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高中数学概念、公式整理
一、 函数
1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是
22-n 。
二次函数c bx ax y ++=2
的图象的对称轴方程是a b
x 2-=，顶点坐标是???
? ??--a b ac a b 4422，。 用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax x f ++=2
)(，
（零点式）)()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2
)()( （顶点式）。
2、 幂函数n
m
x y = ，当n 为正奇数，m 为正偶数，m 3、 函数652 +-=x x y 的大致图象是 由图象知，函数的值域是)0[∞+，，单调递增区间是)3[]5.22[∞+，和，，单调递减区间是]35.2[]2(，和，-∞。 二、 三角函数 1、 以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点 ),(y x P ， 点P 到原点的距离记为r ，则sin α=r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 2 2=+αα，αα2 2 sec 1=+tg ，αα2 2 csc 1=+ctg ； 倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα； 相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：=-)23sin( απαcos -，)2 15(απ -ctg =αtg ，=-)3(απtg αtg -。 4、 函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是 ω π 2= T ，频率是π ω 2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+ =+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间： x y s i n =的递增区间是??? ?? ? + - 222 2πππ πk k ，)(Z k ∈，递减区间是?? ???? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y c o s =的递增区间是[]πππk k 22， -)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，t g x y =的递增区间是?? ? ? ? + - 22 πππ πk k ，)(Z k ∈，c t g x y =的递减区间是 ()πππ+k k ，)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)c o s (βαβαβαs i n s i n c o s c o s = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?± 1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 212tg tg -。 8、三倍角公式是：sin3α=αα3 sin 4sin 3- cos3α=ααcos 3cos 43 - 9、半角公式是：sin 2α=2cos 1α-± cos 2 α=2cos 1α+± tg 2α=ααcos 1cos 1+-±=ααsin cos 1-=α α cos 1sin +。 10、升幂公式是：2 cos 2cos 12 α α=+ 2 s i n 2c o s 12 α α=-。 11、降幂公式是：22cos 1sin 2 αα-= 2 2c o s 1c o s 2 αα+=。 12、万能公式：sin α= 2 12 22α α tg tg + cos α= 2 12122 α α tg tg +- tg α=2 12 22α α tg tg - 13、sin(βα+)sin(βα-)=βα2 2 sin sin -， cos(βα+)cos(βα-)=βα2 2 sin cos -=αβ2 2 sin cos -。 14、)60sin()60sin(sin 400 ααα+-=α3sin ； )60cos()60cos(cos 40 ααα+-=α3cos ； )60()60(0 ααα+-tg tg tg =α3tg 。 15、ααtg ctg -=α22ctg 。 16、sin180= 4 1 5-。 17、特殊角的三角函数值： α 6π 4 π 3 π 2 π π 2 3π sin α 2 1 2 2 2 3 1 1- cos α 1 23 2 2 2 1 0 1- tg α 0 3 3 1 3 不存在 0 不存在 ctg α 不存在 3 1 3 3 0 不存在 0 18、正弦定理是（其中R 表示三角形的外接圆半径）：R C c B b A a 2sin sin sin === 19、由余弦定理第一形式，2 b =B a c c a cos 22 2 -+ 由余弦定理第二形式，cosB=ac b c a 22 22-+ 20、△ABC 的面积用S 表示，外接圆半径用R 表示，内切圆半径用r 表示，半周长用p 表示则： ① =?=a h a S 21；② ==A bc S sin 2 1 ； ③C B A R S sin sin sin 22 =；④R abc S 4=； ⑤))()((c p b p a p p S ---= ；⑥pr S = 21、三角学中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ?+?=，… 22、在△ABC 中，B A B A sin sin 2c o s 2s i n C B A =+ 2s i n 2c o s C B A =+ 2 2C c t g B A tg =+ t g C t g B t g A t g C t g B t g A ??=++ 24、积化和差公式： ①)]sin()[sin(21 cos sin βαβαβα-++=?， ②)]sin()[sin(21 sin cos βαβαβα--+=?， ③)]cos()[cos(21 cos cos βαβαβα-++=?， ④)]cos()[cos(2 1 sin sin βαβαβα--+-=?。 25、和差化积公式： ①2cos 2sin 2sin sin y x y x y x -?+=+， ②2sin 2cos 2sin sin y x y x y x -?+=-， ③2cos 2cos 2cos cos y x y x y x -?+=+， ④2 sin 2sin 2cos cos y x y x y x -?+-=-。 三、 反三角函数 1、x y arcsin =的定义域是[-1，1]，值域是]2 2[π π，- ，奇函数，增函数； x y a r c c o s =的定义域是[-1，1]，值域是]0[π，，非奇非偶，减函数； a r c t g x y =的定义域是R ，值域是)2 2(π π，-，奇函数，增函数； a r c c t g x y =的定义域是R ，值域是)0(π，，非奇非偶，减函数。 2、当x x x x x ==-∈)cos(arccos )sin(arcsin ]11 [，时，，； 221)c o s (a r c s i n 1)s i n (a r c c o s x x x x -=-=， x x x x a r c c o s )a r c c o s (a r c s i n )a r c s i n (-=--=-π， 2 a r c c o s a r c s i n π =+x x 对任意的R x ∈，有： 2 )()()()(π π=+-=--=-==a r c c t g x a r c t g x a r c c t g x x a r c c t g a r c t g x x a r c t g x a r c c t g x c t g x a r c t g x tg ，， 当x arctgx ctg x arcctgx tg x 1 )(1)(0==≠，时，有：。 3、最简三角方程的解集： {} {}{}{}。 ，的解集为，方程；，的解集为，方程；，的解集为时，； 的解集为时，，的解集为时，； 的解集为时，Z n arcctga n x x a ctgx R a Z n arctga n x x a tgx R a Z n a n x x a x a a x a Z n a n x x a x a a x a n ∈+==∈∈+==∈∈±==≤=>∈?-+==≤=>πππφπφarccos 2cos 1cos 1arcsin )1(sin 1sin 1 四、 不等式 1、若n 为正奇数，由b a <可推出n n b a <吗？ （ 能 ） 若n 为正偶数呢？ （b a 、仅当均为非负数时才能） 2、同向不等式能相减，相除吗 （不能） 能相加吗？ （ 能 ） 能相乘吗？ （能，但有条件） 3、两个正数的均值不等式是： ab b a ≥+2 三个正数的均值不等式是：3 3 a b c c b a ≥++ n 个正数的均值不等式是： n n n a a a n a a a 2121≥+++ 4、两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是 22112 2 2b a b a ab b a +≤ +≤≤+ 6、 双向不等式是：b a b a b a +≤±≤- 左边在)0(0≥≤ab 时取得等号，右边在)0(0≤≥ab 时取得等号。 五、 数列 1、等差数列的通项公式是d n a a n )1(1-+=，前n 项和公式是：2)(1n n a a n S += =d n n na )1(2 1 1-+。 2、等比数列的通项公式是1 1-=n n q a a ， 前n 项和公式是：?????≠--==) 1(1)1() 1(11q q q a q na S n n 3、当等比数列{}n a 的公比q 满足q <1时，n n S ∞ →lim =S= q a -11 。一般地，如果无穷数列{}n a 的前n 项和的极限n n S ∞ →lim 存在，就把这个极限称为这个数列的各项和（或所有项的和），用S 表示，即S=n n S ∞ →lim 。 4、若m 、n 、p 、q ∈N ，且q p n m +=+，那么：当数列{}n a 是等差数列时，有q p n m a a a a +=+；当数列{}n a 是等比数列时，有q p n m a a a a ?=?。 5、 等差数列{}n a 中，若S n =10，S 2n =30，则S 3n =60； 6、等比数列{}n a 中，若S n =10，S 2n =30，则S 3n =70； 六、 复数 1、 n i 怎样计算？（先求n 被4除所得的余数，r r k i i =+4） 2、 i i 2 3 21232121--=+- =ωω、是1的两个虚立方根，并且： 13231==ωω 221ωω= 12 2ωω= 211ωω= 12 1ωω= 21ωω= 12ωω= 121-=+ωω 3、 复数集内的三角形不等式是：212121z z z z z z +≤±≤-，其中左边在复数z 1、z 2对应的向量共线 且反向（同向）时取等号，右边在复数z 1、z 2对应的向量共线且同向（反向）时取等号。 4、 棣莫佛定理是：[]))(sin (cos )sin (cos Z n n i n r i r n n ∈+=+θθθθ 5、 若非零复数)sin (cos ααi r z +=，则z 的n 次方根有n 个，即： )1210)(2sin 2(cos -=+++=n k n k i n k r z n k ，，，， α παπ 它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系？ 都位于圆心在原点，半径为n r 的圆上，并且把这个圆n 等分。 6、 若121)3 sin 3(cos 32z i z z ?+==π π ，，复数z 1、z 2对应的点分别是A 、B ，则△AOB （O 为坐标原点） 的面积是 333 sin 6221=???π 。 7、 z z ?=2 z 。 8、 复平面内复数z 对应的点的几个基本轨迹： ①?=)(a r g 为实常数θθz 轨迹为一条射线。 ②?=-是实常数）是复常数， θθ00()a r g (z z z 轨迹为一条射线。 ③?=-是正的常数）r r z z (0轨迹是一个圆。 ④?-=-)(2121是复常数、z z z z z z 轨迹是一条直线。 ⑤?=-+-是正的常数）是复常数，、a z z a z z z z 2121(2轨迹有三种可能情形：a)当 212z z a ->时，轨迹为椭圆；b)当212z z a -=时，轨迹为一条线段；c)当212z z a -<时，轨迹不存 在。 ⑥?=---)(221是正的常数a a z z z z 轨迹有三种可能情形：a)当212z z a -<时，轨迹为双曲线；b) 当212z z a -=时，轨迹为两条射线；c) 当212z z a ->时，轨迹不存在。 七、 排列组合、二项式定理 1、 加法原理、乘法原理各适用于什么情形？有什么特点？ 加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关。 2、排列数公式是：m n P =)1()1(+--m n n n = ！ ！ )(m n n -； 排列数与组合数的关系是：m n m n C m P ?=！ 组合数公式是：m n C = m m n n n ???+-- 21) 1()1(=！！！)(m n m n -?； 组合数性质：m n C =m n n C - m n C +1-m n C =m n C 1+ ∑=n r r n C =n 2 r n rC =1 1--r n nC 1 121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C 3、 二项式定理： n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(二项展开式的通项 公式：r r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， = 八、 解析几何 1、 沙尔公式：A B x x AB -= 2、 数轴上两点间距离公式：A B x x AB -= 3、 直角坐标平面内的两点间距离公式：22122121)()(y y x x P P -+-= 4、 若点P 分有向线段21P P 成定比λ，则λ= 2 1PP P P 5、 若点),(),(),(222111y x P y x P y x P ，，，点P 分有向线段21P P 成定比λ，则：λ=x x x x --21=y y y y --21 ； x = λλ++12 1x x y = λ λ++12 1y y 若),(),(),(332211y x C y x B y x A ，，，则△ABC 的重心G 的坐标是?? ? ??++++33321321y y y x x x ，。 6、求直线斜率的定义式为k=αtg ，两点式为k=1 21 2x x y y --。 7、直线方程的几种形式： 点斜式：)(00x x k y y -=-， 斜截式：b kx y += 两点式： 121121x x x x y y y y --=--， 截距式：1=+b y a x 一般式：0=++C By Ax 经过两条直线0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：和：的交点的直线系方程是： 0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ 8、 直线222111b x k y l b x k y l +=+=：，：，则从直线1l 到直线2l 的角θ满足：2 11 21k k k k tg +-= θ 直线1l 与2l 的夹角θ满足：2 11 21k k k k tg +-= θ 直线0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：，则从直线1l 到直线2l 的角θ满足： 2 1211 221B B A A B A B A tg +-= θ 直线1l 与2l 的夹角θ满足：2 1211 221B B A A B A B A tg +-= θ 9、 点),(00y x P 到直线0=++C By Ax l ：的距离： 2 2 00B A C By Ax d +++= 10、两条平行直线002211=++=++C By Ax l C By Ax l ：，：距离是 2 2 21B A C C d +-= 11、圆的标准方程是：2 2 2 )()(r b y a x =-+- 圆的一般方程是：)04(02 222>-+=++++F E D F Ey Dx y x 其中，半径是2422F E D r -+= ，圆心坐标是??? ??--22 E D ， 思考：方程02 2 =++++F Ey Dx y x 在0422=-+F E D 和042 2<-+F E D 时各表示怎样的图 形？ 12、若),(),(2211y x B y x A ，，则以线段AB 为直径的圆的方程是 0))(())((2121=--+--y y y y x x x x 经过两个圆 011122=++++F y E x D y x ，022222=++++F y E x D y x 的交点的圆系方程是： 0)(2222211122=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ 经过直线0=++C By Ax l ：与圆02 2 =++++F Ey Dx y x 的交点的圆系方程是： 0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ 13、圆),(002 22y x P r y x 的以=+为切点的切线方程是 200r y y x x =+ 一般地，曲线)(0002 2y x P F Ey Dx Cy Ax ，的以点=++-+为切点的切线方程是： 02 20 000=++?++? -+F y y E x x D y Cy x Ax 。