第三十讲 函数作图法
作函数的图形时，仅知道函数的单调性和极值还不能全面反映函数图形的特征．同是在区间],[b a 上单调增加的函数，其图形的弯曲方向也可能不同；如图3—6中ACB 与ADB 同是上升曲线，但弯曲方向不同，前者是凸的，后者是凹的．本节将用导数研究曲线的凸凹及拐点，从而比较准确地作出函数的图形．
一、函数的凸凹与拐点
如图3—6可以看出，曲线ACB 是向上弯曲的，其上每一点的切线都位于曲线的上方；曲线ADB 是向下弯曲的，其上每一点的切线都位于曲线下方，从而我们有如下定义．
定义１ 如果在某区间内，曲线)(x f y =上每一点处的切线都位于曲线的上方，则称曲线)(x f y =在此区间内是凸的；如果在某区
间内，曲线)(x f y =上每一点处的切线都位于曲线的下方，则称曲线)(x f y =在此区间内是凹的．
从图3—6还可以进一步看出，当曲线)(x f y =凸时，其切线斜率)(x f '是单调减少的，因而0)(<''x f ；当曲线凹时，其切线斜率)(x f '是单调增加的，因而
0)(>''x f ，这说明曲线的凸凹性可由函数)(x f 的二阶导数的符号确定．
定理１ 设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内具有二阶导数，则： （１） 若在),(b a 内，0)(>''x f ,则曲线)(x f y =在],[b a 上是凹的． （２） 若在),(b a 内，0)(<''x f ,则曲线)(x f y =在],[b a 上是凸的．
定义２ 曲线)(x f y =上，凸与凹的分界点称为该曲线的拐点．
由拐点的定义和定理１知，使0)(=''x f 的点及)(x f ''不存在的点可能是拐点．这些点是不是拐点要用下面的定理来判定．
定理２ 设)(x f y =在),?(0δx
N 内有二阶导数，则 （１） 若)(x f ''在),(00x x δ-与),(00δ+x x 内异号，则点))(,(00x f x 为曲线
)(x f y =的拐点．
（２） 若)(x f ''在),(00x x δ-与),(00δ+x x 内同号，则点))(,(00x f x 不是曲线)(x f y =的拐点．
例１ 求函数32)2()(x x x f -=的凸凹区间及拐点．
解 31
32
3435)(--='x x x f ， 334
319)
25(294910)(x
x x x x x f +=+=''--．
令0)(=''x f 得52-=x ；而0=x 为)(x f ''不存在的点．用0,5
2
=-=x x 将定义
区间),(∞+-∞分成三个部分区间（见下表）．
由表可知，曲线)(x f 的凸区间是)52,(--∞，凹区间是)0,52
(-, ),0(∞+；
点)25
4
512,52(3
--是拐点．
例２ 讨论函数2
11
)(x
x f +=
的凸凹性及拐点． 解 函数)(x f 的定义域为),(∞+-∞，对函数求导得
2
2)1(2)(x x x f +-='， 4222)1(2)1(22)1(2)(x x x x x x f +?+??++-=''322)1()
13(2x x +-=；
由0)(=''x f 得，
3
1-=x ，3
1=
x ．用这两点把定义域分成三个部分区间(见
下表)．由下表可知，曲线)(x f 的凸区间是)3
1,3
1(-
，凹区间是)3
1,(--∞和
),3
1(+∞，点)43,31(-
和点)43
,31(是拐点．
二、曲线的渐近线
有些函数的定义域与值域都是有限区间，此时函数的图形局限于一定的范围之内，如圆，椭圆等．而有些函数的定义域或值域是无穷区间，此时函数的图形向无穷远处延伸，如双曲线，抛物线等．有些向无穷远延伸的曲线，呈现出越来越接近某一直线的形态，这种直线就是曲线的渐近线．
定义 2 若曲线上一点沿曲线无限远离原点时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线．
（一）水平渐近线
若函数)(x f y =的定义域是无限区间，且有a x f x =∞
→)(lim （或a x f x =+∞
→)(lim ，
a x f x =-∞
→)(lim ）
，则直线a y =称为曲线)(x f y =的水平渐近线． 例３ 对于曲线x x f arctan )(=，由于2
arctan lim π
=
+∞
→x x ，2
arctan lim π
-
=-∞
→x x ，
所以直线2
π
=
y 与2
π
-
=y 是曲线x x f arctan )(=的水平渐近线．
（二）垂直渐近线
若0x 是函数)(x f y =的间断点，且∞=→)(lim 0
x f x x （或∞=+→)(lim 0
x f x x ，
∞=-
→)(lim 0
x f x x ），则直线0x x =称为曲线)(x f y =的垂直渐近线．
例４ 求1
1
)(-=x x f 的垂直渐近线． 解 因为+∞=-+
→1
1
lim 1
x x ，所以，1=x 是曲线的一条垂直渐近线． （三）斜渐近线
若曲线)(x f y =的定义域为无限区间，且有a x
x f x =∞
→)
(lim ，b ax x f x =-∞→])([lim ，
则直线b ax y +=称为曲线)(x f y =的斜渐近线．
例５ 求曲线x
x y +=12
的渐近线．
解 因为∞=+-→x
x x 1lim
2
1，所以直线1-=x 是曲线的垂直渐近线，又 11lim 1lim )(lim 2
=+=+==∞→∞→∞→x
x
x x x x x f a x x x ，
1)1(lim )1(lim ])([lim 2-=+-=-+=-=∞→∞→∞→x
x x x x ax x f b x x x ；
所以1-=x y 为曲线的斜渐近线．
三、函数图形的作法
前面几节讨论的函数的各种性态，可应用于函数的作图．描绘函数的图形可按下面的步骤．
第一步 确定函数)(x f y =的定义域及函数的某些特性（如奇偶性，周期性等）．
第二步 求出方程0)(='x f 和0)(=''x f 在函数定义域内的全部实根和
)('x f ，)(x f ''不存在的点；用这些点把定义域划分成部分区间．
第三步 确定在这些部分区间内)(x f '和)(x f ''的符号，并由此确定函数的升降、凸凹、极值点和拐点．
