2.1积分第一中值定理证明 积分第一中值定理:
如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，()g x 在(,)a b 上不变号，并且()g x 在闭区间[,]a b 上是可积的，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得
()()()(),()b
b
a
a
f x
g x dx f g x dx a b ξξ=≤≤?
?
成立。 证明如下：
由于()g x 在闭区间[,]a b 上不变号，我们不妨假设()0g x ≥，并且记()f x 在闭区间[,]a b 上的最大值和最小值为M 和m ，即()m f x M ≤≤，我们将不等式两边同乘以()g x 可以推出，此时对于任意的[,]x a b ∈都会有
()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤
成立。对上式在闭区间[,]a b 上进行积分，可以得到
()()()()b
b
b
a
a
a
m g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤???。
此时在,m M 之间必存在数值μ，使得m M μ≤≤，即有
()()()b
b
a
a
f x
g x dx g x dx μ=?
?
成立。
由于()f x 在区间[,]a b 上是连续的，则在[,]a b 上必定存在一点ξ，使()f ξμ=成立。此时即可得到
()()()()b
b
a
a
f x
g x dx f g x dx ξ=?
?，
命题得证。
2.2积分第一中值定理的推广
定理：（推广的第一积分中值定理）若函数()f x 是闭区间[,]a b 上为可积函数，
()g x 在[,]a b 上可积且不变号，那么在开区间(,)a b 上至少存在一点ξ，使得
()()()(),(,)b
b
a
a
f x
g x dx f g x dx a b ξξ=∈?
?
成立。
推广的第一积分中值定理很重要，在这里给出两种证明方法。
证法1：由于函数()f x 在闭区间[,]a b 上是可积的，()g x 在[,]a b 上可积且不
变号，令()()()x
a
F x f t g t dt =?，()()x
a
G x g t dt =?，很显然(),()F x G x 在[,]a b 上连续。
并且()0,()()()b a
F a F b f t g t dt ==?，()0,()()b
a
G a G b g t dt ==?，()()()F f g ξξξ'=，
()()G g ξξ'= 。由柯西中值定理即可得到
()()()
,(,)()()()
F b F a F a b
G b G a G ξξξ'-=∈'-，
化简，即
()()()()
()
()b
a
b
a
f t
g t dt
f g g g t dt
ξξξ=
?
?，
根据上式我们很容易得出
()()()(),(,)b
b
a
a
f t
g t dt f g t dt a b ξξ=∈?
?，
命题得证。
证法2：由于函数()g x 在[,]a b 上可积且不变号，我们不妨假设()0g x ≥。而函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，我们令{}inf ()|[,]m f x x a b =∈，
{}sup ()|[,]M f x x a b =∈。假设()F x 是()f x 在闭区间[,]a b 上的一个原函数，即
()(),[,]F x f x x a b '=∈。我们就可以得到下面等式
()()()()b
b
b
a
a
a
m g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤???（2.2.1）
此时由于()0g x ≥，则会有()0b
a
g x dx ≥?，由于存在两种可能性，那么下面我们
就要分两种情况以下我们分两种情形来进行讨论：
(1).如果()0b
a
g x dx =?，由等式（2.2.1）可得出()()0b
a
f x
g x dx =?，那么对
于(,)a b ξ?∈ 都有
()()0()()b
b
a
a
f x
g x dx f g x dx ξ==?
?
恒成立。
(2).如果()0b a
g x dx >?，将（2.2.1）除以()b
a
g x dx ?可得
()()()b
a
b
a
f x
g x dx
m M g x dx
≤
≤??
，（2.2.2）
我们记
()()()b
a
b
a
f x
g x dx
g x dx
μ=
??