例如，抛物线x y 42=的以点)21(，P 为切点的切线方程是：2 1 42+? =x y ，即：1+=x y 。 注意：这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按照求切线方程的常规过程去做。 14、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种，即： ①判别式法：Δ>0，=0，<0，等价于直线与圆相交、相切、相离； ②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系：距离大于半径、等于半径、小于半径，等价于直线与圆相离、相切、相交。 15、抛物线标准方程的四种形式是：，，px y px y 222 2 -== 。，py x py x 2222-== 16、抛物线px y 22 =的焦点坐标是：?? ? ??02，p ，准线方程是：2p x -=。 若点),(00y x P 是抛物线px y 22 =上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：2 0p x + ，过该抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦（称为通径）的长是：p 2。 17、椭圆标准方程的两种形式是：12222=+b y a x 和122 22=+b x a y )0(>>b a 。 18、椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的焦点坐标是)0(，c ±，准线方程是c a x 2±=，离心率是a c e =，通径的 长是a b 22。其中2 22b a c -=。 19、若点),(00y x P 是椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 上一点，21F F 、是其左、右焦点，则点P 的焦半径的 长是01ex a PF +=和02ex a PF -=。 20、双曲线标准方程的两种形式是：12222=-b y a x 和122 22=-b x a y )00(>>b a ，。 21、双曲线12222=-b y a x 的焦点坐标是)0(，c ±，准线方程是c a x 2± =，离心率是a c e =，通径的长是a b 22，渐近线方程是02222=-b y a x 。其中2 22b a c +=。 22、与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222b y a x )0(≠λ。与双曲线122 22=-b y a x 共焦 点的双曲线系方程是122 2 2=--+k b y k a x 。 23、若直线b kx y +=与圆锥曲线交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则弦长为 2212))(1(x x k AB -+=； 若直线t my x +=与圆锥曲线交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则弦长为 2212))(1(y y m AB -+=。 24、圆锥曲线的焦参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，对于椭圆和双曲线都有：c b p 2=。 25、平移坐标轴，使新坐标系的原点O '在原坐标系下的坐标是（h ，k ），若点P 在原坐标系下的坐标是， ),(y x 在新坐标系下的坐标是),(y x ''，则x '=h x -，y '=k y -。 九、 极坐标、参数方程 1、 经过点),(000y x P 的直线参数方程的一般形式是：? ? ?+=+=)(00是参数t bt y y at x x 。 2、 若直线l 经过点α，倾斜角为),(000y x P ，则直线参数方程的标准形式是： ?? ?+=+=)(sin cos 00是参数t t y y t x x α α 。其中点P 对应的参数t 的几何意义是：有向线段P P 0的数量。 若点P 1、P 2、P 是直线l 上的点，它们在上述参数方程中对应的参数分别是，和、t t t 21则：2121t t P P -=；当点P 分有向线段λ成定比21P P 时，λλ++= 121t t t ；当点P 是线段P 1P 2的中点时，2 2 1t t t +=。 3、圆心在点)(b a C ，，半径为r 的圆的参数方程是：? ??+=+=)(sin cos 是参数ααα r b y r a x 。 3、 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为，),(θρ直角坐标为 ),(y x ，则=x θρcos ，=y θρsin ，x y tg y x = +=θρ，22。 4、 经过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程是：απθαθ+==或， 经过点)0(，a ，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是：a =θρcos ， 经过点)2 (π ，a 且平行于极轴的直线的极坐标方程是：a =θρsin ， 经过点)(00θρ，且倾斜角为α的直线的极坐标方程是：)sin()sin(00αθραθρ-=-。 5、 圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是r =ρ； 圆心在点a a ，半径为， )0(的圆的极坐标方程是θρcos 2a =； 圆心在点a a ，半径为，)2 (π 的圆的极坐标方程是θρsin 2a =； 圆心在点)(00θρ，，半径为r 的圆的极坐标方程是2 00202)cos(2r =--+θθρρρρ。 6、 若点M )(11θρ，、N )(22θρ，，则=MN )cos(221212 221θθρρρρ--+。 十、 立体几何 1、求二面角的射影公式是S S ' = θcos ，其中各个符号的含义是：S 是二面角的一个面内图形F 的面积，S '是图形F 在二面角的另一个面内的射影，θ是二面角的大小。 2、若直线l 在平面α内的射影是直线l '，直线m 是平面α内经过l 的斜足的一条直线，l 与l '所成的角为1θ， l '与m 所成的角为2θ, l 与m 所成的角为θ，则这三个角之间的关系是21cos cos cos θθθ?=。 3、体积公式： 柱体：h S V ?=，圆柱体：h r V ?=2 π。 斜棱柱体积：l S V ?'=（其中，S '是直截面面积，l 是侧棱长）； 锥体：h S V ?= 31，圆锥体：h r V ?=23 1 π。 台体：)(31S S S S h V '+'?+?= ， 圆台体：)(312 2r r R R h V +?+=π 球体：3 3 4r V π=。 4、 侧面积： 直棱柱侧面积：h c S ?=，斜棱柱侧面积：l c S ?'=； 正棱锥侧面积：h c S '?= 21，正棱台侧面积：h c c S ''+=)(2 1 ； 圆柱侧面积：rh h c S π2=?=，圆锥侧面积：rl l c S π=?= 2 1 ， 圆台侧面积：l r R l c c S )()(2 1 +='+=π，球的表面积：24r S π=。 5、几个基本公式： 弧长公式：r l ?=α（α是圆心角的弧度数，α>0）； 扇形面积公式： r l S ?= 2 1 ； 圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角公式：πθ2?= l r ； 圆台侧面展开图（扇环）的圆心角公式：πθ2?-= l r R 。 经过圆锥顶点的最大截面的面积为（圆锥的母线长为l ，轴截面顶角是θ）： ?????< 2(2 1)20(sin 2122 πθππθθl l S 十一、比例的几个性质 1、比例基本性质： bc ad d c b a =?= 2、反比定理： c d a b d c b a =?= 3、更比定理：d b c a d c b a =?= 5、 合比定理；d d c b b a d c b a +=+?= 6、 分比定理：d d c b b a d c b a -= -?= 7、 合分比定理：d c d c b a b a d c b a -+= -+? = 8、 分合比定理：d c d c b a b a d c b a +-= +-? = 9、 等比定理：若 n n b a b a b a b a ==== 33 2211，0321≠++++n b b b b ，则1 1321321b a b b b b a a a a n n =++++++++ 。 十二、复合二次根式的化简 2 2 22B A A B A A B A --± -+= ± 当B A B A ->>2 00，，是一个完全平方数时，对形如B A ±的根式使用上述公式化简比较方便。 十三、简易逻辑 1. 可以判断真假的语句叫做命题. 2. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”. 3. p 、q 形式的复合命题的真值表: p q P 且q P 或q 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 假 真 假 假 假 假 4. 