高考数学圆锥曲线概念方法题型易误点技巧总结
一.圆锥曲线的两个定义：
（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 练习：
1.已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是（答：C ）； A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．10
21=+PF PF D ．122
2
2
1=+PF PF
2.方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）
3.已知点)0,22(Q 及抛物线4
x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）
二.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）?
{
cos sin x a y b ??==（参数方程，其中?为参数），焦点在y 轴上时2222b
x a y +＝1（0a b >>）。方程22
Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC
≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22
22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程
22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。
（3）抛物线：开口向右时2
2(0)y px p =>，开口向左时2
2(0)y px p =->，开口向上时
22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。
练习：
1.已知方程1232
2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（答：11
(3,)
(,2)22
---）；
2.若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，2
2y x +的最小值是___2）
3.双曲线的离心率等于25
，且与椭圆14
922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______
4.设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的
方程为_______（答：226x y -=）
5.已知方程1212
2=-+-m
y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__
三.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x
2
,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
（2）双曲线：由x
2
,y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；
（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a 最大，2
2
2
a b c =+，在双曲线中，c 最大，2
2
2
c a b =+。
四.圆锥曲线的几何性质：
（1）椭圆（以122
22=+b
y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个
焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其
中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c
e a =，椭圆?01e <<，
e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。
（2）双曲线（以22
22
1x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为
22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2
a x c =±； ⑤离心率：c
e a
=，双曲线?1e >，等轴双曲线
?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b
y x a
=±。
（3）抛物线（以2
2(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(
,0)2
p
，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2p x =-； ⑤离心率：c
e a
=，抛物线?1e =。 练习：
1.若椭圆1522=+m y x 的离心率510
=
e ，则m 的值是__（答：3或3
25）； 2.以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__
3.双曲线的渐近线方程是023=±y x ，则该双曲线的离心率等于______）；
4.双曲线22
1ax by -=:a b =
（答：4或
14
）； 5.设双曲线122
22=-b
y a x （a>0,b>0）中，离心率e ∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________
（答：[
,]32
ππ
）； 6.设R a a ∈≠,0，则抛物线2
4ax y =的焦点坐标为________（答：)161
,
0(a
）； 五、点00(,)P x y 和椭圆122
22=+b
y a x （0a b >>）的关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外?2200221x y a b +>；
（2）点00(,)P x y 在椭圆上?220220b
y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内?22
00
221x y a b +<
六．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交：0?>?直线与椭圆相交； 0?>?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0?>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0?>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0?>?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0?>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0?>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如
（2）相切：0?=?直线与椭圆相切；0?=?直线与双曲线相切；0?=?直线与抛物线相切； （3）相离：0?
与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线22
22b
y a x -＝1外一点00(,)P x y 的直线与双曲线只有一个公
共点的情况如下：①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线. 练习：
1.若直线y=kx+2与双曲线x 2
-y 2
=6的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围是_______
