试题
__2009___年~__2010___年第 一学期
课程名称： 数值分析 专业年级： 2009级（研究生） 考生学号： 考生姓名： 试卷类型： A 卷 √ B 卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □
………………………………………………………………………………………………………
一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -????=--????-??，233x ??
??=??
????
，则1A ＝ ，1x = 。 4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？
2. 什么是不动点迭代法？()x ?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点？
3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说
明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：
i x 1 2
3 i y 2
4 12 i y '
3
并估计误差。（10分）
四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1
01
1I dx x
=+?
。
（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：
1232
5610413191963630
x x x -????????????-=??????
??????----?????? （10分） 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组1231231
23202324
812231530
x x x x x x x x x ++=??
++=??-+=? 的迭代格式，并
判断其是否收敛？（10分）
八．就初值问题0(0)y y
y y λ'=??=?考察欧拉显式格式的收敛性。（10分）
《数值分析》（A ）卷标准答案
（2009－2010－1）
一． 填空题（每小题3分，共12分） 1. ()1200102()()
()()
x x x x l x x x x x --=
--； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
1. 解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。 （4分）
对于对称正定阵 A ，从2
1
i
ii ik k a l ==
∑
可知对任意k ≤ i 有||ik ii l a ≤。即 L 的元素不会增大，误差可控，不需选主元，所以稳定。 （4分） 2. 解：（1）若()*
*x
x ?=，则称*x 为函数()x ?的不动点。 （2分）
（2）()x ?必须满足下列三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于
()x ?的不动点：
1）()x ?是在其定义域内是连续函数； （2分）
2）()x ?的值域是定义域的子集； （2分） 3）()x ?在其定义域内满足李普希兹条件。 （2分）
3.解：参照幂法求解主特征值的流程 （8分） 步1：输入矩阵A ，初始向量v0，误差限ε，最大迭代次数N; 步2：置k:=1,μ:=0，u0=v0/||v0||∞; 步3：计算vk=Auk-1; 步4：计算
并置mk:=[vk]r, uk:=vk/mk;
步5：若|mk- μ |< ε，计算，输出mk,uk ；否则，转6； 步6：若k 2376,p x x x =-+（3分） 再设()()()()()32123p x p x K x x x =+--- （3分） 2K = （1分） ()3 2 329156p x x x x =-+- （1分） （2）()()()()()()2 4311234! R x f x x x ξ= --- （2分） 四．解：应用梯形公式得()()11 012 I I f f ≈=+???? （2分） 0.75= （1分） 应用辛普森公式得：()()21104162I I f f f ? ??? ≈= ++ ??? ???? （2分） 0.69444444= （1分） 应用科特斯公式得： ()()41113703212327190424I I f f f f f ? ??? ?? ?? ≈= ++++ ? ? ??????????? （2分） 0.6931746= （2分） 五．解：由零点定理，cos 0x x -=在(0, )2 π 内有根。 （2分） 由牛顿迭代格式1cos 0,1,......1sin n n n n n x x x x n x +-=-=+ （4分） 取04 x π = 得， [][]1max ;k k r i i n v v ≤≤= 12340.73936133;0.739085178 0.7390851330.739085133 x x x x ==== （3分） 故取*40.739085133x x ≈= （1分） 六．解：对系数矩阵做三角分解： 1112 1321222331323325610 0413********u u u l u u l l u -?????? ??????-=????????????---?????? （2分） 125621373414A LU -???? ????=-=????????-???? （4分） 若Ly b =，则12310,1,4y y y ==-=； （2分） 若Ux y =，则(3,2,1)T x =。 （2分） 七．解：（1）对于方程组，雅可比方法的迭代矩阵为 00.50.51010.50.50B -????=--?????? （2分） 其特征多项式为()2 det() 1.25I B λλ λ -=+，且特征值为 1230, 1.25, 1.25i i λλλ===- （2分） 故有() 1.251B ρ=>，因而雅可比迭代法不收敛。 （1分） （2）对于方程组，Gauss-Seidel 迭代法迭代矩阵为 00.50.500.50.5000.5B -????=--????-?? （2分） 其特征值为1230,0.5λλλ=== （2分） 故有()0.51B ρ=<，因而雅可比迭代法收敛。 （1分） 八．证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分） 1. 证：该问题的精确解为0()x y x y e λ= （2分） 欧拉公式为1(1)i i i i y y h y h y λλ+=+=+ （2分） 对任意固定的i x x ih ==， 有/1/00(1)[(1)]i i x h x h i y y h y h λλλλ=+=+， （2分） 则0()i x i y e y x λ= （1分） 2.证：牛顿迭代格式为125,0,1,2, 66n n n x a x n x += + = （3分） 因迭代函数为()25,66x a x x ?=+而()35,63a x x ?'=+又*3x a =， （2分） 则 ()() 3 3 3 5 1 06 2 3 a a a ?' =+= ≠。 故此迭代格式是线性收敛的。 （2分） 《数值分析》参考解答 三．计算题（每小题7分，共42分）： 1. 