中考数学压轴题解题策略（3） 直角三角形的存在性问题解题策略 《挑战压轴题·中考数学》的作者 上海 马学斌 专题攻略 解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根． 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程． 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便． 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起． 如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便． 在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到． 怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）． 例题解析 例? 如图1-1，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，cos ∠B ＝．D 、E 为线段BC 上的两个45 动点，且DE ＝3（E 在D 右边），运动初始时D 和B 重合，当E 和C 重合时运动停止．过E 作EF //AC 交AB 于F ，连结DF ．设BD ＝x ，如果△BDF 为直角三角形，求x 的值． 图1-1 【解析】△BDF 中，∠B 是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF 存在两种情况．如果把夹∠B 的两条边用含有x 的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了． 如图1-2，作AH ⊥BC ，垂足为H ，那么H 是BC 的中点． 在Rt △ABH 中，AB ＝10，cos ∠B ＝ ，所以BH ＝8．所以BC ＝16．45由EF //AC ，得，即．所以BF ＝．BF BE BA BC =31016BF x +=5(3)8x + 图1-2 图1-3 图1-4
y x O 二次函数中的动点问题（二） 平行四边形的存在性问题 一、技巧提炼 1、二次函数y=ax 2 +bx+c 的图像和性质 a ＞0 a ＜0 图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标 最 值 当x ＝ 时，y 有最 值是 当x ＝ 时，y 有最 值是 增减 性 在对称轴左侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 在对称轴右侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 2、平行四边形模型探究 如图1，点A ()11,x y 、B ()22,x y 、C ()33,x y 是坐标平面内不在同一直线上的三点。平面直角坐标系中是否存在点D ，使得以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点D 的坐标。 A B C x y 图1 图2 如图2，过A 、B 、C 分别作BC 、AC 、AB 的平行线，则以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个。
由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标。 3、平面直角坐标系中直线和直线l2: 当l1∥l2时k1= k2;当l1⊥l2时k1·k2= -1 4、二次函数中平行四边形的存在性问题： 解题思路：（1）先分类（2）再画图（3）后计算 二、精讲精练 1、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点（A、B分别在原点的左右两侧），与y轴正半轴相交于C 点，且OA：OB：OC=1：3：3，△ABC的面积为6，（如图1） （1）求抛物线的解析式； （2）坐标平面内是否存在点M，使得以点M、A、B、C为顶点四边形是平行四边形若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，在直线BC上方的抛物线上是否存在一动点P，△BCP面积最大如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M 沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，已知动点运动了x秒． （1）P点的坐标为多少（用含x的代数式表示）； （2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值； （3）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？简要说明理由． 【答案】（1）P点坐标为（x，3﹣x）． （2）S的最大值为，此时x=2． （3）x=，或x=，或x=． 【解析】 试题分析：（1）求P点的坐标，也就是求OM和PM的长，已知了OM的长为x，关键是求出PM的长，方法不唯一，①可通过PM∥OC得出的对应成比例线段来求； ②也可延长MP交BC于Q，先在直角三角形CPQ中根据CQ的长和∠ACB的正切值求出PQ的长，然后根据PM=AB﹣PQ来求出PM的长．得出OM和PM的长，即可求出P点的坐标． （2）可按（1）②中的方法经求出PQ的长，而CN的长可根据CN=BC﹣BN来求得，因此根据三角形的面积计算公式即可得出S，x的函数关系式． （3）本题要分类讨论： ①当CP=CN时，可在直角三角形CPQ中，用CQ的长即x和∠ABC的余弦值求出CP的表达式，然后联立CN的表达式即可求出x的值； ②当CP=PN时，那么CQ=QN，先在直角三角形CPQ中求出CQ的长，然后根据QN=CN﹣CQ求出QN的表达式，根据题设的等量条件即可得出x的值． ③当CN=PN时，先求出QP和QN的长，然后在直角三角形PNQ中，用勾股定理求出PN 的长，联立CN的表达式即可求出x的值． 试题解析：（1）过点P作PQ⊥BC于点Q， 有题意可得：PQ∥AB，
专题等腰三角形存在性问题 题型一：几何图形 1、如图（1），在△ABC中，AB=AC，∠A=36°． （1）直接写出∠ABC的度数； （2）如图（2），BD是△ABC中∠ABC的平分线． ①找出图中所有等腰三角形（等腰三角形ABC除外），并选其中一个写出推理过程； ②在直线BC上是否存在点P，使△CDP是以CD为一腰的等腰三角形？如果存在，请在图（3）中画出满足条件的所有的点P，并直接写出相应的∠CPD的度数；如果不存在，请说明理由．
