第1章 函数的极限与连续
例1．求
lim
x x x →．
解：当0>x 时，
00lim lim lim11x x x x x
x x +
++
→→→===，
当0 00lim lim lim(1)1x x x x x x x - -- →→→==-=--， 由极限定义可知， x x x 0 lim →不存在（如图）． 例2．求x mx x sin lim 0→（m 是非零常数）． 解：令u mx =，显然当0x →时0u →，于是 m u u m mx mx m x mx u x x ==?=→→→sin lim sin lim sin lim 000． 例3．求x x x )2 1(lim +∞ →． 解：令 2x t = ，当x →∞时，有t →∞， 原式2 2222])1 1(lim [])11[(lim )21(lim e t t x t t t t x x =+=+=+=∞→∞→?∞→ 例4．求x x x x +-+→11lim 20． 解： 200x x →→= 012x →==- 例5．求x a x x 1lim 0-→． 解：令t a x =-1，则log (1)a x t =+，0x →时0t →，于是 0001lim lim lim ln log (1)ln x x t t a a t t a t x t a →→→-===+ 第2章 一元函数微分及其应用 例1．讨论函数3 2)(x x f =在0=x 处的可导性与连续性． 解：3 2)(x x f =为初等函数，在其定义域 ),(+∞-∞上连续， 所以在0=x 处连续．又 0(0)(0)(0)lim h f h f f h →+-' =0h →= 0h →==+∞ )0(f '不存在．所以函数32)(x x f =在0=x 处连续，但不可导．事实上，曲线 32)(x x f =在)0,0(点的切线斜率趋于无穷大，在原点处具有垂直于x 轴的切线0=x （如 图）． 例2．求x y sin =的各阶导数． 解： ) 2sin(cos π + =='x x y ， ) 22sin(]2)2 sin[()2 cos(π π π π ?+=+ + =+ =''x x x y ， ) 23sin(]2)22sin[()22cos(π πππ?+=+?+=?+='''x x x y ， ……. )2sin()(π ?+=n x y n ， 所以： ()(sin )sin() 2n x x n π =+?． 例3 ．求 45 )(1)x y x -= +的导数． 解：此函数直接求导比较复杂，先取对数再求导可简化运算． 此函数的定义域为[2,1)(1,)--?-+∞ 当1x >-时，0y >，函数式两边取对数得： 1 ln ln(2)4ln(3)5ln(1)2y x x x = ++--+ 因此上式两边对x 求导，得 1153142121+--++='x x x y y 整理后得， ]1534)2(21[)1()3(25 4+--+++-+= 'x x x x x x y 当21x -<<-时可得同样结论． 例4．11 ln 1lim 1-- →x x x ． 解：这是“∞-∞”型，通分即可化为“00 ”型． 111 11111ln lim lim lim 1ln 1(1)ln ln x x x x x x x x x x x x x →→→- ---==---+ 11111 lim lim ln 1ln 112x x x x x x x →→-===+-++． 例5．求内接于半径为R 的球内的圆柱体的最大体积． 解：设圆柱的底半径为r ，高为h 则体积2 v r h π=，而 222 ( )2h r R += 2223()(/4)(/4)v h h R h R h h ππ=-=-（02h R ≤≤）， 故转化为求函数()v h 的最大值． 问题 223()()0 4v h R h π'=-=得驻点 h =（负值不合题意舍由 去）． 根据实际问题，圆柱体的体积不能超过球的体积，因而是有最大值的，而最大值显然不 能在端点0h =，2h R =处取得，故只在唯一驻点 h =处取得．即当h =，3r R = 时圆柱体的体积最大，最大体积3 max v R =． 第3章 一元函数的积分学 例1． ? -dx a x 2 2 1（0>a ）． 解：当a x >时，设t a x sec =( 02t π << )，tdt t a dx tan sec =代入有： 原式 sec tan a t tdt =sec ln(sec tan )tdt t t C ==++?． 为将变量t 还原为x ，借助如图的直角三角形（或利用三角 恒等式）有a x t =sec ，tan t =从而： ln(x C =+． 当a x -<时，令u x -=，则u ，由上，我们有： =-11ln(ln(u C x C =-+=--++ ln(x C =-+． 综合以上结论得， ln x C =+． 例2．求?++dx x x x cos sin 1sin ． 解：2tan sin 22 1sin cos (1)(1)x t x t dx dt x x t t =++++?? c t t t dt t t t +++++-=++++-=?arctan |1|ln 21 |1|ln )1111( 22 ln |sin cos |222x x x c =-++． 例3．讨论积分11 p dx x +∞?的收敛性． 解：当1=p 时，111ln dx x x +∞+∞ ==+∞?，发散；当1≠p 时， 1111lim b p p b dx dx x x +∞→+∞=??11111lim lim (1)11b p p b b x b p p --→+∞→+∞==---； 当1>p 时，有0lim 1=-+∞→p b b ，所以1111p dx x p +∞=-?，广义积分收敛； 当1 b b 1lim ，从而11p dx x +∞ ?是发散的． 例4．求曲线02 =+x y 和2x y +=-围成的图形的面积． 解：由202y x x y ?+=? +=-?得交点(1,1)--，(4,2)- 选x 为积分变量，把面积分成两部分 1 4 1 9(2))2A x dx ---=--+= ??． 另解：选y 为积分变量，积分区间[1,2]-， 2 2 2 21 1 ((2))(2)A y y dy y y dy --=----=-++??322 1 11 9(2) 32 2y y y -=-++= ． 显然选y 为积分变量计算较简单． 例5．计算曲线arctan x t =， 21 ln(1)2y t = +从0t =到1t =的弧长． 解： s ==? ? 1 44 tan sec ln |sec tan | t u udu u u π π ===+? ? ln(1=． 第4章 常微分方程 例1．求齐次方程y x y x dx dy -+= 的通解． 图3-14 解：原方程变形为x y x y dx dy -+ = 11，设u x y =，则dx du x u dx dy +=，代入方程y x y x dx dy -+=有： u u dx du x u -+=+11?u u dx du x -+= 112， 分离变量积分有： ??