第四步 确定函数图形的水平、铅直和斜渐近线以及其它变化趋势． 第五步 为了把图形描得准确，有时还需要补充一些点；然后结合第三、四
步中得到的结果，连结这些点作出函数)(x f y =的图形．
例６ 描绘函数2
x e y -=的图形．
解 （1）函数的定义域为),(∞+-∞，且0>y ，故图形在上半平面内． （2）2
x e y -=是偶函数，图形关于y 轴对称．
（3）曲线2
x e y -=与y 轴的交点为)1,0(．
（4）因0lim 2
=-∞
→x x e ，故
0=y 是一条水平渐近线．
（5）2
2x xe y --='，令0='y 得驻点0=x ． （6）2
)12(22x e x y --=''，令0=''y 得2/1±=x ．
列表如下：
x
0 )2/1,0(
2/1
),2/1(+∞
y ' 0
— —
—
y ''
—
—
+
y
极大值
1
凸
拐点
凹
由上面分析画出草图（图3—7）．
图３—7
一次函数 二次函数
反比例函数 1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线 反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。 2、性质： 1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。 2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。 定义域为x≠0；值域为y≠0。 3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。 4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。
指数函数y=a x (a＞0，a≠1) 注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。 ⒉指数函数的定义仅是形式定义。 指数函数的图像与性质 规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。 2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴； 当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。 在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。
3.四字口诀：“大增小减”。即：当a＞1时，图像在R上是增函数； 当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。 4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数 比较幂式大小的方法： 1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较； 2.当底数中含有字母时要注意分类讨论； 3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较； 4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较 底数的平移： 在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1-，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( ) A ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e
5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1(lim ( ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e 7．极限：∞ →x lim 332x x +=（ ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0 -+→ =（ ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞ +→=（ ） A.0； B.∞； C.2； D. 2 1 ． 10．极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=（ ） A.0； B.∞； C. 16 1； D.16． 二. 填空题 11．极限1 2sin lim 2+∞ →x x x x = . 12. lim 0 →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在点0x 连续，则)]()([lim 0→-0 x f x f x x =_______________； 14. =→x x x x 5sin lim 0___________； 15. =-∞→n n n )2 1(lim _________________； 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ，则它的间断点是___________________ 17. 绝对值函数 = =x x f )(?? ???<-=>.0,;0,0;0,x x x x x
第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为
高等数学公式大全及常 见函数图像 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
高等数学公 式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