设 x e x f =)(, 试构造基函数求)(x f 的2次插值多项式 )(2x P ,满足: )1()1(),0(')0('),0()0(222f P f P f P ===. 解 设)(2x P 的基函数为)(),(),(010x x x βαα，则它们满足下列关系 （1分） x 0 1 x 0 )(2x P 1 e )('2x P 1 ) (0x α 1 0 )(' 0x α 0 )(1x α 0 1 )('1x α 0 ) (0x β0 0 )('0x β 1 （2分） (1) 令002 00)(c x b x a x ++=α，则有?????===++===0 )0(0)1(1 )0(0' 0000000b c b a c ααα, 即1,0,1000==-=c b a . 所以1)(2 0+-=x x α. 或由0)1(0=α，先得))(1()(0l kx x x +-=α. 再由1)0(0=α，得1=-l ，即1-=l . 由1)0(0 ='α，得0=-k l ，即1-==l k . 所以1)1)(1()(2 0+-=+--=x x x x α. （1分） (2) 令112 11)(c x b x a x ++=α，则有?????===++===0 )0(1)1(0 )0(1' 1111111b c b a c ααα, 即0,0,1111===c b a . 所以2 1)(x x =α. 或由0)0()0(1 1='=αα,先得2 1)(kx x =α. 再由1)1(1=α，得1=k . 所以2 1)(x x =α. （1分） (3) 令222 20)(c x b x a x ++=β，则有?????===++===1 )0(0)1(0 )0(2' 0222020b c b a c βββ， 即 0,1,1222==-=c b a . 所以x x x +-=2 0)(β 或由0)1()0(00==ββ,先得)1()(0-=x kx x β. 再由1)0(0=' β，得1=-k ，即1-=k . 所以x x x x x +-=--=2 0)1()(β （1分） 最后得 1)2()()0()()1()()0()(2 0'102++-=++=x x e x f x f x f x P βαα. （1分） 2. 求 x x x x f ++=2 323)( 在区间 [-1,1] 上的２次最佳一致逼近多项式; 解 设所求的2次最佳一致逼近多项式为)(*2x P . 令)]()([3 1 )(*2x P x f x Q -=. （2分） 则)(x Q 的首项系数为1, 并且当)(2 1)]()([31)(32* 2x T x P x f x Q =-=时, )(x Q 与0的偏 差最小, 即)(x f 与)(* 2x P 的偏差最小. （2分） 因为]1,1[-上的3次切比雪夫Chebyshev 多项式为x x x T 34)(3 3-=. （1分） 所以x x x x x x x x T x f x P 4 13 2)493(23)(43)()(23233* 2+=--++=- =. （2分） 3．利用龙贝格公式计算定积分(计算到1R 即可)： ? -+7 1 .2dx x 解 ]7,1[,2)(-∈+=x x x f ，16)]7()1([2 ) 1(71=+---= f f T , （1分） 94428.16548)3(28 2112=?+=+=f T T , 22774.17)73(247214.8)]5()1([2 4 2124=+?+=++=f f T T , )]6()4()2()0([2 2 2148f f f f T T ++++= 30599.178********.8=++++=, （2分） 25904.173134121=-=T T S ,32223.1731 34242=-=T T S , 33207.173 1 34484=-=T T S , （2分） 32644.171511516121=-=S S C , 33273.1715 1 1516242=-=S S C , 33283.1763 16364121=-=C C R .(2分) 4．利用改进的尤拉方法求解常微分方程初值问题：（要求取步长2.0=h 计算） 解 令x y y x f +=),(，则改进的尤拉公式为： ))],(,(),([21n n n n n n n n y x hf y h x f y x f h y y ++++=+ （2分） 22)2(2)2(12h x h h y h h n n +++??? ?? ?++=. （2分) 取2.0=h 得，02.022.022.11++=+n n n x y y . （1分) 计算结果如下： x y 1 1 1.2 1.46 1.4 2.0652 1.6 2.84754 （2分) 5．用牛顿法求方程 023)(3 =--=x x x f 在 30=x 附近的根（只要求迭代２步）。 解 牛顿迭代公式为：) () (' 1n n n n x f x f x x - =+ （2分) ) 1(32 2 ---- =n n n n x x x x . （2分) 取迭代初值为30=x ，则迭代结果如下表所示： ?? ?=≤≤+='. 1)1() 6.11(y x x y y T S C R n=1 16 1 7.25904 17.32644 17.33283 n=2 16.94428 17.32223 17.33273 n=4 17.22774 17.33207 n=8 17.30599 （3分） 6．写出解如下线性方程组的高斯－塞德尔迭代公式，并讨论其收敛性。如果不收敛，则应怎样处理才能得到收敛的高斯－塞德尔迭代公式？ ?? ?=+=-. 123, 0322121x x x x 解 2332A -?? =????,2002D ??=????,0030L ??=-????,0300U -??=-????,?? ????=10b . （1分） 则 () 1 1 2020132324D L --????-==????-???? , （1分） 得 () 1 2003061132000944G D L U -??????=-==??????--?????? , （1分） ()1 200011321244f D L b -??????=-==??????-?????? , （1分） () ()() 1600419024k k k X GX f X +? ???????=+=+?????? -?????? 为高斯-塞德尔迭代公式. （1分） 这时G 的2个特征值为129 ,04 λλ=- =,故()1G ρ>，迭代法不收敛. （1分） 若原方程 1212230321x x x x -=??+=?改写成为 1212321230x x x x +=??-=?, 这时3223A ?? =??-?? 是严格对角 优势矩阵，则由此得到的迭代法必收敛. （1分） 四．证明题(每小题9分,共18分)： 1. 证明本试卷第三大题（即计算题）第１小题的插值余项： )1(6)()()(222-=-=x x e x P x f x R ξ)10(<<ξ, 并有误差估计.8 1 |)(|2≤x R 证：方法一：因为()()22()R x f x P x =-，则0,1是()2R x 的零点且0为二重的, (1分) 于是可设()()2 2()1R x k x x x =??-，令[]2 2()()()()(1),0,1t f t P t k x t t t φ=---∈ (2分) n n x 0 3 1 2.33333 2 2.05555 则()t φ有4个零点:0,0,1,x ,连续使用三次罗尔定理,则()0,1,ξ?∈使''' ()0φξ=, (2 分) 即'''''' ()()()3!0()3!6 f e f k x k x ξ ξξ-?