《高等几何》学习指导
第一章仿射坐标与仿射变换
一、教学目的要求
1、理解透视仿射对应、仿射对应和仿射变换的概念，注意其区别和联系；
2、熟练掌握共线三点单比的概念及其坐标表示法；
3、理解仿射不变性与仿射不变量的概念，并能利用它们证明平面图形的其它仿射性质；
4、熟练掌握仿射变换的代数表示.
二、教学重点、难点
重点：
透视仿射对应、仿射变换的概念；仿射不变性与仿射不变量；仿射变换的代数表示和共线三点单比的坐标表示法.
难点：透视仿射对应的概念、特征及判断.
三、内容小结
本章主要介绍下述内容：
1、共线三点单比（简比）的概念
2、透视仿射对应
1）、概念：
①、同一平面内，直线l到直线/l的透视仿射对应；
②、平面π到平面/π的透视仿射对应.
2）、判断：对应点连线互相平行.
3）、性质：
①、保持同素性；
②、保持结合性；
③、保持平行性；
④、保持共线三点单比不变.
3、仿射对应与仿射变换
概念：透视仿射链.
4、仿射坐标
1）、仿射坐标系；
2）、共线三点单比的坐标表示： 设31311233232
(,),(1,2,3),()i i i x x y y P x y i PP P x x y y --===--则； 3）、仿射变换的代数表示：/111213/212223x a x a y a y a x a y a ?=++??=++??， 11122122
0a a a a ?=≠； 5、仿射性质
1）、仿射不变性：同素性、结合性、平行性.
2）、仿射不变量：
共线三点的单比；
两条平行线段之比；
两个三角形面积之比；
两个封闭图形面积之比.
3）、常见的仿射不变图形：三角形、平行四边形、梯形.
四、例题
例1、直线上三点的非齐次坐标分别为A(-2,-4),B(5,2),C 3(,1)2
-,求单比（ABC ）. 解：设A 、B 、C 的非齐次坐标分别为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 由31323
22()1352
x x ABC x x +-===---. 例2、平面上是否存在仿射变换，使点A （1，2），B （-2，-4）， C （3，6）分别变为点A /（-1，-1），B /（2，2），C /（0，0）？
解：由于A ，B ，C 三点共线，A /，B /， C /也共线，下面验证它们的单比是否保持不变，
由于：
//////////312011(),(),()()325022
AC A C ABC A B C ABC A B C BC B C -+======-∴≠+- 因此这样的仿射变换不存在.
例3、求使三点（0，0），（1，1），（1，-1）顺次变到三点（2，
3），（2，5），（3，-7）的仿射变换.
解：设所求仿射变换为：/111213/212223x a x a y a y a x a y a ?=++??=++??11122122
0a a a a ?=≠， 将（0，0）对应（2，3），
（1，1）对应（2，5），
（1，-1）对应（3，-7）分别代人上式得：
13
23
111213
212223
111223
212223
232537a a a a a a a a a a a a a a ===++=++=-+-=-+ ，解此方程组，得
132311122122112,3,,,4,622a a a a a a ====-== 故所求仿射变换为：//11222463x x y y x y ?=-+???=-++?
， 且1102246-?=≠-. 例4、求一仿射变换，它使直线210x y +-=210x y +-=上的每个点都不变，且使点（1，-1）变为（-1，2）.
解：在直线210x y +-=上任取两点（1，0），（-1，1），由于
（1，0）→（1，0）；（-1，1）→（-1，1），又（1，-1）→（-1，2），由于三对对应点分别不共线，从而可唯一确定一仿射变换，将它们的
坐标分别代入仿射变换式/111213/212223
x a x a y a y a x a y a ?=++??=++??， 解得：//22133222x x y y x y ?=+-??=--+??，220322?=≠--，即为所求的仿射变换.
例5、求椭圆的面积.