，（2.2.3）
此时我们又分两种情形继续进行讨论：
（Ⅰ）如果（2.2.2）式中的等号不成立，即有()()()b
a
b
a
f x
g x dx
m M g x dx
<
成立，
则此时一定就存在m M μ<<，可以使得
12(),()m f x f x M μμ<≤<≤，
我们不妨假设12x x <，这其中12,[,]x x a b ∈。因为()()F x f x '=，[,]x a b ∈，则会有
1122()()()()F x f x f x F x μ''=<<=。
此时至少存在一点12(,)x x ξ∈，使得()()F f ξξμ'==，即有
12()()()(),(,)[,]b
b
a
a
f x
g x dx f g x dx x x a b ξξ=?∈∈?
?
成立，从而结论成立。
（Ⅱ）如果（2.2.2）式中仅有一个等号成立时，我们不妨假设M μ=，因为()0b
a g x dx >?，此时一定存在区间11[,](,)a
b a b ∈（其中11a b <），使得11[,]x a b ?∈，
恒有()0g x >成立，我们可以将（2.2.3）式进行简化
()()()b b
a
a
g x dx f x g x dx μ?=??，
因为M μ=，则有
[()]()0b
a
M f x g x dx -=?
（2.2.4）
而且我们已知[()]()0M f x g x -≥，则
1
1
0[()]()[()]0x b
y a
M f x g x dx M f x dx ≤-≤-=??。
于是
1
1
[()]()0x y M f x g x dx -=?
（2.2.5）
在式子（2.2.5）下必定存在11[,](,)a b a b ξ∈?，使得()f M ξμ==。
如果不存在一个11[,](,)a b a b ξ∈?，使得()f M ξμ==，则在闭区间11[,]x y 上必定有()0M f x ->及()0g x >成立，从而使得[()]()0M f x g x ->。
如果1
1[()]()0b a M f x g x dx -=?，由达布定理在11[,]a b 上有[()]()0M f x g x -，
这与[()]()0M f x g x ->矛盾。
如果 1
1[()]()0b a M f x g x dx ->?，这与（2.2.5）式矛盾。所以存在[,]a b ξ∈，
使()()()(),(,)b b
a
a
f x
g x dx f g x dx a b ξξ=∈??，定理证毕。
积分中值定理的推广与应用 系别数学系 专业数学与应用数学姓名韩凤 指导教师张润玲 职称副教授 日期2011年6月
国内图书分类号： 吕梁学院本科毕业论文（设计） 积分中值定理的推广与应用 姓名韩凤 系别数学系 专业数学与应用数学 申请学位学士学位 指导教师张润玲 职称副教授 日期2011年6月
摘要 在微积分学中积分中值定理与微分中值定理一样有着重要的地位.微积分的许多问题和不等式的证明都以它为依据,积分中值定理在证明有关中值问题时具有极其重要的作用.它是《数学分析》、《高等数学》课程中定积分部分的基本定理之一.众所周知积分中值定理包括积分第一中值定理与积分第二中值定理,而在数学分析课本上已有过这两个定理的详细证明,但这两个定理的推广与应用尚未提及.因此,在教学过程中,学在运用这一知识点解决有关的数学问题比较困难,常常不知如何下手,本文主要讲述的是积分第一中值定理的各种形式的推广以及通过以下几方面的列举例题,加以归纳总结,并充分体现积分中值定理在学习解题练习中的应用. 关键词：积分中值定理；推广；应用
ABSTRACT The integral median value theorem and differential median value theorem has the same important position in the questions and the proof of the inequality are all based on the integral theorem,the integral median theorem has played an important role in solving the problems about is one of the basic theorems in the definite integral part of“the mathematical analysis”and“the higher mathematics”.Well-known that the integral median theorem include the first median theorem for integrals and the second median theorem for integrals and the textbooks of the mathematical analysis have the detailed proof about the two theorems,but the popularization and application of the two theorems have not been addressed .Therefore,it is difficult when students use this knowledge to solve the related problems during the process of article mainly introduce various popularization of the first median theorem for integrals and giving some example through the following aspects,and giving some summary,strive to reflect the application of integral median value theorem in studying the way which can slove the ploblems. Keywords：Integral median value theorem; Promotion; Applications.
