正应力强度的危险点。
E 截面具有最大正弯矩，上压下拉，,max
,max E E σ
σ-
+
<，下边缘点是危险点。
（4）正应力强度校核：由于拉压强度不同，必须同时考虑B 、E 这两个具有最大正负弯矩的截面。 []3
,m ax
m ax
5
4
:
20100.0725406.01310B B t z
B M y
I σ
σ+
-??=
?=
=<=?上截面Pa 24.11M Pa M Pa
m
[]3
,m ax
m ax
5
20100.157552.391006.01310
B
B c z
M y
I σ
σ-
-??=
?=
=<=?下P a M P a M P a
[]3
,m ax
m ax
5
:
10100.1575406.01310
E E t z
E M y
I σ
σ+
-??=
?=
=<=?下截面Pa 26.19M Pa M Pa
故，正应力强度足够。
6-13、图示简支梁，其横截面尺寸如图b 所示，40.625c y =mm 。若梁材料的容许拉应力[]160t σ=MP a ，容许压应力[]80c σ=MP a 。试计算梁的容许均布荷载集度[]q 。
(c)
M N ·m)
3.125q
+
(b)
q
题6-13图
3
232464
112512125(109.375)1212512212510025(40.625)251007.35610122z I -??=??+-????
??
??+??+-??=?????
m m m
（2）内力分析，判危险面。弯矩图如图(b)所示，危险面是跨中横截面。
2
m ax 12588
M ql q =
=
（3）应力分析，判危险点：
跨中横截面具有最正负弯矩，上压下拉，m ax m ax σσ+
-
>，由于[][]16080t c σσ==MP MP a >a ，故上下边缘点都是正应力强度的危险点。
（4）正应力强度校核：
[][]6m ax m ax 6
6m ax m ax 62580.109375160107.35610 3.44325 4.63580.04062580107.35610B t z B c z q
M y I q q q
M y I σσσσ+---?
?=?=?<=???=??
→??=???=?=?<=????
下上kN/m kN/m
故，梁的容许均布荷载集度[]min(3.443,4.635) 3.443q ==kN/m
6-14 图示梁由两根槽钢组成。钢的容许应力[][]160100στ==MP MP a,a ，试选择梁的槽钢型号。
(d )
M k N ·m)
114
(b)
56
2020
56
(c)
V k N)
+
-
题6-14
解： （1）外力分析，荷载与轴线垂直，发生弯曲变形。荷载在纵向对称面内，与轴线垂直，梁发生平面弯曲。中性轴z 轴过形心C 与载荷垂直，沿水平方向。
（2）内力分析，判危险面。弯矩图如图(c) 、(d)所示，正应力强度的危险面是跨中横截面，剪应力强度的危险面靠近支座。
max 114,56D M V =?=kN m kN
（3）应力分析，判危险点：由于截面关于中性轴z 对称，故D 危险面的上下边缘点是正应力强度危险点, A 的右截面、B 的左截面的中性轴上各点为剪应力强度危险点。
（4）由正应力强度条件，选择槽钢型号 [][]
3max
333
max ,max 6
1141020.712510356.25216010
D z z z
M M W W W σσσ-?=
≤→≥
==?→≥?m cm
查表选择NO.28b 工字钢的3
366z W =cm 略大于所需的。 （5）由剪应力强度条件，校核所选择工字钢型号 查表得No.28b 的：
5130,280x I h ==4
cm 高mm,腰厚d =9.5mm,平均腿厚t =12.5mm,腿宽b=84mm 故：由两根槽钢组
合梁的截面几何性质：
*,43
25130210260,
2()/2(/2220.280.2820.084()/2(0.0840.0095/2 4.35310m
22z x z I I h h S b b -==?=??=??--? ?
??
??=??--?=? ???
4
22
半22cm d)(-t))(-0.0125)
[]34
m ax ,m ax 8
5610 4.3531012.51026010
20.0095
z z V S P a M P a I b
ττ*
--????=
=
=
故采用两根No.28b 槽钢。
6-15 某一跨度为l =8m 的简支梁，在跨度中央受集中力P=80作用。该梁如图示由两根36a 工字钢铆接而成。铆钉直径d=20mm,铆钉间距s=150mm 。铆钉的容许剪应力[]60τ=MP a ，钢梁的容许正应力[]160σ=MP a 。（1）试校核铆钉的强度。（2）当P 值及作用于梁跨中央的条件不变时，试确定简支梁的容许跨度[l ]。
V kN)
40
-+
40
题6-15
20l
M k N ·m)
(b)
(c)
(d )
+
解： （1）外力分析，荷载与轴线垂直，发生弯曲变形。荷载在纵向对称面内，与轴线垂直，梁发生平面弯曲。中性轴z 轴过形心载荷垂直，上下对称水平方向。 查表得No.36a 的：
76.480,15800,360x A I h ===24
cm cm 高mm,腿宽b=136mm
两根工字钢组合梁的截面几何性质：
8424*43,0.3622[158001076.48010(
)]8.11590410,420.360(76.48010) 1.37664102
2
z x z h I I A h S A -----??=+?=??+??=? ??
?=?=??=?2
4
3
半
cm m b=0.136m
（2）内力分析，判危险面。弯矩图如图(c) 、(d)所示，正应力强度的危险面是跨中横截面，梁各横截面均为剪应力强度的危险面。
max 20,40D M l V =?=kN m kN
（3）应力分析，判危险点：由于截面关于中性轴z 对称，故跨中截面的上下边缘点是正应力强度危险点,梁中性层上各点为剪应力强度危险点。
（4）按剪应力强度条件校核铆钉强度：
1）求中性层上各点的剪应力
[]33
max ,max 4
4010 1.37664100.4988978.11590410
0.136
z z V S Pa M Pa I b
ττ*
--????=
=
=
2）求中性层上的剪力V 中
6
max 0.498897100.1368542.7999V bl N kN τ==???=中
3）求每个铆钉的剪应力τ铆 梁共有80.150
n =
个,由于铆钉间距s 相等,切前后对称布置, 每个铆钉的剪力相等，设每个的剪力在其横截
面内均匀分布，故每个铆钉的名义剪应力τ铆为：
3
2
2
542.799910P a 16.198M P a <[]=60M P a 28/0.1500.02
4
4
V n d
ττπ
π
?=
==?
??
