程之前，一方面可将这些内容作为复变函数理论的一个直接应用，使学生进一步巩固已学的相关知识，另一方面可使正交曲线坐标系中分离变量法的叙述更加流畅，并通过与直角坐标系中分
积分变换练习题 第二章 Laplace 变换 ________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______ §1 Laplace 变换的概念 §2 Laplace 变换的性质 一、选择题 1．设()(1)t f t e u t -=-，则[()]f t =L [ ] （A ）(1)1s e s --- （B ）(1)1s e s -++ （C ）1s e s -- （D ）1 s e s -+ 11[(1)][()];1[(1)](1)s s t s u t e u t se e u t s e --+??-== ? ? ?-= ?+?? 由延迟性质可得，再由位移性质可得，L L L 2．设2sinh ()t f t t = ，则[()]f t =L [ ] （A ）1ln 1s s -+ （B ）1ln 1s s +- （C ）12ln 1s s -+ （D ）1 2ln 1 s s +- 见课本P84 二、填空题 1．设2()(2)f t t u t =-，则[]()f t =L 。 22''222321[(2)][()];1442[(1)]s s s s u t e u t se s s t u t se s e -??-== ? ?++ ???-== ? ????? 由延迟性质可得，再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L L 2．设2()t f t t e =，则[]()f t =L 。 (1)00'' 231[](Re()1);112[]1(1)t t st s t t e e e dt e dt s s t e s s +∞+∞---??===> ?- ? ???== ? ?--??? ???再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L 三、解答题 1．求下列函数的Laplace 变换： （1）302()12404t f t t t ≤
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞ -- ==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ == ? 双边拉普拉斯变换： 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ = ? （2） 定义域
若0σσ>时，lim ()0t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存 在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() [ ]()(0)df t sF s f dt ζ-=- 1 1()0 ()[]()(0)n n n n r r n r d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中() (0)r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0-时刻的取值。 （3） 原函数积分 若[()]()f t F s ζ=，则(1)(0)()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+? 式中0(1) (0)()f f t dt ---∞=? （4） 延时性 若[()]()f t F s ζ=，则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移
数学物理方法 课程类别校级优秀□省级优质 √省级精品□ 国家精品□ 项目主持人李高翔 课程建设主要成 员 陈义成、王恩科、吴少平、刘峰数学物理方法是理科院校物理类学生的一门重要基础课，该课程所涉内容，不仅为其后续课程所必需，而且也为理论和实际研究工作广为应用。因此，本课程教学质量的优劣，将直接影响到学生对后续课程的学习效果，以及对学生分析问题和解决问题的能力的培养。数学物理方法是物理专业师生公认的一门“难教、难学、难懂”的课程，为了将其变为一门“易教、易学、易懂”的课程，我们对该课程的课程体系、内容设置、教学方法等方面进行了改革和建设，具体做法如下： 一、师资队伍建设 优化组合的教师队伍，是提高教学质量的根本保证。本课程师资队伍为老、中、青三结合，其中45岁以下教师全部具有博士学位，均具有高级职称。课程原责任教师汪德新教授以身作则，有计划地对青年教师进行传、帮、带，经常组织青年教师观摩老教师的课堂教学、参与数学物理方法教材编写的讨论；青年教师主动向老教师学习、请教，努力提高自身素质和教学水平。现在该课程已拥有一支以中青年教师为主的教师队伍。同时，系领导对该课程教师队伍的建设一直比较重视，有意识地安排青年教师讲授相关的后续课程，例如，本课程现责任教师李高翔教授为物理系本科生和函授生多次主讲过《电动力学》、《量子力学》、《热力学与统计物理》等课程，使得他们熟知本门课程与后续专业课程的连带关系，因此在教学中能合理取舍、突出重点，并能将枯燥的数学结果转化为具体的物理结论，有利于提高学生的学习兴趣。培养学生独立分析问题和解决问题能力的一个重要前提是教师应该具有较强的科研能力，该课程的任课教师都是活跃在国际前沿的学术带头人或学术骨干，近5年来，他们承担国家自然科学基金项目共8项，在国内外重要学术刊物上发表科研论文60余篇，并将科研成果注入教学中。此外，本课程大多数教师有多次出国合作研究的经历，并且在学校
拉普拉斯变换公式总结Newly compiled on November 23, 2020
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞ --==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ ==? 双边拉普拉斯变换： 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞--∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ = ? （2） 定义域 若0σσ>时，lim ()0t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质
（1） 线性性 若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则 11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() []()(0)df t sF s f dt ζ-=- 式中() (0)r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0-时刻的取值。 （3） 原函数积分 若[()]()f t F s ζ=，则(1)(0) ()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+?式中0(1)(0)()f f t dt ---∞=? （4） 延时性 若[()]()f t F s ζ=，则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移 若[()]()f t F s ζ=，则[()]()at f t e F s a ζ-=+ （6） 尺度变换 若[()]()f t F s ζ=，则1[()]()s f at F a a ζ= （a >0） （7） 初值定理lim ()(0)lim ()t o s f t f sF s + +→→∞ == （8） 终值定理lim ()lim ()t s f t sF s →+∞ →∞ = （9） 卷积定理 若11[()]()f t F s ζ=，22[()]()f t F s ζ=，则有1212[()()]()()f t f t F s F s ζ*= 12121[()()][()()]2f t f t F s F s j ζπ= *= 121 ()()2j j F p F s p dp j σσπ+∞ -∞ -? 3. 拉普拉斯逆变换 （1） 部分分式展开法
