2010年中考数学试题分类汇编——相似
（2010哈尔滨）１．已知：在△ABC 中AB ＝AC ，点D 为BC 边的中点，点F 是AB 边上一点，点E 在线段DF 的延长线上，∠BAE ＝∠BDF ，点M 在线段DF 上，∠ABE ＝∠DBM ． （1）如图1，当∠ABC ＝45°时，求证：AE ＝2MD ；
（2）如图2，当∠ABC ＝60°时，则线段AE 、MD 之间的数量关系为： 。
（3）在（2）的条件下延长BM 到P ，使MP ＝BM ，连接CP ，若AB ＝7，AE ＝72， 求tan ∠ACP 的值．
（2010珠海）２．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ， 连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B. (1) 求证：△ADF ∽△DEC
(2) 若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3,求AF 的长. （1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥BC AB ∥CD
∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180° ∵∠AFE+∠AFD=180 ∠AFE=∠B ∴∠AFD=∠C ∴△ADF ∽△DEC
(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥BC CD=AB=4
又∵AE ⊥BC ∴ AE ⊥AD 在Rt △ADE 中，DE=63)33(2222=+=+AE AD
∵△ADF ∽△DEC ∴ CD
AF
DE AD = ∴4633AF = AF=32
（2010珠海）３。一天，小青在校园内发现：旁边一颗树在阳光下
的影子和她本人的影子在同一直线上，树顶的影子和她头顶的影子 恰好落在地面的同一点，同时还发现她站立于树影的中点
（如图所示）.如果小青的峰高为1.65米，由此可推断出树高是_______米. 3.3
（桂林2010）6．如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE 与△ABC的面积比为（ B ）．
A．1：2 B．1：4
C．2：1 D．4：1
（2010年兰州）19. 如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米.甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是米.
答案 6
（2010宁波市）26．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，□ABCD的顶点A的坐标为（－2，0），点D的坐标为（0，23），点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G．
（1）求∠DCB的度数；
（2）当点F的坐标为（－4，0），求点的坐标；
（3）连结OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF′，记直线EF′与射线DC的交点为H．
①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG≌△DHE；
②△若EHG的面积为33，请你直接写出点F的坐标
A
D E
B C
24. （2010年金华） (本题12分)
如图，把含有30°角的三角板ABO 置入平面直角坐标系中，A ，B 两点坐标分别为
（3，0）和(0，
.动点P 从A 点开始沿折线AO-OB-BA 运动，点P 在AO ，OB ，BA 上运动的速度分别为1
2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l 从x 轴的位置开始以
3
3
(长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l ∥x 轴），且分别与OB ，AB 交于E ，F 两点﹒设动点P 与动直线l 同时出发，运动时间为t 秒，当点P 沿折线AO -OB -BA 运动一周时，直线l 和动点P 同时停止运动． 请解答下列问题：
（1）过A ，B 两点的直线解析式是 ▲ ；
（2）当t ﹦4时，点P 的坐标为 ▲ ；当t ﹦ ▲ ，点P 与点E 重合； （3）① 作点P 关于直线EF 的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F 为 菱形，则t 的值是多少？
② 当t ﹦2时，是否存在着点Q ，
Q 的坐
标；若不存在，请说明理由．
解：（1）333+-=x y ；………4分 （2）（
（3）①当点P 在线段AO 上时，过F 作FG ⊥x 轴，G 为垂足（如图1） ∵FG OE =,FP EP =,∠=EOP ∠=FGP 90° ∴△EOP ≌△FGP ，∴PG OP =﹒
(图1)
又∵t FG OE 33
=
=,∠=A 60°,∴t FG AG 3160
tan 0
== 而t AP =，∴t OP -=3,t AG AP PG 3
2
=-=
由t t 3
2
3=-得 59=t ； (1)
分
当点P 在线段OB
当点P 在线段BA 上时， 过P 作PH ⊥EF ，PM ⊥OB ，H
、M ∵t OE 33=
,∴t BE 33
33-=,∴360tan 0
BE EF ==
∴6
921t
EF EH MP -=
=
=， 又∵)6(2-=t BP 在Rt △BMP 中，MP BP =?060cos 即6
921)6(2t
t -=
?-，解得745=t ．…………………………………………………1分
②存在﹒理由如下：
∵2=t ，∴33
2
=
OE ,2=AP ，1=OP 将△BEP 绕点E 顺时针方向旋转90°，得到 △EC B '（如图3）
