命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目及参考
答案
说明:红色标注题目可以暂且不做
命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目
一、填空
1、若P,Q,为二命题,Q
P→真值为0 当且仅当。2、命题“对于任意给定的正实数,都存
在比它大的实数”令F(x):x为实数,:)
,
(则命题的逻辑谓词公式y
L>
x
x
y
为
。
3、谓词合式公式)(
xP?
?的前束范式
x
→
)
(x
xQ
为。
4、将量词辖域中出现的
和指导变元交换为另一变元符号,公式
其余的部分不变,这种方法称为换名规
则。
5、设x是谓词合式公式A的一个客体变
元,A的论域为D,A(x)关于y是自由的,则
被称为存在量词消去规则,记为ES。
6.设P,Q 的真值为0,R,S的真值为1,则
→
∨
Q
P?
∨
?的真值
→
∧
?
(S
)))
(
R
(
)
P
R
(
= 。
7.公式P
∧)
(
)
(的主合取范式为
∨
R
S
R
P?
∨
∧
。
8.若解释I的论域D仅包含一个元素,则)(
xP?
→
?在I下真值为
xP
)
(x
x
。
9. P:你努力,Q:你失败。“除非你努力,否则你将失败”的翻译为
;“虽然你努力了,但还是失败了”的翻译为
。
10. 论域D={1,2},指定谓词P
则公式),(x y
?真值
x?
yP
为。
11.P,Q真值为0 ;R,S真值为1。则
∧
wff∧
R
∨
→
))
∧的真值∨
S
P
))
P
)
(
(
((
Q
R
(S
为
。
12. R
?)
)
((的主合取范式
∧
R
Q
∨
P
wff→
为
。
13.设 P(x):x是素数, E(x):x 是偶数,O(x):x是奇数 N (x,y):x可以整数y。则谓词)))
x
y
O
P
y
?的自然语言是
→
?
wff∧
x
(
)
(
N
(
,
y
(
(x
)
。
14.谓词)),,(
x
y
z
P
x
z
?的前束
?
P
?
∧
→
wff?
y
)
,
(
,
))
y
(
z
(
uQ
x
(u
范式为
。
二、选择
1、下列语句是命题的有()。
A、明年中秋节的晚上是晴天;
B、0>
x;
+y
C、0>xy当且仅当x和y都大于0;
D、
我正在说谎。
2、下列各命题中真值为真的命题有
()。
A、2+2=4当且仅当3是奇数;
B、
2+2=4当且仅当3不是奇数;
C、2+2≠4当且仅当3是奇数;
D、
2+2≠4当且仅当3不是奇数;
3、下列符号串是合式公式的有()
A、Q
P?
∨
Q
?;
P
∨
∧
P?;B、Q
(Q
P
?;C、)
P∨
)
(
D、)
?。
P?
(Q
4、 下列等价式成立的有( )。
A 、P Q Q P ?→??→;
B 、R R P P ?∧∨)(;
C 、
Q Q P P ?→∧)(; D 、R Q P R Q P →∧?→→)()(。
5、 若n A A A 21,和B 为wff ,且B A A A n ?∧∧∧ 21则
( )。
A 、称n A A A ∧∧∧ 21
为B 的前件; B 、称B 为n A A A 21,的有效结论
C 、当且仅当F B A A A n ?∧∧∧∧ 21;
D 、当且仅当F B A A A n ??∧∧∧∧ 21。
6、 A ,B 为二合式公式,且B A ?,则( )。
A 、
B A →为重言式; B 、*
*B A ?; C 、B A ?; D 、*
*B A
?; E 、B A ?为重言式。 7、 “人总是要死的”谓词公式表示为( )。
(论域为全总个体域)M(x):x是人;Mortal(x):x是要死的。
A、)(
(x
x
)
M∧
Mortal
(x
M→; B、)(
Mortal
)
x
C、))(
Mortal
(x
(
x
x∧
?
)
M
Mortal
?;D、))(
)
(x
(
x→
M
x
8、公式))(
A→
x
=的解释I为:个体域
P
?
(x
)
(
Q
x
D={2},P(x):x>3, Q(x):x=4则A的
真值为()。
A、1;
B、0;
C、可满足式;
D、无法判定。
9、下列等价关系正确的是()。
A、)(
x?
P
x
Q
∨
x
∨
?
?
?;
)
))
(
)
(
(
x
xQ
(x
xP
B、)(
∨
x?
x
Q
?
?
)
?;
∨
x
P
)
(
xP
(
(
))
x
xQ
(x
C、Q
→
(
?)
(
?
(;
)
)
xP
x
Q
x
x→
P
?
D、Q
?)
→
(
?
(
)
(。
)
xP
?
Q
x
x→
P
x
10、下列推理步骤错在()。
①))(
F
x
x→
?P
(x
G
)
(
②)(
F→US①
y
)
(y
G
③)(x
?P
xF
④)(y F ES③
⑤)(y G T②④I
⑥)(x
?EG⑤
xG
A、②;
B、④;
C、⑤;
D、⑥
11、在下述公式中是重言式为()
A.)
P
Q
Q
(P
)
P→
?;
?
→
∧
Q
(Q
)
(
((
Q
P
P∨
)
∧;B.))
(
→
C.Q
(; D.)
P
→。
P∨
(Q
Q
P∧
→
?)
12、命题公式)
?
P∨
→
→
?中极小项的个
Q
Q
)
(
(P
数为(),成真赋值的个数为()。
A.0; B.1; C.2; D.3 。
三、 逻辑判断
1、 用等值演算法和真值表法判断公式)())()((Q P P Q Q P A ??→∧→=的类型。(10分)
2、 下列问题,若成立请证明,若不成立请举出反例:(10分)
(1) 已知C B C A ∨?∨,问B A ?成立吗?
(2) 已知B A ???,问B A ?成立吗?
3、 如果厂方拒绝增加工资,那么罢工就不会停止,除非罢工超过一年并且工厂撤换了厂长。问:若厂方拒绝增加工资,而罢工刚开始,罢工是否能够停止。(10分)
四、计算
1、 设命题A 1,A 2的真值为1,A 3,A 4真值为0,求命题
)()))(((421321A A A A A A ?∨??∧→∨的真值。(5分)
2、利用主析取范式,求公式R
?)
