第一讲 注意添加平行线证题
在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁. 添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1 为了改变角的位置
大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常
可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. 例1 设P 、Q 为线段BC 上两点,且BP ＝CQ ,A 为BC 外一动点(如图1).当点A 运动到使 ∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形？试证明你的结论. 答： 当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形. 证明：如图1,分别过点P 、B 作AC 、AQ 的平行线得交点D .连结DA .
在△DBP ＝∠AQC 中,显然 ∠DBP ＝∠AQC ,∠DPB ＝∠C .
由BP ＝CQ ,可知 △DBP ≌△AQC . 有DP ＝AC ,∠BDP ＝∠QAC . 于是,DA ∥BP ,∠BAP ＝∠BDP .
则A 、D 、B 、P 四点共圆,且四边形ADBP 为等腰梯形.故AB ＝DP . 所以AB ＝AC .
这里,通过作平行线,将∠QAC “平推”到∠BDP 的位置.由于A 、D 、B 、P 四点共圆,使证明很顺畅. 例2 如图2,四边形ABCD 为平行四边形,∠BAF ＝∠BCE .求证：∠EBA ＝∠ADE . 证明：如图2,分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线,得交点P ,连PE .
由AB CD ,易知△PBA ≌△ECD .有PA ＝ED ,PB ＝EC . 显然,四边形PBCE 、PADE 均为平行四边形.有 ∠BCE ＝∠BPE ,∠APE ＝∠ADE .
由∠BAF ＝∠BCE ,可知 ∠BAF ＝∠BPE .
有P 、B 、A 、E 四点共圆. 于是,∠EBA ＝∠APE . 所以,∠EBA ＝∠ADE .
这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P 、B 、A 、E 四点共圆,紧密联系起来.∠APE 成为∠EBA 与∠ADE 相等的媒介,证法很巧妙. 2 欲“送”线段到当处
利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题.
例3 在△ABC 中,BD 、CE 为角平分线,P 为ED 上任意一点.过P 分别作AC 、AB 、BC 的垂线,M 、N 、Q 为垂足.求证：PM ＋PN ＝PQ .
证明：如图3,过点P 作AB 的平行线交BD 于F ,过点F 作BC 的平行线分别交PQ 、AC 于K 、G ,连PG . 由BD 平行∠ABC ,可知点F 到AB 、BC 两边距离相等.有KQ ＝PN .
显然,PD EP ＝FD EF ＝GD
CG
,可知PG ∥EC .
由CE 平分∠BCA ,知GP 平分∠FGA .有PK ＝PM .于是, PM ＋PN ＝PK ＋KQ ＝PQ .
这里,通过添加平行线,将PQ “掐开”成两段,证得PM ＝PK ,就有PM ＋PN ＝PQ .证法非常简捷. 3 为了线段比的转化
由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的.
例4 设M 1、M 2是△ABC 的BC 边上的点,且BM 1＝CM 2.任作一直线分别交AB 、AC 、AM 1、AM 2于P 、Q 、N 1、N 2.试证：
AP AB
＋AQ AC ＝11AN AM ＋2
2AN AM . ∥＝
A D
B Q C
图1P
E
D G A B F C
图2
A
N E
B
Q
K G C
D
M
F P 图3
证明：如图4,若PQ ∥BC ,易证结论成立. 若PQ 与BC 不平行,设PQ 交直线BC 于D .过点A 作PQ 的平行
线交直线BC 于E .
由BM 1＝CM 2,可知BE ＋CE ＝M 1E ＋M 2E ,易知 AP AB ＝DE BE ,AQ AC ＝DE
CE ,
11AN AM ＝DE E M 1,22AN AM ＝DE E M 2. 则AP AB ＋AQ AC ＝DE CE BE +＝DE E M E M 21+＝11AN AM ＋2
2AN AM .
所以,
AP AB
＋AQ AC ＝11AN AM ＋2
2AN AM . 这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为DE ,于是问题迎刃而解.
例5 AD 是△ABC 的高线,K 为AD 上一点,BK 交AC 于E ,CK 交AB 于F .求证：∠FDA ＝∠EDA . 证明：如图5,过点A 作BC 的平行线,分别交直线DE 、DF 、BE 、CF 于Q 、P 、N 、M .
显然,
AN BD ＝KA KD ＝AM
DC
. 有BD ·AM ＝DC ·AN . (1)
由
BD AP ＝FB AF ＝BC AM ,有 AP ＝BC AM BD ·. (2) 由DC
AQ ＝EC AE ＝BC AN ,有 AQ ＝BC AN DC ·. (3)
对比(1)、(2)、(3)有 AP ＝AQ .
显然AD 为PQ 的中垂线,故AD 平分∠PDQ . 所以,∠FDA ＝∠EDA .
这里,原题并未涉及线段比,添加BC 的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式,就使AP 与AQ 的相等关系显现出来. 4 为了线段相等的传递
当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段相等的关系传递开去.
例6 在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,点M 在AB 边上,点N 在AC 边上,并且∠MDN ＝90°.如果BM 2＋CN 2＝DM 2＋DN 2,求证：AD 2＝
4
1
(AB 2＋AC 2). 证明：如图6,过点B 作AC 的平行线交ND 延长线于E .连ME .
由BD ＝DC ,可知ED ＝DN .有 △BED ≌△CND . 于是,BE ＝NC .
显然,MD 为EN 的中垂线.有 EM ＝MN .
由BM 2＋BE 2＝BM 2＋NC 2＝MD 2＋DN 2＝MN 2＝EM 2,可知△BEM 为直角三角形,∠MBE ＝90°. 有 ∠ABC ＋∠ACB ＝∠ABC ＋∠EBC ＝90°. 于是,∠BAC ＝90°.
所以,AD 2＝2
21??
?
??BC ＝41(AB 2＋AC 2).
这里,添加AC 的平行线,将BC 的以D 为中点的性质传递给EN ,使解题找到出路.
例7 如图7,AB 为半圆直径,D 为AB 上一点,分别在半圆上取点E 、F ,使EA ＝DA ,
FB ＝DB .过D 作AB 的垂线,交半圆于C .求证：CD 平分EF .
证明：如图7,分别过点E 、F 作AB 的垂线,G 、H 为垂足,连FA 、EB .
易知 DB 2＝FB 2＝AB ·HB ,
A
P
E
M 2M 1B
Q
N 1
N 2
图4
图5
M
P A Q N
F
B
D C
E
K
图6A
N
C D
E
B M
A G
D O H B
F
C
E 图7
AD 2＝AE 2＝AG ·AB .
二式相减,得 DB 2－AD 2＝AB ·(HB －AG ),或 (DB －AD )·AB ＝AB ·(HB －AG ).
于是,DB －AD ＝HB －AG ,或 DB －HB ＝AD －AG . 就是DH ＝GD . 显然,EG ∥CD ∥FH . 故CD 平分EF .
这里,为证明CD 平分EF ,想到可先证CD 平分GH .为此添加CD 的两条平行线EG 、FH ,从而得到G 、H 两点.证明很精彩.
经过一点的若干直线称为一组直线束.
一组直线束在一条直线上截得的线段相等,在该直线的平行直线上截得的线段也相等.
如图8,三直线AB 、AN 、AC 构成一组直线束,DE 是与BC 平行的直线.于是,有
BN DM ＝AN AM ＝NC ME ,即 BN DM ＝NC
ME 或ME DM ＝NC BN .
此式表明,DM ＝ME 的充要条件是 BN ＝NC .
利用平行线的这一性质,解决某些线段相等的问题会很漂亮.
例8 如图9,ABCD 为四边形,两组对边延长后得交点E 、F ,对角线BD ∥EF ,AC 的延长
线交EF 于G .求证：EG ＝GF .
证明：如图9,过C 作EF 的平行线分别交AE 、AF 于M 、N .由BD ∥EF ,可知MN ∥BD .易知
S △BEF ＝S △DEF . 有S △BEC ＝S △ⅡKG － *5ⅡDFC .
可得MC ＝CN .
所以,EG ＝GF .
例9 如图10,⊙O 是△ABC 的边BC 外的旁切圆,D 、E 、F 分别为⊙O 与BC 、CA 、AB 的切点.若OD 与EF 相交于K ,求证：AK 平分BC . 证明：如图10,过点K 作BC 的行平线分别交直线AB 、AC 于Q 、P 两点,连OP 、OQ 、 OE 、OF . 由OD ⊥BC ,可知OK ⊥PQ .
由OF ⊥AB ,可知O 、K 、F 、Q 四点共圆,有 ∠FOQ ＝∠FKQ .
由OE ⊥AC ,可知O 、K 、P 、E 四点共圆.有 ∠EOP ＝∠EKP .
显然,∠FKQ ＝∠EKP ,可知 ∠FOQ ＝∠EOP .
由OF ＝OE ,可知 Rt △OFQ ≌Rt △OEP . 则OQ ＝OP . 于是,OK 为PQ 的中垂线,故 QK ＝KP . 所以,AK 平分BC .
综上,我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用.同学们在实践中应注意适时添加平行线,让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用.
练习题
1. 四边形ABCD 中,AB ＝CD ,M 、N 分别为AD 、BC 的中点,延长BA 交直线NM 于E ,延长CD 交直线NM 于F .求证：∠BEN ＝∠CFN .
(提示：设P 为AC 的中点,易证PM ＝PN .)
2. 设P 为△ABC 边BC 上一点,且PC ＝2PB .已知∠ABC ＝45°,∠APC ＝60°.求∠ACB . (提示：过点C 作PA 的平行线交BA 延长线于点D .易证△ACD ∽△PBA .答：75°)
3. 六边开ABCDEF 的各角相等,FA ＝AB ＝BC ,∠EBD ＝60°,S △EBD ＝60cm 2.求六边形ABCDEF 的面积. (提示：设EF 、DC 分别交直线AB 于P 、Q ,过点E 作DC 的平行线交AB 于点M .所求面积与EMQD 面积相等.答：120cm 2)
4. AD 为Rt △ABC 的斜边BC 上的高,P 是AD 的中点,连BP 并延长交AC 于E .已知AC :AB ＝k .求AE :EC .
图8A D
B N C
E M
图9
A
B M E F N
D
C G
O 图10
(提示：过点A 作BC 的平行线交BE 延长线于点F .设BC ＝1,有AD ＝k ,DC ＝k 2.答：
2
11
k
) 5. AB 为半圆直径,C 为半圆上一点,CD ⊥AB 于D ,E 为DB 上一点,过D 作CE 的垂线交CB 于F .求证：DE
AD ＝
FB
CF
. (提示：过点F 作AB 的平行线交CE 于点H .H 为△CDF 的垂心.)
6. 在△ABC 中,∠A :∠B :∠C ＝4:2:1,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c .求证：
a 1＋
b 1＝c
1. (提示：在BC 上取一点D ,使AD ＝AB .分别过点B 、C 作AD 的平行线交直线CA 、BA 于点E 、F .)
7. 分别以△ABC 的边AC 和BC 为一边在△ABC 外作正方形ACDE 和CBFG ,点P 是EF 的中点.求证：P 点到边AB 的距离是AB 的一半.
8. △ABC 的内切圆分别切BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ,过点F 作BC 的平行线分别交直线DA 、DE 于点H 、G .求证：FH ＝HG .
(提示：过点A 作BC 的平行线分别交直线DE 、DF 于点M 、N .) 9. AD 为⊙O 的直径,PD 为⊙O 的切线,PCB 为⊙O 的割线,PO 分别交AB 、AC 于点M 、N .求证：OM ＝ON . (提示：过点C 作PM 的平行线分别交AB 、AD 于点E 、F .过O 作BP 的垂线,G 为垂足.AB ∥GF .)
第二讲 巧添辅助 妙解竞赛题
在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路. 1 挖掘隐含的辅助圆解题
有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化.
1.1 作出三角形的外接圆
例1 如图1,在△ABC 中,AB ＝AC ,D 是底边BC 上一点,E 是线段AD 上一点
且∠BED ＝2∠CED ＝∠A .求证：BD ＝2CD .
分析：关键是寻求∠BED ＝2∠CED 与结论的联系.容易想到作∠BED 的平分线,
但因BE ≠ED ,故不能直接证出BD ＝2CD .若延长AD 交△ABC 的外接圆于F , 则可得EB ＝EF ,从而获取. 证明：如图1,延长AD 与△ABC 的外接圆相交于点F ,连结CF 与BF ,则∠BFA ＝∠BCA ＝∠ABC ＝∠AFC ,即∠BFD ＝∠CFD .故BF :CF ＝BD :DC .
