虹口区 2019 学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试
初三数学试卷
（满分 150 分，考试时间 100 分钟）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共 25 题；
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律
无效；
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤．
一、选择题（本大题共
6 题，每题 4 分，满分 24 分）
[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的 相应位置上． ]
1．如果 cos
=
1
，那么锐角
的度数为
2
A ． 30°；
B ．45°；
C ． 60°；
D ． 90°．
2．在 Rt △ABC 中， ∠ C=90 °，如果 BC=2， tanB=2，那么 AC 长为
A ． 1；
B ．4 ；
C ． 5 ；
D ． 2 5 ．
3．抛物线 y
3(x 1)2 +1 的顶点所在象限是
A ．第一象限；
B ．第二象限；
C ．第三象限；
D. 第四象限．
4．已知抛物线
y x 2 经过 A( 2, y 1 ) 、 B(1, y 2 ) 两点，在下列关系式中，正确的是
A ． y 1
0 y 2 ； B ． y 2 0 y 1 ；C ． y 1 y 2 0 ；D ． y 2 y 1
0 ．
r
r
5．已知 a 、b 和 c 都是非零向量，在下列选项中，不能 ．．判定 a ∥ b 的是
r r r r r r
A ． a = b ；
B ． a ∥ c ， b ∥ c ；
r r r r r r r r r
C ． a+ b 0 ；
D ． a+ b 2c ， a b 3c ．
6．如图 1，点 D 是△ ABC 的边 BC 上一点，∠ BAD=∠ C ， AC=2AD ，如果△ ACD 的面积为 15，
那么△ ABD 的面积为 A A ． ；
B ．
；
C ．； B
C
D ． 5．
D
图 1
A
二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
[请将结果直接填入答题纸的相应位置 ]
7．如果 a : b
2:3 ，且 a+b 10 ，那么 a 的值为 ▲ ． r r r
r r r r r r r
8．如果向量 a 、b 、 x 满足关系式 2b 3(a+x) 0 ，那么用向量 a 、b 表示向量 x = ▲ ．
9．如果抛物线 y
(1 a) x 2
1 的开口向下，那么 a 的取值范围是 ▲ ．
10．沿着 x 轴正方向看，抛物线
y
( x 1)2 在对称轴
▲
侧的部分是下降的（填“左”
或“右”）．
11．如果函数 y （ m
1)x m 2
m
2 是二次函数，那么 m 的值为 ▲ ．
12．如图 2，抛物线的对称轴为直线
x 1 ，点 P 、 Q 是抛物线与 x 轴的两个交点，点 P 在点 Q 的右侧，如果点 P 的坐标为 （ 4，0），那么点 Q 的坐标为
▲ ．
y
y
A
B
A
Q O
P x
C
D
图 2
O
x
E
A
F
图 3
图 4
13．如图 3，点 A （ 2， m ）在第一象限， OA 与 x 轴所夹的锐角为 3
，那么
，如果 tan =
m
2
的值为
▲ ．
14．已知 △ ABC ∽△ A 1B 1C 1，顶点 A 、B 、C 分别与 A 1、 B 1 、C 1 对应， AC=12， A 1C 1=8，△ ABC 的
高 AD 为 6，那么 △ A 1 1 1 1 1
． B C 的高 A D 长为▲
15．如图 4，在梯形 AEFB 中， AB ∥ EF ， AB=6， EF=10，点 C 、 D 分别在边 AE 、BF 上且
CD ∥AB ，如果 AC=3CE ，那么 CD 长为
▲
．
16．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图” （如图 5），
它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形面
积是 49，直角三角形中较小锐角
的正切为
5
，那么大正方形的面积是
▲ ．
12
17．如图 6，在 Rt △ABC 中，∠ C=90°， AC=1， BC=2，点 D 为边 AB 上一动点，正方形
DEFG
的顶点 E 、 F 都在边 BC 上，联结 BG ， tan ∠ DGB 的值为▲
．
18．如图 7，在等腰梯形 ABCD 中， AD ∥BC ， sinC=
4
， AB=9， AD=6，点 E 、 F 分别在边 AB 、
5
BC 上，联结 EF ，将 △BEF 沿着 EF 翻折，使 BF 的对应线段 B ’F 经过顶点 A ， B ’F 交对角线
BD 于点 P ，当 B ’F⊥ AB 时， AP 的长为 ▲ ．
A
A D
G
D
C F
E B
B
C
图 5
图 6
图 7
