第5章 行波法与积分变换法
在第4章中，我们较为详细地讨论了分离变量法，它是求解有限域内定解问题的一个常用方法，只要求解的区域很规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若干个只含有一个坐标变量的方程表示），对三种典型的方程均可运用.本章我们将介绍另外两个求解定解问题的方法：一是行波法，二是积分变换法.行波法只能用于求解无界域内波动方程的定解问题，积分变换法不受方程类型的限制，主要用于无界域，但对有界域也能应用.
5.1 一维波动方程的达朗倍尔公式
我们知道，要求一个常微分方程的特解，惯用的方法是先求出它的通解，然后利用初始条件确定通解中的任意常数得到特解.对于偏微分方程能否采用类似的方法呢？一般说来是不行的，原因之一是在偏微分方程中很难定义通解的概念，原因之二是即使对某些方程能够定义并求出它的通解，但此通解中包含有任意函数，要由定解条件确定出这些任意函数是会遇到很大困难的.但事情总不是绝对的，在少数情况下不仅可以求出偏微分方程的通解，而且可以由通解求出特解.本节我们就一维波动方程来建立它的通解公式，然后由它得到始值问题解的表达式.
对于一维波动方程
22
222,u u a t x
??=?? （5.1） 我们作如下的代换（为什么作这样的代换，学完本节后就会明白）：
,
.
x at x at ξη=+??
=-? (5.2) 利用复合函数微分法则得
,u u u u u x x x ξηξηξη
???????=+=+??????? 22u u u u u x x x
ξη
ξξηηξη?????????????=+++ ? ?
????????????? 22222
2,u u u ξξηη???=++???? (5.3) 同理有
22
2222222,u u u u a t ξξηη??????=-+????????
? (5.4) 将(5.3)及(5.4)代入(5.1)得
20.u
ξη
?=?? (5.5)
将(5.5)式对η积分得
(),u
f ξξ
?=? (()f ξ是ξ的任意可微函数） 再将此式对ξ积分得
212(,)()()
()(),
u x t f d f f x at f x at ξξη=+=++-? (5.6)
其中12,f f 都是任意二次连续可微函数.(5.6)式就是方程(5.1)的通解.
在各个具体问题中，我们并不满足于求通解，还要确定函数1f 和2f 的具体形式.为此，必须考虑定解条件，下面我们来讨论无限长弦的自由横振动.设弦的初始状态为已知，即已知定解条件
00
(),().t t u x u
x t
?ψ==?=?
??=??? （5.7） 将(5.7)中的函数代入(5.6)中，得
1212()()(),(5.8)()()().
(5.9)
f x f x x af x af x x ?ψ+=???
''-=??
在(5.9)两端对x 积分一次，得
1201()()().(5.10)x
f x f x d C a
ψξξ-=
+?
由(5.8)与(5.10)解出12(),()f x f x ，得
1011()()(),222x C
f x x d a ?ψξξ=++? 2011()()().222
x C f x x d a ?ψξξ=--?
把这里确定出来的1()f x 和2()f x 代回到(5.6)中，即得方程(5.1)在条件(5.7)下的解为
[]11(,)()()().22x at x at u x t x at x at d a
??ψξξ+-=
++-+? （5.11） (5.11)式称为无限长弦自由振动的达郎倍尔（ D ’Alembert ）公式.
现在我们来说明达朗倍尔公式的物理意义.由于达朗倍尔公式是由（5.6）式得来的，所以我们只须说明(5.6)式的物理意义.
首先，考虑22()u f x at =-的物理意义.我们来说明这样的函数是代表一个沿x 轴正方
向传播的行波.为了讲清这一点，我们不妨考虑一个特例，假定2()f x 的图形如图5-1(a)所示.则在0t =时，22()u f x =；在12
t =
时，22()2a
u f x =-，其图形如图5-1(b)所示；在1
t =时，22()u f x a =-，其图形如图5-1(c)所示；在2t =时，22(2)u f x a =-，其图形如图5-1(d)所示.这些图形说明，随着时间t 的推移，22()u f x at =-的图形以速度a 向x 轴正方向移动.所以22()u f x at =-表示一个以速度a 沿x 轴正方向传播的行波.同样道理，
11()u f x at =+就表示一个以速度a 沿x 轴负方向传播的行波.达朗倍尔公式表明，弦上的
任意扰动总是以行波形式分别向两个方向传播出去，其传播速度正好是弦振动方程中的常数
a ，基于上述原因，所以本节所用的方法就称为行波法.
从达朗倍尔公式(5.11)还可以看出，解在(,)x t 点的数值仅依赖于x 轴上区间[]
,x at x at -+内的初始条件，而与其他点上的初始条件无关.区间[]
,x at x at -+称为点(),x t 的依赖
区间.它是由过(,)x t 点的两条斜率分别为1
a
±的直线在x 轴所截得的区间（图5-2（a ））.
对初始轴0t =上的一个区间12[,]x x ，过1x 作斜率为
1a
的直线1x x at =+，过2x 作斜率为1
a
-
的直线2x x at =-，它们和区12[,]x x 一起构成一个三角形区域（图5-2（b ）），此三角形区域中任一点(),x t 的依赖区间都落在区间12[,]x x 的内部，因此解在此三角形区域中的数值完全由区间12[,]x x 上的初始条件决定，而与此区间外的初始条件无关，这个区域称
为区间[x 1,x 2]的决定区域.在区间12[,]x x 上给定初始条件，就可以在其决定区域中决定始值问题的解.
图 5-2
从上面的讨论中，我们可以看到在(),x t 平面上斜率为1
a
±
的直线0x x at =±对波动方程的研究起着重要的作用，我们称这两族直线为一维波动方程的特征线，波动实际上是沿特征线方向传播的，有些书上又将行波法称为特征线法.
5.2 三维波动方程的泊松公式
上节我们已经讨论了一维波动方程的始值问题，获得了达朗倍尔公式.只研究一维波动方程还不能满足工程技术上的要求，例如在研究交变电磁场时就要讨论三维波动方程，本节我们就来考虑在三维无限空间中的波动问题.即求解下列定解问题
22
2222222001
0,,,;
(5.12)(,,),(5.13)(,,).
(5.14)
t t u u
u u a x y z t
x y z u x y z u x y z t ??==???????=++-∞<<+∞? ?????????
=??
??=???
这个定解问题仍可用行波法来解，不过由于坐标变量有三个，不能直接利用5.1中所得的通解公式.下面先考虑一个特例.
5.2.1 球对称三维波动方程的通解
如果将波函数u 用空间球坐标(,,)r θ?来表示，所谓球对称就是指u 与,θ?都无关，在球坐标系中，波动方程（5.12）为
22222222221111sin .sin sin u u u u
r r r r r r a t θθθθθφ??????????++= ? ???????????
