指数函数的图象和性质
对数函数
（1）对数的运算性质：如果a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0，那么： ①N M MN a a a log log log +=； ②N M N
M
a a a log log log -=； ③)(log log R n M n M
a n
a ∈=。
（2）换底公式：)0,1
0,10(log log log >≠>≠>=
b c c a a a
b
b c c a 且且
点、直线、平面之间的位置关系
1．平面
平面的性质：公理1的作用“直线在平面上的依据”、公理2的作用“确定一个平面的依据，用其证明点、线共面”、公理3的作用“判定两个平面相交的依据，用其证明点在直线上——两平面的公共点一定在交线上”。 2．空间两直线的位置关系和异面直线的概念与画法
空间中两条直线有三种位置关系：相交、平行、异面。
相交的两条直线与平行的两条直线都是共面的，异面直线“不同在任何一个平面内”的不共面性，指这两条直线永远不具备确定平面的条件，因此，常用平面衬托法画两条异面直线，图1；
在两个平面内的两条直线可能是“相交直线、平行直线、异面直线”三种位置关系。图2
α
β
a
l
b
图 2
3．空间直线和平面的位置关系
直线与平面相交、直线在平面内、直线与平面平行
直线在平面外——直线和平面相交或平行，记作a ?α包括a ∩α=A 和a ∥α 4．空间平面与平面的位置关系
⑴平面与平面平行、平面与平面相交
⑵如果平面α∥β?α内任意直线a ∥β，即面面平行?线面平行。但任意直线a ?α、b ?β
不都有a ∥b ，即“面面平行?线线平行”是指平面α、β与第三个平面γ的两条交线平行
5．关于平行、垂直及异面直线所成的角
⑴定理“如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补”说明平移不改变角的大小，只改变角的顶点的位置。所以求异面直线所成的角，要先平移找角，后求角。
⑵若直线a ∥b ，b ∥c ?a ∥c （公理4）。
⑶垂直于同一个平面的所有直线（即平面的垂线）互相平行；
注意：
⑴若直线l ∥平面α，则l 与α 只与α内哪样的直线平行呢？ 图3 ⑵若直线l ⊥平面α，则l 与α b 一定与α内任意直线都垂直！图4
1. 直线的倾斜角和直线的斜率
⑴坐标平面内的直线都有倾斜角，且一条直线的倾斜角是唯一的，倾斜角的范围为[0°，180°）； 直线的斜率有存在和不存在两种：当直线的倾斜角θ≠90°时，存在斜率k ＝tan θ， 当直线的倾斜角θ＝90°时，不存在斜率。
⑵经过两个定点 P 1(x 1,y 1) , P 2(x 2,y 2) 的直线： 若x 1≠x 2，则直线P 1P 2 的斜率存在，
k=tan θ=
1
212x x y y --,若x 1＝x 2，则直线P 1P 2的斜率不存在，其倾斜角为900
。
2．直线方程的适用范围
⑴一般式Ax+By+C=0 (A 、B 不同时为0)：对坐标平面内的任何直线都适用 。
⑵点斜式Y- Y 0=k （X- X 0）、斜截式Y=kX+b 不能表示无斜率（垂直于x 轴）的直线.
⑶两点式
121y y y y --=1
21
x x x x --不能表示平行或重合于两坐标轴的直线.
⑷截距式
a x +b
y
=1不能表示平行或重合于两坐标轴的直线及过原点的直线 3．两条直线“平行或垂直”的判定
直线l 1∥l 2 或重合?倾斜角α1=α2?有斜率时k 1=k 2 ，或都无斜率；
直线l 1∥l 2 ?有斜率时k 1=k 2且y 轴上的截距不同，或都无斜率且x 轴上的截距不同；
直线l 1⊥l 2 ?有斜率时k 1×k 2=-1，或一条有斜率k 1=0另一条无斜率。 若11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++= 且若A 1、A 2、B 1、B 2都不为零。
①l 1//l 2?
1112
2
2
A B C A B C =≠； ②l 1⊥l 2? A 1A 2+B 1B 2=0； ③l 1与l 2相交?
112
2
A B A B ≠
； ④l 1与l 2重合?