数学物理方法教学改革探索 摘要：数学物理方法作为我院物理学专业一门必修专业基础课程，在数学物理方法课程教学课时大大减少的情况下如何在较少课时内，在达到教学目的的同时又拓宽学生的知识面是我院面临的主要问题。本文针对数学物理方法课程教学中存在的一些问题，从教学内容、教学方法和考核方式三个方面提出了一些改革的建议，目的是全面提高学生的综合素质，使学生具有较深的理论知识，较强的实践能力和竞争意识，具备开拓进取、锐意创新的精神。abstract： the method of mathematical physics is a required professional basic course in our college. the teaching hours are reduced. how can we broaden the students’ knowledge，while achieving the goal of teaching in the limited teaching hours？ aiming at the problems in teaching of mathematical physics method， the paper puts forward the reform measures from teaching content， teaching method and evaluation method， to improve the overall quality of students， make students have deep theoretical knowledge， practical ability and sense of competition， a pioneering spirit， and innovation the spirit. 关键词：数学物理方法；教学改革；探索 key words： method of mathematical physics；teaching reform；explore
拉普拉斯变换公式总结..
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞-- ==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ == ? 双边拉普拉斯变换： 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ =? （2） 定义域
若0 σσ>时，lim ()0 t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0 σσ>的全部范围内 收敛，积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存在，即()f t 的拉普拉斯变换 存在。0 σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0 σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若 11[()]() f t F S ζ=, 22[()]() f t F S ζ=, 1 κ, 2 κ为常数时，则 11221122[()()]()() f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() []()(0)df t sF s f dt ζ- =- 1 1()0 ()[]()(0)n n n n r r n r d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中() (0) r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0- 时刻的取值。 （3） 原函数积分 若 [()]() f t F s ζ=，则 (1)(0) ()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+ ? 式中 (1)(0)()f f t dt ---∞ =? （4） 延时性 若[()]()f t F s ζ=，则0 [()()]() st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移 若[()]()f t F s ζ=，则[()]() at f t e F s a ζ-=+ （6） 尺度变换
数学物理方法教学改革的探讨 摘要:数学物理方法是物理学专业一门难且重要的基础课程。本文结合多年讲授数学物理方法的经验,介绍了在讲授数学物理方法教学过程中如何提高教学质量,增加学生学习兴趣所作的一些尝试,并取得了一定的效果。 关键词:数学物理方法教学改革学习兴趣 Research on Teaching Reform in the Course of Mathematical Physical Method Abstract:The course of Mathematical Physics Method is a not only important but also difficult course for physics department. Combined with teaching experience, some attempts of how to improve teaching quality and how to inspire study interesting have been introduced in this paper, through teaching practices, some expected results have been obtained. Key Words:Mathematical Physical Method;Teaching;Study interesting 数学物理方法一直是物理学专业学生最基本、同时也是最重要的专业基础课之一,是物理学专业学生学习后续课程的重要基础,所涉及的基本知识也是物理系学生必须要掌握的最基本内容[1～2]。在应用
第四章 连续信号与系统的S 域分析 1、如下方程和非零起始条件表示的连续时间因果LTI 系统， ()()t f dt df t y dt dy dt y d 52452 2+=++ 已知输入()()t e t f t ε3-=时，试求（1）系统的零状态响应；（2）判断系统的稳定性 解：(1) 方程两边取拉氏变换； ()()()() 4 5524 55 22 2+++=?+++= ?=s s s s F s s s s F s H s Y ()()() t e e e t y s s s s s s s s Y t t t zs z ε?? ? ??--=+- +-+=+++?+= ---422121214 2122111459221 (2) 对于因果连续系统，()s H 的全部极点位于s 平面的左半平面， ()t h 才是衰减信号，由此可以得出，在复频域有界输出的充要条件是系统函数()s H 的全部极点位于s 平面的左半平面，若系统函数的极点是虚轴上的单阶共轭极点。则系统临界稳定，若系统函数的极点在右半平面，则系统不稳定，如下图。 该题中，()1 1 4145522+++=+++=s s s s s s H ，其极点分别为4,121-=-=s s ，都在左半平面，所以 系统稳定。 2、如下方程和非零起始条件表示的连续时间因果LTI 系统 ()()()()?? ???==+=++--30,20223'22y y t f dt df t y dt dy t d y d