当u 不依赖于,θ?时，这个方程可简化为
222
2211,u u
r r r r a t
?????= ?????? 或 222222
.u u r u
r r r a t ???+=??? 但 2222
()
2
,u u ru r r r r ???+=???
所以最后得到方程
22222
()1()
.ru ru r a r ??=?? 这是关于ru 的一维波动方程，其通解为
12()()ru f r at f r at =++-,
或 12()()
(,).f r at f r at u r t r
++-=
从5.1中所述的关于通解公式(5.6)的物理意义可知，函数(,)u r t 是一个以速度a 沿球的半径
r 增加的方向向外传播的波与一个以同样速度自外沿r 减小的方向向内传播的波的叠加，而且这两个波都是沿着球面r =常数传播的.
5.2.2 三维波动方程的泊松公式
现在我们来考虑一般的情况，即要求问题(5.12)，(5.13)，(5.14)的解，从上面对球对称情况的讨论使我们产生这样一个想法：既然在球对称的情况，函数(,)ru r t 满足一维波动方程，可以求出通解，那末在不是球对称的情况能否设法把方程也化成可以求通解的形式？由于在球对称时波函数u 只是r 与t 的函数，在非球对称是u 不能写成r 与t 的函数，而是,,,x y z t 的函数，所以对非球对称情况，ru 不可能满足一维波动方程，但是，如果我们不去考虑波函数u 本身，而是考虑u 在半径为r 的球面上的平均值，则这个平均值就只与r ，
t 有关了.这就启发我们先引入一个函数(,)u r t ，它是函数(),,,u x y z t 在以点(,,)
M x y z 为中心、以r 为半径球面M
r S 上的平均值，即
21(,)4M r S
u r t udS r π=
??
1
1,4M S
ud ωπ
=
?? （5.15）
其中1M
S 是以M 为中心的单位球面，d ω是单位球面上的面积元素，在球面坐标系中
sin ,d d d ωθθ?=且2.dS r d ω=
从(5.15)及(,,,)u x y z t 的连续性可知，当0r →时0
lim (,)(,),r u r t u M t →=此处(,)u M t )
表示函数u 在M 点及时刻t 的值，将0
lim (,)r u r t →记为(0,),u t 则有
(0,)(,).u t u M t =
下面来推导(,)u r t 所满足的微分方程，对方程(5.12)的两端在M
r S 所围成的体积M
r V 内积分，
并应用奥-高公式可得
22222
2222M M r
r
V v u u u u dV a dV t x y z ??????=++ ??????
??????? 2
M r
v u u u a dV x x y y z z ??
????????????=++?? ? ? ??????????????????
1
2
22M M
r
S S u
a
dS a r d n ω?==????? 1
1
22
22,M M
S S u a r
d a r ud n ωω?==????? (5.16) 其中n 是1M
S 的外法同矢量.
(5.16)式左端的积分也采用球面坐标并交换微分运算和积分运算的次序，得
22
22
222M
M
M
r
r
r
V V V u dV udV ur d dr t t t ω???==???????????? 1
22
2
.M r
S d ur dr t
ω?=????
代回(5.16)中得
1
2
222
2
4.M r
S u
d ur dr a r t r
ωπ??=?????
在此式两端对r 微分一次，并利用变量上限定积分对上限求导数的规则，得
1
222
22
4,M S u ur dr a
r t r r π?????= ??????
?? 或 22222.u a u r t r r r ?????
= ?????? 但 222211()
,u ru r r r r r r ?????= ??????
故得
22
222()().ru ru a t r
??=?? 这是一个关于ru 的一维波动方程，它的通解为
12(,)()(),ru r t f r at f r at =++- （5.17）
其中12,f f 是两个二次连续可微的任意函数.
下面的任务是由(5.17)确定原定解问题的解(,)u M t . 首先，在(5.17)中令0r =，得
12()()0,f at f at +-=
即 21()().f at f at -=- 等式两端微分一次得
1''2()().f at f at -= （5.18）
其次，在(5.17)两端对,r t 求偏导数：
'12()()(),u ru u r f r at f r at r r ??'=+=++-?? （5.19） ''12()()().ru af r at af r at t
?
=+--? （5.20） (5.19)式乘以a 后再与(5.20)式相加，得
'1()()2().a
ru ru af r at r t
??
+=+?? 令0t =，则有
'10
12()()()t f r ru ru r a t =????=+??
????
2
2
00
1
144M
M
r r t t S S u
ru dS r
dS r r ar t ππ==??=
+
?????? 0
1
11
44M
M r r
S S dS dS r
r a r
??ππ?=
+
???
??
当r at =时，得
'0
1
111
2(),44M
M
r r
S S f at dS dS a t
r
a r ??ππ?
=
+
???
??
但由(5.19)式令0r =，得
''12(0,)()(),u t f at f at =+-
利用(5.18)得
1(0,)2(),u t f at '=
即 '
1(,)2().u M t f at =
综合上述，得到问题（5.12），(5.13)，(5.14) 的解为
1
1
1
(,),44M M at
at
S S u M t dS dS a t
r
a r
??ππ?=
+
???
?? （5.21）
(5.21)式称为三维波动方程的泊松方式.其中函数01,??中的变量应为
sin cos ,sin sin ,cos ,x r y r z r θφθφθ+++此处为了书写简章，没有把这些变量写出来，
请读者注意.
5.2.3 泊松公式的物理意义
下面我们来说明解(5.21)的物理意义.
从(3.21)式可以看出，为求出定解问题(3.12)，(3.13)，(3.14)的解在(x,y,z,t)处的值，只需要以M(x,y,z)为球心、以at 为半径作为球面M
at S ，然后将初始扰动10,??代入(3.21)式进行积分，因为积分只在球面上进行，所以只有与M 相距为at 的点上的初始扰动能够影响u(x,y,z,t)的值.由于球面M
at S 上的点到球心M 的距离为at ，t 表示时间，这就表明扰动是以速度a 传播的，为了明确起见，设初始扰动只限于区域T 0，任取一点M ，它与T 0的最小距离为d ，最大距离为D （图3-3），由泊松
公式(3.21)可知，当d at ，即a
d
t
时，u(x,y,z,t)=0，这表明扰动的“前锋”还未到达；当D at d ，即a
D
t a d 时，u(x,y,z,t)≠0，这表明扰动已
经到达；当D at ，即a
D
t 时，u(x,y,z,t)=0，这表明扰动的“阵尾”已经过去了.由于在
点),,(ζηξ初始扰动是向各方面传播的，在时间t 它的影响是在以),,(ζηξ为中心、at 为半径的一个球面上，因此解(5.21)称为球面波.