∵OB ⊥EF ，∴点B '在直线EF 上，
C 点坐标为（
332，33
2
－1） 过F 作FQ ∥C B '，交EC 于点Q ,
则△FEQ ∽△EC B '
由
3=='=QE CE FE E B FE BE ，可得Q 的坐标为（－3
2
，33）………………………1分 根据对称性可得，Q 关于直线EF 的对称点Q '（－
3
2
，3）也符合条件．……1分 26．（2010年长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，
OA =cm ， OC=8cm ，现有两动点P 、Q 分别从O 、C 同时出发，P 在线段OA 上沿OA cm 的速度匀速运动，Q 在线段CO 上沿CO 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动．设运动时间为t 秒．
（1）用t 的式子表示△OPQ 的面积S ；
（2）求证：四边形OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值；
（3）当△OPQ 与△P AB 和△QPB 相似时，抛物线21
4
y x bx c =++经过B 、P 两点，过线
（图2)
(图3)
段BP 上一动点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ，当线段MN 的长取最大值时，求直线MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比．
解：(1) ∵CQ ＝t ，OP
t ，CO =8 ∴OQ =8－t
∴S △OPQ
＝
2
1
(8)22
2
t t -=-
+（0＜t ＜8） …………………3分 (2) ∵S 四边形OPBQ
＝S 矩形ABCD －S
△P AB －S △CBQ
＝11
88
)22
??-??＝
………… 5分 ∴四边形O PBQ 的面积为一个定值，且等于 …………6分
（3）当△OPQ 与△P AB 和△QPB 相似时, △QPB 必须是一个直角三角形，依题意
只能是∠QPB ＝90°
又∵BQ 与AO 不平行 ∴∠QPO 不可能等于∠PQB ，∠APB 不可能等于∠PBQ ∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ ∽△PBQ
∽△ABP (7)
分 8=解得：t ＝
4 经检验：t ＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度） 此时P
（0）
∵B （8）且抛物线2
14
y
x bx c =++经过B 、P 两点， ∴抛物线是
2
184
y x =
-+，直线BP 是：8
y =- …………………8分 设M （m
8-）、N (m ，2
18
4
m -+)
∵M 在BP 上运动
∴m ≤≤
∵2
1184
y x =
-+与
28y
-交于P 、B 两点且抛物线的顶点是P ∴当m ≤≤时，12y y >
………………………………9分
第26题图
∴12MN y y =-＝21
(62)24
m -
-+ ∴当62m =时，MN 有最大值是2 ∴设MN 与BQ 交于H 点则(62,4)M 、(62,7)H ∴S △BHM ＝
1
3222
??＝32 ∴S △BHM ：S 五边形QOPMH ＝32:(32232)-＝3:29
∴当MN 取最大值时两部分面积之比是3：29． …………………10分
（2010年湖南郴州市）13.如图，已知平行四边形ABCD ，E 是AB 延长线上一点，连结DE 交BC 于点F ，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使CDF BEF △≌△，这个条件是 ．（只要填一个）
答案DC EB 或CF BF 或DF EF 或F 为DE 的中点或F 为BC 的中点或AB BE =或B 为AE 的中点
(2010湖北省荆门市)23．(本题满分10分)如图，圆O 的直径为5，在圆O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，已知BC ∶CA ＝4∶3，点P 在半圆弧AB 上运动(不与A 、B 重合)，过C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点 (1)求证：AC ·CD ＝PC ·BC ；
(2)当点P 运动到AB 弧中点时，求CD 的长；
(3)当点P 运动到什么位置时，△PCD 的面积最大？并求这个最大面积S ．
答案23．解：(1)∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°．又∵PC ⊥CD ，∴∠PCD ＝90°． 而∠CAB ＝∠CPD ，∴△ABC ∽△PCD ．∴
AC BC
CP CD
=．
∴AC ·CD ＝PC ·BC ；………………………………………………………………………3分
第23题图
C
D
B
A O
P
A
B E F
D C
第13题
F
E
C B
B'
C'
(2)当点P 运动到AB 弧中点时，过点B 作BE ⊥PC 于点E ． ∵P 是AB 中点，∴∠PCB ＝45°，CE ＝BE
BC ＝
．
又∠CAB ＝∠CPB ，∴tan ∠CPB ＝tan ∠CAB ＝
43．∴PE ＝tan BE CPB ∠
＝3)4
． 从而PC ＝PE ＋EC
．由(1)得CD ＝4
3PC
7分
(3)当点P 在AB 上运动时，S △PCD ＝12PC ·CD ．由(1)可知，CD ＝4
3
PC ． ∴S △PCD ＝
2
3
PC 2．故PC 最大时，S △PCD 取得最大值； 而PC 为直径时最大，∴S △PCD 的最大值S ＝
23×52＝50
3
．………………………………10分
（2010年眉山）25．如图，Rt △AB 'C ' 是由Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转得到的，连结CC '
