一,向量重要结论 （1）、向量的数量积定义：||||cos a b a b θ?= 规定00a ?=， 22||a a a a ?== （2）、向量夹角公式：a 与b 的夹角为θ，则cos |||| a b a b θ?= （3）、向量共线的充要条件：b 与非零向量a 共线?存在惟一的R λ∈，使b a λ=。 （4）、两向量平行的充要条件：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =平行?12210x y x y -= （5）、两向量垂直的充要条件：向量a b ⊥0a b ??=?12120x x y y += （6）、向量不等式：||||||a b a b +≥+，||||||a b a b ≥? （7）、向量的坐标运算：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =，则a b ?=1212x x y y + （8）、向量的投影：︱b ︱cos θ=||a b a ?∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 （9）、向量：既有大小又有方向的量。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。相等 向量：长度相等且方向相同的向量。 （10）、零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝ 0 ?｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的， 且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） （11）、单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜ 0a ｜＝1 （12）、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b (即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1） 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,= ，要会求出直线的斜率； （2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点; （3）给出0 =+,等于已知P 是MN 的中点; （4）给出()+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线; （5）给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,O C O A O B αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线. （6） 给出λλ++=1OP ，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即λ= （7） 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知 AMB ∠是锐角。 （ 8）给出=??λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ （9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-?+，等于已知ABCD 是菱形;
设X为一n维赋范空间，其范数定义为, 1≤p<∞，证明以下命题： 1. ||x||2≤||x||1≤; 2. ||x||p≤||x||1； 3. ||x||q≤||x||p≤，p|≤||x||2||y||2，令x=( |x1|, |x2|,..., |x n|)，y=(1,1, (1) 可得(|x1|+|x2|+…+|x n|)≤(|x1|+| x2|+…+|x n|)1/2n1/2 ||x||1≤成立。 根据Jensen不等式，令α=2，β=1可以证明。 2. 令f(x)= p=1,f(x)=1，所以只考虑p>1的情况
从上图可以看出f(x)在x=0时为1，先上升，在x=1达到最大值2p-1，然后下降，但始终≥1。所以有，即，令x=b/a，有a p+b p≤(a+b)p，同理，使用归纳法可 证明：|x1|p+|x2|p+…+|x n|p≤(|x1|+|x2|+…+|x n|)p②(|x1|p+|x2|p+…+|x n|p)1/p≤|x1|+|x2|+…+|x n| 也即||x||p≤||x||1成立。 3. 先证||x||q≤||x||p (p
平面向量与基本不等式(练习题)2016-高考-数学
平面向量与基本不等式（备战2016高考） 一：选择题 1.在 OAC ?中，点 B 在线段 AC 上，且 ), ,(2R n m n m mn ∈+=则2 2 4n m +的最小值为（） A.8 B.16 C.24 D.32 2.在△ABC 所在平面上有一点P ，满足 =++，则△PBC 与△ABC 面积之比是 （ ） A.3 1 B.2 1 C.3 2 D.4 3 3.已知两个非零向量a ＝（m －1，n －1），b ＝（m －3，n －3），且a 与b 的夹角是钝角或直角，则m ＋n 的取值范围是（） A ．2，2） B ．（2，6） C ．2，2] D ．[2，6] 4.1,3OA OB ==,0,OA OB =点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=?，设,OC mOA nOB =+(),m n R ∈，则n m 等于（ ） A ．3 1 B ．3 C ．3 3 D ．3 5.若两个正实数 y x ,满足 141=+y x ，且不等式 m m y x 34 2-<+ 有解，则实数m 的取值范围是（ ）
A . ) 4,1(- B .),4()1,(+∞--∞ C . ) 1,4(- D .),3()0,(+∞-∞ 6.设P 是双曲线22 14 y x -=上除顶点外的任意一点， 1 F 、2 F 分别是双曲线的左、右焦点，△1 2 PF F 的内切圆与边1 2 F F 相切于点M ，则12 F M MF ?= A ．5 B ．4 C ．2 D ．1 7.若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 被圆01422 2=+-++y x y x 截 得的弦长为4，则b a 1 1+的最小值是（ ） A ．12 B ．－12 C ．－2 D ．4 8.已知向量)1,(λ=，)1,2(+=λb a b a -=+λ 的值为 A ．2 B ．2 - C ．1 D ．1- 9.已知点P 是边长为1的正方形ABCD 的对角线AC 上的任意一点,PE AB ⊥于E ,PF BC ⊥于F ,则PD EF ?等于 A.1 B.1- C.12 D.0