又∠BEF ＝∠BAC ,∠BFE ＝∠BCA ,从而∠FBE ＝∠ABC ＝∠ACB ＝∠BFE . 故EB ＝EF .
作∠BEF 的平分线交BF 于G ,则BG ＝GF . 因∠GEF ＝
2
1
∠BEF ＝∠CEF ,∠GFE ＝∠CFE ,故△FEG ≌△FEC .从而GF ＝FC . 于是,BF ＝2CF .故BD ＝2CD . 1.2 利用四点共圆
例2 凸四边形ABCD 中,∠ABC ＝60°,∠BAD ＝∠BCD ＝90°, AB ＝2,CD ＝1, 对角线AC 、BD 交于点O ,如图2.则sin ∠AOB ＝____.
分析：由∠BAD ＝∠BCD ＝90°可知A 、B 、C 、D
四点共圆,欲求sin ∠AOB ,联想到托勒密定理,只须求出BC 、AD 即可.
解：因∠BAD ＝∠BCD ＝90°,故A 、B 、C 、D 四点共圆.延长BA 、CD 交于P ,则∠ADP ＝∠ABC ＝60°.
设AD ＝x ,有AP ＝3x ,DP ＝2x .由割线定理得(2＋3x )3x ＝2x (1＋2x ).
A B G
C D F
E 图1
A
B
C
D P
O
图2
解得AD ＝x ＝23－2,BC ＝
2
1
BP ＝4－3. 由托勒密定理有 BD ·CA ＝(4－3)(23－2)＋2×1＝103－12.
又S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝
233. 故sin ∠AOB ＝26
3
615+. 例3 已知：如图3,AB ＝BC ＝CA ＝AD ,AH ⊥CD 于H ,CP ⊥BC ,CP 交AH 于P .求证：
△ABC 的面积S ＝4
3
AP ·BD .
分析：因S △ABC ＝
43BC 2＝4
3AC ·BC ,只 须证AC ·BC ＝AP ·BD ,转化为证△APC ∽△BCD .这由A 、B 、C 、Q 四点共圆易证(Q 为BD 与AH 交点).
证明：记BD 与AH 交于点Q ,则由AC ＝AD ,AH ⊥CD 得∠ACQ ＝∠ADQ . 又AB ＝AD ,故∠ADQ ＝∠ABQ .
从而
,∠ABQ ＝∠ACQ .可知A 、B 、C 、Q 四点共圆. ∵∠APC ＝90°＋∠PCH ＝∠BCD ,∠CBQ ＝∠CAQ , ∴△APC ∽△BCD . ∴AC ·BC ＝AP ·BD . 于是,S ＝
43AC ·BC ＝4
3AP ·BD . 2 构造相关的辅助圆解题
有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关
的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决. 2.1 联想圆的定义构造辅助圆
例4 如图4,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ＝DC ＝DB ＝p ,BC ＝q .求对角线AC 的长. 分析：由“AD ＝DC ＝DB ＝p ”可知A 、B 、C 在半径为p 的⊙D 上.利用圆的性质即
可找到AC 与p 、q 的关系. 解：延长CD 交半径为p 的⊙D 于E 点,连结AE .显然A 、B 、C 在⊙D 上. ∵AB ∥CD ,
∴ 从而,BC ＝AE ＝q .
在△ACE 中,∠CAE ＝90°,CE ＝2p ,AE ＝q ,故 AC ＝22AE CE -＝2
24q p -.
2.2 联想直径的性质构造辅助圆
例5 已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋8与x 轴交于B 、C 两点，点D 平分BC .若在x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点,且∠BAC 为锐角,则AD 的取值范围是____.
分析：由“∠BAC 为锐角”可知点A 在以定线段BC 为直径的圆外,又点A 在x 轴上 侧,从而可确定动点A 的范围,进而确定AD 的取值范围.
解：如图5,所给抛物线的顶点为A 0(1,9),对称轴为x ＝1,与x 轴交于两点B (－2,0)、 C (4,0).分别以BC 、DA 为直径作⊙D 、⊙E ,则两圆与抛物线均交于两点P (1－22,1)
A
图3
B
P Q
D
H
C A E
D
C B
图4
图5
、Q (1＋22,1).
可知,点A 在不含端点的抛物线PA 0Q 内时,∠BAC ＜90°.且有3＝DP ＝DQ ＜AD ≤DA 0＝9,即AD 的取值范围是3＜AD ≤9.
2.3 联想圆幂定理构造辅助圆
例6 AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高,∠B 的平行线交AD 于M ,交AC 于N .求证：AB 2－AN 2＝BM ·BN . 分析：因AB 2－AN 2＝(AB ＋AN )(AB －AN )＝BM ·BN ,而由题设易知AM ＝AN ,联想割线定理,
构造辅助圆即
可证得结论.
证明：如图6,
∵∠2＋∠3＝∠4＋∠5＝90°,又∠3＝∠4,∠1＝∠5,
∴∠1＝∠2.从而,AM ＝AN . 以AM 长为半径作⊙A ,交AB 于F ,交BA 的延长线于E .则AE ＝AF ＝AN . 由割线定理有 BM ·BN ＝BF ·BE ＝(AB ＋AE )(AB －AF )＝(AB ＋AN )(AB －AN ) ＝AB 2－AN 2
, 即 AB 2－AN 2＝BM ·BN .
例7 如图7,ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长AB 和DC 相交于E ,延长AB 和DC 相交于E ,延长AD 和BC 相交于F ,EP 和FQ 分别切⊙O 于P 、Q .求证：EP 2＋FQ 2＝EF 2.
分析：因EP 和FQ 是⊙O 的切线,由结论联想到切割线定理,构造辅助圆使EP 、FQ 向EF 转化. 证明：如图7,作△BCE 的外接圆交EF 于G ,连结CG .
因∠FDC ＝∠ABC ＝∠CGE ,故F 、D 、C 、G 四点共圆.
由切割线定理,有 EF 2
＝(EG ＋GF )·EF ＝EG ·EF ＋GF ·EF ＝EC ·ED ＋FC ·FB ＝EC ·ED ＋FC ·FB ＝EP 2＋FQ 2, 即 EP 2＋FQ 2＝EF 2.
2.4 联想托勒密定理构造辅助圆
例8 如图8,△ABC 与△A ＇B ＇C ＇的三边分别为a 、b 、c 与a ＇、 b ＇、c ＇,且∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＝180°.试证：aa ＇＝bb ＇＋cc ＇. 分析：因∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°,由结论联想到托勒密定理,
构造圆内接四边形加以证明.
证明：作△ABC 的外接圆,过C 作CD ∥AB 交圆于D ,连结AD 和BD , 如图9所示. ∵∠A ＋∠A ＇＝180°＝∠A ＋∠D , ∠BCD ＝∠B ＝∠B ＇, ∴∠A ＇＝∠D ,∠B ＇＝∠BCD . ∴△A ＇B ＇C ＇∽△DCB . 有DC B A ''＝CB C B ''＝DB
C A '',
即 DC c '＝a
a '＝DB
b '. 故DC ＝''a a
c ,DB ＝''a ab .
又AB ∥DC ,可知BD ＝AC ＝b ,BC ＝AD ＝a .
从而,由托勒密定理,得 AD ·BC ＝AB ·DC ＋AC ·BD , 即 a 2＝c ·
''a ac ＋b ·'
'a ab . 故aa ＇＝bb ＇＋cc ＇.
练习题
E A
N C D B
F
M
1234
5图6
(1)(2)
图8A
B C A'
B'c b c'b'
A B
C
D
a b
b c 图9
1. 作一个辅助圆证明：△ABC 中,若AD 平分∠A ,则
AC AB ＝DC
BD
. (提示：不妨设AB ≥AC ,作△ADC 的外接圆交AB 于E ,证△ABC ∽△DBE ,从而
AC AB ＝DE BD ＝DC
BD
.) 2. 已知凸五边形ABCDE 中,∠BAE ＝3a ,BC ＝CD ＝DE ,∠BCD ＝∠CDE ＝180°－2a .求证：∠BAC ＝∠CAD
＝∠DAE .
(提示：由已知证明∠BCE ＝∠BDE ＝180°－3a ,从而A 、B 、C 、D 、E 共圆,得∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .) 3. 在△ABC 中AB ＝BC ,∠ABC ＝20°,在AB 边上取一点M ,使BM ＝AC .求∠AMC 的度数. (提示：以BC 为边在△ABC 外作正△KBC ,连结KM ,证B 、M 、C 共圆,从而∠BCM ＝
2
1
∠BKM ＝10°,得∠AMC ＝30°.) 4．如图10,AC 是ABCD 较长的对角线,过C 作CF ⊥AF ,CE ⊥AE . 求证：AB ·AE ＋AD ·AF ＝AC 2. (提示：分别以BC 和CD 为直径作圆交AC 于点 G 、H .则CG ＝AH ,由割线定理可证得结论.) 5. 如图11.已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B ,直线CD 过A 交⊙O 1和⊙O 2于C 、D , 且AC ＝AD ,EC 、ED 分别切两圆于C 、D .求证：AC 2
＝AB ·AE .
(提示：作△BCD 的外接圆⊙O 3,延长BA 交⊙O 3于F ,证E 在⊙O 3上, 得△ACE ≌△ADF ,从而AE ＝AF ,由相交弦定理即得结论.) 6．已知E 是△ABC 的外接圆之劣弧BC 的中点.
求证：AB ·AC ＝AE 2－BE 2. (提示：以BE 为半径作辅助圆⊙E ,交AE 及其延长线于N 、M ,由△ANC ∽△ABM 证AB ·AC ＝AN ·AM .) 7. 若正五边形ABCDE 的边长为a ,对角线长为b ,试证：
a b －b
a
＝1. (提示：证b 2＝a 2＋ab ,联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.)