=?= =, 得()()2216e R x x x ξ=??-. (2 分) 方法二: 设2 222 ()()()()()(1)(1) f x P x t f t P t t t x x φ-=----, 则()t φ有3个零点0,1,x , (1分) '()t φ有2+1个零点,。'''()t φ有一个零点，所以''''''22()() 0()()3!(1) f x P x f x x φξξ-==- - (2 分) '''22()() ()3!(1) f x P x f x x ξ-= - (2 分) ''2 2211()()()(1)(1)66 f x P x f x x x e x x ξ-=-=-， 即()()2216e R x x x ξ=??-. (2 分) 最后()()()2 2223(1)1||11166628 e e x x R x x x x x x ξ+-????=-≤-≤?? 分) 2．证明: 求积公式 )5 3 (95)0(98)53(95)(1 1 f f f dx x f ++-≈ ? -恰有5次代数精度. 证：当()1f x =时，1 1()f x dx -?1 1 1()2d x -==?， 53853585 ()(0)()1(0)1295995999 f f f f -++=?++?=; (1分) 当()f x x =时， 1 21 1 11 1 ()()02x f x dx xd x ---?? ===??????, 5385353853 ()(0)()()(0)()09599595995 f f f f -++=-++=; (1分) 当2 ()f x x =时，1 31 1 211 12()()33 x f x dx x d x ---??===??????, 2253853538532 ()(0)()()(0)()95995959953 f f f f -++=-++=; (1分) 当3 ()f x x =时， 1 1 31 1 ()()0f x dx x d x --==? ?, 335385353853 ()(0)()()(0)()09599595995 f f f f -++=-++=; (1分) 当4 ()f x x =时， 1 51 1 411 12()()55 x f x dx x d x ---??===??????, 4453853538532()(0)()()(0)()95995959955 f f f f -++=-++=; (1 分) 当5 ()f x x =时， 1 1 51 1 ()()0f x dx x d x --==? ?, 555385353853 ()(0)()()(0)()09599595995 f f f f -++=-++=. (1 分) 即求积公式对次数不超过5的多项式准确成立, 但当6 ()f x x =时， 1 7 1 1 611 1 2()()77x f x dx x d x ---??===??????, 6653853538536 ()(0)()()(0)()959959599525 f f f f -++=-++=, 不成立. (2 分) 综之，求积公式具有5次代数精度. (1 分) 数值分析试题1 1. 已知325413.0,325413* 2* 1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知,n=6 5.01021 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620* 21021,6,0,10325413.0-?=-=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?????=001A 220 - ???? ?440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=001A A T 420 ?? ?? ? -420?????001 220 - ?????440=?????001 080 ???? ?3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设3 2 )()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2 解： ①Newton 迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：? ??=13A ???22，?? ? ???-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0,1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收 敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --? ??--=-=ααααα21231A I B 2分 其特征方程为 0) 21(2)31(=----= -αλα ααλλB I 2分 即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)( 5. 设方程Ax=b ，其中?????=211A 212 ?? ?? ?-112，??????????=765b 试讨论解此方程的Jacobi 迭代法的收 敛性，并建立Gauss-Seidel 迭代格式 （9分） 解： U D L A ++= ?? ???--=+-=-210 )(1U L D B J 202-- ? ????-012 3分 0,03213=====-λλλλλJ B I 2分 即10)(<=J B ρ，由此可知Jacobi 迭代收敛 1分 Gauss-Seidel 迭代格式： ?? ???--=--=+-=++++++)1(2)1(1)1(3) (3)1(1) 1(2 ) (3)(2)1(12276225k k k k k k k k k x x x x x x x x x （k=0,1,2,3……） 3分 6. 用Doolittle 分解计算下列3个线性代数方程组：i i b Ax =（i=1,2,3）其中 ?????=222A 331 ?????421，23121,,974x b x b b ==???? ? ?????= （12分） 解： ①11b Ax = ?????222 331 ?????421???? ??????=9741x A=?? ???111 110 ????? 100?????002 021 ???? ? 211=LU 3分 由Ly=b1，即?? ???111 110 ?????100y=??????????974 得y=????? ?????234 1分 由Ux1=y ，即?????002 021 ?????211x1=??????????234 得x1=???? ? ?????111 2分 ②22b Ax = ?????222 331 ?????421x2=???? ? ?????111 由Ly=b2=x1，即?? ???111 110 ?????100y=??????????111 得y=????? ?????001 1分 由Ux2=y ，即?????002 021 ?????211x2=??????????001 得x2=?? ?? ? ?????005.0 2分 ③33b Ax = ?????222 331 ?????421x3=???? ? ?????005.0 由Ly=b3=x2，即?? ???111 110 ?????100y=??????????005.0 得y=????? ?????