第19讲：向量与三角、不等式等知识综合应用 一、高考要求 平面向量与三角函数、不等式等知识的综合应用是高考的主要考查内容之 一．掌握向量的几何表示、向量的加法与减法和实数与向量的积,掌握平面向量的坐标运算、平面向量的数量积极其几何意义，掌握向量垂直的条件,并且能熟练运用,掌握平移公式．注重等价转化、分类讨论等数学思想的渗透． 二、考点解读 考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力． 考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，着重考查数学运算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一． 三、课前训练 1．把曲线y cos x +2y -1=0先沿x 轴向右平移2 π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是 （ C ） (A)（1－y ）sin x +2y －3=0 (B)（y －1）sin x +2y －3=0 (C)（y +1）sin x +2y +1=0 (D) －(y +1)sin x +2y +1=0 2．函数y =sin x 的图象按向量a =（32 π-，2）平移后与函数g （x ）的图象重合，则g （x ）的函数表达式是 （ D ） （A ）cos x -2 （B ）-cos x -2 （C ）cos x +2 （D ）-cos x +2 3．已知向量 = (1，sin θ)，= (1，cos θ)，则 | - | 4．如图，函数y =2sin(πx+φ),x ∈R,(其中0≤φ≤2 π)的图象与y 轴交于点（0，1）． 设P 是图象上的最高点， M 、N 是图象与x 轴的交点，则PM PN 与的夹角余弦 值为1517
第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.
(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ， 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时
《周国标师生交流讲席010》 向量和矩阵的范数的若干难点导引(二) 一． 矩阵范数的定义 引入矩阵范数的原因与向量范数的理由是相似的，在许多场合需要“测量”矩阵的“大小”，比如矩阵序列的收敛，解线性方程组时的误差分析等，具体的情况在这里不再复述。 最容易想到的矩阵范数，是把矩阵m n A C ?∈可以视为一个mn 维的向量（采用所谓“拉 直”的变换），所以，直观上可用mn C 上的向量范数来作为m n A C ?∈的矩阵范数。比如 在1l -范数意义下，111 ||||||m n ij i j A a === ∑∑( ) 12 tr()H A A =； （） 在2l -范数意义下，1 2 211||||||m n F ij i j A a ==??= ??? ∑∑， （） 注意这里为了避免与以后的记号混淆，下标用“F ”，这样一个矩阵范数，称为Frobenius 范数，或F-范数。可以验证它们都满足向量范数的3个条件。 那么是否矩阵范数就这样解决了因为数学上的任一定义都要与其对象的运算联系起来，矩阵之间有乘法运算，它在定义范数时应予以体现，也即估计AB 的“大小”相对于A B 与的“大小”关系。 定义1 设m n A C ?∈，对每一个A ，如果对应着一个实函数()N A ，记为||||A ，它满足以下条件： （1）非负性：||||0A ≥； （1a ）正定性：||||0m n A O A ?=?= （2）齐次性：||||||||||,A A C ααα=∈； （3）三角不等式：||A ||||||||||||,m n A B A B B C ?+≤+?∈ 则称()||||N A A =为A 的广义矩阵范数。进一步，若对,,m n n l m l C C C ???上的同类广义矩阵 范数||||?，有 （4）（矩阵相乘的）相容性：||A ||||||||||||AB A B ≤， n l B C ?∈， 则称()||||N A A =为A 的矩阵范数。 我们现在来验证前面（）和（）定义的矩阵范数是否合法我们这里只考虑（）,把较容易的（）的验证留给同学们， 三角不等式的验证。按列分块，记1212(,,,),(,,,)n n A a a a B b b b ==。 2 22112||)(,),(),(||||||F n n F b a b a b a B A +++=+ 2 222222211||||||||||||n n b a b a b a ++++++= ()()2 2 121222||||||||||||||||n n a b a b ≤++ ++ ()()()2 2 2 2 122121222122||||||||2||||||||||||||||||||||||n n n n a a a b a b b b =+ +++ +++ + 对上式中第2个括号内的诸项，应用Cauchy 不等式，则有 222||||||||2||||||||||||F F F F F A B A A B B +≤++2 (||||||||)F F A B =+ （） 于是，两边开方，即得三角不等式。 再验证矩阵乘法相容性。
§5.1 平面向量的概念及线性运算 三角形法则 3.共线向量定理 向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 方法与技巧 1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”． 2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB →∥CD → 且AB 与CD 不共线，则AB ∥CD ； 若AB →∥BC → ，则A 、B 、C 三点共线．
失误与防范 1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性． 2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误. §5.2 平面向量基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理 如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. 其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ＋ b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)， λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 2 1. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB → |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ?x 1y 2－x 2y 1＝0. 方法与技巧 1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 2．平面向量共线的坐标表示 (1)两向量平行的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是a ＝λb ，这与x 1y 2－x 2y 1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同． (2)三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定． 失误与防范 1．要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况． 2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1 y 2 ，因为x 2，y 2有可能等 于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.