第二积分中值定理 若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，而()p x 是区间[,]a b 上的单调有界函数，则有点()c a c b ≤≤，使 ()()d () ()d () ()d b c b a a c p x f x x p a f x x p b f x x + - =+? ? ? 其中()lim ()x a p a p x + +→=【右极限】，()lim ()x b p b p x --→=【左极限】。特别，若()0p a +=，则 ()()d () ()d b b a c p x f x x p b f x x - =? ? ()a c b ≤≤ 证明前的说明：()p x 是单调有界函数，所以它是可积的，而()()p x f x 作为可积函数的乘积也是可积的。其次，在下面的证明中， ①不妨认为()0p a +=，否则，令()()()q x p x p a +=-，则()0q a +=，于是由 ()()d () ()d b b a c q x f x x q b f x x - =? ? 即 [()()]()d [()()]()d b b a c p x p a f x x p b p a f x x + - + -=-?? ，可得一般情形 ()()d () ()d () ()d b c b a a c p x f x x p a f x x p b f x x + - =+? ? ? ②不妨认为()p x 是单调增加函数，因为若()p x 是单调减小函数，就用[()]p x -替换()p x 。 证 首先划分区间[,]a b ，即 01211i i n n a x x x x x x x b --=<<< <<<<<= 而在每一个小区间1[,]i i x x -上，都存在点1(,)i i i x x ξ-∈，使 1 1()d ()()i i x i i i x f x x f x x ξ--=-? 【第一积分中值定理】 于是，1 1() ()d ()()()i i x i i i i i x p f x x p f x x ξξξ--=-? ，求和得 1 11 1 ()()d ()()()i i n n x i i i i i x i i p f x x p f x x ξξξ--=== -∑∑? （※） 现在，将左端做变换，即 1 11 1 ()()d ()()d ()d i i i i n n x b b i i x x x i i p f x x p f x x f x x --==?? =-??????∑∑ ? ?? ξξ 1 11 2 () ()d ()()()d i n b b i i a x i p f x x p p f x x ξξξ--=??=+ -??∑? ? 因为()p x 是单调增加函数且()()0p x p a +≥=，所以11()0,()()0i i p p p ξξξ-≥-≥；再用m 和
这个定理的推导比较复杂，牵扯到积分上限函数：Φ(x) = ∫f(t)dt（上限为自变量x，下限为常数a）。以下用∫f(x)dx
推广的积分中值定理及其应用 摘要:定积分是微积分的重要组成部分,而积分中值定理是定积分的重要性质之一,所以积分中值定理在微积分中占了很重要的地位,本文系统的叙述了推广的积分中值定理包括:ξ必可以在开区间中取得,导函数的积分中值定理等多个方面,我们所学知识中积分中值定理与微分中值定理的中间点的存在区间是不统一的,但推广后的积分中值定理能够与微分中值定理的存在区间从形式上统一起来,使与其相关的理论得以联系和应用.同时,在本篇论文中以实例的形式列举了推广的积分中值定理在确定零点分布、证明积分不等式、求极限等方面的应用,显然,推广的积分中值定理的优点就在于此,它可以解决原积分中值定理无法解决的问题,这表明了积分中值定理在推广后更具有应用性. 关键词:积分中值定理;导函数;微分中值定理 Promotion of Integral Mean Value Theorem and Its Application Abstract:Definite integral is an important component of calculus, the mean value theorem is one of the important properties of the definite integral, so integral mean value theorem in calculus plays a very important position .This paper describes the system to promote the integral mean value theorem, including: ξwill be achieved in the open interval ,of the derivatives and other integral mean value theorem, we have the knowledge of the differential mean value theorem and the Intermediate Value Theorem Existence interval is not uniform, but after the promotion of integral mean value theorem and the Mean Value Theorem to the presence of range from the formal unity, so that contact can be associated with the theory and application. Meanwhile, in this paper an example to cite a form of integral mean value theorem in determining the zeros to prove inequality, such as the application of limit, obviously, to promote the advantages of integral mean value theorem in this, it Can solve the original integral mean value theorem can not solve the problem, suggesting that the integral mean value theorem in the promotion of a more applied after. Keywords: Integral mean value theorem, derivative, mean value theorem