2.直线y ―kx ―1=0与椭圆
22
15x y m
+=恒有公共点，则m 的取值范围是_______ 3.过双曲线12
12
2=-y x 的右焦点直线交双曲线于A 、B 两点，若│AB ︱＝4，则这样的直线有_____条 4.过点)4,2(作直线与抛物线x y 82
=只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）；
5.过点(0,2)与双曲线116
92
2=-y x 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______
6.过双曲线12
2
2
=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若=AB 4，则满足条件的直线l 有____
7.对于抛物线C ：x y 42=，我们称满足02
04x y <的点),(00y x M 在抛物线的内部，若点),(00y x M 在抛物线的内部，则直线l ：)(200x x y y +=与抛物线C 的位置关系是_______（答：相离）；
8.过抛物线x y 42
=的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则
=+q
p 1
1_______（答：1）
； 9.设双曲线19
162
2=-y x 的右焦点为F ，右准线为l ，设某直线m 交其左支、右支和右准线分别于R Q P ,,，则PFR ∠和QFR ∠的大小关系为___________(填大于、小于或等于) （答：等于）；
10.求椭圆284722=+y x 上的点到直线01623=--y x ； 11.直线1+=ax y 与双曲线132
2
=-y x 交于A 、B 两点。①当a 为何值时，A 、B 分别在双曲线的两支
上？②当a 为何值时，以AB 为直径的圆过坐标原点？（答：①(；②1a =±）；
七、焦半径（圆锥曲线上的点P 到焦点F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到
相应准线的距离，即焦半径r ed =，其中d 表示P 到与F 所对应的准线的距离。 练习：
1.已知椭圆116252
2=+y x 上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，则点P 到右准线的距离为____（答：
353
）；2.已知抛物线方程为x y 82
=，若抛物线上一点到y 轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____； 3.若该抛物线上的点M 到焦点的距离是4，则点M 的坐标为_____（答：7,(2,4)±）；
4.点P 在椭圆19
252
2=+y x 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标为_______
5.抛物线x y 22
=上的两点A 、B 到焦点的距离和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离为______
6.椭圆13
42
2=+y x 内有一点)1,1(-P ，F 为右焦点，在椭圆上有一点M ，使MF MP 2+ 之值最小，则
点M 的坐标为_______（答：)1,3
6
2(
-）
； 八、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点00(,)P x y 到两焦点12,F F 的距离分别为12,r r ，焦点12F PF ?的
面积为S ，则在椭圆12222=+b y a x 中， ①θ＝)12arccos(212
-r r b ，且当12r r =即P 为短轴端点时，θ最大
为θm ax ＝2
22arccos a c b -；②2
0tan ||2S b c y θ==，当0||y b =即P 为短轴端点时，m ax S 的最大值为
bc ；对于双曲线22
221x y a b -=的焦点三角形有：①???
? ?
?-=21221arccos r r b θ；②2cot sin 212
21θθb r r S ==。 练习：
1.短轴长为5，离心率3
2
=
e 的椭圆的两焦点为1F 、2F ，过1F 作直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ?的周长为________（答：6）；
2.设P 是等轴双曲线)0(222>=-a a y x 右支上一点，F 1、F 2是左右焦点，若0212=?F F PF ，|PF 1|=6，则该双曲线的方程为 （答：224x y -=）；
3.椭圆22194
x y +=的焦点为F 1、F 2，点P 为椭圆上的动点，当PF 2→ ·PF 1→
<0时，点P 的横坐标的取值范围是
（答：()55
-
）；
4.双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝
2
6
，F 1、F 2是它的左右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且AB 是2AF 与2BF 等差中项，则AB ＝__________
（答：；
5.已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且
6021=∠PF F ，31221=?F PF S ．
求该双曲线的标准方程（答：22
1412
x y -=）； 九、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB 为焦点弦， M 为准线与x 轴的交点，则∠AMF ＝∠BMF ；（3）设AB 为焦点弦，A 、B 在准线上的射影分别为A 1，B 1，若P 为A 1B 1的中点，则PA ⊥PB ；（4）若AO 的延长线交准线于C ，则BC 平行于x 轴，反
之，若过B 点平行于x 轴的直线交准线于C 点，则A ，O ，C 三点共线。
十、弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB
12x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝2121
1y y k
-+
，若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB
12y y -。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的
计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。 练习：
1.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，若x 1+x 2=6，那么|AB|等于_______
2.过抛物线x y 22
=焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB|=10，O 为坐标原点，则ΔABC 重心的
横坐标为_______（答：3）；
十一、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆
1222
2=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0202y a x b ；在双曲线22
221x y a b -=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0
20
2y a x b ；在抛物线22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦
所在直线的斜率k=0
p y 。 练习：
1.如果椭圆
22
1369
