机密★启用前
2012届全国硕士研究生入学统一考试
（公共课标准课程强化阶段测试卷）
数一答案
答题注意事项
1．本试卷考试时间180分钟，满分150分。
2．试卷后面附有参考答案，供学员测试后核对。
一、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
1 2 3 4 5 6 7 8 D
A
B
C
A
C
B
D
(1) 设数列{}n x 与{}n y 满足lim 0n n n x y →∞
=，则下列说法正确的是 （ ）
(A) 若{}n x 发散，则{}n y 必发散． (B) 若{}n x 无界，则{}n y 必有界． (C) 若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小． (D) 若1n x ??
????
为无穷小，则{}n y 必为无穷小． 【答案】D.
【解析】举反例：若取0n y =，则可排除A；若取0n x =，则{}n y 可为任意数列，可排除C； 取,0,,,,n n n n n x y n n n ??==?
???
为奇数为奇数
为偶数为偶数0，则可排除B；故正确答案为D.
(2) 设()f x 为连续函数，
且()()ln 1
x
x
F x f t dt =∫
，则()F x ′为 （ ）
(A)
()2111ln f x f x x x ??
+????． (B) ()1ln f x f x ??
+????． (C)
()2111ln f x f x x x ??
?????
． (D) ()1ln f x f x ???????
． 【答案】A.
【解析】()()()ln 121
11ln x x F x f t dt f x f x x x ′??????′==??
?????????????
∫()21
11ln f x f x
x x ??=+????.
(3) 函数(
)222
ln u x y z
=++在点()1,2,2M ?处的梯度grad M
u
为 （ ）
(A) ()1,2,2?． (B) ()2
1,2,29
?． (C) ()11,2,29?． (D) ()2
1,2,29
?．
【答案】B. 【解析】因为
222222222222,,,u x u y u z
x x y z y x y z z x y z
???===?++?++?++于是有 ()2442
grad 1,2,29999
M u i j k =+?=?.
(4) 微分方程()
420y
y y ′′?+=的通解是 （ ）
(A) 1234x x
C e C x C e
C ?+++. (B) 1234sin cos x x C e C x C e C x ?+++.
(C) ()()1234x
x
C C x e C C x e ?+++. (D) ()()1234sin cos C C x x C C x x +++. 【答案】C.
【解析】特征方程：(
)
2
4
2
2
211
0r r r ?+=?=，特征根12341,1r r r r ====?，故选项C 是正确的.
(5) 设,,A B C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若,B E AB C A CA =+=+，则B C ?为 （ ） (A) E . (B) E ?. (C) A ． (D) A ?．
【答案】A.
【解析】由B E AB =+，知()E A B E ?=，可见E A ?与B 互为逆矩阵，于是有()B E A E ?=，故AB BA =.从而有()B C E AB A CA E BA A CA E A B C A ?=+??=+??=?+?，即()()B C E A E A ??=?，而
E A ?可逆，故B C E ?=，应选A.
(6) 已知三阶矩阵A 的特征值为1,2,2?，则2
2A A +的正特征值的个数为 （ ） (A) 0． (B) 1． (C) 2． (D) 3．
【答案】C.
【解析】因为A 的特征值为1,2,2?，则2
2A A +的特征值为
()()2
221213,2220,2228,+×=?+×?=+×=
显然有两个正特征值，故选C.
(7) 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间()0,3上的均匀分布，则{}{}
max ,1P X Y ≤为 （ ）
(A) 0. (B) 19. (C) 29． (D) 1
3
. 【答案】B.
【解析】因为X 与Y 相互独立，所以
{}{}max ,1P X Y ≤{}{}{}1100111
1,111339
P X Y P X P Y dx dy =≤≤=≤?≤=?=∫∫.
(8) 若X 和Y 满足()()D X Y D X Y +=?，且()()0,0D X D Y ≠≠，则必有 （ ）
(A) X 与Y 相互独立． (B) ()()0D X D Y ?=． (C) ()()()D XY D X D Y =． (D) X 和Y 不相关. 【答案】D.
【解析】根据题设有
()()D X Y D X Y +=?()()()()()()2,2,D X D Y Cov X Y D X D Y Cov X Y ?++=+?，
因此(),0Cov X Y =，故0XY ρ=，X 与Y 不相关.
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上.）
(9) 微分方程sin ln y x y y ′=满足初始条件2
x y e π==的特解是 .
【答案】tan
2
x y e
=.
【解析】分离变量后积分得通解tan 2
x y Ce
=，再由2
x y e π==得1C =，则特解为tan
2
x y e
=.
(10) 曲线()()35
5221y x +=+在点10,5???????
处的切线方程为 . 【答案】2135
y x =
?. 【解析】由原方程得()()2
4
35255212y y x ′+?=+?，将10,5x y ==?
