一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈)
【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】
作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】
解:作BF CE ⊥于F ,
在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=,
3.85CF BC cos BCF ?∠≈=,
在Rt ADE ?E 中,3 1.73tan 3AB DE ADE =
==≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣=
由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m .
【点睛】
考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
2.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG =FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为_______分米;当OB从水平状态旋转到OB′(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处,则B′E′﹣BE为_________分米.
【答案】553
【解析】
【分析】
如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM,再分别求出BE,B′E′即可.
【详解】
解:如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.
∵AM⊥CD,
∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°,
∴四边形OQMP是矩形,
∴QM=OP,
∵OC=OD=10,∠COD=60°,
∴△COD是等边三角形,
∵OP⊥CD,
∠COD=30°,
∴∠COP=1
2
∴QM=OP=OC?cos30°=3
∵∠AOC=∠QOP=90°,
∴∠AOQ=∠COP=30°,
∴AQ=1
OA=5(分米),
2
∴AM=AQ+MQ=5+3
∵OB ∥CD ,
∴∠BOD =∠ODC =60°
在Rt △OFK 中,KO =OF?cos60°=2(分米),FK =OF?sin60°=23(分米), 在Rt △PKE 中,EK =22EF FK -=26(分米), ∴BE =10?2?26=(8?26)(分米),
在Rt △OFJ 中,OJ =OF?cos60°=2(分米),FJ =23(分米),
在Rt △FJE′中,E′J =2263-(2)
=26, ∴B′E′=10?(26?2)=12?26, ∴B′E′?BE =4.
故答案为:5+53,4.
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.
3.已知在平面直角坐标系中,点()()()3,0,3,0,3,8A B C --,以线段BC 为直径作圆,圆心为E ,直线AC 交E 于点D ,连接OD . (1)求证:直线OD 是
E 的切线;
(2)点F 为x 轴上任意一动点,连接CF 交E 于点G ,连接BG :
①当1
an 7
t ACF ∠=时,求所有F 点的坐标 (直接写出); ②求
BG
CF
的最大值. 【答案】(1)见解析;(2)①143,031F ??
???
,2(5,0)F ;② BG CF 的最大值为12.
【解析】 【分析】
(1)连接DE ,证明∠EDO=90°即可;
(2)①分“F 位于AB 上”和“F 位于BA 的延长线上”结合相似三角形进行求解即可;
②作GM BC ⊥于点M ,证明1~ANF ABC ??,得1
2
BG CF ≤,从而得解. 【详解】
(1)证明:连接DE ,则:
∵BC 为直径 ∴90BDC ∠=? ∴90BDA ∠=? ∵OA OB = ∴OD OB OA == ∴OBD ODB ∠=∠ ∵
EB ED =
∴EBD EDB ∠=∠
∴EBD OBD EDB ODB ∠+∠=∠+∠ 即:EBO EDO ∠=∠ ∵CB x ⊥轴 ∴90EBO ∠=? ∴90EDO ∠=? ∴直线OD 为
E 的切线.
(2)①如图1,当F 位于AB 上时: ∵1~ANF ABC ??
∴
11
NF AF AN AB BC AC
== ∴设3AN x =,则114,5NF x AF x ==
∴103CN CA AN x =-=- ∴141tan 1037F N x ACF CN x ∠===-,解得:10
31
x = ∴150531
AF x ==
1504333131
OF =-
= 即143,031F ??
???
如图2,当F 位于BA 的延长线上时: ∵2~AMF ABC ??
∴设3AM x =,则224,5MF x AF x == ∴103CM CA AM x =+=+ ∴241
tan 1037
F M x ACF CM x ∠===+ 解得:25
x =
∴252AF x ==
2325OF =+=
即2(5,0)F
②如图,作GM BC ⊥于点M , ∵BC 是直径
∴90CGB CBF ∠=∠=? ∴~CBF CGB ??