1112
2
2
A B C A B C ==；
4．对称问题及中点公式
⑴若两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）关于直线l ：y=kx+b 对称： ①P 1P 2中点在l 上：
221y y +=k 2
2
1x x ++b ， ②P 1P 2⊥l ：1212x x y y --×k=-1
⑵若两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）关于点M （x 0，y 0）对称：M 是P 1P 2的中点（也叫中
心） x 0=
2
21x x + ，y 0= 22
1y y +
5．两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的距离公式│P 1P 2│=2
12212)()(y y x x -+-
两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的中点坐标公式M （
221x x +，2
2
1y y +） 6．点P （x 0，y 0）到直线Ax+By+C=0的距离公式d 1=
2
2
00B
A C
By Ax +++
平行直线Ax+By+C 1=0、Ax+By+C 2=0的距离公式d 2=
2
2
12B
A C C +-
1. 确定圆的三要素：圆心坐标a 、b 和半径r ；一般方程中D 、E 、F 且D 2
+E 2
-4F ＞0。
2. 直线与圆的位置关系的判定 圆心),(b a C
到直线的距离——圆心距d =
⑴若0d r 相交 ⑵若0d r =???=相切 ⑶若
0d r >???<相离
△法利用直线与圆的方程联立方程组22
Ax By C x y Dx Ey F ++=++++=???来判断和求解。 3. 经过一点M （x 0，y 0）作圆（x-a ）2+（y-b ）2=r 2
的切线
⑴点M 在圆上时，切线方程为（x 0-a ）（x-a ）+（y 0-b ）（y-b ）= r 2
⑵点M 在圆外时，有2条切线、2个切点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），方程（x 0-a ）（x-a ）+（y 0-b ）（y-b ）= r 2
不是切线方程，而是经过2个切点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的直线方程。
4. 直线被圆所截得的弦长公式
│AB │=22
2d r -（垂径分弦定理）
=]4))[(1(212212x x x x k -++=]4))[(11(212212y y y y k
-++
5. 圆与圆的位置关系
设两个大小不等的圆的圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，圆心距︱O 1O 2︱=d .则共有五种位置关系如下：
d ＞r 1+r 2 ?外离； d= r 1+r 2 ?外切；
︱r 1-r 2︱＜d ＜r 1+r 2 ?相交； d=︱r 1-r 2︱?内切； 0≤d ＜︱r 1-r 2︱?内含；
6. 空间直角坐标系，两点之间的距离公式
⑴ xoy 平面上的点的坐标的特征A （x ，y ，0）：竖坐标z=0
xoz 平面上的点的坐标的特征B （x ，0，z ）：纵坐标y=0
yoz 平面上的点的坐标的特征C （0，y ，z ）：横坐标x=0
x 轴上的点的坐标的特征D （x ，0，0）：纵、竖坐标y=z=0 y 轴上的点的坐标的特征E （0，y ，0）：横、竖坐标x=z=0 z 轴上的点的坐标的特征E （0，0
，z ）：横、纵坐标x=y=0
⑵│P 1P 2│=2
12212212-z z -y y -x x ）（）（）（++
1．任意角和弧度制
从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600
的角。在直角坐标系中，当角的终边确定时，其大小不一定（通常使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴非负半轴重合）。为了把握这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念，凡是与终边α相同的角，都可以表示成α+k ·3600
（k ∈Z ）的形式，特例，终边在x 轴上的角的集合为{α|α=k ·1800
，k ∈Z}，终边在y 轴上的角的集合为{α|α=900
+k ·18000
，k ∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合为{α|α=k ·900
，k ∈Z}。另外，角的终边落在第几象限，就说这个
角是第几象限的角。
弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。在弧度制下，扇形弧长公式 =|α|R ，扇形面积公式||R 2
1
R 21S 2α== ，其中α为弧所对圆心角的弧度数。 2．任意角的三角函数
利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角函数。设P(x ，y)是角α终边上任一点（与原点不重合），记22y x |OP |r +==，则r
y
sin =α，r x
cos =
α，x
y tan =α。 3．同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系：2
2
sin cos 1αα+= （2）商数关系：sin tan cos α
αα
= 4．三角函数的诱导公式
利用三角函数定义，可以得到诱导公式：即πα2
k
+与α之间函数值的关系（k ∈Z ），其规律是“奇变偶不变，符号看象限”。 5．函数()?ω+=x A y sin 的图象
作函数y A x =+sin()ω?的图象主要有以下两种方法： （1）用“五点法”作图
用“五点法”作y A x =+sin()ω?的简图，主要是通过变量代换，设?ω+=x z ，由z 取0，
2
π，π，23π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出
图象。
（2）用“图象变换法”作图
由函数y x =sin 的图象通过变换得到y A x =+sin()ω?的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。 法一：先平移后伸缩
y x y x =?→???????=+> ()() ||向左或向右平移个单位 ????00， 1sin y x ωω?????????→=+横坐标变为原来的倍 纵坐标不变 （） 法二：先伸缩后平移 y x =?→???????s i n 横坐标变为原来的倍 纵坐标不变1 ω 纵坐标变为原来的倍 横坐标不变 A y A x ?→???????=+sin() ω? y x y x =?→???????=+> ()()||ωω???? ω向左或向右平移个单位 00纵坐标变为原来的倍横坐标不变 A y A x ?→???????=+sin() ω? 可以看出，前者平移||?个单位，后者平移 ω ? 个单位。原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x 而言的。因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移的先后顺序，否则会出现错误。 当函数y A x =+sin()ω?（A>0，ω>0，x ∈+∞[)0，）表示一个振动量时，A 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间ω π 2= T ，它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数 ω π 21= = T f ，它叫做振动的频率；ω?x +叫做相位，?叫做初相（即当x ＝0时的相位）。 6．三角函数的图象与性质 1．