命题的四种形式及其相互关系 互 逆 互 互 互 为 互 否 逆 逆 否 否 否 否 否 否 互 逆 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假. 十四、平面向量 １．运算性质：()() a a a c b a c b a a b b a =+=+++=+++=+00,, 原命题 若p 则q 逆命题 若q 则p 否命题 若﹃ｐ则﹃q 逆否命题 若﹃ｑ则﹃ｐ ２．坐标运算：设()()2211,,,y x b y x a ==→ →，则 ()2121,y y x x b a ±±=±→ → 设A 、B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则 ()1212,y y x x AB --=→ . 3．实数与向量的积的运算律: ()()→ →→→→→→→→+=?? ? ??++=+=??? ??b a b a a a a a a λλλμλμλλμμλ,, 设()y x a ,=→，则λ()()y x y x a λλλ,,==→ ， 4．平面向量的数量积： 定义：?? ? ??≤≤≠≠?=?→→→→→ → → →001800,0,0cos θθb a b a b a 00=?→ →a . 运算律:??? ???=??? ???=???? ???=?→→→→→→→ →→→b a b a b a a b b a λλλ, → →→→→→→?+?=??? ? ??+c b c a c b a 坐标运算:设()()2211,,,y x b y x a ==→ → ,则 2121y y x x b a +=?→→ 5.重要定理、公式: （1） 平面向量的基本定理 如果→ 1e 和→ 2e 是同一平面内的两个不共线向量 ,那么对该平面内的任一向量→ a ,有且只有一对实数 21,λλ ,使→ →→+=2211e e a λλ （2） 两个向量平行的充要条件 → → → → =?b a b a λ// )(R ∈λ 设 ()()2211,,,y x b y x a ==→ → ，则 ?→ → b a // 01221=-y x y x （3） 两个非零向量垂直的充要条件 0=??⊥→ →→ → b a b a 设 ()()2211,,,y x b y x a ==→ → ，则 02121=+?⊥→ → y y x x b a （4） 线段的定比分点坐标公式 设P （x ，y ） ，P 1（x 1，y 1） ，P 2（x 2，y 2） ，且→ → =21PP P P λ ，则 ??? ????++=++=λ λλλ11212 1y y y x x x 中点坐标公式 ??? ??? ?+=+=2221 21y y y x x x （5） 平移公式 如果点 P （x ，y ）按向量()k h a ,=→ 平移至P ′（x ′，y ′），则 ?????+=+=. , ' 'k y y h x x 十五、空间向量 （1）向量加法与数乘向量的基本性质. )(,→→→→→→→ →→→ ++=+?? ? ??++=+c b a c b a a b b a → →→→+=?? ? ??+b k a k b a k （2）向量数量积的性质. ?? ? ??≤≤≠≠?=?→→→→→ →→ →001800,0,0cos θθb a b a b a 2 →→ →=?a a a , 0=??⊥→ →→ → b a b a （3）空间向量基本定理.给定空间一个基底? ?? ???→→→c b a ,,,且对空间任一向量→ p ,存在唯一的有序实数组（x,y,z ）使 → → → → ++=c z b y a x p （x,y,z ）叫做向量→ p 在基底? ?? ???→→→c b a ,,上的坐标. 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组x,y,z 使 → →→→++=OC z OB y OA x OP （4）向量的直角坐标运算 设()()321321,,,,,b b b b a a a a ==→ → ,则 ()332211,,b a b a b a b a +++=+→ → ()332211,,b a b a b a b a ---=-→ → ()()R a a a a ∈=→ λλλλλ321,, 332211b a b a b a b a ++=?→ → 2 32221a a a a a a ++=?=→ →→ 23 222123 22 2 1 332211,cos b b b a a a b a b a b a b a ++++++>= <→ → ()R b a b a b a b a ∈===?→ → λλλλ,,,//332211 0332211=++?⊥→ → b a b a b a b a 设A=()111,,z y x , B=()222,,z y x ,则 =-=→ →→OA OB AB ()222,,z y x - ()111,,z y x =()121212,,z z y y x x --- ()()()212212212z z y y x x AB AB AB -+-+-+ ?= → →→ （1）若事件A 、B 为互斥事件,则 P （A+B ）=P （A ）+P （B ） （2）若事件A 、B 为相互独立事件,则 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） （3）若事件A 、B 为对立事件,则 P （A ）+P （B ）=1 一般地,() ()A P A p -=1 （4）如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n 次独立重复试验中这个事恰好发生K 次的概率 ()() k n k k n n p p C K P --=1 十七、概率与统计 （1）离散型隋机变量的分布列的性质: ①;,2,1,0 =≥i p i ②121=++ p p . （2）若离散型惰机变量ξ的分布列为 ξ X 1 X 2 … x n … p P 1 P 2 … p n … 则ξ的数学期望 E ξ= ++++n n p x p x p x 2211 期望的性质 设a 、b 为常数，则 E （a ξ+b ）=a E ξ+b 若ξ～B （n ，p ），则 E ξ=np ξ的方差为 D ξ=（x 1- E ξ）2·p 1+（x 2 - E ξ）2·p 2+…+（x n - E ξ）2·p n +… 方差的性质 设a 、b 为常数，则 D （a ξ+b ）=a 2D ξ 若ξ～B （n ，p ），则 D ξ=np （1-p ） （3）正态分布 ①正态总体函数 ()() 2 2 221 σμσ π-- = x e x f ，()∞∞-∈,x ，其中μ表示总体平均值，σ表示标准差，其分布叫做正态分布，记 作N （μ，σ2），函数的图象叫正态曲线. ②在正态分布中，当μ，=0，σ=1时，叫做标准正态分布，记作N （0，1）. ③标准正态分布表中，相应于0x 的值()0x φ=P ()0x x <. ④正态总体N （μ，σ2）取值小于x 的概率F （x ）=?? ? ??-σμφx . ⑤若0x <0,则()0x φ=1-()0x -φ,从而可利用标准正态分布表. ⑥正态分布 N （μ，σ2）,()()()12201x x P x x P x x x P <-<=<< =()()?? ? ??--??? ??-=-σμφσμφ1212x x x F x F 十八、导数 （1）定义:当△x →0时,函数的增量△y 与自变量的增量△x 的比 x y ??的极限,,即 ()()()x x f x x f Lim x y Lim x f x x ?-?+=??=→?→?00' （2）函数()x f y =在点0x 处的导数的几何意义,就是曲线()x f y =在点P （0x ,f （0x ））处的切线的斜率. （3）质点作直线运动的位移S 是时间t 的函数,则()0' t S 即为质点在t=t 0的瞬时速度. （4）几个重要函数的导数 ①0' =C ,（C 为常数） ②()()Q n nx x n n ∈=-1' ③()x x cos sin '= ④()x x sin cos ' -= ⑤()x Inx 1' = ⑥()e Iog x x Iog a a 1 ' = ⑦()x x e e =' ⑧()Ina a a x x =' （6） 导数的四运算法则 ①()' '' υμυμ±=± ②()' '' μυυμμυ+= ③()0)(2 ' ''±-=υυ μυυμυμ （5）复合函数求导法则 '''x x y y μμ=, 其中'x y 是y 对x 求导,' μy 是y 对μ求导,'x μ是μ对x 求导. （7） 导数的应用 ① 可导函数．．．． 求单调区间或判断单调性的方法:使()x f ' >0的区间为增区间,使()x f '<0的区间为减区间. ② 可导函数．．．． ()x f 求极值的步骤: ⅰ.求导数()x f ' ⅱ.求方程()x f ' =0的根n x x x ,,,21 ⅲ.检验()x f ' 在方程的根的附近左右值的符号,若左正右负,则在这个根处取极大值,若左负右正,则在这个根 处取极小值. ③ 连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值, ④ ()x f 在闭区间[a,b]上连续,在（a,b ）内可导,则求()x f 最大值、最小值的步骤与格式为 ⅰ. 