第13章《整式的乘除》常考题集（18）：13.5 因
式分解
填空题
151．（2008?扬州）已知x+y=6，xy=﹣3，则x2y+xy2=_________．
152．（2006?吉林）若m+n=8，mn=12，则mn2+m2n的值为_________．
153．（2006?防城港）若x+y=1003，x﹣y=2，则代数式x2﹣y2的值是_________．
154．（2014?西宁）如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为_________．
155．（2013?廊坊一模）已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2的值为_________．
156．已知正方形的面积是9x2+6xy+y2（x＞0，y＞0），利用分解因式，写出表示该正方形的边长的代数式
_________．
157．若x+y=5，xy=10，则x2y+xy2=_________．
158．若m2+m﹣1=0，则m3+2m2+2004=_________．
159．已知x+y=a，xy=b，则xy2+yx2=_________．
160．计算：20032﹣2002×2003=_________．
161．（2009?河南模拟）若a+b﹣3=0，则2a2+4ab+2b2﹣6的值为_________．
解答题
162．（2010?河源）分解因式：a3﹣ab2．
163．（2006?济南）请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解．4a2，（x+y）2，1，9b2．164．（2009?漳州）给出三个多项式：x2+2x﹣1，x2+4x+1，x2﹣2x．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．
165．因式分解
（1）﹣8ax2+16axy﹣8ay2；
（2）（a2+1）2﹣4a2．
166．分解因式x2（x﹣y）+（y﹣x）．
167．分解因式
（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；
（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．
168．a2（x﹣y）+b2（y﹣x）．
169．（2006?北京）分解因式：a2﹣4a+4﹣b2．
170．分解因式：
（1）a4﹣16；
（2）x2﹣2xy+y2﹣9．
171．分解因式：
（1）a3﹣a；（2）x2﹣2xy+y2﹣1；
172．（2009?吉林）在三个整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．
173．（2008?遵义）现有三个多项式：a2+a﹣4，a2+5a+4，a2﹣a，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解．
174．（2008?荆门）给出三个多项式X=2a2+3ab+b2，Y=3a2+3ab，Z=a2+ab，请你任选两个进行加（或减）法运算，再将结果分解因式．
175．（2006?北京）已知2x﹣3=0，求代数式x（x2﹣x）+x2（5﹣x）﹣9的值．
176．（2010?昌平区二模）给出三个多项式：，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解．
177．设a（a﹣1）﹣（a2﹣b）=2，求﹣ab的值．
178．（2005?芜湖）（1）解不等式组：
（2）因式分解：y3﹣4x2y
第13章《整式的乘除》常考题集（18）：13.5 因
式分解
参考答案与试题解析
填空题
151．（2008?扬州）已知x+y=6，xy=﹣3，则x2y+xy2=﹣18．
考点：因式分解的应用；代数式求值．
分析：先提取公因式进行因式分解，然后整体代入计算．
解答：解：x2y+xy2=xy（x+y）=﹣3×6=﹣18．
故答案为：﹣18．
点评：本题考查了提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键，然后整体代入计算．
152．（2006?吉林）若m+n=8，mn=12，则mn2+m2n的值为96．
考点：因式分解的应用；代数式求值．
专题：整体思想．
分析：应把所给式子进行因式分解，整理为与所给等式相关的式子，代入求值即可．
解答：解：∵m+n=8，mn=12，
∴mn2+m2n=mn（m+n）=12×8=96．
故答案为：96．
点评：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
153．（2006?防城港）若x+y=1003，x﹣y=2，则代数式x2﹣y2的值是2006．
考点：因式分解的应用．
专题：计算题．
分析：本题可有两种方法：（1）将x+y=1003，x﹣y=2组成方程组，解出x、y的值；再代入x2﹣y2求值；
（2）将x+y=1003，x﹣y=2看作整体运用平方差公式计算．
解答：解：∵x+y=1003，x﹣y=2，
∴x2﹣y2=（x﹣y）（x+y），
=2×1003，
=2006．
故答案为：2006．
点评：本题考查了平方差公式法分解因式，把x+y=1003，x﹣y=2看作整体运用平方差公式计算，列方程组较复杂，同学们可以自己试一下．
154．（2014?西宁）如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为70．
考点：因式分解的应用．
专题：整体思想．
分析：应把所给式子进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，代入求值即可．
解答：解：∵a+b=7，ab=10，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=70．
故答案为：70．
点评：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
155．（2013?廊坊一模）已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2的值为24．
考点：因式分解的应用．
专题：因式分解．
分析：先提取公因式xy，整理后把已知条件直接代入计算即可．
解答：解：∵x+y=6，xy=4，
∴x2y+xy2=xy（x+y）=4×6=24．
故答案为：24．
点评：本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式后整理成已知条件的形式是解本题的关键．
156．已知正方形的面积是9x2+6xy+y2（x＞0，y＞0），利用分解因式，写出表示该正方形的边长的代数式3x+y．
考点：因式分解的应用．
专题：几何图形问题．
分析：根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，分解因式即可．
解答：解：9x2+6xy+y2=（3x+y）2．
故该正方形的边长为3x+y．
故答案为：3x+y．
点评：本题考查了完全平方公式法分解因式，是分解因式的实际应用，要知道分解所得的因式在实际环境中所表示的意思．同时还考查了用公式法进行因式分解．能用公式法进行因式分解的式子的结构特点需要熟记．
157．若x+y=5，xy=10，则x2y+xy2=50．
考点：因式分解的应用；代数式求值．
分析：先提取公因式xy，然后再把x+y=5，xy=10代入计算即可．
解答：解：∵x+y=5，xy=10，
∴x2y+xy2=xy（x+y）=10×5=50．
点评：本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式后再整体代入求解．
158．若m2+m﹣1=0，则m3+2m2+2004=2005．
考点：因式分解的应用．
分析：对所求代数式进行变形，使其出现因式m2+m，然后整体代入即可．
解答：解：由题意可得m2+m=1．
∴m3+2m2+2004=m3+m2+m2+2004=m（m2+m）+m2+2004=m+m2+2004=2005．
点评：本题主要考查提公因式法分解因式，整理出m2+m的形式是求解的关键，也是难点．
159．已知x+y=a，xy=b，则xy2+yx2=ab．
考点：因式分解的应用．
分析：先提取公因式xy，再代入数据计算．
解答：解：∵x+y=a，xy=b，
∴xy2+yx2=xy（x+y）=ab．
点评：本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式后化为已知条件的形式，再整体代入即可求出答案．