已知输入()()t e t f t ε3-=时，试用拉普拉斯变换的方法求系统的零状态响应()t y zs 和零输入响应 ()t y zi ， 0≥t 以及系统的全响应()0,≥t t y 。 解：方程两边取拉氏变换 ()()()()()()[]()() ()()()()()() ()()()() ()()() t e e e t y t e e t y s s s s s s Y t e e e t y s s s s s s s s Y s s s s s s s s Y s s F s F s y y sy s Y s s t t t t t zi zi t t t zs ZS εεε?? ? ??+--=+-=+++-=+++=??? ??-+-=+-++++-=+?+++=++++++?+++=+= +=---+++-----------213225 751 7 25239232132 5 1 2 123325312312223632312312;3112030'023********* 22
关于“数学物理方法”课程教学改革的几点思考 摘要：数学物理方法是高等院校的一门重要专业基础课。在数学物理方法的教学中，注重学生学习知识的连贯性、专业性、拓展性可以增加他们的学习兴趣，实践性教学可以培养学生的创新精神和解决问题的能力，更好地理解数学物理方法课程的教学内容，达到该课程的教学目的。这些对提高教学质量都起到重要的作用。为了提高教学质量、增加学生的学习兴趣，本文结合教学经验提出了几点该课程教学改革的思考。 abstract： the method of mathematical physics is an important professional basic course in colleges and universities. in the method of mathematics and physics teaching， to pay attention to students’ consistency of learning knowledge can increase their interest in learning，practical teaching can cultivate students’ innovative spirit and ability to solve problems， to better understand the teaching contents of the course of methods of mathematical physics， achieve the purpose of teaching the course. these play an important role in improving the quality of teaching. combining the teaching experience， this paper puts forward some thoughts of teaching reform of this course， in order to improve the quality of teaching， stimulate students’interest in learning.
拉普拉斯变换公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
附录A 拉普拉斯变换及反变换 419
3．用查表法进行拉氏反变换 420
421 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑ =-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1)()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
拉普拉斯变换 Prepared on 22 November 2020
§13拉普拉斯变换 重点：1.拉普拉斯反变换部分分式展开 2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路 3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤 难点： 1.拉普拉斯反变换的部分分式展开法 2.电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用 本章与其它章节的联系： 是后续各章的基础，是前几章基于变换思想的延续。 预习知识： 积分变换 §13－1拉普拉斯变换的定义 1.拉普拉斯变换法 拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。 2.拉普拉斯变换的定义 一个定义在[0,+∞)区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F(s)定义为 式中s=σ+jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。 由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为 式中c为正的有限常数。 注意： 1）定义中拉氏变换的积分从t=0-开始，即： 它计及t=0-至0+，f(t)包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方便。 2）象函数F(s)一般用大写字母表示,如I(s)，U(s)，原函数f(t)用小写字母表示，如 i(t),u(t)。 3）象函数F(s)存在的条件： 3.典型函数的拉氏变换 1)单位阶跃函数的象函数
第四章拉普拉斯变换 第一题选择题 1．系统函数H（s）与激励信号X（s）之间 B 。 A、是反比关系； B、无关系； C、线性关系； D、不确定。 2．如果一连续时间系统的系统函数H(s)只有一对在复平面左半平面的共轭极点，则它的h(t)应是 B 。 A、指数增长信号 B、指数衰减振荡信号 C、常数 D、等幅振荡信号 3．一个因果稳定的连续系统，其H（s）的全部极点须分布在复平面的 A 。 A、左半平面 B、右半平面 C、虚轴上 D、虚轴或左半平面 4．如果一连续时间系统的系统函数H(s)只有一个在左半实轴上的极点，则它的h(t)应是B 。 A、指数增长信号 B、指数衰减振荡信号 C、常数 D、等幅振荡信号 5．一个因果稳定的连续系统，其H(s)的全部极点须分布在复平面的 A 。 A 左半平面 B 右半平面 C 虚轴上 D 虚轴或左半平面 6．若某连续时间系统的系统函数H(s)只有一对在复平面虚轴上的一阶共轭极点，则它的h(t)是D 。 A 指数增长信号 B 指数衰减信号 C 常数 D 等幅振荡信号 7．如果一连续时间系统的系统函数H(s)只有一对在虚轴上的共轭极点，则它的h(t)应是D A、指数增长信号 B、指数衰减振荡信号 C、常数 D、等幅振荡信号 8．如果系统函数H(s)有一个极点在复平面的右半平面，则可知该系统 B 。 A 稳定 B 不稳定 C 临界稳定 D 无法判断稳定性 9．系统函数H(s)是由 D 决定的。 A 激励信号E(s) B 响应信号R(s) C 激励信号E(s)和响应信号R(s) D 系统。10．若连续时间系统的系统函数H(s)只有在左半实轴上的单极点，则它的h(t)应是 B 。 A 指数增长信号 B 指数衰减信号 C 常数 D 等幅振荡信号 11、系统函数H（s）与激励信号X（s）之间 B A、是反比关系； B、无关系； C、线性关系； D、不确定。