(的
→
P∧
Q
Q
∧类型。(5分)
五、谓词逻辑推理 15%
1、用CP规则证明下题(每小题 8分)
→
?
∨
→
∨,
A→
∧
A
F
F
E
D
C
D
B
2、用逻辑推理证明:
所有的舞蹈者都很有风度,王华是个学生且是个舞蹈者。因此有些学生很有风度。
六、证明:(10%)
设论域D={a , b , c},求证:xB
x
x
xA∨
x
?
?。
∨
?
A
?
(x
(
)
(
))
(
)
B
)
(
x
参考答案:
一、填空
1、P真值为1,Q的真值为0;
2、)),(
L
x
y
F
x
→
?;
∧
F
x∧
?
(
(
)
y
(
)0,
)
L
(x
y
(
3、))(
x∨
P
?;
?
(x
)
(
Q
x
4、约束变元;
5、)(
xA?
x
?,y为D的某些元素。
)
A
(y
6. 1;
7.)
(
∨
∧
∨
?
∨
?
?
(R
P∨
S
)
S
R
P
8. 1;
9.Q
P→
P∧
?;Q
10. T
11. 1;
12. )
∨
∧
∨
P∨
∨
?
∨;
?
∨
∧
(
Q
(R
)
(
)
R
Q
P
P
Q
R
13. 任意x,如果x是素数则存在一个y,
y是奇数且y整除x ;
14. )),,(
y
z
P
x
x∨
u
∨
?
?。
?
?
?
?
z
)
,
(
,
)
P
(
(u
y
Q
z
y
x
二、选择
11. B、D
12. D;D
三、逻辑判断
1、(1)等值演算法
=)→
(
→
?
)
∧
(
)
((
(
))
)
(
?
?
P
Q
Q
P
T
Q
P
P
?
?
A?P
Q
Q
?
(2)真值表法
所以A 为重言式。
2、(1)不成立。
若取T C B C A T T B T T A T C ?∨?∨?∨?∨=有则 但A 与B 不一定等价,可为任意不等价的公式。
(2)成立。
证明:T B A B
A ???????充要条件 即:B
A A
B B A B A A B A B B A A B B A T ??→∧→?∨?∧∨???∨∧?∨??→?∧?→??)()()()()
()()()(
所以T
B
A?
?故B
A?。
3、解:设P:厂方拒绝增加工资;Q:罢工停止;R:罢工超过一年;S:撤换厂长前提:R
P
Q
S
R
P?
?
→
∧
?
→,
,)
)
(
(结论:Q?
①)
)
(
(Q
S
R
P?
→
∧
?
→P
②P P
③Q
S
R?
→
∧
?)
(T①②I
④R?P
⑤S
R?
∨
?T④I
⑥)
(S
R∧
?T⑤E
⑦Q?T③⑥I
罢工不会停止是有效结论。
四、计算
(1)解:1
1
1
1
)0
1(
1
)0
1(
1(
)1
1(
)))
1(
1(
=
?
=
?
∨
=
?
→
∨
=
∨
?
∧
→
∨
(2) F R Q Q P R Q Q P R Q Q P R Q Q P ?∧∧?∧?∧∧?∧?∧∧∨???∧∧→?)()()
()()(
它无成真赋值,所以为矛盾式。
五、谓词逻辑推理
1、 证明:
①A P (附加前提) ②B A ∨ T ①I
③D C B A ∧→∨ P
④D C ∧ T ②③I
⑤D T ④I
⑥E D ∨ T ⑤I
⑦F E D →∨ P
⑧F T ⑥⑦I
⑨F A → CP
2、设P(x):x 是个舞蹈者; Q(x) :x 很有风度; S(x):x 是个学生; a :王华
上述句子符号化为:
前提:))(
)
(
(x
Q
x
P
x→
?、)(
)
(a
P
a
S∧结论:))
(
)
(
(x
Q
x
S
x∧
?……3分
①)(
)
(a
P
a
S∧ P
②))(
)
(
(x
Q
x
P
x→
?P
③)(
)
(a
Q
a
P→US②
④)(a P T①I
⑤).(a Q T③④I
⑥)(a S T①I
⑦)(
)
(a
Q
a
S∧T⑤⑥I
⑧)(
)
(
(x
Q
x
S
x∧
? EG⑦
六、证明10%
))
(
)
(
(
)
(
)
(
(
))
(
)
(
(
))
(
)
(
(
))
(
)
(
(
))
(
)
(
(
))
(
)
(
(
))
(
)
(
(
))
(
)
(
(
))
(
)
(
(
))
(
)
(
(
))
(
)
(
(
))
(
)
(
(
)
(
)
(
)
(
(
)
(
)
(
)
(
(
)
( )
(
x
B
x
A
x
c
B
c
A
b
B
b
A
a
B a
A
c
B
c
A
b
B
c
A
a
B c
A
c
B
b
A
b
B
b
A
a
B b
A
c
B
a
A
b
B
a
A
a
B a
A
c
B
b
B
a
B
c
A
b
A
a
A
x
xB
x
xA
∨?
?
∨
∧
∨
∧
∨?
∨
∧
∨
∧
∨∧
∨
∧
∨
∧
∨∧
∨
∧
∨
∧
∨?
∧
∧
∨
∧
∧
?
?
∨?
