简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1.命题p∧q,p∨q,綈p的真假判断
2.全称量词和存在量词
3.
1.命题“?x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的否定是()
A.?x∈(0,+∞),ln x≠x-1
B.?x?(0,+∞),ln x=x-1
C.?x0∈(0,+∞),ln x0≠x0-1
D.?x0?(0,+∞),ln x0=x0-1
解析:选A改变原命题中的三个地方即可得其否定,?改为?,x0改为x,否定结论,即ln x≠x-1.
2.已知命题p:对任意x∈R,总有2x>0;
q :“x >1”是“x >2”的充分不必要条件. 则下列命题为真命题的是( ) A .p ∧q B .綈p ∧綈q C .綈p ∧q
D .p ∧綈q
解析:选D 因为指数函数的值域为(0,+∞),所以对任意x ∈R ,y =2x >0恒成立,故p 为真命题;因为当x >1时,x >2不一定成立,反之当x >2时,一定有x >1成立,故“x >1”是“x >2”的必要不充分条件,故q 为假命题,则p ∧q ,綈p 为假命题,綈q 为真命题,綈p ∧綈q ,綈p ∧q 为假命题,p ∧綈q 为真命题.
3.命题“任意两个等边三角形都相似”的否定为__________________. 答案:存在两个等边三角形,它们不相似
1.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定.
2.p 或q 的否定易误写成“綈p 或綈q ”;p 且q 的否定易误写成“綈p 且綈q ”.
[小题纠偏]
1.命题p :?x ∈R ,sin x <1;命题q :?x 0∈R ,cos x 0≤-1,则下列结论是真命题的是( )
A .p ∧q
B .綈p ∧q
C .p ∨綈q
D .綈p ∧綈q
解析:选B p 是假命题,q 是真命题,所以綈p ∧q 为真命题. 2.命题“若ab =0,则a =0或b =0”,其否定为________________. 答案:若ab =0,则a ≠0且b ≠0
考点一 全称命题与特称命题的真假判断(基础送分型考点——自主练透)
[题组练透]
1.下列命题中是假命题的是( ) A .?x ∈????0,π
2,x >sin x B .?x 0∈R ,sin x 0+cos x 0=2 C .?x ∈R,3x >0 D .?x 0∈R ,lg x 0=0
解析:选B 因为对?x ∈R ,sin x +cos x =2sin ???
?x +π
4≤2,所以“?x 0∈R ,sin x 0
+cos x0=2”为假命题.
2.设非空集合A,B满足A?B,则以下表述正确的是()
A.?x0∈A,x0∈B B.?x∈A,x∈B
C.?x0∈B,x0?A D.?x∈B,x∈A
解析:选B根据集合的关系以及全称、特称命题的含义可得B正确.
[谨记通法]
全称命题与特称命题真假的判断方法
不管是全称命题,还是特称命题,若其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真假.
考点二含有一个量词的命题的否定(基础送分型考点——自主练透)
[题组练透]
1.(易错题)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为()
A.对任意x∈R,都有x2<0
B.不存在x∈R,使得x2<0
C.存在x0∈R,使得x20≥0
D.存在x0∈R,使得x20<0
解析:选D全称命题的否定是特称命题.“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为“存在x0∈R,使得x20<0”.
2.写出下列命题的否定并判断其真假:
(1)p:不论m取何实数值,方程x2+mx-1=0必有实数根;
(2)p:有的三角形的三条边相等;
(3)p:菱形的对角线互相垂直;
(4)p:?x0∈N,x20-2x0+1≤0.
解:(1)綈p:存在一个实数m0,使方程x2+m0x-1=0没有实数根.
因为该方程的判别式Δ=m20+4>0恒成立,
故綈p为假命题.
(2)綈p:所有的三角形的三条边不全相等.
显然綈p为假命题.
(3)綈p:有的菱形的对角线不垂直.
显然綈p为假命题.
(4)綈p:?x∈N,x2-2x+1>0.
显然当x=1时,x2-2x+1>0不成立,
故綈p是假命题.
[谨记通法]
对全(特)称命题进行否定的方法
(1)找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词.
(2)对原命题的结论进行否定.如“题组练透”第1题易错.
考点三含有逻辑联结词命题真假的判断(重点保分型考点——师生共研)
[典例引领]
已知命题p:?x∈R,x2>0,命题q:?α,β∈R,使tan (α+β)=tan α+tan β,则下列命题为真命题的是()
A.p∧q B.p∨綈q
C.綈p∧q D.p∧綈q
解析:选C因为?x∈R,x2≥0,所以命题p是假命题.因为当α=-β时,tan(α+β)=tan α+tan β,所以命题q是真命题,所以p∧q是假命题,p∨綈q是假命题,綈p∧q 是真命题,p∧綈q是假命题.
[由题悟法]
判断含有逻辑联结词命题真假的2个步骤
(1)先判断简单命题p,q的真假.
(2)再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假.