160．计算：20032﹣2002×2003=2003．
考点：因式分解的应用．
分析：先提取公因式2003，再对余下的项计算即可．
解答：解：20032﹣2002×2003，
=2003×（2003﹣2002），
=2003．
点评：本题考查了提公因式法分解因式，比较简单，提取公因式2003是解题的关键．
161．（2009?河南模拟）若a+b﹣3=0，则2a2+4ab+2b2﹣6的值为12．
考点：因式分解的应用．
分析：由a+b﹣3=0，得a+b=3，把2a2+4ab+2b2﹣6的前三项利用完全平方公式分解因式，再整体代入即可．
解答：解：∵a+b﹣3=0，即a+b=3，
∴2a2+4ab+2b2﹣6，
=2（a+b）2﹣6，
=18﹣6，
=12．
点评：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
解答题
162．（2010?河源）分解因式：a3﹣ab2．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
专题：计算题；压轴题．
分析：先提取公因式a，再根据平方差公式进行两次分解．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
解答：解：a3﹣ab2，
=a（a2﹣b2），
=a（a+b）（a﹣b）．
点评：本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后还能运用平方差公式继续分解因式．
163．（2006?济南）请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解．4a2，（x+y）2，1，9b2．
考点：因式分解-运用公式法．
专题：开放型．
分析：能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项；符号相反．本题主要考查运用平方差公式进行作答的情况．存在12种不同的作差结果．
解答：解：4a2﹣9b2=（2a+3b）（2a﹣3b）；
（x+y）2﹣1=（x+y+1）（x+y﹣1）；
（x+y）2﹣4a2=（x+y+2a）（x+y﹣2a）；
（x+y）2﹣9b2=（x+y+3b）（x+y﹣3b）；
4a2﹣（x+y）2=[2a+（x+y）][2a﹣（x+y）]=（2a+x+y）（2a﹣x﹣y）；
9b2﹣（x+y）2=[3b+（x+y）][3b﹣（x+y）]=（3b+x+y）（3b﹣x﹣y）；
1﹣（x+y）2=[1+（x+y）][1﹣（x+y）]=（1+x+y）（1﹣x﹣y）等等．
点评：本题考查简单的因式分解，是一道开放题，比较基础．但需注意：①分解后必须是两底数之和与两底数之差的积；②相减时同时改变符号．如[1+（x+y）][1﹣（x+y）]=（1+x+y）（1﹣x﹣y）．
164．（2009?漳州）给出三个多项式：x2+2x﹣1，x2+4x+1，x2﹣2x．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．
考点：提公因式法与公式法的综合运用；整式的加减．
专题：开放型．
分析：本题考查整式的加法运算，找出同类项，然后只要合并同类项就可以了．
解答：
解：情况一：x2+2x﹣1+x2+4x+1=x2+6x=x（x+6）．
情况二：x2+2x﹣1+x2﹣2x=x2﹣1=（x+1）（x﹣1）．
情况三：x2+4x+1+x2﹣2x=x2+2x+1=（x+1）2．
点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．
熟记公式结构是分解因式的关键．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．
165．因式分解
（1）﹣8ax2+16axy﹣8ay2；
（2）（a2+1）2﹣4a2．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
专题：计算题．
分析：（1）先提取公因式﹣8a，再用完全平方公式继续分解．
（2）先用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解．
解答：解：（1）﹣8ax2+16axy﹣8ay2，
=﹣8a（x2﹣2xy+y2），
=﹣8a（x﹣y）2；
（2）（a2+1）2﹣4a2，
=（a2+1﹣2a）（a2+1+2a），
=（a+1）2（a﹣1）2．
点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
166．分解因式x2（x﹣y）+（y﹣x）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
分析：显然只需将y﹣x=﹣（x﹣y）变形后，即可提取公因式（x﹣y），然后再运用平方差公式继续分解因式．
解答：解：x2（x﹣y）+（y﹣x），
=x2（x﹣y）﹣（x﹣y），
=（x﹣y）（x2﹣1），
=（x﹣y）（x﹣1）（x+1）．
点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
167．分解因式
（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；
（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
专题：计算题．
分析：（1）先提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式继续分解；
（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解．
解答：解：（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x），
=（x﹣y）（a2﹣16），
=（x﹣y）（a+4）（a﹣4）；
（2）（x2+y2）2﹣4x2y2，
=（x2+2xy+y2）（x2﹣2xy+y2），
=（x+y）2（x﹣y）2．
点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
168．a2（x﹣y）+b2（y﹣x）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
专题：计算题．
分析：首先把（y﹣x）变成﹣（x﹣y），然后提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式继续进行因式分解．
解答：解：﹣a2（x﹣y）+b2（y﹣x），
=a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y），
=（x﹣y）（a2﹣b2），
=（x﹣y）（a+b）（a﹣b）．
点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
169．（2006?北京）分解因式：a2﹣4a+4﹣b2．
考点：因式分解-分组分解法．
专题：计算题．
分析：本题有四项，应该考虑运用分组分解法．观察后可以发现，本题中有a的二次项a2，a的一次项﹣4a，常数项4，所以要考虑三一分组，先运用完全平方公式，再进一步运用平方差公式进行分解．
解答：解：a2﹣4a+4﹣b2，
=（a2﹣4a+4）﹣b2，
=（a﹣2）2﹣b2，
=（a﹣2+b）（a﹣2﹣b）．
点评：本题考查运用分组分解法进行因式分解．本题采用了三一分组．三一分组的前提是可以运用完全平方公式，所以要先看某式的二次项，一次项，常数项是否可以组成完全平方公式．
170．分解因式：
（1）a4﹣16；
（2）x2﹣2xy+y2﹣9．
考点：因式分解-分组分解法；因式分解-运用公式法．
分析：（1）两次运用平方差公式分解因式；
（2）前三项一组，先用完全平方公式分解因式，再与第四项利用平方差公式进行分解．
解答：解：（1）a4﹣16=（a2）2﹣42，
=（a2﹣4）（a2+4），
=（a2+4）（a+2）（a﹣2）；
（2）x2﹣2xy+y2﹣9，
=（x2﹣2xy+y2）﹣9，
=（x﹣y）2﹣32，
=（x﹣y﹣3）（x﹣y+3）．
点评：（1）关键在于需要两次运用平方差公式分解因式；
（2）主要考查分组分解法分解因式，分组的关键是两组之间可以继续分解因式．
171．分解因式：
（1）a3﹣a；（2）x2﹣2xy+y2﹣1；
考点：因式分解-分组分解法；提公因式法与公式法的综合运用．
专题：计算题．
分析：（1）先提公因式再运用平方差公式．