变式一：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒． （1）当t=1时，求△ACP的面积． （2）t为何值时，线段AP是∠CAB的平分线？ （3）请利用备用图2继续探索：当t为何值时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形？（直接写出结论） 变式二：如图，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，点P开始从点A 开始沿△ABC的边做逆时针运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿△ABC 的边做逆时针运动，且速度为每秒2cm，他们同时出发，设运动时间我t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长； （2）在运动过程中，△PQB能形成等腰三角形吗？若能，则求出几秒后第一次形成等腰三角形；若不能，则说明理由； （3）从出发几秒后，线段PQ第一次把直角三角形周长分成相等的两部分？
变式三：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB与点D、点E，图①，②，③是旋转得到的三种图形． （1）观察线段PD和PE之间的有怎样的大小关系，并以图②为例，加以说明；（2）△PBE是否构成等腰三角形？若能，指出所有的情况（即求出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能请说明理由． 变式四：如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E是边CD上任意一点（点E 与点C、D不重合），过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，连接EF，交边AB于点G．设DE=x，BF=y． （1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）如果AD=BF，求证：△AEF∽△DEA； （3）当点E在边CD上移动时，△AEG能否成为等腰三角形？如果能，请直接写出线段DE的长；如果不能，请说明理由．
二次函数平行四边形存在性问题例题 一．解答题（共9小题） 1．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标； （3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）． （1）求抛物线的解析式及点B坐标； （2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值； （3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． 3．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点
分别为A、B两点，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x 轴于点C． （1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若（1）中抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）若把（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N（点F 在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C． （1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA ﹣QO|的取值范围． 5．如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，
平行四边形的存在性问题 【真题典藏】 1.（2008年青浦区第24题）如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，正比例函数kx y =（x 为自变量）的图像与双曲线x y 2 - =交于点A ，且点A 的横坐标为2-． （1）求k 的值． （2）将直线kx y =（x 为自变量）向上平移4个单位得到直线BC ，直线BC 分别交x 轴、y 轴于B 、 C ，如点 D 在直线BC 上，在平面直角坐标系中求一点P ，使以O 、B 、D 、P 为顶点的四边形是菱形． 图1 图2 2.（2009年普陀区第25题）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，O 为原点，点A 、C 的坐标分别为（2， 0）、（1，33）. 将△AOC 绕AC 的中点旋转180°，点O 落到点B 的位置，抛物线x ax y 322 -=经 过点A ，点D 是该抛物线的顶点. （1）求证：四边形ABCO 是平行四边形； （2）求a 的值并说明点B 在抛物线上； （3）若点P 是线段OA 上一点，且∠APD ＝∠OAB ，求点P 的坐标； （4）若点P 是x 轴上一点，以P 、A 、D 为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y 轴上，写出点P 的坐标． 3．（2010年上海市第24题）参见《考典40 几何计算说理与说理计算问题》第3题． 4．（2011年上海市第24题）已知平面直角坐标系xOy （如图3），一次函数3 34 y x =+的图像与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数3 2 y x = 的图像上，且MO ＝MA ．二次函数 y ＝x 2＋bx ＋c 的图像经过点A 、M ． （1）求线段AM 的长； （2）求这个二次函数的解析式；
动点问题中的平行四边形 教学内容：动点问题中的平行四边形 教学要求：1、利用平行四边形的有关知识解决动点中的相关问题 2、领会转化、数形结合、分类讨论的数学思想在动点问题中的应用. 教学过程 一、复习：1、平行四边形的性质与判定 2、几何作图的关键 二、新课 1、情境引入，探究已知三点确定平行四边形的第四个顶点。 1．1、张大伯家有一个直角三角形的池塘，如图1所示，张大伯打算把池塘在原有的基础上，把面积扩大一倍后变成一个平行四边形，你能帮张大伯找到这个平行四边形的第四个顶点么？并说出你的理由！ 图1 图2 1.2、小结方法：如何确定平行四边形的第四个顶点，你的依据是什么？ 1.3、趁热打铁： 如图2，在平面直角坐标系中，点A （1，0） , B （0，2）， 则平行四边形AOBC 的顶点C 的坐标为__________________