三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）
19．（本题满分 10 分）
计算：
4sin 30
tan 2 60 ．
cot 30 tan 45
20．（本题满分 10 分，第（ 1）小题满分 6 分，第（ 2）小题满分 4 分）
在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线C1：y x22x 向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线C2．
（1）求新抛物线 C2的表达式；
（2）如图 8，将△ OAB 沿 x 轴向左平移得到△ O’A’，B点’ A（ 0， 5）的对应点 A’落在平移后的新抛物线C2上，求点 B 与其对应点B’的距离．
y
A’A C2
B’B
O’O x
图 8
21．（本题满分 10 分，第（ 1）小题满分 6 分，第（如图 9，在 Rt△ABC 中，∠ ABC=90°，点 G 是点 D，过点 G 作 GE⊥ BC交边 BC于点 E．
uuur r uuur r r r
（ 1）如果AC a， AB b，用a、b表示向量（ 2）当 AB=12 时，求 GE的长．
2）小题满分 4 分）
Rt△ ABC 的重心，联结BG 并延长交 AC 于uuur
A BG ；
D G
C E B
图 9
22．（本题满分 10 分）
AB（假定树干 AB 垂直于水平地面）被刮倾斜7°某次台风来袭时，一棵笔直大树树干
（即∠ BAB’=7°）后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面 D 处（如图 10 所示），测得∠CDA为 37°， AD 为 5 米，求这棵大树AB 的高度．（结果保留根号）
（参考数据： sin37 0.6， cos370.8 ， tan37 0.75）
B B’
C
37°
A D
图 10
23．（本题满分 12 分，第（ 1）小题满分 6 分，第（ 2）小题满分 6 分）
如图 11，在 Rt △ ABC 中，∠ ACB=90°，点 D 是边 BC 的中点，联结 AD ，过点 C 作
CE ⊥ AD 于点 E ，联结 BE ．
A
（ 1）求证： BD
2
DE AD ；
（ 2）如果∠ ABC=∠ DCE ，求证： BD CE BE DE ．
E
C
D B
图 11
24．（本题满分 12 分，第（ 1）小题满分 4 分，第（ 2）小题满分 8 分）
如图 12，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2
yx bx c 与 x 轴交于 （
， ）、 B
A -1 0 两点，与 y 轴交于点 C （0， 3），点 P 在抛物线的对称轴上，且纵坐标为 2 3 ．
（ 1）求抛物线的表达式以及点 P 的坐标； （ 2）当三角形中一个内角 α是另一个内角 β的两倍时，我们称 α为此三角形的 “特征角” ． ① 点 D 在射线 AP 上，如果 ∠DAB 为 △ ABD 的特征角，求点 D 的坐标； ② 点 E 为第一象限内抛物线上一点，点 F 在 x 轴上， CE ⊥ EF ，如果 ∠ CEF 为 △ ECF 的特征
角，求点 E 的坐标．
y
C
A O
B
x
图 12
25．（本题满分 14 分，第（ 1）小题满分 4 分，第（ 2）小题满分 6 分，第（ 3）小题满分 4 分）
在 Rt △ ABC 中，∠ ACB=90°， BC=4， sin ∠ ABC= 3
，点 D 为射线 BC 上一点，联结
AD ，过
5
点 B 作 BE ⊥AD 分别交射线 AD 、AC 于点 E 、 F ，联结 DF ．过点 A 作 AG ∥BD ，交直线 BE 于点 G ．
（ 1）当点 D 在 BC 的延长线上时（如图
13），如果 CD=2，求 tan ∠ FBC ；
（ 2）当点 D 在 BC 的延长线上时（如图 13），设 AG x ， S V ADF y ，求 y 关于 x 的函数
关系式（不写函数的定义域） ；
（ 3）如果 AG =8，求 DE 的长．
G
A
A
E
F
D
C
B
C
B
图 13
备用图
虹口区 2019 学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试
初三数学试卷评分参考建议
明：
1．解答只列出 的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中 分 准相 分；
2．第一、二大 若无特 明，每 分只有 分或零分；
3．第三大 中各 右端所注分数，表示考生正确做 一步 得分数；
4． 卷，要 持每 到底，不能因考生解答中出 而中断 本 的 ．如果考生的解答在某一步出 ，影响后 部分而未改 本 的内容和 度， 影响的程度决定后 部分的 分，但原 上不超 后 部分 得分数的一半；5． 分 ， 分或扣分均以 1 分 基本 位．
一、 （本大 共
6 ，每
4 分， 分 24 分）
1． C
2． B
3． B
4． C
5． A
6． D
二、填空 （本大 共
12 ，每
4 分， 分
48 分）
7． 4