从(5.21)我们也可以得到二维波动方程始值问题的解.事实上如果u 与z 无关，则z
u
??=0，这时三维波动方程的始值问题就变成二维波动方程的始值问题：
???
?
?
????=??=+∞-∞???? ????+??=??==).
,(),
,(;0,,1
0002222
222y x t u y x u t y x y u x u a t u t t ?? 、 （5.22） 要想从泊松公式(3.21)得到问题(3.22)解的表达式，就应将(3.21)中两个沿球面M
at S 的积分转
化成沿圆域2
22)()()(:at y x C M at ≤-+-ηξ内的积分，下面以
??M at
s dS r
a 141
?π为例说明这个转化方法.先将这个积分拆成两部分：
,4141411
2
111??????+=M at
s s s dS r
a dS r a dS r a ?π?π?π （5.23） 其中S 1，S 2分别表示球面M
at S 的上半球面与下半球面，在上半球面S 1上外法向矢量的方向余弦,)
()1(cos 2
2
2
2y t a at
----=
ηξγ在下半球面S 2上外法向矢量的方向余弦
,)
()(cos 2
222y x t a at
-----
=ηξγ
其中γ为法矢量与z 轴正向的夹角.将(3.23)右端两个曲面积分化成重积分得
??M
at
s dS a γ?π141
.)
()(),(21
)()(),(41)
()(),(41222212222122221??????----=???
?
???
?---------=
M at M
at M at C C C d d y x t a a d d y x t a at
at a d d y x t a at
at a ηξηξηξ?πηξηξηξ?πηξηξηξ?π 同理有
??M at
s dS a γ
?π041
.)()(),(21
22220??----=
M at
C d d y x t a a ηξηξηξ?π 将这两个等式代入(3.21)，即得问题(3.22)的解为
?????----??
=??M at
C d d y x t a t a t y x u ηξηξηξ?π222
20)()(),(21),,( .)()()
,(22221??
?
??----+??
M
at
C d d y x t a ηξηξηξ? （5.24）
从(5.24)可以看出，要计算这个解在 (x,y,t)处的值，只要以M(x,y)为中心、以at 为半径作圆域M
at C ，然后将初始扰动代入（5.24）进行积分，为清楚起见，设初始扰动仍限于区域T 0（参考图5-3）
，当时，(,,)0;,(,,)0;d D u x y t t u x y t a a =<<≠当D t a
<时，由于圆域M
at C 包含了区域T 0，所以),,(t y x u 仍不为零，这种现象称为有后效.这一点与球面波不同，球面
波是无后效的，即波传播过去了就不留痕迹.
平面上以点),(ηξ为中心的圆周的方程2
2
2
)()(r y x =-+-ηξ在空间坐标系内表示母线平行于z 轴的直圆柱面，所以在过),(ηξ点平行于z 轴的无限长的直线上的初始扰动，在时间t 后的影响是在以该直线为轴、at 为半径的圆柱面内，因此解(5.24)称为柱面波.
5.3 积分变换法举例
我们都知道，傅氏变换与拉氏变换可以用来解常微分方程，通过取积分变换可将未知函数的常微分方程化成象函数的代数方程，达到了消去对自变量求导数运算的目的.基于这一事实，我们自然会想到积分变换也能用于解偏微分方程，在偏微分方程两端对某个变量取变换就能消去未知函数对该自变量求偏导数的运算，得到象函数的较为简单的微分方程.如果原来的偏微分方程中只包含有两个自变量，通过一次变换就能得到象函数的常微分方程.下面通过例题来说明用积分变换法解定解问题的一般步骤. 例1 无界杆上的热传导问题
设有一根无限长的杆，杆上具有强度为(,).F x t 的热源，杆的初始温度为()x ?，试求
0t >时杆上温度的分布规律.
解 这个问题可归结为求解下列定解问题
2
220
(,),,0;(5.25)().(5.26)
t u u a f x t x t t x u x ?=???=+-∞<<+∞>????
?=?
其中).,(1
),(t x F c
t x f ρ=
由于方程(3.25)是非齐次的，且求解的区域又是无界的，因此用分离变量法来解将导致比较复杂的运算.现在我们用傅氏变换来解.用记号),(),,(t G t U ωω分别表示函数
),(),,(t x f t x u 关于变量x 的傅氏变换，即
.
),(),(,
),(),(dx e
t x f t G dx e t x u t U x
j x j ωωωω-∞
∞
-∞
∞--??==
对方程(5.25)的两端取关于x 的傅氏变换，根据傅氏变换的微分性质，得到
22(,)
(,)(,).(5.27)dU t a U t G t dt
ωωωω=-+
这是一个含参量ω的常微分方程，为了导出方程(5.27)的定解条件，对条件(5.26)式的两端也取傅氏变换，并且以()?ω表示的傅氏变换，得
0(,)().
(5.28)t U t ω?ω==
方程(5.27)是一阶线性常微分方程，它满足初始条件(5.28)的解为
2222()
(,)()(,).a t t
a t
U t e
G e
d ωτωω?ωωττ---=+? （5.29）
为了求出原定解问题(5.25)，(5.26)的解),,(t x u 还需要对),(U t ω取傅氏逆变换，由傅氏变换表可查得
[
]
.21222
241t
a x t a e
t
a e F -
--=
πω
再根据傅氏变换的卷积性质得
)],([),(1t U F t x u ω-=
.)
,(21
)(21)
(4)(0
4)(2222ξτ
τξτπ
ξξ?πτξξd e t f d a d e
t a
t a x t t
a x ---
∞
∞
---
∞
∞
-?
??
-+
=
（5.30）
这样就得到原定解问题的解.
通过这个例子可以看出，用积分变换法解定解问题的过程大体为：
一、根据自变量的变化范围以及定解条件的具体情况，选取适当的积分变换.然后对方程的两端取变换，把一个含两个自变量的偏微分方程化为含一个参量的常微分方程.
二、对定解条件取相应的变换，导出新方程的定解条件.
三、解所得的常微分方程，求得原定解问题解的变换式（即象函数）. 四、对所得的变换式取逆变换，得到原定解问题的解.
例2 一条半无限长的杆，端点温度变化情况为已知，杆的初始温度为0℃，求杆上温度的分布规律.
解 这个问题可归结为求解下列定解问题
2
2200,0,0;(5.31)0;(5.32)().
(5.33)
t x u u a x t t x u u f t ==???=>>?????
=??
=???