-05.05.0 1分 由Ux3=y ，即?????002 021 ?????211x3=??????????-05.05.0 得x3=???? ? ?????-025.0375.0 2分 7. 已知函数y=f(x)有关数据如下： 要求一次数不超过3的H 插值多项式，使 '11' 33)(,)(y x H y x H i i == （6分） 解： 作重点的差分表，如下： 3分 2 1021101011001003))(](,,,[))(](,,[)](,[][)(x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x H --+--+-+= =-1+(x+1)-x(x+1)+2x.x(x+1) =2 3 2x x + 3分 8. 有如下函数表： 试计算此列表函数的差分表，并利用Newton 前插公式给出它的插值多项式 （7分） 解： 由已知条件可作差分表， 3分 i ih x x i =+=0 （i=0,1,2,3）为等距插值节点，则Newton 向前插值公式为： 03 3 2100 22100003!3))()((!2))((!1)()(f h x x x x x x f h x x x x f h x x f x N ?---+?--+?-+ = =4+5x+x(x-1) =442 ++x x 4分 9. 求f(x)=x 在[-1,1]上的二次最佳平方逼近多项式)(2x P ，并求出平方误差 （8分） 解： 令2 2102)(x a x a a x P ++= 2分 取m=1, n=x, k=2 x ,计算得： (m,m)=dx ? -1 11=0 (m,n)= dx x ? -1 1 =1 (m,k)= dx x ? -1 1 2=0 (n,k)= dx x ?-1 13 =0.5 (k,k)= dx x ?-1 14 =0 (m,y)= dx x ?-1 1 =1 (n,y)= dx x ?-1 1 2 =0 (k,y)= dx x ?-11 3 =0.5 得方程组：?? ? ??==+=5 .05.005.011201a a a a 3分 解之得c a a c a 2,1,210-=== （c 为任意实数，且不为零） 即二次最佳平方逼近多项式2 22)(cx x c x P -+= 1分 平方误差：3 2 ),(2 2222 2 22 = -=-=∑=i i i y a f p f ?δ 2分 10. 已知如下数据：用复合梯形公式，复合Simpson 公式计算?+= 1 0214 dx x π的近似值（保 留小数点后三位） （8分） 解： 用复合梯形公式： )}1()]8 7 ()43()85()21()83()41()81([2)0({1618f f f f f f f f f T ++++++++= =3.139 4分 用复合Simpson 公式： )}1()]4 3 ()21()41([2)]87()85()83()81([4)0({2414f f f f f f f f f S ++++++++= =3.142 4分 11. 计算积分? = 20 sin π xdx I ，若用复合Simpson 公式要使误差不超过5102 1 -?，问区间 ]2,0[π要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间]2 ,0[π 应分为多少等 分? （10分） 解： ①由Simpson 公式余项及x x f x x f sin )(,sin )()4(==得 544)4(2 04102 1)1()4(360)(max )4(1802)(-≤≤?≤=≤n x f n f R x n ππππ π 2分 即08.5,6654≥≥n n ，取n=6 2分 即区间]2,0[π分为12等分可使误差不超过5102 1 -? 1分 ②对梯形公式同样1)(''max 2 0≤≤ ≤x f x π ，由余项公式得 5102 1 )2(122)(-?≤≤n f R n ππ 2分 即255,2.254=≥n n 取 2分 即区间]2,0[π分为510等分可使误差不超过5102 1 -? 1分 12. 用改进Euler 格式求解初值问题：?? ?==++1 )1(0 sin 2'y x y y y 要求取步长h 为0.1，计算y （1.1）的近似值 （保留小数点后三位）[提示：sin1=0.84,sin1.1=0.89] （6分） 解： 改进Euler 格式为： ?? ???++=+=+-++- +)] ,(),([2) ,(1111n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 2分 于是有 ?????+++-=+-=+-++- +-+) sin sin (05.0) sin (1.0121121 2 1n n n n n n n n n n n n n x y y x y y y y x y y y y （n=0,1,2……） 2分 由y(1)=0y =1，计算得 ???? ?=≈=+-=- 838 .0)1.1(816 .0)1sin 11(1.01121y y y 2分 即y(1.1)的近似值为0.838 13. ] [],[],,[lim ],[),,(],,[)(0' 000000' x f x x f x x f x x f b a x b a C x f x x ==∈∈→证明：定义：设（4分） 证明： ] ['],[],[],[lim ] [][lim ]['00000000000 x f x x f x x f x x f x x x f x f x f x x x x ===--=→→故可证出 4分 14. 证明：设n n R A ?∈，?为任意矩阵范数，则A A ≤)(ρ （6分） 证明： 设λ为A 的按模最大特征值，x 为相对应的特征向量，则有Ax=λx 1分 且λρ=)(A ，若λ是实数，则x 也是实数，得Ax x =λ 1分 而 x x ?=λλ x A x ,?≤??≤λ故x A Ax 2分 由于A x 0x ≤≠λ得到，两边除以 1分 故A A ≤)(ρ 1分 当λ是复数时，一般来说x 也是复数，上述结论依旧成立 数值分析试题2 1、（本题5分）试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22=3.142857…=1 103142857.0-? π=3.141592… 所以 312102 1 1021005.0001264.0722--?=?=<=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ； 解 设??? ? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 13132111232312132 1 32 3121l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为 ???????-+-=----=+-=+--=++++7 )2217() 8()2323(8 )311(10)57() (3)(2)(1)1(4 )(4)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2 ) (4)(3)1(1k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x （2分） Gauss-Seidel 迭代格式为 ???????