第三讲 点共线、线共点
在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。 1. 点共线的证明
点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。n (n ≥4)点共线可转化为三点共线。
例1 如图，设线段AB 的中点为C ，以AC 和CB 为对角线作平行四边形AECD ，BFCG 。又作
平行四边形CFHD ，CGKE 。求证：H ，C ，K 三点共线。
证 连AK ，DG ，HB 。
由题意，AD EC KG ，知四边形AKGD 是平行四边形，于
是AK DG 。同样可证AK HB 。四边形AHBK 是平行四边形，其对角线AB ，KH 互相平分。而C 是AB 中点，线段KH 过C 点，
故K ，C ，H 三点共线。 例2 如图所示，菱形ABCD 中，∠A =120
°，
为△ABC 外
接圆，M 为其上一点，连接MC 交AB 于E ，AM 交CB 延长线于F 。求证：D ，E ，F 三
点共线。
F
D
A B E C
图10
图11
A B
C D E F H
K G
证 如图，连AC ，DF ，DE 。
因为M
在
O 上，则∠AMC =60°=∠ABC =∠ACB ，
有△AMC ∽△ACF ，得
CD
CF
CA CF MA MC ==。 又因为∠AMC =BAC ，所以△AMC ∽△EAC ，得 AE
AD
AE AC MA MC ==。 所以
AE
AD
CD CF =，又∠BAD =∠BCD =120°，知△CFD ∽△ADE 。所以∠ADE =∠DFB 。因为AD ∥BC ，所以∠ADF =∠DFB =∠ADE ，于是F ，E ，D 三点共线。
例3 四边形ABCD 内接于圆，其边AB 与DC 的延长线交于点P ，AD 与BC 的延长线交于点Q 。
由Q 作该圆的两条切线QE 和QF ，切点分别为E ，F 。求证：P ，E ，F 三点共线。
证 如图。
连接PQ ，并在PQ 上取一点M ，使得B ，C ，M ，P 四点共圆， 连CM ，PF 。设PF 与圆的另一交点为E ’，并作QG 丄PF ，垂足为G 。
易如 QE 2=QM ·QP =QC ·QB ①
∠PMC =∠ABC =∠PDQ 。 从而C ，D ，Q ，M 四点共圆，于是
PM ·PQ =PC ·PD ②
由①，②得 PM ·PQ +QM ·PQ =PC ·PD +QC ·QB ， 即PQ 2=QC ·QB +PC ·PD 。
易知PD ·PC =PE ’·PF ，又QF 2=QC ·QB ，有
PE ’·PF +QF 2=PD ·PC +QC ·AB =PQ 2，
即PE ’·PF =PQ 2-QF 2。又
PQ 2－QF 2=PG 2－GF 2=(PG +GF )·(PG －GF )=PF ·(PG －GF )，
从而PE ’=PG －GF =PG －GE ’，即GF =GE ’，故E ’与E 重合。所以P ，E ，F 三点共线。
例4 以圆O 外一点P ，引圆的两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点。割线PCD 交圆O 于C ，D 。
又由B 作CD 的平行线交圆O 于E 。若F 为CD 中点，求证：A ，F ，E 三点共线。
证 如图，连AF ，EF ，OA ，OB ，OP ，BF ，OF ，延长FC 交BE 于G 。
易如OA 丄AP ，OB 丄BP ，
OF 丄CP ，所以P ，A ，F ，O ，B 五点共圆，
有∠AFP =∠AOP =∠POB = ∠PFB 。 又因CD ∥BE ，所以有∠PFB =∠FBE ，∠EFD =∠FEB ， 而FOG 为BE 的垂直平分线，故EF =FB ，∠FEB =∠EBF ，
所以∠AFP =∠EFD ，A ，F ，E 三点共线。
2. 线共点的证明
证明线共点可用有关定理(如三角形的3条高线交于一点)，或证明第3条直线通过另外两条直线的交点，也可转化成点共线的问题给予证明。
例5 以△ABC 的两边AB ，AC 向外作正方形ABDE ，ACFG 。△ABC 的高为AH 。求证：AH ，
BF ，CD 交于一点。
C E (E ')A B
D F M
Q
G
证 如图。延长HA 到M ，使AM =BC 。连CM ，BM 。 设CM 与BF 交于点K 。 在△ACM 和△BCF 中，
AC =CF ，AM =BC ，
∠MAC +∠HAC =180°， ∠HAC +∠HCA =90°，
并且∠BCF =90°+∠HCA ，
因此∠BCF +∠HAC =180° ∠MAC =∠BCF 。
从而△MAC ≌△BCF ，∠ACM =∠CFB 。 所以∠MKF =∠KCF +∠KFC =∠KCF +∠MCF =90°， 即 BF 丄MC 。
同理CD 丄MB 。AH ，BF ，CD 为△MBC 的3条高线，故AH ，BF ，CD 三线交于一点。
例6 设P 为△ABC 内一点，∠APB －∠ACB =∠APC －∠ABC 。又设D ，E 分别是△APB 及△
APC 的内心。证明：AP ，BD ，CE 交于一点。
证 如图，过P 向三边作垂线，垂足分别为R ，S ，T 。
连RS ，ST ，RT ，设BD 交AP 于M ，CE 交AP 于N 。
易知P ，R ，A ，S ；P ，T ，B ，R ；
P ，S ，C ，T 分别四点共圆，则
∠APB －∠ACB =∠PAC +∠PBC =∠PRS +∠PRT =∠SRT 。
同理，∠APC －∠ABC =∠RST ，
由条件知∠SRT =∠RST ，所以RT =ST 。
又RT =PBsinB ，ST =PCsinC ，
所以PBsinB =PCsinC ，那么 AC
PC
AB PB =。 由角平分线定理知 MP
AM
PB AB PC AC NP AN ===。 故M ，N 重合，即AP ，BD ，CE 交于一点。 例7
1
与
2外切于P 点，QR 为两圆的公切线，其中Q ，R
O 1
，
O 2上的切
点，过Q 且垂直于QO 2的直线与过R 且垂直于RO 1的直线交于点I ，IN 垂直于O 1O 2，垂足为N ，IN 与QR 交于点M 。证明：PM ，RO 1，QO 2三条直线交于一点。
证 如图，设RO 1与QO 2交于点O ， 连MO ，PO 。
因为∠O 1QM =∠O 1NM =90°，所以Q ，O 1，N ，M 四点共圆，有∠QMI =∠QO 1O 2。
而∠IQO 2=90°=∠RQO 1，所以∠IQM =∠O 2QO 1，
故△QIM ∽△QO 2O 1，得
MI
O O QM QO 2
11=
同理可证MI O O RM RO 212=。因此 2
1
RO QO MR QM = ① 因为QO 1∥RO 2，所以有
2
1
1RO QO OR O O =
② 由①，②得MO ∥QO 1。 又由于O 1P =O 1Q ，PO 2=RO 2，
M
E
D B H C F K G
A O 1O 2
N
P
I Q R
M O
所以
2
1211PO P
O RO Q O OR O O =
=， 即OP ∥RO 2。从而MO ∥QO 1∥RO 2∥OP ，故M ，O ，P 三点共线，所以PM ，RO 1，QO 2三条直线相交于同一点。
3. 塞瓦定理、梅涅劳斯定理及其应用 定理1 (塞瓦(Ceva)定理):
设P ，Q ，R 分别是△ABC 的BC ，CA ，AB 边上的点。若AP ，BQ ，CR 相交于一点M ，则
1=??RB
AR
QA CQ PC BP 。 证 如图，由三角形面积的性质，有
BMC AMC S S RB AR ??=, AMC AMB S S PC BP ??=, AMB
BMC
S S QA CQ ??=
. 以上三式相乘，得
1=??RB
AR
QA CQ PC BP .
定理2 (定理1的逆定理):
设P ，Q ，R 分别是△ABC 的BC ，CA ，AB 上的点。若1=??RB
AR
QA CQ PC BP ，则AP ，BQ ，CR 交于一点。
证 如图，设AP 与BQ 交于M ，连CM ，交AB 于R ’。
由定理1有
1''=??B R AR QA CQ PC BP . 而1=??RB
AR
QA CQ PC BP ，所以 RB
AR
B R AR =''. 于是R ’与R 重合，故AP ，BQ ，CR 交于一点。
定理3 (梅涅劳斯(Menelaus)定理):
一条不经过△ABC 任一顶点的直线和三角形三边BC ，CA ，AB (或它们的延长线)分别交于P ，Q ，R ，则
1=??RB
AR
QA CQ PC BP 证 如图，由三角形面积的性质，有
BRP ARP S S RB AR ??=, CPR BRP S S PC BP ??=, ARP
CRP
S S QA CQ ??=
. 将以上三式相乘，得1=??RB
AR
QA CQ PC BP .
A R
Q B
P
定理4 (定理3的逆定理):
设P ，Q ，R 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 或它们延长线上的3点。若
1=??RB
AR
QA CQ PC BP ， 则P ，Q ，R 三点共线。
定理4与定理2的证明方法类似。
塞瓦定理和梅涅劳斯定理在证明三线共点和三点共线以及与之有关的题目中有着广泛的应用。
例8 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD 。在CD 上取一点E ，BE 与AC 相交于
F ，延长DF 交BC 于
G 。求证：∠GAC =∠EAC 。
证 如图，连接BD 交AC 于H ，
过点C 作AB 的平行线交AG 的延长线于I ，过点C 作AD 的平行线交AE 的延长线于J 。
对△BCD 用塞瓦定理，可得
1=??EC
DE
HD BH GB CG ① 因为AH 是∠BAD 的角平分线，
由角平分线定理知 AD AB
HD BH =。 代入①式得 1=??EC DE AD AB GB CG ② 因为CI ∥AB ，CJ ∥AD ，则AB CI GB CG =，CJ
AD EC DE =。 代入②式得
1=??CJ
AD AD AB AB CI . 从而CI =CJ 。又由于
∠ACI =180°－∠BAC =180°－∠DAC =∠ACJ ，
所以△ACI ≌△ACJ ，故∠IAC =∠JAC ，即∠GAC =∠EAC .
例9 ABCD 是一个平行四边形，E 是AB 上的一点，F 为CD 上的一点。AF 交ED 于G ，EC
交FB 于H 。连接线段GH 并延长交AD 于L ，交BC 于M 。求证：DL =BM . 证 如图，设直线LM 与BA 的延长线交于点J ，与DC 的延长线交于点I 。
在△ECD 与△FAB 中分别使用
梅涅劳斯定理，得
1=??HE CH IC DI GD EG ， 1=??JA BJ HB FH GF AG . 因为AB ∥CD ，所以 GF AG GD EG =， HB
FH HE CH =.
从而JA BJ IC DI =，即=+CI CI CD AJ
AJ
AB +，故CI =AJ . 而 LA
DL
AJ DI CI BJ MC BM ===， 且BM +MC =BC =AD =AL +LD . 所以BM =DL 。
例10 在直线l 的一侧画一个半圆T ，C ，D 是T 上的两点，T 上过C
和D 的切线分别交l 于B 和A ，半圆的圆心在线段BA 上，E 是线段AC 和BD 的交点，F 是l 上的点，EF 垂直l 。求证：EF 平分∠CFD 。
H C
A D B
G I J E F G A E B
J L
D I
M H
D
l A
B O F(H)E C
P
证 如图，设AD 与BC 相交于点P ，用O 表示半圆T 的圆心。过P 作PH 丄l 于H ，连OD ，
OC ，OP 。
由题意知Rt △OAD ∽Rt △PAH ，于是有 DO HP
AD AH =. 类似地，Rt △OCB ∽Rt △PHB ， 则有 CO
HP
BC BH =. 由CO =DO ，有BC BH AD AH =，从而1=??DA
PD
CP BC HB AH . 由塞瓦定理的逆定理知三条直线AC ，BD ，PH 相交于一点，即E 在PH 上，点H 与F 重合。 因∠ODP =∠OCP =90°，所以O ，D ，C ，P 四点共圆，直径为OP . 又∠PFC =90°，从而推得点F 也在这个圆上，因此∠DFP =∠DOP =∠COP =∠CFP ，所以EF 平分∠CFD 。
例11 如图，四边形ABCD 内接于圆，AB ，DC 延长线交于E ，AD 、
BC 延长线交于F ，P 为圆上任意一点，PE ，PF 分别交圆于R ，S . 若对角线AC 与BD 相交于T . 求证：R ，T ，S 三点共线。 先证两个引理。
引理1:
A 1
B 1
C 1
D 1
E 1
F 1为圆内接六边形，若A 1D 1，B 1E 1，C 1F 1交于一点，
则有11
11111111111=??A F F
E E D D C C B B A .
如图，设A 1D 1，B 1E 1，C 1F 1交于点O ，根据圆内接多边形的性质易知 △ OA 1B 1∽△OE 1D 1，△OB 1C 1∽△OF 1E 1， △OC 1D 1∽△OA 1F 1，从而有
O D O B E D B A 111111=
， O B O F C B F E 111111=， O
F O
D A F D C 111111=. 将上面三式相乘即得11
11111111111=??A F F
E E D D C C B B A ，
引理2：圆内接六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1，若满足
11
11
111111111=??A F F E E D D C C B B A 则其三条对角线A 1D 1，B 1E 1，C 1F 1交于一点。该引理与定理2的证明方法类似，留给读者。 例11之证明如图，连接PD ，AS ，RC ，BR ，AP ，SD .