=+-dx x du u u 1112?1 2 ||ln )1ln(21arctan c x u u +=+-， 即：c u e u x +=+arctan 22 2 )1(?222arctan u c x y e ++=（这里12c c -=）， 所以，原方程的通解为c x y e y x +=+arctan 22 2． 例2．求解微分方程3 )1(12+=+-x y x dx dy ． 解：对应齐次方程为：012=+-y x dx dy ，分离变量后积分，可得其通解为： 2)1(+=x c y ； 设2 )1)((+=x x c y ，代入方程3)1(12+=+-x y x dx dy 有： 3 22)1()1)((12 )1)((2)1)((+=+?+-+++'x x x c x x x c x x c 解得：1)(+='x x c ?c x x c ++=2)1(21 )(， 所以原方程的通解为：2 2)1]()1(21 [+++=x c x y ． 例3．求微分方程y x x dx dy x -=sin 的通解． 解法一：原方程化为：x y x dx dy sin 1 =+，对应齐次方程为： =+y x dx dy 10， 分离变量积分得对应齐次方程的通解为： x c y = ； 设x x c y )(=，代入方程x y x dx dy sin 1=+有： 2 ()()11() sin c x x c x c x x x x x '-?+?= 解得：)sin()(x x x c ='?c x x x x c ++-=sin cos )(， 所以原方程的通解为： x c x x x y ++-= sin cos ． 解法二：直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式求解，有： ??+?=??+?=--??dx x dx x dx x P dx x P e c dx xe e c dx e x Q y 1 1)()()sin ())(( 1 (cos sin )x x x c x = -++ 例4．求x y xe '''=的通解． 解：连续积分三次得： 1 x x x x x x y xe dx xde xe e dx xe e c ''===-=-+???， 11[(1)](1)x x y x e c dx x de c dx '=-+=-+???1(1)x x x e e dx c x =--+? 12(2)x x e c x c =-++， 322121 )3(c x c x c e x y x +++ -=． 一般将通解写成：322 1)3(c x c x c e x y x +++-=． 例5．求微分方程xy y '''=的通解． 解：这是一个不显含y 的二阶微分方程，令()y p x '=，则()y p x '''=，代入原方程得： xp p '=，这是一个可分离变量方程，分离变量：x dx p dp = ， 积分得：c x p +=||ln ||ln ?x e p c ±=?1y c x '=（这里c e c ±=1）， 所以原方程的通解为：221121 c x c xdx c y += =?，一般写成：221c x c y +=． 故原方程的通解为：12c x y c e =． 第5章 空间解析几何 例1．设点(1,0,1)A -， 10 AB = ，AB 的方向角0 60α=，045β=，求：（1）γ的 值；（2）点B 的坐标． 解：（1）由1cos cos cos 222 =++γβα有 41 45cos 60cos 1cos 02022= --=γ， 所以 01 cos 602γγ=± ?=或0 120γ=； （2）设),,(z y x B ，有 00 110c o s60010c o s45 6110c o s x y x z γ?-=?-=?=??+=? ，y =4z =（或6-），则B 点的坐标为 或6)-． 例2．证明三角形的三条高线交于一点. 证明：如图，设ABC ?在边AC ，BC 上的高交于点P ，且令 PA a = ，PB b = ，PC c = ，有A B b a =- ，BC c b =- ，CA a c =- ， 再由PA BC ⊥，PB CA ⊥有()0a c b ?-= ，()0b a c ?-= ， 两式相加有0()00a c b c a b c BA PC ?-?=?-?=??= ， 从而有AB PC ⊥，所以，ABC ?的三条高线交于一点. 例3．平面过三个定点(,0,0)P a ，(0,,0)Q b ，(0,0,)R c （a ，b ，c 均不为零），求该平面的方程． 解：如图，设所求平面方程为：0=+++D Cz By Ax ，由所求平面过三点)0,0,(a P ， )0,,0(b Q ，),0,0(c R 有： c D C b D B a D A D Cc D Bb D Aa - =- =- =???? ?? =+=+=+000，代入所设平面方程得： 0=+---D z c D y b D x a D ?1=++c z b y a x ． 例4．已知点)3,1,2(P 和直线L ：1213 1-=-=+z y x ，求过点)3,1,2(P 并且与直线L 垂直相交的直线方程． 解法一：过点)3,1,2(P 且与直线L ：1213 1-=-=+z y x 垂直的平面方程为：0)3()1(2)2(3=---+-z y x ，即0523=--+z y x ， 再设直线L 与此平面的交点为),,(z y x N ，则将直线??? ??-=+=+-=t z t y t x 2131代入上面的平面方程得： 0)3()121(2)221(3=----++-+-t t t 解得 73= t ，从而有交点) 73 ,713,72(-N ，所以 126246 {,,}{2,1,4} 7777NP =-=- ． 取所求直线的方向向量{2,1,4}s =- ，则所求直线方程为 43 1122-=--=-z y x ． 解法二：设垂足为),,(0000z y x P ，其在直线L 上对应的参数为0t ，则： ??? ??-=+=+-=000 00 02131t z t y t x ，{}000033,2,3PP t t t =--- ，由 000PP s PP s ⊥??= 0003(33)2(2)(1)(3)0t t t ?-++---=， 解得037t = ，从而有垂足)73,713,72(0-P ，所以 0126246 {,,}{2,1,4}7777P P =-=- ． 取垂线的方向向量{2,1,4}s =- ，则所求垂直相交的直线方程为43112 2-= --=-z y x ． 从此例我们也顺便得到了点P 到直线L 的距离为： 0||P P == 例5．设圆柱面2 22R y x =+上有一质点，它一方面绕z 轴以等角速度ω旋转，另一 方面同时以等速度0v 平行于z 轴的正方向移动，开始时（0t =），质点在)0,0,(R A 处，求质点运动的方程． 解：如图，设时间t 时，质点在点),,(z y x M ，M '是),,(z y x M 在xoy 平面上的投影，则AOM t ?ω'∠==， cos cos x OM R t ?ω'==， sin sin y OM R t ?ω'==， t v M M z 0='=． 所以质点运动的方程为 0cos sin x R t y R t z v t ωω=?? =??=?． 此方程称为螺旋线的参数方程． 