?中铆
（5）由正应力强度条件确定简支梁的容许跨度[l ]
[]3
6
m ax ,m ax 4
:
20100.3601018.035m
8.11590410
z
M l y l I σσ-??=
?=
≤?→≤?跨中跨中跨中截面Pa =160Pa
故，简支梁的容许跨度[l ] =18m
6-17 图示起重机行走在由两根工字钢所组成的简支梁上，起重机的重量及其起吊重量如图示。设全部荷载平均分配在两根工字钢梁上，材料的容许应力[][]170100στ==MP MP a,a 。试求当起重机行至梁跨中央时，需要多大的工字钢才能满足强度要求。
(d)
140
M kN ·m)
100
+
-+
(c)
V kN)
35
20
25
5kN
55kN
4m
1m
1m
4m
题6-17图
解：（1）外力分析
①研究小车，可求得工字钢施与其约束反力，如图所示。
②研究工字梁，由作用力和反作用力定律知钢所受小车施与其的反作用力。荷载与梁轴垂直，梁将发生平面弯曲。中性轴z 过形心与载荷垂直，沿水平方向。
（2）内力分析，判危险面，弯矩图、剪力图如图所示，
max 140,35D M V =?=kN m kN 。正应力强度的危险面是D 截面,剪应力强度的危险面是DB 杆段各横
截面。
（3）应力分析，判危险点。由于D 截面关于中性轴z 对称，故D 危险面的上下边缘点是正应力强度危险点, DB 杆段各横截面的中性轴上各点为剪应力强度危险点。
（4）由正应力强度条件，选择工字钢型号。 []
3m ax
3
3
3
6
1401020.823510
411.7617010
z z M
W W σ-?≥
=
=?→≥?m
cm
查表选择NO.25b 工字钢的3
423z W =cm 略大于所需的3
411.76z W =mm 。 （5）由剪应力强度条件，校核所选择工字钢型号。 查表得No.25a 的:21.3z z I S =cm =0.213m,
b =d =10mm =0.01m
[]3
,m ax
,3510/22
28.220.2130.01
z z z z V
V S P a M P a I I b
b
S ττ
*
*
??==
=
=
半
故采用两根No.25b 工字钢。
6-18图示挡水墙由一排正方形截面的竖直木桩上钉木板所做成。木板的计算简图台图b ,木桩的计算简图如图c 。木材的容许弯曲正应力，容许剪应力。设计正方形木桩的边长和所需木板的厚度d 。
V kN)
题6-18图
解：（1）外力分析，判变形。
荷载与板轴垂直，将发生平面弯曲。中性轴过形心与载荷垂直。 （2）内力分析，判危险面，弯矩图、剪力图如图所示。 桩的正应力强度和剪应力强度的危险面是固定端：
max max 5.5125,11.025M V =?=桩桩kN m kN 。
板的正应力强度的危险面是跨中截面,剪应力强度的危险面在靠近木桩的两端：
m ax m ax 2.756,11.025M V =?=板板kN m kN
（3）应力分析，判危险点。由于截面关于中性轴对称，故危险面上离中性轴最远的边缘点是正应力强度危险点,剪力最大截面的中性轴各点是剪应力强度的危险点。
（4）由强度条件，设计木桩的边长a ，及板的厚度d .。
[][]3
6
m ax m ax 2
,36
m ax m ax 2
5.51251081010.160560.13563311.025100.91022z M W a a a a V A a σσττ??=
=≤?=????≥??
→?
?≥????=?=?≤?=??
桩桩桩桩桩桩m m 故，木桩的边长a ，max(0.16050.1356)0.1605160.5a ==,m =mm
[][]
3
6
m ax m ax 2
,36
m ax m ax 2.756108101 1.50.0371360.08163311.025100.91022 1.5z M W d d d V A d σσττ??=
=≤?=????≥??
→?
?≥????=?=?≤?=???
板板板板板板m m
故，木板的厚度d ，max(0.03713,0.0816)0.0371337.13d ==m =mm
6-20 当荷载P 直接作用在跨长为6l m =的简支梁AB 中截面时，梁内最大正应力超过[σ]的30%。为了消除此过载现象。如图所示配置辅助梁CD
M 图(b)
+题6-20
M 图+
P
(3-a
/2)(b ')
(a
1.5P
解： （1）外力分析，荷载与轴线垂直，发生平面弯曲变形。
（2）内力分析，判危险面。弯矩图如图(b) 、(b ’)所示， (b) 图中正应力强度的危险面是跨中横截面，max 1.5C M M P == (b ’) 图中主梁正应力强度的危险面是CD 段m ax (3)2
2
C D P a M M →==
-
。
（3）应力分析，判危险点：危险截面的上下边缘点是正应力强度危险点。 （4）确定辅助梁梁的容许跨度[a ]
[][][]
[][]
[]
,m ax
,m ax ,m ax ,m ax
1.530% 1.30221.5 1.301.5
31.3(3)2 1.38512222
C z z
C D z z
C z C
D z
M P W W P a
M W W P W a m
P a a W σσσσσσσσσ
σ?==≥+=????=
=≤??
→
=
=
≥
=→≥-
+?=原
跨中现CD 原
现
（3-） 1.3
（3-）（3-）
6-26 在图示20a 工字钢截面c-c 的下边缘处，用应变仪测得标距s=20mm 的纵向伸长量为0.012mm 。已知钢的弹性模量E=210GPa 。试求P 的大小。
N 0.20a
解：（1）求截面c-c 的下边缘处的应变 4
0.012610
20
s s
ε-?=
=
=?
（2）求截面c-c 的下边缘处的应力。梁的下边缘处于单向应力状态，
94
6
2101061012610E Pa σε-==???=?
（3）求P 的大小
666
,m ax 6
/211261021261023710
59.72423710
C C z
M P P N kN W σ--?=
=
=?→=????=?
6-27图示多跨梁材料的。拟采用矩形截面，且预设截面的高宽比为3:2,试确定此梁的的高度h 和宽度b 。
+
+
+
--
80
40
36
15
M kN ·m)76
40
23
V kN)
题6-27图
解：（1）外力分析
①研究附属部分，可求得D 链杆的约束反力为80kN ，如图所示。 ②研究整个多跨梁，可求得A 、B 链杆的约束反力，如图所示。
荷载与梁轴垂直，梁将发生平面弯曲。中性轴z 过形心与载荷垂直，沿水平方向。 （2）内力分析，判危险面，弯矩图、剪力图如图所示，
max max 80,40M V =?=kN m kN 。正应力强度的危险面是D 横截面,剪应力强度的危险面是C DE 杆段各
横截面。
（3）应力分析，判危险点。由于D 截面关于中性轴z 对称，故D 危险面的上下边缘点是正应力强度危险点, C DE 杆段各横截面的中性轴上各点为剪应力强度危险点。
（4）由正应力强度条件，确定横截面尺寸
[]
()
3m ax
3
3
6
2
2
3
8010
0.666710
12010
1.50.666710
66
0.1211122z M
W b b b h b b σ--?≥
=
=???→=
≥?→≥=m
m
取m ,h =183m m
（5）由剪应力强度条件校核所选横截面尺寸
[]3
max max
334010 2.69220.1220.183
V Pa M Pa A ττ?=?=?=
补充1：矩形截面悬臂梁，受力如图所示。求固定端截面上A、B的正应力。B点在中性轴上。
M
kN·m)
V
kN)
15
(+)
(-)
(+)
25
20
解：（1）外力分析，判变形。所有荷载均在纵向对称面内，梁发生平面弯曲变形。
（2）内力分析，判危险面。其剪力图和弯矩图如图所示。
m ax
M M-
=?=
3
固
-2510
（3）应力分析：B点在中性轴上，正应力为零。固定端截面上A是压缩区的边缘点。
2
9.26
1
0.1800.3
6
B
A
z
M
Pa M Pa
W
σ
σ
=
?
==-=-
??
3
固
-2510
补充2：图示平顶凉台，顶面荷载p=2000N/m
2, 木梁的许可应力[σ]=10MPa，s=1m （1）试：在次梁用料最经济的条件下。求主梁的位置x值。（2）若h/b=2,选择矩形木次梁的尺寸。
M m ax
M 图
(a)
V 图
补充1图
解：（1）外力分析，判变形。木次梁计算简图如图，发生弯曲变形。求反力：
x
x Y x x Y m A A B --=
→=-??--?→=∑
6)3(120)3(62)6(0)(F
（2）内力分析，判危险面。其剪力图和弯矩图如图所示。危险面是B 或AB 间剪力为零的横截面。
1）因为矩形木次梁的拉压强度相等，当次梁的最大正弯矩和最大负弯矩绝对值相等时，且木次梁在两危险面上的最大应力都达到许用应力值，则用料最经济。
2）令，次梁上距A 端y 远的截面剪力为零。6(3)()0206A x V y Y y y x
-=→-=→=-
3）求最大正、负弯矩
2
2
2
2
max
2
max )6()3(366)3(66)3(66)3(126)3(122
2x x x x x x x x y
y x
x y y y Y M
x
M A --=??