由△EBR ∽△EPA ，△FDS ∽△FPA ，知 EP EB PA BR =,FD
FP
DS PA =. 两式相乘，得 FD
EP FP
EB DS BR ??=. ① 又由△ECR ∽△EPD ，△FPD ∽△FAS ，知EP EC PD CR =，FA
FP
AS PD =. 两式相乘，得 FA
EP FP
EC AS CR ??= ② 由①，②得FD EC FA EB CR DS AS BR ??=??. 故 =??AB SA DS CD RC BR CE
DC
FD AF BA EB ??. ③
E B R
C
T
A
P
S
D
F
B F A E 1
O
C D 1
1
11
1
对△EAD 应用梅涅劳斯定理，有 1=??CE
DC FD AF BA EB ④ 由③，④得 1=??AB
SA
DS CD RC BR . 由引理2知BD ，RS ，AC 交于一点，所以R ，T ，S 三点共线。
练 习
A 组
1. 由矩形ABCD 的外接圆上任意一点M 向它的两对边引垂线MQ 和MP ，向另两边延长线引垂线MR ，MT 。证明：PR 与QT 垂直，且它们的交点在矩形的一条对角线上。
2. 在△ABC 的BC 边上任取一点P ，作PD ∥AC ，PE ∥AB ，PD ，PE 和以AB ，AC 为直径而在三角形外侧所作的半圆的交点分别为D ，E 。求证：D ，A ，E 三点共线。
3. 一个圆和等腰三角形ABC 的两腰相切，切点是D ，E ，又和△ABC 的外接圆相切于F 。求证：△ABC 的内心G 和D ，E 在一条直线上。
4. 设四边形ABCD 为等腰梯形，把△ABC 绕点C 旋转某一角度变成△A ’B ’C ’。证明：线段A ’D , BC 和B ’C 的中点在一条直线上。
5. 四边形ABCD 内接于圆O ，对角线AC 与BD 相交于P 。设三角形ABP ，BCP ，CDP 和DAP 的外接圆圆心分别是O 1，O 2，O 3，O 4。求证：OP ，O 1O 3，O 2O 4三直线交于一点。
6. 求证：过圆内接四边形各边的中点向对边所作的4条垂线交于一点。
7. △ABC 为锐角三角形，AH 为BC 边上的高，以AH 为直径的圆分别交AB ，AC 于M ，N ；M ，N 与A 不同。过A 作直线l A 垂直于MN 。类似地作出直线l B 与l C 。证明：直线l A ，l B ，l C 共点。
8. 以△ABC 的边BC ，CA ，AB 向外作正方形，A 1，B 1，C 1是正方形的边BC ，CA ，AB 的对边的中点。求证：直线AA 1，BB 1，CC 1相交于一点。
9. 过△ABC 的三边中点D ，E ，F 向内切圆引切线，设所引的切线分别与EF ，FD ，DE 交于I ，L ，M 。求证：I ，L ，M 在一条直线上。
B 组
10. 设A 1，B 1，C 1是直线l 1上的任意三点，A 2，B 2，C 2是另一条直线l 2上的任意三点，A 1B 2和
B 1A 2交于L ，A 1
C 2和A 2C 1交于M ，B 1C 2和B 2C 1交于N 。求证：L ，M ，N 三点共线。
11. 在△ABC ，△A ’B ’C ’中，连接AA ’，BB ’，CC ’，使这3条直线交于一点S 。求证：AB 与A ’B ’、
BC 与B ’C ’、CA 与C ’A ’的交点F ，D ，E 在同一条直线上(笛沙格定理)。
12. 设圆内接六边形ABCDEF 的对边延长线相交于三点P ，Q ，R ，则这三点在一条直线上(帕
斯卡定理)。
第四讲 四点共圆问题
“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路.判定“四点共圆”的方法，用得最多的是统编教材《几何》二册所介绍的两种（即P 89定理和P 93例3），由这两种基本方法推导出来的其他判别方法也可相机采用. 1 “四点共圆”作为证题目的
例1．给出锐角△ABC ，以AB 为直径的圆与AB 边的高CC ′及其延长线交于M ，N .以AC 为
直径的圆与AC 边的高BB ′及其延长线将于P ，Q .求证：M ，N ，P ，Q 四点共圆. (第19届美国数学奥林匹克)
分析：设PQ ，MN 交于K 点，连接AP ，AM . 欲证M ，N ，P ，Q 四点共圆，须证
MK ·KN ＝PK ·KQ ，
即证(MC ′-KC ′)(MC ′+KC ′)＝(PB ′-KB ′)·(PB ′+KB ′) 或MC ′2-KC ′2=PB ′2-KB ′2
. ① 不难证明 AP =AM ，从而有 AB ′2+PB ′2=AC ′2+MC ′2. 故 MC ′2-PB ′2=AB ′2-AC ′2
=(AK 2-KB ′2)-(AK 2-KC ′2)
=KC ′2-KB ′2. ② 由②即得①，命题得证.
例2．A 、B 、C 三点共线，O 点在直线外，O 1，O 2，O 3分别为△OAB ， △OBC ，△OCA 的外心.求证：O ，O 1，O 2，O 3四点共圆. (第27届莫斯科数学奥林匹克)
分析：作出图中各辅助线.易证O 1O 2垂直平分OB ，O 1O 3垂直平分OA . 观察△OBC 及其外接圆，立得∠OO 2O 1=2
1
∠OO 2B =∠OCB .观察△OCA 及其外接圆，
立得∠OO 3O 1=2
1
∠OO 3A =∠OCA .由∠OO 2O 1=∠OO 3O 1?O ，O 1，O 2，O 3共圆.
利用对角互补，也可证明O ，O 1，O 2，O 3四点共圆，请同学自证. 2 以“四点共圆”作为解题手段 这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面. (1)证角相等 例3．在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上， ∠DAM ＝∠CBK . 求证：∠DMA ＝∠CKB . 分析：易知A ，B ，M ，K 四点共圆.连接KM ，
有∠DAB ＝∠CMK .∵∠DAB +∠ADC ＝180°，
∴∠CMK +∠KDC ＝180°.
故C ，D ，K ，M 四点共圆?∠CMD ＝∠DKC . 但已证∠AMB ＝∠BKA ， ∴∠DMA ＝∠CKB .
(2)证线垂直 例4．⊙O 过△ABC 顶点A ，C ，且与AB ，BC 交于K ，N (K 与N 不同). △ABC 外接圆和△BKN 外接圆相交于B 和M .求证：∠BMO =90°.
分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步.其实，只要把握已知条件和图形特点，借
助“四点共圆”，问题是不难解决的.
连接OC ，OK ，MC ，MK ，延长BM 到G .易得∠GMC =∠BAC =∠BNK =∠BMK .
而∠COK =2·∠BAC =∠GMC +∠BMK =180°-∠CMK ，
A
B C
K
M N P Q
B ′
C ′A B C
O O O O 1
23
？？A B
C D
K M ··
A B O K N C
M
G
∴∠COK +∠CMK =180°?C ，O ，K ，M 四点共圆.
在这个圆中，由 OC =OK ? OC =OK ?∠OMC =∠OMK . 但∠GMC =∠BMK ， 故∠BMO =90°. (3)判断图形形状
例5．四边形ABCD 内接于圆，△BCD ，△ACD ，△ABD ，△ABC 的内心依次记为I A ，I B ，I C ，
I D .试证：I A I B I C I D 是矩形.
分析：连接AI C ，AI D ，BI C ，BI D 和DI B .易得∠AI C B =90°+21∠ADB =90°+2
1 ∠ACB =∠AI D B ?A ，B ，I D ，I C 四点共圆. 同理，A ，D ，I B ，I C 四点共圆.此时
∠AI C I D =180°-∠ABI D =180°-2
1∠ABC ，
∠AI C I B =180°-∠ADI B =180°-2
1
∠ADC ，
∴∠AI C I D +∠AI C I B =360°-21(∠ABC +∠ADC )=360°-2
1
×180°=270°.故∠I B I C I D =90°.
同样可证I A I B I C I D 其它三个内角皆为90°.该四边形必为矩形. (4)计算
例6．正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989㎝2.P 为正方形内一点，且∠OPB =45°，PA :PB =5:14.则PB =__________ 分析：答案是PB =42㎝.怎样得到的呢？连接OA ，OB .易知O ，P ，A ，B
四点共圆，有∠APB =∠AOB =90°. 故PA 2+PB 2=AB 2=1989. 由于PA :PB =5:14，可求PB .
(5)其他 例7．设有边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出面积最大的和一个面积
最小的，并求出这两个面积(须证明你的论断).
(1978，全国高中联赛) 分析：设△EFG 为正方形ABCD 的一个内接正三角形，由于正三角形的三
个顶点至少必落在正方形的三条边上，所以不妨令F ，G 两点在正方
形的一组对边上. 作正△EFG 的高EK ，易知E ，K ，G ，D 四点共圆?∠KDE =∠KGE =60°.同理，∠KAE =60°.故△KAD 也是一个正三角形，K 必为一个定点.又正三角形面积取决于它的边长， 当KF 丄AB 时，边长为1，这时边长最小，而面积S =
4
3
也最小. 当KF 通过B 点时，边长为2·32-，这时边长最大，面积S =23-3也最大.
例8．NS 是⊙O 的直径，弦AB 丄NS 于M ，P 为ANB 上异于N 的任一点，PS 交AB 于R ，PM 的延长线交⊙O 于Q .求证：RS ＞MQ .
分析：连接NP ，NQ ，NR ，NR 的延长线交⊙O 于Q ′.连接MQ ′，SQ ′.
易证N ，M ，R ，P 四点共圆，从而，∠SNQ ′=∠MNR =∠MPR =∠SPQ =∠SNQ . 根据圆的轴对称性质可知Q 与Q ′关于NS 成轴对称?MQ ′=MQ .
又易证M ，S ，Q ′，R 四点共圆，且RS 是这个圆的直径(∠RMS =90°)，MQ ′是一条
弦(∠MSQ ′＜90°)，故RS ＞MQ ′.但MQ =MQ ′，所以，RS ＞MQ .
A B
C
D I C I D
A I I
B ··
P O A B C D A B C
D E F K
G
···
···
练习题
1.⊙O 1交⊙O 2 于A ，B 两点，射线O 1A 交⊙O 2 于C 点，射线O 2A 交⊙O 1 于D 点.求证：点A 是△BCD 的内心.
(提示：设法证明C ，D ，O 1，B 四点共圆，再证C ，D ，B ，O 2 四点共圆，从而知C ，D ，O 1，B ，O 2五点共圆.)
2.△ABC 为不等边三角形.∠A 及其外角平分线分别交对边中垂线于A 1，A 2；同样得到B 1，B 2，C 1，C 2.求证：A 1A 2=B 1B 2=C 1C 2.
(提示：设法证∠ABA 1与∠ACA 1互补造成A ，B ，A 1，C 四点共圆；再证A ，A 2，B ，C 四点共圆，从而知A 1，A 2都是△ABC 的外接圆上，并注意∠A 1AA 2=90°.)
3.设点M 在正三角形三条高线上的射影分别是M 1，M 2，M 3(互不重合).求证：△M 1M 2M 3也是正三角形.
4.在Rt △ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，P 是AB 上的点，过A 点作PC 的垂线交过B 所作AB 的垂线于Q 点.求证：PD 丄QD .
(提示：证B ，Q ，E ，P 和B ，D ，E ，P 分别共圆)
5.AD ，BE ，CF 是锐角△ABC 的三条高.从A 引EF 的垂线l 1，从B 引FD 的垂线l 2，从C 引DE 的垂线l 3.求证：l 1，l 2，l 3三线共点.(提示：过B 作AB 的垂线交l 1于K ，证：A ，B ，K ，C 四点共圆)
第五讲 三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. 一、外心.
三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.
例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N .作点P
关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)
分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP =NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点N 是△P ′
PC 的外心.有 ∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ， ∠PP ′C =21∠PNC =21
∠BAC .
∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC . 从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上.
由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC .
例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心
为顶点的三角形与△ABC 相似.
分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心，作出六边形 O 1PO 2QO 3S 后再由外心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ， ∠SO 3Q =2∠C .
∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+ ∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360° 将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，
同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3.
∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=21∠O 2O 1K =21(∠O 2O 1S +∠SO 1K )=2
1
(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2)
A B C P
P M
N
'A
B C Q
K P O O O ....S 1
23
=
2
1
∠PO 1S =∠A ； 同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC . 二、重心
三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长
度公式，便于解题.
例3．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△PAD ，△PBE ，△PCF 中，
其中一个面积等于另外两个面积的和.
(第26届莫斯科数学奥林匹克)
分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB ，BC 相交.从A ，C ，D ，E ，F 分别 作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′，D ′，E ′，F ′. 易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，2EE ′=AA ′+CC ′， ∴EE ′=DD ′+FF ′. 有S △PGE =S △PGD +S △PGF .
两边各扩大3倍，有S △PBE =S △PAD +S △PCF .
例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相
似.其逆亦真.
分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′.G 为重心，连DE
到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF .
(1)a 2，b 2，c 2成等差数列?△∽△′. 若△ABC 为正三角形，易证△∽△′.
不妨设a ≥b ≥c ，有 CF =2222221c b a -+， BE =2222221b a c -+， AD =222222
1
a c
b -+. 将a 2+
c 2=2b 2，分别代入以上三式，得 CF =
a 23，BE =
b 23，AD =
c 2
3. ∴CF :BE :AD =
a 23:
b 23:
c 2
3
=a :b :c . 故有△∽△′. (2)△∽△′?a 2，b 2，c 2成等差数列.