第6章 多元函数微分学 例1．求2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→． 解：当),(y x 沿直线kx y =趋于)0,0(时有： 224242(,)(0,0)0lim lim x y x y kx x y x y x y x y →→==++24 20lim 0()x x kx x kx →?==+ 但仍不能说函数),(y x f 在)0,0(存在极限． 实际上，当),(y x 沿曲线2 x y =趋于)0,0(时有： 2 22242422001 lim lim ()2x x y x x y x x x y x x →→=?==++． 所以2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在． 例2．求函数 2 2 22),(b y a x y x f +=在点),(y x 处沿其梯度方向的方向导数． 解： 2222x y gradf i j a b =+ ，其方向余弦 42422cos b y a x a x +=α，42422 cos b y a x b y + = β 所以，函数在点),(y x 沿其梯度方向的方向导数为 4242f l ?==? ． 例3．设2 2ln y x z +=，求其二阶偏导数． 解：22z x x x y ?=?+，22 z y y x y ?=?+， 2222222()2()z x y x x x x y ?+-?=?+22222()y x x y -=+，2222z xy x y x y ?=-??+， 2222z xy y x x y ?=-??+，222 2 2 22()z x y y x y ?-=?+． 例4．设v e z u sin =，xy u =，2y x v +=，求x z ??，y z ?? 解：由公式（1）得： x v v z x u u z x z ?????+?????=??1cos sin ?+?=v e y v e u u )cos sin (v v y e u +=)]cos()sin([22y x y x y e xy +++= y v v z y u u z y z ??? ??+?????=??y v e x v e u u 2cos sin ?+?= )cos 2sin (v y v x e u +=)]cos(2)sin([22y x y y x x e xy +++= 例5．要修建一容积为3 50m 的长方体水池，问其长、宽、高怎样选取才能使用料最省？ 解：设水池的长、宽、高分别为,,x y z ，表面积为S ，则有50=xyz ． 从而：22S xy yz xz =++11 100() xy x y =++ （0,0>>y x ） ?????? ? =-==-=0 100010022y x S x y S y x ?3100==y x 根据实际情况，水池表面积的最小值一定存在，并在函数定义域D 内取得，现在函数S 在D 内只有唯一驻点，故可判断当长和宽等于m 3 100时，水池的表面积最小． 第7章 多元函数积分学 例1．计算??D xyd σ，其中D 是由直线1=y ，2=x 及x y =所围成的闭区域． 解法一：如图，积分区域D 可看成x -型区域，则 ??D xyd σ22211111[]2x x dx xydy xy dx ==??? 2 42 2 3 11119()()22428 x x x x dx = -=-=? 解法二：积分区域D 亦可看成y -型区域，则 221y D xyd dy xydx σ????＝22211[]2y x y dy =?2311(4)2y y dy =-? 2 42 119(2)248 x y -＝＝ 例2．计算 ?? --D y x d e σ 2 2 ，其中 {} 222(,),0 D x y x y a a =+≤> 解：在极坐标系下，积分区域 D 可表示为{}a r r D ≤≤≤≤=0,20),(πθθ 所以 2 2 2 x y r D D e d e rdrd σθ ---=???? 2 2 20 12() 2 a a r r d e rdr e πθπ--==?-? ?2 (1)a e π-=- 例3．求抛物面2 2y x z +=在平面1=z 下面那部分的面积． 解：如图，∑在xoy 面上的投影区域为122≤+y x ，因为2x z x '=，2y z y '=，所以 ?? ++= xy D y x dxdy f f S 221 xy D = 20 1) 6 d ππ θ== ? ? 例4．设曲线L 为椭圆122 2 2=+b y a x 在第一象限的那段弧，求 L xyds ? ． 解：L 的方程为 y = 0x a ≤≤）， ds =， L xyds ?0a =? 20a b a =?22 ()3()ab a ab b a b ++=+ 例5．计算??∑ dS xyz ，其中∑ 为曲面2 2y x z +=被1=z 割下的有限部分． 解：∑在xoy 面上的投影区域22{(,)1}xy D x y x y =+≤， dS ==，所以 2 2(xy D xyz dS xy x y ∑ =+???? 1 20 4sin cos d r πθθθ=?? 1 20 2sin 2d r πθθ=?? 第8章 级数 例1．判断级数∑∞ =++12)(1 n p c bn an （0≠a ，0p >）的收敛性 解：由于1)/(1)/(1lim 22=++∞→p p n an c bn an ，所以原级数与∑∞ =12)(1n p an 具有相同的敛散性，而 221111 1() p p p n n an a n ∞ ∞ ===∑∑，可知 当1 2p >时，∑∞ =++12)(1n p c bn an 收敛； 当 1 02p <≤时，∑∞ =++12)(1n p c bn an 发散． 例2．讨论级数1()n s n n α∞ =-∑（,0 s α>）的敛散性． 解： n n n u u 1lim +∞→1lim (1)n s s n n n n αα+→∞=?+α=，利用比值判别法 则 当10<<α时，∑∞ =-1)(n s n n α绝对收敛． 当1>α时，∑∞ =-1)(n s n n α发散． 当1=α时，11()(1)n n s s n n n n α∞ ∞==--=∑∑，11(1)1n s s n n n n ∞∞ ==-=∑∑是一个p 级数 当1>s 时，绝对收敛． 当10≤ (1)n s n n ∞ =-∑ 是发散的，但利用莱布尼兹定理可判断∑∞=-1)1(n s n n 收敛． 所以∑∞ =-1)(n s n n α为 绝对收敛级数 α<<01 发散级数 α>1 绝对收敛级数 α=1，>1s 条件收敛级数 α=1，<≤01s 所以∑∞ =-1)1(n s n n 条件收敛． 例3．求级数∑∞ =+-1 1 )1(n n n n x 的收敛半径和收敛域． 解： 1 11(1)lim lim 11(1)1n n n n n n a n R a n +→∞→∞+-===-+； 当1=x 时，1 11 11(1) (1)n n n n n x n n ∞ ∞++==-=-∑∑收敛； 当1-=x 时，1 1 11(1) n n n n x n n ∞ ∞+==-=-∑∑发散； 所以，级数∑∞ =+-1 1 )1(n n n n x 的收敛半径1=R ，收敛域为]1,1(-． 