解法1（见教材第15页）
解法2：设在笛氏直角坐标下圆的方程为222x y r +=即22221x y r r +=，
《几何学概论》试题（１） 1. 试确定仿射变换，使y 轴，x 轴的象分别为直线01=++y x ，01=--y x ，且点（1，1） 的象为原点.(51') 2. 利用仿射变换求椭圆的面积.(01') 3. 写出直线12x +23x -3x =0,x 轴,y 轴,无穷远直线的齐次线坐标.(01') 4. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(51') 5. 已知A (1,2,3),B (5,-1,2),C (11,0,7),D (6,1,5),验证它们共线,并求(CD AB ,)的 值.(8') 6. 设1P (1,1,1),2P (1,-1,1),4P (1,0,1)为共线三点,且(4321,P P P P )=2,求3P 的坐标.(21') 7. 叙述并证明帕普斯(Pappus)定理.(01') 8.一维射影对应使直线l 上三点P (-1),Q (0),R (1)顺次对应直线l '上三点 P '(0),Q '(1),R '(3),求这个对应的代数表达式.(01') 9.试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.(01') 《高等几何》试题（２） 1.求仿射变换424,17++='+-='y x y y x x 的不变点和不变直线. (51') 2. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(51') 3.求证a (1,2,-1) ,b (-1,1,2),c (3,0,-5)共线,并求l 的值,使 ).3,2,1(=+=i mb la c i i i (01') 4.已知直线421,,l l l 的方程分别为02321=-+x x x ，0321=+-x x x ， 01=x ，且=),(4321l l l l 3 2- ，求2l 的方程.(51') 5.试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. (01') 6.试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底 的交点自对应. (01') 7.求两对对应元素,其参数为12 1→ ,0→2,所确定对合的参数方 程. (01')
《高等几何》考试试题A 卷(120分钟) 一、填空题(2分?12=24分) 1 平行四边形 ;2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为: (5,-1,0) 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为: 0231=-x x 5、方程0652 2 2121=+-u u u u 表示的图形坐标 (1,2,0) (1,3,0) 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ,则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形,过A 引AE 与对角线BD 平行,则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a):21→,32→,43→; b):10→,32→,01→ 其中为对合的就是: b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件就是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ,)1,5,2(B ,)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程,它就是由下列两个射影线束所决定的: 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解:射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有:1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得, 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。
数学与应用数学专业《高等几何》试卷B 一、 填空题（2分?12=24分） 1、仿射变换的基本不变性与不变量有 同素性、结合性、简比不变、保持平行性 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： （5，-1，0） 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x 5、方程0652 22121=+-u u u u 表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0） 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ，则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 32221=+++++x x x x x x x x x 的极线方程 063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ）：21→，32→，43→； b ）：10→，32→， 01→ 其中为对合的是： b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的： 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有：1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得， 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。 三、如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。（10分） 证明：三点形ABC 和三点形C B A '''内接于二次曲线（C ），设 AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D ' B A '' AC=E '，则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所以， ),E , D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,, E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B 这两个点列对应点的连线AC ，B C ''，A C '',BC 连同这两个点列的底AB ， B A ''属于同一条二级曲线（ C '），亦即三点形ABC 和三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。