1 最全拉氏变换计算公式 1. 拉氏变换的基本性质 1 线性定理 齐次性 )()]([s aF t af L = 叠加性 )()()]()([2121s F s F t f t f L ±=± 2 微分定理 一般形式 = -=][ '- -=-=----=-∑1 1 )1() 1(1 22 2) ()() 0()()(0)0()(])([)0()(]) ([ k k k k n k k n n n n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ）（ 初始条件为0时 )(])([s F s dt t f d L n n n = 3 积分定理 一般形式 ∑???????????==+-===+=+ +=+= n k t n n k n n n n t t t dt t f s s s F dt t f L s dt t f s dt t f s s F dt t f L s dt t f s s F dt t f L 10 102 2022 ]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个 共个 共 初始条件为0时 n n n s s F dt t f L ) (]))(([=??个 共 4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=-- 5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=- 6 终值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t →∞ →= 7 初值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t ∞ →→= 8 卷积定理 )()(])()([])()([210 210 21s F s F d t f t f L d f t f L t t =-=-??τττττ
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 2-1 试求下列函数的拉氏变换 （1）23)(2 ++=t t t f 解：3 2232()=++F s s s s （2）t t t f 2cos 32sin 5)(?= 解：22 103()44=?++s F s s s （3）at n e t t f ?=)( 解：1 ! ()()+=?n n F s s a （4）t e t f t 6sin )(2?= 解：2 6 ()(2)36 =++F s s （5）at t t f cos )(= 解：1()cos ()2 ?==+jat jat f t t at t e e 22 2222222 111()2()()()4??+=+=??+??+??s a F s s ja s ja s a a s （6）t t f 2 cos )(= 解：1cos 2()2+= t f t 22 2211112 ()()22424(4) +=+?=+=+++s s s F s s s s s s s （7）)(5)(2t e t f t δ+= 解：1 ()52 = +?F s s （8）)(sin )(cos )(t u t t t t f ???=δ 解：1 111)(22 2+=+?=s s s s F 2-2 已知) 1(10 )(+= s s s F （1）利用终值定理，求∞→t 时的)(t f 值。 解：0 01010 lim ()lim ()lim lim 10(1)1 →∞ →→→====++t s s s f t sF s s s s s （2）通过取)(s F 拉氏反变换，求∞→t 时的)(t f 值
附录A 拉普拉斯变换及反变换表A-1 拉氏变换的基本性质
表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设 )(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 1 1 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + =n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
附录A拉普拉斯变换及反变换
3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 10111) ()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++== ---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑ =-= -+ +-+ +-+ -= n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 1 2 21 1)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= ) ()( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []?? ????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ())()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---=+ =n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -+ +-+ +-+ -+ +-+ -++-- 1 1111111) () () ( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
附录A拉普拉斯变换及反变换 419
420
421 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(l i m s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='=)() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
§13 拉普拉斯变换 重点：1.拉普拉斯反变换部分分式展开 2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路 3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤 难点： 1. 拉普拉斯反变换的部分分式展开法 2. 电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用 本章与其它章节的联系： 是后续各章的基础，是前几章基于变换思想的延续。 预习知识： 积分变换 §13－1 拉普拉斯变换的定义 1. 拉普拉斯变换法 拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t) 与复变函数F(s) 联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。由于解复变函数的代数方程比解 时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。 2. 拉普拉斯变换的定义 一个定义在[0,+∞) 区间的函数f(t) ，它的拉普拉斯变换式F(s) 定义为 式中s=σ＋jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。 由F(s) 到f(t) 的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为 式中 c 为正的有限常数。 注意： 1）定义中拉氏变换的积分从t=0- 开始，即： 它计及t=0- 至0+ ，f(t) 包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方 便。 2）象函数F(s) 一般用大写字母表示, 如I(s)，U(s) ，原函数f(t) 用小写字母表示，如i(t),u(t)。 3）象函数F(s) 存在的条件： 3.典型函数的拉氏变换 1) 单位阶跃函数的象函数