对行为一且为一四边形
两
组边平
一个
内角R t ∠一个内角为Rt ∠, 一组邻边相等组邻
边相等
一组
对边平
行
另一组对边
不平
行
一
个内角R t ∠组邻
边相等
第二章 四边形
知识脉络：
章节知识点：
1． 多边形
四边形内角和与外角和定理： （1）四边形的内角和等于360°； （2）四边形的外角和等于360°.
注：四边形内角与同一个顶点的一个外角互为邻补角．
n 边形： （1）n 边形的内角和等于ο
180)2(?-n ． （2）任意多边形的外角和等于ο
360
（3）n 边形共有2)3(-n n 条对角线
（4）在平面内，内角都相等且各边都相等的多边形叫做正多边形。 （5）正多边形的每个内角等于n
n 180
).2(-
A B
C
D 1234
A
B C
D
1、轴对称与中心对称的区别
（1）如果把一个图形沿着一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时,我们也说这个图形关于这条直线对称
（2）在平面内，一个图形绕某个点旋转180O，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
2、性质区分：
3、顺次连接：
任意四边形和平行四边形四边中点所得的是四边形是平行四边形。如图一
顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所得的是四边形是菱形，
如矩形、等腰梯形或图二中图形等。
顺次连接对角线垂直的四边形的四边中点所得的是四边形是矩形，
如菱形或图三中图形等。
顺次连接对角线既相等又垂直的四边形的四边中点所得的是四边形是正方形，如正方形或图四中图形等。
1、对角线＿＿＿＿＿平行四边形是矩形。 2、如图⑴已知O 是□ABCD 的对角线交点，AC ＝24，BD ＝38，AD ＝14，那么△OBC 的周长等于＿＿＿＿＿。 3、在平行四边形ABCD 中，∠C ＝∠B+∠D,则∠A ＝＿＿＿，∠D ＝＿＿＿。 4、一个平行四边形的周长为70cm ，两边的差是10cm ，则平行四边形各边长为＿＿＿＿cm 。 5、已知菱形的一条对角线长为12cm ，面积为30cm 2，则这个菱形的另一条对角线长为__________cm 。 6、菱形ABCD 中，∠A ＝60o ，对角线BD 长为7cm ，则此菱形周长＿＿＿＿＿cm 。 7 8、如图2矩形ABCD 的两条对角线相交于O,∠AOB ＝60o ,AB ＝8,则矩形对角线的长＿＿＿。 9、如图3,等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ∥DE ，BC ＝8，AB ＝6，AD ＝5则△CDE 周长＿＿＿。 10、正方形的对称轴有＿＿＿条 11、如图4，BD 是□ABCD 的对角线，点E 、F 在BD 上，要使四边形AECF 是平行四边形，还需增加的一个条件是＿＿＿ 12、要从一张长为40cm ，宽为20cm 的矩形纸片中，剪出长为18cm ，宽为12cm 的矩形纸片，最多能剪出＿＿＿＿＿＿张。 13、在□ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的值可以是（ ） A 、1：2：3：4 B 、1：2：2：1 C 、2：2：1：1 D 、2：1：2：1 14、菱形和矩形一定都具有的性质是（ ） A 、对角线相等 B 、对角线互相垂直 C 、对角线互相平分 D 、对角线互相平分且相等 15、下列命题中的假命题是（ ） A 、等腰梯形在同一底边上的两个底角相等 B 、对角线相等的四边形是等腰梯形 C 、等腰梯形是轴对称图形 D 、等腰梯形的对角线相等 16、四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，能判定它是正方形的是（ ） A 、AO ＝OC ，OB ＝OD B 、AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BD C 、AO ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD D 、AO ＝OC ＝OB ＝OD 17、给出下列四个命题 ⑴一组对边平行的四边形是平行四边形 ⑵一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 ⑶两条对角线互相垂直的矩形是正方形 ⑷顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是等腰梯形。 其中正确命题的个数为（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 18、下列矩形中按虚线剪开后，能拼成平行四边形，又能拼成直角三角形的是（ ） 19、（8分）如图：在□ABCD 中，∠BAD 的平分线AE 交DC 于E ，若∠DAE ＝25，求∠C 、∠B 的度数。 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 中 点 A B
苏教版八年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 正方形（提高） 【学习目标】 1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法． 【要点梳理】 要点一、正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 要点二、正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 要点三、正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 要点四、特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 【典型例题】
类型一、正方形的性质 1、如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 分别在OD 、OC 上，且 DE ＝CF ，连接DF 、AE ，AE 的延长线交DF 于点M ． 求证：AM⊥DF． 【思路点拨】根据DE ＝CF ，可得出OE ＝OF ，继而证明△AOE≌△DOF，得出∠OAE＝∠ODF，然后利用等角代换可得出∠DME＝90°，即得出了结论． 【答案与解析】 证明：∵ABCD 是正方形， ∴OD＝OC ， 又∵DE＝CF ， ∴OD－DE ＝OC －CF ，即OE ＝OF ， 在Rt △AO E 和Rt △DOF 中， AO DO AOD DOF OE OF =??∠=∠??=? ， ∴△AOE≌△DOF， ∴∠OAE＝∠ODF， ∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM， ∴∠ODF＋∠DEM＝90°， 即可得AM⊥DF． 【总结升华】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是通过全等的证明得出∠OAE＝∠ODF，利用等角代换解题． 举一反三： 【变式1】如图四边形ABCD 是正方形，点E 、K 分别在BC ，AB 上，点G 在BA 的延长线上， 且CE ＝BK ＝AG ．以线段DE 、DG 为边作DEFG ． (1)求证：DE ＝DG ，且DE ⊥DG ． (2)连接KF ，猜想四边形CEFK 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想． 【答案】 证明：(1)∵ 四边形ABCD 是正方形，