求导数()x f ' ⅱ.求方程()x f ' =0的根n x x x ,,,21 ⅲ.结合在[a,b]上的根及闭区间[a,b]的端点数值,列出表格若(b x x x a n <<<<< 21) x a ()1,x a 1x ()21,x x 2x … n x ()b x n , b 'y 正负号 0 正负号 0 0 正负号 y 值 单调性 值 单调性 值 值 单调性 值 ⅳ.根据上述表格的单调性及的大小,确定最大值与最小值. 十九、函数极限 （1）()()()a x f Iim x f Iim a x f Iim x x x ===-∞ →+∞ →∞ →的充要条件是 （2）()a x f Iim x x =→0 的充要条件是()()a x f Iim x f Iim x x x x ==- +→→0 （3）()x f 在0x 处连续的充要条件是()()00 x f x f Iim x x =→,几可意义是()x f 的图象在0x 处是不间断的,即是连续的. （4）函数极限的四则运算 如果()()b x g Iim a x f Iim x x x x ==→→0 ,,那么, ()()b a x g x f Iim x x ±=±→][0 ()()[]b a x g x f Iim x x ?=?→0 ()()()0,0 ≠=→b b a x g x f Iim x x 高中数学公式大全 （最全面，最详细） 高中数学公式大全 抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上bx再加上c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a（x+h）* + k 就是y等于a乘以（x+h）的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi）(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 （一）椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 （二）椭圆面积计算公式 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数： 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA 高一数学常用公式及结论 必修1： 一、集合1、含义与表示：（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 （2）集合的分类；有限集，无限集 （3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法 2、集合间的关系：子集：对任意x A ∈，都有 x B ∈，则称A 是B 的子集。记作A B ? 真子集：若A 是B 的子集，且在B 中至少存在一个元素不属于A ，则A 是B 的真子集， 记作A ≠ ?B 集合相等：若：,A B B A ??,则A B = 3. 元素与集合的关系：属于∈ 不属于：? 空集：φ 4、集合的运算：并集：由属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫并集，记为 A B 交集：由集合A 和集合B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为A B 补集：在全集U 中，由所有不属于集合A 的元素组成的集合叫补集， 记为U C A 5．集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个； 6.常用数集：自然数集：N 正整数集：* N 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 二、函数的奇偶性 1、定义： 奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ，偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )（注意定义域） 2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形； （2）偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形； （3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数； （4）如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 二、函数的单调性 1、定义：对于定义域为D 的函数f ( x )，若任意的x 1, x 2∈D ，且x 1 < x 2 ① f ( x 1 ) < f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) < 0 <=> f ( x )是增函数 ② f ( x 1 ) > f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) > 0 <=> f ( x )是减函数 2、复合函数的单调性: 同增异减 三、二次函数y = ax 2 +bx + c （0a ≠）的性质 1、顶点坐标公式：??? ? ??--a b ac a b 44,22， 对称轴：a b x 2-=，最大（小）值：a b ac 442- 2.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 四、指数与指数函数 1、幂的运算法则： （1）a m ? a n = a m + n ，（2）n m n m a a a -=÷，（3）( a m ) n = a m n （4）( a b ) n = a n ? b n （5） n n n b a b a =??? ??（6）a 0 = 1 ( a ≠0)（7）n n a a 1=- （8）m n m n a a =（9）m n m n a a 1=- 2、根式的性质 （1）()n n a a =. （2）当n 为奇数时，n n a a =； 当n 为偶数时，,0 ||,0 n n a a a a a a ≥?==? - 数学公式 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB 数列： 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^2 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 解三角形： 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b*2=a*2+c*2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角 平面图形计算公式 弧长计算公式：L=n π r／180 扇形面积公式：s扇形=nπr*2／360=lr／2 正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n 正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长 正三角形面积√3a／4 a表示边长 秦九韶三角形中线面积公式: S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3 （其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.） 平行四边形的面积=底×高 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2 高 中文科数学公式总结 一、函数、导数 1．元素与集合的关系:U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.A A ??≠?? 集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个；非空的真子集有 22n -个. 2. 真值表 常 四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.） 3. 充要条件（记p 表示条件，q 表示结论） （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4. 全称量词?表示任意，?表示存在；?的否定是?，?的否定是?。 例：2 ,10x R x x ?∈++> 的否定是 2 ,10x R x x ?∈++≤ 5. 函数的单调性 (1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 6. 复合函数)]([x g f y =单调性判断步骤： （1）先求定义域 （2）把原函数拆分成两个简单函数)(u f y =和)(x g u = （3）判断法则是同增异减（4）所求区间与定义域做交集 7. 函数的奇偶性 (1)前提是定义域关于原点对称。 (2)对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。 (3)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。 8．若奇函数在x =0处有意义，则一定存在()00f =； 若奇函数在x =0处无意义，则利用 ()()x x f f -=-求解； 9．多项式函数1 10()n n n n P x a x a x a --=++?+的奇偶性 多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 10. 常见函数的图像： 11. 函数的对称性 (1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x a f x a f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是a x = (3)对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是2 b a x +=; 12. 由 )(x f 向左平移一个单位得到函数)1(+x f 由)(x f 向右平移一个单位得到函数)1(-x f 由 )(x f 向上平移一个单位得到函数1)(+x f 由)(x f 向下平移一个单位得到函数1)(-x f 若将函数)(x f y =的图象向右移a 、再向上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线 0),(=y x f 的图象向右移a 、向上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. 13. 函数的周期性 （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T a =||； （2）()()f x a f x +=-，则)(x f 的周期2T a =|| （3）1 ()() f x a f x += ，则)(x f 的周期2T a =|| （4）()()f x a f x b +=+,则)(x f 的周期T a b =|-|； 14. 分数指数 (1)m n a =0,,a m n N *>∈，且1n >）. 高中文科数学公式及知识点速记 一、函数、导数 1、函数的单调性 (1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减 函数. 2、函数的奇偶性 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。 3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. *二次函数： （1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+- 4、几种常见函数的导数 ①' C 0=；②1 ' )(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos ' -=； ⑤a a a x x ln )(' =；⑥x x e e =' )(； ⑦a x x a ln 1)(log ' = ；⑧x x 1)(ln ' = 5、导数的运算法则 （1）' ' ' ()u v u v ±=±. （2）' ' ' ()uv u v uv =+. （3）'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 6、会用导数求单调区间、极值、最值 7、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 指数函数、对数函数 分数指数幂 (1)m n a =0,,a m n N *>∈，且1n >）. (2)1m n m n a a - = = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 根式的性质 （1）当n a =； 乘法与因式分解 a^2-b^2=(a+b)(a-b) a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) ? a^3-b^3=(a-b(a^2+ab+b^2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解-b+√(b^2-4ac)/2a -b-√(b^2-4ac)/2a 根与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理 判别式 b^2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根 b^2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根 b^2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2] cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan=2tanA/(1-tan) ctg=(ctg-1)/2ctga cos=cos-sin=2cos-1=1-2sin 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) co s(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 高中数学概念公式大全 一、 三角函数 1、以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则 sin α= r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 22=+αα， αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ； 倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα； 相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如： =-)23sin(απαcos -，)215(απ -ctg =αtg ， =-)3(απtg αtg -。 4、函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是 B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频率是π ω 2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线 )(2 Z k k x ∈+ =+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都 是该图象的对称中心。 5、三角函数的单调区间： x y sin =的递增区间是?????? +-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是?? ???? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22， )(Z k ∈，tgx y =的递增区间是?? ? ? ?+ - 22 πππ πk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)cos(βαβαβαsin sin cos cos μ = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?±μ1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 212tg tg -。 8、三倍角公式是：sin3α=αα3 sin 4sin 3- cos3α=ααcos 3cos 43 - 9、半角公式是：sin 2α=2cos 1α-± cos 2α=2 cos 1α +± tg 2α=α αcos 1cos 1+-±=ααsin cos 1-=ααcos 1sin +。 高中数学常用公式及结论 元素与集合的关系 : x A x C U A , x C U A x A . 1 ? A A 2 n 2 n 2 n 1个；非空子集有 2 1 个；非空的真子集有 集合 { a ,a , , a } 的子集个数共有 个；真子集有 1 2 n n 2 2 个. 3 二次函数的解析式的三种形式： ax 2 (1) 一般式 f (x) bx c(a 0) ; h)2 (2) 顶点式 f (x) a(x k(a 0) ; （当已知抛物线的顶点坐标 (h, k ) 时，设为此式） (3) 0) ；（当已知抛物线与 x 轴的交点坐标为 零点式 f (x) a(x x 1 )( x x 2 )(a ( x 1,0),( x 2 ,0) 时，设 为此式） 2 a(x x 0 ) （ 4）切线式： f ( x) (kx d ), (a 0) 。