当△中a ≥b ≥c 时， △′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′， ∴
?
?S S '＝(a CF )2
.
据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的
43”，有??S S '=4
3
. ∴22a
CF =43
?3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c 2?a 2+c 2=2b 2.
三、垂心
三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.
例5．设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为
A A 'F F '
G
E E '
D 'C 'P
C B D
△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.
分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径为R .由△A 2A 3A 4知
1
321
2sin H A A H A ∠=2R ?A 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4；
由△A 1A 3A 4得 A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4. 但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2. 易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 A 1H 2
， 故得H 1H 2 A 2A 1
.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称.
同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称.故四边形
H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上.后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ，M 两点，Q 点就不难确定了.
例6．H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直
线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2.
求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2.
分析：只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可.设BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外 接圆半径为R ，⊙H 的半径为r . 连HA 1，AH 交EF 于M . A 21
A =AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH 2 =r 2+(AM 2-MH 2
)， ①
又AM 2-HM 2=(
21AH 1)2-(AH -2
1
AH 1)2 =AH ·AH 1-AH 2
=AH 2·AB -AH 2
=cos A ·bc -AH 2
， ②
而ABH AH
∠sin =2R ?AH 2=4R 2cos 2A ,
A
a
sin =2R ?a 2=4R 2sin 2A . ∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2. ③
由①、②、③有 A 2
1
A =r 2
+bc
a c
b 22
22-+·bc -(4R 2-a 2)=21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.
同理，21BB =
21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2，21CC =2
1
(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.故有AA 1=BB 1=CC 1. 四、内心
三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：
设I 为△ABC 的内心，射线AI 交△ABC 外接圆于A ′，则有A ′I =A ′B =A ′C .换言之，点A ′必是△IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用). 例7．ABCD 为圆内接凸四边形，取△DAB ，△ABC ，△BCD ，
△CDA 的内心O 1， O 2，O 3， O 4.求证：O 1O 2O 3O 4为矩形.
∥
=∥=.O
A A A A 1
2
34
H H 1
2
H H H
M A B B
A A
B
C C
C F
1
211
1
222
D E A
B C
D O O O 234O
1
例8．已知⊙O 内接△ABC ，⊙Q 切AB ，AC 于E ，F 且与⊙O 内切.试证：EF 中点P 是△ABC
之内心.
分析：在第20届IMO 中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB =AC .
当AB ≠AC ，怎样证明呢？
如图，显然EF 中点P 、圆心Q ，BC 中点K 都在∠BAC 平分线上.易知AQ =α
sin r
.
∵QK ·AQ =MQ ·QN ， ∴QK =
AQ
QN MQ ?=αsin /)2(r r
r R ?-=)2(sin r R -?α. 由Rt △EPQ 知PQ =r ?αsin .
∴PK =PQ +QK =r ?αsin +)2(sin r R -?α=R 2sin ?α. ∴PK =BK .α
利用内心等量关系之逆定理，即知P 是△ABC 这内心.
五、旁心
三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切.
例9．在直角三角形中，求证：r +r a +r b +r c =2p .式中r ，r a ，r b ，r c 分别表示内切圆半径及与a ，b ，
c 相切的旁切圆半径，p 表示半周.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)
分析：设Rt △ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：
p (p -c )=(p -a )(p -b ).
∵p (p -c )=21(a +b +c )·21(a +b -c )=41[(a +b )2-c 2] =21ab ；
(p -a )(p -b )=21(-a +b +c )·2
1(a -b +c )
=41[c 2-(a -b )2
]=2
1ab . ∴p (p -c )=(p -a )(p -b ). ① 观察图形，可得r a =AF -AC =p -b ，r b =BG -BC =p -a ，r c =CK =p .
而r =2
1
(a +b -c )=p -c .∴r +r a +r b +r c =(p -c )+(p -b )+(p -a )+p =4p -(a +b +c )=2p .
由①及图形易证.
例10．M 是△ABC 边AB 上的任意一点.r 1，r 2，r 分别是△AMC ，△BMC ，△ABC 内切圆的半
径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径. 证明：
11q r ·22q r =q
r . 分析：对任意△A ′B ′C ′，由正弦定理可知OD =OA ′·2'
sin A
=A ′B ′·'''sin 2'
sin
B O A B ∠·2'sin A =A ′B ′·
2
''sin 2'sin 2'sin B A B A +?， A
ααM
B
C N
E R O
Q
F
r P K r r r r O O O 2
1
3A O
E C B
a b c A ...
'B '
C '
O
O '
E
D
O ′E = A ′B ′·
2
''sin
2'cos 2'cos
B A B A +. ∴2
'
2''B tg A tg E O OD =. 亦即有
11q r ·2
2q r =2222B tg CNB tg CMA tg
A tg ∠∠ =22
B tg A tg =q r
. 六、众心共圆
这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.
例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB =BC ，CD =DE ，EF =FA .试证：(1)AD ，BE ，CF
三条对角线交于一点；
(2)AB +BC +CD +DE +EF +FA ≥AK +BE +CF . (1991，国家教委数学试验班招生试题)
分析：连接AC ，CE ，EA ，由已知可证AD ，CF ，EB 是△ACE 的三条内角平分线，I 为△ACE
的内心.从而有ID =CD =DE ，
IF =EF =FA ， IB =AB =BC .
再由△BDF ，易证BP ，DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用 不等式有： BI +DI +FI ≥2·(IP +IQ +IS ).
不难证明IE =2IP ，IA =2IQ ，IC =2IS .
∴BI +DI +FI ≥IA +IE +IC .
∴AB +BC +CD +DE +EF +FA =2(BI +DI +FI ) ≥(IA +IE +IC )+(BI +DI +FI )=AD +BE +CF .
I 就是一点两心. 例12．△ABC 的外心为O ，AB =AC ，D 是AB 中点，E 是△ACD 的重心.证明OE 丄CD . (加拿大数学奥林匹克训练题)
分析：设AM 为高亦为中线，取AC 中点F ，E 必在DF 上且DE :EF =2:1.设
CD 交AM 于G ，G 必为△ABC 重心.连GE ，MF ，MF 交DC 于K .易证： DG :GK =3
1
DC )DC =2:1. ∴DG :GK =DE :EF ?GE ∥MF .
∵OD 丄AB ，MF ∥AB ，
∴OD 丄MF ?OD 丄GE .但OG 丄DE ?G 又是△ODE 之垂心.易证OE 丄CD . 例13．△ABC 中∠C =30°，O 是外心，I 是内心，边AC 上的D 点与边BC 上的E 点使得AD =BE =AB .
求证：OI 丄DE ，OI =DE .
分析：辅助线如图所示，作∠DAO 平分线交BC 于K . 易证△AID ≌△AIB ≌△EIB ，∠AID =∠AIB =∠EIB .
利用内心张角公式，有 AIB =90°+21∠C =105°，
∴∠DIE =360°-105°×3=45°.
∵∠AKB =30°+21∠DAO =30°+21(∠BAC -∠BAO )=30°+21
(∠BAC -60°)
=2
1
∠BAC =∠BAI =∠BEI .
Erdos ..
I P A
B C
D
E F Q
S
A
B C D
E F O K G O A B
C D
E
F I K
30°
平行线经典证明题 一、选择题： 1.如图，能与∠α构成同旁内角的角有（ ） A ． 5个 B ．4个 C ． 3个 D ． 2个 2.如图，AB ∥CD ，直线MN 与AB 、CD 分别交于点E 和点F ，GE ⊥MN ，∠1=130°，则∠2等于 ( ) A ．50° B ．40° C ．30° D ．65° 3.如图，DE ∥AB ，∠CAE=3 1∠CAB ，∠CDE=75°，∠B=65°则∠AEB 是 ( ) A ．70° B ．65° C ．60° D ．55° 4.如图，如果AB ∥CD ，则α∠、β∠、γ∠之间的关系是（ ） A 、0180=∠+∠+∠γβα B 、0180=∠+∠-∠γβα C 、0180=∠-∠+∠γβα D 、0 270=∠+∠+∠γβα 5.如图所示,AB ∥CD,则∠A+∠E+∠F+∠C 等于( ) A.180° B.360° C.540° D.720° 6.如图，OP ∥QR ∥ST ，则下列各式中正确的是（ ） A 、∠1＋∠2＋∠3＝180° B 、∠1＋∠2－∠3＝90° C 、∠1－∠2＋∠3＝90° D 、∠2＋∠3－∠1＝180° 7.如图，AB ∥DE ，那么∠BCD 于（ ） A 、∠2－∠1 B 、∠1＋∠2 C 、180°＋∠1－∠2 D 、180°＋∠2－2∠1 二、填空题： 8.把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角α=_______度． 9.求图中未知角的度数，X=_______，y=_______. 10.如图，AB ∥CD ，AF 平分∠CAB ，CF 平分∠ACD ．(1)∠B+∠E+∠D=________；(2)∠AFC=________. 11.如图，AB ∥CD ，∠A=120°，∠1=72°，则∠D 的度数为__________． 12.如图，∠BAC=90°，EF ∥BC ，∠1=∠B ，则∠DEC=________. 13.如图，把长方形ABCD 沿EF 对折，若∠1=500，则∠AEF 的度数等于 14.如图，已知AB ∥CD ，∠1=100°，∠2=120°，则∠α=____ 三、计算证明题： 15.如图，在四边形ABCD 中，∠A=104°－∠2，∠ABC=76°+∠2，BD ⊥CD 于D ，EF ⊥CD 于F ，能辨认∠1=∠2吗？试说明理由． 16..如图，CD ∥AB ，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF 与AB 有怎样的位置关系，为什么？ 17.已知：如图23，AD 平分∠BAC ，点F 在BD 上，FE ∥AD 交AB 于G ，交CA 的延长线于E ， 求证：∠AGE ＝∠E 。 18. 如图，AB ∥DE,∠1=∠ACB,∠CAB=2 1∠BAD,试说明：AD ∥BC.
第十二讲平行线问题 平行线是我们日常生活中非常常见的图形．练习本每一页中的横线、直尺的上下两边、人行横道上的“斑 马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对 边等等均是互相平行的线段． 正因为平行线在生活中的广泛应用，因此有关它的基本知识及性质成为中学几何的基本知识． 正因为平行线在几何理论中的基础性，平行线成为古往今来很多数学家非常重视的研究对象．历史上关于平行公理的三种假设，产生了三种不同的几何(罗巴切夫斯基几何、黎曼几何及欧几里得几何)，它们在使人们认识宇宙空间中起着非常重要的作用． 现行中学中所学的几何是属于欧几里得几何，它是建立在这样一个公理基础之上的：“在平面中，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”．在此基础上，我们学习了两条平行线的判定定理及 性质定理．下面我们举例说明这些知识的应用． 例1 如图 1－18，直线a∥b，直线 AB交 a与 b 于 A，B，CA平分∠1，CB平分∠ 2，求证：∠C=90°
． 分析由于a∥b，∠1，∠2是两个同侧内角，因此∠1+∠2= 过C点作直线 l，使 l∥a(或 b)即可通过平行线的性质实现等角转移．
证过C点作直线l，使l∥a(图1－19)．因为a ∥b，所以b∥l，所以 ∠1+∠2=180°(同侧内角互补)． 因为AC平分∠1，BC平分∠2，所以
又∠3=∠CAE，∠4=∠CBF(内错角相等)，所以 ∠3+∠4=∠CAE+∠CBF 说明做完此题不妨想一想这个问题的“反问题” 是否成立，即“两条直线a，b被直线AB所截(如图1－20所示)，CA，CB分别是∠BAE与∠ABF的平分线，若∠C=90°，问直线a与直线b是否一定平行？”
《相交线与平行线》证明题专项训练A 第一组---简简单单 1.如图，∠1=∠A，试问∠2与∠B相等吗？为什么？ 2.如图，已知OA⊥OB，∠1与∠2互补，求证：OC⊥OD. 3.如图，直线l ⊥,，∠1=∠2，求证：∠3=∠4. n m⊥ l 4.如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A=37o，求∠D的度数．
第二组---相信自己 5.如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠EDC的度数. 6．如图，BD平分∠ABC，?DF?∥AB，?DE?∥BC，?求∠1?与∠2?的大小关系．7．如图，已知∠BAP与∠APD互补，∠1=∠2，求证：∠3=∠4. 8．如图，已知∠ABC＋∠ACB=110°，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，EF过点O与BC平行，求∠BOC的度数.