平行四边形的性质 一．选择题（共20小题） 1．已知平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线α的取值范围为（） A．4＜α＜16 B．14＜α＜26C．12＜α＜20 D．以上答案都不正确 2．若平行四边形的一边长为5，则它的两条对角线长可以是（） A．12和2 B．3和4 C．4和6 D．4和8 3．如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60度，AB=5cm，则下面结论正确的是（） A．BC=5cm，∠D=60度B．∠C=120度，CD=5cm C．AD=5cm，∠A=60度D．∠A=120度，AD=5cm 4．如图所示，一个平行四边形被分成面积为S 1，S 2 ，S 3 ，S 4 的四个小平行四边 形，当CD沿AB自左向右在平行四边形内平行滑动时，S 1?S 4 与S 2 ?S 3 的大小关 系为（）A．S 1?S 4 ＞S 2 ?S 3 B．S 1 ?S 4 ＜S 2 ?S 3 C．S 1 ?S 4 =S 2 ?S 3 D．不 能确定 5．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O（如图），则图中全等三角形的对数为（）A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，点A在平行四边形的对角线上，试判断S 1，S 2 之间的大小关系（） A．S 1=S 2 B．S 1 ＞S 2 C．S 1 ＜S 2 D．无法确定
7．下列平行四边形中，其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是（） A．B． C．D． 8．如图，?ABCD中，EF∥AD，GH∥CD，EF、GH相交于O，则图中平行四边形的个数为（）A．9 B．8 C．6 D．4 9．下列说法：①平行四边形的任意一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形．②平行四边形的面积等于三角形的面积的2倍．③平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形．④平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等其中正确的个数有（）A．1个 B．2个C．3个D．4个10．平行四边形的对角线和它的边可以组成全等三角形（） A．3对B．4对C．5对D．6对 11．如图，在?ABCD中，AB=8，AD=6，∠DAB=30°，点E，F在AC上，且AE=EF=FC，则△BEF的面积为（） A．8 B．4 C．6 D．12 12．如图所示，?ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，AF⊥BD于F，CE ⊥BD于E，则图中全等三角形的对数共有（）
人教版八年级下册数学正方形教案
教学目标(一)知识目标: 1、要求学生掌握正方形的概念及性质; 2、能正确运用正方形的性质进行简单的计算、推理、论证。 (二)能力目标: 1、通过本节课培养学生观察、动手、探究、分析、归纳、总结等能力; 2、发展学生合情推理意识，主动探究的习惯，逐步掌握说理的基本方法。 (三)情感目标: 1、让学生树立科学、严谨、理论联系实际的良好学风; 2、培养学生互相帮助、团结协作、相互讨论的团队精神; 3、通过正方形图形的完美性，培养学生品格的完美性。 重点难点正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用． 教学准备教师准备多媒体 学生准备三角板、直尺等 教学过程设计 一、课堂引入 做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形． 学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系． （二）探索新知 问题：什么样的四边形是正方形？ 正方形定义：有一组邻边相等 ．．．．．．并且有一个角是直角 ．．．．．．．的平行四边形 ．．．．．叫做正方形． 指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形） （2）有一个角是直角的平行四边形（矩形） 2．【问题】正方形有什么性质？ 由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形． （教师个性化设计）
所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质． 三、例题分析 例1（教材P111的例4）求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形． 已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点 O（如图）． 求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角 三角形． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴ AC=BD，AC⊥BD， AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形， 并且△ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO． 例2 （补充）已知：如图，正方形ABCD中，对角线的 交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA 于F． 求证：OE=OF． 分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO， 由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE= ∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以 得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．又DG⊥AE，∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°． ∴∠EAO=∠FDO． ∴△AEO ≌△DFO． ∴OE=OF． 例3 （补充）已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P