x y +=弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答：280x y +-=）； 2.已知直线y=－x+1与椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线L ：x －
2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：
2
）； 特别提醒：因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0?>！
十二．你了解下列结论吗？
（1）双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为02
222
=-b y a x ；
（2）以x a b y ±=为渐近线（即与双曲线12222=-b y a x 共渐近线）的双曲线方程为λλ(2222
=-b
y a x 为参数，λ≠0）。
（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为2
2
1mx ny +=；
（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为2
2b a ，焦准距（焦点到相应准线的距离）
为2b c
，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ；
（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；
（6）若抛物线2
2(0)y px p =>的焦点弦为AB ，1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++；
②2
21212,4
p x x y y p ==- （7）若OA 、OB 是过抛物线2
2(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点
(2,0)p 13．动点轨迹方程：
（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； （2）求轨迹方程的常用方法：
①直接法：直接利用条件建立,x y 之间的关系(,)0F x y =；如已知动点P 到定点F(1,0)和直线3=x 的距离之和
等于4，求P 的轨迹方程．（答：
212(4)(34)y x x =--≤≤或24(03)y x x =≤<）；
②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。如线段AB 过x 轴正半轴上一点M （m ，0）)0(>m
，端点A 、B 到x 轴距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过A 、O 、
B 三点作抛物线，则此抛物线方程为
（答：
22y x =）；
③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如(1)由动点P 向圆2
21x y +=作两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=600
，则动点P 的轨迹方程为
（答：2
24x
y +=）；（2）点M 与点F(4,0)的距离比它到直线05=+x l ：的距离小于1，则点M 的轨迹方程是_______
（答：216y x =）；(3) 一动圆与两圆⊙M ：122=+y x 和⊙N ：012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心的轨
迹为
（答：双曲线的一支）；
④代入转移法：动点(,)P x y 依赖于另一动点00(,)Q x y 的变化而变化，并且00(,)Q x y 又在某已知曲线上，则可先用,x y 的代数式表示00,x y ，再将00,x y 代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点P 是抛物线122+=x y 上任一点，
定点为
)1,0(-A ,点M 分?→
?PA 所成的比为2，则M 的轨迹方程为__________（答：3
1
62-=x y ）；
⑤参数法：当动点(,)P x y 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将,x y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。如（1）AB 是圆O 的直径，且|AB|=2a ，M 为圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使||||OP MN =，求点P 的轨迹。（答：2
2||x
y a y +=）；（2）若点),(11y x P 在圆
122=+y x 上运动，则点),(1111y x y x Q +的轨迹方程是____（答：2121(||)2
y x x =+≤）；（3）过抛物线y
x 42
=的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，则弦AB 的中点M 的轨迹方程是________（答：2
22x
y =-）；
注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。如
已知椭圆
)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外
的动点，满足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段
F 2Q 上，并
且满足
.0||,022≠=?TF TF （1）设x
为点P 的横坐标，证明
x a
c a P F +
=||1；（2）求点T 的轨迹C 的方程；（3）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S=.2
b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由. （答：（1）略；（2）2
2
2
x y a +=；（3）当2
b a
c >时不存在；当2
b a c
≤时存在，此时∠F 1MF 2＝2） ②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.
③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.
④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化. 14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1） 给出直线的方向向量()k u ,1=
或()n m u ,=
；
（2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点;
（3）给出0
=+,等于已知P 是MN 的中点;
（4）给出()
+=+
λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线;
（5） 给出以下情形之一：①
//；②存在实数
,AB AC
λλ=使；③若存在实数
,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线.
（6） 给出λ
λ++=
1，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即λ=
（7） 给出0=?MB MA ,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m MB MA ,等于已知AMB
∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知AMB ∠是锐角,
（8）
给出MP =?