? ??-----?--=-?--=
?-?==+-)
(76.1)
6()3(362
22
max
max
m x x x x
M
M =→--=
→
=+-
（3）应力分析，判危险点。由于危险面关于中性轴对称，故上下边缘为正应力为危险点。 （4）强度运算，设计尺寸。 mm b m b b bh x W M
z
77,10
46
100076.110
106
41000
76.16
10003
7
2
6
3
2
2
2
max
=???≥
→?≤?=
?=
=
取σ
补充3：一矩形截面木梁， 1.3q =kN /m ，矩形截面60m m 120m m b h ?=?，已知许用正应力[]=10σM Pa ，
许用剪应力[]=2τM Pa ，试校核梁的正应力强度和剪应力强度。
解：(1)求支反力R A=1.611KN,R B=3.914KN
(2)画内力图如图所示。危险面于B支座的左截面,
V MAX=2.289KN,M MAX=1.015KN·m。
M
kN
·
0.998
1.625
V
M
kN
95.395
V
补充2图补充3图
(3)对梁进行正应力、剪应力强度校核
[]
[]
3
m ax
m ax
2
3
m ax2
1.01510
7.049()
1
0.060.12
6
33 2.28910
0.477()
220.060.12
z
M
P a M P a
W
V
P a M P a
A
σσ
ττ
?
===<
??
?
=?=?=<
?
故，梁的强度足够。
补充4：由工字钢制成的简支梁，受力如图所示，已知许用正应力[]=170
σM Pa，许用剪应力[]=100
τM P a，试选择工字钢的型号。
解：(1)求支反力R A=118.125KN,R B=91.875KN
(2)画内力图如图所示。危险面于A、C横截面，V MAX=118.125KN, 和距C截面1.9061m远的横截面
M MAX=95.395KN·m。
(3)按梁的正应力强度选择工字钢的型号
[]
3
3
3
9
6
3
6
3
max
max
10
112
.
561
10
56112
.0
10
170
10
395
.
95
10
170
10
395
.
95
mm
m
W
W
W
M
z
z
z
?
=
?
=
?
?
≥
?
=
≤
?
=
=
-
σ
σ
选择No.32a工字钢:
m
d
b
m
Z
z
S
I3
2
3
3
Z
10
5.9
,
10
46
.
27
,
mm
10
2.
92
6
W-
-?
=
=
?
=
?
=,
(4) 校核所选择工字钢梁的正应力、剪应力强度
[][]36m ax m ax 3
-9
3
m ax 2
3
95.39510
134.810()134.8170692.21010118.12510
()45.28100(27.4610)(1510)
z z
z
z z
M W V S V I
I b
b
S
σσττ--?==
=?=≤=????=
===<=???P a (M P a)(M P a)
P a (M P a)(M P a)
故， 所选择No.32a 工字钢梁强度足够。
材料力学第2版 课后习题答案 第6章 弯曲应力
弯曲应力 6-1求图示各梁在m －m 截面上A 点的正应力和危险截面上最大正应力。 题6-1图 解：（a ）m KN M m m ?=?5.2m KN M ?=75.3max 4 88 44108.49064101064m d J x ??×=××==ππ（压） MPa A 37.20108.490104105.2823=××××=??σMPa 2.3810 8.4901051075.38 23max =××××=?? σ
（b ）m KN M m m ?=?60m KN M ?=5.67max 4 88 331058321210181212m bh J x ??×=××==（压）MPa A 73.6110583210610608 23=××××=??σMPa 2.104105832109105.678 23max =××××=??σ（c ）m KN M m m ?=?1m KN M ?=1max 48106.25m J x ?×=3 6108.7m W x ?×=cm y A 99.053.052.1=?=（压）MPa A 67.38106.251099.01018 23=××××=??σMPa 2.128106.251018 3 max =××=?σ6-2 图示为直径D ＝6cm 的圆轴，其外伸段为空心，内径d ＝4cm ，求轴内最大正应力。 解：) 1(32 43 1απ?=D W x
? ??????×××=?463)64(110326π3 61002.17m ?×=3 46332 1021.2132 10632m D W x ??×=××==ππMPa 88.521002.17109.063 1=××=?σMPa 26.5510 21.2110172.16 3 1=××=?σMPa 26.55max =σ6-3T 字形截面铸铁梁的尺寸与所受载荷如图示。试求梁内最大拉应力与最大压应力。已知I z =10170cm 4，h 1=9.65cm ，h 2=15.35cm 。 解：A 截面： （拉） Mpa 95.371065.910 1017010402 831 max =××××=??σ（压）Mpa 37.501035.1510 10170104028 3 1 min ?=××××?=??σE 截面
弯曲应力力习题
第五章 弯曲应力习题 一、单项选择题 1、梁纯弯曲时，梁横截面上产生的应力为（ ） A 、正应力 B 、拉应力 C 、压应力 D 、切应力 二、填空题 1、对于圆形截面的梁，其对圆心的极惯性矩I p = ；截面对过圆心的Z 轴的惯性矩I z = ；截面的抗扭截面系数W p = ；截面的抗弯截面系数W z = 2、在梁弯曲变形时 1 Z M EI ρ = ，式中ρ 表示梁中性层的曲率半径，M 表示梁横截面上的 ，I z 表示梁横截面的 ，EI z 称为梁的抗弯 。 3、梁纯弯曲时，梁纯弯曲时，横截面上的正应力沿高度方向呈 分布，横截面上距中性轴愈远的点处应力的绝对值 ,中性轴上的各点应力为 . 4、根据梁弯曲的平面假设，梁上其间存在一层既不伸长也不缩短的纤维，这一层纤维称为 。该层与梁横截面的交线称为 。 三、计算题 1、由50a 号工字钢制成的简支梁如图所示，q =30kN/m ，a =3m ，50a 号工字钢的抗弯截面系数W z =1860×10-6m 3，大梁材料的许用应力[σ]=160Mpa ，试校核梁的强度。 2、如图所示矩形截面悬臂梁，外载荷F =3kN ，梁长l =300mm ，其高宽比为h /b =3，材料的许用应力[σ]=160Mpa ，试按梁的弯曲强度条件设计该矩形截面梁的尺寸。 图5.3.1
3、如图所示的简支梁，梁横截面为圆形，直径D =25mm ，P =60N ，m =180N?m, a =2m ，圆形截面梁材料的许用应力[σ]=140Mpa ，试校核梁的强度。 4、如图所示悬臂梁，外伸部分长度为l ,截面为b ×4b 的矩形，自由端作用力为P 。 拟用图(a )和图（b ）两种方式搁置，试求图（a ）情形下梁横截面上的最大拉应力(σmax ) 和 图（b ）情形下梁横截面上的最大拉应力（σmax ）。图中力的单位为（N ），尺寸单位为（mm ）。 (a) 5、如图一单梁吊车，其跨度l =10m ，吊车大梁由45a 号工字钢制成，45a 号工字钢的抗弯截面系数W z =1430×10-6m 3，大梁材料的许用应力[σ]=140Mpa ，电葫芦自重G =15kN ，最大起重量Q=55kN ，试校核大梁的强度。（大梁自重暂不考虑。） 6、如图一空气泵的操纵杆，右端受力为，截面I -I =3， 材料的许用应力[σ]=50Mpa ，试求该横截面的尺寸。图中尺寸单位为mm 。 图 5.3.3 图 5.3.4
