中考新定义题型的梳理
（一)几何新定义
1、已知△ABC 中，∠C 是其最小的内角，如果过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成了
两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC 的关于点B 的伴侣分割线．例如：如图1，在Rt △ABC 中，∠C =20°，过顶点B 的一条直线BD 交AC 于点D ，且∠DBC =20°，显然直线BD 是△ABC 的关于点B 的伴侣分割线．
（1）如图2，在△ABC 中，∠C =20°，∠ABC =110°．请在图中画出△ABC 的关于点B
的伴侣分割线，并标注角度；
（2）在△ABC 中，设∠B 的度数为y ，最小内角∠C 的度数为x ．试探索y 与x 之间满
足怎样的关系时，△ABC 存在关于点B 的伴侣分割线．
2、我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”． （1）已知：四边形ABCD 是“等对角四边形”，∠A =70°，∠B =80°．求∠C 、∠D 的度数． （2）如图1，在Rt △ACB 中，∠C =90°，CD 为斜边AB 边上的中线，过点D 作DE ⊥CD 交AC
于点E ，求证：四边形BCED 是“等对角四边形”．
（3）如图2，在Rt △ACB 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，CD 平分∠ACB ，点E 在AC 上，且四
边形CBDE 为“等对角四边形”，则线段AE 的长为 ．
(第1题)
图1
图2
A
B
C
D
C
A
B
A B
C
D
E
图1
A
B
C
D
图2
3、给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平 方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）以下四边形中，是勾股四边形的为 ．（填写序号即可）
① 矩形； ②有一个角为直角的任意凸四边形； ③有一个角为60°的
菱形．
（2）如图，将△ABC 绕顶点B 按顺时针方向旋转60°得到△DBE ，∠DCB ＝30°，
连接AD ，DC ，CE ．
①求证：△BCE 是等边三角形； ②求证：四边形ABCD 是勾股四边形．
4、我们规定：三角形任两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在C ?AB 中，AO 是C B 边上的中线，AB 与C A 的“极化值”就等于2
2
AO -BO 的值，可记为2
2
C AB?A =AO -BO ．
（1）在图1中，若C 90∠BA =，8AB =，C 6A =，AO 是C B 边上的中线，则C AB?A = ，C O ?OA = ；
（2）如图2，在C ?A B 中，C 4AB =A =，C 120∠BA =，求C A B ?A 、C BA?B 的值； （3）如图3，在C ?AB 中，C AB =A ，AO 是C B 边上的中线，点N 在AO 上，且
1
3
ON =AO ，已知C 14AB?A =，10BN?BA =，求C ?AB 的面积．
A
B
D
C
E
（第3题）
5、我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点．过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形，若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”．
(1)等边三角形“内似线”的条数为________；
(2)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD. 求证：BD 是△ABC 的“内似线”；
(3)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E ，F 分别在边AC ，BC 上，且EF 是△ABC 的“内似线”，求EF 的长．
,
,(备用图)
6、如果两个多边形不仅相似（相似比不等于1），而且有一条公共边，那么就称这两个多边
形是共边相似多边形．例如，图①中，△ABC 与△ACD 是共AC 边相似三角形，图②中，
□ABCD 与□CEFD 是共CD 边相似四边形．
（1）判断下列命题的真假（在相应括号内填上“真”或“假”）：
①正三角形的共边相似三角形是正三角形．（ ）
②如果两个三角形是位似三角形，那么这两个三角形不可能是共边相似三角形．（ ）
（2）如图③，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝50°，画2．个不全等．．．．
的三角形，使这2个三角形均是与△ABC 共BC 边的相似三角形．（要求：画图工具不限，不写画法，保留画图痕迹或有必要的说明）
（3）图④是相邻两边长分别为a 、b （a ＞b ）的矩形，图⑤是边长为c 的菱形，图⑥
是两底长分别为d 、e ，腰长为f （0＜e －d ＜2f ）的等腰梯形，判断这三个图形是否存在共边相似四边形？如果存在，直接写出它们的共边相似四边形各边的长度．
②
A
B
C
D
①
A
C
B
③
（第6题）
A
B
C D
E
F
（4）根据（1）、（2）和（3）中获得的经验回答：如果一个多边形存在它的共边相似
多边形，那么它必须满足条件：
（二）二次函数新定义
1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 一上两点，经过点A 、C 、B 的抛物线的一部分1C 与经过点A 、D B 的抛物线的一部分2C 组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为302??- ??
?，，点M 是抛物线
()22:230C y mx mx m m =--<的顶点．
（1）求A 、B 两点的坐标； （2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得PBC △的面积最大？若存在，求出PBC △面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当BDM △为直角三角形时，求m 的值．
M
O
D
C
B
A y x
备用图
x
y
A B C D
O
M
a b
④
c ⑤
d e f
⑥
2、函数图象有一个公共点，我们就称两个函数图象“共一点”，有两个公共点，则称它们“共两点”…
（1）若函数y=﹣x+b 图象和y=﹣x 2
+2x 图象“共一点”P ，求P 点坐标；
（2）若函数y=﹣x+1图象和y=ax 2
+2x 图象“共两点”，则a 的取值范围是：； （3）若函数y= 与y=ax 2
+bx 图象在第一象限“共两点”A 、B （A 在B 左侧），且A 、B 两点之间水平距离为2，两点之间垂直距离是A 到y 轴距离的倒数，设函数y=ax 2
+bx 图象的顶点为C ．求顶点C 的坐标．
（三）三角函数新定义
1、定义：在△ABC 中，∠C ＝30°，我们把∠A 的对边与∠C 的对边的比叫做∠A 的邻弦，
记作thi A ，即thi A ＝∠A 的对边∠C 的对边＝BC
AB ．请解答下列问题：
已知：在△ABC 中，∠C ＝30°．
（1）若∠A ＝45°，求thi A 的值；
（2）若thi A ＝3，则∠A ＝ °；
（3）若∠A 是锐角，探究thi A 与sin A 的数量关系．
2、我们知道，锐角三角函数可以揭示三角形的边与角之间的关系.为了解决有关锐角三角函数的问题，我们往往需要构造直角三角形.例如，已知tan α＝1
3（0°＜α＜90°），tan β
＝1
2（0°＜β＜90°），求 α＋β 的度数，我们就可以在图①的方格纸中构造Rt △ABC 和Rt △AED 来解决.
（1）利用图①可得α＋β＝ °；
（2）若tan
2α＝34
（0°＜α＜45°），请在图②的方格纸中构造直角三角形，求tan
α；
（3）在矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，设∠CAB ＝α（0°＜α＜45°），请利用图
③探究sin2α、cos α和sin α的数量关系.
A
α
D
C
B
O
③
①
（第2题）
②
β
A
B
D
C
E α