∴
8BG MG MG
CF BC == ∵MG ≤半径4=
∴
41
882BG MG CF =≤= ∴BG CF
的最大值为12.
【点睛】
本题考查了圆的综合题:熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形;相似三角形的判定和性质和相似比计算线段的长;理解坐标与图形性质;会运用分类讨论的思想解决数学问题.
4.如图(1),在平面直角坐标系中,点A (0,﹣6),点B (6,0).Rt △CDE 中,∠CDE=90°,CD=4,DE=4
,直角边CD 在y 轴上,且点C 与点A 重合.Rt △CDE 沿y 轴
正方向平行移动,当点C 运动到点O 时停止运动.解答下列问题:
(1)如图(2),当Rt △CDE 运动到点D 与点O 重合时,设CE 交AB 于点M ,求∠BME 的度数.
(2)如图(3),在Rt △CDE 的运动过程中,当CE 经过点B 时,求BC 的长.
(3)在Rt △CDE 的运动过程中,设AC=h ,△OAB 与△CDE 的重叠部分的面积为S ,请写出S 与h 之间的函数关系式,并求出面积S 的最大值.
【答案】(1)∠BME=15°; (2BC=4
;
(3)h≤2时,S=﹣h2+4h+8,
当h≥2时,S=18﹣3h.
【解析】
试题分析:(1)如图2,由对顶角的定义知,∠BME=∠CMA,要求∠BME的度数,需先求出∠CMA的度数.根据三角形外角的定理进行解答即可;
(2)如图3,由已知可知∠OBC=∠DEC=30°,又OB=6,通过解直角△BOC就可求出BC的长度;
(3)需要分类讨论:①h≤2时,如图4,作MN⊥y轴交y轴于点N,作MF⊥DE交DE于点F,S=S△EDC﹣S△EFM;②当h≥2时,如图3,S=S△OBC.
试题解析:解:(1)如图2,
∵在平面直角坐标系中,点A(0,﹣6),点B(6,0).
∴OA=OB,
∴∠OAB=45°,
∵∠CDE=90°,CD=4,DE=4,
∴∠OCE=60°,
∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60°﹣45°=15°,
∴∠BME=∠CMA=15°;
如图3,
∵∠CDE=90°,CD=4,DE=4,
∴∠OBC=∠DEC=30°,
∵OB=6,
∴BC=4;
(3)①h≤2时,如图4,作MN⊥y轴交y轴于点N,作MF⊥DE交DE于点F,
∵CD=4,DE=4,AC=h,AN=NM,
∴CN=4﹣FM,AN=MN=4+h﹣FM,
∵△CMN∽△CED,
∴,
∴,
解得FM=4﹣,
∴S=S△EDC﹣S△EFM=×4×4﹣(44﹣h)×(4﹣)=﹣h2+4h+8,②如图3,当h≥2时,
S=S△OBC=OC×OB=(6﹣h)×6=18﹣3h.
考点:1、三角形的外角定理;2、相似;3、解直角三角形
5.某条道路上通行车辆限速60千米/时,道路的AB段为监测区,监测点P到AB的距离PH为50米(如图).已知点P在点A的北偏东45°方向上,且在点B的北偏西60°方向上,点B在点A的北偏东75°方向上,那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内,可认定为超速?(参考数据:3≈1.7,2≈1.4).
【答案】车辆通过AB段的时间在8.1秒以内,可认定为超速
【解析】
分析:根据点到直线的距离的性质,构造直角三角形,然后利用解直角三角形的应用,解直角三角形即可.
详解:如图,由题意知∠CAB=75°,∠CAP=45°,∠PBD=60°,
∴∠PAH=∠CAB–∠CAP=30°,
∵∠PHA=∠PHB=90°,PH=50,∴AH=
tan PH PAH
∠
=3=503,
∵AC∥BD,∴∠ABD=180°–∠CAB=105°,∴∠PBH=∠ABD–∠PBD=45°,则PH=BH=50,∴AB=AH+BH=503+50,
∵60千米/时=50
3米/秒,∴时间
50350
3
+
=3+33≈8.1(秒),
即车辆通过AB段的时间在8.1秒以内,可认定为超速.