第三组-----善于思考 9．如图，已知： DE∥AB，DF∥AC，试说明∠FDE=∠A. 10．如图，AB∥CD，∠NCM＝90°，∠NCB＝30°，CM平分∠BCE，求∠B的度数. 11．如图，AB∥CD，HP平分∠DHF，若∠AGH=80°，求∠DHP的度数. 12．如图，AC⊥AB，EF⊥BC，AD⊥BC，∠1=∠2，试问AC⊥DG吗？请写出推理过程.
第四组---转弯抹角 13．如图，M、N、T和A、B、C分别在同一直线上，且∠1=∠3，∠P=∠T，求证：∠M=∠R. 14．如图，已知∠1=∠2, ∠B=∠C，你能得出∠A=∠D的结论吗？ 15．如图，CD⊥AB于D，FE⊥AB于E，且∠1=∠2，?∠3=80°．求∠BCA的度数 16．如图，AD⊥BC，FG⊥BC，且∠1=∠2，求证：∠BDE=∠C.
（第1题） O A B C D E （第2题） C D （第3题） D E D 平行线的判定与性质培优经典题（1） 知识要点： ① 对顶角、邻补角的概念、性质； ② “三线八角”的相关概念，垂线、平行线的相关概念；相关几何语言的运用； ③ 平行线的判定方法 、平行线的性质； ④ 构造平行线，构造截线与平行线相交. 基础训练： 1. 如图，AB 、CD 相交于点O ，且∠AOD +∠BOC =220°， OE 平分∠BOD . 求∠COE . 2. 如图，AB 、CD 相交于点O . 求∠BOD . 3. 如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ， 则∠1+∠2+∠3 =＿＿＿＿＿＿ . 4. 如图，直线AB 、CD 交于点O . （1）若∠1+∠2 =70°，则∠4 =＿＿＿＿＿＿ ;
（第5题） E D （第7题）O A B C D F E （第6题） O A B C D E F B D A （2）若∠3 -∠2 =70°，则∠1 =＿＿＿＿＿＿ ; （3）若∠4 :∠2 =7:3，则∠1 =＿＿＿＿＿＿ . 5. 如图，直线AB 、CD 、EF 交于点O ，∠1比∠2的3倍 大10°，∠AOD =110°. 求∠AOE . 6. 如图，直线AB 、CD 交于点O ，OE ⊥AB , OF ⊥CD .若∠EOD =3∠BOD . 求∠EOF . 7. 如图，已知直线AB 、CD 交于点O , OE ⊥AB ， 垂足为O ,OF 平分∠AOC ，∠AOF :∠AOD =2:5. 求∠EOC .
C B 8. 如图,已知AD ⊥BD ,BC ⊥CD ，AB =3cm ,BC =1cm . 则BD 的取值范围是 . 经典题型： 1. （1） O 为平面上一点，过O 在这个平面上引2005条不同的直线l 1,l 2,l 3,…,l 2005,则可形成＿＿＿＿＿＿对以 O 为顶点的对顶角. (山东省聊城市竞赛题) （2） 若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有＿＿＿＿＿＿对同旁内角. （第17届江苏省竞赛题） 2. 如图，已知AD ∥EG ∥BC ,AC ∥EF ,则图中 与∠1相等的角有（ ）对. A ．4 B. 5 C. 6 D. 7 （西 宁市中 考题） 3. 如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F ,AC ∥ED , CE 是∠ACB 的平分线. 求证：∠EDF =∠BDF . (天津市竞赛题)
平行线经典证明题 一、选择题: 1、如图,能与∠α构成同旁内角的角有( ) A. 5个 B.4个 C. 3个 D. 2个 α 2、如图,AB ∥CD,直线MN 与AB 、CD 分别交于点E 与点F,GE ⊥MN,∠1=130°,则∠2等于 ( ) A.50° B.40° C.30° D.65° 3、如图,DE ∥AB,∠CAE= 3 1 ∠CAB,∠CDE=75°,∠B=65°则∠AEB 就是 ( ) A.70° B.65° C.60° D.55° 4、如图,如果AB ∥CD,则α∠、β∠、γ∠之间的关系就是( ) A 、0180=∠+∠+∠γβα B 、0180=∠+∠-∠γβα C 、0180=∠-∠+∠γβα D 、0270=∠+∠+∠γβα 5、如图所示,AB ∥CD,则∠A+∠E+∠F+∠C 等于( ) A 、180° B 、360° C 、540° D 、720° 6、如图,OP ∥QR ∥ST,则下列各式中正确的就是( ) A 、∠1＋∠2＋∠3＝180° B 、∠1＋∠2－∠3＝90° C 、∠1－∠2＋∠3＝90° D 、∠2＋∠3－∠1＝180° 7、如图,AB ∥DE,那么∠BCD 于( ) A 、∠2－∠1 B 、∠1＋∠2 C 、180°＋∠1－∠2 D 、180°＋∠2－2∠1 二、填空题: 8、把一副三角板按如图方式放置,则两条斜边所形成的钝角α=_______度. α 45° 30° 9、求图中未知角的度数,X=_______,y=_______、 10、如图,AB ∥CD,AF 平分∠CAB,CF 平分∠ACD.(1)∠B+∠E+∠D=________;(2)∠AFC=________、
、导入新课: 1. 创设情境 如图所示，打台球时，用白球沿图示方向去 打黑球，要使黑球经过一次反弹后直接撞入袋 中，已知入射角/ 4等于反射角/ 5，且/ 1 = Z 2，若/ 3= 30°,那么去打白球时必须保持/ 1 等于什么样的度数？ 2. 揭示课题，板书 平行线的判定和性质的比较。 二、 检查预习情况：明确检查方法 学生口答后论证。 三、 布置学生自学： 1.学生自主探究题： (1)①已知如图， AB // CD, AC 丄BC ,图 中与/ CAB 互余的角有几个？ ②已知如图， AC 丄BC ,若/ 1 = 70° / 3 = 20°,贝U AB 与CD 有怎样的关系？ 〖点拨方法〗这道题目学生直 接找 很容易缺漏，教师可以引 导学生先由平行线的性质找出 与/ CAB 相等的角，再分别找 出这些相等的角的余角，然后 进行归纳。有了第一问的基 础，学生求解第二问就不难 了，教师可引导学生逆向思 考：若要判断AB 与CD 平行， 有哪些方法？并且要想 学生强 调此问运用的是判定。 教学 过程 〖设计说明〗 《数学课程标准》中指出：学 生的数学学习内容应当是现实 的、有意义的、富有挑战性 的。因此，教学过程中创设的 这一现实的 问题情境较生动活 泼，来源于学 生的生活，学生 有深切的体会， 能激发学生学 习数学的兴趣，对 提高学生的 数学素养和数学意 识也是十分 有意义的，还让学生 体会到了 数学学习对实际生活 的意义。 (2)宁波到台州的高速公路需开挖山洞，为节 约开挖时 间，需在山的两面 A 、B 同时开 工，在A 处测得洞的走向是北偏东 75°, 那么在 B 处应按 ____________ 方向开工，才能
平行线的判定与性质练习 2013.3 一、选择题 1．下列命题中，不正确的是____ [ ] A．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 B．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行 D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 2．如图，可以得到DE∥BC的条件是______ [ ] （2题）（3题）（5题） A．∠ACB=∠BAC B．∠ABC+∠BAE=180° C．∠ACB+∠BAD=180° D．∠ACB=∠BAD 3．如图，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件: (1)∠1=∠2， (2)∠3=∠6， (3)∠4+∠7=180°， (4)∠5+∠8=180°， 其中能判定a∥b的条件是_________[ ] A．(1)(3) B．(2)(4) C．(1)(3)(4) D．(1)(2)(3)(4) 4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是________[ ] A．第一次向右拐40°，第二次向左拐40° B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130° D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130° 5．如图，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是_________．[ ] A．AD∥BC B．AB∥CD C．∠3=∠4 D．∠A=∠C
6．如图，a∥b，a、b被c所截，得到∠1=∠2的依据是（） A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 (6题) (8题) (9题) 7．同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则直线c、d的位置关系为（） A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．无法确定 8．如图，AB∥CD，那么（） A．∠1=∠4 B．∠1=∠3 C．∠2=∠3 D．∠1=∠5 9．如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（） A．∠1+∠2=180° B．∠2+∠3=180° C．∠3+∠4=180° D．∠2+∠4=180° 10．如图，AD∥BC，∠B=30°，DB平分∠ADE，则∠DEC的度数为（） A．30° B．60° C．90° D．120° （10题）（ 11题） 二、填空题 11．如图，由下列条件可判定哪两条直线平行，并说明根据． (1)∠1=∠2，________________________．(2)∠A=∠3，________________________．(3)∠ABC+∠C=180°，________________________． 12．如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数之比为3∶2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是________． 13．同垂直于一条直线的两条直线________．
5.3平行线性质（二） [教学目标] 1. 经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，推理能力和有条件表达能力 2. 理解两条平行线的距离的含义，了解命题的含义，会区分命题的题设和结论 3. 能够综合运用平行线性质和判定解题 [教学重点与难点] 重点:平行线性质和判定综合应用，两条平行线的距离，命题等概念 难点:平行线性质和判定灵活运用 [教学设计] 一.复习引入 1．平行线的判定方法有哪些？ 2．平行线的性质有哪些？ 3．完成下面填空 已知：BE 是AB 的延长线，AD//BC ，AB//CD ，若 100=∠D 则EBC A C ∠∠∠,, 4．b c b a ⊥⊥,那么a ，c 的位置关系如何？ 二．新课 1．例1，已知a//c,,b a ⊥直线b 与c 垂直吗？为什么？ 例2如图是一块梯形铁片的残余部分，量得 115,100=∠=∠B A ，梯形另外两个角分别是多少度？ 2．实践 与探究 （1）学生操作：用三角尺和直尺画平行线，做成一张55?个格子的方格纸。观察并思考：做出的方格纸的一部分，线段2211,C B C B …55C B 都与两条平行线5251,C A B A 垂直吗？它们的长度相等吗？
教师给出两条平行线的距离定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段长度叫做两条平行线的距离。 问题：AB//CD，在CD上任取一点E，作, EF 垂足F，问EF是否垂直DC？垂线段EF AB 是平行线AB、CD的距离吗？ 结论：两条平行线的距离处处相等，而不随垂线段的位置而改变 3．命题和它的构成 下列语句，分析语句的特点 （1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行。 （2）对顶角相等 （3）等式两边同加上同一个数，结果仍是等式 （4）如果两条直线不平行，那么同位角不相等 这些句子都是对某一件事情作出“是”或“不是”的判断 命题：判断一件事情的句子，叫做命题 （1）命题的组成：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知项，结论是由已知项推出的事项（2）形式：通常写成“如果…,那么…”的形式， 三．巩固练习 1．“等式两边乘以同一个数，结果仍是等式”是命题吗？如果是，它的题设和结论分别是什么？ 2举出一些命题的例子 四．作业 课本P25 （5781112）
平行线的证明典型题练习 1．命题“对顶角相等”的题设是:________＿_____＿__，结论是__ ＿ _______ ＿_＿_＿＿____ 2.下列命题：①对顶角相等;②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行;③相等的角是对 顶角；④同位角相等.其中错误的有 3. 如图,ＢＥ平分∠AＢＣ,DＥ∥BＣ,图中相等的角共有对 4. 如图,在△AＢC中,D是B C的延长线上的一点，Ｅ是CＡ的延长线上的一点,Ｆ在A B上，连 接E F，请你判断∠ＡC D∠AＦE． 5.如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下,则∠1= 6．如图，已知AB∥ＣＤ,∠B＝６５°，CＭ平分∠ＢCE,∠MＣN=90°,求∠DＣＮ＝ 第３题图第4题图第5题图第６题 图 7.如图,在△ＡBＣ中，∠A=α，∠ＡＢC的平分线与∠ＡCD的平分线交于点A１，得∠A1,∠A1BC 的平分线与∠A1CD的平分线交于点Ａ２，得∠A2，…,∠A201３ＢＣ的平分线与∠A20１3CD的平分线交于 点A２014，得∠A20１４ＣＤ，则∠A2０14＝______. 8. 如图,在△ABC中，AＢ=AD＝DC,∠BAD＝26°.∠Ｂ＝∠C= 9.如图所示．∠Ａ=1０°，∠ＡBC=9０°,∠ACB=∠DCE,∠ADＣ＝∠ＥDＦ，∠CE Ｄ=∠FＥＧ．则∠F ° 10．如图所示,CD是∠ACＢ的平分线，CＦ是△ABC的外角∠ACＢ的外角平分线，FD ∥BＣ交CF于点F.若∠Ａ=40°，∠Ｂ=60°,∠ＦCD＝，∠DFＣ ＝ 第7题图 第8题图 第9 题图第10题图 １1.已知如图所示，在△ABＣ中,AB＞AC，∠ＡEF＝∠AFＥ，延长EF与BC的延长 线交于点G，求证：∠Ｇ＝1／2(∠ＡCB－∠B)． 12.如图所示,BＥ与CD相交于点A,CF为∠BCD的平分线,EＦ为∠BED的平分线． （1)试探索∠Ｆ与∠Ｂ,∠D之间的数量关系,并加以证明 （2)若∠B：∠D：∠F=２:4：x 求x的值 --
