2013年高考数学考纲

2013年高考数学考纲

2013年高数学考试大纲(四川)

二、考试范围

考试内容如下：

数学1（必修）：集合、函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）．

数学2（必修）：立体几何初步、平面解析几何初步．

数学3（必修）：算法初步、统计、概率．

数学4（必修）：基本初等函数Ⅱ（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换．

数学5（必修）：解三角形、数列、不等式．

选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何.

选修2-2：导数及其应用（不含“导数及其应用”中“（4）生活中的优化问题举例”、“（5）定积分与微积分基本定理”及“（6）数学文化”）、数系的扩充与复数的引入.

选修2-3：计数原理、统计与概率（不含“统计与概率”（1）“概率”中“④通过实例，理解取有限值的离散型随机变量方差的概念，能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题”、“⑤通过实际问题，借助直观，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义”及（2）“统计案例”）

三、试卷结构

1．试题类型

全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分为150分．

试卷结构如下：

题型题数分值说明

第Ⅰ卷选择题12 60 四选一型的单项选择

第Ⅱ卷填空题 4 16 只需直接填写结果，不必写出具体解答过程

解答题 6 74 要求写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程

2．难度控制

试题按其难度分为容易题、中等难度题和难题．难度在0.7以上的试题为容易题，难度为0.4—0.7的试题是中等难度题，难度在0.4以下的试题为难题．试卷由三种难度的试题组成，并以中等难度题为主．命题时根据有关要求和教学实际合理控制三种难度试题的分值比例（大致控制在3:5:2）及全卷总体难度．

Ⅳ．考试内容及要求

一、考核目标与要求

数学科高考注重考查中学数学的基础知识、基本技能、基本思想方法，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及分析问题和解决问题的能力。具体考试内容根据教育部颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课程标准》）、教育部考试中心颁布的《普通高等学校招生全国统一考试大纲（理科·课程标准实验）》、《四川省普通高中课程数学学科教学指导意见》确定。

关于考试内容的知识要求和能力要求的说明如下：

1．知识要求

知识是指《课程标准》所规定的必修课程、选修课程系列2中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算，处理数据、绘制图表等基本技能.

各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明．

对知识的要求由低到高分为了解、理解、掌握三个层次（分别用A、B、C表示），且高一级的层次要求包含低一级的层次要求．了解、理解、掌握是对知识的基本要求．

（1）了解（A）：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关的问题中识别、认识和直接应用。

这一层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道、识别，模仿，会求、会解等。

（2）理解（B）：要求对所列知识内容有理性的认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够解释、举例或变形、推断，能够利用所学的知识内容对有关问题作比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力.

这一层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达、表示，推测、想象，比较、判别、判断，初步应用等.

（3）掌握（C）：要求能够对所列的知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，能够推导证明，能够利用所学知识对比较综合的问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决.

这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析，推导、证明，研究、讨论、运用、解决问题等.

2．能力要求

能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力及应用意识和创新意识.

（1）空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变形；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质.

（2）抽象概括能力：对具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能应用其解决问题或作出新的判断.

（3）推理论证能力：会根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题的真实性．推理包括合情推理和演绎推理，论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法．

（4）运算求解能力：会根据概念、公式、法则对数、式、方程和几何量进行正确的运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，分析、寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算.

（5）数据处理能力：会依据统计中的方法收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断、解决给定的实际问题.

（6）应用意识：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明.应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决.

（7）创新意识：能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．

单位圆中的三角函数线及其应用 √ 诱导公式

√ 同角三角函数的基本关系式

√ 周期函数的定义、三角函数的周期 √

函数

sin ,cos ,tan y x y x y x ===的图象和性质

√

函数

sin()y A x ω?=+的图象

√

用三角函数解决一些简单的实际问题 √ 三角恒等变换 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 √ 二倍角的正弦、余弦、正切公式 √