（当已知抛物线与直线 y kx d 相切且切点的横 坐标为 x 0 时，设为此式） 4 5 真值表： 同真且真，同假或假 ; 常见结论的否定形式 原结论是 都是大于 小于 反设词 不 是 不都是不大于不小于 存在某 存在某 原结论 至少有一个至多有一个至少有 n 个至多有 n 个 p 或 q p 且 q 反设词 一个也没有至少有两个 n n q q 1）个 1）个 至多有（ 至少有（ p 且 p 或 x ，成立 x ，不成立 x ，不成立 x ，成立 对所有 对任何 6 ( 下图 ): （ 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假 . ） 四种命题的相互关系 原命题 若ｐ则ｑ 互逆 逆命题 若ｑ则ｐ 互 互 互 否 为 为 互 否 逆 逆 否 否 否命题 若非ｐ则非ｑ 逆否命题 若非ｑ则非ｐ 互逆 p p q ，则 q ，且 充要条件： (1) P 是 q 的充分条件，反之， q 是 p 的必要条件； 、 （ 2）、 q ≠> p ，则 P 是 q 的充分不必要条件； (3) 、p ≠ > p ，且 q p ，则 P 是 q 的必要不充分条件； 4、p ≠ > p ，且 q ≠ > p ，则 P 是 q 的既不充分又不必要条件。 7 函数单调性 : 增函数： (1) y 随 x 的增大而增大。 、文字描述是： 高中数学常用公式及常用结论 1.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 2．集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2 个. 3.充要条件 （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4.函数的单调性 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->? []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函 数. 5.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数 )(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 6．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 7.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2 b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2 b a x += 对称. 8.几个函数方程的周期(约定a>0) （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2），)0)(()(1 )(≠=+x f x f a x f ，或1()() f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ； 9.分数指数幂 (1)m n a = （0,,a m n N * >∈，且1n >）.(2)1m n m n a a - = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 10．根式的性质 （1 ）n a =.（2）当n a =；当n ,0 ||,0a a a a a ≥?==? -∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r r a b a b a b r Q =>>∈. 12.指数式与对数式的互化式 log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. ①.负数和零没有对数，②.1的对数等于0：01log =a ，③.底的对数等于1：1log =a a ， ④.积的对数：N M MN a a a log log )(log +=，商的对数：N M N M a a a log log log -=， 高中数学公式大全（最全面，最详细） 高中数学公式大全 抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上bx再加上c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a（x+h）* + k 就是y等于a乘以（x+h）的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi）(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 （一）椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 （二）椭圆面积计算公式 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数： 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 四倍角公式： sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4) tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4) 五倍角公式： sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4) 六倍角公式： 必修1数学知识点 §1.1.1、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的 子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定：空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A . 3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都 有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作： ()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致， 则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、 注意函数单调性证明的一般格式： 解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则：()()21x f x f -=… §1.3.2、奇偶性 1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为偶函数. 偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称. 第二章、基本初等函数（Ⅰ） §2.1.1、指数与指数幂的运算 1、 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根。其中+∈>N n n ,1. 2、 当n 为奇数时，a a n n =； 当n 为偶数时，a a n n =. 3、 我们规定： 高中数学学考常用公式及结论 必修1： 一、集合 1、含义与表示：（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 （2）集合的分类；有限集，无限集 （3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法 2、集合间的关系： 子集：对任意x A ∈，都有 x B ∈，则称A 是B 的子集。记作A B ? 真子集：若A 是B 的子集，且在B 中至少存在一个元素不属于A ，则A 是B 的真子集，记作A ≠ ?B 集合相等：若：,A B B A ??,则A B = 3. 元素与集合的关系：属于∈ 不属于：? 空集：φ 4、集合的运算：并集：由属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫并集，记为 A B U 交集：由集合A 和集合B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为A B I 补集：在全集U 中，由所有不属于集合A 的元素组成的集合叫补集，记为U C A 5．集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个； 6.