黄锷院士在《OnHolo-Hilbert spectral analysis: afull informational spectralrepresentation for nonlinear andnon-stationary data》中提出一种高维全息谱分析理论HHSA(Holo-Hilbert spectral analysis)
要理解HHSA方法，首先要了解希尔伯特变换、经验模态分解(EMD)、与希尔伯特-黄变换(HHT)。
学术背景：
在信号处理与频谱分析的目的是要描述信号的频谱含量在时间上变化，以便能在时间和频谱上同时表示信号的能量或者强度。傅里叶频谱并没有告诉我们哪些频率在什么时候出现。因此傅里叶变换无法表现信号频率成分的时变性，因此学术界先后发展出了短时傅里叶变换、窗口傅里叶变换、小波等手段，近似的求信号某一时刻的瞬时频率。
希尔伯特变换：
希尔伯特变换是以著名数学家大卫〃希尔伯特(David Hilbert)来命名。通过希尔伯特变换，使得我们对短信号和复杂信号的瞬时参数的定义及计算成为可能，能够实现真正意义上的瞬时频率的提取，因而希尔伯特变换在信号处理上具有十分重要的地位，使得希尔伯特变换具有广泛的工程应用。
但在进一步的工程应用中，希尔伯特变换具有以下缺陷：
(1)希尔伯特变换只能近似应用于窄带信号。但实际应用中，存
在许多非窄带信号，希尔伯特变换对这些信号无能为力。即
便是窄带信号，如果不能完全满足希尔伯特变换条件，也会
使结果发生错误。而实际信号中由于噪声的存在，会使很多
原来满足希尔伯特变换条件的信号无法完全满足；
(2)对于任意给定时刻，通过希尔伯特变换运算后的结果只能在
一个频率值，即只能处理任何时刻为单一频率的信号；
(3)对于一个非平稳的数据序列，希尔伯特变换得到的结果很大
程度上失去了原有的物理意义。
图1 傅立叶、小波与希尔伯特-黄变换对瞬时频率的分辨率
希尔伯特-黄变换：
针对上述的三个问题，黄锷院士在1998年提出希尔伯特-黄变换(HHT)。其基本思想是：讲一个非稳态、非线性的信号分解为若干个稳态信号，在对分解后的信号进行希尔伯特变换，分别求取对应的瞬时频率。
在这里将非稳态、非线性信号分解为多个稳态信号的算法成为经
验模态分解(EMD)，EMD算法是希尔伯特-黄变换的核心，也是其能处理非稳态信号与非线性信号的关键。
经验模态分解(EMD)
EMD方法被认为是2000年来以傅立叶变换为基础的线性和稳态频谱分析的一个重大突破，该方法是依据数据自身的时间尺度特征来进行信号分解，无须预先设定任何基函数。这一点与建立在先验性的谐波基函数和小波基函数上的傅里叶分解与小波分解方法具有本质性的差别。
正是由于这样的特点，EMD 方法在理论上可以应用于任何类型的信号的分解，因而在处理非平稳及非线性数据上，具有非常明显的优势,适合于分析非线性、非平稳信号序列，具有很高的信噪比。所以，EMD方法一经提出就在不同的工程领域得到了迅速有效的应用，例如用在海洋、大气、天体观测资料与地震记录分析、机械故障诊断、动力系统的阻尼识别以及大型土木工程结构的模态参数识别等方面。
EMD能使复杂信号分解为有限个本征模函数（Intrinsic Mode Function，IMF），所分解出来的各IMF分量包含了原信号的不同时间尺度的局部特征信号。然后进行希尔伯特变换获得时频谱图，得到有物理意义的频率。
本征模函数(IMF）
在物理上，如果瞬时频率有意义，那么函数必须是对称的，局部均值为零，并且具有相同的过零点和极值点数目。在此基础上，
NordneE.Huang等人提出了本征模函数（Intrinsic Mode Function，简称IMF）的概念。本征模函数任意一点的瞬时频率都是有意义的。Huang等人认为任何信号都是由若干本征模函数组成，任何时候，一个信号都可以包含若干个本征模函数，如果本征模函数之间相互重叠，便形成复合信号。EMD分解的目的就是为了获取本征模函数，然后再对各本征模函数进行希尔伯特变换，得到希尔伯特谱。
Huang认为，一个本征模函数必须满足以下两个条件：
(1)函数在整个时间范围内，局部极值点和过零点的数目必须相
等，或最多相差一个；
(2)在任意时刻点，局部最大值的包络（上包络线）和局部最小
值的包络（下包络线）平均必须为零。
EMD分解为IMF过程：
例如：某一信号如下所示：
第一步，找出信号中的局部最大值，并使用三次样条拟合成一条包络线，如下图所示：
第二步，找出信号中的局部最最小值，并使用三次样条拟合成一条包络线，如下图所示：
第三步，局部最大值包络线减去局部最小值包络线，如下图所示：
第四步，原始信号减去均值包络线即使第一个分量IMF1，如下图所示
对IMF1进行同样操作可以获得第二个IMF2，如此反复，获得所有IMF，如下图所示：
在HHT中，对部分的非线性的信号不能很好的识别，例如一个正弦波与噪声信号乘积所产生的信号，虽然可以通过HHT变换识别出来，但不清楚具体细节。
信号加上高斯噪声，与信号乘上高斯噪声