? ?+λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/
（9）在平行四边形
ABCD 中，给出0)()(=-?+AD AB AD AB ，等于已知ABCD 是菱形; （10） 在平行四边形
ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-，等于已知ABCD 是矩形;
（11）在ABC ?中，给出2
2
2
==，等于已知O 是ABC ?的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的
外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （12） 在ABC ?中，给出0=++OC OB OA ，等于已知O 是ABC ?的重心（三角形的重心是三角形三条中
线的交点）；
（13）在ABC ?中，给出OA OC OC OB OB OA ?=?=?，等于已知O 是ABC ?的垂心（三角形的垂心是三
角形三条高的交点）；
（14）在ABC ?中，给出+=OA OP
(
)||||
AB AC
AB AC λ+)(+∈R λ等于已知AP 通过ABC ?的内心；
（15）在ABC ?中，给出,0=?+?+?OC c OB b OA a 等于已知O 是ABC ?的内心（三角形内切圆的圆心，
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；
（16） 在ABC ?中，给出
()1
2
AD AB AC =
+,等于已知AD 是ABC ?中BC 边的中线;
求解圆锥曲线问题的几种措施
圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。 一. 紧扣定义，灵活解题
灵活运用定义，方法往往直接又明了。
例1. 已知点A （3，2），F （2，0），双曲线x y 2
2
3
1-=，P 为双曲线上一点。 求||||PA PF +1
2
的最小值。
解析：如图所示，
双曲线离心率为2，F 为右焦点，由第二定律知1
2
||PF 即点P 到准线距离。 ∴+
=+≥=||||||||PA PF PA PE AM 1252
二. 引入参数，简捷明快
参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。 例2. 求共焦点F 、共准线l 的椭圆短轴端点的轨迹方程。
解：取如图所示的坐标系，设点F 到准线l 的距离为p （定值），椭圆中心坐标为M （t ，0）（t 为参数）
p b
c =
2
，而c t = ∴==b pc pt 2
再设椭圆短轴端点坐标为P （x ，y ），则
x c t
y b pt
====?????
消去t ，得轨迹方程y px 2
=
三. 数形结合，直观显示
将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。 例3. 已知x y
R ,∈，且满足方程x y y 2230+=≥()，又m y x =
++3
3
，求m 范围。 解析： m y x =
++33
的几何意义为，曲线x y y 22
30+=≥()上的点与点（－3，－3）连线的斜率，如图所示
k m k PA PB ≤≤
∴
-≤≤+33235
2
m
四. 应用平几，一目了然
用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。
例4. 已知圆()x
y -+=3422和直线y mx =的交点为P 、Q ，则||||OP OQ ?的值为________。
解： ??OMP OQN ~ ||||||||OP OQ OM ON ?=?=5
五. 应用平面向量，简化解题
向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。
例5. 已知椭圆：
x y 2224161+=，直线l ：x y 128
1+=，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于一点R ，点Q 在OP 上且满足|||
|||OQ OP OR ?=2，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程。
分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。
解：如图，OQ OR OP →→→，，共线，设OR OQ →=→λ，OP OQ →=→μ，OQ x y →=()，，则OR x y →
=()λλ，，OP x y →
=()μμ，
||||||OQ OP OR →?→=→2
∴→=→μλ||||OQ OQ 22
2
∴=μλ2
点R 在椭圆上，P 点在直线l 上
∴+=λλ222224161x y ，μμx y
1281+= 即
x y x y 222416128
+=+ 化简整理得点Q 的轨迹方程为：
()()x y -+-=152153
122（直线y x =-2
3上方部分）
六. 应用曲线系，事半功倍
利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。 例6. 求经过两圆x
y x 2
2640++-=和x y y 226280++-=的交点，且圆心在直线x y --=40上的圆
的方程。
解：设所求圆的方程为： x y x x y y 2222646280++-+++-=λ()
()()()1166284022+++++-+=λλλλx y x y
则圆心为(
)-+-+3131λλ
λ
，，在直线x y --=40上 ∴解得λ=-7
故所求的方程为x y x y 22
7320+-+-=
七. 巧用点差，简捷易行
在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。
例7. 过点A （2，1）的直线与双曲线x y 2
2
2
1-=相交于两点P 1、P 2，求线段P 1P 2中点的轨迹方程。 解：设P x y 111()，，P x y 222()，，则
x y x y 1212
2222
211212-=<>
-=<>
?????
