初中数学竞赛练习题集
数论部分
1. 求满足2p 2 p 8 m 2 2m 的所有素数 p 和正整数 m .
2. 设a 、b 为整数，x 、y 为整数，证明：形如ax by 的正整数中，最小值ax 0 by 0 (a,b).
2 2
3. 求方程x y 2(x y) xy 的所有正整数解?
4. 正整数n 满足当10 k 2时，有n k 1(mod k)，求n 的最小值.
6.已知 a 1，a ?, a 3, a 4， 是满足条件 a 1 a ? a 3
a 4 关于x 的方程 x 耳 x a 2 x % x a 4 x a 5
7. 试求出所有这样的正整数
a 使得关于x 的二次方程ax 2 2(2a 1)x 4(a 3) 0至少
有一个整数根. 2
8. 是否存在质数p 、q ，使得关于x 的一元二次方程 px qx p 0有有理数根 , 2 2
9. 已知m 、n 均为正整数，且 m n ，2006m m 2007 n n .证明：m n 是为完全 平方数.
2 2
10. 已知k 为常数，关于x 的一元二次方程(k 2k)x (4 6k)x 8 0的解都是整数， 求k 的值.
2
9n 10n 2009能表示为两个连续自然数之积，求 5. a 是三位数, b 是一位数，且 2 b
2 a 、一—都是整数，求
b ab 1 b 的最大值与最小值
a 5 9的五个不同的整数，且
b 是 2009的整数根，求b 的值. 11.已知n 为自然数, n 的最大值.
12.设a 是3的正整数次幕,
b 是2的正整数次幕, 试确定所有这样的 a 、b ，使得二次方程
2 x ax b 0的根是整数
13.是否存在这样的正整数
n ，使得3n 2 7n 1能整除n 3 n 2 n 1请说明理由 14.求使得 2n(n 1)(n 2)( n
3) 12可表示为2个正整数平方和的自然数 n 的个数. 15.证明：存在无穷多对正整数 m,n ，满足方程 m 2 25n 2 10mn 7 m n
16. 求方程x3 6x2 5x y3 y 2的整数解.
1
17. 已知a、b都是正整数，试问关于x的方程x2 abx (a b) 0是否有两个整数解
2
18. 求方程x2 y2 208( x y)的所有正整数解.
2
19. 设a为质数，b为正整数，且9(2a b) 509(4a 511b)求a，b的值.
20. 已知正整数a满足192 a3191,且a 2009，求满足条件的所有可能的正整数a的和.
21. 试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2r 2x r 1 0有根且只有整数根.
22. 已知p为质数，使二次方程x22px p25p 1 0的两根都是整数，求出所有可能的p的值.
23. 求方程4x240 x 51 0的解.