交斜边于点E ，CC ' 的延长线交BB ' 于点F ． （1）证明：△ACE ∽△FBE ；
（2）设∠ABC =α，∠CAC ' =β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE 与△FBE 是
全等三角形，并说明理由．
答案：25．（1）证明：∵Rt △AB 'C ' 是由Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转得到的， ∴AC =AC '，AB =AB '，∠CAB =∠C 'AB ' ………………（1分） ∴∠CAC '=∠BAB '
∴∠ACC '=∠ABB ' ……………………………………（3分） 又∠AEC =∠FEB
∴△ACE ∽△FBE ……………………………………（4分）
（2）解：当2βα=时，△ACE ≌△FBE ． …………………（5分） 在△ACC '中，∵AC =AC '， ∴180'180'9022
CAC ACC β
α?-∠?-∠=
==?- ………（6分）
在Rt △ABC 中，
第23题图
F
E
C B
A
B'
C' ∠ACC '+∠BCE =90°，即9090BCE α?-+∠=?， ∴∠BCE =α． ∵∠ABC =α，
∴∠ABC =∠BCE ……………………（8分） ∴CE =BE
由（1）知：△ACE ∽△FBE ，
∴△ACE ≌△FBE ．………………………（9分）
12．(10重庆潼南县)△ABC 与△DEF 的相似比为3：4，则△ABC 与△DEF 的周长比为______．3：4 1、（2010年杭州市）如图，AB = 3AC ，BD = 3AE ，又BD ∥AC ，点B ，A ，E 在同一条直线上.
(1) 求证：△ABD ∽△CAE ；
(2) 如果AC =BD ，AD =22BD ，设BD = a ，求BC 的长.
答案：
(1) ∵ BD ∥AC ，点B ，A ，E 在同一条直线上， ∴ ∠DBA = ∠CAE , 又∵
3==AE
BD
AC AB , ∴ △ABD ∽△CAE . (2) ∵AB = 3AC = 3BD ，AD =22BD ，
∴ AD 2 + BD 2 = 8BD 2 + BD 2 = 9BD 2 =AB 2， ∴∠D =90°, 由（1）得 ∠E =∠D = 90°, ∵ AE =
31BD , EC =31AD =
23
2
BD , AB = 3BD ， ∴在Rt △BCE 中，BC 2 = (AB + AE )2 + EC 2 = (3BD +
31BD )2 + (322BD )2 = 9
108BD 2
= 12a 2 ,
∴ BC =32 a .
（2010陕西省）13、如图在△ABC 中D 是AB 边上一点，
连接CD ，要使△ADC 与△ABC 相似，应添加的条件是 ∠ACD=∠B ∠ADC=∠AOB
AD AC AC AB
=
（2010年天津市）（17）如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 边上
的点，AD BE =，AE 与CD 交于点F ，AG CD ⊥于点G ， 则AG
AF
的值为
．
（2010山西5．在R t △ABC 中，∠C ＝90o，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A 的正弦值（）D
A ．扩大2倍
B ．缩小2倍
C ．扩大4倍
D ．不变
16．关于对位似图形的表述，下列命题正确的是 ②③ ．（只填序号）
3． 位似图形一定有位似中心； 4． 如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这
两个图形是位似图形；
5． 位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比． （2010宁夏22．(6分)
已知：正方形ABCD 中，E 、F 分别是边CD 、DA 上的点，且CE =DF ，AE 与BF 交于点M ． （1）求证：△ABF ≌△DAE ；
（2）找出图中与△ABM 相似的所有三角形（不添加任何辅助线）．
22．(1)证明：在正方形ABCD 中： AB=AD=CD, 且∠BAD=∠ADC=0
90 ∵CE=DF
∴AD-DF=CD-CE 即：AF=DE 在△ABF 与△DAE 中
（第5题）
M
F
E D C
B
A
M F
E D C B
A
第（17）题 D C A F
B E
G
?
?
?
?
?
=
∠
=
∠
=
已证）
已证）
已证）
(
(
(
DE
AF
ADE
BAF
DA
AB
∴△ABF≌△DAE（SAS）----------------------------------------------------------------------------3分（2）与△ABM相似的三角形有：△FAM; △FBA; △EAD----------------------------------6分（2010山西26．在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠CO A＝90o，CB＝3，OA＝6，BA＝35．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．
（1）求点B的坐标；
（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2E B，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；
（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N．使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
A
B
D
E
F
C
O
M
N
x
y