代入其中得2
3
y ′=，故所求切线方程为21
35
y x =
?. (11) 幂级数
1
n
n n ∞
=+的收敛域是 . 【答案】[1,1)
?.
【解析】1n a n =+11
lim lim 1,12n n n n a n R a n +→+∞+===+，
当1x =时01n n ∞=+发散，当1x =?时1n
n ∞
=?收敛，故收敛域为[1,1)?.
(12) 设∑是()()()2
2
2
2
:x a y b z c R Ω?+?+?≤的外侧，
则222I x dydz y dzdx z dxdy ∑
=++=∫∫
.
【答案】
()38
3
a b c R π++. 【解析】由高斯公式知()()()2
2I x y z dv x y z V V Ω
Ω=++=++∫∫∫为的体积
()()3348
=233
a b c R a b c R ππ++?=++.
(13) 已知三阶矩阵00110100A x ??
??
=??????
有三个线性无关的特征向量，则参数x = .
【答案】0x =.
【解析】
()()2
01
=1
0111
E A x λ
λλλλλ
????=?+?，由A 有三个线性无关的特征向量知对于1λ=，A 有两
个线性无关的特征向量，所以()1r E A ?=.
1011010000101000E A x x ??????????
?=?→??????????????
，故0x =.
(14) 设随机变量X 的概率密度为()()()1
,0,1,32
,3,6,9
0,.x f x x ?∈??
?=∈?????
其他若k 使得{}23P X k ≥=，则k 的取值范围
是 . 【答案】[]1,3. 【解析】由{}()k
P X k f x dx +∞
≥=
∫
，易知
当(),1k ∈?∞时，{}()6
322
93
k P X k f x dx dx +∞
≥=
>=∫∫
； 当[]1,3k ∈时，{}()36322
093k k P X k f x dx dx dx +∞≥==+=∫∫∫；
当()3,k ∈+∞时，{}622
93
k P X k dx ≥=<∫；
故要使得{}2
3
P X k ≥=，则k 的取值范围是[]1,3.
三、解答题(本题共9小题,满分94分. 请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15) (本题满分9分)
求极限3
01
2cos lim 13x x x x
→??+?????????????
.
【解析】方法1：原式2cos ln 33
20
02cos ln 13lim
lim x x x x x e
x x
+??
??
?
?→→+??
?????== ……（3分） ()20ln 2cos ln 3
lim x x x →+?=()01
sin 2cos lim 2x x x x
→??+= ……（6分） 011sin 1
lim 22cos 6
x x x x →=??=?+. ……
（9分）
方法2：原式2cos ln 33
20
02cos ln 13lim
lim x x x x x e
x x
+????
?
?→→+??
?????== ……（3分） 20cos 1ln 13lim x x x →???
+??
??= ……（6分）
20cos 11
lim
36
x x x →?==?
. ……（9分） (16) (本题满分10分)
设()f x 在(),?∞+∞内连续，且()()()0
2x
F x x t f t dt =
?∫.证明：
(I) 若()f x 为偶函数，则()F x 也是偶函数； (II) 若()f x 单调递减，则()F x 单调递增. 【解析】(I)因为()()f x f x ?=，所以
()()()()()()00
221x
x
F x x t f t dt t u x u f u du ??=??=??+??∫
∫令 ……（2分）
()()()()()0
22x
x x u f u du x t f t dt F x =?=?=∫∫， ……（3分）
可见，()F x 是偶函数.
(II) ()()()()()()00022x x x F x x f t dt tf t dt f t dt xf x xf x ′??′=?=+?????
∫∫∫ ……（5分） ()()()()0
0x
x
f t dt xf x f t f x dt =
?=????
?∫
∫， ……（7分） 因为()f x 单调递减，所以
当0t x <<时，()()()()00,0x
f t f x f t f x dt ?>?>????∫，
当0x t <<时，()()()()()()0
0,
0x
x f t f x f t f x dt f t f x dt ?????????∫
∫， ……（9分）
即()0F x ′>恒成立，所以()F x 单调递增. ……（10分） (17) (本题满分11分)
当2
2
1x y +=时，求3
u xy =的最大值与最小值.
【解析】设()()
3
2
2
,,1F x y xy x y λλ=++?，
……（1分）
由0,0,0x y F F F λ′′′===得 32
22203201y x xy y x y λλ?+=?+=??+=?
， ……（3分）
解得 (
)111,0,,,2222????
±±
±????????????
?. ……（5分） 而3
u xy =
与上述六点的相应函数值依次为， ……（7分）
故所求最大值为11,,222u u ???=??
????????