2.1积分第一中值定理证明 积分第一中值定理: 如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，()g x 在(,)a b 上不变号，并且()g x 在闭区间[,]a b 上是可积的，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得 ()()()(),()b b a a f x g x dx f g x dx a b ξξ=≤≤? ? 成立。 证明如下： 由于()g x 在闭区间[,]a b 上不变号，我们不妨假设()0g x ≥，并且记()f x 在闭区间[,]a b 上的最大值和最小值为M 和m ，即()m f x M ≤≤，我们将不等式两边同乘以()g x 可以推出，此时对于任意的[,]x a b ∈都会有 ()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤ 成立。对上式在闭区间[,]a b 上进行积分，可以得到 ()()()()b b b a a a m g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤???。 此时在,m M 之间必存在数值μ，使得m M μ≤≤，即有 ()()()b b a a f x g x dx g x dx μ=? ? 成立。 由于()f x 在区间[,]a b 上是连续的，则在[,]a b 上必定存在一点ξ，使()f ξμ=成立。此时即可得到 ()()()()b b a a f x g x dx f g x dx ξ=? ?， 命题得证。 2.2积分第一中值定理的推广 定理：（推广的第一积分中值定理）若函数()f x 是闭区间[,]a b 上为可积函数， ()g x 在[,]a b 上可积且不变号，那么在开区间(,)a b 上至少存在一点ξ，使得 ()()()(),(,)b b a a f x g x dx f g x dx a b ξξ=∈? ?
中值定理的应用方法与技巧 中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分。微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述。积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f b a -=?ξ。积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a,b]上连续，且)(x g 在[a,b]上不变号，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得??=b a b a dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。 一、 微分中值定理的应用方法与技巧 三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明，也可应用于恒等式及不等式证明。由于三大中值定理的条件和结论各不相同，又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数，套用相应的中值定理进行证明。这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。 例一．设)(x ?在[0,1]上连续可导，且1)1(,0)0(==??。证明：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得b a b a +='+') ()(η?ξ?成立。 证法1：任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(??ξ?。 任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ?==，则在[0,1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈η，使得b b b =--=') 0()1(0)(??η?。 两式相加得：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得 b a b a +='+') ()(η?ξ? 成立。 证法2：任意给定正整数b a ,，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对
中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ 第二讲 微分与积分中值定理及其应用 1 微积分中值定理?错误!未定义书签。 1.１ 微分中值定理?错误!未定义书签。 １．2 积分中值定理?错误!未定义书签。 ２ 微积分中值定理的应用 ...................... 错误!未定义书签。 ４.1 证明方程根(零点)的存在性?错误!未定义书签。 4．2 进行估值运算?错误!未定义书签。 ４.3 证明函数的单调性?错误!未定义书签。 ４.4 求极限?8 4．５ 证明不等式?错误!未定义书签。 引言? Ｒo ｌle 定理,La ｇｒange 中值定理，Cauch ｙ中值定理统称为微分中值定理。微 分中值定理是数学分析中最为重要的内容之一，它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带,具有重要的理论价值与使用价值。 