《高等几何》教学大纲 一、课程名称 《高等几何》（Projective Geometry） 二、课程性质 数学与应用数学专业限选课。它跟初等几何、解析几何、高等代数等课程有紧密的联系；它对未来中学数学教师在几何方面基础的培养、观点的提高、思维的灵活、方法的多样起着重要作用，从而大有助于中学数学教学质量的提高和科研能力的培养。本课程的主旨在于拓展读者的几何空间知识，学习了解变换群观点，进而达到训练理性思维的能力，提高数学修养的目的。本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形。通过本课程的学习，可以有效地提高数学审美意识。 本大纲要求本课程的内容处理上实行解析法与综合法并用，以解析法为主。前修课程包括：初等几何、解析几何、数学分析、高等代数、近世代数。 三、课程教学目的 通过本课程的学习，使学生掌握射影几何的基本内容和处理几何问题的方法，同时也认识射影几何、仿射几何、欧氏几何的内在联系，以及在初等几何和解析几何中的应用，并为学习数学的其他分支打好基础。尤其是对无穷远元素的认识和理解，以开拓同学们的思维方式和视野，使同学们能以居高临下的观点来处理初等数学问题。 四、课程教学原则和方法 1、理论与实践相结合的原则； 2、《高等几何》知识与高等数学中的其它知识相结合原则； 3、《高等几何》知识与初等几何知识相结合的原则； 4、在课堂教学中使用传统的讲解法，并适当采用教具演示的方法相结合的原则； 5、讲解法与自学相结合的原则。 五、课程总学时 72学时，习题课占1/5。
六、教学内容要点及建议学时分配 课程教学内容要点及建议学时分配 第一章仿射坐标与仿射变换（计划学时6） 一、本章教学目标：通过本章的学习，掌握透视仿射对应(变换)，仿射对应(变换)以及其代数表达式等。 二、本章主要内容： 第一节透视仿射对应 1、弄清共线三点的单比和透视仿射对应的基本概念。 2、熟练掌握透视仿射对应的四个性质---保持同素性、结合性、共线三点的单比和平行性。 第二节仿射对应与仿射变换 1、掌握平面上的透视链、二直线间和二平面间的仿射对应与仿射变换的概念。 2、掌握仿射对应与仿射变换的性质。 第三节仿射坐标
《高等几何》试题（１） 1.试确定仿射变换，使y 轴，x轴的象分别为直线x y 1 0 ， x y 1 0 ，且点（1，1） 的象为原点 .( 15 ) 2.利用仿射变换求椭圆的面积 .( 10 ) 3. 写出直线3x x x 轴,y10 2x +2-3=0,轴 , 无穷远直线的齐次线坐标.() 1 4.叙述笛沙格定理 , 并用代数法证之 .( 15 ) 5.已知A(1,2,3), B (5,-1,2), C (11,0,7), D (6,1,5),验证它们共线,并求(AB, CD)的值.( 8 ) 6.设P(1,1,1),P (1,-1,1),P (1,0,1)为共线三点,且(P P , P P)=2,求P的坐标.(12) 124 1 2 3 43 7.叙述并证明帕普斯 (Pappus) 定理 .( 10 ) 8.一维射影对应使直线 l 上三点 P (-1),Q(0),R (1)顺次对应直线 l上三点P (0),Q(1), R (3),求这个对应的代数表达式.( 10 ) 9. 试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.( 10 ) 《高等几何》试题（２） 1. 求仿射变换x 7 x y 1, y4x 2 y 4 的不变点和不变直线. (15 ) 2.叙述笛沙格定理 , 并用代数法证之 .( 15 ) 3.求证 a (1,2,-1) ,b(-1,1,2), c (3,0,-5)共线 , 并求l的值 , 使 c i la i mb i(i 1,2,3). (10) 4.已知直线 l1 ,l 2 , l 4的方程分别为 2x1x2x3 0 ， x1x2 x3 0 ， x10 ，且 (l1 l2 , l3 l 4 )2 l 2的方程.(15)，求 3 5.试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. ( 10 ) 6.试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底 的交点自对应 . ( 10) 7. 求两对对应元素 , 其参数为1 1 ,02, 所确定对合的参数方2
第五章高等几何 第一节课程概论 1、本课程的起源与发展 早自欧洲文艺复兴时期，由于绘图和建筑等的需要，透视画的理论逐步形成，以后便建立了画法几何。法国数学家蒙日(GaspardMonge，1746-1818)在1768到1799年之间和1809年分别出版了画法几何和微分几何两部经典著作，由于画法几何理论的发展，他的学生彭色列（JeanPoncelet，1788-1867)继承了这两部著作中的综合思想，于1822年写了一本书，它是射影几何方面最早的专者。继彭色列之后，法国人沙尔(Michel Chasles，1793-1880) 等对射影几何的研究都做出了重要贡献。出生于德国数学家史坦纳(Jacob Steiner，1796-1863)改进了射影几何的研究工具，并且把它们应用到各种几何领域，因而得到了丰硕结果。 到了19世纪上半叶，几何学的发展经历了它的黄金时代。在这期间，古典的欧几里得几何学不再是几何学的唯一对象，射影几何学正式成为一门新学科。英国人凯莱（Cayley，1821-1895）和德国人克莱因（Christian Felix Klein，1849-1925）等人用变换群的方法研究了这个分支，射影几何便成为完整独立的学科。 射影几何的诞生诱发于透视理论，一个射影平面就是由欧几里得平面添加所谓无穷远直线而得到的。克莱因对于几何学理论的统一性有着执著的追求，他在成功地把几种度量几何统一于射影几何之后，就立即在更深层次上寻求统一各种几何学理论的基础。 在19世纪，人们开始把几何中图形的一些性质看作是一种“变换”运动的结果。如正方形的“中心对称性”，就是将正方形绕其两条对角线的交点O“旋转”180°后仍重合的结果。正方形的“轴对称性”，就是将正方形绕过O点的水平轴“反射”（即翻转）180°后仍重合的结果。这里的“旋转”、“反射”就可以分别被看作是一种“变换”。更为重要的是，数学家们进一步发现，这个正方形上的所有旋转、反射、平移等变换所构成的集合，满足群的条件，因而构成一个“变换群”。另外，人们还看到，在欧几里得几何中，图形在作旋转、反射、平移等变换的过程中，该图形中线段的长短、角的大小是保持不变的。于是人们就称“长度”、“角度”是这种变换中的不变量。这就导致了对几何中“不变量”理论的研究，并将它与群论结合起来。