（2）分组后利用公式分解．
解答：解：（1）a3﹣a，
=a（a2﹣1），
=a（a+1）（a﹣1）．
（2）x2﹣2xy+y2﹣1，
=（x2﹣2xy+y2）﹣1，
=（x﹣y）2﹣1，
=（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）．
点评：（1）考查了提公因式法和运用平方差公式法因式分解，提取公因式后利用平方差公式进行两次分解，注意要分解完全；
（2）考查了分组分解法．
172．（2009?吉林）在三个整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．
考点：因式分解的应用；整式的加减．
专题：开放型．
分析：本题考查整式的加法运算，要先去括号，然后合并同类项，最后进行因式分解．本题答案不唯一．
解答：解：方法一：（x2+2xy）+x2=2x2+2xy=2x（x+y）；
方法二：（y2+2xy）+x2=（x+y）2；
方法三：（x2+2xy）﹣（y2+2xy）=x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）；
方法四：（y2+2xy）﹣（x2+2xy）=y2﹣x2=（y+x）（y﹣x）．
点评：本题考查了整式的加减，整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，因式分解时先考虑提取公因式，没有公因式的再考虑运用完全平方公式或平方差公式进行因式分解．
173．（2008?遵义）现有三个多项式：a2+a﹣4，a2+5a+4，a2﹣a，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解．
考点：因式分解的应用；整式的加减．
专题：开放型．
分析：本题属于开放题型，注意答案不唯一．运用整式的加减运算，再进行因式分解．
解答：
解：①（a2+a﹣4）+（a2+5a+4）=a2+a﹣4+a2+5a+4
=a2+6a=a（a+6）；
②（a2+a﹣4）+（a2﹣a）=a2+a﹣4+a2﹣a
=a2﹣4=（a+2）（a﹣2）；
③（a2+5a+4）+（a2﹣a）=a2+5a+4+a2﹣a
=a2+4a+4=（a+2）2．
点评：本题考查整式的加减，提公因式法、公式法分解因式，对于因式分解有公因式的一定先提公因式，没有公因式的再考虑用平方差公式或完全平方公式．
174．（2008?荆门）给出三个多项式X=2a2+3ab+b2，Y=3a2+3ab，Z=a2+ab，请你任选两个进行加（或减）法运算，再将结果分解因式．
考点：因式分解的应用；整式的加减．
专题：开放型．
分析：本题考查整式的加法运算，就是去括号、合并同类项．
解答：解：（以下给出三种选择方案，其它方案从略）
解答一：Y+Z=（3a2+3ab）+（a2+ab）
=4a2+4ab=4a（a+b）；
解答二：X﹣Z=（2a2+3ab+b2）﹣（a2+ab）
=a2+2ab+b2
=（a+b）2；
解答三：Y﹣X=（3a2+3ab）﹣（2a2+3ab+b2）
=a2﹣b2
=（a+b）（a﹣b）．
点评：本题考查整式的加减运算，提公因式法、公式法分解因式，整式的加减实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．因式分解时有公因式先提取公因式，没有公因式的可考虑利用完全平方公式或平方差公式进行因式分解．
175．（2006?北京）已知2x﹣3=0，求代数式x（x2﹣x）+x2（5﹣x）﹣9的值．
考点：因式分解的应用．
专题：整体思想．
分析：对所求的代数式先进行整理，再利用整体代入法代入求解．
解答：解：x（x2﹣x）+x2（5﹣x）﹣9，
=x（x2﹣x）+x2（5﹣x）﹣9，
=x3﹣x2+5x2﹣x3﹣9，
=4x2﹣9，
=（2x+3）（2x﹣3）．
当2x﹣3=0时，原式=（2x+3）（2x﹣3）=0．
点评：本题考查了提公因式法分解因式，观察题目，先进行整理再利用整体代入法求解，不要盲目的求出求知数的值再利用代入法求解．
176．（2010?昌平区二模）给出三个多项式：，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解．
考点：因式分解的应用；整式的加减．
专题：开放型．
分析：本题答案不唯一，只要能去括号，合并同类项，正确因式分解即可．
解答：
解：如选择：
则：=x2+4x=x（x+4）．
如选择：
则：．
如选择：
则：．
点评：因式分解时，有公因式的应先提公因式，再用公式法分解．
177．设a（a﹣1）﹣（a2﹣b）=2，求﹣ab的值．
考点：因式分解的应用．
分析：把所给等式进行整理，再对要求的代数式进行通分，整理为能运用得到的等式计算的式子．
解答：解：∵a（a﹣1）﹣（a2﹣b）=2，进行整理a2﹣a﹣a2+b=2，得b﹣a=2，
∴﹣ab==2．
点评：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．注意把a﹣b看作一个整体，a﹣b=﹣（b﹣a）．
178．（2005?芜湖）（1）解不等式组：
（2）因式分解：y3﹣4x2y
考点：解一元一次不等式组；提公因式法与公式法的综合运用．
专题：计算题．
分析：（1）先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
（2）先提取公因式y，再利用平方差公式分解即可．
解答：
解：（1），
由①得x＜4．
由②得x≥﹣1．
∴不等式组解集为﹣1≤x＜4．
（2）y3﹣4x2y，
=y（y2﹣4x2），
=y（y+2x）（y﹣2x）．
点评：本题考查了一元一次不等式组的解法，提公因式法，公式法分解因式．
（1）求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．（2）提取公因式后还可以利用平方差公式继续分解因式，分解因式一定要彻底．
第十四章 整式的乘除与因式分解教材分析 1、教学内容及地位 本章属于《课程标准》中的 “数与代数”领域，其核心知识是：整式的乘除运算和因式分解。这些知识是在学习了有理数的运算、列代数式、整式加减和解一元一次方程及不等式的基础引入的。也是进一步学习分式和根式运算、一元二次方程以及函数等知识的基础，同时又是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具，因此，本章在初中学段占有重要地位。 2、本章教学内容 在学习上各部分知识之间的联系如下： 从 上 面 可 以 看出，本章内容的突出的特点是：内容联系紧密、以运算为主。全章紧紧围绕整式的乘除运算，分层递进，层层深入。在整式的乘除中，单项式的乘除是关键，这是因为其他乘除都要转化为单项式除法。实际上，单项式的乘除进行的是幂的运算与有理数的运算，因此幂的运算是学好整式乘除的基础。 3 、教学目标
⑴解析每个目标 ①目标1中《课标》对整式乘法运算的要求——其中的多项式相乘仅指一次式相乘，是对多项式与多项式相乘的难度作一个要求。 ②目标2中对乘法公式的要求不仅是能利用公式进行（简单）的乘法运算，更要引起老师们注意的是，目标要求会“推导”乘法公式，因此在教学中要从代数、几何多个角度出发推导公式。 ③目标3中，《课标》要求：会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）分解因式（指数是正整数）。首先初中阶段对分解因式只要求掌握两种方法，而对于分组分解法和十字相乘法则不做要求；其次，直接用公式不超过二次，如把多项式a8-1分解因式则是超课标了；最后，多项式中的字母指数仅限于正整数的情况，不考虑指数是负数，分数或字母的情况。而在学习过程中比克标的要求要高一些，通过教学我们要让学生理解因式分解的意义，了解因式分解与整式乘法的互逆关系，从中体会事物之间相互转化的辨证思想。通过学生的自主探索，发现和掌握因式分解的基本方法——提公因式法和公式法（数学书P172选学部分中提到了“十字相乘法”），渗透特殊到一般，逆向思维，换元等思想，培养学生认真观察、深入分析问题的良好习惯和能力。通过因式分解的应用与实践，发展学生的数学思维能力，使他们获得一些研究问题、解决问题的经验与方法。显然教材比课标中的目标高很多，建议老师们根据自己学生的情况进行分层目标要求。 ⑵《课标》总目标与人教材具体目标整体要求偏低,建议从两个方面把握： ③《课标》是由国家教育部制订的，教材的版本可以不同，但《课标》是同一个，从中考角度讲，中考内容一定不能超出《课标》要求的范围，因此应以《课标》为准绳把握教学目标。 ④《课标》是国家对义务教育阶段数学课程的基本规范和要求，它只规定了学生在相应学段应该达到的最低、最基本的要求，因此又要根据学生的具体情况和教材编写的特点，提出不同层次的教学目标。 4、本章教学重点、难点 本章教学重点是整式的乘除运算和因式分解的两种基本方法，教学难点乘法公式的灵活应用，熟练掌握因式分解的两种方法和变形技巧。 5、课时安排 本章教学时间约13课时，具体分配如下（仅供参考）： 15.1整式的乘法 4课时 15.2乘法公式 2课时 15.3整式的除法 2课时 15.4因式分解 3课时 数学活动 小结 2课时