点睛:该题考查学生通过构建直角三角形,利用某个度数的三角函数值求出具体边长,即实际路程,并进行判断相关的量。
6.如图,在△ABC中,∠A=90°,∠ABC=30°,AC=3,动点D从点A出发,在AB边上以每秒1个单位的速度向点B运动,连结CD,作点A关于直线CD的对称点E,设点D运动时间为t(s).
(1)若△BDE是以BE为底的等腰三角形,求t的值;
(2)若△BDE为直角三角形,求t的值;
(3)当S△BCE≤9
2
时,所有满足条件的t的取值范围(所有数据请保留准确值,参考
数据:tan15°=23
【答案】(133
;(23秒或3秒;(3)6﹣3
【解析】
【分析】
(1)如图1,先由勾股定理求得AB的长,根据点A、E关于直线CD的对称,得CD垂直平分AE,根据线段垂直平分线的性质得:AD=DE,所以AD=DE=BD,由3,可得t
的值;
(2)分两种情况:
①当∠DEB=90°时,如图2,连接AE,根据t的值;
②当∠EDB=90°时,如图3,根据△AGC≌△EGD,得AC=DE,由AC∥ED,得四边形CAED 是平行四边形,所以AD=CE=3,即t=3;
(3)△BCE中,由对称得:AC=CE=3,所以点D在运动过程中,CE的长不变,所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时,对应高的大小变化,
①当△BCE在BC的下方时,
②当△BCE在BC的上方时,
分别计算当高为3时对应的t的值即可得结论.
【详解】
解:(1)如图1,连接AE,
由题意得:AD=t,
∵∠CAB=90°,∠CBA=30°,
∴BC=2AC=6,
∴
∵点A、E关于直线CD的对称,
∴CD垂直平分AE,
∴AD=DE,
∵△BDE是以BE为底的等腰三角形,
∴DE=BD,
∴AD=BD,
∴;
(2)△BDE为直角三角形时,分两种情况:
①当∠DEB=90°时,如图2,连接AE,
∵CD垂直平分AE,
∴AD=DE=t,
∵∠B=30°,
∴BD=2DE=2t,
∴
∴
②当∠EDB=90°时,如图3,
连接CE,
∵CD垂直平分AE,
∴CE=CA=3,
∵∠CAD=∠EDB=90°,
∴AC∥ED,
∴∠CAG=∠GED,
∵AG=EG,∠CGA=∠EGD,
∴△AGC≌△EGD,
∴AC=DE,
∵AC∥ED,
∴四边形CAED是平行四边形,
∴AD=CE=3,即t=3;
综上所述,△BDE为直角三角形时,t的值为3秒或3秒;
(3)△BCE中,由对称得:AC=CE=3,所以点D在运动过程中,CE的长不变,所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时,对应高的大小变化,
①当△BCE在BC的下方时,过B作BH⊥CE,交CE的延长线于H,如图4,当AC=BH=3时,
此时S△BCE=1
2
AE?BH=
1
2
×3×3=
9
2
,
易得△ACG≌△HBG,
∴CG=BG,
∴∠ABC=∠BCG=30°,
∴∠ACE=60°﹣30°=30°,
∵AC=CE,AD=DE,DC=DC,∴△ACD≌△ECD,
∴∠ACD=∠DCE=15°,
tan∠ACD=tan15°=t
3
=2﹣3,
∴t=6﹣33,
由图形可知:0<t<6﹣33时,△BCE的BH越来越小,则面积越来越小,②当△BCE在BC的上方时,如图3,CE=ED=3,且CE⊥ED,
此时S△BCE=1
2
CE?DE=
1
2
×3×3=
9
2
,此时t=3,
综上所述,当S△BCE≤9
2
时,t的取值范围是6﹣33≤t≤3.