高等几何试题 一、填空题（每题3分，共27分） 1、 两个三角形面积之比是（ ）。 2、 相交于影消线的二直线必射影成（ ）。 3、 如果两个三点形的对应顶点连线共点，则这个点叫做（ ）。 4、一点123(,,)x x x x =在一直线[]123,,u u u u =上的充要条件是 （ ）。 5、 已知1234(,)3p p p p =,则4321(,)p p p p =（ ），1324(,)p p p p =（ ）。 6、 如果四直线1234,,,p p p p 满足1234(,)1p p p p =-，则称线偶34,p p 和12,p p （ ）。 7、两个点列间的一一对应是射线对应的充要条件是 （ ）。 8、 不在二阶曲线上的两个点P 123()p p p ，Q 123()q q q 关于二阶曲线 0ij i j S a x x ≡=∑成共轭点的充要条件是（ ）。 9、 仿射变换成为相似变换的充要条件是（ ）。 二、计算题（每题8分，共56分） 1、 计算椭圆的面积（椭圆方程：22 221x y a b += ,0a b >） 2、 求共点四线11:l y k x =，22:l y k x =，33:l y k x =，44:l y k x =的交比。 3、 求射影变换11 2233x x x x x x ρρρ?'=-?? '=?? '=?? 的不变元素。 4、 求二阶曲线22212323624110x x x x x --+=经过点(1,2,1)P 的切线方程。
5、 求双曲线2223240x xy y x y +-+-=的渐近线方程。 6、 求抛物线22242410x xy y x ++-+=的主轴和顶点。 7、 求使三点(0,)O ∞，(1,1)E ，(1,1)P -顺次变到点(2,3)O '，(2,5)E '， (3,7)P '- 的仿射变换。 三、已知(1,2,3)A ，(5,1,2)B -，(11,0,7)C ，(6,1,5)D ，验证它们共线并求 (,)AB CD 的值。 （8分） 四、 求证：两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条 二阶曲线。（9分）
某高校《高等几何》期末考试试卷 (120分钟) 一、填空题(2分?12=24分) 1、平行四边形的仿射对应图形为: 平行四边形 ; 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为: (5,-1,0) 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为: 0231=-x x 5、方程0652 2 2121=+-u u u u 表示的图形坐标 (1,2,0) (1,3,0) 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ,则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形,过A 引AE 与对角线BD 平行,则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a):21→,32→,43→; b):10→,32→,01→ 其中为对合的就是: b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件就是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ,)1,5,2(B ,)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程,它就是由下列两个射影线束所决定的: 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。
解:射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有:1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得, 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。 三、证明:如果两个三点形内接于同一条二次曲线,则它们也同时外切于一条二次曲线。(10分) 证明:三点形ABC 与三点形C B A '''内接于二次曲线(C),设 AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D ' B A ' ' AC=E ',则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所 以,),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B 这两个点列对应点的连线AC,B C '',A C '',BC 连同这两个点列的底AB,B A ''属于同一条二级曲线(C '),亦即三点形ABC 与三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。 四、已知四直线1l ,2l ,3l ,4l 的方程顺次为12x -2x +3x =0,13x +2x -32x =0, 17x -2x =0,15x -3x =0, 求证四直线共点,并求(1l 2l ,3l 4l )的值。(10分) 解:因为 1 7213 112---=0且1 5 01 7213---=0 所以1l ,2l ,3l ,4l 共点。四直线与x 轴(2x =0)的交点顺次为A(1,0,-2),B(2,0,3),C(0,0,1),D(1,0,5),非齐次坐标为A(- 21,0),B(32,0),C(0,0),D(5 1,0), 所以 (1l 2l ,3l 4l )=(AB,CD)= ) 2 151)(320() 32 51)(210(+--+=21 五、求两对对应元素,其参数为12 1 →,0→2,所确定的对合方程。(10分) 解 设所求为 a λλ'+b(λ+λ')+d=0 ①
