2020-2021年上海市位育中学高三下开学考一、填空题
1. 行列式123 4
56
789
中，6的代数余子式的值是______．
2. 若抛物线2
1
4
y x
=上一点M到焦点F的距离为4，则点M的纵坐标的值为___________
3. 设{}
51,
A x x k k
==+∈N，{}
|5,
B x x x
=≤∈Q，则A B=________.
4. 若复数z满足(34)|(2)(12)|
i z i i
-=+-(其中i为虚数单位)，则z的虚部是___________.
5. 函数
234
y
x x
=
--
的定义域为___________.
6. .“沃尔玛”商场在国庆“62”黄金周的促销活动中,对10月2日9时至14时的销售额进行统计,其频率分布直方图如右下图所示.已知9时至10时的销售额为2.5万元,则11时至12时的销售额为________万元.
7. 关于x的方程
23
lg
4
a
x
a
+
=
-
有大于1的实数根，则实数a的取值范围是_________.
8. 空间中一条线段在三视图中的长度分别为5135______.
9. 某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念.已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有______种.
10. 已知1a?2a与1b?2b是4个不同的实数，若关于x的方程121
||||||+
x a x a x b
-+-=-
2
||
x b
-的解集A 不是无限集，则集合A中元素的个数构成的集合为___________.
11. 如图，已知4
AC=，B为AC的中点，分别以AB?AC为直径在AC的同侧作半圆，M?N分别为两半圆上的动点(不含端点A?B?C)，且0
BM BN
?=，则AM CN
?的最大值为___________.
12. 已知函数()f x 对于任意实数x ，都有()(398)(2158)(3214)f x f x f x f x =-=-=-，则函数值(0)f ，
(1)f ，(2)f ，???，(2020)f 中最多有___________个不同的
数值
二、选择题
13. 如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） A. ab c d ≤+，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 B. ab c d ≥+，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 C. ab c d ≤+，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 D. ab c d ≥+，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一
14. “数列{}n a 和数列{}n b 极限都存在”是“数列{}n n a b +和数列{}n n a b -极限都存在”的（ ）条件 A. 充分非必要
B. 必要非充分
C. 充分必要
D. 非充分非必要
15. 在ABC 中，若2
sin A =cos 2B C +的取值范围是（ ） A. (0,1] B. (0,1]
(2,5]
C. 3
(0,1]
(
2,5]2
D. 以上答案都不对
16. 已知数列{}n a 为有穷数列，共95项，且满足2003200(6)
2
n n
n
n a C -=，则数列{}n a 中的整数项的个数为（ ） A. 13
B. 14
C. 15
D. 16
三、解答题
17. 已知几何体A BCED -的三视图如图所示，其中左视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形，主视图为直角梯形.
（1）求几何体A BCED -的体积； （2）求直线CE 与平面AED 所成角的大小.
18. 已知函数f(x)21
12
x x k =+-，k≠0，k ∈R ．
（1）讨论函数f （x ）的奇偶性，并说明理由；
（2）已知f （x ）在（﹣∞，0]上单调递减，求实数k 的取值范围．
19. 某旅游区每年各个月份接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而第n 个月从事旅游服务工作的人数
()f n 可近似地用函数()cos()f n A wn k θ=++来刻画，其中正整数n 表示月份且[1,12]n ∈，例如1n =表
示1月份，A 和k 是正整数，0w >，(0,)θπ∈. 统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：
① 每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；
② 该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人； ③ 2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多. （1）试根据已知信息，求()f n 的表达式；
（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由.
20. 设复平面上点Z 对应复数z x yi =+(,)x y ∈∈R R （i 为虚数单位）满足|22|6z z ++-=，点Z
的轨迹方程为曲线1C . 双曲线2C :22
1y x n -=与曲线1C 有共同焦点，倾斜角为4
π的直线l 与双曲线2C 的两
条渐近线的交点是A 、B ，2OA OB ?=，O 为坐标原点. （1）求点Z 的轨迹方程1C ； （2）求直线l 的方程；
（3）设△PQR 三个顶点在曲线1C 上，求证：当O 是△PQR 重心时，△PQR 的面积是定值. 21. 对于任意n ∈*N ，若数列{}n x 满足11n n x x +->，则称这个数列
“K 数列”.
（1）已知数列：1，|1|m +，2m 是“K 数列”，求实数m 的取值范围；
（2）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，当首项1a 与公差d 满足什么条件时，数列{}n S 是“K 数列”？ （3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且11232n n S S a +-=，n ∈*N . 设1(1)n n n n c a a λ+=+-，是否存在实数λ，使得数列{}n c 为“K 数列”. 若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由.
2020-2021年上海市位育中学高三下开学考（答案版）
一、填空题
1. 行列式1
23
4
56789
中，6的代数余子式的值是______． 【答案】6 2. 若抛物线2
14
y x =上一点M 到焦点F 的距离为4，则点M 的纵坐标的值为___________ 【答案】3
3.
