第十一章 曲线积分与曲面积分
一、基本要求
（1） 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 （2） 掌握计算两类曲线积分的方法。
（3） 熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原
函数。
（4） 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积
分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。
（5） 知道散度与旋度的概念，并会计算。
（6） 会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。 二、 教学重点
（1） 两类曲线积分的计算方法； （2） 格林公式及其应用； （3） 两类曲面积分的计算方法； （4） 高斯公式、斯托克斯公式；
（5） 两类曲线积分与两类曲面积分的应用。 三、 教学难点
（1） 两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系； （2） 对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算； （3） 应用格林公式计算对坐标的曲线积分； （4） 应用高斯公式计算对坐标的曲面积分； （5） 应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。 四、释疑解难
问题11.1 如何认识多元函数的几种积分的定义？
答：多元函数的几种积分的定义可以用统一形式给出，统称为几何形体上的积分：
1
()lim ()n
i
i
i G
f P dP f P P λ
→==?∑?，其中i
P ?是将积分区域G 任意分割为n 块后的任一块(1,2
,)i n =，i P 为i P ?内的任一点，{}max i i
P λ=?，它是定积分的推广。
若G 为平面域D ，则是二重积分
(,)D
f x y d σ??。
若G 为空间区域Ω，则是三重积分
(,,)f x y z dv Ω
???。
若G 为曲线弧L ，则是对弧长的曲线积分(,)L
f x y ds ?。
若G 为曲面∑，则是对面积的曲面积分
(,,)f x y z dS ∑
??。
另外 还有对坐标的曲线积分(cos cos )L
L
Pdx Qdy P Q ds αβ+=+??
其中,αβ为有向曲线弧L 的切向量的方向角。 对坐标的曲面积分
(cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS αβγ∑
∑
++=++????，
其中,,αβγ为有向曲面∑的法向量的方向角。
问题11.2 如何正确理解两类曲线积分和曲面积分的概念？
答：由于实际需要，曲线积分与曲面积分为两种类型，有关质量﹑重心﹑转动惯量等数量积分问题导出第一类线面积分；有关变力作功、流体流过曲面的流量等向量问题导出第二类线、面积分。前者被积函数化为数量函数沿区域积分，无需考虑方向性，而后者被积函数是向量函数，必须考虑方向。因此，一个函数的积分可以由积分区域的有向或无向分为两种类型的积分，在所学过的积分中：
区域无向的积分有：重积分﹑第一类曲线积分和第一类曲面积分； 区域有向的积分有：定积分﹑第二类曲线积分和第二类曲面积分。
曲线的方向是由起点到终点（定积分）或切向量的方向来确定，曲面的方向则由曲面上点的法向量所指向的侧来确定。
我们常会把两类积分相互转换，转换时必须注意符号，它体现了有向积分的方向。将无向域的积分化为有向域的积分，如重积分化为累次积分（定积分），方向性体现为定积分的上﹑下限的确定，而将有向域的积分化为无向域的积分，如第二型曲面积分化为二重积分或三重积分，第二型曲线积分化为二重积分等，必须注意符号的确定问题。 问题11.3 应用格林公式时应注意什么问题？
答：应用格林公式应注意以下几点：
1．必须注意格林公式的条件是否满足，否则，就会出现错误。 例如，设?+-=
L y
x ydx xdy I 22，其中L 为22
1x y +=取正向，若按如下解法： 2222
,y x
P Q x y x y -==++,
22222()Q y x P
x x y y
?-?==?+?, 由格林公式，得
0D Q P I dxdy x y ??
??=
-= ????
??? 而事实上 π2)11(22=+=-=+-=
????dxdy ydx xdy y x ydx
xdy I D
L L 。 上述前一种解法是错误的，因为
,Q P
x y
????在(0,0)不连续，而(0,0)D ∈，故不满足格林公式的条件，不能直接应用格林公式。
2．格林公式对复连通区域D ，结论也成立，但L 必须是D 的所有边界曲线取正向。 曲线正向的规定：沿D 的边界曲线正向前进，区域D 总在其左侧。
例如，?+-=
L y
x ydx xdy I 22，其中L 是D ：22
14x y ≤+≤的正向边界曲线，如图，L 的正向为2
2
4x y +=的逆时针和
221x y +=的顺时针方向。
因为
Q P
x y
??=??，(,)x y D ∈， 故由格林公式，得 0D Q P I dxdy x y ??
??=
-= ????
???。 问题11.4 设L 为椭圆22
14y x +=，l 为圆周221
2
x y += 均为逆时针方向，问下列积分的计算是否正确？
π5542442
1
222222==-=+-=+-?????≤
+y x L
l L dxdy ydx xdy y x ydx
xdy y x ydx xdy 。
答：不正确。因为当2
2
0x y +≠时，2222222222
4()
,()()Q y x P y x x x y y x y ?-?-==?+?+ 故在L 与l 围成的区域D 中，
Q P
x y ??≠??，因此??+-≠+-l
L y x ydx xdy y x ydx xdy 222244。 正确的解法是利用L 的参数方程：cos ,2sin ,x t y t ==t 从0变到2π，
πππ42sin 4cos sin 8cos 242020222
222==++=+-???dt dt t t t t y x ydx xdy L
。 注：将曲线积分?+L
Qdy Pdx 改变为另一路径l 上的积分?
+l
Qdy Pdx ，一定要检查条件
Q P
x y
??=??是否在L 与l 所围成的区域内成立，且L 与l 方向要一致。 问题11.5计算积分
dxdy z dzdx y dydz x 333++??∑
，∑为球面：2
222x
y z R ++=的外侧。
下面作法是否正确：
dxdy z dzdx y dydz x 3
33++??
∑=222253()34x y z dv R dv R πΩΩ
++==??????。 答：这个作法不正确，错在三重积分的计算，像这样的错误，一不注意就会发生。因为给出的是∑上的曲面积分，在∑上x ﹑y ﹑z 应满足方程2
2
2
2
x y z R ++=，这是对的。但
在用了高斯公式以后，曲面积分已转换成了三重积分，积分域为Ω：2222
x y z R ++≤，即x ﹑y ﹑z 在闭域上变动,而对于Ω内部的点(),,x y z ，已不满足2
2
2
x y z ++了。正确的
结果应是 2222450
12
3
()3sin 5
R
x y z dv d d d R ππθ?ρ?ρπΩ
++==??????。 问题11.6 设∑为平面x z a +=在柱面222
x y a +=内那一部分的上侧，下面两个积分的解法是否正确？
（1）()3()x z dS a dS a a ∑
∑
+==?∑=
????的面积。
（2）
()3
()x z dxdy a dxdy a a ∑
∑
+==?∑=????
的面积。 答：第一个积分的解法是对的，第二个的解法不对。因为第二个积分是对坐标的曲面积分，其中的微分元dxdy 是dS 在xOy 面上的投影，故正确的作法是：
()D
x z dxdy a dxdy a dxdy ∑
∑
+==??????，D 是∑在xOy 上的投影：2
22x
y a +≤，故
()3
()D
x z dxdy a dxdy a D a π∑
+==?=????的面积 如果∑是下侧，那末3
()D
x z dxdy a dxdy a π∑
+=-=-????。 曲面积分
Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑
++?? 之所以称为对坐标的曲面积分，就是上式中
dydz ﹑dzdx 和dxdy 分别是∑的面积元素dS 在坐标面yoz ﹑zox 和xoy 上的投影。因此计算时应分别把∑投影于yoz ﹑zox 和xoy 面上，化为二重积分，这时，需要注意∑的侧，据此以定投影dydz ﹑dzdx ﹑dxdy 的正负，亦即二重积分的正负。
问题11.7 设∑是半球面2
2
2
2
(0)x y z R y ++=≥的外侧。有人说：“由对称性知0zdS ∑
=??，故同样也有0zdxdy ∑
=??。
”这样说对不对？ 答：这样说不对。我们知道，对面积的曲面积分与曲面（积分域）的侧（方向）无关。
故考虑对称性时比较容易。但对坐标的曲面积分与曲面的侧有关，所以在考虑它的对称性时，还要考虑曲面的侧。也即要顾及被积函数与曲面，情形就比较复杂。因此，在计算对坐标的曲面积分时，不如先把它转化为二重积分，再化为定积分，在转化过程中可考虑利用二重积分或定积分的对称性，这是基本方法。利用对称性只是对具有这种特殊性质的积分所用的解题技巧，并非每个曲面积分都具有这种特殊性质。
问题中的积分
0zdS ∑
=??是对的。因为曲面∑对称于xoy 平面，而被积函数z 在关于
xoy 平面的对称点上，它的值差一个符号（奇函数）
。所以0zdS ∑
=??，但0zdxdy ∑
=??是
不对的。因为曲面虽关于xoy 平面对称，但在对称点上，∑的方向不同，因而投影dxdy 不等。故对称性不能用。计算
zdxdy ∑
??可用两种方法：
（1）设将∑分为xOy 平面上﹑下两部分，分别记为1∑与2∑，它们的方程
是
z =
z =。∑的外侧相当于1∑的上侧和2∑的下侧，所以
222
1
2
x y R zdxdy zdxdy zdxdy ∑
∑∑+≤=+=????????