《高等几何》课程教学大纲 课程编码： 课程性质：选修 学时数：54 学分数：3 适用专业：数学与应用数学 【课程性质、目的和要求】 高等几何的主要内容是具有悠久历史，至今仍富生命力的射影几何。它不仅在提高学生空间几何直观想象能力方面有独特的作用，而且在论证方法、思维方式方面还具有不同于初等几何、解析几何、高等代数的巧妙灵活的特点。 通过高等几何（或射影几何）的学习，可以使学生从较高的观点处理初等几何、解析几何的一些问题，以便更深入地理解中学几何教材，并掌握近代几何知识与方法，这对学生在几何方面观点的提高、思维的灵活、方法的多样性的培养都起着特别重要的作用，从而有助于学生数学素质的提高和科研能力的培养。 本课程在研究方法上利用代数法和综合法，目的之一是便于学生进一步学习高维空间上的射影几何，目的之二是加强直观性，以便开发智力，启迪思维。在内容编排上应做到由浅入深，由易到难，循序渐进，要特别注意理论基础的系统性与严密性，尽可能做到与中学数学实际相结合，本课程应特别注意对概念及解题方法的分析。 通过本课程的学习，要求学生理解并熟练掌握平面射影几何的基本概念和理论。了解几何学的群论观点和各种几何学之间的联系和差别。学会统一处理几何问题的方法特别要学会利用二次曲线的射影理论处理仿射几何和度量几何方面的有关问题，以便提高学生分析问题和解决问题的能力。 【教学内容、要点和课时安排】 第一章仿射坐标与放射变换（8学时） 【目的要求】掌握透视仿射对应、仿射对应与仿射变换；掌握仿射坐标系；熟练求出仿射变换的代数表示式；理解仿射性质。 【教学重点】仿射坐标系 【难点】仿射性质的理解 【教学内容】 第一节透视仿射对应 第二节仿射对应与仿射变换 第三节仿射坐标
某高校《高等几何》期末考试试 卷 （120分钟） 一、填空题（2分?12=24分） 1、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ； 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： （5，-1，0） 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x 5、方程0652 2 2121=+-u u u u 表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0） 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ，则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程
063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ）：21→，32→，43→； b ）：10→，32→，01→ 其中为对合的是： b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的： 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有：1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得，
高等几何》试题(１) 1. 试确定仿射变换，使y轴，x轴的象分别为直线x y 1 0，x y 1 0 ，且点( 1，1) 的象为原 点.( 15 ) 2. 利用仿射变换求椭圆的面积.( 10 ) 3. 写出直线2x1 +3x2- x3=0, x轴, y轴, 无穷远直线的齐次线坐标.( 10 ) 4. 叙述笛沙格定理, 并用代数法证之.( 15 ) 5. 已知A (1,2,3), B (5,-1,2), C (11,0,7), D (6,1,5), 验证它们共线, 并求( AB,CD ) 的值.( 8 ) 6. 设P1 (1,1,1), P2 (1,-1,1), P4 (1,0,1) 为共线三点, 且( P1P2,P3P4 )=2, 求P3的坐标.( 12 ) 7. 叙述并证明帕普斯(Pappus) 定理.( 10 ) 8. 一维射影对应使直线l 上三点P (-1), Q (0), R (1) 顺次对应直线l 上三点P (0), Q (1), R (3), 求这个对应的代数表达式.( 10 ) 9. 试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.( 10 ) 《高等几何》试题(２) 1.求仿射变换x 7x y 1,y 4x 2y 4的不变点和不变直线. ( 15 ) 2. 叙述笛沙格定理, 并用代数法证之.( 15 ) 3. 求证a (1,2,-1) , b (-1,1,2), c (3,0,-5) 共线,并求l的值,使 c i la i mb i (i 1,2,3). ( 10 ) 4. 已知直线l 1 , l 2 , l 4的方程分别为2x1 x2 x3 0，x1 x2 x3 0， x1 0 ，且(l1l2,l3l4) ，求l2的方程.( 15 ) 3 5. 试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. ( 10 ) 6. 试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底的交点自对应. ( 10 ) 1 7. 求两对对应元素,其参数为 1 ,0 2, 所确定对合的参数方 2
南京师范大学《高等几何》课程教学大纲 课程名称：高等几何（Higher Geometry） 课程编号：06100020 学分：3 学时：90 先修课程：解析几何, 高等代数(I), 数学分析(I) 替代课程：无 一、课程教学目的 本课程是大学数学类专业的主干基础课程之一。本课程在学生具备初等几何、解析几何、高等代数、数学分析知识的基础上，系统地学习射影几何的基本知识，使学生能用变换群的观点来看待几何学，加深对几何学的理解，拓展几何空间概念。通过本课程利用商空间思想研究亏格为零不可定向的闭曲面上的几何学的训练，一方面使得学生拓宽眼界，扩大知识领域，提高抽象思维、理性思维能力，为进一步的数学学习打下基础；另一方面使得学生加深对中学几何特别是解析几何的理论与方法的理解，从而获得用高观点来处理中学几何问题的能力，为未来的中学几何教学打下基础；第三，本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形，匪夷所思的处理技巧，通过本课程的学习，可以有效地提高数学审美意识。 概括来说，学习本课程后，要使得学生有如下收获：（1）空间不只是平直的，除欧氏空间外，还有很多其他的空间。即让学生在空间观念上有一个提升；（2）进一步让学生了解处理几何问题不只是可以用综合法，还可以用解析法；（3）深刻理解对偶原理，认识到射影几何是与欧氏几何完全不同的几何学；（4）深刻理解射影变换及其性质，认识到射影几何是研究射影图形在射影变换下的不变性和不变量的一门科学；（5）深刻理解Klein的变换群观点，即研究某空间中的图形在它的某变换群作用下不变的性质和数量的科学就称为一门几何学；（6）深刻了解一些平面射影图形的射影性质。如：点列，线束，完全n点（线）形，二次曲线的射影性质。（7）学会构造射影图形。因为我们的纸张是欧氏平面，所以在其上构造射影图形还是有很多技巧，学生要深刻领会这些技巧。 二、教学任务 通过课堂教学、课外辅导等多个教学环节，教师主要完成下列教学任务： 1、完成上述教学目的。 2、培养学生树立科学世界观、人生观和价值观，具有良好的思想道德素养和团结协作的精神，具有一定的社会责任感、宽广的胸怀和创新意识。 3、使学生了解近代几何学的发展概貌及其在社会发展中的作用，了解数学科学的若干最新发展状况。 4、培养学生的各种数学能力，不仅要教会学生用研究的眼光（即经常想一想当初数学家是如