1 微积分中值定理 微分中值定理 罗尔(R ｏll ｅ)定理: 若函数f 满足如下条件 （ⅰ)f 在闭区间[a ，b]上连续; (ⅱ）f 在开区间（a,b ）内可导； (ⅲ))()(b f a f =, 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 0)(='ξf . 朗格朗日（Lagr ａn ｇe)中值定理： 设函数f 满足如下条件: (ⅰ)f 在闭区间[ａ,ｂ］上连续; （ⅱ)f 在开区间(a,b)上可导； 则在(a,ｂ）内至少存在一点ξ，使得 a b a f b f f --=') ()()(ξ． 柯西中值定理: 设函数f 和g 满足 (ⅰ)在［a,b]上都连续； (ⅱ)在(ａ，ｂ)内都可导； (ⅲ))('x f 和)('x g 不同时为零; (ⅳ))()(b g x g ≠, 则存在),(b a ∈ξ，使得 )()() ()()()(a g b g a f b f g f --= ''ξξ． 微分中值定理的推广 罗尔定理的推广 定理１: 设函数)(x f 在(ａ,b)内可导,且有 )()(lim )0()0()(lim ∞-∞+==-=+=-+ →→或为有限值或A A x f b f a f x f b x a x ,则存在点 ),(b a ∈ξ，使得0)(='ξf . 证明：首先对A 为有限值进行论证: 令? ? ?==∈=b x a x A b a x x f x F 或,),(),()( 则易知函数)(x f 在[a,ｂ]上连续，在(a,b ）内可导且)()(b F a F =．由Ro ｌle 定理可知,在（a,b)内至少存在一点ξ，使得0)(='ξF ,而在(a,b)内有)()(x f x F '=',所以0)(='ξf ． 其次对A=∞+(∞-）进行论证： 由引理1，)(x f 在（a,b ）内能取得最小值(最大值）.不妨设:函数)(x f 在),(b a ∈ξ处取得最小值(最大值）.此时函数)(x f 在),(b a ∈ξ处也就取得极小值(极大值)．又因为)(x f 在),(b a ∈ξ处可导，由Fer ｍａt 引理，可得0)(='ξf ． 综上所述,从而定理得证. 定理2: 设函数)(x f 在(ａ,∞+)，内可导，且)(lim )(lim x f x f x a x +∞ →→=+，证明:在（a ，∞+） 中存在一点ξ,使得0)(='ξf ． 定理3: 设函数)(x f 在(∞-,ｂ),内可导，且)(lim )(lim x f x f b x x -→-∞ →=，证明：在（∞-,ｂ) 2.1积分第一中值定理证明 积分第一中值定理: 如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，()g x 在(,)a b 上不变号，并且()g x 在闭区间[,]a b 上是可积的，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得 ()()()(),()b b a a f x g x dx f g x dx a b ξξ=≤≤? ? 成立。 证明如下： 由于()g x 在闭区间[,]a b 上不变号，我们不妨假设()0g x ≥，并且记()f x 在闭区间[,]a b 上的最大值和最小值为M 和m ，即()m f x M ≤≤，我们将不等式两边同乘以()g x 可以推出，此时对于任意的[,]x a b ∈都会有 ()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤ 成立。对上式在闭区间[,]a b 上进行积分，可以得到 ()()()()b b b a a a m g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤???。 此时在,m M 之间必存在数值μ，使得m M μ≤≤，即有 ()()()b b a a f x g x dx g x dx μ=? ? 成立。 由于()f x 在区间[,]a b 上是连续的，则在[,]a b 上必定存在一点ξ，使()f ξμ=成立。此时即可得到 ()()()()b b a a f x g x dx f g x dx ξ=? ?， 命题得证。 2.2积分第一中值定理的推广 定理：（推广的第一积分中值定理）若函数()f x 是闭区间[,]a b 上为可积函数，()g x 在[,]a b 上可积且不变号，那么在开区间(,)a b 上至少存在一点ξ，使得 ()()()(),(,)b b a a f x g x dx f g x dx a b ξξ=∈? ? 第二讲 微分与积分中值定理及其应用 1 微积分中值定理 0 微分中值定理 .......................................................................................... 0 积分中值定理 .......................................................................................... 2 2 微积分中值定理的应用 . (3) 证明方程根（零点）的存在性 ............................................................... 3 进行估值运算 .......................................................................................... 7 证明函数的单调性................................................................................... 7 求极限 ...................................................................................................... 8 证明不等式 . (9) 引言 Rolle 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理统称为微分中值定理。微分中 值定理是数学分析中最为重要的内容之一，它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有重要的理论价值与使用价值。 