平面向量的基本定理及坐标表示 （1）平面向量的基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e . （2）平面向量的坐标运算： 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差；一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。若 ),(),,(2211y x B y x A ，则AB =OB -OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)；实数与向 量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. （3）向量共线的两种判定方法：a ∥ｂ(0≠ b )12210x y x y λ?=?-= a b 。 2．平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义：已知两个非零向量a 与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫a 与ｂ的数量积，记作a ?b ，即有a ?b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）。并规定0与任何向量的数量积为0。注意：两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定. （2）向量的数量积的几何意义：数量积a ?b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积. （3）两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是单位向量； 1? e ?a = a ?e =|a |cos θ； 2? a ⊥b ? a ?b = 0； 3? 当a 与b 同向时，a ?b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ?b = -|a ||b |. 特别地a ?a = |a |2 或 ||=a 4? cos θ = |||| ?a b a b 5? |a ?b | ≤ |a ||b |。 1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下： sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ; tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ ±±= 对正切的和角公式有其变形：tan α＋tan β=tan(α+β)(1- tan αtan β)，有时应用该公式比较方便。这6个公式的联系为： 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下： sin 2sin cos ααα=. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-. 22tan tan 21tan α αα = -. 要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形， 2 2cos 1sin ,2 2cos 1cos 22 α -= αα +=α 这两个形式常用。 1、等差数列 （1）通项公式：a n =a 1+(n-1)d ，另外a n =a m +(n-m)d 反映了等差数列中任意两项的关系。 （2）常见的判定方法： ①a n+1-a n =d(常数)<=>{a n }是等差数列； ②2a n+1=a n +a n+2(n ∈N ※ ) <=>{a n }是等差数列； ③a n =kn+b(k 、b 为常数) <=>{a n }是等差数列。 （3）等差中项：若a 、A 、b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且A=2b a +。 （4）常用性质 若{a n }是公差为d 的等差数列。 ①若d ＞0，则{a n }是递增数列，若d ＜0，则{a n }是递减数列，若d=0,则{a n }是常 数列. ②d=m n a a n a a m n n --= --11(m 、n ∈N ※ ) ③若m+n=p+q(m 、n 、p 、q ∈N ※ )，则a m +a n =a p +a q ④等差数列中间隔相同的项仍成等差数列 ⑤若{a n }是等差数列，则s n 、s 2n -s n 、s 3n -s 2n 、…仍成等差数列且公差为n 2 d （5）前n 项和公式 ①s n = ;2 ) (1n a a n + ②s n =na 1+;2 ) 1(d n n - 2、等比数列： （1）通项公式：a n =a 1q n-1，另外 a n =a m q n-m 反映了等比数列中任意两项的关系。 （2）常见的判定方法 ① q a a n n =+1 （q 为常数）或,2(1≥=-n q a a n n n ∈N ※，q 常数）<=>{a n }是等比数列。 ②a 2 n+1=a n a n+2（n ∈N ※ ，a n ≠0）<=>{a n }是等比数列。 （3）等比中项 若a 、G 、b 成等比数列，则G 叫做a 与b 的等比中项，且G=ab ±。 （4）常用性质 若{a n }是公比为q 的等比数列。 ①若m+n=p+q （m 、n 、p 、q N ∈ ），则a n ·a n =a P ·a q ； ②等比数列中间隔相同的项仍组成等比数列。 ③若{a n }是等比数列，则s n 、s 2n -s n 、s 3n -s 2n …仍成等比数列，且公比为q n 。（当s n ≠0时） （5）前n 项和公式 ??? ?? ≠--= --==) 1(11)1()1(,111q q q a a q q a q na s n n n 通项a n 的求法一般有：（1）观察法；（2）公式法：若{a n }是等差数列，则a n =a 1+(n-1)d 或a n =a m +(n-m)d ；若{a n }是等比例，则a n =a 1q n-1或a n =a m q n-m 。（3）利用前n 项和： ?? ?≥-==-) 2()1(1 1 n s s n s a n n n ，（注意能否合并）。 若三个数成等差（比）数列，则可设为a-d ，a ，a+d （ aq a q a ,,）；若四个数成等差（比）数列，则可设为a-3d ，a-d ，a+d ，a+3d(33 ,,,aq aq q a q a )。 《指数函数的图象及其性质》教学设计 一、教学内容分析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A 版）第二章第一节第二课（2.1.2）《指数函数及其性质》。指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。 二、学生学习况情分析 指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用。教材在之前的学习中给出了两个实际例子（GDP的增长问题和炭14的衰减问题），已经让学生感受到指数函数的实际背景，但这两个例子背景对于学生来说有些陌生。本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。 三、教学目标 1、理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象； 2、在理解指数函数概念、性质的基础上，能应用所学知识解决简单的数学问题； 3、在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要； 4、同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。 四、教学重点与难点 教学重点：指数函数的概念、图象和性质。 