#include
} } j=count; if(k==j)return; count=k; for(int i=1;i
命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目及参考 答案 说明:红色标注题目可以暂且不做 命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目 一、填空 1、若P,Q,为二命题,Q P→真值为0 当且仅当。2、命题“对于任意给定的正实数,都存 在比它大的实数”令F(x):x为实数,:) , (则命题的逻辑谓词公式y L> x x y 为 。
3、谓词合式公式)( xP? ?的前束范式 x → ) (x xQ 为。 4、将量词辖域中出现的 和指导变元交换为另一变元符号,公式 其余的部分不变,这种方法称为换名规 则。 5、设x是谓词合式公式A的一个客体变 元,A的论域为D,A(x)关于y是自由的,则 被称为存在量词消去规则,记为ES。 6.设P,Q 的真值为0,R,S的真值为1,则 → ∨ Q P? ∨ ?的真值 → ∧ ? (S ))) ( R ( ) P R ( = 。 7.公式P ∧) ( ) (的主合取范式为 ∨ R S R P? ∨ ∧
。 8.若解释I的论域D仅包含一个元素,则)( xP? → ?在I下真值为 xP ) (x x 。 9. P:你努力,Q:你失败。“除非你努力,否则你将失败”的翻译为 ;“虽然你努力了,但还是失败了”的翻译为 。 10. 论域D={1,2},指定谓词P 则公式),(x y ?真值 x? yP 为。 11.P,Q真值为0 ;R,S真值为1。则
∧ wff∧ R ∨ → )) ∧的真值∨ S P )) P ) ( ( (( Q R (S 为 。 12. R ?) ) ((的主合取范式 ∧ R Q ∨ P wff→ 为 。 13.设 P(x):x是素数, E(x):x 是偶数,O(x):x是奇数 N (x,y):x可以整数y。则谓词))) x y O P y ?的自然语言是 → ? wff∧ x ( ) ( N ( , y ( (x ) 。 14.谓词)),,( x y z P x z ?的前束 ? P ? ∧ → wff? y ) , ( , )) y ( z ( uQ x (u 范式为 。
谓词逻辑习题 1. 将下列命题用谓词符号化。 (1)小王学过英语和法语。 (2)2大于3仅当2大于4。 (3)3不是偶数。 (4)2或3是质数。 (5)除非李键是东北人,否则他一定怕冷。 解: (1) 令)(x P :x 学过英语,Q(x):x 学过法语,c :小王,命题符号化为)()(c Q c P ∧ (2) 令),(y x P :x 大于y, 命题符号化为)3,2()4,2(P P → (3) 令)(x P :x 是偶数,命题符号化为)3(P ? (4) 令)(x P :x 是质数,命题符号化为)3()2(P P ∨ (5) 令)(x P :x 是北方人;)(x Q :x 怕冷;c :李键;命题符号化为)()(x P c Q ?→ 2. 设个体域}{c b a D ,, =,消去下列各式的量词。 (1)))()((y Q x P y x ∧?? (2)))()((y Q x P y x ∨?? (3))()(y yQ x xP ?→? (4)))()((y yQ y x P x ?→?, 解: (1) 中))()(()(y Q x P y x A ∧?=,显然)(x A 对y 是自由的,故可使用UE 规则,得到 ))()(()(y Q y P y y A ∧?=,因此))()(())()((y Q y P y y Q x P y x ∧?∧?? ,再用ES 规则, )()())()((z Q z P y Q y P y ∧∧? ,D z ∈,所以)()())()((z Q z P y Q x P y x ∧∧?? (2)中))()(()(y Q x P y x A ∨?=,它对y 不是自由的,故不能用UI 规则,然而,对 )(x A 中约束变元y 改名z ,得到))()((z Q x P z ∨?,这时用UI 规则,可得: ))()((y Q x P y x ∨?? ))()((z Q x P z x ∨??? ))()((z Q x P z ∨? (3)略 (4)略 3. 设谓词)(y x P ,表示“x 等于y ”,个体变元x 和y 的个体域都是}321 {,,=D 。求下列各式的真值。 (1))3(,x xP ? (2))1(y yP ,? (3))(y x yP x ,?? (4))(y x yP x ,?? (5))(y x yP x , ?? (6))(y x xP y , ?? 解:
1.某地发生一起刑事案件,经过公安人员的努力侦破,作案嫌疑人锁定在A、B、C三人中,并且摸清了以下情况: ①只有01号案件成功告破,才能确认A、B、C三人都是作案人。 ②目前,01号案件还是一起悬案。 ③如果A不是作案人,那么A的供词是真的,但A说自己与B都不是作案人。 ④如果B不是作案人,那么B的供词也是真的,但B说自己与C是好朋友。 ⑤现已查明C根本不认识B。 根据上述线索,问:A、B、C三人中谁是作案人? 解:令p:01号案件成功告破;q、r、s分别表示A、B、C作案;t:B与C是 好朋友。据题意有: 1. {1} ┐p→┐(q∧r∧s)P 2. {2} ┐p P 3. {3} ┐q→(┐q∧┐r)P 4. {4} ┐r→t P 5. {5} ┐t P 6. {4.5} r T4.5否定后件 7. {1.2} ┐(q∧r∧s)T1.2肯定前件 8. {1.2} ┐q∨┐r∨┐s T7德摩根 9. {1.2.3} q T3.6否定后件 10. {1.2.3.4.5} q∧r P6.9组合式 答:AB作案,至于C尚待侦查。 2.综合分析题(要求写出推导过程):某班有学生61人,下面有三句话: ①该班有些学生会使用计算机。 ②该班有些学生不会使用计算机。 ③该班班长不会使用计算机。 已知上述三句话中,只有一句话是真的,试问:哪一句话是真话?该班有多少学生会使用计算机? 解:①②分别为I命题和O命题,二者是下反对关系,必有一真,或许都真;但据题设只有一句真话,可知③为假,真实情况是班长会使用计算机。既然这样第一句话“该班有些学生会使用计算机”就是真的,而第二句话就是假的。O命题假,根据矛盾关系可知,A命题即“该班所有学生都会使用计算机”就真,所以,全班61个学生都会计算机。 3.下面有三句话: ①如果甲是篮球队员,则乙就是足球队员。 ②如果乙是足球队员,则甲就是篮球队员。 ③甲不是篮球队员。 已知上述三句话中只有一句话是真话,问:甲是不是篮球队员?乙是不是足球队员?哪一句话是真话? (要求写出推导过程) 解:令p表示“甲是篮球队员”,q表示“乙是足球队员”,再令③即“┐p”真,据题设有: ①{1} ┐(p→q)P ②{2} ┐(q→p)P ③{3} ┐p P ④{1} p∧┐q T①等值关系 ⑤{1} p T④合取分解