（上侧取正）
222
(x y R +≤-
??
（下侧取负）
2
22
2
x y R +≤=
??320
22
23
d R π
πθπ-==??
。
（2）补一个圆面D ：2
2
2
0,y x z R =+≤，并取左侧，使D ∑+围成一半球体Ω。 由高斯公式，由于0D
zdxdy =??，故有3
3
2R dv zdxdy zdxdy D
π=
==
???????Ω
+∑∑
。 五、典型例子
例11.1设l 为椭圆1342
2=+y x ，记其周长为a ，则=++?l
dS y x xy )432(22.
【分析】利用曲线积分的概念及积分曲线的对称性化简曲线积分后再进行计算。 【详解】
()
?++l
y
x
xy 2
2
432dS y x xy dS l ????
??
????? ??++=3412222
=)134,1222
2=++??y x y x dS xydS l
l 满足（由于被积函数中的 ①
由于l 关于x 轴对称，而且在对称点（y x ,）与（y x -,）处被积函数2xy 的值互为相反数，所以
?=l
xydS ,02 ②
此外，
,
1212?=l
a dS ③
将②③代入○
1得 ()
a ds y x
xy l
1243222
=++?
【评注】在计算关于弧长的曲线积分时，以下两点是值得注意的：
(Ⅰ)被积函数中的y x ,满足积分曲线方程，因此可以利用曲线方程化简被积函数的
表达式：
（Ⅱ）要尽量利用积分曲线的对称性，这是因为有以下结论：
设()y x f ,是连续函数，如果()d y x f L
?
,的积分曲线具有某种对称性，P 和P ＇
是任意一对对称点，则
当 ()()'|,|,p p y x f y x f -= 时，
();0,=?dS y x f L
当??
=='L L p p dS y x f dS y x f y x f y x f 1
),(2
),(|),(|),(时，（其中1L 是L 按对称性划
分的两部分之一）。
例11.2设S ：)0(2
2
2
2
≥=++z a z y x , 1S 为S 在第一象限的部分，则有
（A ）
????=s xdS xdS S
1
4 （B ）????=s xdS ydS S
1
4。
（C ）
.41
????=s xdS zdS S
（D ）.41
????=s xyzdS xyzdS S
【 】
【分析】利用S 的对称性排除三个不正确的选项即可。 【详解】首先注意
01
>??s xdS ，01
>??s xyzdS ，此外，由于S 关于平面0=x 对称，被积函
数xyz x ,在对称点的值互为相反数，所以
0==????S
S
xyzdS xdS ；
由于S 关于平面 0=y 对称，被积函数y 在对称点处的值互为相反数，所以
0=??S
ydS 。由此排除选项（A ）,(B),(D).
因此本题选（C ）.
【评注】（I ）在重积分与曲面积计算中，应尽量利用积分区域的对称性，以简化计算。对称区域上的曲面积分有以下性质（以关与面积的曲面积分为例）：
设曲面S 具有某种对称性，按这种对称性将S 划分成1S 和2S 两部分，P 和P ' 是关于这种对称性的任意一组对称点，),,(z y x f 是连续函数，则
（a ） 当)
,,(z y x f P P
z y x f '=),,(时，????=S s dS z y x f dS z y x f 1
),,(2),,(；
（b ） 当P P
z y x f z y x f '-=),,()
,,(时，0),,,(=??S
dS z y x f 。
（Ⅱ）选项（C ）正确的证明如下：
由于S 既关于平面x =0对称，又关于平面0=y 对称，且在对称点处被积函数值相 所以
????=s zdS zdS S
1
4 ①
另一方面1S 关于平面0=y 对称，),,(z y x P 的对称点为),,(z y x P '，由于被积函数
x z -在P 与P '处的值为相反数，所以
().01
=-??dS x z S
从而
dS x zdS S S ????=1
1
②
由①②得
????=s xdS zdS S
1
4 。
（Ⅲ）计算
??1
S xdS 的值 ：
dzdy z z x xdS D y x S ????++=1
1
221（其中,2
22y x a z --={+=21),(x y x D }0,,22>≤y x a y
是1S 在xoy 平面的投影区域）
dr r
a r d dxdy y
x a x a a
D ??
??
-=--=20
2
2
22
2
2
cos 1
π
θθ
??? ??--=--
--=?
a a
a r a a a dr r
a a r a a
022222
2
2
|arcsin 4)(π
34
a π
=
例11.3设L 为正向圆周22
2
=+y x 在第一象限中的部分，则曲线积分?-L
ydx xdy 2值
为 。
【分析】将所给的曲线积分转化为定积分即可。 【详解】由于L 的参数方程为
????
?==t
y t
x sin 2cos 2且L 的起点参数为0=t ，终点参数为,2π=t 所以 2
32216sin 6sin 4cos 2)]sin 2(sin 22cos 2cos 2[220
220
220
2
2
πππ
π
π
π
=??
==+=-?-?=-????
?tdt tdt
tdt dt
t t t t ydx xdy L
【评注】关于坐标的曲线积分
?
+C
dy y x Q dx y x P ),(),(的计算步骤为：
（a ） 将C 表示为参数方程??
?==)
()
(t y y t x x ，设为，且确定起点和终点参数分别为1,0t t ；
（b ） 将曲线积分转化为定积分，即
{}dt t y t y t x Q t x t y t x P dy y x Q dx y x P t t C
??
'+'=+1
)()](),([)()](),([),(),(
（c ） 计算上式右边的定积分。 例11.5设Ω是由锥面22y x z +=
与半球面222y x R z --=围成的空间区域，∑是
Ω的整个边界的外侧，则.
=
++??∑
zdxdy ydzdx xdydz
【分析】利用高斯公式即可。
【详解】由高斯公式
3
332032
3
2220
222022
222222)22()2
(2]31)(31[6)(3)2),()(33R R R r r R rdr
r r R d xoy R y x y x D d y x y x R dv
zdxdy ydzdx xdydz R
R xy D xy
πππθσ
π
-=+-=---=--Ω?
?????≤+=+---==++?
????????Ω
∑
极坐标平面的投影区域
在是（其中
【评注】（Ⅰ）Ω在xoy 平面的投影区域xy D 是由两曲面22y x z +=
与
222y x R z --=的交线在xoy 平面的投影所围成的区域，所以
?
?????≤+=2),(22
2R y x y x D xy 。
（Ⅱ）由于Ω是球体的一部分，因此也可以用球面坐标计算
???Ω
dv 3：
.)22(sin 2sin 33340
3
2
20
4
R d R
dr r d d dv R
-======?
???
???Ω
π
ππ
??π?θ?球面坐标
例11.6 计算
??
∑
++++2
12222)
()(z y x dxdy a z axdydz 其中∑为下半球面 2
2
2
y x a z ---=的上侧，
a 为大于零的常数。
【分析】利用积分曲面方程化简被积分，并适当添加一块曲面与∑组成封闭曲面，然后使用高斯公式。 【详解】
??
??
∑
∑
++=++++a dxdy
a z axdydz z y x dxdy a z axdydz 22
12222)()
()(
??-
∑++-
=dxdy a z axdydz a 2)(1
（-∑ 表示与∑反向的曲面，即下半球面222y x a ---的下侧）
???
?????++-++-=????∑+∑∑-11
2
2)()(1dxdy a z axdydz dxdy a z axdydz a （1∑是xoy 平面上的圆
222a y x ≤+的上侧）
其中，()()dv z a z x ax dxdy a z axdydz ?????Ω∑+∑???????+?+??=++-22
1
)(（Ω是由封闭曲面1∑+∑-
围成的立体）
=
()?????????Ω
Ω
Ω
+=+zdv dv a dv z a 2323
=dr r r d a a ???ππππsin cos 2342132
2
203???+??? ???
=dr r d a a
??
?+0
32
4
2sin 22??π
ππ
π
=4
44
2
322a a a ππ
π=
-
,
()dxdy a dxdy a z axdydz ????∑∑=++1
12
2 (由于1∑位于z=0平面上)
=??
≤+=2
224
2
a y x a dxdy a π 将○
2○3代入○1得 ()
3442
1
22
2
22231)(a a a a z
y x
dxdy
a z axdydz πππ-=??
?
??--=++++??
∑
。
【评注】本题的计算有两个关键之处：
（I ） 将积分曲面方程代入被积式中，使曲面积分得以化简； （II ）
添加曲面1∑使-
∑与1∑组成封闭曲面的外侧，将曲面积分转化为三重积分。
以上两点，也是计算关于坐标曲面积分时常用的方法。
例11.7 设S 为椭圆12
222
2=++z y x 的上半部分，点P(x,y,z),S ∈π为S 在点P 处的切平面，()z y x ,,ρ为点()0,0,0O 到平面π的距离，求
()dS z y x z
s
??,,ρ.