1.4、变式练习： 如图2，在平面直角坐标系中，点A（1，0）B（0，2），求以A、O、B、C 为顶点的平行四边形的顶点C坐标，则点C的坐标为____________________ ________________________________. 小结：如何求点的位置，你的依据是什么？ 1.5、举一返三 1、如图3，在梯形ABCD中，A D∥BC ,在AD边上有一点P从点A到点D运动，速度为每秒1个单位，在CB边上有一点Q从点C向点B运动，速度为每秒2个单位，已知AD=8,BC=12,若P、Q同时运动，当四边形ABQP是平行四边形时，P 运动多少秒时?
2、如图4，抛物线1417 452++-=x y 与直线y =12 1+x 交于A 、 B 点，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C (3，0).动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N . 设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长度为l 个单位，求l 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？
2020-2021 中考数学平行四边形-经典压轴题及答案 、平行四边形 运动． 2）如图2，当b>2a时，点M 在运动的过程中，是否存在∠BMC=9°0 ，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由； 3）如图3，当b<2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．答案】（1）见解析； 2）存在，理由见解析; 3）不成立．理由如下见解析 解析】试题分析：（1）由b=2a，点M 是AD 的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD 是矩形，即可求得∠AMB=∠ DMC=4°5 ，则可求得∠BMC=9°0 ；（2）由∠BMC=9°0，易证得△ABM∽△DMC，设AM=x，根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：x2﹣ bx+a2=0，由b>2a，a>0，b>0，即可判定△> 0，即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意； （3）由（2），当b<2a，a>0，b>0，判定方程x2﹣bx+a2=0 的根的情况，即可求得答案． 试题解析：（1）∵b=2a，点M 是AD 的中点，∴AB=AM=MD=DC=a， 又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠ AMB=∠ DMC=45 °，∴∠ BMC=90 °． （2）存在，理由：若∠BMC=9°0 ，则∠ AMB+∠ DMC=9°0 ，又∵ ∠AMB+∠ABM=9°0 ，∴∠ ABM=∠ DMC，又∵ ∠A=∠D=90°，∴△ ABM∽△DMC，AM AB ∴CD DM ， x 设AM=x ，则 a a bx 1．已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M 从点 A 出发沿边AD向点D 1）如图1，当b=2a，点M 运动到边AD 的中点时，请证明 ∠BMC=9°0 ；
学习必备欢迎下载 问题 1：存在性问题的处理框架是什么？ 问题 2：两定两动的平行四边形存在性问题的分类标准是什么？ 1. 如图，将矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，OA=8， OC=12，直线与x 轴交于点D，与 y 轴交于点E，把矩形沿直线DE翻折，点 O 恰好落在AB 边上的点 F 处，M 是直线 DE 上的一个动点，直线DF 上是否存在点N，使以点 C，D，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？则符合题意的点N 的坐标是？ 2.如图，在平面直角坐标系中，直线与交于点A，与x 轴分别交于 点 B 和点 C， D 是直线 AC上一动点， E 是直线AB 上一动点．若以O， D， A，E 为顶点的四边形是平行四边形，则点 E 的坐标为？ 反思与总结： 问题 1：平行四边形存在性问题的处理框架中第一步：研究背景图形，需要研究哪些内容？ 问题 2：画出对应图形后求解点坐标的套路是什么？
练习 1.如图，直线与 x 轴、 y 轴分别交于A， B 两点，直线BC x 轴交于点C，且 与 ∠ABC=60°，若点 D 在直线AB 上运动，点E在直线 BC 上运动，且以O， B， D，E 为顶点的 四边形是平行四边形，则点 D 的坐标为 ( ) 2..如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=12，∠ ACO=30°，把矩形沿直线 DE 翻折，使点 C 落在点 A 处， DE 与 AC 相交于点 F，若点 M 是直线 DE上一动点，点N 是直线 AC 上一动点，且以O，F，M ， N 为顶点的四边形是平行四边形，则点N 的坐标为 () 3.如图，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于 点 C，交 AB 于点 D．若在平面内存在点 E，使得以点 A，C，D，E 为顶点的四边形是平行四边 形，则点 E 的坐标为