[即时应用]
1.若命题p:函数y=x2-2x的单调递增区间是[1,+∞),命题q:函数y=x-1
x的单
调递增区间是[1,+∞),则()
A.p∧q是真命题B.p∨q是假命题
C.綈p是真命题D.綈q是真命题
解析:选D因为函数y=x2-2x的单调递增区间是[1,+∞),所以p是真命题;因
为函数y=x-1
x的单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞),所以q是假命题.所以p∧q为假
命题,p∨q为真命题,綈p为假命题,綈q为真命题.2.“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的________条件.
解析:若命题“p∨q”为真命题,则p,q中至少有一个为真命题.
若命题“p∧q”为真命题,则p,q都为真命题,因此“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的必要不充分条件.
答案:必要不充分
考点四利用复合命题的真假求参数范围(题点多变型考点——纵引横联)
[典型母题]
根据命题真假求参数的3步骤
(1)先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况);
(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围;
(3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.
[越变越明]
[变式1]母题条件不变,若p∧q为真,则a的取值范围为________.
解析:由p∧q为真知p,q都为真.
∴a的取值范围为????
1
2,1.
答案:????
1
2,1
[变式2]在母题条件下,若命题q∨(p∧q)真、綈p真,求实数a的取值范围.
解:由命题q∨(p∧q)真、綈p真知p假,q真.
p假,则a≤0或a≥1;q真,则a>
1
2.
∴实数a的取值范围为[)
1,+∞.
解决本题应由q∨(p∧q)真、綈p真先判断出p假,q真,再借助集合的交、并运算法则求解.
[变式3]已知a>0,且a≠1,命题p:函数y=log a
命题q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点.若“p∨q”为假,则a的取值范围为()
A.????
1,
5
2 B.?
?
?
?
-∞,
1
2∪?
?
?
?
1,
5
2
C.????
1
2,
5
2 D.?
?
?
?
1
2,1∪?
?
?
?
5
2,+∞
解析:选A当01时,函数y=log a(x+1)在(0,+∞)内不是单调递减的.若p为假,则a>1.曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点等价于(2a-3)2-4>0,即a<
1
2或a>
5
2.若q为假,则a∈?
?
?
?
1
2,
5
2.若使“p ∨q”为假,则a∈(1,+∞)∩????
1
2,
5
2,即a∈?
?
?
?
1,
5
2.
本题的巧妙之处就是将“函数”“曲线”与“命题的真假”三者综合交汇考查.看似较难,但只要将命题p,命题q分别利用函数、曲线的知识分而破之,问题便迎刃而解.
一抓基础,多练小题做到眼疾手快
1.下列命题中是全称命题并且是真命题的是()
A.π是无理数
B.若2x为偶数,则任意x∈N
[破译玄机]
[破译玄机]
C.若对任意x∈R,则x2+2x+1>0
D.所有菱形的四条边都相等
解析:选D对于A:“π是无理数”不是全称命题.
对于B:偶数包括正偶数、负偶数和0,所以“2x为偶数,则任意x∈N”为假命题.对于C:“若对任意x∈R,则x2+2x+1>0”是全称命题,但由于当x=-1时,x2+2x+1=0,即此命题为假命题.
对于D:根据菱形的定义,知“所有菱形的四条边都相等”是全称命题,且是真命题.2.命题“?x0∈R,x20-2x0+1<0”的否定是()
A.?x0∈R,x20-2x0+1≥0
B.?x0∈R,x20-2x0+1>0
C.?x∈R,x2-2x+1≥0
D.?x∈R,x2-2x+1<0
解析:选C原命题是特称命题,“?”的否定是“?”,“<”的否定是“≥”,因此该命题的否定是“?x∈R,x2-2x+1≥0”.
3.已知命题p:对任意x∈R,总有|x|≥0;
q:x=1是方程x+2=0的根.
则下列命题为真命题的是()
A.p∧綈q B.綈p∧q
C.綈p∧綈q D.p∧q
解析:选A由题意知命题p是真命题,命题q是假命题,故綈p是假命题,綈q是真命题,由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p∧綈q是真命题.
4.已知命题p:“x>3”是“x2>9”的充要条件,命题q:“a2>b2”是“a>b”的充要条件,则() A.p∨q为真B.p∧q为真
C.p真q假D.p∨q为假
解析:选D由x>3能够得出x2>9,反之不成立,故命题p是假命题;由a2>b2可得|a|>|b|,但a不一定大于b,反之也不一定成立,故命题q是假命题.所以p∨q为假.5.已知命题p,q,“綈p为真”是“p∧q为假”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:选A因为綈p为真,所以p为假,那么p∧q为假,所以“綈p为真”是“p ∧q为假”的充分条件;
反过来,若“p∧q为假”,则“p真q假”或“p假q真”或“p假q假”,所以由“p
∧q 为假”不能推出綈p 为真.
综上可知,“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的充分不必要条件. 二保高考,全练题型做到高考达标
1.已知命题p :?x 0∈R ,sin x 0<1
2x 0,则綈p 为( )
A .?x 0∈R ,sin x 0=1
2x 0
B .?x ∈R ,sin x <1
2x
C .?x 0∈R ,sin x 0≥1
2
x 0
D .?x ∈R ,sin x ≥1
2
x
解析:选D 原命题为特称命题,故其否定为全称命题,即綈p :?x ∈R ,sin x ≥1
2x .