湘教版八年级下册全期数学教案（整理）
八年级下册教案 第一章因式分解 第1节多项式的因式分解 一、背景介绍 因式分解是代数式中的重要内容，它与前一章整式和后一章分式联系极为密切。因式分解的教学是在整式四则运算的基础上进行的，因式分解方法的理论依据就是多项式乘法的逆变形。它不仅在多项式的除法、简便运算中有直接的应用，也为以后学习分式的约分与通分、解方程（组）及三角函数式的恒等变形提供了必要的基础。因此，学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义。 二、教学设计 【教学内容分析】 因式分解的概念是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它是因式分解方法的理论基础，也是本章中一个重要概念。教材在引入中是结合剪纸拼图来阐述这一概念的，也可以与小学数学里因数分解的概念类比予以说明。在教学时对因式分解这一概念不宜要求学生一次彻底了解，应该在讲授因式分解的三种基本方法时，结合具体例题的分解过程和分解结果，说明这一概念的意义，以达到逐步了解这一概念的教学目的。
【教学目标】 1、认知目标：（1）理解因式分解的概念和意义 （2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。 2、能力目标：由学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析、判断能力和创新能力，发展学生智能，深化学生逆向思维能力和综合运用能力。 3、情感目标：培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。 【教学重点、难点】 重点是因式分解的概念，难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。 【教学准备】 实物投影仪、多媒体辅助教学。 【教学过程】 ㈠、情境导入 看谁算得快：（抢答） (1)若a=101,b=99,则a2-b2=___________； (2)若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=____________； (3)若x=-3,则20x2+60x=____________。
第9章四边形（请记熟前两页）对边不平行的四边形 一般梯形 梯形等腰梯形 四边形特殊梯形 直角梯形 矩形 平行四边形｝正方形 菱形 一、平行四边形 定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 性质：1、对边：分别平行且相等； 2、对角：分别相等； 3、对角线：互相平分； 4、对称性：中心对称图形。 判定定理1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）； 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形；? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
A C B D 5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 二、矩形 定义：有一个角是直角的平行四边形。 性质：1、具有平行四边形的所有性质； 2、四个角都是直角； 3、对角线互相平分且相等； 4、对称性：中心对称图形，轴对称图形。 判定定理： 1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2.对角线相等的平行四边形是矩形。 3.有三个角是直角的四边形是矩形。 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 三、菱形 定义：邻边相等的平行四边形。 性质：1、具有平行四边形的所有性质； 2、四条边都相等； 3、对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； 4、对称性：中心对称图形、轴对称。 判定定理： 1.一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）；
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 3.四条边相等的四边形是菱形。S菱形=1/2×ab（a、b为两条对角线） 四、正方形 定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。 性质：1、四条边都相等； 2、四个角都是直角； 3、正方形既是矩形，又是菱形。 判定定理：1、邻边相等的矩形是正方形。 2、有一个角是直角的菱形是正方形。 五、梯形 定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 1、直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形 2、等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。 等腰梯形的性质：1、同一底边上的两个角相等； 2、两条对角线相等； 3、两腰相等； 4、对称性：轴对称图形。 等腰梯形判定定理：1、两腰相等的梯形是等腰梯形； 2、同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形； 3、对角线相等的梯形是等腰梯形；
【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】 正方形（基础） 责编：康红梅 【学习目标】 1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法． 【要点梳理】 【特殊的平行四边形（正方形）知识要点】 要点一、正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 要点二、正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 要点三、正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 要点四、特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.