整式的乘除因式分解精选 一．解答题（共12小题） 1．计算：①；②[（﹣y5）2]3÷[（﹣y）3]5?y2 ③④（a﹣b）6?[﹣4（b﹣a）3]?（b﹣a）2÷（a ﹣b） 2．计算： ①（2x﹣3y）2﹣8y2；②（m+3n）（m﹣3n）﹣（m﹣3n）2； ③（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）；④（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）； ⑤（a﹣2b+c）2；⑥[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（2y﹣x）﹣2x（2x﹣y）]÷2x． ⑦（m+2n）2（m﹣2n）2 ⑧． 3．计算： （1）6a5b6c4÷（﹣3a2b3c）÷（2a3b3c3）．（2）（x﹣4y）（2x+3y）﹣（x+2y）（x﹣y）．
4．计算： （1）（x2）8?x4÷x10﹣2x5?（x3）2÷x．（2）3a3b2÷a2+b?（a2b﹣3ab﹣5a2b）． （3）（x﹣3）（x+3）﹣（x+1）（x+3）．（4）（2x+y）（2x﹣y）+（x+y）2﹣2（2x2﹣xy）． 5．因式分解： ①6ab3﹣24a3b；②﹣2a2+4a﹣2；③4n2（m﹣2）﹣6（2﹣m）； ④2x2y﹣8xy+8y；⑤a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；⑥4m2n2﹣（m2+n2）2； ⑦；⑧（a2+1）2﹣4a2；⑨3x n+1﹣6x n+3x n﹣1 ⑩x2﹣y2+2y﹣1；4a2﹣b2﹣4a+1；4（x﹣y）2﹣4x+4y+1； 3ax2﹣6ax﹣9a；x4﹣6x2﹣27；（a2﹣2a）2﹣2（a2﹣2a）﹣3．
6．因式分解： （1）4x3﹣4x2y+xy2．（2）a2（a﹣1）﹣4（1﹣a）2． 7．给出三个多项式：x2+2x﹣1，x2+4x+1，x2﹣2x．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解． 8．先化简，再求值：（2a+b）（2a﹣b）+b（2a+b）﹣4a2b÷b，其中a=﹣，b=2． 9．当x=﹣1，y=﹣2时，求代数式[2x2﹣（x+y）（x﹣y）][（﹣x﹣y）（﹣x+y）+2y2]的值． 10．解下列方程或不等式组： ①（x+2）（x﹣3）﹣（x﹣6）（x﹣1）=0；②2（x﹣3）（x+5）﹣（2x﹣1）（x+7）≤4． 11．先化简，再求值： （1）（x+2y）（2x+y）﹣（x+2y）（2y﹣x），其中，．
整式的乘法和因式分解 一、整式的运算 1、已知a m =2，a n =3，求a m +2n 的值； 2、若32=n a ，则n a 6= . 3、若12551 2=+x ，求x x +-2009)2(的值。 4、已知2x +1?3x -1=144，求x ； 5．2005200440.25?= . 6、( 23 )2002×(1.5)2003÷(－1)2004＝________。 7、如果(x +q )(3x -4)的结果中不含x 项（q 为常数），求结果中的常数项 8、设m 2+m -1=0，求m 3+2m 2+2010的值 二、乘法公式的变式运用 1、位置变化，(x +y )(-y +x ) 2、符号变化，(-x +y )(-x -y ) 3、指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)4 4、系数变化，(2a +b )(2a -b ) 5、换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )] 6、增项变化，(x -y +z )(x -y -z ) 7、连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2) 8、逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2 三、乘法公式基础训练: 1、计算 （1）1032 （2）1982 2、计算 （1）(a -b +c )2 （2）(3x +y -z )2 3、计算 （1）(a +4b -3c )(a -4b -3c ) （2）(3x +y -2)(3x -y +2) 4、计算 （1）19992-2000×1998 （2） 22007200720082006 -?． 四、乘法公式常用技巧
整式的乘除与因式分解 一、选择题 1．下列计算中，运算正确的有几个（） (1) a5+a5=a10(2) (a+b)3=a3+b3 (3) (-a+b)(-a-b)=a2-b2 (4) (a-b)3= -(b-a)3 A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 2．计算（-2a3）5÷(-2a5)3的结果是（） A、— 2 B、 2 C、4 D、—4 3．若，则的值为（） A． B．5 C． D．2 4．若x2+mx+1是完全平方式，则m=（）。 A、2 B、-2 C、±2 D、±4 5．如图，在长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a>b）把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（） A．a2-b2=(a+b)(a-b) B．(a+b)2=a2+2ab+b2 C．(a-b)2=a2-2ab+b2D．(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2 6．已知()= b -2 a3,则与的值分别 +2 a7, ()= b 是（）
A. 4,1 B. 2,32 C.5,1 D. 10, 32 二、填空题 1．若2,3=-=+ab b a ，则=+22b a ，()=-2b a 2．已知a －1a =3，则a 2＋21a 的值等于 · 3．如果x 2－kx ＋9y 2是一个完全平方式，则常数k ＝________________； 4．若???-=-=+3 1b a b a ，则a 2－b 2＝ ； 5．已知2m ＝x ，43m ＝y ，用含有字母x 的代数式表示y ，则y ＝________________； 6、如果一个单项式与的积为-34 a 2bc,则这个单项式为________________； 7、（－2a 2 b 3）3 （3ab+2a 2）=________________； 8、()()()()=++++12121212242n K ________________； 9、如图，要给这个长、宽、高分别为x 、y 、z 的箱子打包， 其打包方式如下图所示，则打包带的长至少要____________ （单位：mm ）。（用含x 、y 、z 的代数式表示） 10、因式分解：3a 2x 2y 2－27a 2 (x －2y ＋z)(－x ＋2y ＋z) （a+2b －3c ）（a －2b+3c ）