这个问题显然不能用傅氏变换来解了，因为x,t 的变化范围都是（0,∞+）.下面我们用拉氏变换来解.从x,t 的变化范围来看，对x 与t 都能取拉氏变换，但由于在x=0处未给出
x
u
??的值，故不能对x 取拉氏变换，面对t 来说，由于方程(5.31)中只出现关于t 的一阶偏导数，只要知道当t=0时u 的值就够了，这个值已由(5.32)给出，故我们采用关于t 的拉氏变换.
用U(x,p)，F(p)分别表示函数u(x,t),f(t)关于t 的拉氏变换，即
.
)()(,
),(),(0
dt e
t f p F dt e t x u p x U pt
pt -∞
∞
-??==
首先，对方程(5.31)的两端取拉氏变换，并利用条件(5.32)则得到新方程
222(,)(,)0.
(5.34)d U x p p
U x p dx a
-=
再对条件(5.33)取同样变换，得
0(,)().
(5.35)x U x p F p ==
方程(5.34)是关于U(x,p)的线性二阶常系数的常微分方程，它的通解为
，
12(,)U x p C e
C =+ （5.36） 由于当+∞→x 时，u(x,t)应该有界，所以U(x,p)也应该有界，故C 2=0.再由条件(5.35)得
C 1=F(p)，从而得
.)(),(x a
p e
P F p x U -
=
为了求得原定解问题的解u(x,t),需要对U(x,p)求拉氏逆变换，由拉氏变换表查得
.21
212?
∞---=
??
????t
a x
dy
y p
a
x e
e p
L π
再根据拉氏变换的微分性质可得
22
2
1
1432
1.
2y dy
x a t L e L p e p
d dt x
e --∞-??
=???????
??=??
=
最后由拉氏变换的卷积性质得
??
???
?
=--p
a
x e p F L t x u )(),(1 .)(1
)
(2)
(40
2
3
2
2
τττπ
τd e t f a x t a x t
-?
-=
(5.37)
这便是所要求的解.
通过上面两个例子我们对用积分变换法解定解问题的步骤已有所了解，掌握这些步骤并不困难，对初学者来说，使用这个方法时主要困难在于：
（1）如何选取恰当的积分变换，对这个问题应从两方面来考虑，首先要注意自变量的变化范围，傅氏变换要求作变换的自变量在),(+∞-∞内变化*）
，拉氏变换要求作变换的自变量在),0(+∞内变化**）
.其次要注意定解条件的形式，根据拉氏变换的微分性质
*）
如果采用正弦或余弦傅氏变换，自变量的变化范围就是（0)∞+.关于用正弦或余弦傅氏变换解数
学物理方程，读者可参阅C.J.特兰台尔尔著《数学物理中的积分变换》（潘德惠译，高等教育出版社出版）第三章.
**）还有一种双边的拉氏变换，它的积分区是
),(+∞-∞.本书所讲的拉氏变换都限于单边的.
),
0()0()
0()]([)]([)
1('2
1)(-------=n n n n n f
f p
f p t f L p t f L
可以看出，要对某自变量取拉氏变换，必须在定解条件中给出当该自变量等于零时的函数值及有关导数值.
（2）定解条件中哪些需要取变换，哪些不需要取变换.这个问题容易解决，凡是对方程取变换时没有用到的条件都要对它取变换，使它转化为新方程的定解条件.
（3）如何顺利地求出逆变换，解决这个问题主要是依靠积分变换表（见附录B ），以及运用积分变换的有关性质，有时还要用到计算反演积分的留数定理.
例3 设有一长为l 的均匀杆，其一端固定，另一端由静止状态开始受力F=Asin t ω的作用，力F 的方向和杆的轴线一致，求杆作纵振动的规律. 解 由习题三中第3题可知，杆作纵振动的方程与弦作横振动的方程完全相同，因此这个问题可归结为如下的定解问题
22222
0,0,0;(5.38)
0,0;(5.39)0,sin ,
(5.40)
t t x x l u
u a x l t t x u u t u A u t x E ω====????=<<>??????==??????==???
其中E 为杨氏模量.
下面用积分变换法求这个定解问题的解.由于x 的变化范围是0x l <<，所以只能取关于t 的拉氏变换，以(,)U x p 表示函数(,)u x t 关于t 的拉氏变换，在方程(5.38)两端取变换得
22
22
(,)(,).d U x p a p U x p dx
= （5.41） 在推导方程(5.41)时还未用到条件(5.40)，为了导出方程(5.41)的定解条件，对条件(5.40)取相应的变换，得
22
(,)(,)0,
x x l dU x p A U x p dx
E p ω
ω====
+ （5.42）
方程(5.41)满足条件(5.42)的解为
22(,),()p Aa sh
x a
U x p p
Ep p ch l
a
ωω=
+ (5.43)
求(5.43)的逆变换，即得原定解问题的解
122(,),()p Aa sh x a U x t L p
Ep p ch l a ωω-??
??=????
+?
?