第十章-梁的应力-习题答案
习题 10?1一工字型钢梁，在跨中作用集中力F，已知l=6m，F=20kN，工字钢的型号为20a，求梁中的最大正应力。 解：梁内的最大弯矩发生在跨中kN.m 30 max = M 查表知20a工字钢3 cm 237 = z W 则 MPa 6. 126 Pa 10 6. 126 10 237 10 306 6 3 max max = ? = ? ? = = - z W M σ 10?2一矩形截面简支梁，受均布荷载作用，梁的长度为l，截面高度为h，宽度为b，材料的弹性模量为E，试求梁下边缘的总伸长。 解：梁的弯矩方程为()2 2 1 2 1 qx qlx x M- = 则曲率方程为() () ? ? ? ? ? - = =2 2 1 2 1 1 1 qx qlx EI EI x M x z z ρ 梁下边缘的线应变()()? ? ? ? ? - = =2 2 1 2 1 2 2 qx qlx EI h x h x z ρ ε 下边缘伸长为() 2 3 2 02 2 1 2 1 2Ebh ql dx qx qlx EI h dx x l l z l = ? ? ? ? ? - = = ?? ?ε 10?3已知梁在外力作用下发生平面弯曲，当截面为下列形状时，试分别画出正应力沿横截面高度的分布规律。 解：各种截面梁横截面上的正应力都是沿高度线性分布的。中性轴侧产生拉应力，另一 b h
侧产生压应力。 10?4 一对称T 形截面的外伸梁，梁上作用均布荷载，梁的尺寸如图所示，已知l =1.5m ,q =8KN/m ，求梁中横截面上的最大拉应力和最大压应力。 解： 1、设截面的形心到下边缘距离为y 1 则有 cm 33.74 108410 4104841=?+???+??= y 则形心到上边缘距离 cm 67.433.7122=-=y 于是截面对中性轴的惯性距为 4 2323cm 0.86467.24101241033.3841284=??? ? ????+?+???? ????+?=z I 2、作梁的弯矩图 设最大正弯矩所在截面为D ，最大负弯矩所在截面为E ，则在D 截面 MPa 08.15Pa 1008.15100.8641033.710778.168 2 31max t,=?=????==--y I M z D σ MPa 61.9Pa 1061.910 0.8641067.410778.16 8 232max c,=?=????==--y I M z D σ 在E 截面上 MPa 40.5Pa 1040.5100.8641067.4100.168 2 32max t,=?=????==--y I M z E σ MPa 48.8Pa 1048.810 0.8641033.7100.16 8 231max c,=?=????==--y I M z E σ 所以梁内MPa 08.15max t,=σ，MPa 61.9max c,=σ C
材料力学答案第六章
第六 弯曲应力 第六章答案 6.1钢丝直径d=0.4mm, 弹性模量E=200GPa, 若将钢丝弯成直径D=400mm 的圆弧时，试求钢丝横截面上的最大弯曲正应力。（200MPa ） 解：钢丝的弯矩和中性层曲率半径之间的关系为： EI M = ρ 1 则： ρ EI M = ，由弯曲正应力公式得ρ σmax max My = = ρ max Ey ，钢丝弯成圆弧后，产生的弯 曲变形，其中性层的曲率半径2 2D d D ≈+= ρ 2 )2(max D d E = σ==D Ed MPa 2004004.0102003 =?? 6.2 矩形截面梁如图所示。b = 8cm, h =12cm, 试求危险截面上a 、c 、d 三点的弯曲正应力。（20.8MPa, 10.4MPa, 0） 解：由平衡方程 0)(=∑F M A 得到： KN F F B A 4422 1 =??= = 危险截面在梁的中点处： KNm ql M 4428 1 8122max =??== I z = 121 2h b ??=4431011521208012 1mm ?=?? M P a I My MPa I My I My z d d z c c z a a 83.2010 11526010442.1010115230 1040 4 646=???===???====σσσ A F B F s F M M 机械 土木
6.3 从直径为d 的圆木中截取一矩形截面梁，试根据强度观点求出所截取的矩形截面的最合理的高h 和宽b 。(h= d 36, b=d 3 3) 解：最大弯曲正应力： z z W M y I M m a x m a x m a x m a x == σ h/b 的最佳值应应使梁的抗弯截面系数为最大。抗弯截面系数： )(6 1 )(616132222b b d b d b bh W -=-== 为b 为自变量的函数。 由 06 322=-=b d dt dW 3 6 333222d b d h d d b =-=== 6.4 图示两根简支梁，其跨度、荷载及截面面积都相同。一个是整体截面梁，另一个是由两根方木叠置而成（二方木之间不加任何联系），试画出沿截面高度的弯曲正应力分布 图，并分别计算梁中的最大弯曲正应力。（3 2a 16ql 3, 3 2a 8ql 3） 解：做出梁的弯矩图如右所示： （1）对于整体截面梁： 3223 2 )2(3161a a a bh W z =?== 故：3232max max 1633 281a ql a ql W M z = == σ （2）对于两根方木叠置 由于这是两个相同的方木叠合而成， 且其之间不加任何的联系，故有 3 2163a ql 3 2163a ql M 1 机械 土木 M 8
工程力学习题库-弯曲变形
第8章 弯曲变形 本章要点 【概念】平面弯曲，剪力、弯矩符号规定，纯弯曲，中性轴，曲率，挠度，转角。 剪力、弯矩与荷载集度的关系；弯曲正应力的适用条件；提高梁的弯曲强度的措施；运用叠加法求弯曲变形的前提条件；截面上正应力分布规律、切应力分布规律。 【公式】 1. 弯曲正应力 变形几何关系：y ερ = 物理关系：E y σρ = 静力关系：0N A F dA σ==?，0y A M z dA σ==?，2z z A A EI E M y dA y dA σρ ρ == =?? 中性层曲率： 1 M EI ρ = 弯曲正应力应力：，M y I σ= ，max max z M W σ= 弯曲变形的正应力强度条件：[]max max z M W σσ=≤ 2. 弯曲切应力 矩形截面梁弯曲切应力：b I S F y z z S ??=* )(τ，A F bh F S S 2323max ==τ 工字形梁弯曲切应力：d I S F y z z S ??=* )(τ，A F dh F S S ==max τ 圆形截面梁弯曲切应力：b I S F y z z S ??=* )(τ，A F S 34max =τ 弯曲切应力强度条件：[]ττ≤max
3. 梁的弯曲变形 梁的挠曲线近似微分方程：() ''EIw M x =- 梁的转角方程：1()dw M x dx C dx EI θ= =-+? 梁的挠度方程：12()Z M x w dx dx C x C EI ??=-++ ??? ?? 练习题 一. 单选题 1、 建立平面弯曲正应力公式z I My /=σ,需要考虑的关系有（ ）。查看答案 A 、平衡关系,物理关系，变形几何关系 B 、变形几何关系，物理关系，静力关系； C 、变形几何关系，平衡关系，静力关系 D 、平衡关系, 物理关系，静力关系； 2、 利用积分法求梁的变形，不需要用到下面那类条件（ ）来确定积分常 数。查看答案 A 、平衡条件 B 、边界条件 C 、连续性条件 D 、光滑性条件 3、 在图1悬臂梁的AC 段上，各个截面上的（ ）。 A ．剪力相同，弯矩不同 B ．剪力不同，弯矩相同 C ．剪力和弯矩均相同 D ．剪力和弯矩均不同 图1 图2 4、 图2悬臂梁受力，其中（ ）。