第1章 函 数 §1.1 函数的概念与性质 1. 绝对值与不等式（0>a ，0b >） （1）x x x -≤≤；x y x y x y -≤±≤+ （2 ）2 112 a b a b +≤+（调和平均值≤几何平均值≤算术平均值） 一般地，1212111n n x x x n n x x x +++≤≤ +++ （3）{}max ,22a b a b a b -+=+；{}min ,22 a b a b a b -+=- 2. 函数概念与性质 对变量D x ∈的每一个确定值，变量y 按某确定规则f ，都有且只有一确定值与之对应，则称变量y 是变量x 的函数，记为()y f x =，D x ∈。 注意：定义域D 和对应规则f 是函数相等的两要素。 （1）无关性 ()()y f x f t == D t x ∈, （2）单调性 1212,,x x I x x ?∈< 1212()()()()()()f x f x f x f x f x f x ≤???≥? ?单调递增单调递减；1212()()()()()()f x f x f x f x f x f x ??严格单增严格单减 （3）奇偶性 ()() ()()()()f x f x f x y f x f x f x -=???-=-??为偶函数，对称于轴为奇函数，对称于原点 注意：函数的奇偶性是相对于对称区间而言，若定义域关于原点不对称，则不是奇/偶函数。 （4）周期性 若()()f x T f x +=，0T >，则称为)(x f 的周期。 （5）有界性 若D x ∈?，M x f ≤)(，()0>M ，则称)(x f 在D 上有界。 常用有界函数：sin 1x ≤，cos 1x ≤，(,)-∞+∞；
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A
15符号函数绘图法绘制函数x=sin(3t)cos(t)，y=sin(3t)sin(t)的图形， t 的变化范围为[0,2π] >> syms t >> ezplot(sin(3*t)*cos(t),sin(3*t)*sin(t),[0,2*pi]) 16有一组测量数据满足-at e =y ，t 的变化范围为0~10，用不同 的线型和标记点画出a=0.1、a=0.2和a=0.5三种情况下的曲线，并加入标题和图列框（用代码形式生成） >> t=0:0.5:10; >> y1=exp(-0.1*t); >> y2=exp(-0.2*t); >> y3=exp(-0.5*t); >> plot(t,y1,'-ob',t,y2,':*r',t,y3,'-.^g')
>> title('\ity\rm=e^{-\itat}','FontSize',12) >> legend('a=0.1','a=0.2','a=0.5') 17 x= [66 49 71 56 38]，绘制饼图并将第五个切块分离 >> x=[66 49 71 56 38]; >> L=[0 0 0 0 1]; >> pie(x,L) 18 2 2 y x xe z --=，当x 和y 的取值范围均为-2到2时，用建立子窗口 的方法在同一个图形窗口中绘制出三维线图、网线图、表面图和带渲染效果的表面图 >> [x,y]=meshgrid([-2:.2:2]); >> z=x.*exp(-x.^2-y.^2);
>> mesh(x,y,z) >> subplot(2,2,1), plot3(x,y,z) >> title('plot3 (x,y,z)') >> subplot(2,2,2), mesh(x,y,z) >> title('mesh (x,y,z)') >> subplot(2,2,3), surf(x,y,z) >> title('surf (x,y,z)') >> subplot(2,2,4), surf(x,y,z), shading interp >> title('surf (x,y,z), shading interp') 19 在区间]1,1[-画出函数x y 1sin =的图形 程序如下： >> fplot('sin(1/x)',[-pi/12,pi/12]) >> grid >> title('graph of sin(1/x)') 结果如下：
第 八 章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 多元函数的基本概念 教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数 概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限。 教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。 教学难点：计算多元函数的极限。 教学内容： 一、 区域 1． 邻域 设),(000y x p 是xoy 平面上的一个点，δ是某一正数。与点),(000y x p 距离小于δ的点(,)p x y 的全体，称为点0P 的δ邻域，记为),(0δP U ，即 ),(0δP U =}{0δ
如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点，也有不属于E 的点（点P 本身可以属于E ，也可以不属于E ），则称P 为E 的边界点。E 的边界点的全体称为E 的边界。例如上例中，E 1的边界是圆周12 2 =+y x 和 22y x +=4。 设D 是点集。如果对于D 内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于D ，则称点集D 是连通的。 连通的开集称为区域或开区域。例如，}0),{(>+y x y x 及 }41),{(22<+
一次函数 （一）函数 1、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 二次函数
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--- 2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2 y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =-+- 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°） 2 y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ， 对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ， 对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-
