直线和圆
一.直线
1.斜率与倾斜角:tan k θ=,[0,)θπ∈ (1)[0,
)2
π
θ∈时,0k ≥;
(2)2
πθ=时,k 不存在;(3)(
,)2
π
θπ∈时,0k <
(4)当倾斜角从0?
增加到90?
时,斜率从0增加到+∞;
当倾斜角从90?
增加到180?
时,斜率从-∞增加到0 2.直线方程
(1)点斜式:)(00x x k y y -=- (2)斜截式:y kx b =+
(3)两点式:
1
21121x x x x y y y y --=--
(4)截距式:
1x y
a b
+= (5)一般式:0C =++By Ax 3.距离公式
(1)点111(,)P x y ,222(,)P x y 之间的距离:12PP =
(2)点
00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离:d =
(3)平行线间的距离:
10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离:d =
4.位置关系
(1)截距式:y kx b =+形式
重合:1212 k k b b == 相交:12k k ≠ 平行:1212 k k b b =≠ 垂直:121k k ?=- (2)一般式:0Ax By C ++=形式
重合:1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B = 平行:1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠
垂直:12120A A B B += 相交:1221A B A B ≠ 5.直线系
1112220A x B y C A x B y C λ++++=+()表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所
有直线方程(不含2l ) 二.圆 1.圆的方程
(1)标准形式:2
2
2
()()x a y b R -+-=(0R >)
(2)一般式:2
2
0x y Dx Ey F ++++=(22
40D E F +->)
(3)参数方程:00cos sin x x r y y r θ
θ
=+??
=+?(θ是参数)
【注】题目中出现动点求量时,通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决.
(4)以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是:()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--= 2.位置关系
(1)点00(,)P x y 和圆222
()()x a y b R -+-=的位置关系:
当22200()()x a y b R -+-<时,点00(,)P x y 在圆222
()()x a y b R -+-=部 当22200()()x a y b R -+-=时,点00(,)P x y 在圆222
()()x a y b R -+-=上 当22200()()x a y b R -+->时,点00(,)P x y 在圆222
()()x a y b R -+-=外
(2)直线0Ax By C ++=和圆222
()()x a y b R -+-=的位置关系: 判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++=
的距离d =R 的大小关系
当d R <时,直线和圆相交(有两个交点); 当d R =时,直线和圆相切(有且仅有一个交点); 当d R <时,直线和圆相离(无交点); 判断直线与圆的位置关系常见的方法
(1)几何法:利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系. (2)代数法:联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆可判断直线与圆相交.
3.圆和圆的位置关系
判断圆心距12d OO =与两圆半径之和12R R +,半径之差12R R -(12R R >)的大小关系 当12d R R >+时,两圆相离,有4条公切线; 当12d R R =+时,两圆外切,有3条公切线;
当1212R R d R R -<<+时,两圆相交,有2条公切线; 当12d R R =-时,两圆切,有1条公切线; 当120d R R ≤<-时,两圆含,没有公切线;
4.当两圆相交时,两圆相交直线方程等于两圆方程相减
5.弦长公式:l =
例1若圆x 2
+y 2
=1与直线y =kx +2没有公共点,则实数k 的取值围是________.
解析:由题意知2
1+k
2
>1,解得-3<k < 3. 答案:(-3, 3)
例2已知两圆C 1:x 2+y 2-2x +10y -24=0,C 2:x 2+y 2
+2x +2y -8=0,则两圆公共弦所在的直线方程是____________.
解析:两圆相减即得x -2y +4=0. 答案:x -2y +4=0
例3设直线x -my -1=0与圆(x -1)2+(y -2)2
=4相交于A 、B 两点,且弦AB 的长为23,则实数m 的值是________.
解析:由题意得,圆心(1,2)到直线x -my -1=0的距离d =4-3=1,即|1-2m -1|1+m 2
=1,解得m =±3
3. 答案:±
3
3
例4若a ,b ,c 是直角三角形ABC 三边的长(c 为斜边),则圆C :x 2+y 2
=4被直线l :ax +by +c =0所截得的弦长为________.
解析:由题意可知圆C :x 2
+y 2
=4被直线l :ax +by +c =0所截得的弦长为2
4-?
??
??c a 2+b 22,由于a 2+b 2
=c 2,所以所求弦长为2 3.
答案:2 3
例5已知⊙M :x 2+(y -2)2
=1,Q 是x 轴上的动点,QA ,QB 分别切⊙M 于A ,B 两点.
(1)若|AB |=42
3
,求|MQ |及直线MQ 的方程;
(2)求证:直线AB 恒过定点.
解:(1)设直线MQ 交AB 于点P ,则|AP |=22
3
,又|AM |=1,AP ⊥MQ ,AM ⊥AQ ,得|MP |=
12
-89=13
,
又∵|MQ |=|MA |
2
|MP |
,∴|MQ |=3.
设Q (x,0),而点M (0,2),由x 2
+22
=3,得x =±5, 则Q 点的坐标为(5,0)或(-5,0).
从而直线MQ 的方程为2x +5y -25=0或2x -5y +25=0.
(2)证明:设点Q (q,0),由几何性质,可知A ,B 两点在以QM 为直径的圆上,此圆的方程为x (x -q )+y (y -2)
=0,而线段AB 是此圆与已知圆的公共弦,相减可得AB 的方程为qx -2y +3=0,所以直线AB 恒过定点? ??
??0,32.
例6过点(-1,-2)的直线l 被圆x 2+y 2
-2x -2y +1=0截得的弦长为 2,则直线l 的斜率为________.
解析:将圆的方程化成标准方程为(x -1)2+(y -1)2
=1,其圆心为(1,1),半径r =1.由弦长为2得弦心距为22.