1 微积分中值定理 微分中值定理 罗尔(Rolle)定理: 若函数f 满足如下条件 (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）内可导； (ⅲ))()(b f a f =, 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 0)(='ξf ． 朗格朗日(Lagrange)中值定理: 设函数f 满足如下条件： (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）上可导； 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ． 上一篇文章讲了积分第一中值定理的证明，并给出了积分第一中值定理更一般的形式，这篇主要讲积分第二中值定理的证明。 积分第二中值定理： ()f x 在区间[,]a b 上可积，()x ?在区间[,]a b 上单调，那么在[,] a b 上存在内点ξ，使得： ()()(0)()(0)()b b a a f x x dx a f x dx b f x dx ξξ ???=++-? ?? 特别的，当()x ?在区间[,]a b 两端连续时，有 ()()()()()()b b a a f x x dx a f x dx b f x dx ξ ξ ???=+? ? ? 积分第二中值定理是一个更为精确的分析工具，在证明这个定理之前，先介绍Abel 引理。 Abel 引理：数列{}n a 和{}n b ，对于任意的2 10 n n >>，有 2 2 22111 1 1111()()n n n n n n n n n n n n n n n n a b b b a a a b a b -++-==-= -+-∑∑ 实际上： 2 1111112221 1111111122222 1111111122111111111211111121()()()...() ()()...()()()...(n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b b a b b a b b a b b a b b a a b a a b a a a b a b b a a b a a b a --++-=-++++---++++---=-+-++-=-+-+-++-+=-+-+-++∑222222 2 22111 111111 )()()n n n n n n n n n n n n n n n n a b a a a b b a a a b a b ++++-=-+-+-+-∑ 下面给出Abel 引理的一个理解方式，便于记忆。众所周知，积分与求和，微分与差分有许多相似之处，一个是对连续函数而言，一 对于积分中值定理的一点思考 摘要 积分中值定理是高等数学中重要的一部分，中值定理是人们认识高等数学世界、解决数 学问题的重要武器，本文在数学分析教材中第一积分中值定理的条件下，证明了介值点ξ必可在开区间 ),(b a 内取得，并且给出几分中值定理及其推广的一些应用. 关键词 积分中值定理 积分中值定理应用 积分中值定理的推广 第一积分中值定理 极限 一 引言 推广的积分第一中值定理： 若函数f(x)与g(x)在闭区间[a, b]上连续，且g(x)在[a, b]上不变号，则在[a, b]上至少存在一点ξ使得 ??=b a b a x d x g f x d x g x f )()()()()()(ξ （1） 推广的积分中值定理可改进如下： 定理1：若函数f(x)与g(x)在闭区间[a, b]上连续，且g(x)在[a, b]上不变号，则在) ,(b a 上至少存在一点ξ使得??=b a b a x d x g f x d x g x f )()()()()()(ξ。 对其证明如下： 因为)(x f 在],[b a 上连续，故)(x f 在],[b a 上存在最大值和最小值，不妨分别设为M 和m,即M x f m ≤≤)(，则必存在x x x x b a 2 1 2 1 ],,[,<∈，使m f x =)(1 ，M f x =)(2 ， 又因为 )(x g 在],[b a 上不变号，不妨设0)(≥x g ,则?≥b a dx x g 0)(， 且有)()()()(x Mg x g x f x mg ≤≤，又)(x f 和)(x g 都在],[b a 可积，则)()(x g x f 在] ,[b a 也可积，从而有 ???≤≤ b a b a b a dx x g M dx x g x f dx x g m )()()()( （2） 积分中值定理的推广与应用 系别数学系 专业数学与应用数学姓名韩凤 指导教师张润玲 职称副教授 日期2011年6月 国内图书分类号：O172.2 吕梁学院本科毕业论文（设计） 积分中值定理的推广与应用 姓名韩凤 系别数学系 专业数学与应用数学 申请学位学士学位指导教师张润玲职称副教授日期2011年6月 摘要 在微积分学中积分中值定理与微分中值定理一样有着重要的地位.微积分的许多问题和不等式的证明都以它为依据,积分中值定理在证明有关中值问题时具有极其重要的作用.它是《数学分析》、《高等数学》课程中定积分部分的基本定理之一.众所周知积分中值定理包括积分第一中值定理与积分第二中值定理,而在数学分析课本上已有过这两个定理的详细证明,但这两个定理的推广与应用尚未提及.因此,在教学过程中,学在运用这一知识点解决有关的数学问题比较困难,常常不知如何下手,本文主要讲述的是积分第一中值定理的各种形式的推广以及通过以下几方面的列举例题,加以归纳总结,并充分体现积分中值定理在学习解题练习中的应用. 