第二章谓词逻辑 2—1基本概念 例题1. 所有的自然数都是整数。 设N(x):x是自然数。I(x):x是整数。此命题可以写成?x(N(x)→I(x)) 例题2. 有些自然数是偶数。 设E(x):x是偶数。此命题可以写成?x(N(x)∧E(x)) 例题3. 每个人都有一个生母。 设P(x):x是个人。M(x,y):y是x的生母。此命题可以写成:?x(P(x)→?y(P(y)∧M(x,y))) 2-2 谓词公式及命题符号化 例题1. 如果x是奇数,则2x是偶数。 其中客体x与客体2x之间就有函数关系,可以设客体函数g(x)=2x, 谓词O(x):x是奇数,E(x):x是偶数, 则此命题可以表示为:?x(O(x)→E(g(x))) 例题2 小王的父亲是个医生。 设函数f(x)=x的父亲,谓词D(x):x是个医生,a:小王,此命题可以表示为D(f(a))。 例题3 如果x和y都是奇数,则x+y是偶数。 设h(x,y)=x+y ,此命题可以表示为:?x?y((O(x)∧O(y))→E(h(x,y)) 命题的符号表达式与论域有关系 两个公式:一般地,设论域为{a1,a2,....,an},则有 (1). ?xA(x)?A(a1)∧A(a2)∧......∧A(an) (2). ?xB(x)?B(a1)∨B(a2)∨......∨B(an) 1.每个自然数都是整数。该命题的真值是真的。 表达式?x(N(x)→I(x))在全总个体域的真值是真的,因?x(N(x)→I(x))?(N(a1)→I(a1))∧(N(a2)→I(a2))∧…∧(N(an)→I(an)) 式中的x不论用自然数客体代入,还是用非自然数客体代入均为真。例如(N(0.1)→I(0.1))也为真。 而?x(N(x)∧I(x))在全总个体域却不是永真式。 ?x(N(x)∧I(x))?(N(a1)∧I(a1))∧(N(a2)∧I(a2)) ∧…∧(N(an)∧I(an)) 比如x用0.2代入(N(0.2)∧I(0.2))就为假。所以此表达式不能表示这个命题。 2.有些大学生吸烟。此命题的真值也是真的。 ?x(S(x)∧A(x))?(S(a1)∧A(a1))∨(S(a2)∧A(a2))∨…∨(S(an)∧A(an)) 且x只有用吸烟的大学生代入才为真,例如a2不是大学生 或者不会吸烟的客体,则(S(a2)∧A(a2))为假。所以用?x(S(x)∧A(x))表示此命题是对的。 而?x(S(x)→A(x))中的x用非大学生的客体代入时也为真,例如(S(a2)→A(a2))为真。所以表达式?x(S(x)→A(x))不能表示这个命题。 3.所有大学生都喜欢一些歌星。 令S(x):x是大学生,X(x):x是歌星,L(x,y):x喜欢y。则命题的表达式为: ?x(S(x)→?y(X(y)∧L(x,y))) 4.没有不犯错误的人。 此话就是“没有人不犯错误”,“没有”就是“不存在”之意。令P(x):x是人,F(x):x犯错误,此命题的表达式为:??x(P(x)∧?F(x)) 或者?x(P(x)→F(x)) 5.不是所有的自然数都是偶数。 令N(x):x是自然数,E(x):x是偶数,命题的表达式为: ??x(N(x)→E(x)) 或者?x(N(x)∧?E(x))
. 命题逻辑 一、选择题(每题3分) 1、下列句子中哪个是命题?(C) A、你的离散数学考试通过了 吗? B 、请系好安全带! C、是有理数 D 、本命题是假的 2、下列句子中哪个不是命 题?(C) A、你通过了离散数学考试 B 、我俩五百年前是一家 C、我说的是真话 D 、淮海工学院是一座工厂 3、下列联接词运算不可交换的 是(C) A、B、 C 、 D 、 4、命题公 式P Q不能表述为(B) A、P或Q B 、非P每当QC、非P仅当Q D、除非P,否则Q 5、永真式的否定是(B) A、永真式 B 、永假 式 C 、可满足式 D 、以上答案均有可能 6、下列哪组赋值使命题公 式P(P Q)的真值为假(D) A、P假Q真 B、P假Q假C 、P真Q真D、P真Q假 7、下列为命题公式P (Q R)成假指派的是(B) A、100 B 、101 C 、110 D 、111 8、下列公式中为永真式的是(C) A、P(PQ) B、P (PQ) C、(PQ) Q D、(PQ)Q 9、下列公式中为非永真式的是(B) A、(P P) Q B、(P P) Q C、P(P Q) D、P(PQ) 10、下列表达式错误的是(D) A、P(PQ) P B 、P(PQ) P C、P(PQ)PQ D 、P(PQ)PQ 11、下列表达式正确的是(D) A、PPQ B、PQP C、Q (P Q) D、(PQ)Q 12、下列四个命题中真值为真的命题为(B) (1)2 2 4当且仅当3是奇数(2)2 2 4 当且仅当3不是奇数; (3)2 2 4当且仅 当3是奇数(4)2 24当且仅当3不是奇数 A、(1)与(2) B 、(1)与(4)C、(2)与(4) D 、(3)与(4) 13、设P:龙凤呈祥是成语,Q:雪是黑的,R:太阳从东方升起,则下列假命题为(A) A、P Q R B 、Q P S C、P Q R D 、Q P S 14、设P:我累,Q:我去打球,则命题:“除非我累,否则我去打球”的符号化为( B ) A、PQ B 、P Q C、PQ D、P Q 15、设P:我听课,Q:我睡觉,则命题“我不能一边听课,一边睡觉”的符号化 为(B) A、PQ B 、P QC、PQ D、P Q 提示:(P Q) P Q 16、设P:停机;Q:语法错误;R:程序错误, 则命题“停机的原因在于语法错误或程序错误”的符号化为( D) A、PQR B、P QR C、QRP D、QRP 17、设P:你来了;Q:他唱歌;R:你伴奏 则命题“如果你来了,那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而的符号化为(D )