??
<2>－<1>得
()()()()
x x x x y y y y 211221122
-+=
-+
即y y x x x x y y 21211212
2--=++()
设P 1P 2的中点为M x y ()00，，则
k y y x x x y P P 12
21210
02=--=
又k y x AM =--001
2
，而P 1、A 、M 、P 2共线
∴=k k P P AM 12，即y x x y 000
122--=
∴P P 12中点M 的轨迹方程是2402
2x y x y --+=
解析几何题怎么解
高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右.
其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化.
例1 已知点T 是半圆O 的直径AB 上一点，AB=2、OT=t (0 ,B A 点的坐标. (1 ) 显然()t A -1,1' , ()，，‘ t B +-11 于是 直线B A '' 的方程为1+-=tx y ； （2）由方程组???+-==+, 1,122tx y y x 解出),(10P 、),(2 2 21112t t t t Q +-+； （3）t t k PT 1 001-=--= , t t t t t t t t t k QT 11112011222 22 =--=-+-+-=)(. 由直线PT 的斜率和直线QT 的斜率互为相反数知，由点P 发出的光线经点T 反射，反射光线通过点Q. 需要注意的是, Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗? 例2 已知直线l 与椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 有且仅有一个交点Q ，且与x 轴、y 轴分别交于R 、S ，求以线段SR 为对角线的矩形ORPS 的一个顶点P 的轨迹方程． 讲解：从直线l 所处的位置, 设出直线l 的方程, 由已知，直线l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线l 的方程为).0(≠+=k m kx y 代入椭圆方程，222222b a y a x b =+ 得 .)2(22222222b a m kmx x k a x b =+++ 化简后，得关于x 的一元二次方程 .02)(222222222=-+++b a m a mx ka x b k a 于是其判别式).(4))((4)2(222222222222222m b k a b a b a m a b k a m ka -+=-+-=? 由已知，得△=0．即.2222m b k a =+ ① 在直线方程 m kx y +=中，分别令y=0，x=0，求得).,0(),0,(m S k m R - 令顶点P 的坐标为（x ，y ）， 由已知，得??? ???? =-=?????? ?=-=.,.,y m x y k m y k m x 解得 代入①式并整理，得 12 2 22 =+y b x a , 即为所求顶点P 的轨迹方程． 方程12 2 22=+y b x a 形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? 例3已知双曲线122 22=-b y a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是 .23 （1）求双曲线的方程； （2）已知直线 )0(5≠+=k kx y 交双曲线于不同的点C ，D 且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值. 讲解：∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-b y a x 的距离. 3,1.23 22==∴==+=a b c ab b a ab d . 故所求双曲线方程为 .13 22 =-y x （2）把33522=-+=y x kx y 代入中消去y ，整理得 07830)31(22=---kx x k . 设CD y x D y x C ),,(),,(2211的中点是),(00y x E ，则 0120 00220115515,.2 1313BE y x x k x y kx k k k x k ++==?=+===--- ,000=++∴k ky x 即 7,0,031531152 2 2=∴≠=+-+-k k k k k k k 又 故所求k=± 7. 为了求出k 的值, 需要通过消元, 想法设法建构k 的方程. 例4 已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，点P 为椭圆上的一个动点，且∠F 1PF 2的最大值为90°，直线l 过左焦点F 1与椭圆交于A 、B 两点，△ABF 2的面积最大值为12． （1）求椭圆C 的离心率； （2）求椭圆C 的方程． 讲解：（1）设112 212||,||,||2PF r PF r F F c ===, 对,21F PF ? 