关键词：积分中值定理；推广；应用 ABSTRACT The integral median value theorem and differential median value theorem has the same important position in the calculus.Many questions and the proof of the inequality are all based on the integral theorem,the integral median theorem has played an important role in solving the problems about median.It is one of the basic theorems in the definite integral part of“the mathematical analysis”and“the higher mathematics”.Well-known that the integral median theorem include the first median theorem for integrals and the second median theorem for integrals and the textbooks of the mathematical analysis have the detailed proof about the two theorems,but the popularization and application of the two theorems have not been addressed .Therefore,it is difficult when students use this knowledge to solve the related problems during the process of teaching.This article mainly introduce various popularization of the first median theorem for integrals and giving some example through the following aspects,and giving some summary,strive to reflect the application of integral median value theorem in studying the way which can slove the ploblems. Keywords：Integral median value theorem; Promotion; Applications. 积分第一中值定理及其推 广证明 Newly compiled on November 23, 2020 积分第一中值定理证明 积分第一中值定理: 如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，()g x 在(,)a b 上不变号，并且()g x 在闭区间 [,]a b 上是可积的，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得 成立。 证明如下： 由于()g x 在闭区间[,]a b 上不变号，我们不妨假设()0g x ≥，并且记()f x 在闭区间[,]a b 上的最大值和最小值为M 和m ，即()m f x M ≤≤，我们将不等式两边同乘以()g x 可以推出，此时对于任意的[,]x a b ∈都会有 成立。对上式在闭区间[,]a b 上进行积分，可以得到 ()()()()b b b a a a m g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤???。 此时在,m M 之间必存在数值μ，使得m M μ≤≤，即有 成立。 由于()f x 在区间[,]a b 上是连续的，则在[,]a b 上必定存在一点ξ，使()f ξμ=成立。此时即可得到 ()()()()b b a a f x g x dx f g x dx ξ=? ?， 命题得证。 积分第一中值定理的推广 定理：（推广的第一积分中值定理）若函数()f x 是闭区间[,]a b 上为可积函数，()g x 在 [,]a b 上可积且不变号，那么在开区间(,)a b 上至少存在一点ξ，使得 成立。 推广的第一积分中值定理很重要，在这里给出两种证明方法。 证法1：由于函数()f x 在闭区间[,]a b 上是可积的，()g x 在[,]a b 上可积且不变号，令()()()x a F x f t g t dt =?，()()x a G x g t dt =?，很显然(),()F x G x 在[,]a b 上连续。并且 积分中值定理（开区间）的几种证明方法 定理：设f 在[,]a b 上连续，则(,)a b ξ?∈，使得 ()()()b a f x dx f b a ξ=-?。 [证一]：由积分第一中值定理（P217）， [,]a b ξ?∈， 使得 ()()()b a f x dx f b a ξ=-?。 于是 [()()]0.b a f x f dx ξ-=? 由于函数()()()F x f x f ξ=-在[,]a b 上连续，易证（可反证）： (这还是书上例2的结论) (,)a b η?∈，使得()()()0F f f ηηξ=-=，即()()f f ηξ=。 [证二]：令()()x a F x f t dt =?，则()F x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件，故 (,)a b ξ?∈，使得()()()()F b F a F b a ξ'-=-，即结论成立。 （注：书上在后面讲的微积分基本定理） [证三]：反证：假设不(,)a b ξ?∈，使得 ()()()b a f x dx f b a ξ=-?，由积分第一中值定理， 知ξ只能为a 或b ，不妨设为b ，即 1(,),()()()b a x a b f x f b f x dx b a ?∈≠=-?。 由于f 连续，故(,),x a b ?∈ ()()f x f b >（或()()f x f b <）， （这一点是不是用介值定理来说明） 这样 （上限x 改为b ）()()()().x b a a f x dx f b dx f b b a >=-?? （这个严格不等号不太显然要用书上例2结论来说明） 矛盾。 [证四]：设f 在[,]a b 上的最大值为M ，最小值为m 。若m M =，则f c ≡，ξ可任取。 若m M <，则1[,]x a b ?∈，有1()0M f x ->，故 [()]0b a M f x dx ->?，即 ()().b a f x d x M b a <-? 