2.3平行线的性质 第1课时平行线的性质 一、学情分析导入 1.如图，指出那些是同位角、内错角、同旁内角 同位角: 同旁内角: 内错角: 2.如图，判断两直线平行的条件。 （1）因为∠1=∠5 (已知) 所以a∥b（） （2）因为∠4=∠ (已知) 所以a∥b（内错角相等，两直线平行）（3）因为∠4+∠ =1800 (已知) 所以a∥b（） 二、自主探究新知 反过来，如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角又各有什么样的关系呢？ 课本52页的“引例”部分。 活动1、先测量角的度数,把结果填入表内. 角∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8 度数 活动2、根据测量所得的结果作出猜想： 两直线平行同位角具有怎样的数量关系?内错角具有怎样的数量关系?同旁内角呢？活动3、验证猜测.另外画一组平行线被第三条直线所截，同样测量并计算各角的度数,检验刚才的猜想是否成立?如果直线a与b不平行，猜想还成立吗? 完成课本52页的“引例”部分。 活动4、归纳平行线的性质 性质1:两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等。 简称为两直线平行, 同位角相等. 几何语言： 性质2:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等。 简称为两直线平行, 内错角相等. 几何语言： 性质3:两条平行直线按被第三条线所截,同旁内角互补。 简称为两直线平行, 同旁内角互补. 几何语言： 活动5、运用与推理 你能根据性质1,说出性质2,性质3成立的理由吗? 因为a∥b. 所以∠1=∠5 (_______)
又因为∠1=∠_____(对顶角相等) 所以∠4=∠5, 类似地,对于性质3,你能说出道理吗? 三、精题精讲点拨 1．如图所示，AB∥CD，AC∥BD,分别找出与 ∠1相等或互补的角。 2.如图是一块梯形铁片的残缺部分,量得∠A=65°,∠ B=80°, 梯形另外两个角分别是多少度? 3．如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相 同，第一次拐的角∠B 是130°，第二次拐的角∠ C是多少度？ 四、交流展示提升 填写下面的表格，加以对比平行线的性质和上一节判定直线平行的条件有什么不同么？ 归纳：条件：角的关系线的关系 性质：线的关系角的关系五、课堂归纳小结 平行线的性质 性质1:两直线平行, 同位角 .几何语言： 性质2: 两直线平行, 内错角.几何语言： 性质3: 两直线平行, 同旁内角.几何语言： 六、检测反馈评价 1．如图，已知D是AB上的一点，E 是AC上的一点， ∠ADE =60°，∠B =60°,∠AED =40°． （1）DE和BC平行吗？为什么？ （2）∠C是多少度？为什么？ 2．如图，一束平行光线 AB 与 DE 射向 一个水平镜面后被反射，此时∠1 =∠2， ∠3 = ∠4． （1）∠1 与∠3 的大小有什么关系？∠ 2 与∠4 呢？ （2）反射光线 BC 与 EF 也平行吗？ 条件结论 平行线的性质 判定平行的条件
平行线的判定和性质经典题 一．选择题（共18小题） 1．如图所示，同位角共有（） 第1题第2题 A．6对B．8对C．10对D．12对 2．如图所示，将一张长方形纸对折三次，则产生的折痕与折痕间的位置关系是（）A．平行B．垂直C．平行或垂直D．无法确定 3．下列说法中正确的个数为（） ①不相交的两条直线叫做平行线 ②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ③平行于同一条直线的两条直线互相平行 ④在同一平面内，两条直线不是平行就是相交 A．1个B．2个C．3个D．4个 4．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（） A．平行B．垂直C．平行或垂直D．无法确定 5．若两个角的两边分别平行，且这两个角的差为40°，则这两角的度数分别是（）A．150°和110°B．140°和100°C．110°和70°D．70°和30° 6．如图所示，AC⊥BC，DE⊥BC，CD⊥AB，∠ACD=40°，则∠BDE等于（） 第6题第7题 A．40°B．50°C．60°D．不能确定 7．如图，AB∥CD，且∠BAP=60°﹣α，∠APC=45°+α，∠PCD=30°﹣α，则α=（）A．10°B．15°C．20°D．30°
8．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（） A．②③B．①②③C．①②④D．①④ 9．已知∠AOB=40°，∠CDE的边CD⊥OA于点C，边DE∥OB，那么∠CDE等于（）A．50°B．130°C．50°或130°D．100° 10．如图，AB∥CD∥EF，AF∥CG，则图中与∠A（不包括∠A）相等的角有（） 第10题第11题 A．5个B．4个C．3个D．2个 11．如图所示，BE∥DF，DE∥BC，图中相等的角共有（） A．5对B．6对C．7对D．8对 12．已知∠A=50°，∠A的两边分别平行于∠B的两边，则∠B=（） A．50°B．130°C．100°D．50°或130° 13．如图所示，DE∥BC，DC∥FG，则图中相等的同位角共有（） 第13题第14题 A．6对B．5对C．4对D．3对 14．如图所示，AD∥EF∥BC，AC平分∠BCD，图中和α相等的角有（） A．2个B．3个C．4个D．5个 15．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（） A．42°、138°B．都是10°
相交线与平行线经典题型汇总 班级: 姓名: 1. 如图，∠B=∠C ，AB ∥EF 求证：∠BGF=∠C 2.如图，EF ∥AD ，∠1 =∠2，∠BAC = 70°。求∠AGD 《 3.已知：如图ＡＢ∥ＣＤ，ＥＦ交ＡB 于G ，交CD 于F ，FH 平分∠EFD ，交AB 于H ，∠AGE=500 ，求：∠BHF 的度数。 4.已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D ，那么∠A=∠F 吗试说明理由 & H G F E D C B A H G 2 1 F E D C B A G F E C B A
5. 已 知 ： 如 图 ， AB E F AB CD 1D ∠=∠2∠C ∠EC AF ⊥O //AB CD //AC BD //AB CD E ∠=∠1 F ∠=∠2AE CF O CF AE ⊥ . 8．如图13，AEB NFP ∠=∠，M C ∠=∠，判断A ∠与P ∠的大小关系，并说明理由. ^ 9．如图14，AD 是CAB ∠的角平分线，//DE AB ，//DF AC ，EF 交AD 于点O ． 请问：（1）DO 是EDF ∠的角平分线吗如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． （2）若将结论与AD 是CAB ∠的角平分线、//DE AB 、//DF AC 中的任一条件 交换，?所得命题正确吗 F E M P A C N 1 2 3 O B C D E
A D B C E F 1 2 3 · 4 ' 10.如图，AD 是∠EAC 的平分线，AD ∥BC ，∠B = 30°， 你能算出∠EAD 、∠DAC 、∠C 的度数吗 11. 如图, ∠1=∠2 , ∠3=1050， 求 ∠4的度数。 【 12．如图，EF ∥AD ，∠1 =∠2，∠BAC = 70°。将求∠AGD 的过程填写完整。 因为EF ∥AD ，所以 ∠2 = 。 又因为 ∠1 = ∠2，所以 ∠1 = ∠3。 所以AB ∥ 。 所以∠BAC + = 180°。 又因为∠BAC = 70°， 所以∠AGD = 。 · 13．已知，如图，BCE 、AFE 是直线，AB ∥CD ，∠1=∠2，∠3=∠4。 AD 与BE 平行吗为什么。 ' d c 3 1 a b 2 4
第二章相交线与平行线 3 平行线的性质（第2课时） 一、学情分析： 学生的知识技能基础：在第一课时的学习中，学生已经初步经历了探索平行线性质的过程，得出了平行线的三条性质，初步具有了利用直线的位置关系来判断角的大小关系的意识。同时，还认识了平行线的性质和判别直线平行的条件的区别和联系，为本节课的继续探究打下了基础。 二、教学目标： 1、知识与技能目标: 熟练应用平行线的性质和判别直线平行的条件解决问题。 逐渐理解几何推理的要领，分清推理中“因为”、“所以”表达的意义，也就是明白从已知推导到结论的条件依据，从而初步学会简单的几何推理。 2、过程与方法目标： 经历观察、讨论，推理、归纳等活动, 进一步发展空间观念，培养推理能力和有条理表达的能力。 3、情感态度目标: 使学生在积极参与探索、交流、推理、归纳等数学活动中，进一步体会数学的严密性，提高自己的逻辑思维能力。 三、教学设计： 本节课共有五个环节：第一环节：复习回顾，夯实基础；第二环节：层层递进，推理论证；第三环节：独立探究，步骤规范；第四环节：及时巩固，深化提高；第五环节：归纳小结，反思提高
第一环节：复习回顾，夯实基础 活动内容：通过以下问题带领学生复习平行线的性质和判别直线平行的条件。 问题1: 判别直线平行的条件有哪几种？ 问题2：平行线的性质有哪几条？ 第二环节：层层递进，推理论证 活动内容： 例1：如图2.3—2 ： （1）若∠1 = ∠2，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？ （2）若∠2 = ∠M，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？ （3）若∠2 +∠3 =180°，可以判定哪两条直线平行？ 2.3—2 根据是什么？ 练习提高：下列说法: ①两条直线平行,同旁内角互补; ②同位角相等,两直线平行; ③内错角相等,两直线平行; ④垂直于同一直线的两直线平行。 其中是平行线的性质的是( ) A.① B.②和③ C.④ D.①和④
平行线的性质精选练习题 选择题： 1．如图所示，如果AD//BC，则：①∠1 =∠2；②∠3 =∠4；③∠1+∠3 =∠2+∠4；上述结论中一定正确的是( ) A．只有① B．只有② C．①和② D．①、②、③ 答案：A 说明：因为∠1与∠2是AD、BC被BD所截而成的内错角，所以由AD//BC可知∠1 =∠2成立；而AB与CD不一定平行，所以②、③难以确定是否正确；答案为A． 2．下列命题中，错误的命题的个数是( ) ①互余的两个角都是锐角； ②互补的两个角一定不能都是钝角； ③邻补角的角平分线互相垂直； ④同旁内角的角平分线互相垂直； ⑤同位角的角平分线互相平行； ⑥一个角的邻补角一定只有一个 A．0个B．2个C．3个D．以上答案都不对 答案：C 说明：由互余的概念可得①正确；而若两角都为钝角，则和一定大于180o，所以互补的两角一定不能都是钝角，②也正确；不难说明，邻补角的角平分线互相垂直这个命题正确；而只有在两直线平行时，同旁内角的角平分线才互相垂直、同位角的平分线才互相平
行，所以④、⑤都是错误的命题；当两条直线相交时，其中任一角的邻补角有两个，⑥也是错误的命题，答案为C． 3．如图，已知∠1 = 90o+no，∠2 = 90o?no，∠3 = mo，则∠4等于( ) A．mo B．90o?no C．180o?no D．90o+no 答案：A 说明：如图，因为∠1 = 90o+no，∠2 = 90o?no，所以∠1+∠2 = 180o；而∠1与∠5为对顶角，所以有∠5+∠2 = 180o，因此，得到a//b，所以∠3 =∠4，即∠4 = mo，答案为A． 4．如图，AB//CD则∠α等于( ) A．50o B．80o C．85o D．95o 答案：C
七年级数学平行线经典证明题
经典平行线经典证明题 一、选择题： 1.如图，能与∠α构成同旁内角的角有（ ） A ． 5个 B ．4个 C ． 3个 D ． 2 个 α 2.如图，AB ∥CD ，直线MN 与AB 、CD 分别交于点E 和点F ，GE ⊥MN ，∠1=130°，则∠2等于 ( ) A ．50° B ．40° C ．30° D ．65° 3.如图，DE ∥AB ，∠CAE=3 1∠CAB ，∠CDE=75°，∠B=65°则∠AEB 是 ( ) A ．70° B ．65° C ．60° D ．55° 4.如图，如果AB ∥CD ，则α∠、β∠、γ∠之间的关系是 （ ） A 、0180=∠+∠+∠γβα B 、0180=∠+∠-∠γβα C 、0180=∠-∠+∠γβα D 、0 270=∠+∠+∠γβα 5.如图所示,AB ∥CD,则∠A+∠E+∠F+∠C 等于( ) A.180° B.360° C.540° D.720°
6.如图，OP∥QR∥ST，则下列各式中正确的是（） A、∠1＋∠2＋∠3＝180° B、∠1＋∠2－∠3＝90° C、∠1－∠2＋∠3＝90° D、∠2＋∠3－∠1＝180° 7.如图，AB∥DE，那么∠BCD于（） A、∠2－∠1 B、∠1＋∠2 C、180°＋∠1－∠2 D、180°＋∠2－2∠1 二、填空题： 8.把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角α=_______度． 45° α 30° 9.求图中未知角的度数，X=_______，y=_______. 10.如图，AB∥CD，AF平分∠CAB，CF平分∠ACD．(1)∠B+∠E+∠D=________；(2)∠AFC=________.