两种方式噪声引入信号后，所对应的频谱，其中绿色虚线为原正弦波频谱，蓝色实线为噪声频谱，红色为信号频谱。可以发现正弦波乘上噪声后的频谱中完全没有原信号的频率成分。
而当前的HHT中可以观察到一部分的正弦波成分，但却缺失正弦波的关键信息。
在这里黄锷认为，虽然在整个信号上的频率分布不清楚，但在ＥＭＤ分解后的IMF中，能量的分布与原信号相一致，即在IMF中的幅值是即关于频率也关于时间的函数。即黄锷最新提出的HHSA方法是一个同是体现时域-频域-能量域(幅值)的方法，如下图所示
主要应用
哈佛医学院用HHT来测量心率不整
约翰霍普金斯公共卫生学院用它来测量登革热的扩散
海军用它来探测潜艇
地震工程、地球物理探测、卫星资料分析
潜艇设计、结构损害侦测
潮汐、波浪场等各项研究
在脑机上的应用
目前HHT作为经典的非线性系统分析方法，在脑机上早有大量
应用。
上述的分析表明HHT与HHAS均是对信号进行经验模态分解的基础上进行的。而经验模态分解一个很重要的特点是依靠信号自身的特性分解为若干个IMF，通过对这些分解后的IMF分析，进而判断信号的特性。因此从HHT与HHAS的应用场合上可以看出，其分析的信号多是能反复出现的、有规律的、非线性的、非稳态的信号。
在脑机上，HHT与ＨＨＡＳ的典型应用是针对脑信号经常稳定在某一状态上的场景，大脑在这些状态下的脑电信号是可以稳定复现的，即使是脑电信号本身非稳态、非线性，但ＥＭＤ分解出的信号是类似的。例如长期失眠、抑郁状态、或高度睡眠、注意力高度集中下，其分解的信号是比较“纯净”的，可以作为参考的。而人脑在一般的思维过程中产生的信号是很难分解出与有具体含义的成分的。这是有ＥＭＤ算法本身所决定的，因为ＥＭＤ依靠信号本身特性分解，没有一个共同的“基”，因此一旦脑电信号解析出来的ＩＭＦ没有对应参考，就无法判断大脑状态。因此ＨＨＴ与ＨＨＡＳ在神经学上检测睡眠、失眠、抑郁，即其他大脑长期处于某种状态的疾病，具有较好的应用。
此外课题组曾在2015年的暑假期间，使用ＨＨＴ算法对１４类的运动想象信号进行识别分类，在离线数据集上达到７５％的正确率，而在实际测试中发现，绝大部分试次均判别错误。分析原因是，两次实验下被试的大脑状态有所变化，之前脑电信号中分解出的ＩＭＦ与之后分解的ＩＭＦ，无法产生对应关系，因为这两次实验被试大脑状
态都不够“纯净”，产生的脑电信号不能用同一个ＩＭＦ表示，这也说ＥＭＤ分解的局限性。因此ＨＨＴ与HHSA只能应用与信号复现率较高、而且信号是非线性、非稳态的应用场合。
第三章 傅里叶变换 3.1周期信号的傅里叶级数分析 （一） 三角函数形式的傅里叶级数 满足狄利赫里条件的周期函数()f t 可由三角函数的线性组合来表示，若 ()f t 的周期为1T ，角频率11 2T π ω=，频率111f T =，傅里叶级数展开表达 式为 ()()()0111 cos sin n n n f t a a n t b n t ωω∞ ==++????∑ 各谐波成分的幅度值按下式计算 ()01 01t T t a f t dt T +=? ()()01 012cos t T n t a f t n t dt T ω+=? ()()01 012sin t T n t b f t n t dt T ω+=? 其中1,2,n =??? 狄利赫里条件： （1） 在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个； （2） 在一个周期内，极大值和极小值的数目应是有限个； （3） 在一个周期内，信号是绝对可积的，即()00 t T t f t dt +? 等于有限值。 （二） 指数形式的傅里叶级数 周期信号的傅里叶级数展开也可以表示为指数形式，即 ()()11 jn t n n f t F n e ωω∞ =-∞ = ∑ 其中 ()0110 11t T jn t n t F f t e dt T ω+-= ? 其中n 为从-∞到+∞的整数。
（三） 函数的对称性与傅里叶系数的关系 （1） 偶函数 由于()f t 为偶函数，所以()()1sin f t n t ω为奇函数，则 ()()01 112sin 0t T n t b f t n t dt T ω+==? 所以，在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。 （2） 奇函数 由于()f t 为奇函数，所以()()1cos f t n t ω为奇函数，则 ()01 0110t T t a f t dt T +==? ()()01 011 2cos 0t T n t a f t n t dt T ω+= =? 所以，在奇函数的傅里叶级数中不会含有直流项和余弦项，只可能包含正弦项 （3） 奇谐函数（()12T f t f t ?? =-+ ?? ?） 半波对称周期函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正、余弦项，而 不会含有偶次谐波项，这也是奇谐函数名称的由来。 （四） 傅里叶有限级数与最小方均误差 吉布斯现象：在用有限项傅里叶级数合成原周期函数时，当选取傅里叶有限项级数愈多时，在所合成的波形中出现的峰起愈靠近()f t 的不连续点。当所选取的项数很大时，该峰起值趋于一个常数，它大约等于总跳 变值的9%，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去，这种现象通常称为吉布斯现象。 3.2傅里叶变换