简单的三角恒等变换 √ 解三角形 正弦定理、余弦定理 √

解三角形

√ 数列 数列的概念

数列的概念和表示法 √ 等差数列、等比数列 等差数列的概念 √ 等比数列的概念

√ 等差数列的通项公式与前n 项和公式 √

等比数列的通项公式与前n 项和公式

√

用等差数列、等比数列的有关知识解决一些简单的实际问题

√

不等式 一元二次不等式 解一元二次不等式

√ 简单的线性规划 用二元一次不等式组表示平面区域 √

简单的二元线性规划问题 √

基本不等

式

2

a b

ab +≥ (,0)a b ≥

基本不等式2

a b

ab +≥(,0)a b ≥的证明过程

√

用基本不等式解决简单的最大（小）值问题 √ 平面向量 平面向量

平面向量的相关概念

√ 向量的线性运算 向量加法、减法及其几何意义 √ 向量的数乘及其几何意义 √

两个向量共线

√ 平面向量的基本定理及坐标表示 平面向量的基本定理

√ 平面向量的正交分解及其坐标表示

√ 用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 √

用坐标表示的平面向量共线的条件 √

平面向量的数量积

数量积及其物理意义

√

数量积与向量投影的关系 √ 数量积的坐标表示

√ 用数量积表示两个向量的夹角

√

用数量积判断两个平面向量的垂直关系 √

向量的应用

用向量方法解决简单的问题 √ 导数及其应用 导数概念及其几何意义 导数的概念 √

导数的几何意义

√

导数的运算

根据导数定义求函数

,,y c y x ==

231

,,,y x y x y y x x

====的导数

√

导数的四则运算

√

简单的复合函数（仅限于形如

()f ax b +的导数）

√

导数公式表

√

导数在研究函数中的应用 利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次） √

函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次） √ 数系的扩充与复数的引入 复数的概念与运算

复数的基本概念，复数相等的条件

√

复数的代数表示法及几何意义 √ 复数代数形式的四则运算

√

复数代数形式加减法的几何意义 √ 立体几何初步 空间几何体

柱、锥、台、球及其简单组合体 √ 简单空间图形的三视图

√ 斜二测法画简单空间图形的直观图 √ 球、棱柱、棱锥的表面积和体积 √

点、直线、平面间的位置关系

空间线、面的位置关系

√

公理1、公理2、公理3、公理4、定理1√

线、面平行或垂直的判定√

线、面平行或垂直的性质√

√

用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的简单命

题

空间向量与

空间直角坐标系空间直角坐标系√

立体几何

空间两点间的距离公式√空间向量及其运算空间向量的概念√

空间向量基本定理及其意义√

空间向量的正交分解及其坐标表示√

空间向量的线性运算及其坐标表示√

空间向量的数量积及其坐标表示√

运用向量的数量积判断向量的共线与垂直√空间向量的应用直线的方向向量√

平面的法向量√

向量语言表述线、面位置关系√是否合为一条向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理√

线线、线面、面面的夹角√直线与方程直线的倾斜角和斜率√

平面解析几

何初步

过两点的直线斜率的计算公式√

两条直线平行或垂直的判定√

直线方程的点斜式、两点式及一般式√

两条相交直线的交点坐标√

两点间的距离公式、点到直线的距离公式√

两条平行线间的距离√圆与方程圆的标准方程与一般方程√

直线与圆的位置关系√

两圆的位置关系√

用直线和圆的方程解决简单的问题√圆锥曲线椭圆的定义及标准方程√

圆锥曲线与

方程

椭圆的几何图形及简单性质√

抛物线的定义及标准方程√

抛物线的几何图形及简单性质√

双曲线的定义及标准方程√

双曲线的几何图形及简单性质√

直线与圆锥曲线的位置关系√曲线与方程曲线与方程的对应关系√

算法初步算法及其程序框图算法的含义√

程序框图的三种基本逻辑结构√基本算法语句输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句√

计数原理加法原理、乘法原理分类加法计数原理、分步乘法计数原理√

√

用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的

实际问题

排列与组合排列、组合的概念√

排列数公式、组合数公式√

用排列与组合解决一些简单的实际问题√二项式定理用计数原理证明二项式定理√

用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题√

统计随机抽样简单随机抽样√

分层抽样和系统抽样√

用样本估计总体概率分布表、直方图、折线图、茎叶图√

样本数据的基本的数字特征（如平均数、标准差）√

用样本的频率分布估计总体分布，用样本的基本数字特征

√

估计总体的基本数字特征

变量的相关性线性回归方程√

概率事件与概率随机事件的概率√

两个互斥事件的概率加法公式√

古典概型古典概型√

几何概型几何概型√

概率取有限值的离散型随机变量及其分布列√

超几何分布√

条件概率√

事件的独立性√

n次独立重复试验与二项分布√

取有限值的离散型随机变量的均值√

1公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.

定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

Ⅴ．参考样题

为让考生对高考试题获得一定的认识，我们从近六年高考数学（北京卷、全国卷和四川卷）中选择了部分试题编制成参考样题．均有答案、说明．参考样题与2013年高考试卷的结构、形式、测试内容、题目排序、题量、难度等均没有对应关系．

一、选择题；在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． [试题1]（2010年全国理标卷类第1题改编）已知集合

},2{R x x x A ∈≤=，≤=x x B {,3}Z x ∈，则

=B A （ ）

A ．)2,0(

B ．]2,0[

C ．}2,0{

D ．}2,1,0{

[答案] D ．

[说明] 本题考查集合的交集运算以及绝对值不等式、无理不等式的解法．

[试题2]（2010年全国理标卷类第2题）已知复数

2

3(13)i

z i +=

-z 是z 的共轭复数，则z z ?=（ ）

A ．

14 B ．12

C ．1

D ．2 [答案] A ．由已知可得

3313213i

i z i i

++=

=

-+

()