教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 五、教学过程： （一）创设情景、提出问题(约3分钟) 师：如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备6粒米，4号同学准备8粒米，5号同学准备10粒米，……按这样的规律，51号同学该准备多少米？ 学生回答后教师公布事先估算的数据：51号同学该准备102粒米，大约5克重。 指数函数的图象和性质 一、指数函数的定义：形如),1,0(R x a a a y x ∈≠>=且的函数叫指数函数. 1、函数x a a a y )232(2 +-=是指数函数，则a 的值是________. 2、已知函数1 4)(-+=x a x f 的图象恒过定点P ，则P 的坐标是__________. 3、将三个数31 7 .02.0)3 2(,3.1,5.1-按从小到大的顺序排列. 4、作出下列函数的图象： （1）12-=x y （2）131+=-x y (3)12-=x y (4)12 -=x y 5、要得到x y 212 -=的图象，只需将函数x y )4 1(=的图象 A 、向左平移1个单位 B 、向右平移1个单位 C 、向左平移 21个单位 D 、向右平移2 1 个单位 6、已知1,10-<< §3.1 《指数函数的图像和性质》教学设计 一、教学指导思想与理论依据 通过学习新课标和新的教育理念，我深深感受到：在中学数学的教学过程中，不仅要重视让学生掌握知识，更应重视让学生经历数学知识的形成与应用过程；重视学习过程中的情感体验；重视培养学生自主探究，合作交流，勇于创新的意识和能力。以往那种教师说的多，强调的多，学生未必会记住；教师讲得精彩，学生未必能理解；学生做题多，未必正确率高。同时教学中应采用多种教学形式，多种教学手段进行，在适当的时候，合理的运用多媒体，能有益的辅助教学，提高课堂效率，丰富教学内容。 新课标的教育宗旨是：人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。这就要求在课程的设计中，要联系生活实际，联系学生已有的知识经验，学习内容要有层次。 二、教材分析： 本节课是北师大版高中《数学》必修1第三章第三节《指数函数》的内容。我将从以下两个方面对教材进行分析。 （一）教学内容的地位和作用分析: 《指数函数》是函数中的一个重要基本初等函数，是后续知识——对数函数（指数函数的反函数）的准备知识。而指数函数的图像和性质是学习指数函数的重要内容。通过这部分知识的学习进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识并体会研究函数较为完整的思维方法，特别是通过这部分的学习，对于学生进行数形结合、几何直观等重要的数学思想方法的渗透，有很大的促进作用，这些数学思想方法对于进一步探究对数函数、三角函数等有很强的引领作用。 （二）教材分析和教材处理： 教材在安排这一节内容时，共安排了三个课时，《指数函数的概念及指数函数x y 2=与 x y ?? ? ??=21的图象和性质》 、《指数函数的图像和性质（1）》、《指数函数的图像和性质（2）》第一课时侧重指数函数概念的理解以及两个具体的指数函数图像的认识，第二课时在第一课时基础上探究指数函数的性质及性质，第三课时侧重性质的应用。 我对教材内容进行了重新的整合与处理，这部分内容的重点在于学生根据图像研究指数函数的性质，难点在于性质的运用。性质的研究必须以具体的指数函数图像为载体，而列 §3.指数函数图像和性质 一、教材分析 教材的地位和作用 函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图象与性质。一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。 重难点分析 教学重点：指数函数的图像、性质及其简单运用 教学难点：指数函数图象和性质的发现过程，及指数函数图像与底的关系。 二、教学目标分析 知识目标：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像、性质及其简单应用能力目标：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类讨论思想以及从特殊到一般等学习数学的方法，增强识图用图的能力情感目标：通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质。 三、教法学法分析 教法分析 采用梳理—探究—训练的教学方法，充分利用多媒体辅助教学，通过学生的互动探究，教师点拨，启发学生主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受 学法分析 学生思维活跃，求知欲强，但在思维习惯上还有待教师引导；从学生原有知识和能力出发，在教师的带领下创设疑问，通过合作交流，共同探索，逐步解决问题。 四、教学过程分析 1.创设情景，形成概念 2.发现问题，探究新知 3.深入探究，加深理解 4.强化训练，巩固双基 5.小结归纳，拓展深化 6.布置作业，升华提高 讲 义 教材与考点分析： 本节课学习的内容是了解指数函数的图像及性质，函数是数学研究的主要对象，也是考试必然会涉及的知识点，我们必须从简单的函数出发，学好每一类基本初等函数。 考点1：分数指数幂 我们规定分数指数幂的意义： 负分数指数幂的意义： 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 考点2：有理数指数幂的运算性质 ),,0,0())(3(,))(2(, )1(Q s r b a b a ab a a a a a r r r rs s r s r s r ∈>>===?+ 考点3：指数函数及其性质 a>1 0 Ａ．()()()f xy f x f y = Ｂ．()()()f xy f x f y =+ Ｃ．()()()f x y f x f y += Ｄ．()()()f x y f x f y +=+ 第2题. 若11()()23 x x <，则x 满足（ ） Ａ．0x > Ｂ．0x < Ｃ．0x ≤ Ｄ．0x ≥ 第3题. 函数()x f x a =（0a >，且1a ≠）对于任意的实数x ，y 都有（ ） Ａ．()()()f xy f x f y = Ｂ．()()()f xy f x f y =+ Ｃ．()()()f x y f x f y += Ｄ．()()()f x y f x f y +=+ 第4题. 某工区绿化面积每年平均比上一年增长10.4%，经过x 年后的绿化面积成原绿化面积之比为y ，则()y f x =的图象大致为（ ） 第5题. 当0a >且1a ≠时，函数2()3x f x a -=-必过定点 ． 第6题. 函数()y f x =的图象与2x y =的图象关于x 轴对称，则()f x 的表达式为 ． 第7题. 当0x >时，函数()()21x f x a =-的值总大于1，则实数a 的取值范围是 ． 第8题. 求不等式2741(0x x a a a -->>，1)a ≠且中x 的取值范围． 第10讲 指数函数的图像及性质 一、学习目标 1．理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，掌握指数函数的性质 2．在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型. 掌握指数函数的性质及应用. 3. 逐步渗透数形结合的数学思想方法 二、重点难点 1.教学重点：利用函数的单调性求最值 2.教学难点：函数在给定区间上的最大(小)值 第一部分 知识梳理 讨论：12()2x x y y ==与的图象关于y 轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？ ②利用电脑软件画出11 5,3,(),()35x x x x y y y y ====的函数图 象. 864 2 -2 -4 -6 -8-5510 问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律. 8 6 4 2 -2-4 -6 -8-5 510 从图上看x y a =（a ＞1）与x y a =（0＜a ＜1）两函数图象的特征. 