海南大学 毕业论文（设计） 题目：积分中值定理的推广及应用 学号： 姓名： 年级： 学院：信息科学技术学院 系别：数学系 专业：信息与计算科学 指导教师： 完成日期：年月日 摘要 本论文讲述的主要内容是积分中值定理及其应用，我们将它主要分为以下几个方面：积分中值定理、积分中值定理的推广、积分中值定理中值点ξ的渐进性，积分中值定理的应用。 我们讨论了定积分中值定理、第一积分中值定理、第二积分中值定理，而且还给出了这些定理的详细证明过程。在此基础上，我们还讨论了在几何形体Ω上的黎曼积分第一中值定理，它使得积分中值定理更加一般化，此情形对于讨论一般实际问题有很显著作用。 在积分中值定理的推广方面，我们由最初的在闭区间[,] f x的积分中值 a b讨论函数() 定理情形转换为在开区间(,) f x上的积分中值定理，这个变化对于解决一 a b上讨论函数() 些实际的数学问题更为方便。不仅如此，我们还将几何形体Ω上的黎曼积分第一中值定理推广到第一、第二曲线型积分中定理和第一、第二曲面型积分中值定理情形。 有关ξ点的渐进性，我们对第一积分中值定理的ξ点的做了详细的讨论，给出详细清楚的证明过程。而第二积分中值定理的渐进性问题只证明了其中的一种情形，其它证明过程只做简要说明。 对于应用，我们给出了一些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号，比较积分大小，证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明。 关键词：积分中值定理；推广；应用；渐进性 Abstract The main content of this paper are the mean-value theorem and its application, it will be mainly divided into the following respects: integral mean-value theorem, the generalation of integral mean-value theorem, the asymptotic property of the “intermediate point”of integral median point, the application of integral mean-value theorem. We have discussed the definite integral mean-value theorem, the first mean value theorem, the second integral mean-value theorem, and have given a detailed proof of these theorems process. On this basis, we also have discussed the Riemann first integral mean-value theorem on the geometryΩ. It makes the integral mean-value theorem is more general, the case has a significant role in the discussion of practical issues in general. In the promotion of integral mean value theorem, we have discussed the integral mean-value theorem of function () a b in the case of f x in the initial closed interval [,] discussing it in the open interval(,) a b, the change has more convenience in solving some practical mathematical problem. In addition, we will promote the Riemann first integral mean-value theorem on the geometryΩto the situation of the first and second type curve in integral theorem and The second type surface integral mean-value theorem. About the Progressive of ξpoint, we have discussed the ξpoint of the mean-value theorem in detail and give clear proof of the process. While the gradual issues of the second integral mean value theorem has been demonstrated one of these situations. And the other process of proving has been expressed in brief. According to application,we presented a simple situation, for example, estimate integral value ,solve the limits of definite integral, define integral sign, compare the magnitude of integral value, prove the monotonic of function and Abel test and Dirichlet test Key words: integral mean-value; theorem promotion ;apply;progressive微分与积分中值定理及其应用
积分第一中值定理及其推广证明备课讲稿
微分与积分中值定理及其应用
积分第二中值定理的证明
对积分中值定理的一点思考
积分中值定理的推广与应用
积分第一中值定理及其推广证明
积分中值定理(开区间)证明的几种方法
积分中值定理的推广及应用
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