命题逻辑练习题 一、从五个备选答案中选择一个正确的答案,并做出简要的分析: 1、古代一位国王率领张、王、李、赵、钱五位将军一起打猎,各人的箭上均刻有自己的姓氏。围猎中,一只鹿中箭倒下,但却不知是何人所射。国王令众将军猜测。 张说:“或者是我射中的,或者是李将军射中的。” 王说:“不是钱将军射中的。” 李说:“如果不是赵将军射中的,那么一定是王将军射中的。” 赵说:“既不是我射中的,也不是王将军射中的。” 钱说:“既不是李将军射中的,也不是张将军射中的。” 国王令人把射中鹿的箭拿来,看了看,说:“你们五位将军的猜测,只有两个人的话是真的。” 根据国王的话,可以判定以下哪项是真的? A、张将军射中此鹿。 B、王将军射中此鹿。 C、李将军射中此鹿。 D、赵将军射中此鹿。 E、钱将军射中此鹿。 1、某大学进行演讲比赛,得第一名的只有一人。在对六个参赛者进行名次预测时,四人作了如下 预测: 甲:取得第一名的要么是我,要么是乙。 乙:取得第一名的要么是甲,要么是丙。 丙:如果不是戊取得第一名,就一定是己。 丁:第一名决不会是甲。 比赛结果发现,只有一个人的预测正确。请问谁得第一名?谁的预测正确? A、甲得第一名,乙的预测正确。 B、乙得第一名,甲的预测正确。 C、丙得第一名,乙的预测正确。 D、丁得第一名,丁的预测正确。 E、戊得第一名,丙的邓测正确。 2、销售经理的人选,对于一个公司的生存和发展十分重要。哈维珍珠有限责任公司对于销售经理 的任用,就非常填重。由于前任销售经理因故离任,关于公司新销售经理的人选,甲、乙、丙 三位董事经过充分考虑,提出了他们的意见: 甲:要么聘用李先生,要么聘用王先生。 乙:如果不聘用李先生,那么也不聘用王先生。 丙:如果不聘用王先生,那么就聘用李先生。
2.4 归结原理 本节在上节的基础上,进一步具体介绍谓词逻辑的归结方法。谓词逻辑的归结法是以命题逻辑的归结法为基础,在Skolem 标准性的子句集上,通过置换和合一进行归结的。 下面先介绍一些本节中用到的必要概念: 一阶逻辑:谓词中不再含有谓词的逻辑关系式。 个体词:表示主语的词 谓词:刻画个体性质或个体之间关系的词 量词:表示数量的词 个体常量:a,b,c 个体变量:x,y,z 谓词符号:P,Q,R 量词符号:, 归结原理正确性的根本在于,如果在子句集中找到矛盾可以肯定命题是不可满足的。 2.4.1 合一和置换 置换:置换可以简单的理解为是在一个谓词公式中用置换项去置换变量。 定义: 置换是形如{t1/x1, t2/x2, …, t n/x n}的有限集合。其中,x1, x2, …, x n是互不相同的变量,t1, t2, …, t n是不同于x i的项(常量、变量、函数);t i/x i表示用t i置换x i,并且要求t i与x i不能相同,而且x i
不能循环地出现在另一个t i中。 例如 {a/x,c/y,f(b)/z}是一个置换。 {g(y)/x,f(x)/y}不是一个置换,原因是它在x和y之间出现了循环置换现象。置换的目的是要将某些变量用另外的变量、常量或函数取代,使其不在公式中出现。但在{g(y)/x,f(x)/y}中,它用g(y)置换x,用f(g(y))置换y,既没有消去x,也没有消去y。若改为{g(a)/x,f(x)/y}就可以了。 通常,置换用希腊字母θ、σ、α、λ来表示的。 定义:置换的合成 设θ={t1/x1, t2/x2, …, t n/x n},λ={u1/y1, u2/y2, …, u n/y n},是两个置换。则θ与λ的合成也是一个置换,记作θ·λ。它是从集合{t1·λ/x1, t2·l/x2, …, t n·λ/x n, u1/y1, u2/y2, …, u n/y n} 即对ti先做λ置换然后再做θ置换,置换xi 中删去以下两种元素: i. 当t iλ=x i时,删去t iλ/x i(i = 1, 2, …, n); ii. 当y i∈{x1,x2, …, x n}时,删去u j/y j(j = 1, 2, …, m) 最后剩下的元素所构成的集合。 例: 设θ={f(y)/x, z/y},λ={a/x, b/y, y/z},求θ与λ的合成。 解: 先求出集合
第一章绪论(P6) 一、 1.逻辑学的研究对象是思维的形式结构及其规律,逻辑学是研究思维形式结构及其规律的科学。 2.思维形式结构是思维内容的存在方式、联系方式。逻辑常项是思维形式结构中的不变部分,它决定思维的逻辑内容。逻辑变项是思维形式结构中的可变部分,它容纳思维的具体内容。如“所有S是P”这一全称肯定命题的思维形式结构,其中“所有……是……”是逻辑常项,表明该命题具有“全称肯定”的逻辑内容。“S”、“P”是逻辑变项(词项变项),代入不同具体词项,表达不同的具体思维内容,并有真假。又如“如果P,那么Q”这一充分条件假言命题的思维形式结构,其中“如果……那么……”是逻辑常项,表明该命题具有蕴涵式的逻辑内容,即前件真则后件真(“有之必然”),并非前件真而后件假(并非“有之而不然”)。“P、Q”是逻辑变项(命题变项),代入不同的具体命题,表达不同的具体思维内容,并有真假。3.对思维形式结构的代入,是指用具体的词项或命题替换思维形式结构中的逻辑变项,因而使思维形式结构成为有内容的具体思想,并具有真假值。如用具体的词项“杨树”和“落叶乔木”,分别替换“所有S是P”这一全称肯定命题的思维形式结构中的逻辑变项“S”和“P”,因而使思维形式结构成为有内容的具体思想“所有杨树是落叶乔木”,并具有真值。又如用具体的命题“过度砍伐森林”和“会破坏生态平衡”,分别替换“如果P,那么Q”这一充分条件假言命题的思维形式结构中的逻辑变项“P”和“Q”,因而使思维形式结构成为有内容的具体思想“如果过度砍伐森林,那么会破坏生态平衡”,并具有真值。 4.现代逻辑从形式上定义和说明逻辑规律。如命题逻辑中的逻辑规律就是重言式(一真值形式在命题变项的任意一组赋值下都真),谓词逻辑中的逻辑。规律就是普遍有效式(指一命题形式在任一解释下都得到一个真命题)①,传统逻辑主要从内容、作用上定义和说明逻辑规律。逻辑规律有特殊和一般之分。如定义、划分的规则,是特殊的逻辑规律,作用于定义、划分的特殊范围。同一律、矛盾律、排中律和充足理由律,是一般的、基本的逻辑规律,概括正确思维形式结构的基本性质和联系,普遍作用于各类思维形式结构,支配各类思维形式结构的特殊规律(规则),对思维具有强制的规范和约束作用,保证思维的确定性、一贯性、明确性和论证性。违反这些规律,会发生逻辑谬误。 5.逻辑矛盾,是指一类思维形式结构,在任意代入下都表达虚假的思想内容。如“有S不是S”、“P并且非P”。命题逻辑中的矛盾式,指一真值形式在命题变项的任意一组赋值下都假。谓词逻辑中的矛盾式(不可满足式),指一命题形式在任一解释下都不能得到一个真命题。模态逻辑中的矛盾式(不可满足式),指一模态公式在任意模型的任一可能世界上都假。逻辑矛盾又叫自相矛盾。狭义的逻辑矛盾指同时肯定一对互相矛盾的命题(如“这是牛,并且这不是牛”)。广义的逻辑矛盾还包括同时肯定一对互相反对的命题(如“这是牛,并且这是马”),因为同时肯定一对互相反对的命题,相当于同时肯定两对互相矛盾的命题(如“这是牛,并且这不是牛”与“这是马,并且这不是马”)。 6.思维形式结构的规律,是正确的思维形式结构所具有的普遍、必然的性质和联系。有特殊和一般之分。特殊的思维形式结构的规律,指各类思维形式结构的特殊规则,如定义、划分
