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福建师大附中2013-2014学年高二上学期期末考试数学理试题

福建师大附中2013—2014学年度上学期期末考试

高二数学理试题

本试卷共4页．满分150分，考试时间120分钟．

注意事项：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.

第I 卷共60分

一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求.

1．抛物线x y 2

的焦点到准线的距离为（ ***** ） A. 18 B. 14 C. 1

2 D. 1

2．已知()()0,3,0,321F F -，动点P 满足：621=+PF PF ，则动点P 的轨迹为（ ***** ）

A.椭圆

B. 抛物线

C. 线段

D. 双曲线

3．命题“若a >-3，则a >-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ***** ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4．已知向量)0,1,1(=，)2,0,1(-=，且k +与-2互相垂直，则k 的值是（ ***** ）

A ．1

B ．

51 C ．53 D ．5

5．下列有关命题的说法正确的是（ ***** ）

A ．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若2

1x =，则1x ≠”．

B ．“1x =-”是“2

560x x --=”的必要不充分条件．

C ．命题“x R ?∈，使得2

10x x ++<”的否定是：“x R ?∈，均有2

10x x ++<”． D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题。

6．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么异面直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ***** ）

A ．5

- B ．52 C ．1010- D ．1010

7．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 中

点，若PA a = ，PB b = ，PC c = ，则BE =

（ ***** ） A.111222a b c -+ B.111222a b c -- C.131222a b c -+ D.113222

a b c -+

8．设21,F F 为双曲线14

=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且02190=∠PF F ，则21PF F ?的面积是（ ***** ）

A ．1

B ．

C ．2

D ．5 9．已知双曲线22

221x y a b

-=的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率

为（***** ）

A. 5

C. D.

10．如图，在棱长为3的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， M 、N 分别是棱A 1B 1、A 1D 1的中点，

则点B 到平面AMN 的距离是（ ***** ）

A ．29

B ．3

C ．3

D ．2

11．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正

方形，若01160A AB A AD ∠=∠=，且13A A =，则1AC 的长为（ ***** ）

A B ．

D 12．由半椭圆122

=+b

y a x （x ≥0）与半椭圆122

22=+c x b y （x ≤0）合成的曲线称作“果圆”，如图所

示，其中222

a b c =+，a >0b c >>．由右椭圆12222=+b

y a x （0x ≥）的焦点0F 和左椭圆1

2222=+c x b y （0x ≤）的焦点1F ，2F 确定的012F F F ?叫做果圆的焦点三角形，若果圆的焦点三角形为锐角三角形，

则右椭圆

2=+

b y a x （0x ≥）的离心率的取值范围为（ ***** ）

A ．)1,

31( B ．)1,32( C ．)1,33( D ．)3

3,0(

第Ⅱ卷共90分

二、填空题：本大题有5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答卷的相应位置.

13．椭圆14

2=+

y m x 的焦距为2，则m 的值等于 ******** . 14．已知点P 是圆F 14

)3(:2

2=++y x 上任意一点，点F 2与点F 1关于原点对称. 线段PF 2的中垂线与PF 1交于M 点,则点M 的轨迹C 的方程为 ******** .

15．设P 是曲线24=y x 上的一个动点，则点P 到点(1,2)-A 的距离与点P 到1=-x 的距离之和的

最小值为 ******** .

16．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面2米时，测得拱桥内水面宽为12米，当水面升高1米后，

则拱桥内水面的宽度为 ******** 米.

17．已知动点(,)P x y 在椭圆

12516

x y +=上,若A 点坐标为(3,0),||1AM = ,且0PM AM ?= 则||PM 的最小值是 ******** .

三、解答题：本大题有5题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18．（本小题满分12分）已知命题p ：方程1122

2=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲

线1522=-m

x y 的离心率)2,1(∈e ，若 “p q 或”为真命题，“p q 且”为假命题，求实数m 的取值范围．

19．（本小题满分15分）已知直三棱柱111C B A ABC -中，△ABC 为等腰直角三角形，

∠BAC ＝90°，且AB ＝1AA ，D 、E 、F 分别为A B 1、C C 1、BC 的中点． (I)求证：DE ∥平面ABC ； (II)求证：F B 1⊥平面AEF ；