纯弯曲正应力分布规律实验
实验三纯弯曲正应力分布规律实验 一、实验目的 1．用电测法测定梁纯弯曲时沿其横截面高度的正应变（正应力）分布规律并与理论值进行比较； 2．验证纯弯曲梁的正应力计算公式； 3．掌握运用电阻应变仪测量应变的方法。 二、实验仪器和设备 1．多功能组合实验装置一台或弯曲梁试验装置； 2．TS3860型静态数字应变仪一台； 3．纯弯曲实验梁一根； 4．温度补偿块一块； 5．游标卡尺 3-1 多功能组合实验装置 3-2弯曲梁试验装置 1—弯曲梁 2—铸铁架 3—支架 4—加载杆 5—加载螺杆系统 6—载荷传感器 7和8—组成电子秤 三、实验原理和方法 弯曲梁的材料为钢，其弹性模量E＝200GN/m2，泊松比μ＝0.29。用手转动实验装置上面的加力手轮，使四点弯上压头压住实验梁，则梁的中间段承受纯弯曲。根据平面假设和纵向纤维间无挤压的假设，可得到纯弯曲正应力计算公式为：
x M y I σ= （3-2） 式中：M 为弯矩；I x 为横截面对中性轴的惯性矩；y 为所求应力点至中性轴的距离。由上式可知，沿横截面高度正应力按线性规律变化。 实验时采用螺旋推进和机械加载方法，可以连续加载，载荷大小由带拉压传感器的电子测力仪读出。当增加压力ΔP 时，梁的四个受力点处分别增加作用力ΔP ／2，如图3-3所示。 为了测量梁纯弯曲时横截面上应变分布规律，在梁纯弯曲段的侧面各点沿轴线方向布置了7片应变片（见图3-3）（对多功能组合装置：b ＝18.3mm ；h ＝38mm ；c ＝133.5mm ），各应变片的粘贴高度见弯曲梁上各点的标注。此外，在梁的下表面沿横向粘贴了应变片8# 。 如果测得纯弯曲梁在纯弯曲时沿横截面高度各点的轴向应变，则由单向应力状态的胡克定律公式σ＝E ε，可求出各点处的应力实验值。将应力实验值与应力理论值进行比较，以验证弯曲正应力公式。 若由实验测得应变片7#和8#的应变ε7，和ε8满足 87||εμε≈ 则证明梁弯曲时近似为单向应力状态，即梁的纵向纤维间无挤压的假设成立。 图3-3弯曲梁布片图 四、实验步骤 1．检查或测量（弯曲梁试验装置）矩形截面梁的宽度b 和高度h 、载荷作用点到梁支点距离c ，及各应变片到中性层的距离y i 。 2．检查压力传感器的引出线和电子秤的连接是否良好，接通电子秤的电源线。检查应变仪的工作状态是否良好。然后把梁上的应变片按序号接在应变仪上的各不同通道的接线柱A 、B 上，公共温度补偿片接在接线柱B 、C 上。相应电桥的接线柱B 需用短接片连接起来，而各接线柱C 之间不必用短接片连接，因其内部本来就是相通的。因为采用半桥接线法，故应变仪应处于半桥测量状态，应变仪的操作步骤见应变仪的使用说明书。 3．根据梁的材料、尺寸和受力形式，估计实验时的初始载荷P 0（一般按P 0＝0.1σS 确定）、最大载荷P max （一般按P max ≤0.7σS 确定）和分级载荷ΔP （一般按加载4～6级考虑）。
第五章弯曲应力力习题
第五章 弯曲应力习题 一、单项选择题 1、梁纯弯曲时，梁横截面上产生的应力为（ ） A 、正应力 B 、拉应力 C 、压应力 D 、切应力 二、填空题 1、对于圆形截面的梁，其对圆心的极惯性矩I p = ；截面对过圆心的Z 轴的惯性矩I z = ；截面的抗扭截面系数W p = ；截面的抗弯截面系数W z = 2、在梁弯曲变形时 1 Z M EI ρ = ，式中ρ 表示梁中性层的曲率半径，M 表示梁横截面上的 ，I z 表示梁横截面的 ，EI z 称为梁的抗弯 。 3、梁纯弯曲时，梁纯弯曲时，横截面上的正应力沿高度方向呈 分布，横截面上距中性轴愈远的点处应力的绝对值 ,中性轴上的各点应力为 . 4、根据梁弯曲的平面假设，梁上其间存在一层既不伸长也不缩短的纤维，这一层纤维称为 。该层与梁横截面的交线称为 。 ~ 三、计算题 1、由50a 号工字钢制成的简支梁如图所示，q =30kN/m ，a =3m ，50a 号工字钢的抗弯截面系数W z =1860×10-6m 3，大梁材料的许用应力[σ]=160Mpa ，试校核梁的强度。 ' 2、如图所示矩形截面悬臂梁，外载荷F =3kN ，梁长l =300mm ，其高宽比为h /b =3，材料的许用应力[σ]=160Mpa ，试按梁的弯曲强度条件设计该矩形截面梁的尺寸。 图5.3.1
3、如图所示的简支梁，梁横截面为圆形，直径D =25mm ，P =60N ，m =180N ?m, a =2m ，圆形截面梁材料的许用应力[σ]=140Mpa ，试校核梁的强度。 { 4、如图所示悬臂梁，外伸部分长度为l ,截面为b ×4b 的矩形，自由端作用力为P 。 拟用图(a )和图（b ）两种方式搁置，试求图（a ）情形下梁横截面上的最大拉应力(σmax ) 和 图（b ）情形下梁横截面上的最大拉应力（σmax ）。图中力的单位为（N ），尺寸单位为（mm ）。 ( (a) 】 5、如图一单梁吊车，其跨度l =10m ，吊车大梁由45a 号工字钢制成，45a 号工字钢的抗弯截面系数W z =1430×10-6m 3，大梁材料的许用应力[σ]=140Mpa ，电葫芦自重G =15kN ，最大起重量Q=55kN ，试校核大梁的强度。（大梁自重暂不考虑。） 图5.3.2 图 5.3.3 图 5.3.4 图5.3.5
第六章弯曲应力
第六章 弯曲应力 1 基本概念及知识要点 1.1 基本概念 纯弯曲、横力弯曲、弯曲正应力、惯性矩、抗弯截面系数、弯曲刚度、弯曲切应力（剪应力）。应熟练理解和掌握这些基本概念。 1.2 平面弯曲 工程实际中的梁，大多数是具有一个纵向对称面的等截面直梁。 外载荷作用在梁的纵向对称面内，并垂直于梁的轴线，梁弯曲时轴线将在对称平面内弯曲成平面曲线，这种弯曲叫平面弯曲。当梁横截面上既有弯矩又有剪力时，梁的弯曲是横力弯曲（或剪切弯曲）；梁横截面上只有弯矩而没有剪力时，梁的弯曲是纯弯曲。 1.3 弯曲正应力 梁在纯弯曲时的正应力是综合运用变形几何关系、物理关系和静力平衡关系推导出来的，推导弯曲正应力公式的方法，与推导轴向拉压正应力公式和扭转切应力公式的方法相同。弯曲正应力公式 z I My = σ 式中M 为所研究截面的弯矩；z I 分为截面图形对中性轴的惯性矩；y 为所求应力点到中性轴的距离。计算时，M 和y 均用代数值代入，由此得到所求点的应力符号，同样也可根据梁的变形情况来确定。梁弯曲正应力公式适用材料处于线弹性范围内的纯弯曲梁，可推广到横力弯曲以及小曲率杆的弯曲中。 1.4 弯曲切应力 弯曲切应力公式的推导不是按照变形几何关系、物理关系、平衡关系三方面进行的，而是根据分析对弯曲切应力的分布规律作出假定——平行于剪力F s 且沿截面厚度均匀分布，然后利用平衡关系直接导出矩形截面切应力公式 * z z F S bI τ=s 式中，F s 为截面上的剪力；z I 为整个截面对中性轴的惯性矩；b 为所求切应力处横截面的 宽度；* z S 为截面上距中性轴为y 的横线任一侧部分面积对中性轴的静矩。 1.5 弯曲强度条件 1 正应力强度条件
材料力学专项习题练习-弯曲应力
材料力学专项习题练习-弯曲应力
弯曲应力 1 . 圆形截面简支梁A 、B 套成，A 、B 层间不计摩擦，材料的弹 M e M e l d 2d A B 57