函数的表示方法 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、 能根据不同需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数； 2、 了解简单的分段函数，并能简单应用； 一、函数的常用表示方法简介： 1、解析法 如果函数()()y f x x A =∈中，()f x 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。 例如，s =602t ，A =π2r ，2S rl π=,2)y x = ≥等等都是用解析式表示函数关系的。 特别提醒： 解析法的优点：（1）简明、全面地概括了变量间的关系；（2）可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；（3）便于利用解析式研究函数的性质。中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。 解析法的缺点：（1）并不是所有的函数都能用解析法表示；（2）不能直观地观察到函数的变化规律。 2、列表法： 通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。 例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的. 特别提醒： 列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。这种表格常常应用到实际生产和生活中。 列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。 3、图象法： 用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。 例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。 特别提醒： 图像法的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。 图像法的缺点：不能够精确地求出某一自变量的相应函数值。
第十章 多元函数积分学（Ⅰ） 一元函数积分学中，曾经用和式的极限来定义一元函数()f x 在区间[a,b]上的定积分，并且已经建立了定积分理论，本章我们将推广到多元函数，建立多元函数积分学理论。 第一节 二重积分 教学目的： 1、熟悉二重积分的概念； 2、了解二重积分的性质和几何意义，知道二重积分的中值定理； 3、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法； 4、能根据积分区域和被积函数正确选择积分顺序 教学重点： 1、二重积分的性质和几何意义； 2、二重积分在直角坐标系下的计算 教学难点： 1、二重积分的计算； 2、二重积分计算中的定限问题 教学内容： 一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积 设有一立体, 它的底是xOy 面上的闭区域D , 它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面, 它的顶是曲面z =f (x , y ), 这里f (x , y )≥0且在D 上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积. 首先, 用一组曲线网把D 分成n 个小区域?σ 1, ?σ 2, ? ? ? , ?σ n .分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z 轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体. 在每个?σ i 中任取一点(ξ i , η i ), 以f (ξ i , η i )为高而底为?σ i 的平顶柱体的体积为 f (ξ i , η i ) ?σi (i =1, 2, ? ? ? , n ). 这个平顶柱体体积之和 i i i n i f V σηξ?≈=∑),(1 . 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即 i i i n i f V σηξλ?==→∑),(lim 1 0. 其中λ是个小区域的直径中的最大值.
第一章函数 一、实数集合 关于邻域：设a为某个正数，称开区间（x0-a，x0+a）为点x0的邻域。记作U（x0，a）。称x0为该邻域的中心，a为该邻域的半径。 A、点x0的空心邻域即（x0-a，x0+a）｛x0｝或U（x0，a） B、点x0的左邻域（x0-a，x0] 空心左邻域（x0-a，x0） C、点x0的右邻域[x0，x0+a）空心右邻域（x0，x0+a） 二、函数关系 A、一个函数的两个基本要素圈①定义域记作D（f）或D.②对应规则记作 f B、绝对值函数y=|x| 去绝对值符号的方法，分类讨论 C、符号函数y=sgnx ①x＞0时y=1 ②x=0时y=0 ③x＜0时y=-1 D、取整函数y=[x]=n n≤x＜n+1 n=0，±1，±2….. [x]表示不超过x的最大整数，称为x的整数部分[2.6]=2 [π]=3 [-2.8]=-3 取整函数的图像 E、函数的自然定义域：即定义域 一般需要注意：分式的分母不为零，对负数不能开偶次方根，对数的真数必须为正。 三、函数的基本特性 A、单调性证明函数的单调性：任取x1、x2∈D且x1＜x2.，求解f（x1）与f（x2）的大小关 系。由此函数单调性得证。 B、有界性：若存在常数M＞0，使得对任意的x∈D，恒有|f（x）|≤M，则称函数f（x）在 D上有界，否则则称无界。（判断函数是否有界一般为求解函数的值域） ①有上界：f（x）≤M ②有下界：f（x）≥M C、奇偶性奇函数：任意x∈D，恒有f（-x）=-f（x） 偶函数：任意x∈D，恒有f（-x）=f（x） 非奇非偶：不是奇函数也不是偶函数 判断函数奇偶性一般先判断定义域是否关于原点对称，如果不对称则一定为非奇非偶函 数；若对称则求f（-x）的表达式，观察是否可以化成f（x）或f（-x）的形式，由此判断 D、周期性f（x）在D上有定义，存在常数T＞0，使对任意的x∈D，恒有x+T∈D，且f （x+T）=f（x）成立，则称f（x）为周期函数。满足上式的最小正数T0为f（x）的周期