【分析】先计算ρ的表达式，然后利用通常方法计算曲面积分。
【详解】S 的方程为2
212
2y x z -
-=，它在点P(x,y,z)的法向量为 ????
?
???????-------=-1,2212,2212)1,,(2222y x y y x x z z y x ○1 所以切平面π的方程为
()(),0)(2
2122
2122
2
2
2=-----
-+
---
-z Z y Y y
x y x X y x x
化简后得
022=-++zZ yY xX
所以点()0,0,0O 到π的距离为
()()
.42|222,,2
2
2
0,0,02
2
2
z
y x z y x zZ yY xX z y x z Y X ++=
++-++=
===ρ
于是
()ds z y x z
s
??,,ρ
=
dxdy z z z z y x y x z y x D xy 2
212
22222
2|)14(21--=
++??++??
(其中(){}
2|,2
2
≤+=y x y x D xy 是S 在xoy 平面的投影区域)
dxdy y
x y x y x y x xy D 2
21242
214212
2
22222
2--
----?--=??
=()()
.2
344144120202
22πθπ=---=
????rdr r d dxdy y x xy D 极坐标 【评注】关于坐标曲面积分∑计算公式: 如果∑可表示为()y x z z ,=，则
()()[]??
??
∑
++=
xy
D y x dxdy z z y x z y x f d z y x f 2
21,,,S ,,
如果∑可表示为()z y x x ,=，则
()()[]
????∑
++=yz
D z y dydz x x z y z y x f dS z y x f 22
1,,,,,
如果∑可表示为y= y(x,z)，则
()()[]??
??
∑
++=
xz
D z x dxdz y y z z x y x f dS z y x f 22
1,,,,,
如果可表示为上述三种的任一种，则需将∑划分成若干块，使得每一块能表示成上述三种的某一种，然后逐块积分并相加。 例11.8求()
?-++-=
L
x x
dy ax y e dx y x b y e
I )cos ()(sin ，其中a,b 为正常数，L 为从点
A （2a,0）沿曲线22x ax y -=
到点()0,0O 的弧。
【分析】添上有向线段OA ，使OA L +构成正向封闭曲线，然后利用格林公式。 【详解】()
dy ax y e dx by bx y e
I L
x x
)cos (sin -+--=?
=--+--?
+dy ax y e dx by bx y e OA
L x
x )cos ()sin (
()
?-+--OA
x x
dy ax y e dx by bx y e
)cos (sin ○
1 其中，
dy ax y e dx by bx y e OA
L x
x )cos ()sin (-+--?
+ ()()dxdy y by bx y e x ax y e D x x ???????
??--?-?-?sin cos 格林公式（D 是由闭曲线OA L +围
成的平面区域）
=
()(),2
2
a b a dxdy a b D
-=-??
π ○2 ()(
)
??-=-=-+--a
OA
x
x
b a bxdx dy ax y e dx by bx y e
20
22cos sin 。 ○
3 将 ○
2○3代入○1得 ()322222222a b a b a a b a I πππ
-??
?
??+=+-=
。 【评注】对坐标的曲线积分，通常是将曲线方程改写成参数方程，代入所给的曲线积分，
转化成定积分，当用这种方法不易计算时，可考虑利用格林公式，特别当积分曲线L 不是封闭时，可适当添上一段曲线C ，使C L +为封闭曲线并利用格林公式： ()()()()()()dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P C
C
L L
,,,,,,+-+=
+???
+。
（应用格林公式）
例11.9计算曲线积分?+-=
L y x ydx
xdy I 224，其中L 是以)0,1(为中心，R 为半径的圆周
)1(>R ，取逆时针方向。
【分析】由于所给曲线积分的被积式比较复杂，为了去掉其中的分母，引入位于L 内的椭圆2
2
2
4ε=+y x 即可
【详解】记1L 为椭圆2
2
2
4ε=+y x （其中ε是充分小的正数，使得1L 位于L 的内部），取逆时针方向，并用-
1L 表示1L 取顺时针方向，则
???
-++--+-=+-=1122222
2444L L L L y x ydx
xdy y x ydx xdy y x ydx xdy I ?
?-++-++-=1
12
22244L L L y x ydx
xdy y x ydx xdy
由于
?
-++-1
2
24L L y x ydx xdy =dxdy y y x y x y x x D ??????
?
???
?????+-?-?+?)4()4(222
2（其中D 是以-
+1L L 为边界的平面区域，如图的阴影部分）
=0)4(4)
4(42222222222=???
???+-++-??dxdy y x y x y x x y D ， 所以，I=
??-=+-L ydx xdy L y x ydy xdy 1
1)(1
4222ε πεεπ
=?
dt 20
2
2
21
（其中1L 的参数方程为?????
==t
y t
x sin cos 2εε，起点参数为，0=t 终点参数为π2=t ）
【评注】（I ）由于仅在点（0，0）处
y
y x y
x
y x x ??
??? ?
?+-?=????? ??+?222244不成立，因此
在去掉点)0,0(一个小邻域后的多连通区域（如题解中的D ）上可以使用格林公式，使得L 上的曲线积分转化为1L （D 的边界曲线）上的曲线积分。
(II)题解中取1L 为椭圆,42
2
2
ε=+y x 是为了使1L 上的曲线积分计算简单，实际上1L 取有向圆:22
2
ε=+y x 也是可以的，具体计算如下：
??
+-++-=
-+11
222244L L L y
x ydx
xdy y x ydx xdy I dt t t t
t ?
++=
π
εεεε20
22222222sin cos 4sin cos （其中1
L 的参数方程为???==t
y t x sin cos εε，起点参数为0=t ，终点参数为π2=t ）
4sin cos 4120
22=+=?
dt t
t π
dt t t ?+π2022sin cos 41
πππ
=??
? ??=+=?
202
2
|2tan arctan 21
4tan tan 414t t d t . 显然计算稍复杂些。
例11.10 设对于半空间0>x 内任意光滑有向封闭曲面S ，都有
()().02=--??zdxdy e dxdz x xyf dydz x xf x
S
其中函数()x f 在）
，（∞+0内具有连续的一阶导数，且()1lim 0
=+→x f x ，求()x f . 【分析】利用高斯公式导出关于f(x)的微分方程即可。
【详解】由高斯公式得
()()[]()dv z z e y x xyf x x xf x ???Ω???????-?+?-?+??±2][
()()02=--=??zdxdy e dzdx x xyf dydz x xf x S
（其中Ω是由S 围成的立体，当S 为外侧时，三重积分前取+号，否则取-号，由于S
是任意的封闭曲面，所以Ω是半空间中的任意立体，因此，在半空间0>x
()[]()[]()
02=?-?+?-?+??z
z
e y x xy
f x x xf x
即
()(),2111'x e x x f x x f =??
?
??-+（一阶线性微分方程）
它的通解为
()???
? ????+?
=???
??-??
?
??--?dx e e x C e
x f x x dx x 112111
()
()
x x x
x e C x
e dx e C x e +=+=?。 利用()()
.1,0)(lim ,1lim 1lim 0
00-==+=+=++
+→→→C e C e C x e x f x x x x
x x 即于是得
因此所求的函数为()()
().01>-=x e x
e x
f x
x 【评注】题中假设“对于半空间0>x 内任意的光滑有向封闭曲面S ，都有
()()02=--??zdxdy e dzdx x xyf dydz x xf x
S
”等价于假设“在半空间0>x 内有()[]()[]()
02=?-?+?-?+??z
z
e y x xy
f x x xf x 。” 例11.11 设函数f(x)在),(+∞-∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面)0(>y 内的有向分段
光
滑
曲
线
，
其
起
点
为
)
,(b a ,终点为
)
,(d c ，记
,]1)([)](1[1222dy xy f y y
x
dx xy f y y I L -++=?
（1）证明曲线积分I 与路径L 无关； （2）当ab=cd 时，求I 的值。 【分析】：（1）利用曲线积分与路径无关的充分必要条件即可；
（2）由（1）可知I 的积分曲线可取为从点),(b a 经点),(b c 到点),(d c 的折线段。
【详解】：（1）由于在上半面有y
xy f y y x xy f y y x ?+???
????-???????-?])(1[1]1)([222
)()(2)],(1[1)(]1)([12
2
22xy f xy xy f y x f y y
xy f xy xy f y y '--++'+-=
0=
所以，曲线积分I 与路径L 无关。 （2）由（1）知
=
I dy xy f y y x dx xy f y y BC
AB ]1)([)](1[1222-++?+（BC AB ,如图） +-++=
?dy xy f y y x dx xy f y y AB
]1)([)](1[1222
dy xy f y y x dx xy f y y BC
]1)([)](1[1222-++? dt ct f t t c dt bt f b b
c
a
d b ]1)([)](1[1222
-++=?