河南城建学院 《人工智能》实验报告 实验名称:实现基于谓词逻辑的归结原理 成绩:____ 专业班级: 学号: 姓名: 实验日期:20 14 年 05 月 13日 实验器材:一台装PC机。 一、实验目的 熟练掌握使用归结原理进行定理证明的过程,掌握基于谓词逻辑的归结过程中,子句变换过程、替换与合一算法、归结过程及简单归结策略等重要环节,进一步了解机器自动定理证明的实现过程。 二、实验要求 对于任意给定的一阶谓词逻辑所描述的定理,要求实现如下过程: (1) 谓词公式到子句集变换; (2) 替换与合一算法; (3) 在某简单归结策略下的归结。 三、实验步骤 步1 设计谓词公式及自居的存储结构,即内部表示。注意对全称量词?x和存在量词?x可采用其他符号代替; 步2 实现谓词公式到子句集变换过程; 步3 实现替换与合一算法; 步4 实现某简单归结策略;
步5 设计输出,动态演示归结过程,可以以归结树的形式给出; 步6 实现谓词逻辑中的归结过程,其中要调用替换与合一算法和归结策略。 四、代码 谓词公式到子句集变换的源代码: #include
谓词逻辑 一、选择题(每题3分) 1、设个体域{,}A a b =,则谓词公式(()())x F x G x ?∧消去量词后,可表示为为( C ) A 、(()())(()())F a F b G a G b ∧∨∧ B 、(()())(()())F a F b G a G b ∨∧∨ C 、(()())(()())F a G a F b G b ∧∨∧ D 、(()())(()())F a G a F b G b ∨∧∨ 2、设个体域{,}A a b =,则谓词公式(),x yR x y ??去掉量词后,可表示为( D ) A 、()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∧∧∧ B 、()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∨∨∨ C 、()()()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∧∨∧ D 、()()()()()()b b R a b R b a R a a R ,,,,∨∧∨ 提示:原式()()()()()()()() ,,,,,,yR a y yR b y R a a R a b R b a R b b ??∧??∨∧∨ 3、设个体域{,}D a b =,使谓词公式()xP x ?的真值为1的谓词P 满足( D ) A 、()0,()0P a P b == B 、()0,()1P a P b == C 、()1,()0P a P b == D 、()1,()1P a P b == 4、设个体域{2}D =,()P x :3x >,()Q x :4x =,则谓词公式(()())x P x Q x ?→为( A ) A 、永真式 B 、永假式 C 、可满足式 D 、无法判定 5、谓词公式(,)((,)(,))F x y G x y F x y →→的真值( D ) A 、与谓词变元有关,与论述域无关 B 、与谓词变元无关,与论述域有关 C 、与谓词变元和论述域都有关 D 、与谓词变元和论述域都无关 提示:()()p q p p q p T →→??∨?∨?. 6、谓词公式(,)(,)y xP x y x yP x y ??→??的真值( D ) A 、与谓词变元有关,与论述域无关 B 、与谓词变元无关,与论述域有关 C 、与谓词变元和论述域都有关 D 、与谓词变元和论述域都无关 7、谓词公式(()())()x P x yR y Q x ?∨?→中的变元x ( C ) A 、仅是自由的 B 、仅是约束的 C 、既是自由的也是约束的 D 、既不是自由的也不是约束的 8、设D :全总个体域,()H x :x 是人, ()P x :x 要死的, 则命题“人总是要死的”的逻辑符号化为( D ) A 、(()())x H x P x ?∧ B 、(()())x H x P x ?→ C 、(()())x H x P x ?∧ D 、(()())x H x P x ?→ 9、设D :全总个体域,()H x :x 是人, ()P x :x 犯错误, 则命题“没有不犯错误的人”的逻辑符号化为( D ) A 、(()())x H x P x ?∧ B 、(()())x H x P x ?→ C 、(()())x H x P x ?∧ D 、(()())x H x P x ?→ 10、设D :全总个体域,()F x :x 是花,()M x :x 是人,(,)H x y :x 喜欢y , 则命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为( D ) A 、(()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→ B 、(()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→ C 、 (()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→ D 、(()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→ 11、设D :全总个体域,()L x :x 是演员,()J x :x 是老师,(,)A x y :x 钦佩y , 则命题“所有演员都钦佩某些老师”的逻辑符号化为( B ) A 、)),()((y x A x L x →? B 、))),()(()((y x A y J y x L x ∧?→? C 、 )),()()((y x A y J x L y x ∧∧?? D 、)),()()((y x A y J x L y x →∧?? 12、设P 是不含自由变元x 的谓词,则下列表达式错误的有( B ) A 、(())()x A x P xA x P ?∨??∨ B 、(()())()()x A x B x xA x xB x ?∨??∨? C 、 (())()x A x P xA x P ?∧??∧ D 、(()())()()x A x B x xA x xB x ?∧??∧? 13、设B 是不含自由变元x 的谓词,则下列表达式错误的有( B ) A 、(())()x A x P xA x P ?∨??∨ B 、(()())()()x A x B x xA x xB x ?∨??∨? C 、(())()x A x P xA x P ?∨??∨ D 、(()())()()x A x B x xA x xB x ?∨??∨?