58 性模量2B A E E =。求在外力偶矩 e M 作用下，A 、B 中最大 正应力的比值max min A B σσ有
59 M (A)(B)(C) (D)A 2 mm ρO 4个答案： (A)16； (B)14； (C)1 8； (D)110。 答：B 2. 矩形截面纯弯梁，材料的抗拉弹性模量t E 大于材料的抗压弹性模量c E ，则正应力在截面上的分布图有以下4种答案： 答：C 3. 将厚度为2 mm 的钢板尺与一曲面密实接触，已知测得钢 尺点A 处的应变为1 1000-，则该曲 面在点A 处的曲率半径为 mm 。 答：999 mm 4. 边长为a 的正方形截面梁，按图示两种不同形式放置，在相同弯矩作用下，两者最大 (a) z a a z
60 正应力之比max a max b ()()σ σ = 。 答：2/1 5. 一工字截面梁，截面尺寸如图，, 10h b b t ==。试证明，此梁上,下翼缘承担的弯矩约为截面上总弯矩的88%。 证： 4 12, (d ) 1 8203B A z z z My M Mt M y yb y I I I σ==?=? ? 4 690z I t =, 414 1 1 82088%3690M t M t =??≈ 其中：积分限1 , 22 h h B t A M =+=为翼缘弯矩 6. 直径20 mm d =的圆截面钢梁受力如图，已知弹性模量200 GPa E =, 200 mm a =，欲将其中段AB 弯成 m ρ=12的圆弧，试求所需载荷，并计算最大弯曲正应力。 解：1M EI ρ= 而M F a = 4 840.78510 m , 0.654 kN 64 d EI I F a πρ-= =?= = 33max 8 0.654100.22010167 MPa 2220.78510M d Fad I I σ--?????====?? 7. 钢筋横截面积为A ，密度为ρ，放在刚性平面上，一端加 y t /2 t z t b /2B a D a C A ρA C B F l /3 2l /3
材料力学习题弯曲应力
弯 曲 应 力 基 本 概 念 题 一、择题(如果题目有5个备选答案，选出2～5个正确答案，有4个备选答案选出一个正确答案。) 1. 弯曲正应力的计算公式y I M z = σ的适用条件是（ ） 。 A . 粱材料是均匀连续、各向同性的 B ．粱内最大应力不超过材料的比例极限 C ．粱必须是纯弯曲变形 D ．粱的变形是平面弯曲 E ．中性轴必须是截面的对称轴 2. 在梁的正应力公式y I M z = σ中，I z 为粱的横截面对（ ）轴的惯性矩。 A . 形心轴 B ．对称轴 C ．中性轴 D ．形心主惯性轴 3. 梁的截面为空心圆截面，如图所示，则梁的抗弯截面模量W 为（ ）。 A . 32 3 D π B ． )1(32 4 3 απ-D C ． 32 3 d π D ． 32 32 3 3 d D ππ- E ．2 6464 44 D d D ππ- 题3图 题4图 4. 欲求图示工字形截面梁上A 点剪应力τ，那么在剪应力公式z z S bI S F *=τ中，S *z 表示 的是（ ）对中性轴的静矩。 A ．面积I B ．面积Ⅱ C ．面积I 和Ⅱ D ．面积Ⅱ和Ⅲ E ．整个截面面积 -21-
5．欲求题4图所示工字形截面梁上A 点剪应力τ，那么在剪应力公式z z S bI S F *=τ中，b 应取（ ）。 A ．上翼缘宽度 B ．下翼缘宽度 C ．腹板宽度 D ．上翼缘和腹板宽度的平均值 6．图为梁的横截面形状。那么，梁的抗弯截面模量W z ＝（ ）。 A . 6 2 bh B ．32632d bh π- C ．2641243h d bh ? ??? ??-π D ．??? ? ?-???? ??-22641243d h d bh π 7．两根矩形截面的木梁叠合在一起(拼接面上无粘胶无摩擦)，如图所示。那么该组合梁的抗弯截面模量W 为( ) A . 62bh B ．??? ? ??622 bh C ．)2(612 h b D ．h bh 21222???? ?? 8．T 形截面的简支梁受集中力作用(如图)，若材料的[σ]- ＞[σ]+，则梁截面位置的合理放置为( )。 -22-
第六章-弯曲应力(2)
第六章 弯曲应力（Ⅱ） 6.2.1 下列各梁中，AB 段为纯弯曲的有（ ）。 2 2 6.2.2下列关于圆环截面几何性质的算式中正确的有（ ）。 （A ）()4 464 P I D d π =- （B ）()4 432P I D d π = - （C ）()4464 z I D d π =- （D ）()4 432 z I D d π = - （E ）()3 332 z W D d π = - （F ）() 4 432z W D d D π = - 6.2.3图示箱形截面梁的抗弯截面系数为（ ）。 （A ）2266z BH bh W =- （B ）331 ()6z W BH bh H =- （C ）33 1()12z W BH bh H =- （D ）331212z BH bh W =- 图6.2.2 图6.2.3
6.2.4图示截面的抗弯截面系数为（ ）。 （A ）3 2326z d bh W π=- （B ）43 6412 z d bh W π=- （C ）431326z d bh W d π??=- ??? （D ）431326z d bh W h π?? =- ??? 6.2.5用直径为d 的圆形木切割出一根高h ，宽b 的矩形截面梁，若使梁对z 轴 的抗弯截面系数为最大，则h /b 是（ ）。 （A ）2.0 （B （C ）1.5 （D 图6.2.4 图6.2.5 6.2.6悬臂梁由两根T 形截面叠起来放置（略去相互之间的摩擦力） ，受力如图所示。任一横截面上的正应力分布规律应是（ ）。 ( D ) ( C ) ( B ) ( A )图6.2.6 6.2.7圆形截面悬臂梁由圆筒B 套入实心圆杆A 而成，略去两接触面间的摩擦力，材料弹性模量2B A E E =。 （1）他们最大正应力的比 max max A B σσ是（ ）。 （A ）15/2 （ B ）1/2 （ C ）1/4 （ D ）1 （2）任一横截面上正应力的分布规律是（ ）。 ( A )( B )( C ) ( D ) 图6.2.7
弯曲应力力习题
第五章弯曲应力习题 一、单项选择题 1梁纯弯曲时，梁横截面上产生的应力为（） A、正应力 B、拉应力 C、压应力 D、切应力 二、填空题 1对于圆形截面的梁，其对圆心的极惯性矩I p= _____________ ;截面对过圆心的Z轴的 惯性矩l z= __________ ；截面的抗扭截面系数W p= _____________ ；截面的抗弯截面系数W z= ___________ 2、在梁弯曲变形时- —，式中p表示梁中性层的曲率半径，M表示梁横截面上 El z 的____________ ，l z表示梁横截面的___________ ，E Z称为梁的抗弯____________ 。3、梁纯弯曲时，梁纯弯曲时，横截面上的正应力沿高度方向呈__________ 分布，横截面上距中性轴愈远的点处应力的绝对值__________ 冲性轴上的各点应力为_________ . 4、根据梁弯曲的平面假设，梁上其间存在一层既不伸长也不缩短的纤维，这一层纤维 称为___________ 。该层与梁横截面的交线称为_____________ 。 三、计算题 1由50a号工字钢制成的简支梁如图所示，q=30kN/m，a=3m，50a号工字钢的抗弯截面系数W z=1860X 10-6m3,大梁材料的许用应力［o］=16OMpa，试校核梁的强度。 2、如图所示矩形截面悬臂梁，外载荷F=3kN，梁长l=300mm，其高宽比为h/b=3，材料的许用应力［d=160Mpa，试按梁的弯曲强度条件设计该矩形截面梁的尺寸。 图 5.3.2