八年级数学四边形测试题 姓名 （考试时间：90分钟 满分：100分） 一、填空：（每小题2分，共24分） 1、对角线＿＿＿＿＿平行四边形是矩形。 2、如图⑴已知O 是平行四边形ABCD 的对角线交点，AC ＝24，BD ＝38，AD ＝14，那么△OBC 的周长等于＿＿＿＿＿。 3、在平行四边形ABCD 中，∠C ＝∠B+∠D,则∠A ＝＿＿＿，∠D ＝＿＿＿。 4、一个平行四边形的周长为70cm ，两边的差是10cm ，则平行四边形各边长为＿＿＿＿cm 。 5、已知菱形的一条对角线长为12cm ，面积为30cm 2，则这个菱形的另一条对角线长为__________cm 。 6、菱形ABCD 中，∠A ＝60o ，对角线BD 长为7cm ，则此菱形周长＿＿＿＿＿cm 。 7 8、如图（2）矩形ABCD 的两条对角线相交于O,∠AOB ＝60o ,AB ＝8,则矩形对角线的长＿＿＿。 9、如图（3）,等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ∥DE ，BC ＝8，AB ＝6，AD ＝5则△CDE 周长＿＿＿。 10、正方形的对称轴有＿＿＿条 11、如图（4），BD 是□ABCD 的对角线，点E 、F 在BD 上，要使四边形AECF 是平行四边形，还需增加的一个条件是＿＿＿＿＿＿ ⑴ ⑵ ⑶ ⑷
12、要从一张长为40cm，宽为20cm的矩形纸片中，剪出长为18cm，宽为12cm 的矩形纸片，最多能剪出＿＿＿＿＿＿张。 二、选择题：（每小题3分，共18分） 13、在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（） A、1：2：3：4 B、1：2：2：1 C、2：2：1：1 D、2：1：2：1 14、菱形和矩形一定都具有的性质是（） A、对角线相等 B、对角线互相垂直 C、对角线互相平分 D、对角线互相平分且相等 15、下列命题中的假命题是（） A、等腰梯形在同一底边上的两个底角相等 B、对角线相等的四边形是等腰梯形 C、等腰梯形是轴对称图形 D、等腰梯形的对角线相等 16、四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，能判定它是正方形的是（） A、AO＝OC，OB＝OD B、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD C、AO＝OC，OB＝OD，AC⊥BD D、AO＝OC＝OB＝OD 17、给出下列四个命题 ⑴一组对边平行的四边形是平行四边形⑵一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 ⑶两条对角线互相垂直的矩形是正方形⑷顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是等腰梯形。 其中正确命题的个数为（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 18、下列矩形中按虚线剪开后，能拼成平行四边形，又能拼成直角三角形的是
，， 18.2.3正方形同步练习 一.选择题 1.在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别任意取点E、F、G、H．这样得到的四边形EFGH 中，是正方形的有（） A．1个B．2个C．4个D．无穷多个 2.将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变．当∠B=90°时（如图甲）测得对角线BD的长为 对角线BD的长为（） ．当∠B=60°时（如图乙）则 A. B. C.2 D. 3.如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的 面积为S，则() A．S＝2B．S＝2.4C．S＝4D．S与BE长度有关 4.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（） A．3B．4C．5D．6 5.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S，S， 12 则S 1 S的值为() 2 A.16 B.17 C.18 D.19
6.如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为 16，则DE的长为（） A．3B．2C．4D．8 二.填空题 7．延长正方形ABCD的BC边至点E，使CE＝AC，连结AE，交CD于F，那么∠AFC的度数为______，若BC＝4cm，则△ACE的面积等于______． 8．在正方形ABCD中，E为BC上一点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F、G，如果AB52cm， 那么EF＋EG的长为______． 9．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于______cm． 10.如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DE⊥a于点E、BF⊥a 于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为_____. 11.如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为cm．
核心素养专题：四边形中的探究与创新 1．(2017·苏州中考)如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E.将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A′E′F′.设P、P′分别是EF、E′F′的中点，当点A′与点B重合时，四边形PP′CD的面积为() A．28 3 B．24 3 C．32 3 D．323－8 第1题图第2题图 2．(2017·北京中考)数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．(以上材料来源于《古证复原的原理》《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》) 请根据上图完成这个推论的证明过程． 证明：S矩形NFGD＝S△ADC－(S△ANF＋S△FGC)，S矩形EBMF＝S△ABC－(______________＋______________)． 易知S△ADC＝S△ABC，______________＝______________，______________＝______________．可得S矩形NFGD＝S矩形EBMF. 3．(2017·兰州中考)如图①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C 落到点E处，BE交AD于点F. (1)求证：△BDF是等腰三角形； (2)如图②，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O. ①判断四边形BFDG的形状，并说明理由； ②若AB＝6，AD＝8，求FG的长． 4．(2017·通辽中考)邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，