【点睛】
本题考查三角形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形的面积问题、轴对称等知识,解题的关键是灵活运用所学知识,学会用分类讨论的思想思考问题,学会寻找特殊点解决问题,属于中考压轴题.
7.如图①,抛物线y =ax 2+bx+c 经过点A (﹣2,0)、B (4,0)、C (0,3)三点.
(1)试求抛物线的解析式;
(2)点P 是y 轴上的一个动点,连接PA ,试求5PA+4PC 的最小值;
(3)如图②,若直线l 经过点T (﹣4,0),Q 为直线l 上的动点,当以A 、B 、Q 为顶点所作的直角三角形有且仅有三个时,试求直线l 的解析式. 【答案】(1)233
384
y x x =-++;(2)5PA+4PC 的最小值为18;(3)直线l 的解析式为3
34
y x =
+或3
34
y x =--.
【解析】 【分析】
(1)设出交点式,代入C 点计算即可 (2)连接AC 、BC ,过点A 作AE ⊥BC 于点E ,过点P 作PD ⊥BC 于点D ,易证△CDP ∽△COB ,得到比例式PC PD BC OB =,得到PD=4
5
PC ,所以5PA+4PC =5(PA+
4
5
PC )=5(PA+PD ),当点A 、P 、D 在同一直线上时,5PA+4PC =5(PA+PD )=5AE 最小,利用等面积法求出AE=
18
5
,即最小值为18 (3)取AB 中点F ,以F 为圆心、FA 的长为半径画圆, 当∠BAQ =90°或∠ABQ =90°时,即AQ 或BQ 垂直x 轴,
所以只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ =90°或∠ABQ =90°,即∠AQB =90°时,只有一个满足条件的点Q ,∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时,满足∠AQB =90°的点Q 只有一个;此时,连接FQ ,过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ,利用cos ∠QFT 求出QG ,分出情况Q 在x 轴上方和x 轴下方时,分别代入直接l 得到解析式即可 【详解】
解:(1)∵抛物线与x 轴交点为A (﹣2,0)、B (4,0) ∴y =a (x+2)(x ﹣4) 把点C (0,3)代入得:﹣8a =3 ∴a =﹣
38
∴抛物线解析式为y =﹣
38(x+2)(x ﹣4)=﹣38x 2+34
x+3 (2)连接AC 、BC ,过点A 作AE ⊥BC 于点E ,过点P 作PD ⊥BC 于点D ∴∠CDP =∠COB =90° ∵∠DCP =∠OCB ∴△CDP ∽△COB ∴
PC PD
BC OB
= ∵B (4,0),C (0,3)
∴OB =4,OC =3,BC ∴PD =
45
PC ∴5PA+4PC =5(PA+
4
5
PC )=5(PA+PD ) ∴当点A 、P 、D 在同一直线上时,5PA+4PC =5(PA+PD )=5AE 最小 ∵A (﹣2,0),OC ⊥AB ,AE ⊥BC ∴S △ABC =12AB?OC =1
2
BC?AE ∴AE =
6318
55
AB OC BC ?== ∴5AE =18
∴5PA+4PC 的最小值为18.
(3)取AB 中点F ,以F 为圆心、FA 的长为半径画圆 当∠BAQ =90°或∠ABQ =90°时,即AQ 或BQ 垂直x 轴,
∴只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ =90°或∠ABQ =90° ∴∠AQB =90°时,只有一个满足条件的点Q
∵当Q 在⊙F 上运动时(不与A 、B 重合),∠AQB =90° ∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时,满足∠AQB =90°的点Q 只有一个 此时,连接FQ ,过点Q 作QG ⊥x 轴于点G
∴∠FQT =90°
∵F 为A (﹣2,0)、B (4,0)的中点 ∴F (1,0),FQ =FA =3 ∵T (﹣4,0) ∴TF =5,cos ∠QFT =
3
5
FQ TF = ∵Rt △FGQ 中,cos ∠QFT =
3
5
FG FQ =
∴FG =
35FQ =95
∴x Q =1﹣9455=-,QG =2
222
912FQ 355FG ??-=-= ???