数学“存在性”问题的解题策略 存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。 由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。 【典型例题】 例1. 223(1)9200x x m x m m -++-+=若关于的一元二次方程有两个实数根， 390cos 5 a b c ABC A B C C B ==又已知、、分别是△的∠、∠、∠的对边，∠°，且， 3b a m Rt -=，是否存在整数，使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于 ABC c m △的斜边的平方？若存在，求出满足条件的的值，若不存在，请说明 理由。 分析：这个题目题设较长，分析时要抓住关键，假设存在这样的m ，满足的条件有m 是整数，一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt △ABC 斜边c 的平方，隐含条件判别式Δ≥0等，这时会发现先抓住Rt △ABC 的斜边为c 这个突破口，利用题设条件，运用勾股定理并不难解决。 解：在△中，∠°，∵Rt ABC C B ==903 5 cos ∴设a=3k ，c=5k ，则由勾股定理有b=4k ， 33343==-=-k k k a b ∴，∴， ∵ ∴，，a b c ===91215 设一元二次方程的两个实数根为，x m x m m x x 2 2 12319200-++-+=() 则有：，x x m x x m m 12122 31920+=+=-+() ∴x x x x x x m m m 1222 12212222312920+=+-=+--+()[()]() =+-736312 m m 由，x x c c 12 22 2 15+== 有，即7363122573625602 2 m m m m +-=+-= ∴，m m 124647 ==-
2018年04月28日187****6232的初中数学组卷 一．解答题（共5小题） 1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0）和点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式和顶点E的坐标； （2）点C是否在以BE为直径的圆上？请说明理由； （3）点Q是抛物线对称轴上一动点，点R是抛物线上一动点，是否存在点Q、R，使以Q、R、C、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q、R 的坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值； （3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值；（4）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E 作EF∥ND交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．
3．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2． （1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式； （2）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点E，求△ACE面积的最大值； （3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D，直线AC与y轴交于点Q，点M为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N，使四边形DMNQ 的周长最小？若存在，求出这个最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由． （4）点H是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、H四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
正方形存在性问题 作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下： （1）有一个角为直角的菱形； （2）有一组邻边相等的矩形； （3）对角线互相垂直平分且相等的四边形． 依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标． 从未知量的角度来说，正方形可以有4个“未知量”，因其点坐标满足4个等量关系，考虑对角线性质，互相平分（2个）垂直（1个）且相等（1个）． 比如在平面中若已知两个定点，可以在平面中确定另外两个点使得它们构成正方形，而如果要求在某条线上确定点，则可能会出现不存在的情况，即我们所说的未知量小于方程个数，可能无解． 从动点角度来说，关于正方形存在性问题可分为： （1）2个定点+2个全动点； （2）1个定点+2个半动点+1个全动点; 甚至可以有：（3）4个半动点． 不管是哪一种类型，要明确的是一点，我们肯定不会列一个四元一次方程组求点坐标！ 常用处理方法： 思路1：从判定出发 若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等； 若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直； 若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件． 思路2：构造三垂直全等 若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点． 总结：构造三垂直全等的思路仅适合已知两定点的情形，若题目给了4个动点，则考虑从矩形的判定出发，观察该四边形是否已为某特殊四边形，考证还需满足的其他关系． 正方形的存在性问题在中考中出现得并不多，正方形多以小题压轴为主．
1. 如图，已知以厶 ABC 的三边为边在 BC 的同侧作等边△ ABD △ BCE △ ACF 请回答下列问题: (1) 四边形ADEF 是什么四边形？写出理由。 (2) 当厶ABC 满足什么条件时，四边形 ADEF 是菱形？ (3) 当厶ABC 满足什么条件时，以 A 、D E 、F 为顶点的四边形不存在? 2. ( 2009临沂)数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形ABCD 是正方形，点 E 是边BC 的中点. AEF 90°，且 EF 交正方形外角 DCG 的平行线CF 于点F ,求证：AE=EF. 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M 连接 ME 贝U AM =EC 易证 △ AME ECF ，所以 AE EF . 在此基础上，同学们作了进一步的研究： (1 )小颖提出：如图2,如果把“点 E 是边BC 的中点”改为“点 E 是边BC 上 (除B , C 外)的任意一点”，其它条件 不变，那么结论“ AE =EF'仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； (2)小华提出：如图 3,点E 是BC 的延长线上(除 C 点外)的任意一点，其他条件不变，结论“ AE=EF'仍然成 立?你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由. 图2 图3 图1