第十五章整式乘除与因式分解 教材内容 本章的主要内容是整式的乘除运算、乘法公式和因式分解。这些知识是以后学习分式和根式运算、函数知识的基础，也是学习物理、化学等学科不可或缺的数学工具。 幂的运算性质，即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是学习整式乘法的基础，作为它的直接应用，接着安排了单项式乘法，在此基础上，引进单项式与多项式及多项式与多项式的乘法。这样安排从简到繁，由易到难，层层递进。乘法公式是在学习整式乘法基础上得到的。教材安排了三个多项式乘法的计算，通过总结它们的共同点，把它们作为公式，即平方差公式。接着用类似的方式引进了乘法的完全平方公式，之后，适时引进添括号法则，以满足整式运算的需要。同底数幂的除法是学习整式除法的基础，教材首先介绍同底数幂的除法性质，接着根据乘、除互为逆运算的关系，并以分配律、同底数幂的除法为依据，由计算具体的实例得到单项式除法的法则。多项式除以单项式的基本点就是把多项式除以单项式转化为单项式除法。 从整式乘法与因式分解的关系认识因式分解的概念，同时从整式乘法与因式分解的关系介绍了因式分解的基本方法，即提公因式法和公式法。这些内容是多项式因式分解中一部分最基本的知识和基本方法。 教学目标 [知识与技能]1、使学生掌握正整数幂的乘、除运算性质，能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算。使学生掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算。2、使学生会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算。3、使学生掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。4、使学生理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的变形，掌握提公因式法和运用公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解。 [过程与方法]通过由特殊到一般的猜想与说理验证，培养学生一定的说理能力和归纳表达能力；重视学生对算理的理解，有意识地培养学生条理性和表达能力；在探索因式分解方法的过程中，学会逆向思维，渗透化归的思想方法。 [情感与态度]让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯；在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简洁美；在灵活运用公式的过程中，提倡多样化算法，激发学生学习数学的兴趣，培养创新能力 149
15.3整式的除法 1、=÷n m a a （0≠a ，m ，n 都是正整数，且n m >），这就是，同底数幂相除，底数，指数。 2、计算：()=÷52 3y y 3、下列计算正确的是（ ） A ．336()x x = B ．6 424a a a =· C ．4222()()bc bc b c -÷-= D ．632x x x ÷= 4、下列关于数与式的等式中，正确的是() A ．22(2)2-=- B ．5840 101010?=C ．235x y xy +=D ．2x y x y x +=+ 5、下列计算错误的是 ( ) A ．2m + 3n=5mn B ．426a a a =÷ C ．632)(x x = D ．32a a a =? 6、计算：()2 2a b a ÷． 7：若1432=--x x ，求x x 6220092+-的值 8、若710=x ，2110=y ，则y x -10=。 9、若9=m x ，6=n x ，4=k x ，求k n m x 22+-的值 10、计算①() )2(10468234x x x x x -÷+--②??? ??-÷??? ??-c a bc a c b a 2223325232 11、若132=-x x ，求200957623+-+x x x 的值。 15.4.1提公因式法分解因式 1、把一个多项式化为几个的形式，叫做把这个多项式因式分解 2、下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） （A ）29)3)(3(x x x -=+- （B ）))((2233n mn m n m n m ++-=- （C ）)1)(3()3)(1(+--=-+y y y y （D ）z yz z y z z y yz +-=+-)2(2242 3、因式分解：22x x -=． 4、因式分解：22)1(2)1(4-+-b b a 例题：已知(19x -31)(13x -17)-(13x -17)(11x -23)可因式分解成(ax +b )(8x +c )，其中a 、
整式的乘除与因式分解复习试题（一） 姓名 得分 一、填空(每题3分，共30分) 1． a m =4,a n =3，a m+n =____ __. 2．(2x －1)(－3x+2)=___ _____. 3．=--+- )32)(32(n n n m ___________. 4．=--2)2 3 32(y x ______________, 5．若A ÷5ab 2=-7ab 2c 3,则A=_________,若4x 2yz 3÷B=-8x,则B=_________. 6.若4)2)((2 -=++x x b ax ，则b a =_________________. 8．若。 ＝，，则b a b b a ==+-+-01222 9．已知31=+ a a ，则221 a a +的值是 。 10．如果2a+3b=1,那么3-4a-6b= 。 二、选择题(每题3分，共30分) 11、下列计算错误的个数是（ ） ①(x 4-y 4)÷（x 2-y 2）=x 2-y 2 ; ② (-2a 2)3=-8a 5 ; ③ (ax+by)÷(a+b)=x+y; ④ 6x 2m ÷2x m =3x 2 A. 4 B3 C. 2 D. 1 12．已知被除式是x 3+2x 2 －1，商式是x ，余式是－1，则除式是（ ） A 、x 2+3x －1 B 、x 2+2x C 、x 2－1 D 、x 2－3x+1 13．若3x =a ，3y =b ，则3x － y 等于（ ） A 、b a B 、a b C 、2ab D 、a+1b 14.如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（ ） A. –3 B. 3 C. 0 D. 1 15.一个正方形的边长增加了cm 2，面积相应增加了2 32cm ，则这个正方形的边长为（ ） A 、6cm B 、5cm C 、8cm D 、7cm 16．一个多项式分解因式的结果是)2)(2(3 3 b b -+，那么这个多项式是（ ） A 、46 -b B 、6 4b - C 、46 +b D 、46 --b 17．下列各式是完全平方式的是（ ） A 、412+ -x x B 、2 1x + C 、1++xy x D 、122 -+x x 18．把多项式)2()2(2 a m a m -+-分解因式等于（ ） A 、))(2(2 m m a +- B 、))(2(2 m m a --C 、m(a-2)(m-1) D 、m(a-2)(m+1) 19．下列多项式中，含有因式)1(+y 的多项式是（ ） A 、2 2 32x xy y -- B 、2 2)1()1(--+y y C 、)1()1(2 2 --+y y D 、1)1(2)1(2 ++++y y 20、已知多项式c bx x ++2 2分解因式为)1)(3(2+-x x ，则c b ,的值为（ ） A 、1,3-==c b B 、2,6=-=c b C 、4,6-=-=c b D 、6,4-=-=c b 三、解答题：(共60分) 1.计算题
同底数幂的乘法：m n a a ?= 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 幂的乘方：()n m a = 幂的乘方，底数不变，指数相乘 积的乘方：a n n b = 积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相 乘 同底数幂的除法： a m n a ÷= （a 0≠,m,n 都是 正整数，并且m>n ） 同底数幂相除，底数不变，指数相减 0a = a 0≠（） 任何不等于0的数的0次幂都等于 整式的乘法 单项式与单项式相乘，把它们的系数、字母 ，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积 的 。如：52 ac bc =g 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘 多项式的 ，再把所的积 如：22132(2)ab ab ab -=g 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的 ，再把所得的积相加 如：(8)()x y x y --= 乘法 公式 平方差公式： (a+b)(a-b)= 两个数的 与这两个数的 的积，等于这两个数的 完全平方公式： 2 a+b =（） 2a b -=（） 添括号的法则： 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都 ；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都 。 如：a b c ++= a b c --= 单项式相除，把系数与同底数幂 作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的 。 如：42328x y 7x y ÷= 整式 的除法 多项式除以单项式，先把这个多项式的 除以这个单项式，再把所得的 如：3212a 63)3a a a -+÷=（ 把一个多项式化成几个整式的 ，这样的式子的变形叫做把这个多项式 。也叫做把这个多项式 。 因式分 解 整式乘除 与 因式分解 提公因式法： 2a()3()b c b c +-+= 公式法： 22a b -= 22 a +2ab+ b = 22a -2ab+b = 22()()x p x q +-+=