①若点Q 在x 轴上方,则Q (412
55
-,) 设直线l 解析式为:y =kx+b
∴404125
5k b k b -+=???-+=?? 解得:343k b ?=?
?
?=? ∴直线l :3
34
y x =
+ ②若点Q 在x 轴下方,则Q (41255
--,
) ∴直线l :3
34
y x =-
- 综上所述,直线l 的解析式为3
34
y x =
+或3
34
y x =--
【点睛】
本题是二次函数与圆的综合题,同时涉及到三角函数、勾股定理等知识点,综合度比较高,需要很强的综合能力,第三问能够找到满足条件的Q点是关键,同时不要忘记需要分情况讨论
8.在△ABC中,∠B=45°,∠C=30°,点D是边BC上一点,连接AD,将线段AD绕点A 逆时针旋转90°,得到线段AE,连接DE.
(1)如图①,当点E落在边BA的延长线上时,∠EDC=度(直接填空);
(2)如图②,当点E落在边AC上时,求证:BD=1
2 EC;
(3)当AB=22,且点E到AC的距离等于3﹣1时,直接写出tan∠CAE的值.
【答案】(1)90;(2)详见解析;(3)
633 tan EAC
-
∠=
【解析】
【分析】
(1)利用三角形的外角的性质即可解决问题;
(2)如图2中,作PA⊥AB交BC于P,连接PE.只要证明△BAD≌△PAE(SAS),提出BD=PE,再证明EC=2PE即可;
(3)如图3,作EF⊥AC于F,延长FE交BC于H,作AG⊥BC于G,PA⊥AB交BC于P,连接PE.设PH=x,在Rt△EPH中,可得EP3,EH=2PH=2x,
由此FH=31,CF=33,由△BAD≌△PAE,得BD=EP3x,AE=AD,在Rt△ABG中, AG=GB=2,在Rt△AGC中,AC=2AG=4,故AE2=AD2=AF2+EF2,由勾股定理得AF=3tan∠EAF=23tan∠EAC=
6-33
.
11
【详解】
(1)如图1中,
∵∠EDC=∠B+∠BED,∠B=∠BED=45°,
∴∠EDC=90°,
故答案为90;
(2)如图2中,作PA⊥AB交BC于P,连接PE.
∵∠DAE=∠BAP=90°,
∴∠BAD=∠PAE,
∵∠B=45°,
∴∠B=∠APB=45°,
∴AB=AP,
∵AD=AE,
∴△BAD≌△PAE(SAS),
∴BD=PE,∠APE=∠B=45°,
∴∠EPD=∠EPC=90°,
∵∠C=30°,
∴EC=2PE=2BD;
(3)如图3,作EF⊥AC于F,延长FE交BC于H,作AG⊥BC于G,PA⊥AB交BC于P,连接PE.
设PH=x,在Rt△EPH中,∵∠EPH=90°,∠EHP=60°,
∴EP3,EH=2PH=2x,
∴FH=31,CF3FH=33
∵△BAD≌△PAE,
∴BD=EP3,AE=AD,
在Rt△ABG中,∵AB=2
∴AG=GB=2,
在Rt△AGC中,AC=2AG=4,
∵AE2=AD2=AF2+EF2,
∴22+(23)231)2+(4﹣3﹣32,整理得:9x2﹣12x=0,
解得x=4
3
(舍弃)或0
∴PH=0,此时E,P,H共点,∴AF=3
∴tan∠EAF=EF
AF 3
31
+
=23
根据对称性可知当点E在AC的上方时,同法可得tan∠EAC 6-33
.