例4．求幂级数∑∞=1n n nx 的和函数，并求级数12n n n ∞ =∑的和． 解：可求得级数的收敛区间为(1,1)-；先求1 1 n n nx ∞ -=∑的和函数． 设 1 11 ()n n S x nx ∞ -==∑，则 () 1 110 1 1 ()x x x n n n n S x dx nx dx nx dx ∞∞ --====∑∑ ? ? ? 21n x x x x x =++++= - ， (1,1)x ∈- 上式两边求导得 12 1()1(1)x S x x x ' ??== ?--??所以12()()(1)x S x xS x x ==-，(1,1)x ∈- 当12x =时，2 11 2(1)212(1)2n n n S ∞ ====-∑ 例5．将2312 ++x x 展开成1-x 的幂级数． 解：2 1113212 x x x x =-++++1111 11231123x x = - --++ 001111(1)()(1)()2233n n n n n n x x ∞∞==--=---∑∑11011 (1)()(1)23n n n n n x ∞ ++==---∑ 要使上式成立，应有112x -<，1 1 3x -<即13x -<<． 【高等数学基础】形成性考核册答案 【高等数学基础】形考作业1答案： 第1章 函数 第2章 极限与连续 （一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A. 2 )()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1)(2--=x x x g 分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同 A 、2 ()f x x ==，定义域{}|0x x ≥；x x g =)(，定义域为R 定义域不同，所以函数不相等； B 、()f x x = =，x x g =)(对应法则不同，所以函数不相等； C 、3 ()ln 3ln f x x x ==，定义域为{}|0x x >，x x g ln 3)(=，定义域为{}|0x x > 所以两个函数相等 D 、1)(+=x x f ，定义域为R ；21 ()11 x g x x x -= =+-，定义域为{}|,1x x R x ∈≠ 定义域不同，所以两函数不等。 故选C ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 分析：奇函数，()()f x f x -=-，关于原点对称 偶函数，()()f x f x -=，关于y 轴对称 ()y f x =与它的反函数()1y f x -=关于y x =对称， 奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称 设()()()g x f x f x =+-，则()()()()g x f x f x g x -=-+= 所以()()()g x f x f x =+-为偶函数，即图形关于y 轴对称 故选C ⒊下列函数中为奇函数是（B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += 分析：A 、()()( )()2 2 ln(1)ln 1y x x x y x -=+-=+=，为偶函数 B 、()()()cos cos y x x x x x y x -=--=-=-，为奇函数 或者x 为奇函数，cosx 为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数 C 、()()2 x x a a y x y x -+-= =，所以为偶函数 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和 0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推 论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f 1. 若集合}12,52,2{2 a a a A +-=，且A ∈-3，则=a . 2. 设集合}3,1,1{-=A ，}4,2{2++=a a B ,}3{=B A I ,则实数=a . 3. 设全集R U =,}0|{>=x x A ,}1|{>=x x B ，则=） （B C A U I . 4. 命题“若b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的逆否命题是 . 5. “2>x ”是“2 11 《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -? 高数（一）的预备知识 第一部份 代数部份 （一）、基础知识： 1．自然数：0和正整数（由计数产生的）。 2．绝对值：a a a ?=?-? 00a a ≥∠ 3．乘法公式 （a+b ）(a-b)=a 2-b 2 (a ±b)2=a2±2ab+b 2 a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2) a 3+ b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2) 4.一元二次方程 （1）标准形式：a 2+bx+c=0 (2)解的判定：2240,40,0,b ac b ac ??=-?? ?=-=????? 有两个不同的实数根有两个相同的实数根无实数根 （3）一元二次根和系数的关系：（在简化二次方程中） 标准形式：x 2 +px+q=0 设X1、X2为x2+p(x)+q=0的两个根，则； 1212p q x x x x +=-?? ?=? （4）十字相乘法： （二）指数和对数 1．零指数与负指数：0(1)0,1;1(2)n n a a x x -?≠=? ?=?? 则 2．根式与分数指数： （1 ） 1 n a = （2 ） m n a = 3．指数的运算（a>0,b>0,(x,y) ∈R ）; (1)x y x y a a a +?= (2)()m n m n a a ?= (3)x y x y a a a -÷= (4)()n n n a b a b ?=? 4．对数：设,x a N X N =则称为以a 为底的对数, 记作：log a n =X, lnX ，lgX; 5．对数的性质 (1)log a M ·N=log a M+log a N (2) log log log a a M M N N =- (3) log log x a a N x N =? (4)换底公式： log log log a b a N N b = （5） log ln ,aN x a N e x =?= （三）不等式 1．不等式组的解法： （1）分别解出两个不等式，例2153241 X X X X -<-??->-? （2）求交集 2、绝对值不等式 （1）; X a a X a ≤?-≤ ≤ （2）;X a X a X a ≥?