8 ． a
2 b 9． a ＞ 1
10．右
11．2
3
12． (－2,0)
13．3
14． 4
15． 9
16． 169
1
24
17．
18 ．
3
7
三、解答 （本大 共
7 ， 分
78 分）
1
4
2
19．解：原式 =
2 3
??????????????????????（
8 分）
3
1
=
2 3
3 1
= 3 2 ???????????????????????????（
2 分）
20 1 y 2 2x =
2 3
x 1 1????????????????????（ 分）
．解：（ ）
∵抛物 向左平移 2 个 位，向下平移 3 个 位，
∴新的抛物
C 2 的表达式 ： y x 1 2 4 ????????????（ 3 分）
（ 2）∵将△ OAB 沿 x 向左平移得到△ O ’A ’B ’
∴ A ’（ x ， 5）?????????????????????????（
1 分）
∵点 A 的 点 A ’落在 C 2 上
∴ 5 x 1 2
4
????????????????????????（ 1 分）
解得 x 1
2 ， x 2
4 ??????????????????????（
1 分）
x=2 不合 意，舍去 ∴点 B 与其 点
B ’的距离 4 ??????????????????（
21．解：（1）∵点 G 是 Rt △ ABC 的重心
∴点 D AC 的中点??????????????????????（
uuur 1 uuur 1
r
∴
AD AC
a ???????????????????????（
2
2
uuur uuur
uuur
r
1 r
∴
BD
BA AD
b 2 a ????????????????????（
2
BD ?????????????（
∵点 G 是 Rt △ ABC 的重心
∴
BG
uuur uuur
3
∵ BG 与 BD 同向
uuur
2 uuur
2 r
1 r
∴
BG
BD
b
a ?????????????????????（
3 3 3
（ 2）在 Rt △ ABC 中，点 D AC 的中点
∴ CD=DB ∴∠ C=∠ DBC
∵ GE ⊥ BC ∠ ABC=90° ∴∠ ABC=∠GEB=90°
∴△ GEB ∽△ ABC ?????????????????????????（ ∴
GE BG
???????????????????????????（
AB AC
2
1 1 ∵
BG
BD BD
AC ∴ BGAC ??????????????（
3
2
3
∴
G E 1 12 3
1 分）
1 分）
1 分）
2 分）
1 分）
1 分）
1 分）
1 分）
1 分）
∴ GE=4 ?????????????????????????????（
1 分）
22．解： 点 A 作 AE ⊥ CD ，垂足 点 E ???????????????????（
1 分）
在 Rt △ ADE 中， DE
AD cos CDA 5 0.8 4 ???????????（ 2 分）
AE
AD sin CDA 5 0.6 3 ?????????????（
1 分）
在 Rt △ ADE 中，∠ DAE+∠ ADC=90° ∴∠ DAE =90° -37° =53°
∴∠ CAE=90° -7° -53° =30°?????????????????????（ 1 分）
在 Rt △ ACE 中， CE
AE tan CAE 3
3
3 ????????????（
2 分）
3
AC 2CE
2 3 ????????????????????（
1 分）
由 得 AB AB ' AC B 'C AC CD AC
CE DE 3 3 4 ????（ 1 分）
答： 棵大
AB 原来的高度是（
3 3
4 ）米． ??????????????（
1 分）
23． 明：（ 1） ∵ CE ⊥AD ，∠ ACB=90°∴∠ ACB=∠ CED=90°
∵∠ EDC=∠ CDA
∴△ EDC ∽△ CDA ?????????????????????????（ 3 分）
DE CD
∴
AD
CD
2 分）
∴ CD 2=DE · AD ???????????????????????????（
∵点 D 是 BC 的中点
∴ CD=BD
∴BD 2=DE · AD ???????????????????????????（（ 2）由（ 1）得
DE BD
且∠
EDB=∠ BDA
BD
AD
∴△ BDE ∽△ ADB ??????????????????????????（ ∴∠ ABC=∠ BED ??????????????????????????（ ∵∠ ABC=∠ DCE ， ∴∠ BED=∠DCE ∵∠ EBD=∠ CBE
∴△ EBD ∽△ CBE ??????????????????????????（
∴ BD ED
即 BD CE
BE DE ??????????????????（
BE
CE
24．解：（1） ∵ y
x 2 bx
c A(－ 1， 0)， C(0， 3)
1 分）
2 分） 1 分）
2 分）
1 分）
0= 1 b c; b=2; 2 分）
∴
c.