-+-=----=+-=+--=++++++++++7 )2217()8()2323(8 )311(10)57()1(3 )1(2 )1(1 )1(4 )(4)1(2)1(1)1(3 )(3)1(1)1(2)(4)(3)1(1k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x （2分） 2）由于所给线性方程组的系数矩阵 ????? ? ? ??----=722118230381 510 10A 是严格对角占优的，所以Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式均是收敛的。（2分） 4、（本题6分）已知方程 08.023=--x x 在5.10=x 附近有一个根。将此方程改写成如下2个等价形式： 8.0,8.0332-= +=x x x x 构造如下两个迭代格式： 1） ,2,1,0,8.032 1=+=+k x x k k 2） ,2,1,0,8.03 1=-= +k x x k k 判断这两个迭代格式是否收敛； 解 1）记328.0)(x x +=?，则3 22) 8.0(32)('x x x += ?， 14755.005.31 )5.18.0(1)5.18.0(35.12)5.1('3 2322322<==+=+?= ? （2分） 所以该迭代格式是局部收敛的。 （1分） 2）记8.0)(3 -= x x ?，则8 .023)('3 2-=x x x ?， 1103.28 .05.125.13)5.1('3 2 >=-?= ? （2分） 所以该迭代格式是发散的 （1分） 5、（本题6分）设2 3 )()(a x x f -= （1）写出解0)(=x f 的牛顿迭代格式； （2）证明此迭代格式是线性收敛的。 解 （1）因2 3 )()(a x x f -=，故)(6)('3 2 a x x x f -=，由牛顿迭代公式 ) (') (1n n k k x f x f x x - =+， ,1,0=k （1分） 得k k k k k k k x a x a x x a x x x 665)(6)(32231 + =---=+， ,1,0=k （2分） （2）因迭代函数2665)(x a x x +=?， 3365)('x a x -=?， （1分） 3 * a x = 故02 1 )(365)('33* ≠=-= a a x ? 此牛顿迭代格式是线性收敛的。 （2分） 6、（本题9分）给定数据 x 0 2 3 5 f(x) 1 -3 -4 2 数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x ) 二 1 求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式时才能保证A一定有LU分解。 3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，， 4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2） （3）由事后误差估计式，右端为 而左端 这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7 讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵 ，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ， 故高斯-赛德尔法收敛的充要条件是。 9 设求解方程组的雅可比迭代格式为，其中，求证：若，则相应的高斯-赛德尔法收敛。证明由于是雅可比法的迭代矩阵，故 又，故， 即，故故系数矩阵A按行严格对角占优，从而高斯-赛德尔法收敛。 10设A为对称正定矩阵，考虑迭代格式 求证：（1）对任意初始向量，收敛； （2）收敛到的解。 证明（1）所给格式可化为 这里存在是因为，由A对称正定，，故也对称正定。 设迭代矩阵的特征值为，为相应的特征向量，则与做内积，有 因正定，故，从而，格式收敛。 1、（本题5分）试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ； 解 设???? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 131321112323121 32 132 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为 第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解： 求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1012h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 01 1431313A h A h A h -?=?? ?=?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++= 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --=-++? 成立。 令4 ()f x x =，则 第一章 1、 在下列各对数中，x 是精确值 a 的近似值。 3 .14,7/100)4(143 .0,7/1)2(0031 .0,1000/)3(1 .3,)1(========x a x a x a x a ππ 试估计x 的绝对误差和相对误差。 解：（1）0132.00416 .01.3≈= ≈-= -=a e e x a e r π （2）0011.00143 .0143.07/1≈= ≈-=-=a e e x a e r （3）0127.000004 .00031.01000/≈= ≈-=-=a e e x a e r π （4）001.00143 .03.147/100≈= ≈-=-=a e e x a e r 2. 已知四个数：x 1=26.3，x 2=0.0250， x 3= 134.25，x 4=0.001。试估计各近似数的有效位数和误差限，并估计运算μ1= x 1 x 2 x 3和μ1= x 3 x 4 /x 1的相对误差限。 解：x 1=26.3 ｎ=3 δx 1=0.05 δr x 1=δx 1/∣x 1∣=0.19011×10-2 x 2=0.0250 ｎ=3 δx 2=0.00005 δr x 2=δx 2/∣x 2∣=0.2×10-2 x 3= 134.25 ｎ=5 δx 3=0.005 δr x 3=δx 3/∣x 3∣=0.372×10 -4 x 4=0.001 ｎ=1 δx 4=0.0005 δr x 4=δx 4/∣x 4∣=0.5 由公式：e r （μ）= e （μ）/∣μ∣≦1/∣μ∣Σn i=1∣?f/?x i ∣δx i e r （μ1）≦1/∣μ1∣［x 2 x 3δx 1+ x 1 x 3δx 2 +x 1 x 2δx 3］ =0.34468/88.269275 =0.0039049 e r （μ2）≦1/∣μ2∣［x 3 x 4/ x 21δx 1+ x 4/ x 1δx 3 + x 3 / x 1δx 4］ =0.501937 3、设精确数ａ>0，x 是ａ的近似值，x 的相对误差限是0.2，求㏑x 的相对误差限。 