?（由于，A b y t x AB ,,;==的参数为
B a ,的参数为c ；B t y c x B
C ,,;==的参数为C b ,的参数为d ）
b
a
d c dv v f du u f b a d c dt
ct cf dt bt bf b c
d c b a b c bc ab cd bc d b c a
-
=++-=++-+-=
????)()()()(
【评注】I 的值也可以如下那样计算，
由于
dy xy f y y x
dx xy f y y ]1)([)](1[1222-++ )()()())((2xy d xy f y x
d xdy ydx xy f y xdy ydx +=++-=
所以 dy xy f y y
x dx xy f y y I L ]1)([)](1[1222-++=
? )
,()
,()
,()
,()()()()(d c b a d c b a L L xy F y
x xy d xy f y x d +=+=??（其中)(u F 是)(u f 的一个原函数）
b
a d c a
b F cd F b a d
c -=-+-=
)()( 例11.12 已知平面区域}0,0),({ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界。试证： （1）dx ye dy xe dx ye dy xe
x L
y x L
y
sin sin sin sin -=-??
--
（2）?
≥--L
x y
dx ye dy xe
2sin sin 2π
【分析】：由于L 是封闭曲线，所以可以考虑应用格林公式。 【详解】：（1）dxdy y ye x xe dx ye
dy xe
D x y L
x
y
???
???
??
??-?-??---)()(sin sin sin sin ）（格林公式①
????--+=
+=D
D
y
x y x x
y
dxdy e e dxdy e
e
）（对换
与sin sin sin sin )(??????
??
??-?-??=
---D x y L
x
y
dxdy y ye x xe dx ye
dy xe
)(sin sin sin sin ）（格林公式
??+=-D
x y dxdy e e )(sin sin ②
比较①，②得
??-=---L
L
x
y x y dx ye dy xe dx ye dy xe sin sin sin sin )( （2）?????
??---+=+=-D
D
x y L
D
x y x y
dxdy e dxdy e dxdy e e ye dy xe
sin sin sin sin sin sin )(
2sin sin sin sin 22)(πσ=≥+=+=
????????--D
D
y y D
D
y y y x d dxdy e e dxdy e dxdy e 对换
与第二积分中
【评注】：在本题的证明中两次出现“x 与y 对换”，这里给出由此得到的积分等式的证明。 （I ）
????--+=+D
y
x D
x y dxdy e e dxdy e e )()(sin sin sin sin 的证明： 由于D 关于直线y=x 对称，所以),(y x P 的对称点),(x y P '记
)(),(sin sin sin sin x y x y e e e e y x f +-+=--，
则 p P y x f y x f '
-=),(),(，所以
0),(=??dxdy y x f D
，
从而有 dxdy e e dxdy e e D
x
y D
x y )()(sin sin sin sin ????+=+--。 (II)
????--=D
D
y
x dxdy e dxdy e sin sin 同样可证。 例11.13 计算曲面积分xydxdy zydzdx xzdydz I 32++=
??∑
其中∑为曲面)10(4
12
2
≤≤--=y y x z 的上侧 【分析】先在曲面∑上添加曲面??
??
?=≤+
∑0142
21z y x ：，并取1∑为下侧，则1∑+∑是闭曲面的外侧，记由它围成的立体为Ω，然后应用高斯公式计算I 。 【详解】xydxdy zydzdx xzdydz I 32++=??∑
=
xydxdy zydzdx xzdydz xydxdy zydzdx xzdydz 32321
1
++-++????∑∑+∑ ○1
其中
?????Ω
∑+∑++zdv xydxdy zydzdx xzdydz 3321
高斯公式
=?
?????-≤+=???z y x y x D dz zd z 14),(()(322
1
0其σ是Ω的竖坐标为z 的截面
在xoy 平面上的投影区域）
2
12-131
π
π=
-?=?dz z z z ）（ ○
2 ????∑∑=++1
1
332xydxdy xydxdy zydzdx xzdydz
??-=xy
D xydxdy 3（其中xy D 是1∑去掉方向后的曲面，或Ω在xoy 平面上的投影区域）
=0（由于xy D 关于x 轴的对称，在对称点处被积函数xy 3的值互为相反数）。 ○3 将○
2○3代入○1得 2
02
π
π
=
-=
I
【评注】（I ）高斯公式是计算关于坐标曲面积分
??∑
++=dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P I ),,(),,(),,(的有力工具，当∑不是闭曲面时，
可以适当添加一块有向曲面1∑使1∑+∑构成闭曲面（外侧），于是
????∑∑
+∑++-++=
1
1Rdxdy Qdzdx Pdydz Rdxdy Qdzdx Pdydz I
对上式右边第二项应用高斯公式。本题就是根据这一想法计算的。 （II ）三重积分
dv z y x f ???Ω
),,(通常将它化为一个定积分和一个二重积分后计算，对此有两
种方法可采用：
(1) 如果)}(),(),,(),(),,(21平面上的投影在｛xOy D y x y x z y x z y x xy Ω∈≤≤=Ω??则，
???
???
=
Ω
xy
D y x y x d dz z y x f dv z y x f σ??)),,((),,()
,()
,(21（称为“先一后二”方法）；
(2) 如果
{}
)(),(,,,x 平面上的投影截面在的竖坐标为是）（xOy z D D y x b z a z y z Z Ω∈≤≤=Ω则，
dz d z y x f dv z y x f b
a
D z ?????Ω
=)),,((),,(σ（称为“先二后一”方法）
。 题解中的三重积分
???Ω
zdv 就是采用“先二后一”方法计算的。
例11.14 求?
++L
ds zx yz xy )(，其中L 是球面2
2
2
2
a z y x =++与平面0=++z y x 的
交线。 解法1
?++L
ds zx yz xy )(?++=
L
ds zx yz xy )(221
?++-++=
L
ds z y x z y x )]()[(21
2222 ?++-=L ds z y x )(212
22?-=-=L
a ds a 322π 解法2 求曲线L 的参数方程。由2
2
2
2
a z y x =++，0=++z y x 消去y ，得
2222)(a z z x x =+++
即 )23
1(2)2(2222z a
a z x -=
+ 令t a z sin 3
2
=
，则 )23
1(22222z a a z x -±-=t a t a sin 6cos 2-±
= t a t a z x y sin 6
cos 2
)(-
=+-=
于是得到两组参数方程
t a t a x sin
6
cos 2
-
=
t a t a x sin 6
cos 2
-
-
=
t a t a y sin 6
cos 2
-
-
= t a
t a
y sin 6
cos 2
-=
t a z sin 3
2
=
t a z sin 3
2
= 我们可任选一组，例如第一组。显然，被积函数和L 都具有轮换对称性，则
?++L
ds zx yz xy )(?=L
zxds 3
?=π
202sin 3t a dt t z t y t x t t )()()()sin 31(cos 222'+'+'-
?=π
20
3
sin 3t a
dt t t )sin 3
1(cos -
320
23
sin a dt t a
ππ
-=-=? 解法3 作坐标旋转。就坐标是),(y x ，新坐标是),(Y X ，旋转角为θ，则旋转变换的一般公式为
θθsin cos Y X x -=， θθcos sin Y X y +=
因为平面0=++z y x 的单位法矢为}1,1,1{3
1=
n ，则它与z 轴的夹角余弦为
3
1cos =
φ。下面分两步进行旋转，先将Oxy 平面旋转
4
π
，得新坐标系vz u O '；再将u Oz '平面旋转φ，得新坐标系Ouvw 。即
Oxyz vz u O ' Ouvw 由旋转公式得 )(21v u x -'=
φφsin cos u w z -=
)(2
1v u y +'= φφcos sin u w u +='
于是得 )sin cos (21φφw v u x +-=
)sin cos (2
1φφw v u y ++=
φφsin cos u w z -=
在这组变换下，曲线L ：2
2
2
2
a z y x =++，0=++z y x 变为2
222a w v u =++，0=w ，
故
?++L
ds zx yz xy )(?=L
xyds 3?+-=
L
ds v u v u )cos )(cos (23
φφ ?-=
L ds v u )cos (232
22φds v u L
)3(2122-=? ds v v u L
]4)([21
222-+=?320
233sin 2a tdt a a πππ
-=-=? 注1 三种解法各具特点：
解法1技巧性强，直接利用了几何意义，而不必化为定积分。 解法2常规的方法，即
写出参数方程 套公式 计算定积分
这里主要难在第一步，写参数方程。通过解法2，给出了一种求参数方程的方法。
解法3先通过坐标旋转，将问题转化为另一个与之等价的问题，再按常规的方法计算。
Oxyz 坐标系下的线积分 Ouvw 坐标系下的线积分
写出参数方程 套公式 计算定积分
在新的坐标下，曲线有简单的参数方程。这个解法表明，可以适当地转化问题，例如作坐标旋转，从而获得简单的参数方程。
例11.15计算曲线积分
?-+-+-=L
dz y x dy x z dx z y I )()()(222222，
（1）L 是球面三角形12
22=++z y x ，0>x ，0>y ，0>z 的边界线，从球的外侧看
去，L 的方向为逆时针方向；
（2）L 是球面2
2
2
2
a z y x =++和柱面)0(2
2
>=+a ax y x 的交线位于Oxy 平面上方的
部分，从x 轴上))(0,0,(a b b >点看去，L 是顺时针方向。
解 （1）显然，L 具有轮换对称性，且被积表达式也具有轮换对称性，将L 分为三段
1L ：122=+y x ，0=z （0>x ，0>y ） 2L ：122=+z y ，0=x （0>y ，0>z ） 3L ：122=+z x ，0=y （0>x ，0>z ）
则 ?