第 二 章 热 传 导 方 程 §1 热传导方程及其定解问题的提 1. 一均匀细杆直径为l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律 dsdt u u k dQ )(11-= 又假设杆的密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k ，试导出此时温度u 满足的方程。 解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度),(t x u u =。记杆的截面面积4 2 l π为S 。 由假设，在任意时刻t 到t t ?+内流入截面坐标为x 到x x ?+一小段细杆的热量为 t x s x u k t s x u k t s x u k dQ x x x x ????=???-???=?+221 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻t 到t t ?+在截面为 x 到x x ?+一小段中产生的热量为 ()()t x s u u l k t x l u u k dQ ??-- =??--=11 1124π 又在时刻t 到t t ?+在截面为x 到x x ?+这一小段内由于温度变化所需的热量为 ()()[]t x s t u c x s t x u t t x u c dQ t ????=?-?+=ρρ,,3 由热量守恒原理得： ()t x s u u l k t x s x u k t x s t u c x t ??-- ????=????11 2 24ρ 消去t x s ??，再令0→?x ，0→?t 得精确的关系： ()11 224u u l k x u k t u c -- ??=??ρ 或 ()()11 22 2112244u u l c k x u a u u l c k x u c k t u --??=--??=??ρρρ 其中 ρ c k a =2 2. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。 解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域 为Ω，则从时刻1t 到2t 流入此闭曲面的溶质，由dsdt n u D dM ??-=，其中D 为扩散系数，得 ?????= 2 1 t t s dsdt n u D M 浓度由u 变到2u 所需之溶质为 ()()[]???????????ΩΩΩ ??=??=-=2 12 1121,,,,,,t t t t dvdt t u C dtdv t u C dxdydz t z y x u t z y x u C M 两者应该相等，由奥、高公式得： ????????Ω Ω??==????????? ??????+???? ??????+??? ??????=2 12 11t t t t dvdt t u C M dvdt z u D z y u D y x u D x M 其中C 叫做孔积系数=孔隙体积。一般情形1=C 。由于21,,t t Ω的任意性即得方程： ?? ? ??????+???? ??????+??? ??????=??z u D z y u D y x u D x t u C 3. 砼(混凝土)内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的 水化热成正比。以()t Q 表示它在单位体积中所储的热量，0Q 为初始时刻所储的热量，则 Q dt dQ β-=，其中β为常数。又假设砼的比热为c ，密度为ρ，热传导系数为k ，求它在浇后温度u 满足的方程。 解： 可将水化热视为一热源。由Q dt dQ β-=及00Q Q t ==得()t e Q t Q β-=0。由假设，放 热速度为 t e Q ββ-0 它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书71页，(1.7)式得 ??? ? ??-=+??? ? ????+??+??=??-ρρββc k a e c Q z u y u x u a t u t 20222222 2 4. 设一均匀的导线处在周围为常数温度0u 的介质中，试证:在常电流作用下导线的温度满足微分方程 ()2201224.0ρω ρωρc r i u u c P k x u c k t u +--??=?? 其中i 及r 分别表示导体的电流强度及电阻系数，表示横截面的周长，ω表示横截面面积，而k 表示导线对于介质的热交换系数。 解：问题可视为有热源的杆的热传导问题。因此由原71页(1.7)及(1.8)式知方程取形式为
第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ?。现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两端的坐标分别为： 其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u x x t x u x t x x u x x x ?+=??-+-?++?+θ 令 0→?x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克定律，张力),(t x T 等于 其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。 设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ?+两端的力分别为 于是得运动方程 tt u x x s x ???)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-?+?+ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 若=)(x s 常量，则得 22)(t u x ??ρ=))((x u x E x ???? 即得所证。 2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。 解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为 (2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力x u x E t l T ??=) (),(|l x =等于零，因此相应的边界条件为 x u ??|l x ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为 x u ??∣00==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的 偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u -。由虎克定律有 x u E ??∣)](),([t v t l u k l x --==
数学物理方程第二版答案 第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。 解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则x 点处的张力)(x T 为 )()(x l g x T -=ρ 且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻t 沿垂直于x 轴方向的位移，取弦段),,(x x x ?+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为 )(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ?+?+--θρθρ 其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角 又 . sin x u tg ??=≈θθ 于是得运动方程 x u x x l t u x ???+-=???)]([22ρ∣x u x l g x x ??--?+][ρ∣g x ρ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 ])[(2 2x u x l x g t u ??-??=??。 5. 验证 2 221),,(y x t t y x u --= 在锥2 22y x t -->0中都满足波动方程 222222y u x u t u ??+??=??证：函数2221),,(y x t t y x u --=在锥2 22y x t -->0内对变量t y x ,,有
二阶连续偏导数。且 t y x t t u ?---=??-2 3 222)( 22 52222 32222 2) (3) (t y x t y x t t u ?--+---=??- - )2()(2 2223 222y x t y x t ++?--=- x y x t x u ?--=??- 23 222)( ()() 225222232222 23x y x t y x t x u - ---+--=?? ( )()222 252222y x t y x t -+- -=- 同理 ()()222 25 2222 22y x t y x t y u +---=??- 所以 ()() .22 22 2225222222 2t u y x t y x t y u x u ??=++--=??+ ??- 即得所证。 §2 达朗贝尔公式、 波的传抪 3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题） ??? ? ???==??=??=+=-).()(0022222x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 )(x ?=F （0）+G （2x ） 令 x+at=0 得 )(x ψ=F （2x ）+G(0)