2.命题p :若sin x >sin y ,则x >y ;命题q :x 2+y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( )
A .p 或q
B .p 且q
C .q
D .綈p
解析:选B 取x =π3,y =5π
6,可知命题p 不正确;由(x -y )2≥0恒成立,可知命题q
正确,故綈p 为真命题,p 或q 是真命题,p 且q 是假命题.
3.已知命题p :?x 0∈N ,x 30 0;命题q :?a ∈(0,1)∪(1,+∞),函数f (x )=log a (x - 1)的图象过点(2,0),则( ) A .p 假q 真 B .p 真q 假 C .p 假q 假 D .p 真q 真 解析:选A 由x 30 数,∴命题p 为假命题;∵对任意的a ∈(0,1)∪(1,+∞),均有f (2)=log a 1=0,∴命题q 为真命题. 4.下列说法错误的是( ) A .命题“若x 2-5x +6=0,则x =2”的逆否命题是“若x ≠2,则x 2-5x +6≠0” B .若命题p :存在x 0∈R ,x 20+x 0+1<0,则綈p :对任意x ∈R ,x 2+x +1≥0 C .若x ,y ∈R ,则“x =y ”是“xy ≥????x +y 22”的充要条件 D .已知命题p 和q ,若“p 或q ”为假命题,则命题p 与q 中必一真一假 解析:选D 由原命题与逆否命题的关系知A 正确;由特称命题的否定知B 正确;由xy ≥????x +y 22 ?4xy ≥(x +y )2?4xy ≥x 2+y 2+2xy ?(x -y )2≤0?x =y 知C 正确;对于D ,命题 “p 或q ”为假命题,则命题p 与q 均为假命题,所以D 不正确. 5.命题p :?x ∈R ,ax 2+ax +1≥0,若綈p 是真命题,则实数a 的取值范围是( ) A .(0,4] B .[0,4] C .(-∞,0]∪[4,+∞) D .(-∞,0)∪(4,+∞) 解析:选D 因为命题p :?x ∈R ,ax 2+ax +1≥0, 所以命题綈p :?x 0∈R ,ax 20+ax 0+1<0, 则a <0或? ???? a >0,Δ=a 2-4a >0,解得a <0或a >4. 6.命题p 的否定是“对所有正数x ,x >x +1”,则命题p 可写为________________________. 解析:因为p 是綈p 的否定,所以只需将全称命题变为特称命题,再对结论否定即可. 答案:?x 0∈(0,+∞),x 0≤x 0+1 7.若命题“?x ∈R ,ax 2-ax -2≤0”是真命题,则实数a 的取值范围是________. 解析:当a =0时,不等式显然成立; 当a ≠0时,由题意知????? a <0,Δ=a 2+8a ≤0, 得-8≤a <0. 综上,-8≤a ≤0. 答案:[-8,0] 8.已知命题p :?x ∈[0,1],a ≥e x ,命题q :?x 0∈R ,x 20+4x 0+a =0,若命题“p ∧q ”是真命题,则实数a 的取值范围是________. 解析:命题“p ∧q ”是真命题,则p 和q 均为真命题;当p 是真命题时,a ≥(e x )max =e ;当q 为真命题时,Δ=16-4a ≥0,a ≤4;所以a ∈[e,4]. 答案:[e,4] 9.下列结论: ①若命题p :?x 0∈R ,tan x 0=2;命题q :?x ∈R ,x 2-x +1 2>0.则命题“p ∧(綈q )” 是假命题; ②已知直线l 1:ax +3y -1=0,l 2:x +by +1=0,则l 1⊥l 2的充要条件是a b =-3; ③“设a ,b ∈R ,若ab ≥2,则a 2+b 2>4”的否命题为:“设a ,b ∈R ,若ab <2,则a 2+b 2≤4”. 其中正确结论的序号为________.(把你认为正确结论的序号都填上) 解析:在①中,命题p 是真命题,命题q 也是真命题,故“p ∧(綈q )”是假命题是正确的.在②中,由l 1⊥l 2,得a +3b =0,所以②不正确.在③中“设a ,b ∈R ,若ab ≥2,则a 2+b 2>4”的否命题为:“设a ,b ∈R ,若ab <2,则a 2+b 2≤4”正确. 答案:①③ 10.已知命题p :“存在a >0,使函数f (x )=ax 2-4x 在(-∞,2]上单调递减”,命题q :“存在a ∈R ,使?x ∈R,16x 2-16(a -1)x +1≠0”.若命题“p ∧q ”为真命题,求实数a 的取值范围. 解:若p 为真,则对称轴x =--42a =2a 在区间(-∞,2]的右侧,即2 a ≥2,∴0 若q 为真,则方程16x 2-16(a -1)x +1=0无实数根. ∴Δ=[16(a -1)]2-4×16<0,∴12 2 . ∵命题“p ∧q ”为真命题,∴命题p ,q 都为真, ∴?????