3、如图所示的简支梁，梁横截面为圆形，直径D=25mm, P=60N, m=180Nm, a=2m, 圆形截面梁材料的许用应力[d=140Mpa,试校核梁的强度。 4、如图所示悬臂梁，外伸部分长度为I，截面为b X b的矩形，自由端作用力为P。拟用图（a）和图（b）两种方式搁置，试求图（a）情形下梁横截面上的最大拉应力（o max ）和图（b）情形下梁横截面上的最大拉应力（cmax）。图中力的单位为（N）,尺寸单位为（mm ）。 5、如图一单梁吊车，其跨度I=10m，吊车大梁由45a号工字钢制成， 抗弯截面系数W z =1430 X 10-6m3，大梁材料的许用应力[O=140Mpa，电葫芦自重 G=15kN，最大起重量Q=55kN,试校核大梁的强度。 图 5.3.3 -(a) 图 5.3.4 45a号工字钢的 图 5.3.5
!第六章弯曲应力
!第六章弯曲应力
弯曲应力 从7题之后差一个题号！！ 6-1 求图示各梁在m－m截面上A点的正应力和危险截面上最大正应力。 题6-1图
解：（a ）m KN M m m ?=-5.2 m KN M ?=75.3max 4 88 44 108.49064 101064 m d J x --?=??= = ππ MPa A 37.2010 8.490104105.28 2 3=????=--σ （压） MPa 2.38108.4901051075.38 23max =????=--σ （b ）m KN M m m ?=-60 m KN M ?=5.67max 4 88 331058321210181212m bh J x --?=??== MPa A 73.6110583210610608 2 3=????=--σ （压） MPa 2.10410 5832109105.678 23max =????=--σ （c ）m KN M m m ?=-1 m KN M ?=1max 4 8 106.25m J x -?= 3 6108.7m W x -?= cm y A 99.053.052.1=-= MPa A 67.3810 6.251099.01018 2 3=????=--σ （压） MPa 2.12810 6.251018 3 max =??=-σ 6-2 图示为直径D ＝6 cm 的圆轴，其外伸段为空心，内径d ＝4cm ，求轴内最大正应力。
解：) 1(3243 1 απ-= D W x ? ?? ? ? -???= -463 )64(11032 6π 3 61002.17m -?= 3 46 33 2 1021.2132 10632 m D W x --?=??= = ππ MPa 88.521002.17109.063 1=??=-σ MPa 26.5510 21.2110172.16 3 1=??=-σ MPa 26.55max =σ
材料力学习题解答(弯曲应力)
6.1. 矩形截面悬臂梁如图所示，已知l =4 m ， b / h =2/3，q =10 kN/m ，[σ]=10 MPa ，试确 定此梁横截面的尺寸。 解：(1) 画梁的弯矩图 由弯矩图知： 2max 2 ql M = (2) 计算抗弯截面系数 32 323669 h bh h W === (3) 强度计算 2 2max max 33912[]29 416 277ql M ql h W h h mm b mm σσ= ==?≤∴≥==≥ 6.2. 20a 工字钢梁的支承和受力情况如图所示，若[σ]=160 MPa ，试求许可载荷。 解：(1) 画梁的弯矩图 由弯矩图知： No20a x ql 2x
max 23 P M = (2) 查表得抗弯截面系数 6323710W m -=? (3) 强度计算 max max 66 22 3[] 33[]3237101601056.8822 P M P W W W W P kN σσσ-===?≤????∴≤== 取许可载荷 []57P kN = 6.3. 图示圆轴的外伸部分系空心轴。试作轴弯矩图，并求轴内最大正应力。 解：(1) 画梁的弯矩图 由弯矩图知：可能危险截面是C 和B 截面 (2) 计算危险截面上的最大正应力值 C 截面： 3max 33 32 1.341063.20.0632 C C C C C M M MPa d W σππ??====? B 截面： 3max 34 3444 0.91062.10.060.045(1)(1)32320.06B B B B B B B M M MPa D d W D σππ?====?-- (3) 轴内的最大正应力值 MPa C 2.63max max ==σσ x
弯曲正应力实验报告
弯曲正应力实验 一、实验目的：1、初步掌握电测方法和多点测量技术。； 2、测定梁在纯弯和横力弯曲下的弯曲正应力及其分布规律。 二、设备及试样： 1. 电子万能试验机或简易加载设备； 2. 电阻应变仪及预调平衡箱； 3. 进行截面钢梁。 三、实验原理和方法： 1、载荷P 作用下，在梁的中部为纯弯曲，弯矩为1 M=2 Pa 。在左右两端长为a 的部分内为横力弯曲，弯矩为11 =()2 M P a c -。在梁的前后两个侧面上，沿梁的横截面高度，每隔 4 h 贴上平行于轴线上的应变片。温度补偿块要放置在横梁附近。对第一个待测应变片联同温度补偿片按半桥接线。测出载荷作用下各待测点的应变ε，由胡克定律知 E σε= 另一方面，由弯曲公式My I σ=，又可算出各点应力的理论值。于是可将实测值和理论值进 行比较。 2、加载时分五级加载，0F =1000N ，F ?=1000N ，max F =5000N ，缷载时进行检查，若应变差值基本相等，则可用于计算应力，否则检查原因进行复测(实验仪器中应变ε的单位是 610-)。 3、实测应力计算时，采用1000F N ?=时平均应变增量im ε?计算应力，即 i i m E σε?=?,同一高度的两个取平均。实测应力，理论应力精确到小数点后两位。 4、理论值计算中,公式中的3 1I=12 bh ，计算相对误差时 -100%e σσσσ= ?理测 理 ，在梁的中性层内，因σ理=0，故只需计算绝对误差。 四、数据处理 1、实验参数记录与计算： b=20mm, h=40mm, l=600mm, a=200mm, c=30mm, E=206GPa, P=1000N ?, max P 5000N =, k=2.19 3 -641I= =0.1061012 bh m ? 2、填写弯曲正应力实验报告表格
南京工业大学 工程力学弯曲应力习题答案
3、 悬臂梁受力及截面尺寸如图所示。图中的尺寸单位为mm 。求：梁的1－1截面上A 、B 两点的正应力。 解：1. 计算梁的1－1截面上的弯矩： 3 1m 110N 1m+600N/m 1m 1300N m 2M ?? =-????=-? ?? ? 2. 确定梁的1－1截面上A 、B 两点的正应力： A 点： () 33 6 3 -3-315010m 1300N m 2010m 210P a M P a () 10010m 15010m 12 z A z M y I σ--?????-? ???==?=???＝2.54 2.54拉应力 B 点： () )1.62MPa(Pa 1062.112 0.15m 0.1m m 04.020.150m m N 130063 压应力=?=???? ??-??==z z B I y M σ 4、 圆截面外伸梁，其外伸部分是空心的，梁的受力与尺寸如图所示。图中尺寸单位为mm 。已知F P ＝10kN ，q ＝5kN/m ，许用应力[]σ＝140 MPa ，试校核梁的强度。 习题7－4图