≥≤- 或 3、1元2次不等式的解法： （1）标准形式：2 00ax bx c ++≥≤（或） （2）解法：0 0122????? 解对应的一元次方程 判解： 0a a ?? ???? ①若与不等式同号，解取根外； ②若与不等式异号，解取根内； ③若无根（＜），则a 与不等式同号； 例：（1）2560;x x -+≥ （2）2320;x x -+＜ （四）函数 1、正、反比例函数：y kx = ， 1 y x = 2、1元2次函数：2 y ax bx c =++ （a ≠0） 顶点：2424b ac b a a -（-,）； 对称轴：2b x a =- ； 最值：2 44ac b y a -=； 图像：（1）a ＞0,开口向上；（2）a ＜0,开口向下； 3、幂函数： n y x = （n=1,2,3）； 考研高数基础练习题及答案解析 一、选择题： 1、首先讨论间断点： 1°当分母2?e?0时，x? 2x 2 ，且limf??，此为无穷间断点； 2ln2x? ln2x?0? 2°当x?0时，limf?0?1?1，limf?2?1?1，此为可去间断点。 x?0? 再讨论渐近线： 1°如上面所讨论的，limf??，则x? x? 2 ln2 2 为垂直渐近线； ln2 2°limf?limf?5，则y?5为水平渐近线。 x??? x??? 当正负无穷大两端的水平渐近线重合时，计一条渐近线，切勿上当。 2、f?|x4?x|sgn?|x| sgn?|x|。可见x??1为可导点，x?0和x?3为不可导点。 2011智轩高等数学基础导学讲义——第2章第4页原文： f???|??|，当xi?yj时 为可导点，否则为不可导点。注意不可导点只与绝对值内的点有关。 ?x ,x?0? 设f??ln2|x|，使得f不存在的最小正整数n是 ? ,x?0?0 x?0 1 2 3 limf?f?0，故f在x?0处连续。 f’?lim x?0 f?f ?0，故f在x?0处一阶可导。 x?0 当x?0时，f’?? ? ?x12x’ ‘????223 ?ln?lnlnxsgnx ? 12 ，则limf’?f’?0，故f’在x?0处连续。?23x?0ln|x|ln|x|f’’?lim x?0 f’?f’ ??，故f在x?0处不二阶可导。 x?0 a b x?0 对?a,b?0，limxln|x|?0。这是我们反复强调的重要结论。 3、对，该函数连续，故既存在原函数，又在[?1,1]内 1．053log 4 2 +=． 2 . 2．复数Z 满足条件z +︱z ︱i +=2，则z 是 3 4 i + . 3. 若o 为平行四边形ABCD 的中心，124,6,AB e BC e BO ==u u u r u u u r u u u r r r 则等于 1223e e -+u r u u r . 4. 若集合{}21, A a =-，{}4,2= B ，则“2a =-”是“{}4=B A I ” 的 充分不必要 条件（填充要性）. 5. 已知定义在区间[0，1]上的函数y=f(x)图象如右图所示对满足 1201x x <<<的任意1x 、2x ，给出下列结论： （1）2121()()f x f x x x ->- （2）2112()()x f x x f x >? （3） 1212()()()22 f x f x x x f ++< 其中正确结论序号是 （2）、（3） （把所有正确结论序号都填上）. 6. 已知函数22()cos 23sin cos sin (0)f x x x x x ωωωωω=+?->，且)(x f 图象相邻两 对称轴间的距离不小于 2 π ， （1）求ω的取值范围； （2）设a 、b 、c 是ABC ?的三内角A 、B 、C 所对的边，3=a ，且当ω最大时1)(=A f ， 求ABC ?周长的取值范围。 答案：（1）01ω<≤；（2）(23,33] 7. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a,E 为棱CC 1上的的动点． （1）求证：A 1E ⊥BD ； （2）当E 恰为棱CC 1的中点时，求证：平面A 1BD ⊥平面EBD ； （3）在（2）的条件下，求BDE A V _1. 答案：（1）、（2）略 （3）314 a E A B D C 1 A 1 B 1 D 1 C 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A 高考数学大题 1．（12分）已知向量a =（sin θ，cos θ-2sin θ），b =（1，2） （1）若a ⊥b ，求tan θ的值； （2）若a ∥b ，且θ为第Ⅲ象限角，求sin θ和cos θ的值。 2．(12分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点. (I)求证：CM ⊥EM： (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值. 3．（13分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高 下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加 两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的 有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 4．（12分） 在△ABC 中，∠A ．∠B ．∠C 所对的边分别为a ．b ．c 。 若B A cos cos =a b 且sinC=cosA （1）求角A ．B ．C 的大小； （2）设函数f(x)=sin （2x+A ）+cos （2x- 2C ）,求函数f(x)的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。 5．（13分）已知函数f(x)=x+x a 的定义域为（0，+∞）且f(2)=2+22，设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N. （1）求a 的值； （2）问：|PM|·|PN|是否为定值？若是，则求出该定值， 若不是，则说明理由： （3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值。 6．（13分）设函数f(x)=p(x-x 1)-2lnx,g(x)=x e 2(p 是实数，e 为自然对数的底数) （1）若f(x)在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； （2）若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点（1，0），求p 的值； （3）若在[1，e]上至少存在一点x 0，使得f(x 0)＞g(x 0)成立，求p 的取值范围. 