问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性. 3x y = 5x y = 13x y ??= ??? 15x y ?? = ??? 0 问题3：指数函数x y a =（a ＞0且a ≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系 图象特征 函数性质 a ＞1 0＜a ＜1 a ＞1 0＜a ＜1 向x 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R + 函数图象都过定点（0，1） 0a =1 自左向右， 图象逐渐上升 自左向右， 图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图 象纵坐标都大于1 在第一象限内的图 象纵坐标都小于1 x ＞0，x a ＞1 x ＞0，x a ＜1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于1 x ＜0，x a ＜1 x ＜0，x a ＞1 5．利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[,]x a b f x a 上,()=（a ＞0且a ≠1）值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或 （2）若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R; （3）对于指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1），总有(1);f a = （4）当a ＞1时，若1x ＜2x ，则1()f x ＜2()f x ； 例1：（P 66例7）比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.7 3 ( 2 )0.10.8-与0.20.8 - ( 3 ) 1.70.3 与 0.9 3.1 1、已知0.70.90.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 2. 比较1 132a a 与的大小（a ＞0且a ≠0）. x y d =的图象，判断,,,a b c d 与1的大小关系； 2、指数函数的图象及其性质 一、教学内容分析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第二章第一节第二课（2.1.2）《指数函数及其性质》。根据我所任教的学生的实际情况，我将《指数函数及其性质》划分为两节课（探究图象及其性质，指数函数及其性质的应用），这是第一节课“探究图象及其性质”。指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。 二、学生学习况情分析 指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用。教材在之前的学习中给出了两个实际例子（GDP的增长问题和炭14的衰减问题），已经让学生感受到指数函数的实际背景，但这两个例子背景对于学生来说有些陌生。本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。 三、设计思想 1.函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置。如何突破这个即重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望――持久的好奇心。我们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，以往的函数的学习大多只关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，是片面的。本节课，力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去。 2.结合参加我校组织的两个课题《对话——反思——选择》和《新课程实施中同伴合作和师生互动研究》的研究，在本课的教学中我努力实践以下两点： ⑴.在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。 ⑵.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。 3.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。 四、教学目标 根据任教班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是：理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象；在理解指数函数概念、性质的基础上，能 指数与指数函数图像及性质 【知识要点】 1．根式 （1）如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根.其中1>n ，且* ∈N n 。 （2）如果a x n =，当n 为奇数时，n a x =；当n 为偶数时，n a x ±=()0>a .其中n a 叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 其中1>n ，且* ∈N n 。 (3)() () *∈>==N n n a a n n n ,1, 00。 (4) ,||,a n a n ?=? ?为奇数 为偶数 其中1>n ，且*∈N n 。 2. 分数指数幂 (1)正分数指数幂的定义: n m n m a a =()1,,,0>∈>*n N n m a (2)负分数指数幂的定义: n m n m a a 1=- () 1,,,0>∈>* n N n m a (3) 要注意四点： ①分数指数幂是根式的另一种表示形式； ②根式与分数指数幂可以进行互化； ③0的正分数指数幂等于0； ④0的负分数指数幂无意义。 (4)有理数指数幂的运算性质: ①s r s r a a a +=?()Q s r a ∈>,,0； ② () rs s r a a =()Q s r a ∈>,,0； ③()r r r b a ab =()Q r b a ∈>>,,0,0. 3.无理数指数幂 (1)无理数指数幂的值可以用有理数指数幂的值去逼近; (2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。 4．指数函数的概念： 一般地，函数()0,1x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。 5．指数函数的图像与性质 第一课时 【典例精讲】 题型一 根式、指数幂的化简与求值 《指数函数的图像与性质》导学案 一、学习目标 1．理解并掌握指数函数的图像与性质. 2．会利用指数函数的图像与性质比较大小，解指数不等式。 二、教学重难点 教学重点：指数函数的图像与性质 教学难点：用数形结合的方法，从具体到一般的探索、概括指数函数的性质. 三、教学过程： （一）创设情境 1.复习： （1）一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为 . （2）指数函数解析式的特征：。 2.导入：一般来说，函数的图像与性质紧密联系，图像可反映函数的性质,所以我们今天学习指数函数的图像与性质。 （二）自主探究（学生通过自主学习完成下列任务） 1.用列表、描点、连线的作图步骤，画出指数函数x y2 =、 x y? ? ? ? ? = 2 1 的图像 2．通过图象，分析x y2 =、 x y? ? ? ? ? = 2 1 的性质（定义域、值域、单调性、特殊点） 3．比一比：x y 2=与y ?? ? ??=21的图象有哪些相同点，哪些不同点？ 4．