第三章 离散傅里叶变换（DFT ） 1. 如图P3-1所示，序列)(n x 是周期为6的周期性序列，试求其傅里叶级数的系数。 图 P3-1 分析 利用DFS 的定义求解。 解：由nk j n nk n e n x W n x k X 6250650 )()()(~π -==∑∑== k j k j k j k j k j e e e e e 56 246 236 226 26 21068101214πππππ-----+++++= 计算求得 ,3j39(1)X ~ 60,(0)X ~-== 3j 3(2)X ~ += , 3j 3(4)X ~ 0,(3)X ~-== 3j39(5)X ~ += 2. 设4()()x n R n =，6()(())x n x n =，试求)(~k X ，并做图表示)(~ ),(~ k X n x 。 分析 利用DFS 的定义求解。 解： 由 k j k j k j nk j n nk n e e e e n x W n x k X ππ π π -----=+++===∑∑3 236250 650 1)(~)(~)(~ 计算求得 ,3j (1)X ~ 4,(0)X ~-== 1(2)X ~ = ,1(4)X ~ 0,(3)X ~== 3j (5)X ~ = )(~),(~k X n x 如图P3-2所示。
图 P3-2 3. 已知)(n x 是N 点有限长序列，)]([)(n x DFT k X =。现将长度变成rN 点的有限长序列)(n y ???-≤≤-≤≤=1,01 0),()(rN n N N n n x n y 试求rN 点DFT[)(n y ]与)(k X 的关系。 分析 利用DFT 定义求解，)(n y 是rN 点序列，因而结果相当于在频域序列进行插值。 解：由)(k X = DFT[)(n x ]∑-=-=1 02)(N n nk N j e n x π ，10-≤≤N k 可得 nk rN N n nk rN N n W n x W n y n y DFT k Y ∑∑-=-====10 1 )()()]([)( )()(1 2r k X e n x N n l k n N j ==∑-=-π， 1,...,0,-==N l lr k 所以在一个周期内，)(k Y 的抽样点数是)(k X 的r 倍（)(k Y 的周期为Nr ），相当于在)(k X 的每两个值之间插入r-1个其他的数值（不一定为零），儿当k 为r 烦人整数l 倍时，)(k Y 与)(r k X 相等。 4. 已知)(n x 是N 点有限长序列，)]([)(n x DFT k X =，现将)(n x 的每两点之间补进
第三章傅立叶变换 第一题选择题 1．连续周期信号f (t )的频谱F(w)的特点是 D 。 A 周期连续频谱 B 周期离散频谱 C 非周期连续频谱 D 非周期离散频谱 2．满足抽样定理条件下，抽样信号f s (t)的频谱)(ωj F s 的特点是 （1） （1）周期、连续频谱； （2）周期、离散频谱； （3）连续、非周期频谱； （4）离散、非周期频谱。 3．信号的频谱是周期的连续谱，则该信号在时域中为 D 。 A 连续的周期信号 B 离散的周期信号 C 连续的非周期信号 D 离散的非周期信号 4．信号的频谱是周期的离散谱，则原时间信号为 （2） 。 （1）连续的周期信号 （2）离散的周期信号 （3）连续的非周期信号 （4）离散的非周期信号 5．已知f （t ）的频带宽度为Δω，则f （2t -4）的频带宽度为（ 1 ） （1）2Δω （2）ω?2 1 （3）2（Δω-4） （4）2（Δω-2） 6．若=)(1ωj F F =)()],([21ωj F t f 则F =-)]24([1t f （ 4 ） （1）ωω41)(21j e j F - （2）ωω41)2 (21j e j F -- （3）ωωj e j F --)(1 （4）ωω21)2 (21j e j F -- 7．信号f （t ）=Sa （100t ），其最低取样频率f s 为（ 1 ） （1）π100 （2）π 200 （3）100π （4）200 π 8．某周期奇函数，其傅立叶级数中 B 。 A 不含正弦分量 B 不含余弦分量 C 仅有奇次谐波分量 D 仅有偶次谐波分量 9．某周期偶谐函数，其傅立叶级数中 C 。 A 无正弦分量 B 无余弦分量 C 无奇次谐波分量 D 无偶次谐波分量 10．某周期奇谐函数，其傅立叶级数中 C 。 A 无正弦分量 B 无余弦分量 C 仅有基波和奇次谐波分量 D 仅有基波和偶次谐波分量 11．某周期偶函数f(t)，其傅立叶级数中 A 。