由余弦定理, 得 1)2 (2441244242)(24cos 2 212 22 12221221221212221121-+-≥--=--+=-+=∠r r c a r r c a r r c r r r r r r c r r PF F 0212=-=e ， 解出 .2 2= e （2）考虑直线l 的斜率的存在性，可分两种情况： i) 当k 存在时，设l 的方程为 )(c x k y +=………………① 椭圆方程为),(),,(,12 2112222y x B y x A b y a x =+ 由.2 2=e 得 2 222,2c b c a ==. 于是椭圆方程可转化为 222220x y c +-=………………② 将①代入②，消去 y 得 02)(22222=-++c c x k x , 整理为x 的一元二次方程，得 0)1(24)21(22222=-+++k c x ck x k . 则x 1、x 2是上述方程的两根．且22 1221122||k k c x x ++= -，2 21 22 21)1(22||1||k k c x x k AB ++=-+=， AB 边上的高,1||2sin ||2 2121k k c F BF F F h +?=∠= c k k k k c S 21||)211(2221222+++= 2 2.== ii) 当k 不存在时，把直线c x -=代入椭圆方程得2,||,2y c AB S =± == 由①②知S 的最大值为 22c 由题意得22c =12 所以2226b c == 2122=a 故当△ABF 2面积最大时椭圆的方程为： .12 62 1222=+y x 下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣： 设过左焦点的直线方程为：c my x -=…………① （这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.） 椭圆的方程为：),(),,(,122112 2 22y x B y x A b y a x =+ 也可这样求解： ||||2 12121y y F F S -?= ||||21x x k c -??= 由.2 2= e 得：,,22222c b c a ==于是椭圆方程可化为：0222 22=-+c y x ……② 把①代入②并整理得：02)2(222=---c mcy y m 于是21,y y 是上述方程的两根 . 21|||AB y y ==-2) 2(441222222 ++++= m m c c m m 2 )1(2222++= m m c , AB 边上的高2 12m c h += , 从而2222 22 )2(122122)1(2221||21++=+?++?==m m c m c m m c h AB S . 22 1 1 11 222 22 2 c m m c ≤++++= 当且仅当m=0取等号，即.22max c S = 由题意知1222=c , 于是 212,26222===a c b . 故当△ABF 2面积最大时椭圆的方程为： .12 62 1222=+y x 例 5 已知直线1+-=x y 与椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 相交于 A 、 B 两点，且线段AB 的中点在直线 02:=-y x l 上.（１）求此椭圆的离心率； （2 ）若椭圆的右焦点关于直线l 的对称点的在圆422 =+y x 上，求此椭圆的方程. 讲解:（1）设A 、B 两点的坐标分别为??? ??=++-=1 1).,(),,(22 222211b y a x x y y x B y x A ， 则由 得 02)(2222222=-+-+b a a x a x b a , 根据韦达定理，得 ,22)(,22 22 212122221b a b x x y y b a a x x +=++-=++=+ ∴线段AB 的中点坐标为（2 22 22 2,b a b b a a ++）. 由已知得2 222222 222222)(22,02c a c a b a b a b b a a =∴-==∴=+-+，故椭圆的离心率为 22=e . （2）由（1）知 ,c b =从而椭圆的右焦点坐标为),0,(b F 设)0,(b F 关于直线02:=-y x l 的对称点为 ,02221210),,(000000=?-+-=?--y b x b x y y x 且则 解得 b y b x 5 4 5300==且 由已知得 4,4)5 4()53(,42 222 2 =∴=+∴=+b b b y x ，故所求的椭圆方程为14822=+y x . 例6 已知⊙M ：x Q y x 是,1)2(22 =-+轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点， （1）如果3 24||= AB ，求直线MQ 的方程；（2）求动弦AB 的中点P 的轨迹方 程. 讲解:（1）由3 24||= AB ，可得 ,3 1 )322(1)2||( ||||2222=-=-=AB MA MP 由射影定理，得 ,3|||,|||||2=?