1．如图，在△ABC中，∠B=ACB ，CD平分∠ACB 交AB于D点，AE∥DC，交BC的延长线于点E，已知∠E=36°，则∠B多少度． 2.如图，AB∥CD∥PN，∠ABC＝50°，∠CPN＝150°．求∠BCP的度数． 3.如图所示，已知直线AB，CD被直线EF所截，如果∠BMN=∠DNF，∠1=∠2， 那么MQ∥NP．为什么？4.如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置， 若∠EFB=65°，则∠AED′等于 5.如图，∠1=∠2，∠C=∠D，那么∠A=∠F，为什么？ 6.如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由． A B C E D
7.已知AB ∥CD ，分别探讨下列四个图形中∠APC 和∠PAB 、∠PCD 的关系．（只要求直接写出），并请你从所得关系中任意选出一个说明理由。 8.如图, 已知：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6. 求证: AD ∥BC. 9．如图，已知CD ⊥AB 于D ，EF ⊥AB 于F ， ∠DGC=105°，∠BCG=75°，求∠1+∠2的度数． 10.如图，AD ⊥BC 于点D ，EF ⊥BC 于点F ，EF 交AB 于点G ，交CA 的延长线于点E ，且∠1=∠2．AD 平分∠BAC 吗？说说你的理由． 11.如图，若AB ∥CD ，∠1=∠2，求∠E 和∠F ，的关系？ 12.如图，DB ∥FG ∥EC ，∠ABD ＝60°，∠ACE ＝36°，AP 平分∠BAC ．求∠PAG 的度数． A B C D E F 2 3 1 4 5 6 B C A D E F G 2 1 1 2 A B C D F G E 1 2 A B C D E F
4. 如图．已知0是直线AB上一点，∠1=50°，0D平分∠BOC， 则∠2的度数是( ). (A)25° (B)50° (C)65° (D)70° 6．如图．直线a∥b，∠l=70°，那么∠2的度数是( )． (A)50° (B)60° (C)70° (D)80° 11．若∠l和∠2是对顶角，∠1=25°，则∠2的度数是度． 13．如图，木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线就可以在工件上找出两条平行线a∥b．木工师傅这样画平行线的方法所依据 教材中的判定方法是． 18.如图，已知CE∥DF，∠ABF=100°，∠CAB=20°,则∠ACE的度 数为度. 24.(本题8分) 完成推理填空： 如图，已知∠l=∠2，∠BAC=70°，∠AGD=110°．将证明EF∥AD的过程填写完整 证明：∵∠BAC=70°, ∠ACD=110° ∴∠BAC+∠AGD=180° ∴∥ ( ) ∴∠1= ( ) 又∵∠l=∠2． ∴∠2=∠3． ∴EF∥AD( ) 26．(本题l0分) 三角形ABC沿直线BC方向平移至三角形DEF的位置，G是DE上一点，连接AG，过点A、D作直线MN. (1)如图1，求证∠AGE=∠GAD+∠ABC;
(2)如图2，∠EDF=∠DAG , ∠CAG+∠CEG=180°，判断AG 与DE 的位置关系， 并证明你的结论. 5.如图，点E 在CD 的延长线上，下列条件中不能判定AB ∥CD 的是 （ ） A ．∠1=∠2 B ．∠3=∠4 C ．∠5=∠B D ．∠B +∠BDC =180° 8.如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点C （∠ACB=90°）在直尺的一边上，若∠1=25°，则∠2的度数等于 （ ） A.25° B.45° C.75° D.65° 10.下列说法正确的个数是 ( ) ①同位角相等； ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直 线的距离； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 14.如图，已知AB ∥CD ，∠1=60°，则∠2= 度． 18.如图所示，已知AB ∥CD ，∠C ＝70°，∠F ＝30°，则∠A 的度数为 . 19.如果∠α与∠β的两边分别平行，∠α比∠β的3倍少36°，则∠α的度数是 . 25．（本题6分）完成下面的证明，并在括号里填上根据． 如图，∠1+∠3=180°，∠CDE+∠B=180°，求证：∠A=∠4． 证明：∵∠1=∠2（ ） 又∵∠1+∠3=180°， ∴∠2+∠3=180°， （第26题图） （第8题图） 1 2 A B C （第14题图） （第18题图）
平行线的性质（二）说课稿 上海市实验学校王海生浦东新区东明路300号200125 一、教材分析 本节课的内容选自上海市实验学校教材《平面几何》第一册（上）第二章第四节。 上海市实验学校的数学教材是自编校本教材，是实验学校的老师根据上海市二期课该精神和学生的实际情况进行编写的，包括代数五册、几何三册以及补充教材一册。 本节课的内容是在已经完成平行线的判定定理和两个平行线的性质定理的前提下进行的，因此这节课的主要任务是探究平行线的第三个性质定理，同时掌握这个定理的应用。另外平行线的判定与性质是今后学习其他知识的重要基础，平行线的判定和性质的应用也涉及一些演绎推理，对培养学生的逻辑推理能力和表达能力至关重要。 二、学情分析： 今天我所教的学生虽然是中一年级，但是上海市实验学校的学制（十年一贯制，小学四年，初中三年，高中三年）决定了他们的年龄比普通学校的初一学生小一至二岁。而且他们进入初中尚不满一年，接触平面几何知识也是从本学期开始的，所以他们的逻辑推理能力还不够强，语言的表达也不十分规范，这都是我在本节课的教学设计中所强调的。 另外，我校的学生在进入初中时经过一定的选拔，大部分学生的数学基础较好，兴趣较浓，因此在教学设计中加强了对他们思维能力的训练和培养。 三、教学目标分析： 经历探索平行线性质定理（3）的过程，掌握平行线的性质定理（3），并能应用该定理解决有关问题。 能够灵活地应用平行线的性质定理和判定定理解决一些较为复杂的问题。 通过共同探究问题的过程，进一步体验“观察——猜想——证明”这种发现问题，解决问题的方法，初步体验“从特殊到一般”的数学思想。 四、教学重点与难点分析： 教学重点： 掌握平行线的性质定理3。 能够应用平行线的性质定理和判定定理解决一些比较复杂的问题。 教学难点： 对于平行线的性质定理和判定定理的准确及熟练地应用。 五、教法与学法分析： 教法分析：本节课针对学生的心理特征和认知水平，在教学上主要采用了探究发现和启发式教学的方法，并且结合多媒体的演示，让图形动起来，加强教学的直观性。在知识的发生，发展中渗透类比、由特殊到一般的数学思想，学生通过观察、发现、猜想、验证、应用等一系列探究活动，层层递进，环环相扣，体验数学的严密性与系统性。 学法分析：学生进入初中尚不满一年，接触平面几何知识也是从本学期开始的，因此在学习中坚持体现学生是学习主体的地位，教师是学习主导的地位。关注学生主体意识的形成和自主学习能力的培养，创造条件和机会让学生主动、能动地学，促进学生学会学习。
平行线性质竞赛题
【例5】平面上有10条直线，无任何3条交于一点，要使它们出现31个交点，怎样安排才能得到？ 平移变换 【例6】平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36。，请说明理由。
学力训练B-P141 1.将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一边上，则 ∠1+ ∠2 = 。 2.如图，直线a∥b，则∠A = 。 3.如图，已知AB∥CD, ∠1 = 100。，∠2 = 120。，则∠a = 。 （第1题）（第2题） （第3题） 4.如图，已知AB∥DE，∠ABC=80。，∠CDE =140。，则∠BCD = 。 5.如图，已知l∥m，∠1=115。，∠2 = 95。，则∠3 = （） A. 120。 B. 130。 C. 140。 D. 150。 6.如图，已知直线AB∥CD，∠C=115。，∠A = 25。，则∠3 = （）. A. 70。 B. 80。 C. 90。 D. 100。 7.如图，∠AOB的两边OA,OB均为平面反光镜， ∠AOB = 35。，在OB上有一点E，从E点射出一束 光线经OA上的点D反射后，反射光线DC恰好与OB 平行，则∠DEB的度数是（） A. 35。 B. 70。 C. 110。 D. 120。 8.如图，AB∥CD∥EF∥GH, AE∥DG，点C在AE上，点F在DG上，设与∠α相等的角的个数为m （不包括∠α本身），与∠β互补的角的个数为n ，若α≠β，则m+ n 的值是（） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 9.如图，已知∠1+∠2 = 180。，∠3=∠B,是判断∠AED 与∠ACB的大小关系，并对结论进行论证。
初一数学平行线证明题 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
A C D F B E 1 2 平行线证明题 1.如图所示，已知下列条件不能判断l 1 ∥l 2的是（ ） A ．∠1=∠2 B ．∠3=∠4 C ．∠1=∠4 D ．∠4+∠5=180° 2.如图所示，已知DE ⊥AC 于点E ，BC ⊥AC 于点C ，FG ⊥AB 于点G ，∠BFG=∠ EDC ，求证：CD ⊥ AB 。 3.如图所示，点B 在DC 上，BE 平分∠ABD ，∠DBE=∠A ，则BE 与AC 有何种位置 关系为什么 4.如图所示，直线AB 、CD 被直线EF 所截，∠1=∠2，∠CNF=∠BME ，那么AB ∥CD ，MP ∥NQ ，请说明理由。 5.如图所示，已知∠1 =85，∠2 =85，∠3 = 125，求∠4与∠5的度数. 6如图所示，∠ABC=∠ACB,BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，∠DBF=∠F ，问CE 与DF 平行吗请给出理由。 7、如图， 填空： （1）∵ ∠2=∠B ∴ AB ∥______（ ） （2）∵ ∠1=∠A ∴ _____∥_____（ ） （3）∵_____∥_____ ∴ ∠1=∠D （ ） （4）∵ AC ∥DF ∴ _______+∠F=180°（ ） 8、完成推理过程并填写推理理由： 已知：如图BE 证明：∵ BE 、CF 分别平分∠ABC 和∠BCD ∴∠1=21∠ ∠2=21 ∠ （ ） ∵BE 2121 ∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的度数. 10、如图，AB ∥DE ，试问∠B 、∠E 、∠BCE 有什么关系并证明。 11、如图，已知：AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，∠1=∠2．求证：∠3 =∠B ． 12、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OB 平分∠EOD ，∠COE ＝100°，求∠AOD 和∠AOC 的度数． 13、如图，已知∠1=∠3，∠P =∠T 。求证：∠M =∠R ． 14已知∠B ＝∠BGD ，∠DGF ＝∠F ，求证：∠B ＋ ∠F ＝180°。 15、如图8，AB ∥DE ，∠1＝∠ACB ，AC 平分∠BAD ，(1) 试说明: AD ∥BC ．(2) 若∠B=80°，求：∠ADE 的度数。 A D C