新化十五中学数学教案 八年级下册 肖志光
第一章 直 角 三 角 形 课题 第1章直角三角形 §1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ） 主备教师使用教师 教学目的 1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”定理。 2、掌握“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”定理。
3、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。 4、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。 教学重点直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。 教学难点直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。 观察、比较、合作、交流、探索. 教学方法 教学课时一个课时 教学过程个性化设计 一、复习提问：（1）什么叫直角三角形？ （2）直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性 质外，还具备哪些性质? 二、新授 （一）直角三角形性质定理1 请学生看图形： 1、提问：∠A与∠B有何关系？为什么？ 2、归纳小结：定理1：直角三角形的两个锐角互余。 3、巩固练习： 练习1、 （1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数 （2）在Rt△ABC中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠ A= ，∠B= 。 练习2 在△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么，（1） 与∠B互余的角有（2）与∠A相等的角有。 （3）与∠B相等的角有。 （二）直角三角形的判定定理1
1、提问：“在△ABC中，∠A +∠B =900那么△ABC是直角三角形吗？” 2、利用三角形内角和定理进行推理 3、归纳：有两个锐角互余的三角形是直角三角形 练习3:若∠A= 600，∠B =300，那么△ABC是三角形。（三）直角三角形性质定理2 1、实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片 （l）量一量斜边AB的长度。（2）找到斜边的中点，用字母D 表示。 （3）画出斜边上的中线。（4）量一量斜边上的中线的长度让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间有何关系？ 归纳：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 三、巩固训练： 练习4：在△ABC中，∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。 练习5：已知：∠ABC=∠ADC=90O，E是AC中点。 求证：（1）ED=EB。 (2)∠EBD=∠EDB。 （3）图中有哪些等腰三角形？ 练习6 已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高， M 是BC的中点。如果连接DE,取DE的中点 O,那么MO 与DE有什么样的关系存在? 四、小结： 这节课主要讲了直角三角形的那两条性质定理和一条判定定理？ 1、 2、
平行四边形练习题 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．在ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：2，则∠D=（）A）36°B）108°C）72°D）60°2．如果等边三角形的边长为3，那么连结各边中点所成的三角形的周长为（）． （A）9 （B）6 （C）3 （D）9 2 3．平行四边形的两条对角线分别为6和10，则其中一条边x的取值范围为（）．（A）4 直角三角形的性质 主备人：王勇合备人：周谧洋钟猛教学时间：月日第节总第节 教学目标 知识与技能：1理解并掌握直角三角形的判定定理和斜边上的中线性质定理 2 能应用直角三角形的判定与性质，解决有关问题。 过程与方法：通过对几何问题的“操作—探究—讨论—交流—讲评”的学习过程，提高分析问题和解决问题的能力。 情感、态度与价值观：感受数学活动中的多向思维、合作交流的价值，主动参与 数学思维与交流活动。 教学重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的推导与应用。 教学难点：“操作—探究—讨论—交流—讲评”得出直角三角形斜边上的中线性质定理。 教学过程 一、教学引入 1、三角形的内角和是多少度。学生回答。 2、什么是直角三角形？日常生活中有哪些物品与直角三角形有关？请举例说明。 3、等腰三角形有哪些性质？ 二、探究新知 1、探究直角三角形判定定理： ⑴观察小黑板上的三角形，从∠A+∠B的度数，能说明什么？ ——两个锐角互余的三角形是直角三角形。 ⑵讨论：直角三角形的性质和判定定理是什么关系？ 2、探究直角三角形性质定理： ⑴ 学生画出直角三角形ABC 斜边的中线CD 。 ⑵ 测量并讨论斜边上的中线的长度与斜边的关系。 ⑶ 学生猜想：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半。 3、 共同探究： 例 已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的中线。 