某高校《高等几何》期末考试试卷 （120分钟） 一、填空题（2分?12=24分） 1 2、直线1x 3、已知),(1234l l l l 4、过点7、求点9321二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的： 130x x λ-=与23'0x x λ-=且'2'10λλλλ-++=。 解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有：1233 ,'x x x x λλ==。 将它们代入射影对应式并化简得， 此即为所求二阶曲线的方程。
三、证明：如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。（10分） 证明：三点形ABC 和三点形C B A '''内接于二次曲线（C ），设 AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D ' B A '' AC=E '，则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所以， 求证四 所以1l 解设所求为 a λλ'+b(λ+λ')+d=0① 将对应参数代入得： 21a+（1+2 1）b+d=0② （0+2）b+d=0③ 从①②③中消去a,b,d 得
1 2012321 1λλλλ'+'=0 即λλ'+λ+λ'-2=0为所求 六、求直线32163x x x +-=0关于2122212x x x x -++231x x -632x x =0之极点。（12分） 解：设0p （030201,,x x x ）为所求，则 -111??0x 3L=21A A 设渐近线的方程为 根据公式得 解之，得3 1,121-==k k ，所以渐近线方程为 和 化简，得所求为 2x-2y-1=0和2x+6y+5=0 方法二 先求出中心，因为
1 浙江省2018年7月自学考试高等几何试题 课程代码：10027 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.在三角形的以下性质中是仿射性质的是( ) A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心 2.以下四条直线中所含的无穷远点与其他三条不同的是( ) A.x y x y 121)1(2+=++ B.11)(2=++x x y C.x +2y =0 D.过点(1,3),(3,2)的直线 3.已知A ,B ,C ,D 四点是调和点列，任意调整它们次序后所得交比不会出现的是( ) A.1 B.2 C.-1 D. 2 1 4.椭圆型射影对应的自对应元素是( ) A.两个互异的实元素 B.两个互异的虚元素 C.两个重合的实元素 D.两个重合的虚元素 5.唯一决定一条二阶曲线需无三点共线的( ) A.3点 B.4点 C.5点 D.6点 二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.两点-3u 1+u 2+2u 3=0,2u 1-u 2+3u 3=0连线的坐标是_________. 7.若对合a μμ′+b (μ+μ′)+c =0是椭圆型的,则系数满足_________. 8.完全四线形的每一条对角线上有一组调和点列,即这直线上的两个顶点和_________. 9.椭圆上四定点与其上任意第五点所联四直线的交比为_________.
2 10.平面上任一圆通过的两个固定点称为_________. 三、计算题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 11.求使三点A (0,0),B (1,1),C (1,-1)变到三点A ′(1,1),B ′(3,1),C (1,-1)的仿射变换. 12.已知平面上有点A (2,1),B (4,2),C (6,-3),D (-3,2),E (-5,1),求A (BC ,DE ). 13.求射影变换式,使它的不变元素的参数是λ1=-1,λ2=3,并且使λ3=1变为3 λ'=0. 14.求射影变换??? ??--='-='-='3213 212 211 36 4 x x x x x x x x x x ρρρ的二重直线. 15.求两个成射影对应的线束x 1-λx 2=0，x 2-λ′x 3=0,(λ′= λ λ +1)所构成的二阶曲线的方程. 16.求二次曲线x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3=0的中心. 四、作图题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）（第18题写出作法） 17.作出下列图形的对偶图形: 题17图 18.已知二阶曲线上五点A ,B ,C ,D ,E ,求作该曲线上点A 处的切线. 题18图 五、证明题(本大题共3小题，第19小题和第20小题各10分，第21小题8分，共28分)
《高等几何》学习指导
第一章仿射坐标与仿射变换 一、教学目的要求 1、理解透视仿射对应、仿射对应和仿射变换的概念，注意其区别和联系； 2、熟练掌握共线三点单比的概念及其坐标表示法； 3、理解仿射不变性与仿射不变量的概念，并能利用它们证明平面图形的其它仿射性质； 4、熟练掌握仿射变换的代数表示. 二、教学重点、难点 重点： 透视仿射对应、仿射变换的概念；仿射不变性与仿射不变量；仿射变换的代数表示和共线三点单比的坐标表示法. 难点：透视仿射对应的概念、特征及判断. 三、内容小结 本章主要介绍下述内容： 1、共线三点单比（简比）的概念 2、透视仿射对应 1）、概念： ①、同一平面内，直线l到直线/l的透视仿射对应； ②、平面π到平面/π的透视仿射对应. 2）、判断：对应点连线互相平行.