高等数学基础形成性考核册 专业：建筑 学号： 姓名：牛萌 河北广播电视大学开放教育学院 （请按照顺序打印，并左侧装订） 高等数学基础形考作业1： 第1章 函数 第2章 极限与连续 （一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1 )(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）． A. )1ln(2x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += ⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2 x y = D. ? ??≥<-=0,10 ,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）． A. 12lim 2 2 =+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01 sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． A. x x sin B. x 1 C. x x 1 sin D. 2)ln(+x ⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。 A. )()(lim 00 x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C. )()(lim 00 x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0 x f x f x x x x - +→→= 第1章 函数的极限与连续 例1．求 lim x x x →． 解：当0>x 时，0 00lim lim lim 11x x x x x x x + ++ →→→===， 当0 高考文科数学基础题试大全 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 高考数学部分知识点汇编 一.集合与简易逻辑 1.注意区分集合中元素的形式. 如：{|lg }x y x =—函数的定义域； {|lg }y y x =—函数的值域；{(,)|lg }x y y x =—函数图象上的点集. 2.集合的运算及性质： ①任何一个集合A 是它本身的子集,记为A A ?. ②空集是任何集合的子集,记为A ??. ③空集是任何非空集合的真子集； 注意点：当A B ?,在讨论的时候不要遗忘了A =?的情况 ④含n 个元素的集合的子集个数为2n ；真子集(非空子集)个数为21n -；非空真子集个数为22n -. 3.命题： 1）会判断充分性必要性 已知x a α≥：，1|1x β-<：|．若α是β的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是0≤a 在△ABC 中，“C b B c cos cos =”是“△ABC 是等腰三角形”的（ A ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 2）推出关系转化为子集问题 已知a R ∈，命题:p 实系数一元二次方程2 20x ax ++=的两根都是虚数；命题:q 存在复数z 同时满足 2z =且1z a +=.[来源学科网] 试判断：命题p 和命题q 之间是否存在推出关系？请说明你的理由 二.函数 1.函数的三要素：________,__________,________, 注意：求函数的定义域或值域，最后结果一定要用 表示。 2.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母0≠;偶次根式被开方数非负;对数真数0>,底数0>且1≠；零指数幂的底数0≠)；实际问题有意义； 3．已知两个函数，若求它们的和函数或积函数，除了用运算求解析式外，最后的定义域必须是原两个函数定义域的 集。 函数22()log (43)log (2)f x x x =---的定义域是___ ．3 (,2)4 3.求值域常用方法: （1）常用函数的值域。（看图像，读值域） 高高等数学基本知识点 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。 ②补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集，记作C U A。 即C U A＝｛x|x∈U，且x A｝。 集合中元素的个数 ⑴、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。 ⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如A＝｛a,b,c｝，则card(A)=3。 ⑶、一般地，对任意两个集合A、B，有 card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B) 我的问题： 1、学校里开运动会，设A＝｛x|x是参加一百米跑的同学｝，B＝｛x|x是参加二百米跑的同学｝，C＝｛x|x是参加四百米跑的同学｝。学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义。⑴、A∪B；⑵、A∩B。 一、教学目标：1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义： （1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分?b a dx x f )(的几何意义是：y=f （x ）与x=a ，x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x= b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号. 在图（1）中：0s dx )x (f b a >=?，在图（2）中：0s dx )x (f b a <=?，在图（3）中：dx )x (f b a ?表示 函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ （2）??=b a b a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数） （3）???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( （4）若在区间［a ， b ］上，?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论：（1）若在区间［a ，b ］上，??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 （2）??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| （3）若f （x ）是偶函数，则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理： 一般地，若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积，则在且 注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据 高三数学基础训练一 一．