习题7－8图 解：画弯矩图如图所示： ()()[]36max1max 3 -31 32306510N m 113810Pa=1138MPa<π14010m ...M W σσ???==??实＝ ()() []36 max2max 4 32 -3 322010N m 100310Pa=1003MPa<100π14010m 1140..M W σσ???= =??????-?? ??????? 空＝ 所以，梁的强度是安全的。 5、 悬臂梁AB 受力如图所示，其中F P ＝10 kN ，M ＝70 kN ·m ，a ＝3 m 。梁横截面的形状及尺寸均示于图中(单位为mm)，C 为截面形心，截面对中性轴的惯性矩I z ＝1.02×108 mm 4，拉伸许用应力[]＋ σ＝40 MPa ， 压缩许用应力[]－ σ＝120 MPa 。试校核梁的强度是否 安全。 解：画弯矩图如图所示： M (kN.m)
弯曲应力习题
弯曲应力习题
( )( )( )( ) 02. 为了提高梁的承载能力，对同一梁、相同的均布载荷q，下列哪一种支承条件下，梁的强度 最好： 正确答案是___________ 。 () ()() () 03．梁在弯曲时，横截面上正应力是按分布的； 中性轴上的正应力为；矩形截面梁横截面上剪应力沿高度是按分布的。 2
3 04． 矩形截面梁若max Q 、m ax M 和截面宽度b 不变，而 将高度增加一倍，则最大弯曲正应力为原来的 倍，最大弯曲剪应力为原来的 倍。 05．一倍，其则最大弯曲正应力为原来的 倍，最大弯曲剪应力为原来的 倍。 06． 下图中所示的梁跨中面上A 、B 两点的应力=A σ ； =A τ ；=B τ 。 07．图示 T 字形截面梁。若已知A A -截面上、下表面处沿x 方向的线应变分别是0004.0'-=ε，0002.0''=ε，则此截面中性轴位置=c y (C 为形心)。 A-A
4 GPa E 200= 09．正方形截面简支梁，受有均布载荷作用如图，若][6][τσ=，证明：当梁内最 大正应力和剪应力为同时达到许用应力时，6/=a l 。 10．铸铁制梁的尺寸甩所受载荷如图所示，试求最大拉应力和最大压应力。 单位 ( ) 11．图示矩形截面简支梁 P 、a 、d 、h 已知，试计算D 左截面上K 点的正力 及剪应力。 h /2 h /2b/2 b/2 如图，许用压应力MPa c 60][=σ。试校核结构的强度。
5 13．集中力P 直接作用简支梁AB 的中点时，梁内最大应力超过许用值 %30，为 了消除此过载现象，配置了辅助梁CD 如图所示，试求CD 梁的跨度a 。 14．图示梁为两个工字钢组成，一个工字钢的 3 1049mm W z ?=， mm S I z z 9.85/* =，mm d 5.4=，MPa 120][=σ，试校核梁的强度并计算 m ax τ。 15．图示梁由三块等厚木板胶合而成，已知 MPa 5][=τ，试校核胶缝的剪切强度。 2P 作 压应力
测试题-弯曲应力(答案)
班级： 学号： 姓名： 《工程力学》弯曲应力测试题 一、判断题（每小题2分，共20分） 1、弯曲变形梁，其外力、外力偶作用在梁的纵向对称面内，梁产生对称弯曲。 （ √ ） 2、铁路的钢轨制成工字形，只是为了节省材料。 （ × ） 3、为了提高梁的强度和刚度，只能通过增加梁的支撑的办法来实现。 （ × ） 4、中性轴是中性层与横截面的交线。 （ √ ） 5、最大弯矩M max 只可能发生在集中力F 作用处，因此只需校核此截面强度是否满足梁的 强度条件。 （ × ） 6、大多数梁只进行弯曲正应力强度校核，而不计算弯曲切应力，这是因为他们横截面上只有正应力存在。 （ × ） 7、抗弯截面系数仅与截面形状和尺寸有关，与材料种类无关。 （ √ ） 8、矩形截面梁，若其截面高度和宽度都增加一倍，则强度提高到原来的16倍。 （ × ） 9、在梁的弯曲正应力公式中，I z 为梁截面对于形心轴的惯性矩。 （ √ ） 10、梁弯曲最合理的截面形状，是在横截面积相同条件下W z 值最大的截面形状。 （ √ ） 二、单项选择题（每小题2分，共20分） 1、材料弯曲变形后（ B ）长度不变。 A ．外层 B ．中性层 C ．内层 2、梁弯曲时横截面上的最大正应力在（ C ）。 A. 中性轴上 B. 对称轴上 C. 离中性轴最远处的边缘上 3、一圆截面悬臂梁，受力弯曲变形时，若其它条件不变，而直径增加一倍，则其最大正 应力是原来的（ A ）倍。 A. 8 1 B. 8 C. 2 D. 21 4、图示受横力弯曲的简支梁产生纯弯曲变形的梁段是（ D ） A. AC 段 B. CD 段 C. DB 段 D. 不存在 5、由梁弯曲时的平面假设，经变形几何关系分析得到（ C ） A. 中性轴通过截面形心 B. 梁只产生平面弯曲；
动画弯曲应力
第六章 弯曲应力 授课学时：6学时 主要内容：纯弯曲的正应力；横力弯曲切应力。 $6.1 梁的弯曲 1．横力弯曲 横截面上既有Q 又有M 的情况。如 AC 、DB 段。 2．纯弯曲 某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如CD 段。 3．梁的纯弯曲实验 （1）现象：横向线a-b 变形后仍为直线，但有转动；纵向线变a a 变为曲线，且上面压缩下面拉伸；横向线与纵向线变形后仍垂直。 （2）中性层：梁内有一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 （3）中性轴：中性层与横截面的交线。 a a b b m m 纵向对称面
$6.2纯弯曲时的正应力 1．变形几何关系 从梁中截取出长为dx 的一个微段，横截面选用如图所示的z y -坐标系。图中，y 轴为横截面的对称轴，z 轴为中性轴。从图中可以看到，横截面间相对转过的角度为θd ，中 m m 性层' 'o o 曲率半径为ρ，距中性层为y 处的任一纵线（纵向纤维）' 'b b 为圆弧曲线。因此，纵线bb 的伸长为 θθρθρθρyd d d y dx d y l =-+=-+=?)()( 而其线应变为 ρ θρθεy d yd bb l ==?= 纵向纤维的应变与它到中性层的距离y 成正比。 2．物理关系 梁的纵向纤维间无挤压，只是发生简单拉伸或压缩。当横截面上的正应力不超过材料的比例极限P ρ时，可由虎克定律得到横截面上坐标为y 处各点的正应力为 y E E ρ εσ= = m dA x z
该式表明，横截面上各点的正应力σ与点的坐标y 成正比。中性轴z 上各点的正应力均为零，中性轴上部横截面的各点均为压应力，而下部各点则均为拉应力。 3．静力关系 横截面上坐标为),(z y 的点的正应力为σ，截面上各点的微内力dA σ组成与横截面垂直的空间平行力系。这个内力系只能简化为三个内力分量，即平行x 轴的轴力N ，对z 轴的力偶矩z M 和对轴的力偶矩y M ，分别为 ?=A dA N σ，?=A y dA z M σ，?=A z dA y M σ 考虑左侧平衡， ∑=0X ，∑=0y M ，得 ?==A dA N 0σ， ?==A y dA z M 0σ 横截面上的内力系最终归结为一个力偶矩z M ?? == =A A z M dA y E dA y M 2ρσ 式中积分 z A I dA y =? 2 是横截面对中性轴z 的惯性距，上式可写成为 EI M = ρ 1 式中，Z EI 越大，则曲率 ρ 1 越小。因此，Z EI 称为梁的抗弯刚度。将该式代入y E E ρ εσ= =，即可得到弯曲时梁的横截面上的正应力计算公式 z I My = σ 即以梁的中性层为界，梁的凸出一侧受拉压力，凹入的一侧受压。 则截面上的最大正应力为