求证：CD=1 2 AB 。 [教师引导：数学方法——倒推法、辅助线] （分析：要证CD=1 2 AB ，先证CD=AD 、CD=AD ，在同一个三角形中证 明CD=AD ，必须找∠ACD=∠A ，但是题目中没有我们要怎样做呢？作∠1=∠A 。学生注意在作辅助线时只能作一个量。因此，我们要证明∠1与AB 的交点就是中点。） 三、应用迁移 巩固提高 练习：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证，这个三角形是直角三角形。已知CD 是ABC ?的AB 边上的中线，且CD=1 2AB 。求证ABC ?是 直角三角形。 提示：倒推法，要证明ABC ?是直角三角形，只有通过定义和判定定理，定义与判定定理都与角有关系。现在我们只有边的关系，我们学过的边与角能联系起来的就是等腰三角形。还要找到与90°有关的角，但是我们只知道三角形的内角和为180°。通过提示，请同学们自己写出证明过程。 四、课堂小结 1、两个锐角互余的三角形是直角三角形。 2、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。反过来讲也正确。 第一章直角三角形 一、直角三角形的性质和判定 1?直角三角形：有一个角是直角的三角形。 三角形角和等于180° 三角形中线：连接三角形的一个顶点与它的对边中点的线段。 2?直角三角形的性质 A. 直角三角形的两个锐角互余。 B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 C. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半。 D. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 30°3?直角三角形的判定 A. 有两个角互余的三角形是直角三角形。 B. 如果三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 二、勾股定理 1?勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边的c的平方，即a2+ b2=c2 2?在直角三角形中，已知任意两条边长，可以根据勾股定理求出第三边的长。 3. 如果三角形的三边长a, b, c有下面关系：a2+ b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 三、直角三角形全等的判定 1. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL ）。 2. 直角三角形全等的条件（A表示对应角相等、S表示对应边相等） 1. 角平分线上的点到角的两边的距离相等。 2?角的部到角的两边距离相等的点在叫的平分线上。 第二章四边形 一、多边形 1?多边形：在平面，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 A. 组成多边形的各条线段叫做多边形的边。 B. 每相邻两条边的公共端点叫做多边形的焦点。 C. 连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 D ?相邻两边组成的角叫作多边形的角，简称多边形的角。 2?多边形的角和 n 边形的角和等于(n — 2) *180 ° 3?多边形的外角和 A. 多边形外角的定义：多边形的角的一边与另一边的方向延长线所组成的角。 B. 多边形外角和的定义：在多边形的每一个顶点处取一个外角，它们的和。 C. 多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于 360° D. 多边形外角和定理的证明：多边形的每个角与跟它相邻的外角是邻补角，所以 n 边形角和 加外角和等于 n*180° 外角和等于 n*180°—( n — 2) *180° =360°。 4?正多边形 A. 在平面，边相等、角也相等的多边形叫作正多边形。 CD 正多边形必须满足：各边相等、各角相等。缺一不可 C 正多边形都是轴对称图形，正 n 边形有n 条对称轴，当n 为偶数时，正n 边形既是轴对称 图形也是中心对称图形。 二、平行四边形 1?平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。用 表示。 2?平行四边形的对边平行且相等、对角相等。 3. 平行四边形的判定： ②各角相等，所以每个角为 (??-2)?180 ° ?? 360 ° 一人宀， 每个角为 360 180° ——— n ③各外角相等，外角为 八年级数学下册《四边形》经典例题 例一：如图，已知DE∥BC，CE和BD相交于点O，S△DOE∶S△COB＝4∶9，则 AE∶EB为（） A．2∶1 B．2∶3 C．3∶2 D．5∶4 例二：已知：如图，□ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于 F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G． 求证：(1) AB＝BH； (2) AB2＝GA·HE． 例三：如图1，正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE（不需要证明） （1）如图②，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF,上面的结论①、②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”） （2）如图③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线上和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 例四：如图，在△ABC中，∠ACB=90 ，BC的垂直平分线．DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE上，并且AF=CE． (1)求证：四边形ACEF是平行四边形． (2)当∠B的大小满足什么条件时，四边形．ACEF是菱形?证明你的结论． (3)四边形ACEF有可能是正方形吗?为什么? 例五：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，E、F两点在边BC上，且四边形AEFD 是平行四边形． （1）AD与BC有何等量关系，请说明理由； （2）当AB=DC时，求证：平行四边形AEFD是矩形． 