设直线方程为y +2=k (x +1),即kx -y +k -2=0,则|2k -3|k 2+1=22
,化简得7k 2
-24k +17=0,得k =1或k =177.
答案:1或177
例7圆x 2
-2x +y 2
-3=0的圆心到直线x +3y -3=0的距离为________.
解析:圆心(1,0),d =|1-3|
1+3
=1.
答案:1
例8圆心在原点且与直线x +y -2=0相切的圆的方程为 ____________________.
解析:设圆的方程为x 2+y 2=a 2
(a >0)
∴|2|1+1=a ,∴a =2,
∴x 2+y 2
=2.
答案:x 2+y 2
=2
例9已知圆C 经过A (5,1),B (1,3)两点,圆心在x 轴上,则圆C 的方程为________________.
圆C 的方程为x 2+y 2
+Dx +F =0,
则?????
26+5D +F =0,10+D +F =0,
解得?
??
??
D =-4,F =-6.
圆C 的方程为x 2
+y 2
-4x -6=0.
[答案] (1)C (2)x 2+y 2
-4x -6=0
例10 (1)与曲线C :x 2+y 2
+2x +2y =0相切,同时又与直线l :y =2-x 相切的半径最小的圆的半径是________.
(2)已知实数x ,y 满足(x -2)2+(y +1)2
=1则2x -y 的最大值为________,最小值为________.
解析:(1)依题意,曲线C 表示的是以点C (-1,-1)为圆心,2为半径的圆,圆心C (-1,-1)到直线y =2-x
即x +y -2=0的距离等于|-1-1-2|2
=22,易知所求圆的半径等于22+22=32
2.
(2)令b =2x -y ,则b 为直线2x -y =b 在y 轴上的截距的相反数,当直线2x -y =b 与圆相切时,b 取得最值.由|2×2+1-b |
5=1.解得b =5±5,所以2x -y 的最大值为5+5,最小值为5- 5. 答案:(1)32
2
(2)5+ 5 5- 5
例11已知x ,y 满足x 2+y 2
=1,则y -2x -1
的最小值为________.
解析:y -2x -1表示圆上的点P (x ,y )与点Q (1,2)连线的斜率,所以y -2x -1
的最小值是直线PQ 与圆相切时的斜率.设
直线PQ 的方程为y -2=k (x -1)即kx -y +2-k =0.由|2-k |k 2+1=1得k =34,结合图形可知,y -2x -1≥3
4,故最小值
为3
4
. 答案:34
例12已知两点A (-2,0),B (0,2),点C 是圆x 2+y 2
-2x =0上任意一点,则△ABC 面积的最小值是________.
解析:l AB :x -y +2=0,圆心(1,0)到l 的距离d =3
2
,
则AB 边上的高的最小值为3
2-1.
故△ABC 面积的最小值是12×22×? ????
32-1=3- 2.
答案:3- 2
例13平面直角坐标系xoy 中,直线10x y -+=截以原点O (1)求圆O 的方程;
(2)若直线l 与圆O 切于第一象限,且与坐标轴交于D ,E ,当DE 长最小时,求直线l 的方程;
(3)设M ,P 是圆O 上任意两点,点M 关于x 轴的对称点为N ,若直线MP 、NP 分别交于x 轴于点(m ,0)和(n ,0),问mn 是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
解: ⑴因为O 点到直线10x y -+=
,
所以圆O 故圆O 的方程为222x y +=.
⑵设直线l 的方程为1(0,0)x y
a b a b
+=>>,即0bx ay ab +-=,
由直线l 与圆O =22111
2a b +=,
222222211
2()()8DE a b a b a b =+=++≥,
当且仅当2a b ==时取等号,此时直线l 的方程为20x y +-=. ⑶设11(,)M x y ,22(,)P x y ,则11(,)N x y -,22112x y +=,22222x y +=,
直线MP 与x 轴交点122121(
,0)x y x y y y --,12
21
21x y x y m y y -=-, 直线NP 与x 轴交点122121(,0)x y x y y y ++,12
21
21
x y x y n y y +=+,
22222222
12211221122112212222
21212121(2)(2)2x y x y x y x y x y x y y y y y mn y y y y y y y y -+----====-+--, 故mn 为定值2.
例14圆x 2+y 2=8一点P (-1,2),过点P 的直线l 的倾斜角为α,直线l 交圆于A 、B 两点. (1)当α=
4
3π
时,求AB 的长; (2)当弦AB 被点P 平分时,求直线l 的方程.
解:(1)当α=
4
3π
时,k AB =-1, 直线AB 的方程为y -2=-(x+1),即x +y -1=0. 故圆心(0,0)到AB 的距离d =2
1
00-+=
2
2, 从而弦长|AB|=22
1
8-
=30. (2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-2,y 1+y 2=4.
由?????=+=+,8,
82222
2121y x y x
两式相减得(x 1+x 2)(x 1-x 2)+(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0, 即-2(x 1-x 2)+4(y 1-y 2)=0, ∴k AB =
2
1
2121=--x x y y . ∴直线l 的方程为y -2=2
1
(x +1),即x -2y +5=0.
例15已知半径为5的动圆C 的圆心在直线l :x -y +10=0上. (1)若动圆C 过点(-5,0),求圆C 的方程;
(2)是否存在正实数r ,使得动圆C 中满足与圆O :x 2+y 2=r 2相外切的圆有且仅有一个,若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.
解: (1)依题意,可设动圆C 的方程为(x -a)2+(y -b)2=25,
其中圆心(a,b)满足a -b+10=0.
又∵动圆过点(-5,0),∴(-5-a)2+(0-b)2=25. 解方程组??
??
?=-+--=+-25)0()5(0
102
2b a b a ,