(III)求二面角F AE B --1的余弦值．

20．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xoy 中，F 是抛物线)0(2:2

>=p px y C 的焦点，圆Q 过O 点与F 点，且圆心Q 到抛物线C 的准线的距离为2

. （1）求抛物线C 的方程；

（2）过F 作倾斜角为060的直线L ，交曲线C 于A ，B 两点，求OAB ?的面积；

（3）已知抛物线上一点)4,4(M ，过点M 作抛物线的两条弦ME MD 和，且ME MD ⊥，判断：直

线DE 是否过定点？说明理由。

21．(本小题满分12分)

如图，在三棱锥P ABC -中，90PAB PAC ACB ∠=∠=∠=

．（Ⅰ）求证：平面PBC ⊥平面PAC （Ⅱ）若1PA =，=2AB ，BC=AC ，在线段AC 上是否存在一点D ，使得直线BD 与平面PBC 所成角为30 ？若存在，求出CD 的长；若不存在，说明理由。

22.(本小题满分14分)

已知椭圆C:),1(1222

>=+a y a

(1)若椭圆C 的上顶点为A,右焦点为F,直线AF 与圆M:3)1()3(22=-+-y x 相切,求椭圆C 的方程.

(2)若ABC Rt ?以A(0,1)为直角顶点,边AB,BC 与椭圆交于两点B,C,求ABC Rt ?面积的最大

值.

参考答案

一、选择题：BCBDD BCACD AC

二、填空题： 13．5或3 14：12

=-y x 15．22

16． 17

三、解答题：本大题有5题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18．（本小题满分12分）

解：p :0

---------3分 q :0< m <15 ---------6分

由“p q 或”为真命题，“p q 且”为假命题，知,p q 为一真一假。------9分 p 真q 假，则空集；--------10分 p 假q 真，则153

1<≤m ---------11分故m 的取值范围为1531<≤m ---------12分

19．（本小题满分15分）

解：方法1：如图建立空间直角坐标系O —xyz ，令AB ＝AA 1＝4，

则A （0，0，0），E （0，4，2），F （2，2，0），B （4，0，0），

B 1（4，0，4），D （2，0，2）， …………（2分）

（I ）=→

DE （2-，4，0），面ABC 的法向量为=→1OA （0，0，4），

∵→DE 01=→

?OA ，?DE 平面ABC ，

∴DE ∥平面ABC ． …………（5分）（II ）)222()422(1--=→

--=→，，，，，EF F B

0)2()4()2(22)2(1=--+-+-=→→×××·EF F B 00)4(222)2(1=-++-=→→×××·AF F B …………（8分）

∴AF F B AF F B ⊥∴，⊥11→→

∵AEF F B F FE AF 平面⊥∴，1= …………（10分）

（III ）平面AEF 的法向量为)422(1--=→

，，F B ，设平面 B 1AE 的法向量为

n x y z n AE n B A →=→→=→→=??

?()，，，∴··0

1 即???=+=+002z x z y …………（12分）令x ＝2，则212(12-=→=-=，，∴，，n y z ∴6

|||cos 111=

=→

→→

→=>→→<×··，F B n F B n F B n ∴二面角B 1—AE —F

…………（15分） 20．（本小题满分12分）

20、（1）)0,2

F ，上的垂直平分线在线段圆心4p x OF Q =∴

又2p x -=准线方程为： 2

)2(4=--∴p p ，得2=p x y C 4:2=∴抛物线

（2）设),(),,(2211y x B y x A ，由?????-==)

1(342

x y x

y 得：043342=--y y

4,33

2121-==+∴y y y y ||||2112y y OF S -??=

∴?212214)(121y y y y -+??=1631621+?==33

（3）设直线??

?=+=x

y t

my x DE 4:2

0442=--?t my y ，则016162>+=?t m （*）

设),(),,(2211y x E y x D ，则t y y m y y 4,42121-==+

)

4,4()4,4(02211--?--=?=y x y x

)(416)(421212121++-+++-=y y y y x x x x 16)(416)44(44421212

2212221++-+++-?=y y y y y

y y y 32)(43)(16)(2121221221++-++-=y y y y y y y y

m t m t 1632121622-+--=

即m m t t 161632122

+=+- 得：2

)6(-t 2

)12(4+=m

)12(26+±=-∴m t 即：84+=m t 或44+-=m t

带入（*）式检验均满足0>?