=MQ MQ MP MB 得 在Rt △MOQ 中， 523||||||2222=-=-=MO MQ OQ ，故55-==a a 或， 所以直线AB 方程是;0525205252=+-=-+y x y x 或 （2）连接MB ，MQ ，设),0,(),,(a Q y x P 由点M ，P ，Q 在一直线上，得 (*),2 2x y a -=- 由射影定理得|,||||| 2MQ MP MB ?=即(**),14)2(222=+?-+a y x 把（*）及（**）消去a ，并注意到2 1 )47(22≠=-+y y x 适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙. 例7 如图，在Rt △ABC 中，∠CBA=90°，AB=2，AC=2 2 。DO ⊥AB 于O 点，OA=OB ，DO=2，曲线E 过C 点，动点P 在E 上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变. （1）建立适当的坐标系，求曲线E 的方程； （2）过D 点的直线L 与曲线E 相交于不同的两点M 、N 且M 在D 、N 之间，设 λ=DN DM ，试确定实数λ的取值范围． 讲解: （1）建立平面直角坐标系, 如图所示∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB | y= 22)2 2 (22222=++∴动点P 的轨迹是椭圆∵2,1,1a b c ===∴曲 线E 的方程是 12 22 =+y x . （2）设直线L 的方程为 2+=kx y , 代入曲线 E 的方程 2222=+y x ，得 068)12(22=+++kx x k 设M 1（),(), 221,1y x N y x , 则 A O B C ① ② ③ ?? ? ? ? ? ??? +=+-=+>?+-=?.126,128,06)12(4)8(2212 212k x x k k x x k k i) L 与y 轴重合时，3 1 ||||== DN DM λ ii) L 与y 轴不重合时， 由①得 .2 3 2>k 又∵21x x x x x x DN DM N D M D =--==λ, ∵,012< ∴21 2)(122121221++=++=?+λλx x x x x x x x ∵) 1 2(332) 12(664)(22 22122k k k x x x x +=+=?+ 而,232 > k ∴.8)1 2(362<+ ∴ ,316)12(33242 < + 16214<++<λλ, 31012<+<λλ,.131,3101, 21,10< ??? ? ? ? ??? <+>+<<λλλλλλ∴λ的取值范围是?? ? ???1,31 . 值得读者注意的是，直线L 与y 轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕. 例8 直线l 过抛物线)0(22≠=p px y 的焦点，且与抛物线相交于A ),(),(2211y x B y x 和两点. （1）求证：22 14p x x =;（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD ，直线l 不是CD 的垂直平分线. 讲解: （1）易求得抛物线的焦点)0,2 (P F . 若l ⊥x 轴，则l 的方程为4,22 2 1P x x P x ==显然.若l 不垂直于x 轴，可设 ) 2 (P x k y -=,代入抛物线方程整理得4,04)21(221222 P x x P x k P P x ==++-则. 综上可知 2214p x x =. （2）设d c d p d D c p c C ≠且),2(),,2(2 2，则CD 的垂直平分线l '的方程为)4(2222p d c x p d c d c y +-+-=+- 假设l '过F ，则)42(2202 2p d c p p d c d c +-+-=+-整理得 0)2)((222=+++d c p d c 0≠p 02222≠++∴d c p ，0=+∴d c . 这时l '的方程为y=0，从而l '与抛物线px y 22=只相交于原点. 而 l 与抛物线 有两个不同的交点，因此l '与l 不重合，l 不是CD 的垂直平分线. 此题是课本题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点，复课切忌忘掉课本！ 例9 某工程要将直线公路l 一侧的土石，通过公路上的两个道口A 和B ，沿着道路AP 、BP 运往公路另一侧的P 处，PA=100m ，PB=150m ，∠APB=60°，试说明怎样运土石最省工？ 讲解: 以直线l 为x 轴，线段AB 的中点为原点对立直角坐标系，则在l 一侧必存在经A 到P 和经B 到P 路程相等的 点，设这样的点为M ，则|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,即|MA|－|MB|=|BP|－|AP|=50, 750||=AB ,∴M 在双曲线16 2525 2 2 22 =?- y x 的右支上. 故曲线右侧的土石层经道口B 沿BP 运往P 处，曲线左侧的土石层经道口A 沿AP 运往P 处，按这种方法运土石最省工.
相关主题
文本预览