整式的乘法与因式分解知识点
整式乘除与因式分解 一．知识点 （重点） 1．幂的运算性质： a m ·a n ＝a m ＋n （m 、n 为正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 例：(－2a )2(－3a 2)3 2．() n m a ＝ a mn （m 、n 为正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘． 例： (－a 5)5 3． ()n n n b a ab = （n 为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积． 例：(－a 2b )3 练习： （1）y x x 23 25? （2）)4(32 b ab -?- （3） a a b 23? （4）2 2 2z y yz ? （5）) 4()2(232 xy y x -? （6） 2 2253)(63 1 ac c b a b a -?? 4．n m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ） 同底数幂相除，底数不变，指数相减． 例： （1）x 8÷x 2 （2）a 4÷a （3）（a b ）5 ÷（a b ）2 （4）（-a ）7÷（-a ） 5 （5） (-b ) 5÷(-b )2
5．零指数幂的概念： a 0＝1 （a ≠0） 任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ． 例：若1 ) 32(0 =-b a 成立，则b a ,满足什么条件？ 6．负指数幂的概念： a － p ＝p a 1 （a ≠0，p 是正整数） 任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数． 也可表示为：p p n m m n ? ?? ??=? ? ? ??-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数） 7．单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 例：（1）223123abc abc b a ?? （2）4233)2()2 1 (n m n m -?- 8．单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 例： （1） ) 35(222 b a ab ab + （2）ab ab ab 2 1 )23 2 (2 ?- （3） ) 32()5(-22n m n n m -+? （4） xyz z xy z y x ?++)(2322 9．多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项
整式乘除与因式分解计算题 一、计算： ；2、[（﹣y5）2]3÷[（﹣y）3]5?y2 1、 3、4、（a﹣b）6?[﹣4（b﹣a）3]?（b﹣a）2÷（a﹣b）5、（2x﹣3y）2﹣8y2；6、（m+3n）（m﹣3n）﹣（m﹣3n）2； 7、（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）；8、（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）； 9、（a﹣2b+c）2；10、[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（2y﹣x）﹣2x（2x﹣y）]÷2x．11、（m+2n）2（m﹣2n）2 12、．13、6a5b6c4÷（﹣3a2b3c）÷（2a3b3c3）．14、（x﹣4y）（2x+3y）﹣（x+2y）（x﹣y）． 15、[（﹣2x2y）2]3?3xy4．16、（m﹣n）（m+n）+（m+n）2﹣2m2．
17、（－3xy 2）3·（61x 3y ）2； 18、4a 2x 2·（－52a 4x 3y 3）÷（－21 a 5xy 2）； 19、22 2)(4)(2)x y x y x y --+（； 20、22 1(2)(2))x x x x x -+-+－（． 21、（x 2）8?x 4÷x 10﹣2x 5?（x 3）2÷x ． 22、3a 3b 2÷a 2+b ?（a 2b ﹣3ab ﹣5a 2b ）． 23、（x ﹣3）（x+3）﹣（x+1）（x+3）． 24、（2x+y ）（2x ﹣y ）+（x+y ）2﹣2（2x 2﹣xy ）． 二、因式分解： 25、6ab 3﹣24a 3b ； 26、﹣2a 2+4a ﹣2； 27、4n 2（m ﹣2）﹣6（2﹣m ）； 28、2x 2y ﹣8xy+8y ； 29、a 2（x ﹣y ）+4b 2（y ﹣x ）； 30、4m 2n 2﹣（m 2+n 2）2； 31、； 32、（a 2+1）2﹣4a 2； 33、3x n+1﹣6x n +3x n ﹣1
整式的除法和因式分解 一．课程衔接 1.沟通了解情况。 2.检查上次课作业，做判定。 3.复习引入。 二．教学内容 ㈠．平方差公式 两项和与两项差的积等于这两项的 ，其中 项的平方作为被减数； 项的平方作为减数。 【即学即练】1、()()33-+x x = ；()()=+-33x x 。 2、=--+-)3)(3(x x ；()()=---33x x 。 3、(a+ )(a- )=a 2-0.25 【典型例题】若20072008a = ，2008 2009 b =，试不用．．将分数化小数的方法比较a 、b 的大小． 分析：两个数比较大小常用方法①平方法②差比法③商比法④相反数法。 而两个分数比较大小通常用①通分法②把分子化为相同的数，分母大的反而小。 这里可采用常见的通分法，会发现分子可用平方差公式化简。 解：∵ a =， b ， ， ∴ a
【体验中考】1、(2009年四川省内江市) 在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ） A ．2222)(b ab a b a ++=+ B ．2222)(b ab a b a +-=- C ．))((2 2b a b a b a -+=- D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+ 2．化简：． ㈡.完全平方公式 两项和（或差）的平方，等于它们的 加上（或减去）它们乘积的2倍，公式为 ()=±2b a 。 2、添括号时，如果括号前是负号，括到括号里的各项 【典型例题】1、=-2)32(y x 2、如果92++kx x 是一个完全平方式，则k 的值为 。 3、已知：a +b =3，ab =2，求下列各式的值： （1）22a b ab + （2）22a b + 分析：① 若是填空、选择题，可令1=a ，2=b 代入进行计算 ②要出现a 、b 的平方项并与ab （的积）发生联系，只需令等式a +b =3两边同时平方得到 223)(=+b a 即可。 【拓展提高】1、已知a b ab +=-=31，，求 a b 22+= . 2、用完全平方公式计算：22009 3、用乘法公式计算：① 2)32(--y x ②)1)(1(-+++y x y x )8(2 1 )2)(2(b a b b a b a ---+a a b b a b b 图甲