【点睛】
本题属于几何变换综合题,考查了等腰直角三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.
9.如图,某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为63.4°,沿山坡向上走到P 处再测得该建筑物顶点A的仰角为53°.已知BC=90米,且B、C、D在同一条直线上,山坡坡度i=5:12.
(1)求此人所在位置点P的铅直高度.(结果精确到0.1米)
(2)求此人从所在位置点P走到建筑物底部B点的路程(结果精确到0.1米)(测倾器的高度忽
略不计,参考数据:tan53°≈4
3
,tan63.4°≈2)
【答案】(1)此人所在P的铅直高度约为14.3米;(2)从P到点B的路程约为127.1米【解析】
分析:(1)过P作PF⊥BD于F,作PE⊥AB于E,设PF=5x,在Rt△ABC中求出AB,用含x 的式子表示出AE,EP,由tan∠APE,求得x即可;(2)在Rt△CPF中,求出CP的长.
详解:过P作PF⊥BD于F,作PE⊥AB于E,
∵斜坡的坡度i=5:12,
设PF=5x,CF=12x,
∵四边形BFPE为矩形,
∴BF=PEPF=BE.
在RT△ABC中,BC=90,
tan∠ACB=AB BC
,
∴AB=tan63.4°×BC≈2×90=180,
∴AE=AB-BE=AB-PF=180-5x,EP=BC+CF≈90+120x.
在RT△AEP中,
tan∠APE=
18054
90123 AE x
EP x
-
≈
=
+
,
∴x=20
7
,
∴PF=5x=10014.3
7
≈.
答:此人所在P的铅直高度约为14.3米.
由(1)得CP=13x,
∴CP=13×20
7
≈37.1,BC+CP=90+37.1=127.1.
答:从P到点B的路程约为127.1米.
点睛:本题考查了解直角三角形的应用,关键是正确的画出与实际问题相符合的几何图形,找出图形中的相关线段或角的实际意义及所要解决的问题,构造直角三角形,用勾股定理或三角函数求相应的线段长.
10.如图,Rt△ABC,CA⊥BC,AC=4,在AB边上取一点D,使AD=BC,作AD的垂直平分线,交AC边于点F,交以AB为直径的⊙O于G,H,设BC=x.
(1)求证:四边形AGDH为菱形;
(2)若EF=y,求y关于x的函数关系式;
(3)连结OF,CG.
①若△AOF为等腰三角形,求⊙O的面积;
②若BC=3,则30CG+9=______.(直接写出答案).
【答案】(1)证明见解析;(2)y=1
8
x2(x>0);(3)①
16
3
π或8π或(17+2)
π;21.
【解析】
【分析】
(1)根据线段的垂直平分线的性质以及垂径定理证明AG=DG=DH=AH即可;
(2)只要证明△AEF∽△ACB,可得AE EF
AC BC
=解决问题;
(3)①分三种情形分别求解即可解决问题;
②只要证明△CFG∽△HFA,可得GF
AF
=
CG
AH
,求出相应的线段即可解决问题;
【详解】
(1)证明:∵GH垂直平分线段AD,∴HA=HD,GA=GD,
∵AB是直径,AB⊥GH,
∴EG=EH,
∴DG=DH,
∴AG=DG=DH=AH,
∴四边形AGDH是菱形.(2)解:∵AB是直径,∴∠ACB=90°,
∵AE⊥EF,
∴∠AEF=∠ACB=90°,∵∠EAF=∠CAB,
∴△AEF∽△ACB,
∴AE EF AC BC
=,
∴1
2
4
x y
x
=,
∴y=1
8
x2(x>0).
(3)①解:如图1中,连接DF.
∵GH垂直平分线段AD,
∴FA=FD,
∴当点D与O重合时,△AOF是等腰三角形,此时AB=2BC,∠CAB=30°,∴AB83,
∴⊙O的面积为16
3
π.
如图2中,当AF=AO时,