选择题： 1．复数，则在复平面内的对应点位于 A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 2．在等比数列｛an｝中，已知，则 A．16 B．16或－16 C．32 D．32或－32 3．已知向量a =（x，1），b =（3，6），ab ，则实数的值为( ) A． B． C．D． 4．经过圆的圆心且斜率为1的直线方程为( ) A． B． C．D． 5．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则( )A．B．C． D． 6．图1是某赛季甲．乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲．乙两人这几场比 赛得分的中位数之和是 A．62 B．63 C．64 D．65 7．下列函数中最小正周期不为π的是 A．B．g（x）=tan（） C． D． 8．命题“”的否命题是 A． B．若，则 C． D． 9．图2为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视 图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为 A．6 B．24 C．12 D．32 10．已知抛物线的方程为，过点和点的直线与抛物线没有公共点,则实数的取值范围是 A．B． C．D． 二．填空题: 11．函数的定义域为． 12．如图所示的算法流程图中，输出S的值为． 13．已知实数满足则的最大值为_______． 14．已知，若时，恒成立，则实数的取值范围______ 三．解答题: 已知R． （1）求函数的最小正周期; （2）求函数的最大值，并指出此时的值． 高三数学基础训练二 一．选择题： 1．在等差数列中， ,则其前9项的和S9等于 ( ) A．18 B．27 C．36 D．9 2．函数的最小正周期为 ( ) A． B． C． D． 3．已知命题p: ,命题q :,且p是q的充分条件，则实数的取值范围是：( ) A．(-1,6) B．[-1,6] C． D． 4．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1~160编号，按编号顺序平均分成20组（1~8号，9~16号，。。。，153~160号）。若第16组应抽出的号码为126，则第一组中用抽签方法确定的号码是 ( ) A．4 B．5 C．6 D．7 5．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是( ) A． B． C．24 D．48 6．在右图的程序框图中，改程序框图输出的结果是28，则序号①应填入的条件是 ( ) A． K>2 B． K>3 C．K>4 D．K>5 7．已知直线l与圆C：相切于第二象限，并且直线ｌ在两坐标轴上的截距之和等于，则直线ｌ与两坐标轴所围城的三角形的面积为( ) Ａ．Ｂ．Ｃ．１或３Ｄ． ８．设是两个平面，．ｍ是两条直线，下列命题中，可以判断的是( )Ａ．Ｂ． Ｃ．Ｄ．． 高等数学基础归类复习 一、单项选择题 1-1下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)( C.3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1 )(2--=x x x g 1-⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对 称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f --的图形关于（D ）对称． A. x y = B. x 轴 C. y 轴 D. 坐标原点 .函数2 e e x x y -=-的图形关于（ A ）对称． (A) 坐标原点 (B) x 轴 (C) y 轴 (D) x y = 1-⒊下列函数中为奇函数是（ B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += 下列函数中为奇函数是（A ）． A. x x y -=3 B. x x e e y -+= C. )1ln(+=x y D. x x y sin = 下列函数中为偶函数的是（ D ）． A x x y sin )1(+= B x x y 2= C x x y cos = D )1ln(2x y += 2-1 下列极限存计算不正确的是（ D ）． A. 12lim 2 2 =+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0 =+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01 sin lim =∞→x x x 2-2当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． A. x x sin B. x 1 C. x x 1sin D. 2)ln(+x 当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．A x 1 B x x sin C 1e -x D 2x x .当0→x 时，变量（D ）是无穷小量．A x 1 B x x sin C x 2 D )1ln(+x 下列变量中，是无穷小量的为（ B ） 第一章函数及其图形 例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。 例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。 例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（） 解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。 例4：设 解：在令t=cosx-1，得 又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有 。 例5： f(2)没有定义。 注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。 例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D．周期函数 解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。 事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有 。 因此，所给函数是有界的，即应选择B。 例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定 解：因为f(x+y)=f(x)+f(y)，故f(0)= f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)，可知f(0)=0。