整式的乘法与因式分解专题练习（解析版） 一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难） 1．有5张边长为2的正方形纸片，4张边长分别为2、3的矩形纸片，6张边长为3的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，且每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成正方形的边长最大为 （ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】C 【解析】 【分析】 设2为a ，3为b ，则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a 2，4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab ，6张边长为3的正方形纸片的面积是6a 2，得出a 2+4ab+4b 2=（a+2b ）2，再根据正方形的面积公式将a 、b 代入，即可得出答案． 【详解】 解： 设2为a ，3为b ， 则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a 2， 4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab ， 6张边长为3的正方形纸片的面积是6b 2， ∵a 2+4ab+4b 2=（a+2b ）2，（b ＞a ） ∴拼成的正方形的边长最长可以为a+2b=2+6=8， 故选C ． 【点睛】 此题考查了完全平方公式的几何背景，关键是根据题意得出a 2+4ab+4b 2=（a+2b ）2，用到的知识点是完全平方公式． 2．已知243m -m-10m -m -m 2=+，则计算：的结果为（ ）. A ．3 B ．-3 C ．5 D ．-5 【答案】A 【解析】 【分析】 观察已知m 2-m-1=0可转化为m 2-m=1，再对m 4-m 3-m+2提取公因式因式分解的过程中将m 2-m 作为一个整体代入，逐次降低m 的次数，使问题得以解决． 【详解】 ∵m 2-m-1=0， ∴m 2-m=1，
整式的乘除及因式分解 知识点归纳： 1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。 如：-2a2be的系数为_2,次数为4,单独的一个非零数的次数是0。 2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。 如：a2 - 2cib + x + \ 9项有 /、— 2ab > x > 1,二次项为a，、— 2ab ,—次项为「常数项为1,各项次数分别为2, 2, 1, 0,系数分别为1,?2, 1, 1,叫二次四项式。 3、整式：单项式和多项式统称整式。 注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。 5、同底数幕的乘法法则: m严”(〃“都是正整数) 同底数幕相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如I ：- a = _________ :a ?/?/= _______________ (a + b)2^(a + b)3 =(a + b)5,逆运算为：___________________ 6、幕的乘方法则: (屮)”-严(如都是正整数) 幕的乘方，底数不变，指数相乘。女(-3丁=3” 幕的乘方法则可以逆用：即a mn =(a m)n =(a n)m 如：46 =(42)3 =(43)2 例如：(")3= ___________ :(厂)2= ____________ ； (")3 =(/)() 7、积的乘方法则：伽)”=心”(〃是正整数)
2x? 3y(-2x2y)(5xy2) (3审? (一2号2) (-a2b)3 - (a2b)2 12、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所 得的积相加, 即rn{a + b + c) = ma + mb + me (m,a,b,c都是单项式) 注意: ①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。 ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 ③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。］ 女口：2x(2x - 3y) - 3y(x + y) 2x(-2x - 3y + 5) - 3ab(5a -ab +2b2) 13、多项式与多项式相乘的法则; 多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。 女口：(x + 2)(x - 6) (2x — 3y)(x —2y + 1) (a + b\a ~ -ab + b~) 14、平方差公式：《+〃)(。")= /_戸注意平方差公式展开只有两项公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。
第十五章 整式乘除与因式分解 知识点归纳： 一、幂的运算： 1、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=?（n m ,都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 如：532)()()(b a b a b a +=+?+ 2、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3(=- 幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(== 如：23326)4()4(4== 3、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）。积的乘方，等于各因数乘方的积。 如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=???- 4、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m φ 同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷ 5、零指数； 10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。 二、单项式、多项式的乘法运算： 6、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。如：=?-xy z y x 3232 。 7、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)。如：)(3)32(2y x y y x x +--= 。 8、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。 9、平方差公式：22))((b a b a b a -=-+注意平方差公式展开只有两项 公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。 如：))((z y x z y x +--+ = 10、完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=± 完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号和前一个样。
整式的乘除与因式分解全章复习与巩固 要点一、幂的运算 1. 同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2. 幂的乘方：(为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3. 积的乘方：(为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4 .同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 5. 零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁 要点二、整式的乘法和除法 1. 单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2. 单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即(都是单项式). 3. 多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多 项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 4. 单项式相除 把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式 要点三、乘法公式 1. 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.