解：设=()u f x ， ()()()()() ()||||||||||()||()|| | |()||()||||r r r x e u df x e x df x e x e u u dx u dx u x df x x df x x e x x dx u dx u δ= ≈==≤ ()||10.2 (())| |()||ln ln ln r r r r df x x x x f x x x dx u x x x x δδδδ==??== 二 1求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式 时才能保证A一定有LU分解。 3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，， 4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2） （3）由事后误差估计式，右端为 而左端 这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方 法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵 ，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ， 数值分析整理版试题及答案 例1、 已知函数表 x -1 1 2 ()f x -3 0 4 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1）k x -1 1 2 k y -3 0 4 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为 []()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- k x ()k f x 一阶 二阶 -1 -3 1 0 3/ 2 2 4 4 5/6 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有 第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解： 求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1012h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 011431313A h A h A h -?=?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++= 令4()f x x =，则 455 1012()5 2 ()(0)()3 h h h h f x dx x dx h A f h A f A f h h ---== -++=? ? 故此时， 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≠-++? 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 具有3次代数精度。 （2）若 21012()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1014h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 2211163 h h A h A -=+ 从而解得 1143 8383A h A h A h -?=-?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 22322()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++= 第九章习题解答 1.已知矩阵????? ???????=??????????=4114114114,30103212321A A 试用格希哥林圆盘确定A 的特征值的界。 解：,24)2(, 33)1(≤-≤-λλ 2.设T x x x x ),...,,(321=是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，若i x x =∞， 试证明特征值的估计式∑≠=≤-n i j j ij ii a a 1λ. 解：,x Ax λ = ∞∞∞∞≤==x A x x Ax i λλ 由 i x x =∞ 得 i n in i ii i x x a x a x a λ=++++ 11 j n j i i ij i ii x a x a ∑≠==-1)(λ j n j i i ij j n j i i ij i ii x a x a x a ∑∑≠=≠=≤=-11λ ∑∑≠=≠=≤≤-n j i i ij i j n j i i ij ii a x x a a 11λ 3.用幂法求矩阵 ???? ??????=1634310232A 的强特征值和特征向量，迭代初值取T y )1,1,1()0(=。 解：y=[1,1,1]';z=y;d=0; A=[2,3,2;10,3,4;3,6,1]; for k=1:100 y=A*z; [c,i]=max(abs(y)); if y(i)<0,c=-c;end z=y/c if abs(c-d)<0.0001,break; end d=c end 11.0000 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 10.9999 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 11.0003 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 10.9989=c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 11.0040 =c ,0.7498) 1.0000 0.5000(z 10.9859=c ,0.7506) 1.0000 0.5001(z 11.04981 =c ,0.7478) 1.0000 0.4995(z 10.8316 =c ,0.7574) 1.0000 0.5020(z 11.5839 =c ,) 0.7260 1.0000 0.4928 (z 9.4706 =c ,0.8261) 1.0000 0.5280(z 17 = c ,0.5882) 1.0000 0.4118(z 11T (11)10T (10)9T (9)8T (8)7T (7)6T (6)5T (5)4T (4)3T (3)2T (2)1T (1)=========== 强特征值为11，特征向量为T 0.7500) 1.0000 0.5000(。 4.用反幂法求矩阵???? ??????=111132126A 最接近6的特征值和特征向量，迭代初值取 T y )1,1,1()0(=。 解：y=[1,1,1]';z=y;d=0; A=[6,2,1;2,3,1;1,1,1]; for k=1:100 AA=A-6*eye(3); y=AA\z; [c,i]=max(abs(y)); if y(i)<0,c=-c;end z=y/c; if abs(c-d)<0.0001,break; end d=c end d=6+1/c 1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知6 5.0102 1 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620*2102 1 ,6,0,10325413.0-?