画一画：在平面直角坐标系中画出函数3x y =、13x y ?? = ??? 的图像，试分析性质。 5．议一议：通过以上四个函数的图像和性质，归纳指数函数x a y =（1,0≠>a a 且） 的图象和性质如下： （三）典例精讲 类型一 两个数比较大小 类型二 解指数不等式 例2.1 32 x x >（）求使不等式4成立的的集合； 45 a a > （2）已知求数的取值范围. （四）当堂检测 1.课本第73页 练习1 1. 2.解下列不等式： 11 (1)3;81 x -> 1(2)4230.x x +--> （五）课堂小结 （1） 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ （2） 你学会了哪些数学思想方法？ （六）布置作业 必做题：课本77页，A 组.4,5,6 选做题：课本77页，B 组1，6. 四、教学反思 0.80.7-0.10.10.70.8 330.750.750.80.7.例1.比较下列各题中两个数的大小： （1） 和；（2） 和；（3） 与 指数函数的图象及其性质 一、教学内容分析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第二章第一节第二课（2.1.2）《指数函数及其性质》。根据我所任教的学生的实际情况，我将《指数函数及其性质》划分为两节课（探究图象及其性质，指数函数及其性质的应用），这是第一节课“探究图象及其性质”。指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。 二、学生学习况情分析 指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用。教材在之前的学习中给出了两个实际例子（GDP的增长问题和炭14的衰减问题），已经让学生感受到指数函数的实际背景，但这两个例子背景对于学生来说有些陌生。本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。 三、设计思想 1.函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置。如何突破这个即重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望――持久的好奇心。我们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，以往的函数的学习大多只关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，是片面的。本节课，力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去。 中同伴合作和师生互动研究》的研究，在本课的教学中我努力实践以下两点： ⑴.在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。 ⑵.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。 3.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。 四、教学目标 指数函数的图像与性质 一、教材分析 （一）教材的地位和作用 “指数函数”的教学共分三个课时完成，第1课时为指数函数的概念，具体指数函数的图像和性质；第2课时为指数函数的图像和性质及简单应用；第三课时为指数函数的性质应用。本课时主要通过对指数函数图像的研究归纳其性质，并进行简单的应用。“指数函数”是函数中的一个重要基本初等函数，是后续知识——对数函数（指数函数的反函数）的准备知识。通过这部分知识的学习进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识并体会研究函数较为完整的思维方法，此外还可类比学习后面的其它函数。（二）教学目标 1、知识目标： i会做指数函数的图像； ii能归纳出指数函数的几个基本性质； iii会进行指数函数性质的简单应用。 2、能力目标： 通过由指数函数的图像归纳其性质的学习过程，培养学生探究、归纳分析问题的能力。 3、情感目标： 通过探究体会“数形结合”的思想；感受知识之间的关联性；体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习过程；体验研究函数的一般思维方法。（三）教学重点和难点 1、重点：指数函数的性质和图像。 2、难点：指数函数性质的归纳。 二、教法分析 （一）教学方式 直接讲授与启发探究相结合 （二）教学手段 借助多媒体，展示学生的做图结果；演示指数函数的图像 三、教学基本思路： 1、引入 1）复习指数函数概念 2）回忆指数函数图像的画法 2、探究指数函数的性质 1）研究指数函数的图象 2）归纳总结指数函数的性质 3、指数函数性质的简单应用 4、巩固练习 5、小结 6、作业布置 1、探究指数函数的性质从“数”的角度用解析式不易解决，转而由“形”——图象突破，体会数形结合的思想。通过研究几个具体的指数函数引导学生通过观察图象发现指数函数的图象规律，从而归纳指数函数的一般性质，经历一个由特殊到一般的探究过程。让学生在研究出指数函数的一般性质后进行总结归纳函数的其他性质，从而对函数进行较为系统的研究。 2、进行一些巩固练习从而能对函数进行较为基本的应用。 百度文库- 让每个人平等地提升自我 学习内容： 2.1.2指数函数的图像和性质导学案 学科：数学编写：高一数学组马玲 班级姓名 【课程学习目标】 （一）【知识技能目标】 1.了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系； 2.理解指数函数的概念和意义； 3.能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质； 4.能简单应用概念、图像和性质解题。 （二）【过程与方法】 学习过程：引→探→导→学→议→练→延。 自主探究指数函数的概念、意义、图像和性质，培养学生观察分析、探索归纳能力，并 在此鼓励学生积极思考，大胆猜想，培养学生自主学习能力和创新意识。 学习方法：阅读自学导引，小组合作探究，小组交流展示，群体质疑，小组归纳提 练，拓展延伸。 （三）【情感与态度价值观】 通过各学习小组对本节内容的自主探索，合作研讨，培养学生的积极探索新知的激情， 培养学生倾听，学会学习，学会合作，学会交流，展示，归纳总结的能力，提高学生学习数 学的兴趣。 【教学重点及难点】 【教学重点】指数函数的概念、图像和性质 【教学难点】指数函数图像、性质的熟念掌握及简单应用 教学过程： 第一学习时间新知预习 -----不看不讲（自主学习） 【学习情境构建】（创设情境，引入课题：）实例： A ．细胞分裂时，第一次由 1 个分裂成 2 个，第 2 次由 2 个分裂成 4 个，第 3 次由 4 个分 裂成 8 个，如此下去，如果第x 次分裂得到y 个细胞，那么细胞个数y 与次数 x 的函数关系 式是什么？ B：一把长为1的尺子，第1次截去它的一半,第2次截去剩余部分的一半，第 3 次截去第 2 次剩余部分的一半，····· · ，依次截下去,问截的次数x 与剩下的尺子长度y 之 间的关系？ 观察归纳两个函数式的共性： 再由具体到一般的思想可做怎样的延伸拓展？抽象出怎样的函数？图像怎样？性质怎样？ 带着问题请大家阅读教材P54-58 并完成以下问题。 【读记材料交流】（读、看、填、练交互进行）（概念形成） ●探究点（一）指数函数的定义 （1）一般地，函数叫做指数函数（exponential function），其中x是 指数函数的图像及性质教学设计 2、指数函数的图象及其性质 一、教学内容分析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第二章第一节第二课（2.1.2）《指数函数及其性质》。根据我所任教的学生的实际情况，我将《指数函数及其性质》划分为三节课（探究图象及其性质，指数函数及其性质的应用），这是第一节课“探究图象及其性质”。指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。 