高等数学公式 导数公式： (tgx) sec 2 x (arcsin x) 1 1 x 2 ( ctgx) csc 2 x (arccos x) 1 (secx) secx tgx 1 x 2 (cscx) cscx ctgx (arctgx ) 1 ( a x ) a x ln a 1 x 2 (log a x) 1 (arcctgx ) 1 1 x 2 x ln a 基本积分表： tgxdx ln cosx C dx sec 2 xdx tgx C ctgxdx ln sin x C cos 2 x dx 2 secxdx ln secx tgx C sin 2 x csc xdx ctgx C cscxdx ln cscx ctgx C secx tgxdx secx C dx 1 x csc x ctgxdx cscx C a 2 x 2 a arctg a C a x dx a x C dx 1 x a ln a x 2 a 2 2a ln C x a shxdx chx C dx 1 a x a 2 x 2 2a ln C chxdx shx C a x dx x 2 arcsin x C dx ln( x x 2 a 2 ) C a 2 a x 2 a 2 2 2 n 1 I n sin n xdx cos n xdx I n 2 0 0 n x 2 a 2 dx x x 2 a 2 a 2 ln( x x 2 a 2 ) C 2 2 x 2 a 2 dx x x 2 a 2 a 2 ln x x 2 a 2 C 2 2 a 2 x 2 dx x a 2 x 2 a 2 arcsin x C 2 2 a 三角函数的有理式积分： sin x 2u ， cos x 1 u 2 ， u tg x ， dx 2du 1 u 2 1 u 2 2 1 u 2
第一篇 函数、极限与连续 第一章 函数、极限与连续 高等数学的主要内容就是微积分,微积分就是以变量为研究对象,以极限方法为基本研究手段的数学学科、本章首先复习函数相关内容,继而介绍极限的概念、性质、运算等知识,最后通过函数的极限引入函数的连续性概念,这些内容就是学习高等数学课程极其重要的基础知识. 第1节 集合与函数 1、1 集合 1、1、1 集合 讨论函数离不开集合的概念、一般地,我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合,组成集合的事物或对象称为该集合的元素、 通常用大写字母A 、B 、C 、 表示集合,用小写字母a 、b 、c 、 表示集合的元素、 如果a 就是集合A 的元素,则表示为A a ∈,读作“a 属于A ”;如果a 不就是集合A 的元素,则表示为A a ?,读作“a 不属于A ”. 一个集合,如果它含有有限个元素,则称为有限集;如果它含有无限个元素,则称为无限集;如果它不含任何元素,则称为空集,记作Φ、 集合的表示方法通常有两种:一种就是列举法,即把集合的元素一一列举出来,并用“｛｝”括起来表示集合、例如,有1,2,3,４,5组成的集合A ,可表示成 A ＝{1,2,3,4,５}; 第二种就是描述法,即设集合M 所有元素x 的共同特征为P ,则集合M 可表示为 {}P x x M 具有性质|=. 例如,集合A 就是不等式022<--x x 的解集,就可以表示为 {} 02|2<--=x x x A . 由实数组成的集合,称为数集,初等数学中常见的数集有: (1)全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集),记作N ,即 {} ,,,3,2,1,0n N =; (２)所有正整数组成的集合称为正整数集,记作+ N ,即 {} ,,,3,2,1n N =+; (3)全体整数组成的集合称为整数集,记作Z ,即 {} ,,,3,2,1,0,1,2,3,,,n n Z ----=;
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
答案： 一.选择题 1.A 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 【详解】 方法一：任一原函数可表示为 ?+=x C dt t f x F 0 )()(，且).()(x f x F =' 当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-?-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见 f(x)为奇函数； 反过来，若f(x)为奇函数，则? x dt t f 0 )(为偶函数，从而 ?+=x C dt t f x F 0 )()(为偶函数，可见(A)为正确选项. 方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=2 2 1x , 排除(D); 故应选(A). 【评注】 函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系? 2. D 【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限. 【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点. 且 ∞=→)(lim 0 x f x ，所以 x=0为第二类间断点； 0)(lim 1=+ →x f x ，1)(lim 1 -=- →x f x ，所以x=1为第一类间断点，故 应选(D).