设{}
A x x k ==∈N ，{}|5,
B x x x =≤∈Q ，则A B =________.
【答案】{1,4}
4. 若复数z 满足(34)|(2)(12)|i z i i -=+-(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部是___________. 【答案】
45
5.
函数y =
___________.
【答案】113(,)
(,]224
-∞ 6. .“沃尔玛”商场在国庆“62”黄金周的促销活动中,对10月2日9时至14时的销售额进行统计,其频率分布直
方图如右下图所示.已知9时至10时的销售额为2.5万元,则11时至12时的销售额为________万元.
【答案】10
7. 关于x 的方程23
lg 4a x a
+=-有大于1的实数根，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】3,42??- ???
8. 空间中一条线段在三视图中的长度分别为5，13，25，则该线段的长度为______. 【答案】29.
9. 某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念.已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有______种. 【答案】16
10. 已知1a ?2a 与1b ?2b 是4个不同的实数，若关于x 的方程121||||||+x a x a x b -+-=-2||x b -的解集A 不是无限集，则集合A 中元素的个数构成的集合为___________. 【答案】{1}
11. 如图，已知4AC =，B 为AC 的中点，分别以AB ?AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ?N 分别为两半圆上的动点(不含端点A ?B ?C )，且0BM BN ?=，则AM CN ?的最大值为___________.
【答案】1
12. 已知函数()f x 对于任意实数x ，都有()(398)(2158)(3214)f x f x f x f x =-=-=-，则函数值(0)f ，
(1)f ，(2)f ，???，(2020)f 中最多有___________个不同数值
【答案】177
二、选择题
13. 如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） A. ab c d ≤+，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 B. ab c d ≥+，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 C. ab c d ≤+，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 D. ab c d ≥+，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 【答案】A
14. “数列{}n a 和数列{}n b 极限都存在”是“数列{}n n a b +和数列{}n n a b -极限都存在”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分
C. 充分必要
D. 非充分非必要
【答案】C
15. 在ABC 中，若2
sin A =，则cos 2cos B C +的取值范围是（ ） A. (0,1] B. (0,1]
(2,5]
C. 3
(0,1]
(
2,5]2
D. 以上答案都不对
【答案】B
16. 已知数列{}n a 为有穷数列，共95项，且满足2003200(6)
()2
n n
n
n a C -=，则数列{}n a 中的整数项的个数为（ ） A. 13 B. 14
C. 15
D. 16
【答案】
C
三、解答题
17. 已知几何体A BCED -的三视图如图所示，其中左视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形，主视图为直角梯形.
（1）求几何体A BCED -的体积； （2）求直线CE 与平面AED 所成角的大小.
【答案】(1)
40
3；(2)44141
18. 已知函数f(x)21
12x x
k =+-，k≠0，k ∈R ．
（1）讨论函数f （x ）的奇偶性，并说明理由；
（2）已知f （x ）在（﹣∞，0]上单调递减，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）()
[),01,-∞+∞
19. 某旅游区每年各个月份接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而第n 个月从事旅游服务工作的人数
()f n 可近似地用函数()cos()f n A wn k θ=++来刻画，其中正整数n 表示月份且[1,12]n ∈，例如1n =表
示1月份，A 和k 是正整数，0w >，(0,)θπ∈. 统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：
① 每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；
② 该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人； ③ 2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多. （1）试根据已知信息，求()f n 的表达式；
（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由. 【答案】(1)()2200cos 3006
3f n n π
π??
=+
+
???
；(2)答案见解析 20. 设复平面上点Z 对应复数z x yi =+(,)x y ∈∈R R （i 为虚数单位）满足|22|6z z ++-=，点Z
的轨迹方程为曲线1C . 双曲线2C :22
1y
x n -=与曲线1C 有共同焦点，倾斜角为4
π的直线l 与双曲线2C 的两
条渐近线的交点是A 、B ，2OA OB ?=，O 为坐标原点. （1）求点Z 的轨迹方程1C ； （2）求直线l 的方程；
（3）设△PQR 三个顶点在曲线1C 上，求证：当O 是△PQR 重心时，△PQR 的面积是定值.
【答案】(1)22
195
x y +=；(2)y x =±(3)证明见解析.
21. 对于任意n ∈*N ，若数列{}n x 满足11n n x x +->，则称这个数列
“K 数列”.
（1）已知数列：1，|1|m +，2m 是“K 数列”，求实数m 的取值范围；
（2）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，当首项1a 与公差d 满足什么条件时，数列{}n S 是“K 数列”？ （3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且11232n n S S a +-=，n ∈*N . 设1(1)n n n n c a a λ+=+-，是否存在实数λ，使得数列{}n c 为“K 数列”. 若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2m >或3m <-；(2) 11a d +>且0d ≥；(3) 53
6
λ>.