谓词逻辑-归结原理例题 习题3.5, 1. (1) ()P x :x 是大学生 ()Q x :x 是诚实的 则命题可表示为: 已知:1:(()())G x P x Q x ?→, 2:()G Q a ? 证明:()P a ? 习题3.5, 1. (2) 将下面的命题符号化,并证明之:已知每一个运动员都是强壮的,而每一个既强壮又聪明的人在他所从事的事业中都能获得成功,彼得是运动员并且是聪明的,证明彼得在他的事业中将会成功。 提示:定义谓词 ()P x :x 是运动员 ()Q x :x 是强壮的 ()R x :x 是聪明的 ()S x :x 在他所从事的事业中获得成功。 则命题可表示为: 已知:1:(()())G x P x Q x ?→, 2:(()()())G x Q x R x S x ?∧→,()P a ,()R a 证明:()S a 提示:可用归结原理证明:(1)先把公式都化成Skolem 范式,(2)然后利用US ,ES 将公式中的量词除去,(3)化成合取范式,(4)化成蕴涵式,(5)化成子句集(结论用否定加入), (6)进行归结,直至引出矛盾。 可化成如下子句集: {()()P x Q x →,()()()Q x R x S x ∧→,()P a →,()R a →,}()S a → 归结: (1)()()P x Q x → (2)()P a → (3)()Q a → 由(1)(2)
(4)()()()Q x R x S x ∧→ (5)()()R a S a → 由(3)(4) (6)()R a → (7)()S a → 由(5)(6) (8)()S a → (9) 由(7)(8) 习题3.5, 1. (3) ()E x :x 进入国境 ()V x :x 是重要人物 ()C x :x 是海关人员 ()P x :x 是走私者 (,)S x y :y 检查x 已知: 1:((()())(()(,)))G x E x V x y C y S x y ?∧?→?∧, 2:(()()((,)()))G x P x E x y S x y P y ?∧∧?→ 3:(()())G x P x V x ?→? 证明:(()())x P x C x ?∧ 先化成子句集: {} 1((()())(()(,))) ((()())(()(,))) ((()()())(()()(,))) ()()(()),()()(,())G x E x V x y C y S x y x y E x V x C y S x y x y E x V x C y E x V x S x y E x V x C f x E x V x S x f x =??∧?∨?∧=???∨∨∧=???∨∨∧?∨∨?→∨→∨ {}2(()()((,)()))(),(),(,)()G x y P x E x S x y P y P a E a S a y P y =??∧∧→?→→→ 注意G2,如果理解成(()()(,)())x y P x E x S x y P y ??∧∧→,则还需有条件(()())x P x E x ?∧,最后同样能得到如上的子句集{}(),(),(,)()P a E a S a y P y →→→。不
谓词逻辑习题 1. 将下列命题用谓词符号化。 (1)小王学过英语和法语。 (2)2大于3仅当2大于4。 (3)3不是偶数。 (4)2或3是质数。 (5)除非李键是东北人,否则他一定怕冷。 解: (1) 令)(x P :x 学过英语,Q(x):x 学过法语,c :小王,命题符号化为)()(c Q c P ∧ (2) 令),(y x P :x 大于y, 命题符号化为)3,2()4,2(P P → (3) 令)(x P :x 是偶数,命题符号化为)3(P ? (4) 令)(x P :x 是质数,命题符号化为)3()2(P P ∨ (5) 令)(x P :x 是北方人;)(x Q :x 怕冷;c :李键;命题符号化为)()(x P c Q ?→ 2. 设个体域}{c b a D ,,=,消去下列各式的量词。 (1)))()((y Q x P y x ∧?? (2)))()((y Q x P y x ∨?? (3))()(y yQ x xP ?→? (4)))()((y yQ y x P x ?→?, 解: (1) 中))()(()(y Q x P y x A ∧?=,显然)(x A 对y 是自由的,故可使用UE 规则,得到 ))()(()(y Q y P y y A ∧?=,因此))()(())()((y Q y P y y Q x P y x ∧?∧?? ,再用ES 规则, )()())()((z Q z P y Q y P y ∧∧? ,D z ∈,所以)()())()((z Q z P y Q x P y x ∧∧?? (2)中))()(()(y Q x P y x A ∨?=,它对y 不是自由的,故不能用UI 规则,然而,对 )(x A 中约束变元y 改名z ,得到))()((z Q x P z ∨?,这时用UI 规则,可得: ))()((y Q x P y x ∨?? ))()((z Q x P z x ∨??? ))()((z Q x P z ∨? (3)略 (4)略 3. 设谓词)(y x P ,表示“x 等于y ”,个体变元x 和y 的个体域都是}321 {,,=D 。求下列各式的真值。 (1))3(,x xP ? (2))1(y yP ,? (3))(y x yP x , ?? (4))(y x yP x ,??