∴直线DE 的方程为：8)4(84++=++=y m m my x 或：4)4(+-=y m x

∴直线过定点（8，-4）.（定点(4,4)不满足题意，故舍去） 21．(本小题满分12分)

解：（Ⅰ）∵90PAB PAC ∠=∠=

，∴PA AB ⊥，PA AC ⊥．

∵AB AC A = ，∴PA ⊥平面ABC ------------------------1分 ∵BC ?平面ABC ，∴BC PA ⊥．------------------------2分

∵90ACB ∠=

，∴BC CA ⊥．∵PA CA A = ，∴BC ⊥平面PAC ．------------3分

∵BC ?平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PAC ．------------4分

（Ⅱ）由已知可知，BC CA ⊥，=2AB

，此时BC AC ==------------5分

以C 为原点，建立如图的空间直角坐标系C xyz -

，则CB CP ==

，设(,,)n x y z =

是平面PBC 的法向量，

则00

CB n y CP n z ??==????=+=??

，取1x =

，得(1,0,n =

，------------8分

设线段AC 上的点D 的坐标为(,0,0)D t

，则(,BD t t =≤

，

∵||sin30||||n BD n BD ?==?

，解得t =， ------------11分

∴在线段AC 上不存在点D ，使得直线BD 与平面PBC 所成角为30 。------------12分

22．（本小题满分14分）

(2)不妨设AB 的方程()01>+=k kx y ，则AC 的方程为11

=x k

y 。由?????=++=1

22y a

x kx y 得：02)1(2

222=++kx a x k a 22212k a k a x B +-=∴ ---------7分由???????=++-=1

1122

2y a x x k y 得：02)(2222=-+kx a x k a 2

222k a k a x C += ---------8分

从而有AB AC == --------10分

于是 2

2222

224211(1)2212(1)()()1ABC k k k k

AB AC a a a k a k a k a k

==+++++。---- 11分

令1

2t k k

=+≥，有44

2222

222,(1)(1)

ABC a t

a S

a a t a a t t

?==-+-+

----- 12分因为222

(1)2(1),a a t a a t

-+≥- 21a t a -=时等号成立。

时即当21,21

,22+≥≥-∴≥a a a t ,因此当23max 21,(),1

ABC a a S a a ?-=-t= ---- 13分

211+<<∴a 当时，2

max 2)1(4)(2,21a a S t a a ABC +=

=<-?时，所以-------- 14分

高二数学上学期期末考试试题理(A卷)

延安市实验中学大学区校际联盟2016—2017学年度第一学期期末考试试题高二数学（理）（A ）说明：卷面考查分（3分）由教学处单独组织考评，计入总分。考试时间：100分钟满分：100分第Ⅰ卷（共40分）一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．过点P (－2,3)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－92x 或x 2＝43y B ．y 2＝92x 或x 2＝43 y C ．y 2＝92x 或x 2＝－43y D ．y 2＝－92x 或x 2＝－43 y 3．设命题p ：?x ∈R ，x 2＋1>0，则﹁p 为( ) A ．?x 0∈R ，x 20＋1>0 B ．?x 0∈R ，x 2 0＋1≤0 C ．?x 0∈R ，x 20＋1<0 D ．?x ∈R ，x 2＋1≤0 4．命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0为常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5．不等式x 2－x －6x －1 >0的解集为( ) A.{}x |x <－2或x >3 B.{}x |x <－2或13 D.{}x |－2

高二数学期末试卷(理科)

高二数学期末考试卷（理科）一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分） 1、与向量(1,3,2)a =-r 平行的一个向量的坐标是（） A ．（ 3 1 ，1，1） B ．（－1，－3，2） C ．（－21，2 3 ，－1） D ．（2，－3，－22） 2、设命题p ：方程2310x x +-=的两根符号不同；命题q ：方程2310x x +-=的两根之和为3，判断命题“p ?”、“q ?”、“p q ∧”、“p q ∨”为假命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3、“a ＞b ＞0”是“ab ＜2 2 2b a +”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4、椭圆14 2 2=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于（）. A ．5 B ．8 C ．5或3 D ．5或8 5、已知空间四边形OABC 中，===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则=（） A ． 21 3221+- B ．21 2132++- C ．2 1 2121-+ D ．2 13232-+ 6、抛物线2 y 4x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为（） A ． 1716 B ．1516 C ．7 8 D ．0 7、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x ＋2y －3＝0，则该双曲线的离心率为（） A.5或 54 或 C. D.5或5 3 8、若不等式|x －1|