向量基本定理与不等式,、三角函数相结合 例题1： 在Rt ABC ?中，0 90A ∠=，点D 是边BC 上的动点，且3AB =u u u v ,4AC =u u u v ,(0,0)AD AB AC λμλμ=+>>u u u v u u u v u u u v ，则当λμ取得最大值时， AD u u u v 的值为 解析：由090A ∠=可将三角形放入平面直角坐标系中，建立如图坐标系， 其中()00A ，，()30B ，，()04C ， ∵(0,0)AD AB AC λμλμ=+>>u u u v u u u v u u u v ∴1λμ+= ∵2λμλμ+≥1 4λμ≤当且仅当12 λμ==时取等号 ()()111133004222222AD AB AC AB AC λμ??=+=+=+= ??? u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，，， ∴2235222AD ??=+= ??? u u u r 变式1： 已知点A 在线段BC 上（不含端点），O 是直线BC 外一点，且20OA aOB bOC --=u u u r u u u r u u u r r ,则221a b a b b +++的最小值是___________ 分析：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题。解决此类问题，重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式，很多情况下，要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件构造21a b +=，研究的式子分别加1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式. 解析：由20OA aOB bOC --=u u u r u u u r u u u r r 可得， 2OA aOB bOC =+u u u r u u u r u u u r ，根据A 、B 、C 三点共线可得21a b +=，且0,0a b >>， 所以()222222211222221222a b a b a a b b a b a b a b b a b a b b a b a b +++++++=-+-=+-≥+++++++ 所以最小值为222，故填222.
平面向量知识点易错点 归纳 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
§ 平面向量的概念及线性运算 1名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小 叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a 的单位向量为±a |a | 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共 线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大 小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运 算 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a . (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． 减法 求a 与b 的相反向 量－b 的和的运算叫做a 与b 的差 三角形法则 a － b ＝a ＋(－b ) 数乘 求实数λ与向量a 的积的运算 (1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ>0时，λa 的方 向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0 λ(μa )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb 3.共线向量定理 向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 方法与技巧 1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”． 2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB →∥CD →且AB 与CD 不共线，则AB ∥CD ；若AB →
专题4 平面向量与不等式结合 考点动向：向量与不等式的交汇是当今高考命题的一个热点.自从新教材实施以来，在高考中，不时考查平面向量与不等式有关知识的结合。这些题实际上是以向量为载体考查不等式的知识，解题的关键是利用向量的数量积等知识将问题转化为不等式的问题，转化时不要把向量与实数搞混淆，一般来说向量与不等式结合的题目难度不大。 向量与不等式结合，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查。这类题目常常包括向量与不等式的性质、均值不等式、解不等式、求值包括（求最大值、最小值）的交汇等几个方面.可以预测到，明年仍至今后的高考中，还会继续出现向量与不等式结合的题目。 方法范例 例1、（2005年，上海卷）已知函数b kx x f +=)(的图象与y x ,轴分别相交于点A 、B ， 22+=（,分别是与y x ,轴正半轴同方向的单位向量） ，函数6)(2--=x x x g 。 （1） 求b k ,的值；（2）当x 满足)()(x g x f >时，求函数) (1)(x f x g +的最小值。 [解析] （1）通过交点坐标求出向量的坐标表示，列方程组，求b k ,的值；（2）先由),()(x g x f > 得 ,42<<-x 再对) (1)(x f x g +进行化简，得5212-+++x x ，然后利用不等式ab b a 2≥+求函数的最值. [答案]（1）由已知得},{),,0(),0,(b k b b B k b A =-则，于是 .2 1,22???==∴?????==b k b k b （2）由,62),()(2-->+>x x x x g x f 得 即 ,42,0)4)(2(<<-<-+x x x 得 ,52 1225)(1)(2-+++=+--=+x x x x x x f x g 由于3)(1)(,02-≥+>+x f x g x 则， 其中等号当且仅当x +2=1，即x =－1时成立，∴) (1)(x f x g +时的最小值是－3. 例2、（2005年·黄岗模拟）已知二次函数)(x f 对任意x R ∈，都有)1()1(x f x f +=-成立，设向量)2,(sin x a =，)2 1,sin 2(x b =，)1,2(cos x c =，)2,1(=d ，当x ],0[π∈时，求不等式)()(d c f b a f ?>?的解集. [解析] 二次函数图象开口方向不确定，要分类讨论. 由)1()1(x f x f +=-，知二次函
第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用 常熟市中学 蔡祖才 一、高考要求 平面向量与三角函数、不等式等知识的综合应用是高考的主要考查内容之一．掌握向量的几何表示、向量的加法与减法和实数与向量的积,掌握平面向量的坐标运算、平面向量的数量积极其几何意义，掌握向量垂直的条件,并且能熟练运用,掌握平移公式．注重等价转化、分类讨论等数学思想的渗透． 二、考点解读 考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力． 考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，着重考查数学运算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一． 三、课前训练 1．把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移 2 π 个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是 （ ） (A)（1－y ）sin x +2y －3=0 (B)（y －1）sin x +2y －3=0 (C)（y +1）sin x +2y +1=0 (D) －(y +1)sin x +2y +1=0 2．函数y =sin x 的图象按向量a =（32 π - ，2）平移后与函数g （x ）的图象重合，则g （x ）的函数表达式是 （ ） （A ）cos x -2 （B ）-cos x -2 （C ）cos x +2 （D ）-cos x +2 3．已知向量a = (1，sin θ)，b = (1，cos θ)，则 | a - b | 的最大值为 ． 4．如图，函数y =2sin(πx+φ),x ∈R,(其中0≤φ≤ 2 π )的图象与y 轴交于点（0，1）． 设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象 与x 轴的交点，则PM PN u u u u r u u u r 与的夹角余弦值为 ． 四、典型例题 例1 已知a =（3sin ωx ，cos ωx ），b =（cos ωx ，cos ωx ）（ω>0），记函数f (x )= a · b ，且f (x )的最小正周期是π，则ω= （ ） (A) ω=1 (B) ω=2 (C) 21= ω ( D) 3 2 =ω 例2 在△OAB 中，O 为坐标原点，]2 ,0(),1,(sin ),cos ,1(π θθθ∈B A ，则△OAB 的面 积达到最大值时，=θ （ ） (A) 6π (B) 4π (C) 3π (D) 2 π 例3 设向量a r ＝(sin x ，cos x )，b r ＝(cos x ，cos x )，x ∈R ，函数f(x)＝a r ·(a r ＋b r )． 使不等式f (x )≥ 2 3 成立的x 的取值集合为 ．
《平面向量》主要知识点与易错点 1．基本概念：向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量． 2．平面向量的和与差：（1）122311n n n A A A A A A A A -++ +=； （2）AB AC CB -=；（3）向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则；（4）若1122(,),(,)x y x y ==a b ，则1212(,)a b x x y y ±=±±． 3．实数与向量的积 实数λ与向量a 的积是一个向量：（1）||||||λλ=a a ； （2）当0λ>时，λa 与a 同向；当0λ<时，λa 与a 反向；当0λ=时，λ=0a ； 4．向量式的化简 （1）首尾相连的向量相加； （2）共起点的两个向量相减； （3）共起点的两个向量相加． 5．向量共线 （1）向量a 与()≠0 b b 共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使λ=a b ． （2）(1),,OA xOB yOC x y A B C =++=?三点共线． ,,A B C 三点共线且O 不在．．,,A B C 所在直线上．．．．．(1)OA xOB yOC x y ?=++=． （3）若1122(,),(,)x y x y ==a b ，则a ∥1221x y x y ?=b ． （4）若,a b 不共线，则两向量x y +a b 与m n +a b 共线x y m n ?=． 6．