(

)()

3)1321313i i i i -=

-+

-

31

4

i =，31311()()444Z Z i i ?=+?=． [说明]本题考查复数概念与运算．

[试题3]（2006年北京理工类第3题改编）在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有 A. 36个

B.24个

C.18个

D.6个

[答案] B ．

[说明] 本题考查排列、组合应用题．将所给元素进行分类，是解决排列组合混合问题常用思想．“先取后排”是解决这类问题的基本方法．

[试题4]（2004年北京理工类第3题改编）设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面．给出了下列四个命题：

①若α⊥m ，n ∥α，则n m ⊥； ②若α∥β，β∥γ，α⊥m ，则γ⊥m ；

③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ④若γα⊥，γβ⊥，则α∥β．

若中正确命题的序号是（ ）

A ．①和②

B ．②和③

C ．③和④

D ．①和④ [答案] A ．

[说明] 本题主要考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关

系，并考查把符号语言、文字语言、图形语言进行转换的能力，以及空间想象能力．

[试题5]（2010全国理工类新课标第7题）如果执行如图1所示的框图，输入5=N ，

则输出的数等于（ ）

A ．

45 B ．54 C ．56 D ．65

[答案] 第一次运行5=N ，1=k ，

0=S ，2

11

0?+=S ，51<成立，进入 第二次运行；2=k ，=S 3

21

211?+

?=， 52<成立，进入第三次运行；3=k ，S

321211?+

?=4

31

?+，53<成立，进 入第四次运行；4=k ，=S 3

21

211?+

? 431?+5

41

?+

，54<成立；5=k ，=S 开0

,1==S k N

k <

输

)

1(1++

=k k S S

输

1

+=k k

是

否

321211?+?431?+541?+651?+611-=

6

5

=，55<不成立，此时退出循环，输出S ．因此答案选D ．

[说明] 本小题考查程序框图的循环结构，及考生的识图能力和简单的计算能力，题目难易适中，找出规律及最后一次运行是解题的关键． [试题6]（2005年北京理工类改编）若

||2,||1,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为（ ）

A ．

6π B ．3π C ．32π D ．

6

5π

[答案] 由两向量的夹角公式

cos a b a b

α?=

和已知条件可知，只需求得

a b

?的值即可．由

c a b

=+，得

a c a a a

b ?=?+?，再由已知求得a b ?1-=，2

1

cos -

=α，得=α 3

2π，因此答案选C ．

[说明] 本题考查向量、向量的模及向量的夹角等概念，考查向量的运算以及向量垂直的条件．

甲的成绩

乙的成绩

环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 频数

6

4

4

6

频数

4

6

6

4

1s ，2s 分别表示甲、乙两名运动员这次测试成绩的标准差，1x ，2x 分别表示甲、乙两名运动员这次测试成绩的平均数，则有（ ）

A ．>1x 2x ，<1s 2s

B ．=1x 2x ，>1s 2s

C ．

=1x 2

x ，

=1s 2s D ．<1x 2x ，>1s 2s

[答案] 由甲、乙成绩分布的对称性可得

=1x 2

x ，再根据标准差是刻画成绩的分散与集中程度的量得到

>1s 2s ．因此答案选B ．

[说明] 本题主要考查平均数、标准差的概念

[试题8]（2010全国一理工类第8题）设a=

3log 2,b=In2,c=1

2

5

-

,则（ ）

A ．a

B ．b

C ．c

D ．c

[答案] C ．a=3log 2=21log 3, 2ln =b =21log e

,而22log 3log 1e >>,∴b a <，=c 2

1

5-

1

5

,而2252log 4log 3>=>,∴a c <，综上b a c <<. [说明] 本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的性质. [试题9]（2010年全国一理工类第4题）假设双曲线的渐近线与抛物线12+=x y 相切，则该双曲线的离心率为（ ）

A ．

3 B ．2 C ．5 D ．6

[答案] 双曲线12222=-n y m x 的渐近线方程为x m n y ±=，∵12+=x y 与渐近线相切，∴12

+x 0=±x m n 只有一个实根，∴

0422=-m n ，∴42

22=-m m c ，∴522

=m c ，∴5=e ，因此答案选C ． [说明] 本题考查双曲线离心率的求法、对双曲线渐近线方程的理解以及直线与抛物线位置关系的判断．本题求解的关键是利用直线与抛物线相切，得到消元后的二次方程的判别式等于

0，由此得到n m ,之间的关系式．

[试题10]（2011全国理工类第6题）已知直二面角βα--l ，点α∈A ，l AC ⊥，C 为垂足，点β∈B ，l BD ⊥，

D 为垂足．若2=AB ，1==BD AC ，则=CD （ ）