常用数集：自然数集：N 正整数集：* N 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 二、函数的奇偶性 1、定义： 奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ， 偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )（注意定义域） 2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形； （2）偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形； （3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数； （4）如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 二、函数的单调性 1、定义：对于定义域为D 的函数f ( x )，若任意的x 1, x 2∈D ，且x 1 < x 2 ① f ( x 1 ) < f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) < 0 <=> f ( x )是增函数 ② f ( x 1 ) > f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) > 0 <=> f ( x )是减函数 2、复合函数的单调性: 同增异减 三、二次函数y = ax 2 +bx + c （0a ≠）的性质 1、顶点坐标公式：??? ? ??--a b ac a b 44,22， 对称轴：a b x 2-=，最大（小）值：a b ac 442- 2.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 高中数学常用公式大全 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==I U U I . 3．集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 4.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 5.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 龙正中学05级高中数学公式总结 一、 函数 1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。 二次函数c bx ax y ++=2 的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是???? ??--a b ac a b 4422，。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式） c bx ax x f ++=2 )(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2)()( （顶点式）。 二、 三角函数 1、 以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α=r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、 同角三角函数的关系中， 平方关系是：1cos sin 2 2=+αα，αα2 2 sec 1=+tg ，αα2 2 csc 1=+ctg ； 倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα； 相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。 4、 函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频率是 πω2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+=+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间： x y sin =的递增区间是?? ? ?? ?+ - 222 2πππ πk k ，)(Z k ∈，递减区间是?????? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22， -)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是?? ? ? ? + -22 πππ πk k ，)(Z k ∈ 6、和角、差角公式：=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)cos( βαβαβαsin sin cos cos = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?± 1 ---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 高中数学公式及知识点总结大全(精华版) ?中?科数学公式及知识点速记?、函数、导数1、函数的单调性(1)设那么上是增函数；上是减函数.(2)设函数在某个区间内可导，若，则为增函数；若数. 2、函数的奇偶性对于定义域内任意的，都有，则是偶函数；对于定义域内任意的，都有，则是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称。 3、函数在点处的导数的?何意义函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率程是.*?次函数：（1）顶点坐标为 4、?种常?函数的导数①；②；③；（2）焦点的坐标为；④；⑤；⑥；⑦；⑧ 5、导数的运算法则（1）. （2）. （3） 6、会?导数求单调区间、极值、最值 7、求函数的极值的?法是：解?程．当. 时：(1) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极?值；(2) 如果在附近的左侧指数函数、对数函数分数指数幂(1)（(2)（，右侧，那么是极?值．，且）. ，且）.，则为减函，相应的切线?1 1/ 15 根式的性质（1）当为奇数时，当为偶数时，； .有理指数幂的运算性质(1).(2).(3).注：若 a＞0，p 是?个?理数，则 ap 表示?个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于?理数指数幂都适?..指数式与对数式的互化式:..对数的换底公式 :(,且 ,,且 ,).对数恒等式：推论(,且,).(,且,).常?的函数图象?、三?函数、三?变换、解三?形、平?向量 8、同?三?函数的基本关系式，=.9、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）的正弦、余弦，等于的同名函数，前?加上把看成锐?时该函数的符号；的正弦、余弦，等于的余名函数，前?加上把看成锐?时该函数的符号。 ，，．，，．，，．2 高一数学知识要点与公式总结高一数学公式大全总结高一数学知识点总结及公式大 全 高一数学公式大全总结高一数学知识点总结及公式大全 高一数学知识要点与公式总结1)、理解集合中的有关概念 (1)集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性。 (2)集合与元素的关系用符号，表示。 (3)常用数集的符号表示：自然数集 ;正整数集、 ;整数集 ;有理数集、实数集。 (4)集合的表示法：列举法，描述法，韦恩图。 (5)空集是指不含任何元素的集合。 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 2)、集合中元素的个数的计算： (1)若集合中有 n 个元素，则集合的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是。 3)、若 ; 则是的充分非必要条件 ; 若 ; 则是的必要非充分条件 ; 若 ; 则是的充要条件 ; 若 ; 则是的既非充分又非必要条件 ; 4)、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的 ; 5)、反证法：当证明“若，则”感到困难时，改证它的等价命题“若则”成立，步骤：1、假设结论反面成立;2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾;3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。 矛盾的 1、与原命题的条件矛盾;2、导出与假设相矛盾的命题;3、导出一个恒假命题。 适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。 正面词语等于大于小于是都是至多有一个否定正面词语至少有一个任意的所有的至多有 n 个任意两个否定 1)、映射与函数： (1)映射的概念： (2)一一映射： (3)函数的概念： 2)、函数的三要素：，，。 (1)函数解析式的求法：①定义法(拼凑)：②换元法： ③待定系数法：④赋值法： (2)函数定义域的求法：含参问题的定义域要分类讨论; 对于实际问题，在求出函数解析式后;必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来高中数学公式史上最全大全
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