在f(x+y)=f(x)+f(y)中令y = -x，得0 = f(0) = f(x-x) = f[ x+(-x) ] = f(x)+f(-x)所以有f(-x) = - f(x)，即f(x)为奇函数，故应选 A 。 例 8：函数的反函数是（）。 A． B． C． D． 解： 于是，是所给函数的反函数，即应选C。 例 9：下列函数能复合成一个函数的是（）。 A．B． C．D． 解：在(A)、(B)中，均有u=g(x)≤0，不在f (u)的定义域，不能复合。在(D)中，u=g(x)=3也不满足f(u)的定义域，也不能复合。只有(C)中的定义域，可以复合成一个函数，故应选C。 例 10：函数可以看成哪些简单函数复合而成： 2020年高考模拟试题 理科数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为 A.5 B.4 C.3 D.2 2、复数在复平面上对应的点位于 A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 3、小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点 到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为 A. 14 17B.13 16 C.15 16 D. 9 13 4、函数的部分图象 如图示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为 A. B. C. D. 5、已知，，，则 A. B. C. D. 6、函数的最小正周期是 A.π B. π 2C. π 4 D.2π 7、函数y=的图象大致是A．B．C．D． 8、已知数列为等比数列，是是它的前n项和,若，且与2的等差中 项为，则 A.35 B.33 C.31 D.29 9、某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有 A.24种 B.18种 C.48种 D.36种 10如图，在矩形OABC中，点E、F分别在线段AB、BC 上，且满足，，若 （），则 A.2 3 B . 3 2 C. 1 2 D.3 4 11、如图，F1，F2分别是双曲线C：(a，b＞0)的左右 焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交 于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，若 |MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是 A. B. C. D. 12、函数f（x）＝2x|log0.5x|－1的零点个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上 13、设θ为第二象限角，若，则sin θ＋cos θ＝__________ 14、(a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=_________ 15、已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a= ln y x x =+()1,1() 221 y ax a x =+++ 高数练习题 一、选择题。 4、1 1lim 1 --→x x x （ ）。 a 、1-= b 、1= c 、=0 d 、不存在 5、当0→x 时，下列变量中是无穷小量的有（ ）。 a 、x 1sin b 、x x sin c 、12--x d 、x ln 7、()=--→1 1sin lim 21x x x （ ）。 a 、1 b 、2 c 、0 d 、2 1 9、下列等式中成立的是（ ）。 a 、e n n n =??? ??+∞ →21lim b 、e n n n =? ?? ??++∞→2 11lim c 、e n n n =??? ??+∞→211lim d 、e n n n =?? ? ??+∞ →211lim 10、当0→x 时，x cos 1-与x x sin 相比较（ ）。 a 、是低阶无穷小量 b 、是同阶无穷小量 c 、是等阶无穷小量 d 、是高阶无穷小量 11、函数()x f 在点0x 处有定义，是()x f 在该点处连续的（ ）。 a 、充要条件 b 、充分条件 c 、必要条件 d 、无关的条件 12、 数列｛y n ｝有界是数列收敛的 ( ) . （A ）必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D)无关条件 13、当x —>0 时，( )是与sin x 等价的无穷小量. (A) tan2 x (B) x (C)1 ln(12) 2x + (D) x (x +2) 14、若函数()f x 在某点0x 极限存在，则（ ）. （A ）()f x 在0x 的函数值必存在且等于极限值 （B ）()f x 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值 （C ）()f x 在0x 的函数值可以不存在 （D ）如果0()f x 存在则必等于极限值 15、如果0 lim ()x x f x →+ 与0 lim ()x x f x →- 存在，则（ ）. （A ）0 lim ()x x f x →存在且00 lim ()()x x f x f x →= （B ）0 lim ()x x f x →存在但不一定有00 lim ()()x x f x f x →= （C ）0 lim ()x x f x →不一定存在 （D ）0 lim ()x x f x →一定不存在 16、下列变量中（ ）是无穷小量。 0) (x e .A x 1-→ 0) (x x 1 sin .B → )3 (x 9x 3x .C 2→-- )1x (x ln .D → 17、=∞→x x x 2sin lim （ ） 2 18、下列极限计算正确的是（ ） e x 11lim .A x 0x =??? ??+→ 1x 1sin x lim .B x =∞→ 1x 1sin x lim .C 0x =→ 1x x sin lim .D x =∞→ 19、下列极限计算正确的是（ ） 1x x sin lim .A x =∞→ e x 11lim .B x 0x =??? ??+→ 5126x x 8x lim .C 232x =-+-→ 1x x lim .D 0x =→ A. f(x)在x=0处连续 B. f(x)在x=0处不连续，但有极限 C. f(x)在x=0处无极限 D. f(x)在x=0处连续，但无极限 23、1 lim sin x x x →∞ =（ ）. （A ）∞ （B ）不存在 （C ）1 （D ）0 24、221sin (1) lim (1)(2) x x x x →-=++（ ）. （A ）13 （B ）13- （C ）0 （D ）23 ) ( , 0 x 1 x 2 0 x 1 x ) x ( f . 20、 则下列结论正确的是 设【高等数学基础】形成性考核册答案(附题目)
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