3. （2009年铁岭市）△ ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ ADE是以AD 为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB AC于点F、G，连接BE . （1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时. ①求证：△ AEB ADC ; ②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由； （2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？ （3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由. 4. （2009年日照 市） 已知正方形ABCD中, E为对角线BD上一点，过E点作EF丄BD交BC于F,连接DF G为DF中点, 连接EG CG （1）求证：EGCG （2）将图①中厶BEF绕B点逆时针旋转450,如图②所示，取DF中点G连接EG CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. （3）将图①中厶BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观 察你还能得出什么结论？（均不要求证明） 图 第24题图①第24题图② A D 第24题图③
第十一讲平行四边形中的动点问题时间：年月日刘满江老师学生姓名：一、兴趣导入 二、学前测试 1．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（） 2.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件： ①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD
交AC于点H，则的值为（） ∴= 三、方法培养： 知识要点： 平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形 平行四边形的性质：边：对边平行且相等 角：内角和为______,外角和___________，邻角______,对角__________ 对角线：互相平分 平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离叫 性质：平行线之间的距离处处相等。 推广：夹在两条平行线之间平行线段相等 平行四边形的判定： 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 例11．如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16． 动点P 从点B 出发，沿射线BC 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 同时 从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长的速度向点D 运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t （秒）． （1）当t 为何值时，四边形PQCD 的面积是梯形ABCD 的面积的一半； （2）四边形PQCD 能为平行四边形吗？如果能，求出t 的值；如果不能，请说明理由． （3）四边形PQCD 能为等腰梯形吗？如果能，求出t 的值；如果不能，请说明理由． 考点：等腰梯形的判定；平行四边形的判定；直角梯形。 专题：动点型。 分析：（1）根据：路程=速度×时间，表示线段的长度，再利用：S 梯形ABPQ =S 梯形PQDC ，列方程求解； （2）只要能满足DQ=PC 即可，由此建立等量关系，列方程求解； （3）当四边形PQCD 为等腰梯形时，作PE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足为E 、F ，需要满足QE=CF ， 由此建立等量关系，列方程求解． 解答：解：（1）由已知得：AQ=t ，QD=16﹣t ，BP=2t ，PC=21﹣2t ， 依题意，得 12)22116(21 12)2(2 1?-+-=?+t t t t 解得 ； （2）能；当四边形PQDC 为平行四边形时， DQ=PC ，即16﹣t=21﹣2t 解得t=5； （3）不能 作QE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足为E 、F ， 当四边形PQCD 为等腰梯形时，PE=CF ， 即t ﹣2t=21﹣16 解得t=﹣5，不合实际． 点评：本题考查了梯形计算面积的方法，根据平行四边形、等腰梯形的性质列方程求解的问题． 变式练习：如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．动点P 从点 B 出发，沿射线B C 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 同时从点A 出发，在线段A D 上以每秒1个单位长的速度向点D 运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t （秒）． （1）设△DPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式； （2）当t 为何值时，四边形PCDQ 是平行四边形？ （3）分别求出当t 为何值时，①PD=PQ ，②DQ=PQ ． 考点：直角梯形；勾股定理；平行四边形的判定与性质。 解答：（1）解：直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，BC=21，AB=12，AD=16， 依题意AQ=t ，BP=2t ，则DQ=16﹣t ，PC=21﹣2t ， 过点P 作PE ⊥AD 于E ， 则四边形ADPE 是矩形，PE=AB=12， ∴S △DPQ =DQ ?AB=（16﹣t ）×12=﹣6t+96． （2）当四边形PCDQ 是平行四边形时，PC=DQ ，