无限长弦的一般强迫振动定解问题 200(,)(,0)() () tt xx t t t u a u f x t x R t u x u x ?ψ==?=+∈>? =?? =? 解()()().() .0()1 11(,)(,)222x at t x a t x at x a t u x t x at x at d f d d a a ττ??ψξξατατ++----??=++-+ +??????? ???? 三维空间的自由振动的波动方程定解问题 ()22 22222220001,,,,0(,,) (,,)t t u u u a x y z t t x y z u x y z u x y z t ??==???????=++-∞<<+∞>? ????????? =????=??? 在球坐标变换 sin cos sin sin (0,02,0)cos x r y r r z r θ?θ??πθπθ=?? =≤<+∞≤≤≤≤??=? L 21()1 () (,)44M M at r S S M M u M t dS dS a t r a r ?ψππ??''?=+??????????? 乙 (r=at) 221()1() (,)44M M at at S S M M u M t dS dS a t t a t ?ψππ??''?=+??????? ???? 乙无界三维空间自由振动的泊松公式 ()sin cos ()sin sin (02,0)()cos x x at y y at z z at θ?θ??πθπθ'=+?? '=+≤≤≤≤??'=+? L 2()sin dS at d d θθ?= 二维空间的自由振动的波动方程定解问题 ()22 2222200,,,0(,)(,)t t u u u a x y t t x y u u x y x y t ?ψ==??????=+-∞<<+∞>? ???????? ?? ==??? 22000011(,,)22at at u x y t a t a ππθθππ?????= +????????? ???? 傅立叶变换
数学物理方法课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：数学物理方法 所属专业：物理、应用物理专业 课程性质：数学、物理学 学分：5 （二）课程简介、目标与任务 这门课主要讲授物理中常用的数学方法，主要内容包括线性空间和线性算符、复变函数、积分变换和δ-函数、数学物理方程和特殊函数等，适当介绍近年来的新发展、新应用。本门课程是物理系学生建立物理直观的数学基础，其中很多内容是为后续物理课程如量子力学、电动力学等服务，是其必需的数学基础。 这门课中的一些数学手段将在今后的基础研究和工程应用中发挥重要的作用，往往构成了相应领域的数学基础。一般来讲，因为同样的方程有同样的解，掌握和运用这些数学方法所体现的物理内容将更深入，更本质。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接 本课程以普通物理、高等数学和部分线性代数知识为基础，为后继的基础课程和专业课程研究有关的数学问题作准备，也为今后工作中遇到的数学物理问题求解提供基础。 （四）教材：《数学物理方法》杨孔庆编 参考书：1. 《数学物理方法》柯朗、希尔伯特著 2. 《特殊函数概论》王竹溪、郭敦仁编著 3. 《物理中的数学方法》李政道著 4. 《数学物理方法》梁昆淼编 5. 《数学物理方法》郭敦仁编 6. 《数学物理方法》吴崇试编 二、课程内容与安排 第一部分线性空间及线性算子 第一章R3空间的向量分析 第一节向量的概念 第二节R3空间的向量代数
第三节R3空间的向量分析 第四节R3空间的向量分析的一些重要公式 第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析 第一节R3空间中的曲线坐标系 第二节曲线坐标系中的度量 第三节曲线坐标系中标量场梯度的表达式 第四节曲线坐标系中向量场散度的表达式 第五节曲线坐标系中向量场旋度的表达式 第六节曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符▽2的表达式第三章线性空间 第一节线性空间的定义 第二节线性空间的内积 第三节Hilbert（希尔伯特）空间 第四节线性算符 第五节线性算符的本征值和本征向量 第二部分复变函数 第四章复变函数的概念 第一节映射 第二节复数 第三节复变函数 第五章解析函数 第一节复变函数的导数 第二节复变函数的解析性 第三节复势 第四节解析函数变换 第六章复变函数积分 第一节复变函数的积分 第二节Cauchy（柯西）积分定理 第三节Cauchy（柯西）积分公式 第四节解析函数高阶导数的积分表达式 第七章复变函数的级数展开
数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】
3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上
第五章 习题答案 5.1-1一长为l 的均匀细杆，0=x 端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长d 而静止（假定拉长在弹性限度内）。突然放手使其振动，试写出振动方程与定解条件。 解：振动方程的形式与自由杆的振动方程一样。 ()l x u a u xx tt ≤≤=-00 2 ρ Y a = 2 初始条件：()()l x x l d x U ≤≤= 00, ()00,=x U t 边界条件：()0,0=t U ()0,0=t U x （右端自由振动） 5.1-2 长为l 的弦两端固定，密度为ρ，开始时在ε<-c x 处受到冲量I 的作用，写出初始条件。 解： ()00,=x U 在ε≥-c x 处 ()00,=x U t 在ε<-c x 处 由动量定理有： [] ερ ερ2)0,(0)0,(2I x U x U I t t = ?-?= 即：()??? ??<-≥-=ε ερ εc x I c x x U t 200, 5.1-3 长为l 的均匀细杆，在振动过程中，0=x 固定，另一端受拉力0F 的作用。试写出边界条件。（横截面积S ，杨氏模量Y ）。 解：()0,0=t U 2 20),(t U S S t l P F ????=?--ρεε 当0→ε时有YS F t l U x U Y S F x l x 0 0),(= ???? ?==
5.1-4线密度为ρ，长为l 的弦两端固定，在某种介质中作阻尼振动，单位长度受阻力 t u h F ??-=，试写出其运动方程。 解：如图，取微元x d ，它的两端与x 轴间的夹角分别为21αα、，两端受力分别为 ()()t x T t x x T ,,d 、+，受力分析如下： x 轴方向： ()()0cos ,cos ,d 21=-+ααt x T t x x T 21,αα很小，则()()t x T t x x T ,,d =+， 即弦上张力不变。 y 轴方向：()()2221d d d sin ,sin ,d t u x g x x F t x T t x x T ????=??=?+-+ρραα 略去重力x g d ρ 有： x t u h x x u T t u x d d d 2222???-????=??ρ 所以：02 222=???+???-??t u h x u T t u ρρ 设2 a T =ρ 有：02 =+-t xx tt u h u a u ρ 5.1-5一均匀细圆锥杆作纵振动，锥的顶点固定在0=x 处，试导出此杆的振动方程。 解：设体密度为ρ,取微元x d （s 与s '中间一段） 则质量()?? ? ????-'?+??=s x s x x m 31d 31d ρ 而2 22 d 2d x x x x x x x s s +≈??? ??+=' 故()x s s x x x x m d d 31d 2 3 ??≈??? ?? ??-+??=ρρ 纵向上由牛顿定律有：s t x P s t x x P t u m ?-'?+=???),(),d (d 22 ()s x t x u x x x x t x x u Y t u x s ???? ???????-??? ??+??+??=???),(d ,d d 222ρ 1α 2α x l ()t x x T ,d + ()t x T , ()t x u , x x x d + x s s '
第三章 行波法与积分变换法 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1） 作如下代换; ? ? ?-=+=at x at x ηξ, （2） 利用复合函数求导法则可得 22 2 2 2 22 2))((,ηηξξηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2 2222222ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。 先对η求积分，再对ξ求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知
). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3） 由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x += -?0)(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得 .2 )(21)(21)(,2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 二、特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程 02=+++++Fu Eu Du Cu Bu Au y x yy xy xx 称下常微分方程为其特征方程 0)(2)(22=+-dx C Bdxdy dy A 。 由前面讨论知道，直线常数=±at x 为波动方程对应特征方程的积分曲线，称为特征线。已知，左行波)(at x F +在特征线1C at x =+上取值为常数值)(1C F ，右行波)(at x G -在特征线2C at x =-上取值为常数值)(2C G ，且这两个值随着特征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换（2）为特征变换，因此行波法又称特征线法。 注：此方法可以推广的其他类型的问题。 三、公式的物理意义 由 )()(),(at x G at x F t x u -++= 其中)(at x F +表示一个沿x 轴负方向传播的行波， )(at x G -表示一个沿x 轴正方向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个 方向传播出去，其传播速度为a 。因此此法称为行波法。
第一章 复数与复变函数（1） 1.计算 )(1)2; i i i i i -- = -- =-()122(12)(34)(2)5102122. ; 345(34)(34)59165 5 i i i i i i i i i i i i +-++--+++ = + =- =- --+-+5 5 51(3). ; (1)(2)(3) (13)(3) 102i i i i i i i = = = ------ 4 2 2 2 (4).(1)[(1)](2)4; i i i -=-=-=- 1 1 22 ())]a b a b i =+= 1 1 2 2 24s sin )]()(co s sin ); 2 2 i a b i θθθθ=+=++ 3. 设 1z = 2;z i = 试用三角形式表示12z z 及1 2z z 。 解： 121co s sin ;(co s sin ); 4 4 2 6 6 z i z i ππππ=+= + 121155[co s( )sin ( )](co s sin ); 2 4 6 4 6 2 12 12 z z i i π π π π ππ= + ++ = + 12 2[co s( )sin ( )]2(co s sin ); 4 6 4 6 12 12 z i i z ππππππ=- +- =+ 11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1231; z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆 z =1 的正三角形的顶点。 证明：1230;z z ++=z 123231;312;;z z z z z z z z z ∴=--=--=-- 122331;z z z z z z ∴-=-=-123 ,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。 1231z z z === 123 ,,z z z ∴为以z 为圆心，1为半径的圆上的三点。 即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。
数学物理方程小结 第七章 数学物理定解问题 数学物理定解问题包含两个部分：数学物理方程（即泛 定方程）和定解条件。 §7.1数学物理方程的导出 一般方法： 第一确定所要研究的物理量u ,第二 分析体系 中的任意一个小的部分与邻近部分的相互作用,根据物理规 律, 抓住主要矛盾, 忽略次要矛盾。（在数学上为忽略高级 小量.）第三 然后再把物理量u 随时间，空间的变为通过数 学算式表示出来, 此表示式即为数学物理方程。 （一） 三类典型的数学物理方程 （1）波动方程： 0 :),(:),(:22222222==??-??=?-??→f 当无外力时t x f x u a t u 一维t r f u a t u 三维 此方程 适用于各类波动问题。（特别是微小振动情况.） （2）输运方程： 0 :).(:),(:2222==??-??=?-??→f 无外源时t x f x u a t u 一维t r f u a t u 三维 此方程 适用于热传导问题、扩散问题。
（3）Laplace 方程： . 0(:0 :).程时泊松方程退化拉氏方f f u 泊松方程u 拉氏方程t r ==?=?→ 稳定的温度和浓度分布适用的数学物理方程为Laplace 方程, 静电势u 在电荷密度为零处也满足Laplace 方 程 。 §7.2定解条件 定解条件包含初始条件与边界条件。 （1） 初始条件的个数等于方程中对时间最高次导数 的次数。例如波动方程应有二个初始条件, 一般 选初始位移u （x,o ）和初始速度u t （x,0）。而输 运方程只有一个初始条件选为初始分布u （x,o ）, 而Laplace 方程没有初始条件。 （2） 三类边界条件 第一类边界条件： u( r ,t)|Σ = f （1） 第二类边界条件： u n |Σ = f （2） 第三类边界条件： ( u+Hu n )|Σ= f （3） 其中H 为常数. 7.3 二阶线性偏微分方程分类
浅谈积分变换的应用 学院：机械与汽车工程学院 专业：机械工程及自动化 年级：12级 姓名：郑伟锋 学号：201230110266 成绩： 2014年1月
目录 1.积分变换的简介 (3) 1.1积分变换的分类 (3) 1.2傅立叶变换 (3) 1.2拉普拉斯变换 (4) 1.3梅林变换和哈尔克变换 (5) 1.3.1梅林变换 (5) 1.3.2汉克尔变换 (6) 2.各类积分变换的应用 (6) 2.1总述 (6) 2.2傅立叶变换的应用 (6) 2.2.1傅立叶变换在图像处理中的应用 (6) 2.2.2傅立叶变换在信号处理中的应用 (7) 2.3拉普拉斯变换的应用 (8) 2.3.1总述 (8) 2.3.2 运用拉普拉斯变换分析高阶动态电路 (8) 参考文献 (9)
1.积分变换的简介 1.1积分变换的分类 通过参变量积分将一个已知函数变为另一个函数。已知?(x)，如果 存在（α、b可为无穷）,则称F(s)为?(x)以K(s,x)为核的积分变换。 积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。 1.2傅立叶变换 傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。其定义如下 f(t）是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个周期内具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅里叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅里叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ①傅里叶变换 ②傅里叶逆变换
第五章 格林函数法 在第二章中利用分离变量法求出了矩形区域和圆域上位势方程Dirichlet 问 题的解.本章利用Green 函数法求解一些平面或空间区域上位势方程Dirichlet 问题. 另外，也简单介绍利用Green 函数法求解一维热传导方程和波动方程半无界问题. 应指出的是：Green 函数法不仅可用于求解一些偏微分方程边值问题或初边值问题，特别重要的是，它在偏微分方程理论研究中起着非常重要的作用. §5?1 格林公式 在研究Laplace 方程或Poisson 方程边值问题时，要经常利用格林（Green ）公式，它是高等数学中高斯（Gauss ）公式的直接推广. 设Ω为3R 中的区域，?Ω充分光滑. 设k 为非负整数，以下用()k C Ω表示在 Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体，()k C Ω表示在Ω上具有k 阶连续偏导的实 函数全体. 如()10()()()()u C C C C ∈Ω?ΩΩ=Ω，表示(,,)u x y z 在Ω具有一阶连续偏导数而在Ω上连续. 另外，为书写简单起见，下面有时将函数的变量略去. 如将(,,)P x y z 简记为P ，(,,)P x y z x ??简记为P x ??或x P 等等. 设(,,)P x y z ，(,,)Q x y z 和(,,)R x y z 1()C ∈Ω，则成立如下的Gauss 公式 ( )P Q R dV Pdydz Qdydx Rdxdy x y z Ω ?Ω ???++=++???????? (1.1) 或者 ( )(cos cos cos )P Q R dV P Q R ds x y z αβγΩ ?Ω ???++=++???????? (1.2) 如果引入哈米尔顿（Hamilton ）算子： ( ,,)x y z ??? ?=???，并记(,,)F P Q R = ，则Gauss 公式具有如下简洁形式 ???????=??Ω Ω ds n F dv F (1.3) 其中(cos ,cos ,cos )n αβγ= 为?Ω的单位外法向量. 注1 Hamilton 算子是一个向量性算子，它作用于向量函数(,,)F P Q R = 时，其运算定义为 (,,)(,,) , F P Q R x y z P Q R x y z ??? ??=???????=++???