【评注】 应特别注意：+∞=-+ →1 lim 1x x x ，.1 lim 1-∞=-- →x x x 从而 +∞=-→+ 1 1lim x x x e ，.0lim 1 1 =-→- x x x e 3 C 4 A 5 C 6 C 7 A 8 C ∵x →∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”： 原式 = 2 1111lim )11() 11)(11(lim 0 =++=++++-+→→x x x x x x x . （有理化法） 9 D 10 C 解 原式 16 1821lim )2()cos 1(tan lim 32 030=?=-=→→x x x x x x x x . ▌ 注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极 的每项作等价替换，则 原式0)2(l i m 3 =-=→x x x x .
第一章函数 历年试题模拟试题课后习题（含答案解析）[单选题] 1、 设函数，则f(x)=（） A、x(x+1) B、x(x-1) C、(x+1)(x-2) D、(x-1)(x+2) 【正确答案】B 【答案解析】 本题考察函数解析式求解. ，故 [单选题] 2、 已知函数f(x)的定义域为[0，4]，函数g(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域是（）. A、[1，3] B、[-1，5] C、[-1，3] D、[1，5] 【正确答案】A 【答案解析】x是函数g(x)中的定义域中的点，当且仅当x满足0≤x+1≤4且0≤x-1≤4 即-1≤x≤3且1≤x≤5也即1≤x≤3，由此可知函数g(x)的定义域D(g)={x|1≤x≤3}=[1,3]. [单选题] 3、 设函数f（x）的定义域为[0，4]，则函数f（x2）的定义域为（）. A、[0，2] B、[0，16] C、[-16，16] D、[-2，2] 【正确答案】D 【答案解析】根据f(x)的定义域，可知中应该满足： [单选题] 4、 函数的定义域为（）. A、[-1,1] B、[-1,3] C、(-1,1) D、(-1,3) 【正确答案】B 【答案解析】 根据根号函数的性质，应该满足： 即 [单选题]
写出函数的定义域及函数值（）. A、 B、 C、 D、 【正确答案】C 【答案解析】 分段函数的定义域为各个分段区间定义域的并集， 故D=(－∞，-1]∪（-1，＋∞）. [单选题] 6、 设函数,则对所有的x，则f(-x)=（）. A、 B、 C、 D、 【正确答案】A 【答案解析】本题考察三角函数公式。 . [单选题] 7、 设则=（）. A、 B、
【最新整理，下载后即可编辑】 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
初中函数解析式及图象画法 一、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。 1、一次函数：y=kx+b（k、b是常数，k 0） 说明：①k 0的常数 ②x指数为1 ③b取任意实数 ④自变量x的取值为一切实数。【x的取值范围（定义域）：x € R】 ⑤函数y的取值是一切实数。【y的取值范围（值域）：y€ R】 k 2、反比例函数：y （k为常数，k 0） x 说明：① 常数k不为零（也叫做比例系数k）②分母中含有自变量x，且指数为1. ③自变量X的取值为一切非零实数。【x的取值范围（定义域）：｛X € R I x丰0｝】（反比例函数 有 意义的条件：分母工0）④函数y的取值是一切非零实数。【y的取值范围（值域）：｛y € R I y丰0｝】 3、二次函数：一般式：y ax2bx c （a 0 , a , b ,c是常数）： 说明：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2. ⑵a ,b ,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 、函数图象的常规画法：（描点法画函数图形的一般步骤） 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）; 第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来） 1、一次函数y=kx+b图像（直线）的画法：两点法 ①计算必过点（0, b）和（-—,0）［当x=0,时，y= b，过点（0, b）;当y=o,时，x=-—过点（-一，0）］ k k k ②描点（有小到大的顺序） ③连线（从左到右光滑的直线） k 2、反比例函数y k图像（双曲线）的画法：---五点绘图法： x ①列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数） ②描点（有小到大的顺序） ③连线（从左到右光滑的曲线） 3、二次函数y ax2 bx c图象（抛物线）的画法---五点绘图法： 2 ①配方变形：对于二次函数y ax2 bx c经过配方变形为顶点式：y=a（x+■一）2 j4ac_—,其顶点坐标为（ 2a 4a 2 ②确定三特征：开口方向（a正朝上；b负朝下）；对称轴（直线x=-—）；其顶点坐标为（-■一 ,4ac b） 2a 2a 4a ③然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图 ④选取五点为：顶点、与y轴的交点0，c、以及0, c关于对称轴对称的点-，c、与x轴的交 a b 4ac b 2a' 4a