-+-+-=L
dz y x dy x z dx z y I )()()(2
22222
?-+-+-=1
)()()(3222222L dz y x dy x z dx z y
?-=1
2
2
3L dy x dx y 4)1(3)1(31
20
12
-=---=??dy y dx x
或 ?
-+-+-=L
dz y x dy x z dx z y I )()()(2
22222
?-=L
dx z y )(322???-++=3
1
2
))((322L L L dx z y
??-+=1
3
2
2
33L L dx z dx y 4)1(3)1(31
20
12
-=---=??dx x dx x
注1 这里利用轮换对称性使计算化简，都是写为某积分的3倍。它们的区别在于
第一种方法：积分表达式不变，积分化为1L 上的积分的3倍。 第二种方法：积分曲线L 不变，积分化为表达式中第一项积分的3倍。
问题1 是否可化为既是1L 上的积分的3倍，又是表达式中第一项积分的3倍，即
?-+-+-=L
dz y x dy x z dx z y I )()()(222222?-=1
)(922L dx z y
（2）曲线关于Ozx 平面对称，且方向相反
?-L
dx z y
)(22
?≥-=
,22
)(y L dx z y
?≤=-+
,22
0)(y L dx z y
同理
?-L
dz y x )(22?
≥-=0
,2
2)(y L dz y x 0)(0
,2
2=-=?
≤y L dz y x 故 ?
-+-+-=L
dz y x dy x z dx z y I )()()(2
222
22?
-=L
dy x z )(2
2
下面求曲线L 的参数方程。
方法1 利用球面的参数方程
φθsin cos a x =，φθsin sin a y =，φcos a z =，
定积分、二重积分、三重积分、曲线和曲面积分统称为黎曼积分，是高等数学研究的热点。定义了定积分、二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分的划分、逼近、求和、极值等概念。最后，将它们简化为特定结构和公式的限制。定义可以用统一的形式给出： 从上述积分的概念形式和计算方法来看，定积分的积分区域是线性的，二重积分的区域是平坦的，三重积分的区域是主体。上述三种积分的概念、性质和计算方法是相似的，在逼近过程中，得到的点是积分曲线或积分曲面上满足曲线或曲面方程的点。因此，曲线和曲面积分转化为定积分或二重积分的方法可以用来计算曲线和曲面积分。 曲面积分的形式如下： \begin{equation*}\int{S}\stackrel→{F}·d\overArrowRow{a}\end{equation*} 这意味着在向量场中，我们需要对向量场中的曲面s进行积分，D/stacklel→{a}表示曲面上任何一点垂直于Δs方向的方向向量（Δs代表微分曲面上的任何点），即它只代表一个方向。二者之间的数学关系是点乘，点乘的结果是矢量在垂直于Δs方向（即右箭头
{a}）上任何一点的分量向量。最后，利用{f}·D{a}对整个曲面进行积分，即不断增加曲面上每个点的点乘结果。求某向量场中曲面s上垂直于Δs方向的所有子向量之和。 换句话说，曲面积分表示向量场{f}与曲面s相交的程度，因此，它也被生动地称为通量。 在这里，我们可以说明为什么麦克斯韦方程组的积分形式的二重积分也被称为电通量和磁通量。 根据点乘的几何定义，由于{f}与{a}D/stacklel→{a}之间存在点积 \超右箭头{a}·\overarrowRow{b}=|\overarrow{a}| | \\ overArrowRow{b}| cos\theta\qquad（0≤\theta≤\pi） 如果stacklel→{f}与s平行，则所有向量的方向垂直于{overarrowRow}的{a}，则cos ＜theta=cos（＜pi/2）=0，其中点积为0，表面积为0。
第十一章解题方法归纳 一、曲线积分与曲面积分的计算方法 1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下： (1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分. (2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. 2. 在具体计算时，常用到如下一些结论： （1）若积分曲线L 关于y 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f x f x y ds f x y ds f x ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P x P x y dx P x y dy P x ??=?????对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L Q x Q x y dy Q x y dy Q x ??=?????对为偶函数 对为奇函数 其中1L 是L 在右半平面部分. 若积分曲线L 关于x 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f y f x y ds f x y ds f y ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P y P x y dx P x y dy P y ??=?????对为偶函数 对为奇函数 1 0 (,)2(,)L L Q y Q x y dy Q x y dy Q y ??=?????对为奇函数 对为偶函数 其中1L 是L 在上半平面部分.
（2）若空间积分曲线L 关于平面=y x 对称，则 ()()=??L L f x ds f y ds . （3）若积分曲面∑关于xOy 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f z f x y z dS R x y z dS f z ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)R z R x y z dxdy R x y z dxdy R z ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在xOy 面上方部分. 若积分曲面∑关于yOz 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f x f x y z dS R x y z dS f x ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)P x P x y z dydz P x y z dydz P x ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在yOz 面前方部分. 若积分曲面∑关于zOx 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f y f x y z dS R x y z dS f y ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)Q y Q x y z dzdx Q x y z dzdx Q y ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在zOx 面右方部分. （4）若曲线弧() :()()αβ=?≤≤?=? x x t L t y y t ，则 [ (,)(),()()β α αβ=
第一型曲线积分与曲面积分的一些问题 第1型曲线积分与曲面积分的1些问 题摘要本文归纳研究了第1型曲线积分与曲面积分的物理背景，定义，性质及计算方法，并在此基础上给出了它们在特殊坐标变换下的计算公式及证明。并且利用这个公式，推导出了当第1型曲线积分或曲面积分的被积函数为奇函数或偶函数，积分曲线或曲面是对称的时的几个重要的推论及证明。关键字：第1型曲线积分与曲面积分；坐标变换；奇偶性；对称性。 Some questions about curve integral and surface integral of the first kind A bstract In this article we induce and study the physical background ,definition, quality ,and calculating method of the curve and surface integral of the first kind ,and at the base of these , calculate formula and providence was proposed in the special coordinate transformation. Using this formula ,we get several important inference and prove that when the curve and surface integral of the first kin d’s integrand is odd function or even function and the integral curve or surface is symmetry.Key word: Curve integral and surface integral of the first kind; coordinate transformation; odevity; symmetry
定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分统称为黎曼积分，这是高等数学研究的重点。定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分的定义均被划分，近似，求和和极值。最后，它们被减小到特定结构和公式的极限值。该定义可以统一形式给出：
从以上积分的概念形式和计算方法来看，定积分的积分区域是线性的，二重积分的区域是平面的，三重积分的区域是主体的。以上三个积分的概念，性质和计算方法相似；在逼近过程中，获取的点是积分曲线或积分曲面上满足曲线或曲面方程的点。因此，可以使用将曲线和曲面积分转换为定积分或双积分的方法来计算曲线和曲面积分。 表面积分的形式如下： \ begin {equation *} \ int_ {S} \ stackrel→{F}·d \ overarrowarrow {a} \ end {equation *}这意味着在向量场中，我们需要在向量场中对表面s进行积分，并且D / stacklel→{a}表示垂直于表面上任意点上Δs方向的方向向量（Δs表示微分曲面上的任意一点），也就是说，它仅代表一个方向。两者之间的数学关系是点相乘，点相乘的结果是向量在垂直于Δs的方向（即，由右箭头{a}指向的方向）上的任意点处的向量的分量向量。）。最后，通过使用{f}·D {a}进行整个表面的积分，即连续增加表面上每个点的点相乘结果。求出一定矢量场中表面s上垂直于Δs方向的所有子矢量的总和。
换句话说，表面积分表示矢量场{f}与表面s相交的程度。因此，它也生动地称为通量。 在这里，我们可以关联为什么麦克斯韦方程组的积分形式的双积分也称为电通量和磁通量。 然后，由于在{f}和{a} D / stacklel→{a}之间存在一个点积，根据点乘法的几何定义\ overrightarrow {a}·\ overarrowarrow {b} = | \ overarrowarrow {a} || \\ overarrowarrow {b} | cos \ theta \ qquad（0≤\theta≤\ pi） 如果stacklel→{f}平行于s，则所有向量的方向均垂直于{overarrowarrow}的{a}，则cos ﹤theta = cos（﹤pi / 2）= 0，其中点积为0 ，表面积分为0。