= -=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?? ???=0 01 A 220- ?????440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {}, 88,4,1max 1==A 1分 {}, 66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=0 1 A A T 4 2 ???? ? -420?????0 01 2 20 - ???? ?440= ?????0 01 80 ???? ?3200 2分 {}32 32,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设32)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （0,1……）产生的序列{}k x 收敛于 2 解： ①迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3 分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-= a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组，其中：?? ?=13A ?? ?2 2，?? ? ???-=13b 用迭代公式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（0,1……）求解，问取什么实数α ，可使 迭代收敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --???--=-=ααααα21231A I B 2分 第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2％,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指 出它们就是几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增 加,而相对误差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足 第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令 证明就是n次多项式,它得根就是,且 、 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3. 4., 研究用线性插值求cos x 近似值时得总误差界、 1、（本题5分）试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ； 解 设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为 例1、 已知函数表 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1） 故所求二次拉格朗日插值多项式为 （2）一阶均差、二阶均差分别为 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0,1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平 方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有 所以，法方程为 011231261192 34a a ??????????=?????????? ?????????? ，经过消元得012311 62110123a a ??? ???????=???????????????????? 再回代解该方程，得到14a =，011 6 a = 故，所求最佳平方逼近多项式为* 111()46S x x =+ 例3、 设()x f x e =，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0,1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近 多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，这样，有 所以，法方程为 解法方程，得到00.8732a =，1 1.6902a =， 故，所求最佳平方逼近多项式为 例4、 用4n = 的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1 ? 。 解： （1）用4n =的复合梯形公式 由于2h =，( )f x =()121,2,3k x k k =+=，所以，有 （2）用4n =的复合辛普森公式 由于2h =，( )f x =()121,2,3k x k k =+=，()12 220,1,2,3k x k k + =+=，所以，有 例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。 解：先消元 再回代，得到33x =，22x =，11x = 所以，线性方程组的解为11x =，22x =，33x = 例6、 用直接三角分解法求下列线性方程组的解。 解： 设 则由A LU =的对应元素相等，有 1114u = ，1215u =，1316u =， 2111211433l u l =?=，3111311 22 l u l =?=， 2112222211460l u u u +=?=-，2113232311 545l u u u +=?=-， 第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字. 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误 差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大? 数值分析第四版习题及答案 第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****1 2 3 4 5 1.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234 ,,,x x x x 均为第3题所给 的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设0 28,Y =按递推公式 11 783100 n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .若取78327.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字78327.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 11N dx x +∞ +?