平行四边形的存在性问题 专题攻略 解平行四边形的存在性问题一般分三步： 第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算． 难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点． 如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况． 灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便． 针对训练 1．如图，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P．若以A、C、P、M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 解析、由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)＝－(x＋1)2＋4， 得A（－3，0），B（1，0），C（0，3），P（－1，4）． 如图，过△P AC的三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交的三个交点就是要求的点M． ①因为AM1//PC，AM1＝PC，那么沿PC方向平移点A可以得到点M1． 因为点P(－1，4)先向下平移1个单位，再向右平移1个单位可以与点C(0，3)重合，所以点A(－3，0)先向下平移1个单位，再向右平移1个单位就得到点M1(－2，－1)． ②因为AM2//CP，AM2＝CP，那么沿CP方向平移点A可以得到点M2． 因为点C(0，3)先向左平移1个单位，再向上平移1个单位可以与点P(－1，4)重合，所以点A(－3，0)先向左平移1个单位，再向上平移1个单位就得到点M2(－4，1)． ③因为PM3//AC，PM3＝AC，那么沿AC方向平移点P可以得到点M3． 因为点A(－3，0)先向右平移3个单位，再向上平移3个单位可以与点C(0，3)重合，所以点P(－1，4)先向右平移3个单位，再向上平移3个单位就得到点M3(2，7)． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 解析．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)． ①如图1，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P关于AB 的中点（1，0）对称，所以点M的横坐标为2． 当x＝2时，y =－x2+2x＋3＝3．此时点M的坐标为(2，3)．
中考压轴题等腰三角形存在性问题 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况．以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射． 动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等．本专题原创编写面动形成的等腰三角形存在性问题模拟题． 在中考压轴题中，面动形成的等腰三角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类． 原创模拟预测题1．如图，抛物线 223 y x x =-++与y轴交于点C，点D（0，1），点P是 抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为． 【答案】（122）或（122）． 【分析】当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，则P点在线段CD的垂直平分线上，由C、D坐标可求得线段CD中点的坐标，从而可知P点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得P 点坐标． 【解析】 ∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，∴点P在线段CD的垂直平分线上，如图，过P作 PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点，∵抛物线 223 y x x =-++与y轴交于点C，∴C （0，3），且D（0，1），∴E点坐标为（0，2），∴P点纵坐标为2，在 223 y x x =-++中， 令y=2，可得 2232 x x -++=，解得x=12 ±，∴P点坐标为（122）或（12， 2），故答案为：（122）或（12，2）．
2020-2021中考数学平行四边形-经典压轴题附详细答案 一、平行四边形 1．操作：如图，边长为2的正方形ABCD，点P在射线BC上，将△ABP沿AP向右翻折，得到△AEP，DE所在直线与AP所在直线交于点F． 探究：（1）如图1，当点P在线段BC上时，①若∠BAP=30°，求∠AFE的度数；②若点E 恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置？并求出此时∠AFD 的度数． 归纳：（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数是否会发生变化？试证明你的结论； 猜想：（3）如图2，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数是否会发生变化？试在图中画出图形，并直接写出结论． 【答案】（1）①45°；②BC的中点，45°；（2）不会发生变化，证明参见解析；（3）不会发生变化，作图参见解析. 【解析】 试题分析：（1）当点P在线段BC上时，①由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求出∠DAE度数，在三角形AFD中，利用内角和定理求出所求角度数即可；②由E为DF中点，得到P为BC中点，如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，得到AF 垂直平分BE，进而得到三角形BOP与三角形EOG全等，利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=1，得到P为BC中点，进而求出所求角度数即可；（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数不会发生变化，作AG⊥DF于点G，如图1（a）所示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出∠1+∠2的度数，即为∠FAG 度数，即可求出∠F度数；（3）作出相应图形，如图2所示，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数不会发生变化，理由为：作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，设 ∠DAG=∠EAG=α，根据∠FAE为∠BAE一半求出所求角度数即可． 