第十章 曲线积分与曲面积分 一、 基本内容要求 1． 理解线、面积分的概念，了解线、面积分的几何意义及物理意义，能用线、 面积分表达一些几何量和物理量； 2． 掌握线、面积分的计算法； 3． 知道两类曲线积分及两类曲面积分的联系； 4． 掌握格林公式，并能将沿闭曲线正向的积分化为该曲线所围闭区域上的二重 积分； 5． 掌握曲线积分与路径无关的充要条件，并能求全微分为已知的某个原函数， 注意此时所讨论问题单连通域的条件不可缺少； 6． 掌握高斯公式，并能将闭曲面Σ外侧上的一个曲面积分化为由其所围空间闭 区间Ω上的三重积分。 二、 选择 1．设OM 是从O （0，0）到点M （1，1）的直线段，则与曲线积分I=ds e om y x ? +2 2不相等的积分是：（ ） A)dx e x 21 2? B) dy e y 21 02? C) dt e t ? 2 D) dr e r 21 ? 2．设L 是从点O(0,0)沿折线y=1-|x-1| 至点A(2,0) 的折线段，则曲线积分I= ? +-L xdy ydx 等于（ ） A)0 B)-1 C)2 D)-2 3．设L 为下半圆周)0(222≤=+y R y x ，将曲线积分I= ds y x L ? +)2(化为定
积分的正确结果是：（ ） A) dt t t R )sin 2(cos 0 2+? -π B) dt t t R )sin 2(cos 0 2 +?π C) dt t t R )cos 2sin (0 2+-?- π D) dt t t R )cos 2sin (232 2+-?π π 4．设L 是以A(-1,0) ,B(-3,2) ,C(3,0) 为顶点的三角形域的周界沿ABCA 方向， 则 ? -+-L dy y x dx y x )2()3(等于：（ ） A) -8 B) 0 C) 8 D) 20 5．设AEB 是由点A(-1,0) 沿上半圆 21x y -=经点E(0,1)到点B(1,0)， 则曲线积分I= dx y AEB ? 3等于：（ ） A) 0 B)dx y BE ? 32 C) dx y EB ? 32 D) dx y EA ? 32 三、 填空 1．γβαcos ,cos ,cos 是光滑闭曲面Σ的外法向量的方向余弦，又Σ所围的空间闭区域为Ω；设函数P(x,y,z),Q(x,y,z)和R(x,y,z)在Ω上具有二阶连续偏导数，则由高斯公式，有 ds y P x Q x R z P z Q y R ]cos )(cos )(cos )[( γβα??-??+??-??+??-???? ∑ = 。 2．设L 是xoy 平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且
第十一章 曲线积分与曲面积分 内容要点 一、引例 设有一曲线形构件所占的位置是xOy 面内的一段曲线L （图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(y x ρ，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质 性质1 设α，β为常数，则 ???+=+L L L ds y x g ds y x f ds y x g y x f ),(),()],(),([βαβα； 性质2设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成(记为=L 21L L +)，则 .),(),(),(2 1 2 1 ???+=+L L L L ds y x f ds y x f ds y x f 注： 若曲线L 可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L 是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L 是光滑的或分段光滑的. 性质3 设在L 有),(),(y x g y x f ≤，则 ds y x g ds y x f L L ??≤),(),( 性质4（中值定理）设函数),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则在L 上必存在一点),(ηξ，使 s f ds y x f L ?=?),(),(ηξ 其中s 是曲线L 的长度. 三、第一类曲线积分的计算：)(), (),(βα≤≤?? ?==t t y y t x x dt t y t x t y t x f ds y x f L )()(])(),([),(22'+'=??β α 如果曲线L 的方程为 b x a x y y ≤≤=),(，则 dx x y x y x f ds y x f b a L )(1])(,[),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 d y c y x x ≤≤=),(，则 dy y x y y x f ds y x f d c L )(1]),([),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 βθαθ≤≤=),(r r ，则 θθθθθβ α d r r r r f ds y x f L )()()sin ,cos (),(22'+=??
第十章曲线积分与曲面积分 一、教学目标及基本要求： 1、理解二类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 2、会计算两类曲线积分 3、掌握（Green）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。 4、了解两类曲面积分的概念及高斯（Grass）公式和斯托克斯（Stokes）公式并会计算两类曲面积分。 5、了解通量，散度，旋度的概念及其计算方法。 6、会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、功、流量等）。 二、教学内容及学时分配： 第一节对弧长的曲线积分2学时 第二节对坐标的曲线积分2学时 第三节格林公式及其应用4学时 第四节对面积的曲面积分2学时 第五节对坐标的曲面积分2学时 第六节高斯公式通量与散度2学时 第七节斯托克斯公式环流量与旋度2学时 三、教学内容的重点及难点： 1、二类曲线积分的概念及其计算方法 2、二类曲面积分的概念及其计算方法 3、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式 4、曲线积分及曲面积分的物理应用和几何应用也是本章重点。 5、两类曲线积分的关系和区别 6、两类曲面积分的关系和区别 7、曲线积分和曲面积分的物理应用及几何应用 五、思考题与习题 第一节习题10—1 131页：3（单数）、4、5 第二节习题10-2 141页：3（单数）、4、5、7（单数） 第三节习题10-3 153页：1、2、3、4（单数）、5（单数）6（单数）、7 第四节习题10-4 158页：4、5、6（单数）、7、8 第五节习题10-5 167页：3（单数）、4 第六节习题10-6 174页：1（单数）、2（单数）、3（单数） 第七节习题10-7 183页：1（单数）、2、3、4 第一节对弧长的曲线积分 一、内容要点 由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分化为定积分的计算方法。 1、引例：求曲线形构件的质量
第十章 曲线积分与曲面积分 (A) 1．计算()?+L dx y x ，其中L 为连接()0,1及()1,0两点的连直线段。 2．计算? +L ds y x 22，其中L 为圆周ax y x =+22。 3．计算()?+L ds y x 22，其中L 为曲线()t t t a x sin cos +=，()t t t a y cos sin -=， ()π20≤≤t 。 4．计算?+L y x ds e 2 2，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一 角限内所围成的扇形的整个边界。 5．计算???? ? ??+L ds y x 34 34，其中L 为内摆线t a x 3cos =，t a y 3sin =??? ??≤≤20πt 在第一象限内的一段弧。 6．计算 ? +L ds y x z 2 22 ，其中L 为螺线t a x cos =，t a y sin =，at z =()π20≤≤t 。 7．计算?L xydx ，其中L 为抛物线x y =2上从点()1,1-A 到点()1,1B 的一段弧。 8．计算?-+L ydz x dy zy dx x 2233，其中L 是从点()1,2,3A 到点()0,0,0B 的直线 段AB 。 9．计算()?-+++L dz y x ydy xdx 1，其中L 是从点()1,1,1到点()4,3,2的一段直 线。 10．计算()()?---L dy y a dx y a 2，其中L 为摆线()t t a x sin -=，() t a y cos 1-=的一拱(对应于由t 从0变到π2的一段弧)： 11．计算()()?-++L dy x y dx y x ，其中L 是： 1）抛物线x y =2上从点()1,1到点()2,4的一段弧； 2）曲线122++=t t x ，12+=t y 从点()1,1到()2,4的一段弧。
第十三章 曲线积分与曲面积分 定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分. 第一节 对弧长的曲线积分 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积. 由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样, 因此, 可以认为这构件的线密度(单位长度的质量)是变量, 这样构件的质量就不能直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算. 下面考虑如何计算这构件的质量. 设想构件为一条曲线状的物体在平面上的曲线方程为()x f y =，[]b a x ,∈，其上每一点的密度为()y x ,ρ． 如图13-1我们可以将物体分为n 段，分点为 n M M M ,...,,21, 每一小弧段的长度分别是12,,...,n s s s ???．取其中的一小段弧i i M M 1-来分 析．在线密度连续变化的情况下, 只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点 (),i i ξη的密度(),i i ρξη来近似整个小段的密度．这样就可以得到这一小段的质量近似于 (),i i i s ρξη?．将所有这样的小段质量加起来，就得到了此物体的质量的近似值．即 ()∑=?≈n i i i i s y x M 1,ρ． 用λ表示n 个小弧段的最大长度. 为了计算M 的精确值, 取上式右端之和当0λ→时的极限，从而得到 1 lim (,).n i i i i M s λρξη→∞ ==?∑ 即这个极限就是该物体的质量．这种和的极限在研究其它问题时也会遇到. 上述结果是经过分割、求和、取极限等步骤而得到的一种和数得极限，这意味着我们已经得到了又一种类型的积分. 抛开问题的具体含义，一般的来研究这一类型的极限，便引入如下定义： 定义13.1 设L 是xoy 面内的一条光滑曲线，函数()y x f ,在L 上有界，用L 上任意插入 图13-1
十 曲线积分与曲面积分习题 (一) 对弧长的曲线积分 1. 计算ds y x L ?+)(22，其中L 为圆周t a y t a x sin ,cos == )20(π≤≤t . 解 320 32 2 2 2 20 2 2 2 2 2 2 2cos sin )sin cos ()(a dt a dt t a t a t a t a ds y x L ππ π==++=+???. 2. 计算ds x L ?，其中L 为由直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界. 解 )12655(12 1 4121 021 0-+= ++=???dx x x dx x ds x L . 3．计算?L yds ,其中L 是抛物线x y 42=上从)0,0(O 到)2,1(A 的一段弧. 解 ?L yds ＝dy y y dy y y ??+=+2 22 2421)2(1 )122(3 4)4(4412202-=++= ?y d y . 4．计算?+L ds y x )(，其中L 为从点)0,0(O 到)1,1(A 的直线段. 解 ?+L ds y x )(＝23 2 11)(1 0= ++?x x . 5．计算?L xyzds ，其中L 是曲线232 1 ,232,t z t y t x == =)10(≤≤t 的一段. 解 ?L xyzds ＝??+=++1 31 02223)1(232 )2(121232dt t t t dt t t t t t ＝143 216. 6．计算L ?，其中L 为圆周222x y a +=,直线y x =及x 轴在第 一象限所围成的扇形的整个边界.