第三章 行波法与积分变换法 (第十三讲 ) 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1） 作如下代换; ?? ?-=+=at x at x ηξ, （2） 利用复合函数求导法则可得 222222 22))((,ηηξξ ηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2222222 2ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。 先对求积分，再对求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知 ). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3） 由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x +=-?0 )(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得
.2 )(21)(21)(,2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 例 求解柯西问题： ?????+∞≤≤-∞==+∞≤≤-∞>=-+==.,0,3,,0,03202 x u x u x y u u u y y y yy xy xx 解：其特征方程为 0)(32)(22=--dx dxdy dy 由此可得特征线方程为 d y x c y x =+=-3 因此作变换 ?? ?+=-=y x y x μξ, 3 从而可得 η ξ???u 2＝0 从而有 )()3(),(y x G y x F y x u ++-= 由初始条件可得 )()3(3)()3(' ' 2=+-=+x G x F x x G x F 所以有 C x G x F =-)(3)3(， 从而可得 C x x G C x x F +=-=4 3)(4 9)3(2 2
《数学物理方程》课程 教学大纲 课程代码：B0110040 课程名称：数学物理方程／equation of mathematic physics 课程类型：学科基础课 学时学分：64学时/4学分 适用专业：地球物理学 开课部门：基础课教学部 一、课程的地位、目的和任务 课程的地位：数学物理方程是地球物理学专业的一门重要的专业（或技术）基础课。数学物理方程是反应自然中物理现象的基本模型，也是一种基本的数学工具，与数学其他学科和其他科学技术领域诸如数值分析、优化理论、系统工程、物理、化学、生物等学科都有广泛联系。对于将来从事工程地震技术工作及自然科学研究的学生来说是必不可少的。期望学生通过该门课程的学习，能深刻地理解数学物理方程的不同定解问题所反应的物理背景。 课程的目的与任务：使学生了解数学物理方程建立的依据和过程，认识这门学科与物理学、力学、化学、生物学等自然科学和社会科学以及工程技术的极密切的广泛的联系。掌握经典数学物理方程基本定解问题的提法和相关的基本概念和原理，重点掌握求解基本线性偏微分方程定解问题的方法和技巧。使学生掌握与本课程相关的重要理论的同时，注意启发和训练学生联系自己的专业，应用所学知识来处理和解决实际问题的能力。 二、课程与相关课程的联系与分工 学生在进入本课程学习之前，应修课程包括：大学物理、高等数学、线性代数、复变函数、场论与向量代数。这些课程的学习，为本课程奠定了良好的数学基础。本课程学习结束后，可进入下列课程的学习：四大力学、电磁场与微波技术、近代物理实验等。且为进一步选修偏微分方程理论、数值计算、控制理论与几何分析等课程打下基础。
三、教学内容与基本要求 第一章绪论 1.教学内容 第一节偏微分方程的基本概念 第二节弦振动方程及定解条件 第三节热传导方程及定解条件 第四节拉普拉斯方程及定解条件 第五节二阶线性偏微分方程的分类 第六节线性算子 2.重点难点 重点：物理规律“翻译”成数学物理方程的思路和步骤，实际问题近似于抽象为理想问题 难点：数学物理方程的数学模型建立及数学物理方程的解空间是无限维的函数空间 3.基本要求 （1）了解数学物理方程研究的基本内容，偏微分方程的解、阶、维数、线性与非线性、齐次与非齐次的概念；了解算子的定义。了解三类典型方程的建立及其定解问题（初值问题、边值问题和混合问题）的提法，定解条件的物理意义。 （2）掌握微分算子的运算规律，理解线性问题的叠加原理 （3）了解二阶线性方程的特征理论 （4）掌握两个变量二阶线性偏微分方程分类方法及化简方法 （5）掌握三类方程的标准形式及其化简过程，会三类方程的比较，并能通过标准形式求得某些方程的通解。 第二章分离变量法 1.教学内容 第一节有界弦的自由振动。 第二节有界长杆的热传导问题。 第三节二维拉普拉斯方程的边值问题。 第四节非齐次方程得求解问题。
数学物理方程第二版答案(平时课后习题作业)
数学物理方程第二版答案 第一章． 波动方程 §1 方程的导出。 定解条件 4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。 解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则 x 点处的张力)(x T 为 ) ()(x l g x T -=ρ 且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻t 沿垂直于x 轴方向的位移，取弦段),,(x x x ?+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为 )(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ?+?+--θρθρ 其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角 又 . sin x u tg ??=≈θθ 于是得运动方程 x u x x l t u x ???+-=???)] ([22ρ∣ x u x l g x x ??--?+] [ρ∣ g x ρ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得
])[(2 2x u x l x g t u ??-??=??。 5. 验证 2 2 2 1),,(y x t t y x u --=在锥2 22 y x t -->0中都 满足波动方程 2 22222y u x u t u ??+??=??证：函数 2 2 2 1),,(y x t t y x u --= 在锥 2 22y x t -->0内对变量t y x ,,有 二阶连续偏导数。且 t y x t t u ?---=??-2 3 222)( 2 2 52222 32222 2)(3) (t y x t y x t t u ?--+---=??-- ) 2()(22223 222y x t y x t ++?--=- x y x t x u ?--=??- 23 222)( ()() 2 25222232222 23x y x t y x t x u - ---+--=?? ( )( )2 22 252222y x t y x t -+- -=- 同理 ()()22225222222y x t y x t y u +---=??- 所以 ()() .22 22 2225222222 2t u y x t y x t y u x u ??=++--=??+ ??- 即得所证。 §2 达朗贝尔公式、 波的传抪 3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题
第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程 ()?? ? ??????=??? ??????x u E x t u x t ρ 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ?。现在计算这段杆 在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两端的坐标分别为： ),();,(t x x u x x t x u x ?++?++ 其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u x x t x u x t x x u x x x ?+=??-+-?++?+θ 令 0→?x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克定律，张力),(t x T 等于 ),()(),(t x u x E t x T x = 其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。 设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ?+两端的力分别为 x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(?+?+).,(t x x ?+ 于是得运动方程 tt u x x s x ???)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-?+?+ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 tt u x s x )()(ρx ?? = x ESu () 若=)(x s 常量，则得 22)(t u x ??ρ=))((x u x E x ???? 即得所证。 2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。 解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为
第5章 行波法与积分变换法 在第4章中，我们较为详细地讨论了分离变量法，它是求解有限域内定解问题的一个常用方法，只要求解的区域很规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若干个只含有一个坐标变量的方程表示），对三种典型的方程均可运用.本章我们将介绍另外两个求解定解问题的方法：一是行波法，二是积分变换法.行波法只能用于求解无界域内波动方程的定解问题，积分变换法不受方程类型的限制，主要用于无界域，但对有界域也能应用. 5.1 一维波动方程的达朗倍尔公式 我们知道，要求一个常微分方程的特解，惯用的方法是先求出它的通解，然后利用初始条件确定通解中的任意常数得到特解.对于偏微分方程能否采用类似的方法呢？一般说来是不行的，原因之一是在偏微分方程中很难定义通解的概念，原因之二是即使对某些方程能够定义并求出它的通解，但此通解中包含有任意函数，要由定解条件确定出这些任意函数是会遇到很大困难的.但事情总不是绝对的，在少数情况下不仅可以求出偏微分方程的通解，而且可以由通解求出特解.本节我们就一维波动方程来建立它的通解公式，然后由它得到始值问题解的表达式. 对于一维波动方程 22 222,u u a t x ??=?? （5.1） 我们作如下的代换（为什么作这样的代换，学完本节后就会明白）： , . x at x at ξη=+?? =-? (5.2) 利用复合函数微分法则得 ,u u u u u x x x ξηξηξη ???????=+=+??????? 22u u u u u x x x ξη ξξηηξη?????????????=+++ ? ? ????????????? 22222 2,u u u ξξηη???=++???? (5.3) 同理有 22 2222222,u u u u a t ξξηη??????=-+???????? ? (5.4) 将(5.3)及(5.4)代入(5.1)得 20.u ξη ?=?? (5.5)