命题逻辑 一、选择题(每题3分) 1、下列句子中哪个是命题? ( C ) A 、你的离散数学考试通过了吗? B 、请系好安全带! C 、 π是有理数 D 、 本命题是假的 2、下列句子中哪个不是命题? ( C ) A 、你通过了离散数学考试 B 、我俩五百年前是一家 C 、 我说的是真话 D 、 淮海工学院是一座工厂 3、下列联接词运算不可交换的是( C ) A 、∧ B 、∨ C 、 → D 、 ? 4、命题公式P Q ?→不能表述为( B ) A 、P 或Q B 、非P 每当Q C 、非P 仅当Q D 、除非P ,否则Q 5、永真式的否定是 ( B ) A 、 永真式 B 、永假式 C 、可满足式 D 、 以上答案均有可能 6、下列哪组赋值使命题公式()P P Q →∧的真值为假( D ) A 、P 假Q 真 B 、P 假Q 假 C 、P 真Q 真 D 、P 真Q 假 7、下列为命题公式()P Q R ∧∨?成假指派的是( B ) A 、100 B 、101 C 、110 D 、111 8、 下列公式中为永真式的是 ( C ) A 、()P P Q →∧ B 、()P P Q ?→∧ C 、()P Q Q ∧→ D 、()P Q Q ∨→ 9、 下列公式中为非永真式的是( B ) A 、 ()P P Q ∧?→ B 、()P P Q ∨?→ C 、()P P Q ∧?→ D 、()P P Q ∨?→ 10、下列表达式错误的是( D ) A 、()P P Q P ∨∧? B 、()P P Q P ∧∨? C 、()P P Q P Q ∨?∧?∨ D 、()P P Q P Q ∧?∨?∨ 11、下列表达式正确的是( D ) A 、P P Q ?∧ B 、P Q P ?∨ C 、()Q P Q ???→ D 、Q Q P ??→?)( 12、下列四个命题中真值为真的命题为( B ) (1)224+=当且仅当3是奇数 (2)224+=当且仅当3不是奇数; (3)224+≠当且仅当3是奇数 (4)224+≠当且仅当3不是奇数 A 、(1)与(2) B 、(1)与(4) C 、(2)与(4) D 、(3)与(4) 13、设P :龙凤呈祥是成语,Q :雪是黑的,R :太阳从东方升起,则下列假命题为( A ) A 、R Q P ∧→ B 、Q P S →∧ C 、P Q R →∨ D 、 Q P S →∨ 14、设P :我累,Q :我去打球,则命题:“除非我累,否则我去打球”的符号化为( B ) A 、P Q → B 、Q P ?→ C 、 Q P →? D 、P Q ?→? 15、设P :我听课,Q :我睡觉,则命题 “我不能一边听课,一边睡觉”的符号化为( B ) A 、P Q → B 、Q P ?→ C 、 Q P →? D 、P Q ?→? 提示:()P Q P Q ?∧?→? 16、设P :停机;Q :语法错误;R :程序错误, 则命题 “停机的原因在于语法错误或程序错误” 的符号化为( D ) A 、R Q P ∧→ B 、P Q R →∨ C 、Q R P ∧→ D 、Q R P ∨→ 17、设P :你来了;Q :他唱歌;R :你伴奏 则命题 “如果你来了,那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定” 的符号化为( D ) A 、()P Q R →∧ B 、()P Q R →→ C 、()P R Q →→ D 、()P Q R →? 18、在命运题逻辑中,任何非永真命题公式的主合取范式都是( A ) A 、 存在并且唯一 B 、存在但不唯一 C 、 不存在 D 、 不能够确定
2.2命题逻辑的归结 2.2.1命题逻辑基础 逻辑可分为经典逻辑和非经典逻辑,其中经典逻辑包括命题逻辑和谓词逻辑。归结原理是一种主要基于谓词(逻辑)知识表示的推理方法,而命题逻辑是谓词逻辑的基础。因此,在讨论谓词逻辑之前,先讨论命题逻辑的归结,便于内容上的理解。 本节中,将主要介绍命题逻辑的归结方法,以及有关的一些基础知识和重要概念,如数理逻辑基本公式变形、前束范式、子句集等。 描述事实、事物的状态、关系等性质的文字串,取值为真或假(表示是否成立)的句子称作命题。 命题:非真即假的简单陈述句 在命题逻辑里,单元命题是基本的单元或作为不可再分的原子。下面所列出的是一些基本的数理逻辑公理公式和一些有用的基本定义,如合取范式、子句集,这些公式和定义在归结法的推理过程中是必不可少的,也是归结法的基础,应该熟练掌握。 -数理逻辑的基本定义 下面所列的是一些数理逻辑中重要的定义,在后面的分
析中要用到: ·合取式:p与q,记做p∧q ·析取式:p或q,记做p∨q ·蕴含式:如果p则q,记做p→q ·等价式:p当且仅当q,记做p q ·若A无成假赋值,则称A为重言式或永真式; ·若A无成真赋值,则称A为矛盾式或永假式; ·若A至少有一个成真赋值,则称A为可满足的; ·析取范式:仅由有限个简单合取式组成的析取式 ·合取范式:仅由有限个简单析取式组成的合取式 -数理逻辑的基本等值式 下面这些基本的等式在归结原理实施之前的公式转化过程中是非常重要的。只有将逻辑公式正确转换成为归结原理要求的范式,才能够保证归结的正常进行。 ·交换律:p∨q q∨p; p∧q q∧p ·结合律:(p∨q)∨r p∨(q∨r); (p∧q)∧r p∧(q∧r) ·分配律:p∨(q∧r)(p∨q)∧(p∨r); p∧(q∨r)(p∧q)∨(p∧r)·双重否定律:p~~p ·等幂律:p p∨p;p p∧p
1. 将下列命题用谓词符号化。 4) 2 或 3 是质数。 5)除非李键是东北人,否则他一定怕冷。 解: (1) 令 P( x) :x 学过英语, Q(x) :x 学过法语, c :小王,命题符号化为 P(c) Q(c) (2) 令P(x,y):x 大于 y, 命题符号化为 P(2,4) P(2,3) (3) 令 P(x):x 是偶数,命题符号化为 P(3) (4) 令 P(x):x 是质数,命题符号化为 P(2) P(3) (5) 令 P(x):x 是北方人; Q(x):x 怕冷; c :李键;命题符号化为 Q(c) P(x) 2. 设个体域 D {a ,b ,c} ,消去下列各式的量词。 (1) x y(P(x) Q(y)) (2) x y(P(x) Q(y)) (3) xP(x) yQ(y) (4) x(P(x ,y) yQ(y)) 解: (1) 中 A(x) y(P(x) Q( y)) ,显然 A(x)对y 是自由的,故可使用 UE 规则,得到 A(y) y(P(y) Q(y)) , 因此 x y(P(x) Q(y)) y(P(y) Q( y)) ,再用 ES 规则, y( P( y) Q(y)) P(z) Q(z),z D ,所以 x y(P(x) Q(y)) P(z) Q(z) (2)中 A(x) y(P(x) Q( y)) ,它对 y 不是自由的,故不能用 UI 规则,然而,对 A( x)中约束变元 y 改名z ,得到 z(P(x) Q( z)) ,这时用 UI 规则,可得: x y(P(x) Q(y)) x z(P(x) Q(z)) z(P(x) Q(z)) 3) 略 4) 略 3. 设谓词 P(x ,y)表示“x 等于 y ”,个体变元 x 和y 的个体域都是 D {1,2,3} 。求下列各式 的真值。 (1) xP( x ,3) (2) yP(1,y) (3) x yP(x ,y) (4) x yP( x ,y) (5) x yP(x ,y) (6) y xP(x ,y) 解: (2) 当 x 3时可使式子成立,所以为 Ture 。 (3) 当 y 1 时就不成立,所以为 False 。 谓词逻辑习题 1) 小王学过英语和法语。 2) 2大于3仅当 2大于 4。 3) 3 不是偶数。