平面向量基本定理 若12,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ， 使得1122λλ=+a e e ． 7．向量的数量积 （1）两个向量的夹角的定义，两个向量夹角θ的取值范围是[0,]π：0θ=?a 与b 同向；θπ=?a 与b 反向； （2）两个向量的数量积是一个实数，||||cos θ?=a b a b ；若1122(,),(,)x y x y ==a b ，则1212x x y y ?=+a b ． （3）22||==?a a a a ； 121200x x y y ⊥??=?+=a b a b ；cos |||| θ?==a b a b ||||||(?≤a b a b 其中取 等号时向量a 与 b 共线) （4）a 在b 上的射影 ||cos ||θ?== a b a b 注意：向量a 与 b 的夹角为锐角0??>a b 且a 与 b 不共线；向量a 与 b 的夹角为钝角0?? 基础梳理 一．平面向量 1．向量的有关概念 (1)向量：既有又有的量叫向量；向量的叫做向量的模． (2)零向量：长度等于的向量，其方向是． (3)单位向量：长度等于的向量． (4)平行向量：方向的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度且方向的向量． (6)相反向量：长度且方向的向量． 2．向量的线性运算 平行四边形法则 (1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝； ②当λ＞0时，λa与a的方向；当λ＜0时，λa与a的方向；当λ＝0时，λa＝0. (2)运算律：设λ，μ是两个实数，则 ①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb. 4．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得 5．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使，其中不共线的向量e1，e2叫表示这一平面内所有向量的一组基底．6．平面向量坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ＋ b ＝( ， )，a ＋b ＝( ， )，λa ＝( ， )，|a |＝ . (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝( ， )，|AB → |＝ . 7．平面向量共线的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，向量a ，b 共线当且仅当 ． 8．两个向量的夹角：已知两个非零向量a 和b (如图)，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角，当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向；如果a 与b 的 夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b . 9．两个向量的数量积的定义 已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量 叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作 ，即 ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0. 10．向量数量积的几何意义 数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的数量积． 11．向量数量积的性质 设a 、b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ；(2)a ⊥b ? ； (3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a |·|b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |，特别的，a ·a ＝|a |2 或者|a |＝a ·a ； (4)cos θ＝ ；(5)|a ·b |≤|a ||b |. 12．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a ；(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )；(3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 13．平面向量数量积的坐标运算 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，向量a 与b 的夹角为θ，则 (1)a ·b ＝ ；(2)|a |＝ ； (3)cos 〈a ，b 〉＝ x 1x 2＋y 1y 2 x 21＋y 21 x 22＋y 2 2 ； (4)a ⊥b ? ? . 二、余弦定理基础知识回顾 1． 正弦定理：___________________________________. 正弦定理的变形 ①_____________________， ②_____________________， 平面向量知识点总结 16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+； ②结合律：()() a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 则()1212 ,x x y y A B =- -． 