第十章 曲线积分与曲面积分 (一) 1．解：两点间直线段的方程为：x y -=1，()10≤≤x 故()dx dx dx y ds 21112 2=-+='+= 所以()()2211 =-+=+??dx x x dx y x L 。 2．解：L 的参数方程为??? ????=+=θθsin 212 1cos 21a y a a x ，()πθ20≤≤ 则()?θθcos 12||2 1 sin 2121cos 212 22+=??? ??+??? ??+=+a a a a y x 2cos ||12cos 212||212θθa a =??? ? ? -+= ||21cos 2sin 22 2 2 2 a a a d y x ds =?? ? ??+??? ??-='+'=θθθ 所以? ? =+πθθ 20 22 22 cos 21d a ds y x L ?? ? ??-= ??πππθθθθ0222cos 2cos 21d d a 220222sin 22sin 221a a =??? ? ??-=π ππθ θ 3．解：()()atdt dt t at t at dt y x ds =+= '+'=2222sin cos 故() ()()[] ? ?-++=+π20 2 2 222cos sin sin cos atdt t t t t t t a ds y x L ()()? +=? ??? ??+=+=ππ ππ20 2 3220 42 33321242a t t a dt t t a 4．解：如图? ? ? ?++++++=3 2 22 2 21 2 22 2L y x L y x L y x L y x ds e ds e ds e ds e
对弧长的曲线积分??+=L L y d x d y x f ds y x f 22),(),( ???==) ()(:t y y t x x L βα≤≤t dt t y t x t y t x f ?'+'βα)()())(),((22 (,,)((),(),(L L f x y z ds f x t y t z t =??():()()x x t L y y t z z t =??=??=? βα≤≤t ((),(),(f x t y t z t βα ? 22222.2x y L L L e ds e ds e ds e π+===? ?? 22=2(0)L x y y +≥为上半圆周 ?+L dy y x q dx y x p ),(),( ???==) ()(:t y y t x x L α=t β=t dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'?βα (,,)(,,)(,,)L P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++?
():()()x x t L y y t z z t =??=??=? α=t β =t ((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt βα'''++? 11 (,)(,)(,)(,)L L L p x y dx q x y dy p x y dx q x y dy ++-+?? 1( )(,)(,)L D q p dxdy p x y dx q x y dy x y ??=±--+????? ??=??-??D dxdy y p x q )( ?+L dy y x q dx y x p ),(),( y p x q ??=?? ???+=+2 1212211),(),(),(),(21) ,(),(y y x x y x y x dy y x q dx y x p dy y x q dx y x p (,)(,)(,)P x y dx Q x y dy dU x y +=Q P x y ??? =?? 1、 ?? ??++= =∑xy D y x dxdy f f y x f y x ds z y x y x f z 221)),(,,(),,(),(μμ 2、 (,)(,,)(,(,),xz D y f x z x y z ds x f x z z μμ∑==???? 3、 (,)(,,)((,),,yz D x f y z x y z ds f y z y z μμ∑==???? ds ∑ =∑??面积。
第八章曲线积分与曲面积分 本章是把定积分概念推广到定义在曲线是的函数和定义曲面上的函数上去，就得到曲线积分和曲面积分。 §1对弧长的曲线积分 问题：设有一曲线形构件占xOy 面上的一段曲线L ，设构件的质量分布函数为),(y x ρ，设),(y x ρ定义在L 上且在L 上连续，求构件的质量。 ∑=→=n i i i i S M 10 ),(lim ?ηξρλ 定义：设L 为xOy 平面上的一条光滑的简单曲线弧，),(y x f 在L 上有界，在L 上任意插入一点列1M ，2M ，…，1-n M 把L 分成n 个小弧段 i i i M M L 1-=?的长度为i S ?，又),(i i ηξ是i L ?上的任一点，作乘积 i i i S f ?ηξ),(，),,2,1(n i =，并求和∑=n i i i i S f 1 ),(?ηξ，记}max {i S ?λ=，若 ∑=→n i i i i S f 1 ),(lim ?ηξλ存在，且极限值与L 的分法及),(i i ηξ在i L ?的取法无关， 则称极限值为),(y x f 在L 上对弧长的曲线积分，记为：?L s y x f d ),(，即 ?L s y x f d ),(∑=→=n i i i i S f 1 ),(lim ?ηξλ 。 其中),(y x f 叫做被积函数，L 叫做积分曲线。 对弧长曲线积分的存在性： 设),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则?L s y x f d ),(一定存在。 对弧长曲线积分的性质：
1、???±=±L L L s y x g s y x f s y x g y x f d ),(d ),(d )],(),([ 2、??=L L s y x f k s k y x kf d ),(d ),( 3、设21L L L +=，则???+=2 1 d ),(d ),(d ),(L L L s y x f s y x f s y x f 这里规定：若L 是封闭曲线，则曲线积分记为?L s y x f d ),( 有上述对弧长的曲线积分，则上面的问题就可以用对弧长的曲线积分表示为 ?=L s y x f M d ),( 对弧长的曲线积分的计算法： 在一定体积下化为定积分计算，首先要注意： 1、),(y x f 定义在曲线L 上， 2、s d 是弧长微分。 定理：设),(y x f 在光滑曲线L 上连续，L 由参数方程) ()() (βαψ?≤≤? ? ?==t t y t x 给出，其中)(t ?、)(t ψ在],[βα上具有连续导数且0)()(22≠'+'t t ψ?，则 ? L s y x f d ),(存在，且：??'+'=β α ψ?ψ?t t t t t f s y x f L d )()()](),([d ),(22。 若L 方程为：)(x y ψ=，b x a ≤≤，则??'+=b a L x x x x f s y x f d )(1)] (,[d ),(2ψψ。 若L 方程为：)(y x ?=，d y c ≤≤，则??'+=d c L y y y y f s y x f d )(1]),([d ),(2?? 例1、计算?L s y d ，其中L ：)20()cos 1() sin (π≤≤? ? ?-=-=t t a y t t a x
第8章 曲线积分与曲面积分 向量值函数在有向曲线上的积分 第二型曲线积分 概念与形式 恒力沿直线方向做功 → →→ → ?=?=l F l F w θcos |||| 变力沿曲线运动?取微元 Qdy Pdx ds F dw +=?=→ ||，则?+ += L Qdy Pdx W 。 平面曲线?+ +L Qdy Pdx ，空间曲线?+ ++L Rdz Qdy Pdx ，性质??- +=L L 一、计算方法 1．设参数，化定积分 ?L dx y x P ),(＋dy y x Q ),(＝dt t y t y t x Q t x t y t x P t t })()](),([)()](),([{10 ? '+' 2．平面闭曲线上积分－用格林公式 ???+=???? ? ???-??L D Qdy Pdx dxdy y P x Q ，其中L 是D 的取正向的边界曲线，D 为单连通区域，P ，Q 与L D ?上有连续一阶偏导数。 ~ 3．对于积分与路径无关的可自选路径 4．积分与路径无关 ),(),,(y x Q y x P 及偏导数于L D ?上连续。下列四个命题等价 （1）? +C Qdy Pdx ＝0，对D 内任意闭曲线C . （2） ?+L Qdy Pdx 积分与路径无关 （3）存在),(y x u 使du ＝dy y x Q dx y x P ),(),(+B A L L u du Qdy Pdx |==+??? （4）x Q y P ??=?? 在D 内恒成立. 常以（4）为条件，（2）作为结论，自选路径积分 二、例题 1．基础题目，设参数，化定积分 , （1） 计算? -=L ydx xdy I ，: L 如图ABCDEA 解 （1）设参数法 ?∑? ==L i L i 5 1 于1L 上 设t x cos =，t y sin = ?? -= +=-0 2 222 )sin (cos 1 ππ dt t t ydx xdy L 于2L 上 设t x cos =，t y sin 2= ?? =?+?=-20 )sin sin 2cos 2(cos 2 π πdt t t t t ydx xdy L 于3L 上 以x 为参数，xdx dy 2-=
第十一章：曲线积分与曲面积分 一、对弧长的曲线积分 ?? +=L L y d x d y x f ds y x f 22),(),( 若 ?? ?==) () (:t y y t x x L βα≤≤t 则 原式= dt t y t x t y t x f ?'+'β α )()())(),((22 对弧长的曲线积分 (,,) ((),()L L f x y z ds f x t y t z t =? ?若 () :()()x x t L y y t z z t =?? =??=? βα≤≤t 则 原式= ((),(),(f x t y t z t β α ? 常见的参数方程为： 特别的： 22 222.2x y L L L e ds e ds e ds e π+===??? 22 =2(0)L x y y +≥为上半圆周