二、学生学习况情分析 指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用。教材在之前的学习中给出了两个实际例子（GDP的增长问题和炭14的衰减问题），已经让学生感受到指数函数的实际背景，但这两个例子背景对于学生来说有些陌生。本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。 三、设计思想 1.函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置。如何突破这个即重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望――持久的好奇心。我们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，以往的函数的学习大多只关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，是片面的。本节课，力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去。 2.结合参加我校实际，在本课的教学中我努力实践以下两点： （1）.在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。 （2）.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。 （3）.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。 四、教学目标 第10讲指数函数的图像及性质 一、学习目标 1．理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，掌握指数函数的性质 2．在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。掌握指数函数的性质及应用。 3. 逐步渗透数形结合的数学思想方法 二、重点难点 1。教学重点：利用函数的单调性求最值 2.教学难点：函数在给定区间上的最大（小）值 第一部分知识梳理 讨论: 1 2() 2 x x y y == 与的图象关于y轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？ ②利用电脑软件画出 11 5,3,(),() 35 x x x x y y y y ====的函数图象. 问题：1：从画出的图象中,你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律。 从图上看x y a =（a＞1）与x y a =（0＜a＜1）两函数图象的特征。 问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性。 问题3：指数函数x y a =（a＞0且a≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系x 5．利用函数的单调性，结合图象还可以看出： (1）在[,]x a b f x a 上,()=（a ＞0且a ≠1）值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或 （2)若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R; （3）对于指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1），总有(1);f a = （4)当a ＞1时，若1x ＜2x ，则1()f x ＜2()f x ； 例1：（P 66例7）比较下列各题中的个值的大小 （1)1.72。5 与 1.7 3 ( 2 ）0.10.8-与0.20.8 - （ 3 ) 1。70。3 与 0.93。1 1、已知0.70.90.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c 。 2。 比较1 132a a 与的大小（a ＞0且a ≠0）。 x y d =的图象,判断,,,a b c d 与1的大小关系； 指数函数的图像与性质教学设计 一、教材分析 （一）教材的地位和作用 本课时主要学习指数函数的概念，通过图像的研究归纳其性质。“指数函数”是函数中的一个重要基本初等函数，是后续知识——对数函数（指数函数的反函数）的准备知识。通过这部分知识的学习进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识并体会研究函数较为完整的思维方法，此外还可类比学习后面的其它函数。 （二）教学目标 知识维度：初中已经学习了正比例函数、反比例函数和一次函数，并对一次函数、二次函数作了更深入研究，学生已经初步掌握了研究函数的一般方法，能够从初中运动变化的角度认识函数初步转化到从集合与对应的观点来认识函数。 能力维度：学生对采用“描点法”描绘函数图象的方法已基本掌握，能够为研究指数函数的性质做好准备。 素质维度：由观察到抽象的数学活动过程已有一定的体会，已初步了解了数形结合的思想。 1、知识与技能目标： （1）掌握指数函数的概念（能理解对a的限定以及自变量的取值可推广至实数范围）；（2）会做指数函数的图像； (3)能归纳出指数函数的几个基本性质。 2、过程与方法目标： 通过由指数函数的图像归纳其性质的学习过程，培养学生探究、归纳分析问题的能力。 3、情感态度与价值观目标： （1）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题 (2)通过教学互动促进师生情感，激发学生的学习兴趣，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力通过探究体会“数形结合”的思想；感受知识之间的关联性；体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习过程；体验研究函数的一般思维方法。 （三）教学重点和难点 教学重点：指数函数的图象和性质。 教学难点：指数函数的图象性质与底数a的关系。 教学关键：从实际出发，使学生在获得一定的感性认识和基础上，通过观察、比较、归纳提高到理性认识，以形成完整的概念；在理解概念的基础上充分结合图象，利用数形结合来扫清障碍。 课时安排：1课时 二、学情分析 学生已有一定的函数基本知识、可建立简单的函数关系，为以函数关系的建立作为本节知识的引入做了知识准备。此外，初中所学有理数范围内的指数相关知识，将已有知识推广至实数范围。在此基础上进入指数函数的学习，并将所学对函数的认识进一步推向系统化。 三、教法分析 （一）教学方式 直接讲授与启发探究相结合 （二）教学手段 指数函数及其图像和性质教学设计 指数函数及其图像和性质 教 学 设 计 《指数函数及其图像和性质》信息化教学设计 一、教材分析 《指数函数及其图像和性质》取材于中等职业教育课程改革国家规划新教材数学（基础模块）上册第四章第二节。函数是整个高中数学学习的重点的难点，函数思想贯穿在整个高中数学之中。本节课是在学生已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上进一步研究指数函数以及指数函数的图像与性质。它一方面可以进一步深化学生对函数的理解，使学生得到较系统的函数知识和研究函的方法，另一方面也为学习对数函数、三角函数以及等比数列的学打习下坚实的基础。本节课的内容在知识体系上起到承上启下的作用。在实际生活中应用也非常广泛。 教学目标分析 1、知识目标：理解并掌握指数函数的定义，熟悉指数函数的图像特点及其性质。能画出指数函数的简图，会判断指数函数的单调性，并能根据指数函数的单调性判断同底幂的大小。 2、能力目标：一方面培养学生运用信息技术解决数学问题的能力；另一方面提高学生观察分析、类比归纳和问题探究能力。 3、情感目标：通过主动探究，合作交流学习，使学生养成积极思考，勇于探索的思想，同时培养学生的团队合作精神。 