3）、性质： ①、保持同素性； ②、保持结合性； ③、保持平行性； ④、保持共线三点单比不变. 3、仿射对应与仿射变换 概念：透视仿射链. 4、仿射坐标 1）、仿射坐标系； 2）、共线三点单比的坐标表示： 设3131 1233232 (,),(1,2,3),()i i i x x y y P x y i PP P x x y y --== = --则； 3）、仿射变换的代数表示：/111213 /212223 x a x a y a y a x a y a ?=++??=++??， 1112 2122 0a a a a ?= ≠； 5、仿射性质 1）、仿射不变性：同素性、结合性、平行性. 2）、仿射不变量： 共线三点的单比； 两条平行线段之比； 两个三角形面积之比； 两个封闭图形面积之比. 3）、常见的仿射不变图形：三角形、平行四边形、梯形. 四、例题
北京师范大学珠海分校 期末考试试卷 开课单位：应用数学学院课程名称：高等几何 任课教师：hj考试类型：闭卷考试时间：120分钟 学院___________班级____________姓名___________学号______________ 题号一二三总分 得分 阅卷人 试卷说明：（本试卷共4页，满分100分） ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 一、填空题：（每题4分，共20分.请把答案填在题中横线上.） 1．正交变换的基本不变量是.仿射变换的基本不变量是. 射影变换的基本不变量是.射影变换的基本不变形是. 2.若（P1P2，P3P4）=3，则（P1P2，P4P3）=.（P1P3，P2P4）=. （P2P3，P1P4）=.（P3P1，P2P4）=________. 3．两个射影点列成透视对应充要条件是. 两个射影线束成透视对应充要条件是. 4．“若两个完全四线形的五对对应顶点连线通过同一点，则其第六对对应顶点的连线也通过此点，其四对对应边交点必共线”的对偶命题 为 . 5．直线3x-y+3=0上无穷远点的坐标，其方程为. 二、作图题，要求写出简单步骤。（每题5分，共10分.) 1．做出下列图形的对偶图形.
2．已知两个射影点列的三对对应点，求作其他对应点。 三、计算题：要求写出主要计算步骤（每题10分，共60分) 1．已知四点A（1,2,3），B（5，-1,2），C（11,0,7），D（6,1,5），验证它们共线，并求（AB,CD）的值. 2．设直线l上的点P（-1），Q（0），R（1）经射影对应，顺次对应l’上的点 P’(0),Q’(1),R’(3)求射影对应式。.
高等几何对初等几何教学指导作用浅析 摘要: 高等几何是高等师范院校数学与应用数学专业的一门重要基础课 ,其中贯穿着现代数学 的思想、理念和方法 ,是初等几何的延伸 ,拓展了初等几何的解题途径 ,丰富了初等几何的研究方 法 ,开阔了初等几何的学习视野。本文以实例与分析相结合说明高等几何的点线结合命题对初等几 何的高观点指导作用和在实践中广泛的应用 ,表明高等几何不仅在提高观点方面有独特作用 ,而且 在论证方法 ,思考问题等方面具有独特的巧妙、灵活等特点。 关键词：高等几何；初等几何； 初等几何是以静止的观点研究一些简单而又有规则的图形,高等几何则是以变动的观点研究变 动的图形.相比较而言,它们虽然同属几何学科,但其观点层次的高低不同.高等几何是在初等几何乃 至高等代数等课程的基础上研究几何问题的,它使学生在较高层面上认识几何空间的基本特征、研究 方法、内在联系,确认几何学的本质,从而发展了几何空间概念,并为进一步学习近代数学创造条件. 通过学习高等几何,可以居高临下地认识初等几何的内涵,高等几何不仅为初等几何提供了理 论依据,更为它拓展了解题途径,丰富了研究方法.因此,高等几何对初等几何具有现实的指导作用, 很有研究、探讨之必要,而且内容非常丰富,甚至是无止境的. 高等几何与初等几何的关系 《高等几何》是高等师范院校数学专业的一门重要的课程.是为学生加深对中学几何的理论和方法的理解，获得较高观点上处理中学几何问题的能力的专业选修课程. 而《初等几何研究》也是高师数学系数学教育专业的一门重要课程，是为培养中学数学师资所特有的课程，是培养未来中学数学教师从事初等几何教学和研究的能力，是提高他们数学素质和几何教学水平的重要课程。初等几何是高等几何的基础.而高等几何是初等几何的深化。初等几何研究的问题一般比较直观、单纯，但形成的概念和积累的技巧对高等几何往往影响深远；高等几何虽然抽象、复杂，但内容和方法却常常可以在初等几何中找到其根源，所以高等几何由于引入了无穷元素，因而处理问题的手段比初等几何高明，作为数学工具也就更具有一般性.从内容上讲，高等几何点变换的观点把初等几何中的正交变换扩大到仿射变换，再扩大到射影变换，从而把几何空间的概念也由欧氏空间扩大到仿射空间，再扩大到射影空间；坐标系也由笛卡尔坐标系扩大到仿射坐标系和射影坐标系.几何学的基本元素方面，也由以点为基本元素的点几何学化为以直线为基本元素的线几何学，并且由有限元素扩大到无穷远元素，由实元素扩大到复元素. 高等几何在初等几何中的应用 欧氏几何作为仿射几何、射影几何的子几何，使我们有可能把初等几何、解析几何放到更为广阔的背景中去考虑，有助于弄清欧氏几何与其它几何的联系与区别，以便从高观点下把握和处理中学教材，将高等几何的思想应用在初等几何中，这无疑对初等几何的教学有很大的指导作用。下面我们就通过几个实例可以看出高等几何对初等几何的指导作用。