19、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ① a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③() a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． 20、向量共线定理：向量() 0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、() 0b b ≠共线． 21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底） b a C B A a b C C -=A -AB =B 2021届高考数学总复习：平面向量与函数、不等式的综合应 用 【例】 设θ是两个非零向量a ，b 的夹角，若对任意实数t ，|a ＋t b |的最小值为1，则下列判断正确的是( ) A ．若|a |确定，则θ唯一确定 B ．若|b |确定，则θ唯一确定 C ．若θ确定，则|b |唯一确定 D ．若θ确定，则|a |唯一确定 解析 设g (t )＝(a ＋t b )2＝b 2t 2＋2t a ·b ＋a 2，当且仅当t ＝－ 2a ·b 2b 2＝－|a |cos θ|b |时，g (t )取得最小值1，所以b 2×|a |2cos 2θ|b |2－ 2a ·b ×|a |cos θ|b |＋a 2＝1，化简得a 2sin 2θ＝1，所以当θ确定时，|a |唯一确定。 答案 D 通过向量的数量积运算把向量运算转化为实数运算，再结合函数、不等式的知识解决，同时也要注意平面向量的坐标运算在这方面的应用。 【变式训练】 (2019·福州四校联考)已知向量a ，b 为单位 向量，且a ·b ＝－12，向量c 与a ＋b 共线，则|a ＋c |的最小值为( ) A ．1 B ．12 C.34 D.32 解析 因为向量c 与a ＋b 共线，所以可设c ＝t (a ＋b )(t ∈R )，所以a ＋c ＝(t ＋1)a ＋t b ，所以(a ＋c )2＝(t ＋1)2a 2＋2t (t ＋1)a ·b ＋ t 2b 2，因为向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，所以(a ＋c )2＝(t ＋1)2－t (t ＋1)＋t 2＝t 2＋t ＋1≥34，所以|a ＋c |≥32，所以|a ＋c |的 最小值为32。故选D 。 矩阵范数的意义 几何方法是一种数学思维方法。函数和几何是数学的两条主要主线。我们学习各种函数及其性质，比如微积分、复变函数、实变函数、泛函等。而几何是函数形象表达，函数是几何的抽象描述，几何研究“形”，函数研究“数”，它们交织在一起推动数学向更深更抽象的方向发展。 函数图象联系了函数和几何，表达两个数之间的变化关系，映射推广了函数的概念，使得自变量不再仅仅局限于一个数，也不再局限于一维，任何事物都可以拿来作映射，维数可以是任意维，传统的函数图象已无法直观地表达高维对象之间的映射关系，这就要求我们在观念中，把三维的几何空间推广到抽象的n维空间。 由于映射的对象可以是任何事物，为了便于研究映射的性质以及数学表达，我们首先需要对映射的对象进行“量化”，取定一组“基”，确定事物在这组基下的坐标，事物同构于我们所熟悉的抽象几何空间中的点，事物的映射可以理解为从一个空间中的点到另一个空间的点的映射，而映射本身也是事物，自然也可以抽象为映射空间中的一个点，这就是泛函中需要研究的对象——函数。 从一个线性空间到另一个线性空间的线性映射，可以用一个矩阵来表达，矩阵被看线性作映射，线性映射的性质可以通过研究矩阵的性质来获得，比如矩阵的秩反映了线性映射值域空间的维数，可逆矩阵反映了线性映射的可逆，而矩阵范数反映了线性映射把一个向量映射为另一个向量，向量的“长度”缩放的比例。 并不是只有线性空间才有范数的定义，任意空间都可以引入范数，这样的空间称为赋范空间，使得这个空间可以被度量，如希尔伯特空间。 范数是把一个事物映射到非负实数，且满足非负性、齐次性、三角不等式，符合以上定义的都可以称之为范数，所以，范数的具体形式有很多种（由内积定义可以导出范数，范数还也可以有其他定义，或其他方式导出），要理解矩阵的算子范数，首先要理解向量范数的内涵。矩阵的算子范数，是由向量范数导出的，由形式可以知： 或方阵 绝密★启用前 2013-2014学年度???学校10月月考卷 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题（题型注释） 1．直三棱柱ABC —A1B1C1中，若c CC b CB a CA ===1,,， 则1A B =（ ） A ．a +b －c B ．a －b +c C ．－a +b －c D ．－a +b +c 2．已知平面区域{}( , )|1 2 , 12D x y x y =-≤≤-≤≤，z ax y =+ (a 是常数)， 00( , )P x y D ?∈，记为事件A ，则使的常数a 有 A ．0个 B ．个．3个以上 3．直线01032=+-y x 的法向量的坐标可以是（ ） A.()3,2- B.()3,2 C.()3,2- D.()3,2-- 4．已知A(1,3)和直线l :2x+3y-6=0，点B 在l 上运动，点P 是有向线段AB 上的分点，P 的轨迹方程是（ ） A ．6x-9y-28=0 B ．6x-9y+28=0 C ．6x+9y-28=0 D ．6x+9y+28=0 5．下列命题不正确．．． 的是（ ） A ．若b a >，d c <，则d b c a ->- B ．0>>b a ，0<《平面向量》《解三角形》《不等式》概念汇编
平面向量知识点总结
2021届高考数学总复习：平面向量与函数、不等式的综合应用
矩阵范数的意义
选择填空平面向量数列不等式
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