解得： ?????????????????（
3
c
3.
∴ y x 2
2x
3 ????????????????????????（
1 分）
称 直
x=1
∵点 P 在 称 上，且 坐
2 3 ，
∴点 P 的坐 （
1， 2 3 ）????????????????????（
1 分）
（ 2） 直 x=1 交 x 于点 Q
∵ A(－ 1，0)， P （ 1， 2 3 ）
∴ AQ=2 PQ= 2 3 ∴ tan PAQ 3
∴ ∠ PAQ=60°即∠ DAB=60°????????????????????（ 1 分）
∵点 D 在射 AP 上，且∠ DAB △ ABD 的特征角，
∴∠ ABD=30°或∠ ADB=30°，???????????????????（ 1 分）
∴点 D 的坐 （
0， 3 ）或（ 3， 4
3 ）?????????????（
2 分）
（ 3） 点 E 作 EG ⊥x 于点 G ， 点 C 作 CH ⊥GE 的延 于点 H.
∵ CE ⊥ EF 且∠ CEF △ ECF 的特征角，
∴∠ ECF=∠ CFE=45°???????????????????????（ 1 分）
∴ CE=EF
在 Rt △CHE 中， ∠ HCE+∠CEH=90°
∵∠ CEH+∠ FEG=90°∴ ∠HCE=∠ FEG
∵ ∠ ∠
EGF=90°∴△ CHE ≌△ EGF
H=
∴ CH=EG ????????????????????????????（
1 分）
∵点 E 第一象限内抛物 上一点 ∴ E （ a ， a 2
2a 3）
∴ a a 2 2a 3 ???????????????????????（ 1 分）
解得 a
1 13
（舍 ）
2
∴ E
1+ 13 1+ 13
) ????????????????????????（
1 分）
（
，
2 2
25. （ 1）在 Rt △BED 中， ∠ EDB+∠EBD=90°
同理 ∠ADC+∠DAC=90°
∴∠ DAC=∠ EBD 即∠ DAC=∠ FBC ，????????????????（ 1 分）
由 sin ∠ ABC= 3
可得 tan ∠ ABC= 3
5 4
在 Rt △ABC 中， AC= BC tan ABC
3
???????????????（
1 分）
又∵ CD=2
在 Rt △ACD 中， tan
DC
2
DAC
3
AC
∴ tan
FBC tan
2 2 分）
DAC
??????????????????（
3
（ 2）∵ AG ∥ BD
∴ AG
AF
CB
FC
∴
x
AF
∴ AF =
3x
???????????????（
2 分）
4 3 AF
x
4
∴ FC =
12
??????????????????????????（
1 分）
x 4
∴ FC
DC ∵ tan
FBC tan
DAC
BC
AC ∴ AC
DC ∴ tan ABC
tan
DFC
BC
FC
∴ ABC
DFC
???????????????????????（
1 分）
由 sin ∠ ABC= 3
可得 tan ∠ ABC= 3
5 4
3
FC 3 12 9
1 分）
∴ DC
4 x 4
????????????????（
4
x 4
1
3x
9
∴ y
2 x 4 x 4
即 y
2
27x
??????????????????????（ 1 分）
16x
2 x 32
（ 3） ① 当点 D 在 BC 的延 上 ，
∵ AG ∥ CB ，∴
AG AF ，
8 3 FC
CB
FC 4 FC
∴ FC=1，
∴ CD
FC tan DFC
3
4
3
19
∴ DB
4 ，
4
4
19 1 19
∴ DE
BD sin
EBD
17 ?????????????（ 2 分）
4
17
68
② 当点 D 在 BC 上 ，
∵ AG ∥ CB ， ∴
BC
FC ∴ 4
FC ，
AG
FA
8 3
FC
∴ FC=3
∴ CD
FC tan DFC
9
,
4
∴ DB 4
9 7 ， DE BD sin EBD = 7
3 21 ????????（ 2 分）
4 4
4
5 20
上， DE
21 或 19
17 .
20 68