二、对坐标的曲线积分 ? +L dy y x q dx y x p ),(),( 计算方法一： 若 ?? ?==) () (:t y y t x x L 起点处α=t ，终点处β=t 则 原式= dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'?β α 对坐标的曲线积分 (,,)(,,)(,,)L P x y z d x Q x y z d y R x y z d z ++? () :()()x x t L y y t z z t =?? =??=? 起点处α=t ，终点处β=t 则 原式= ((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt β α'''++? 计算方法二：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式，后者利用参数方程。 1 1 (,)(,)(,)(,)L L L p x y dx q x y dy p x y dx q x y dy ++-+? ? 1 ( )(,)(,)L D q p dxdy p x y dx q x y dy x y ??=±--+????? 如图： 三、格林公式 ??=??-??D dxdy y p x q )( ? +L dy y x q dx y x p ),(),( 其中L 为D 的正向边界 特别地：当 y p x q ??=??时，积分与路径无关， 且 ??? +=+2 1 21 2211),(),(),(),(21) ,() ,(y y x x y x y x dy y x q dx y x p dy y x q dx y x p (,)(,)(,P x y d x Q x y d y d U x y +=是某个函数的全微分Q P x y ??? =?? 注：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积
曲线积分： 在数学中，曲线积分是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。曲线积分可分为：第一类曲线积分和第二类曲线积分。 分类： 曲线积分分为： （1）对弧长的曲线积分（第一类曲线积分） （2）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分） 两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。 曲面积分： 定义在曲面上的函数或向量值函数关于该曲面的积分。曲面积分一般分成第一型曲面积分和第二型曲面积分。 第一型曲面积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。第二型曲面积分物理意义来源对于给定的空间曲面和流体的流速，计算单位时间流经曲面的总流量。 第一型曲面积分：
定义在曲面上的函数关于该曲面的积分。第一型曲线积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。 第二型曲面积分： 第二型曲面积分是关于在坐标面投影的曲面积分，其物理背景是流量的计算问题。第二型曲线积分与积分路径有关，第二型曲面积分同样依赖于曲面的取向，第二型曲面积分与曲面的侧有关，如果改变曲面的侧(即法向量从指向某一侧改变为指另一侧)，显然曲面积分要改变符号，注意在上述记号中未指明哪侧，必须另外指出，第二型曲面积分有类似于第二型曲线积分的一些性质。
第十一章 曲线积分与曲面积分 第三节 Green 公式及其应用 1．利用Green 公式，计算下列曲线积分： (1) ? -L ydx x dy xy 2 2，其中L 为正向圆周922=+y x ； 解：由Green 公式，得 23 222230 81()22 L D xy dy x ydx x y dxdy d r dr ππ θ-=+== ? ????， 其中D 为2 2 9x y +≤。 (2) ?-++L y y dy y xe dx y e )2()(，其中L 为以)2,1(),0,0(A O 及)0,1(B 为顶点的三角形负向边界； 解：由Green 公式，得 ()(2)(1)1y y y y L D D e y dx xe y dy e e dxdy dxdy ++-=---==?????。 *(3) ? +-L dy xy ydx x 2 2，其中L 为x y x 622=+的上半圆周从点)0,6(A 到点)0,0(O 及x y x 322=+的上半圆周从点)0,0(O 到点)0,3(B 连成的弧AOB ； 解：连直线段AB ，使L 与BA 围成的区域为D ，由Green 公式，得 6cos 2222 22 320 3cos 44 4620()0 1515353cos 334442264 L D BA x ydx xy dy y x dxdy x ydx xy dy d r dr d π θ θ π θπθθπ-+=+- -+=-= =???=???????? ? *(4) ? +-L y x xdy ydx 2 2，其中L 为正向圆周4)1(2 2=++y x . 解：因为222 22 () x y P Q y x x y -??==??+，(,)(0,0)x y ≠。作足够小的圆周l :222 x y r +=,取逆时针方向，记L 与l 围成的闭区域为D ，由Green 公式，得 22 0L l ydx xdy x y +-=+? ，故 22222 2 2 2 2 22 sin cos 2L l l ydx xdy ydx xdy ydx xdy x y x y r r r d r π θθ θπ ---+=-=++--==-? ?? ?
第二型曲线积分与曲面积分的计算方法 摘 要： 本文主要利用化为参数的定积分法，格林公式，积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分的联系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解答第二型曲面积分的题目. 关键词： 曲面积分；曲线积分 1 引 言 第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节，是整本教材的 重点和难点.掌握其基本的计算方法具有很大的难度，给不少学习者带来了困难.本文通过针对近年来考研试题中常见的第二型曲线积分与曲面积分的计算题目进行了认真分析，并结合具体实例以及教材总结出其特点，得出具体的计算方法.对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义. 2 第二型曲线积分 例1 求()()()sin cos x x I e y b x y dx e y ax dy =-++-?，其中a ，b 为正的常数，L 为从点A （2a ，0）沿曲线 o （0，0） 的弧. 方法一：利用格林公式法 L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ?? ??+=- ????????，P(x ，y)，Q （x ，y ）以及它们的一阶偏导数在D 上连续，L 是域D 的边界曲线，L 是按正向取定的. 解：添加从点o （0，0）沿y=0到点A （2a,0）的有向直线段1L , ()()()()()()1 1 sin cos sin cos x x L L x x L I e y b x y dx e y ax dy e y b x y dx e y ax dy =-++---++-?? 记为12I I I =- ， 则由格林公式得：()1cos cos x x D D Q P I dxdy e y a e y b dxdy x y ??????=-=---- ??????????? ()()22 D b a dxdy a b a π =-= -?? 其中D 为1L L 所围成的半圆域，直接计算2I ,因为在1L 时，0y =，所以dy =0
曲线积分与曲面积分 测试题B 一、选择（每题6分，共2４分) 1、曲线弧 上的曲线积分和 上的曲线积分有关系（ ） ２、C 为沿以)3,1(),2,2(),1,1(C B A 为顶点的三角形逆时针方向绕一周，则 Ｉ=?=?+++c dy y x dx y x 222)()(2( ) （A ）??--x x dy y x dx 421 )( (B)??--x x dy y x dx 421 )(2 （C)[ ] ???++-+++1 . 321 2 2 22 1 2 2)1()4(2)2()2(2dy y dx x x dx x dx x （D){}[]?? ?+++-+-++1 . 321 2222 1 2)1()4()4(28dy y dx x x x x dx x ３、C 为沿222R y x =+逆时针方向一周,则I ＝?+?-σ dy xy dx y x 22用格林公式计算得 ( ) (Ａ）??R dr r d 0 3 20πθ (B ）?? R dr r d 0220 πθ （C ） ?? -R dr r d 0 320 cos sin 4θθπ (D ）?? R dr r d 0 320 cos sin 4θθπ 4、 ∑为)(222y x z +-=在xoy 平面上方部分的曲面，则??∑ dS = （ ） （A ）rdr r d r ?? +πθ20 2 41 （B)rdr r d ? ? +πθ20 20241 (C)rdr r r d ? ?+-πθ20 20 2 2 41)2( （D ）rdr r d ? ? +π θ20 2 241 二、填空（每题６分,共24分) 1、设 是M （1，３)沿圆(x -2）2+（y －2)2=2到点N (3，1)的半圆，则积分 。 2、设f （x )有连续导数，Ｌ是单连通域上任意简单闭曲线，且 则f （x )= ． 3、由物质沿曲线10,3 ,2,:3 2≤≤===t t z t y t x C 分布,其密度为y 2=γ，则它的质量=M 。 (化为定积分形式即可不必积出）