整式的乘除与因式分解 知识点全面 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
整式的乘除与因式分解知识点 一、整式乘除法 同底数幂相乘,底数不变,指数相加. a m·a n=a m+n[m,n都是正整数] 同底数幂相除,底数不变,指数相减. a m÷a n=a m-n[a≠0,m,n都是正整数,且 任何不等于0的数或式子的0次幂都等于1. a0=1[a≠0]， 00无意义 (a m)n表示n个a m相乘，a 的(m n)幂表示m 幂的乘方,底数不变,指数相乘. (a m)n=a mn[m,n都是正整数] 积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得幂相乘.(ab)n=a n b n[n为正整数]注：不要漏积中任何一个因式单项式与单项式相乘,把它们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.ac5·bc2=(a·b)·(c5·c2)=abc5+2=abc7 注：运算顺序先乘方，后乘除，最后加减 单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,m(a+b+c)=ma+mb+mc 注：不重不漏，按照顺序，注意常数项、负号 .本质是乘法分配律。 多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加. 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相乘 (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 乘法公式：平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. (a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式:两数和[或差]的平方,等于它们的平方和,加[或减]它们积的2倍. (a±b)2=a2±2ab+b2 因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式,也叫做把这个多项式分解因式. 因式分解方法: 1、提公因式法.关键:找出公因式 公因式三部分：①系数(数字)一各项系数最大公约数；②字母--各项含有的相同字母；③指数--相同字母的最低次数；步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 2、公式法.①a2-b2=(a+b)(a-b)两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积a、b可以是数也可是式子②a2±2ab+b2=(a±b)2 完全平方两个数平方和加上或减去这两个数的积的2倍,等于这两个数的和[或差]的平方. ③x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)立方差公式 3、十字相乘(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 因式分解三要素：（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式（2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 弄清因式分解与整式乘法的内在的关系:互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差 添括号法则：如括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如括号前是负号各项都得改符号。用去括号法则验证
整式的乘法 注意：单项式的乘法的关键是通过乘法的交换律和结合律，把它转化为幂的运算．单项式与多项式的乘法可以采用我们已经熟悉的有理数运算中乘法分配律的应用类比理解，并且指导运算．多项式与多项式的乘法，先将一个多项式的每项分别与另外一个多项式的每项相乘，再把所得的积相加，运算中利用单项式与单项式的乘法和合并同类项．运算时需要按照一定的顺序进行，防止漏项和符号出错． 1.单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数. 2.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式.多项式中每个单项式叫做多项式的项，次数最高的项的次数叫多项式的次数. 3.整式的概念：单项式和多项式统称整式. 注意：凡是分母含有字母的代数式都不是整式，也不是单项式和多项式. 4.单项式与单项式相乘的法则：把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式. 注意：（1）①积的系数等于各因式系数的积； ②相同字母相乘是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”计算； ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，要注意不要丢掉这个因式； ④单项式乘以单项式的结果仍是单项式； ⑤单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用. （2）单项式乘法中，若有乘、乘法等混合运算，应按“先乘、再乘法”的顺序进行. 例1.计算：
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8） （9）（10） （11）（12） （13）（14）
（15） 例2.计算： （1） （2） （3） （4）
整式的乘除与因式分解 1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项 式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。 bc a 22-的 系数为 ，次数为 ，单独的一个非零数的次数是 。 2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。 122++-x ab a ，项有 ，二次项为 ，一次项为 ，常数项为 ，各项次数分别为 ，系数分别为 ，叫 次 项式。 3、整式：单项式和多项式统称整式。注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。 4、多项式按字母的升（降）幂排列： 1223223--+-y xy y x x > 按x 的升幂排列： 按y 的升幂排列： 按x 的降幂排列： 按y 的降幂排列： 5、同底数幂的乘法法则：m n m n a a a +=（n m ,都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 例1.若6422=-a ，则a= ；若8)3(327-=?n ，则n= . 例2.若125512=+x ，则 x x +-2009) 2(的值为 。 例3 .设4x =8y-1,且9y =27x-1,则x-y 等于 。 6、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数） < 幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253 )3(=- 幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(== 如：23326)4()4(4== 7、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。 （5 23)2z y x -= 8、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)m n > 同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷ 9、零指数和负指数； 】 10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。 p p a a 1=-（p a ,0≠是正整数），即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。 如：8 1)21(233==- 10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里