试题解析：（1）①当点P在线段BC上时，∵∠EAP=∠BAP=30°，∴∠DAE=90°﹣ 30°×2=30°，在△ADE中，AD=AE，∠DAE=30°，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣30°）÷2=75°，在△AFD中，∠FAD=30°+30°=60°，∠ADF=75°，∴∠AFE=180°﹣60°﹣75°=45°；②点E为DF 的中点时，P也为BC的中点，理由如下：
平行四边形存在性问题 一、解平行四边形的存在性问题一般分三个步骤 第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算. 二、难点在于寻找分类标准，寻找恰当的分类标准，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又准又快. 三、如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点，利用横纵坐标的平移变化得出结论。 四、如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况，灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便。（辅助手段~三角形全等，等积法，中点坐标公式） 例1.已知抛物线 b ax ax y ++-=22 与x 轴的一个交点为A(-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ． ⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式； ⑶坐标平面内是否存在点M ,使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由． 例2、如图，抛物线：y= x 2﹣x ﹣ 与x 轴交于A 、B （A 在B 左侧），A （﹣1，0）、B （3，0），顶点为C （1，﹣2）（1）求过A 、B 、C 三点的圆的半径．（2）在抛物线上找点P ，在y 轴上找点E ，使以A 、B 、P 、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 、E 的坐标． 例 3．已知，如图抛物线
23(0)y ax ax c a =++>与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点左侧。点B 的坐标为(1，0),OC=30B ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值： (3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上。是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 例4.已知抛物线：x x y 22 12 1+- = （1）求抛物线1y 的顶点坐标. （2）将抛物线1y 向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线2y ，求抛物线2y 的解析式. （3）如下图，抛物线2y 的顶点为P ，x 轴上有一动点M ，在1y 、2y 这两条抛物线上是否存在点N ，使O （原点）、P 、M 、 N 四点构成以OP 为一边的平行四边形， 若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由. 例5．如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2． （1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理 x y y 12 3 4 5 6 7 8 9 54321 -1-2-3-4 1 y 2 -1
【压轴题】动点存在性问题集锦 1如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（2，4），直线2=x 与x 轴相交于点B ，连结OA ，抛物线2x y =从点O 沿OA 方向平移，与直线2=x 交于点P ，顶点M 到A 点时停止移动． （1）求线段OA 所在直线的函数解析式； （2）设抛物线顶点M 的横坐标为m , ①用m 的代数式表示点P 的坐标； ②当m 为何值时，线段PB 最短； （3）当线段PB 最短时，相应的抛物线上是否存在点Q ，使△QMA 的面积与△PMA 的面积相等，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 2如图所示，已知二次函数图象的顶点坐标为C （1，1）， 直线，y ＝k x +m 的图象与该二次函数的图象交于A ,B 两点，其中，点A 坐标为（52，13 4 ），点B 在Y 轴上，直线与x 轴的交点为 F , P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A 、B 不重合），过P 作X 轴的垂线与这个二次函数的图象交于E 点． （1)求k 、m 的值及这个二次函数的解析式； (2)设线段PE 的长为h,点P 的横坐标为x,求h 与x 之间的函数关系，并写出自变量x 的取值范围； (3）D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB 上是否存在点p ，使得以点P 、E 、D 为顶点的三角形与△BOF 相似？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由． 3已知：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB
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