某高校《高等几何》期末考试试卷 （120分钟） 一、填空题（2分?12=24分） 1、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ； 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： （5，-1，0） 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x 5、方程0652 22121=+-u u u u 表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0） 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ，则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ）：21→，32→，43→； b ）：10→，32→，01→ 其中为对合的是： b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1
11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的： 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有：1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得， 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。 三、证明：如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。（10分） 证明：三点形ABC 和三点形C B A '''内接于二次曲线（C ），设 AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D ' B A '' AC=E '，则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所以， ),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B 这两个点列对应点的连线AC ，B C ''，A C '',BC 连同这两个点列的底AB ，B A ''属于同一条二级曲线（C '），亦即三点形ABC 和三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。
《高等几何》课程学习指南 一、课程目的 本课程是大学数学类专业的主干基础课程之一。本课程在大家具备初等几何、解析几何、高等代数、数学分析知识的基础上，系统地学习射影几何的基本知识，使我们能用变换群的观点来看待几何学，加深对几何学的理解，拓展几何空间概念。通过本课程利用商空间思想研究亏格为零不可定向的闭曲面上的几何学的训练，一方面使得我们拓宽眼界，扩大知识领域，提高抽象思维、理性思维能力，为进一步的数学学习打下基础；另一方面使得我们加深对中学几何特别是解析几何的理论与方法的理解，从而获得用高观点来处理中学几何问题的能力，为未来的中学几何教学打下基础；第三，本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形，匪夷所思的处理技巧，通过本课程的学习，可以有效地提高我们的数学审美意识。 概括来说，学习本课程后，希望大家有如下收获：（1）空间不只是平直的，除欧氏空间外，还有很多其他的空间。即让学生在空间观念上有一个提升；（2）进一步让了解处理几何问题不只是可以用综合法，还可以用解析法；（3）深刻理解对偶原理，认识到射影几何是与欧氏几何完全不同的几何学；（4）深刻理解射影变换及其性质，认识到射影几何是研究射影图形在射影变换下的不变性和不变量的一门科学；（5）深刻理解Klein的变换群观点，即研究某空间中的图形在它的某变换群作用下不变的性质和数量的科学就称为一门几何学；（6）深刻了解一些平面射影图形的射影性质。如：点列，线束，完全n点（线）形，二次曲线的射影性质。（7）学会构造射影图形。因为我们的纸张是欧氏平面，所以在其上构造射影图形还是有很多技巧，我们要深刻领会这些技巧。 二、课程主要内容结构 以平面射影几何为主体，涵盖射影几何，变换群理论，仿射几何等内容，主要包括5个部分： 1、射影平面。包括引论，拓广平面，齐次点坐标，线坐标，射影平面，对偶原则，复元素，Desargues定理等。 2、射影变换。包括交比与调和比，完全四点形与完全四线形的调和性，一维基本形的射影对应，一维射影变换，一维基本形的对合，二维射影变换等。 3、变换群与几何学。包括二维射影变换的特例，平面上的几个变换群，变换群与几何学等。 4、二次曲线理论。包括二次曲线的射影定义，Pascal定理和Brianchon定理，极点与极线，配极变换，二次点列上的射影变换，二次曲线的射影分类，二次曲线的仿射理论，二次曲线的仿射分类等。 5、几何学寻踪。包括Euclid几何学，从Pappus到射影几何学，Descartes与解析几何学，第五公设之争与非欧几何学，Gauss，Riemann与微分几何学，从Cantor和Poincaré到拓扑学，Hilbert 与几何基础等，作为学生课外读物。