例六：如图所示，（1）正方形ABCD及等腰Rt△AEF有公共顶点A,∠EAF=900, 连接BE、DF.将Rt △AEF绕点A旋转,在旋转过程中，BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系？结合图(1)给予证明； (2)将（1）中的正方形ABCD变为矩形ABCD，等腰Rt△AEF变为Rt△AEF，且AD=kAB,AF=kAE,其他条件不变.(1)中的结论是否发生变化？结合图(2)说明理由； 18.2.3 正方形 原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！ 举世不师，故道益离。柳宗元 第1课时正方形的性质 一、填空题 1、如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠ACE ＝°. 2、如图，四边形 ABDC是正方形，延长 CD到点E，使CE=CB，则∠AEC ＝°. 3、如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,则下列结论： ①∠E= 22.5°；②∠AFC=112.5°；③∠ACE=135°；④AC=CE；⑤AD∶CE=1∶ 2. 其中正确的有个. 4、如图，等边△EDC在正方形ABCD内，连结EA、EB，则∠AEB＝°；∠ACE ＝°. 5、已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是°. 6、如图，四边形ABCD 是正方形，E是边CD上一点，若△AFB经过逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°）后，与△AED重合，则θ值为° 第6题图第7题图第8题图第9题图 7、已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE = 2，EC = 1，把线段AE绕点A旋 第1题图第2题图第3题图第4题 转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为___________. 8、如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD ， 在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为 . 9、如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在 CD 边上的B '处，点A 对应点为A '，且C B '=3，则CN= ；AM 的长 是 . 10、正方形的面积是3 1，则其对角线长是________. 11如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中 心，则阴影部分的面积是 . 12、如图，将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An 分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分的面积和为 . 13、边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形AB ′′D ′，两 图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示重叠部分），则这个风筝的面积 是 . 14、如图，边长为的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45度后得到正方形 AB ′C ′D ′，边B ′C ′与DC 交于点O ，则四边形AB ′OD 的周长是 . 15、如右图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ． 将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，长EF 交边BC 于点G 连结AG 、CF ． 下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3． 其中正确的结论是 .（填序号） O 2 O 1 第11题图 第12题图 第13题图 第14题图 平行四边形 如图， ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，EF 过点O ，与BC ，AD 分别相交 于点E ，F ，? 求证：OE=OF ． 如图，在平行四边形ABCD 中，DB ＝DC ，∠C ＝70°，AE ⊥BD 于E ，求∠DAE 的度数. 已知：如图所示，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，EF 经过点O 并且分别和AB ，CD 相交于点E ，F ，点G ，H 分别为OA ，OC 的中点．求证：四边形EHFG 是平行四边形． E A B C D O M A B C D 如图所示，在四边形ABCD 中，M 是BC 中点，AM 、BD 互相平分于点O ，那么请说明AM=DC 且AM ∥DC 矩形 如图所示，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD 是△ABC 的中线，延长BD 到E ，使DE=BD ，连结AE ，CE ，求证：四边形ABCE 是矩形． 如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处，当△CEB ′为直角三角形时，求BE 的长 E C D B A B ′ M G H A B C D 如图，折叠长方形的一边，使点 落 在边上的点处， ，， 求： （1） 的长；（2） 的长. 正方形 如图所示不，在正方形ABCD 中，M 是BC 上一点，连结AM ，作AM 的垂直平分线GH 交AB 于G ，交CD 于H ，若AM ＝10cm ，求GH 的长。 菱形 如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且a AB AB DE =⊥,，求：（1）ABC ∠的度数；（2）对角线AC 的长；（3）菱形ABCD 的面 如图，在Rt △ABC 中， 90=∠ACB ，E 为AB 的中点，四边形BCDE 是平行四湘教版八年级下册数学全册教案
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