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能 使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设212 S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1 101n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 21)f =,取2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 63 22)70 2. (21)(322)--++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =-,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x -=-+ 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 {101012121010;2. x x x x +=+=假定只用 三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1 sin ,2 s ab c = 其中c 为弧 度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证明面积的误差s ?满足 .s a b c s a b c ????≤++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． ()00l x ＝0， ()111l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1，()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． 232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数()()() 33301213,88C C C ===，那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ，所以()0f x =在区间 内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得 分 评卷人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据： 求分 段线性插值函数，并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--% ()()()()()()()()()收敛较慢 代入上式得：将解： 收敛速度次并分析该迭代公式的迭代的根求方程 取试用迭代公式∴≠<<*'*+++-='∴+*+*=*∴=+?+?? ? ??===++= =∴++= ==-++=++=++014.01022220||10 2202613381013202132020 132010212010220. 2.0 20102110220 4.1222 222212012123021x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x k k k k k k k ?????? )))()()()[]()()[])49998.0cos 215.0cos 2 1,022,00cos 2 102 12,0210,2,0.cos 2 10sin 2 11,cos 2 113cos 2 12; 1.0cos 2 12.4120101==== ==->-=<-=-=>+='-===-+x x x x x x x f f x x x f x x f x x x f x x x x k k 则 取上有一个根在所以上在为单调递增函数故则令解： 位有效数字求出这些根，精确到用迭代公式分析该方程有几个根给定方程ππππ 500 .0105.0102.0||3412≈*? 《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、 ?? ??? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ? ???????? ???=????????? ?? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(, 0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求 得?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(, 1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数 为 ，拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对 1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公 数值分析试题及答案 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字. A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和4 2. 已知求积公式，则＝（） A． B．C．D． 3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（） A．＝0，B．＝0， C．＝1，D．＝1， 4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A．超线性B．平方C．线性D．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）. A．B． C．D． 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得分评卷 人 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数，那么 4. 因为方程在区间上满足，所以在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式.填空题答案 1. 9和 2. 3. 4. 5. 得分评卷 人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值. 计算题1.答案 1. 解， ， 所以分段线性插值函数为 2. 已知线性方程组 （1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式； （2）对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）. 计算题2.答案 1.解原方程组同解变形为 雅可比迭代公式为 高斯－塞德尔迭代法公式 用雅可比迭代公式得 用高斯－塞德尔迭代公式得 3. 用牛顿法求方程在之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？ （2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001. 计算题3.答案数值分析试题及答案汇总
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