达成目标所需要的的认知基础 １、了解实数指数幂的意义，能进行实数指数幂的运算。 ２、理解函数解析式与函数图象的关系； ３、掌握了函数的作图方法及函数性质的讨论方法； ４、能使用Ｅxcel软件 ５、数形结合的函数思想方法。 二、学情分析 1授课对象：中职一年级旅游管理班学生 学生已有认知基础 （1）知识方面：对函数的研究内容和方法有一定基础。 （2）技能方面：能用描点法画函数的图象。已掌握了Excel软件的基本使用方法。 （3）数学素养方面：对数形结合的思想方法有了一定的了解 学生存在的消极因素： ?数学基础较差 ?理解、运用能力弱 ?学习数学信心不足，学习兴趣不高。 教学的重点和难点和关键 重点：指数函数的概念、图像及其性质。 难点：指数函数性质的运用。 关键：指数函数图像 重、难点突破策略： 采用数形结合的方法，根据从特殊到一般的认知规律，通过学生独立学习与团队协作相结合逐步加深学生对指数函数的图像和性质的理解，达到将感性认知上升为理性认识的高度，从而突破本节课的重点。 3.1.2指数函数及其性质教学设计 一、教学目标： 知识与技能：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力。 过程与方法：通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。 情感态度与价值观：在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 二、教学重点、难点： 教学重点：指数函数的概念、图象和性质。指数函数是在学生系统学习了函数概念,基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的,它是重要的基本初等函数之一。作为常见函数,它既是函数概念及性质的第一次应用,也是今后学习对数函数的基础；同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,所以指数函数应重点研究。 教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。指数函数是学生完全陌生的一类函数, 对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的难题。 三、学情分析： 学生已经学习了函数的知识，，指数函数是函数知识中重要的一部分内容，学生若能将其与学过的正比例函数、一次函数、二次函数进行对比着去理解指数函数的概念、性质、图象，则一定能从中发现指数函数的本质，所以对已经熟悉掌握函数的学生来说，学习本课并不是太难。 学生通过对高中数学中函数的学习，对解决一些数学问题有一定的能力。通过教师启发式引导，学生自主探究完成本节课的学习。 高一学生的认知水平从形象向抽象、从特殊向一般过渡，思维能力的提高是一个转折期，但是，学生的自主意识强，有主动学习的愿望与能力。有好奇心、好胜心、进取心，富有激情、思维活跃。 四、教学内容分析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教B版）第二章第一节第二课（3.1.2）《指数函数及其性质》。根据我所任教的学生的实际情况，我将《指数函数及其性质》划分为两节课（探究图象及其性质，指数函数及其性质的应用），这是第一节课“探究图象及其性质”。指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不 2017-2018学年度第一学期数学导学案 编号：014（A ） 班级： 姓名： 学习小组： 层级编码： 组内评价： 教师评价： 第一页 第二页 指数函数的概念、图像与性质（一） 【学习目标】 1.由实例中的解析式概括出指数函数的概念； 2.会画指数函数)10(≠>=a a a y x 且的图像； 3.画出x y 2=和x y )21(=，x y 3=和x y )3 1(=的图像，并能说出图像的几何特征； 4.根据四个图像的几何特征，能说出其数量特征，并能归纳出一般指数函数的性质； 5.会用指数函数的性质比较大小、解不等式； 6.通过对指数函数性质的探究进一步体会从特殊到一般、数形结合数学方法在研究数学问题中的应用． 【重点难点】 重点：由指数函数的图像归纳性质及性质应用． 难点：指数函数单调性的应用． 【学法指导】 一般来说，函数与图像紧密联系，图像反映函数的性质。研究指数函数图像与性质思路是：画出 图像，通过图像发现并归纳性质（定义域、值域、特殊点、单调性、奇偶性）． 【问题导学】 一、指数函数概念 1． （填一填） 问题1：细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个（即1 2），第2次由2个分裂成4个（即2 2）， 第3次由4个分裂成8个（即 ），如此下去，如果第x 次分裂得y 个细胞，那么细胞个数y 与 次数x 的函数关系式是 ． 问题2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”请你写出截取x 次后，木 棰剩余量y 关于x 的函数关系式是 ． 分析问题1 和问题2所列的函数解析式,得出指数函数的概念 ． 思考：在函数 x y a =（a ＞0且a ≠1）中为什么规定a ＞0且a ≠1呢？ 2．（辨一辨） （1）下列函数是指数函数的序号为 ． ①x y ? ? ? ??=51 ②25x y =? ③2x y = ④23-=x y ⑤x y 4-= ⑥x y )14.3(-=π ⑦1 2 -=x y ⑧(2)x y =- ⑼(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） （2）已知函数x a a a y ?+-=)33(2是指数函数，则=a 二、探究指数函数性质 1．（算一算）完成表格： 2．（画一画）在图1中画出x y 2=和x y )2(=的图像，在图2中画出x y 3=和x y )3 (=图像． 图1 图2 3．（比一比） 观察图1和图2中的4个函数的几何特征完成下表： 指数函数图像和性质及经典例题 【基础知识回顾】 一、指数公式部分 有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． 正数的分数指数幂的意义 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 二、指数函数 1.指数函数的概念:一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2.指数函数的图象和性质 1．在同一坐标系中画出下列函数的图象： （1）x )31(y = （2）x )2 1 (y = （3）x 2y = （4）x 3y = （5）x 5y = 【指数函数性质应用经典例题】 例1．设a 是实数，2 ()()21 x f x a x R =- ∈+，试证明：对于任意,()a f x 在R 上为增函数． 证明：设1212,,x x R x x ∈<，则 12()()f x f x -1 222()()2121 x x a a =- --++ 21222121 x x = - ++ 121 22(22)(21)(21) x x x x -=++， 由于指数函数2x y =在R 上是增函数， 且12x x <， 所以1222x x < 即12 22 0x x -<， 又由20x >， 得1 1 20x +>，2120x +>， ∴12()()0f x f x -<指数函数的图象及其性质教学设计
指数函数的图象和性质
3.1《指数函数的图像和性质》教学设计
指数函数图像与性质的教案
指数函数的图像及性质
指数函数的图像及性质知识要点
1指数函数的图象及其性质
指数与指数函数图像及性质(教师版)
《指数函数图像及其性质》导学案
指数函数的图象及其性质
《指数函数的图像和性质》教案
指数函数的图像和性质导学案.doc
指数函数的图像及性质
指数函数的图像及性质知识要点
指数函数的图像与性质-教学设计
指数函数及其图像和性质
指数函数的图像和性质
指数函数的概念、图像与性质(一)(A)
指数函数图像和性质及经典例题
相关主题
文本预览