， ……（9分） 最小值为13133
,,3222216u u ?????==????????????. ……（11分） (18) (本题满分9分)
计算
22
2
1L
x y x y +++∫ ，其中22:2L x y y +=?.
【解析】22
:2L x y y +=?，其参数方程为cos ,021sin x t
t y t π=?≤≤?=?+?
， ……（2分）
于是，原式()222
21sin L
x y ds t dt π
=
+=?∫
∫
……（5分）
20
2sin cos 22
t t
dt π
=? ……（7分）
2sin cos 8u u du π
=?=. ……（9分）
(19) (本题满分11分)
设()f x 是以2π为周期的函数且在一个周期内的表达式为()1,1,
0,1.
x f x x π?
<≤??将其展开为傅里叶级数，并求级数
1
sin n n
n ∞
=∑的和. 【解析】因为()f x 为偶函数，所以 1
00
2
2
0,n b a dx π
π
==
=
∫
， ……（2分）
()1
2
2sin cos 1,2,n n
a nxdx n n π
π
=
=
=???∫
……（5分）
因此 ()()11
2
sin cos 21;0,1,n n
f x nx x k k n
ππ
π∞
==
+
≠±=±???∑ ……
（7分） 令0x =，得 11
2
sin 1n n
n
π
π∞
==
+
∑， ……（9分）
所以
1
sin 1
2n n n π∞
=?=∑. ……（11分） (20) (本题满分11分)
k 为何值时，线性方程组123212312
34
24
x x kx x kx x k x x x ++=??
?++=???+=??有唯一解，无解，有无穷多解？有解时，求出其全部解.
【解析】设方程组的系数矩阵为A ，则()()1
1=1
114112
k
A k
k k ?=+??， ……（2分）
当0A ≠，即1k ≠?或4k ≠时，方程组有唯一解，由克莱姆法则得
()()
232123224162,,1141k k
k k k k x x x k k k k +?+++?===
++?+， ……（5分） 当1k =?时，方程组为12312312
34,1,2 4.
x x x x x x x x x +?=??
??+=???+=??
11141
1141
11411110
0050
238112402
3
80
1A ?????????
??????=??→→????????????????????
???
因为()()
23r A r A =≠=，
所以方程组无解. ……（8分） 当4k =时，方程组为12312312
344,
416,2 4.
x x x x x x x x x ++=??
?++=???+=??
11
4411
4
4103014
1160
55200114112
40
2280000A ??????
?
?????
=?→→??????????????????
?????
因为()()
2r A r A ==，所以方程组有无穷多解，于是13
2334x x x x =???
=?+?，令3x c =，则得通解为
34c x c c ???
??
=?????
??
，即034101x c ?????????=+?????????????，其中c 为任意常数. ……（11分）
(21) (本题满分11分)
已知二次型2
2
2
12312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>，
经正交变换化为标准形222
12325f y y y =++，
求参数a 及所用的正交变换矩阵.
【解析】二次型f 所对应的矩阵为2000303A a a ????
=??????
，
222
00
||03
(2)(69)00
3
E A a a a
λλλλλλλ??=
??=??+?=??.
f 经正交变换化为标准形222
123
25f y y y =++，那么标准形中平方项的系数1，2，5就是A 的特征值. …（2分） 把1λ=代入特征方程，得2
40a ?=2a ?=±.因0a >知2a =.这时，
200032023A ??
??
=??????
. ……
（3分） 对于11λ=，解方程组()0E A x ?=，由于
100100022011022000E A ?????????
?=??→??????????????
，
故1(0,1,1)T
ξ=?. ……（5分）
对于22λ=，解方程组(2)0E A x ?=，由于
0000120122012003001021000000E A ????????????
?=??→→????????????????????
，
故2(1,0,0)T
=ξ. ……（7分）
对于35λ=，解方程组(5)0E A x ?=，由于
3001005022011022000E A ????
????
?=?→??????????????
，
故3(0,1,1)T
=ξ. ……（9分）
由于123,,ξξξ
为属于不同特征值的特征向量，故已经相互正交，只需要单位化，得
1230101,0,1101γγγ?????????
?===?????????????
.
故所用的正交变换矩阵为
123010(,,)00
Q ??
?????==?
????γγγ. ……（11分） (22)（本题满分11分）
设二维随机变量(),X Y 的概率密度为()1,01,02,
,0,x y x f x y <<<
?其他.
求：(I) (),X Y 的边缘概率密度()(),X Y f x f y ；
(II) 2Z X Y =?的概率密度()Z f z .
【解析】(I) 当01x <<时，()()20
,2x
X f x f x y dy dy x +∞
?∞
===∫
∫；
当0x ≤或1x ≥时，()0X f x =；即
()2,01,
0,X x x f x <
其他. ……（3分）
当02y <<时，()()1
2
,12
y Y y
f y f x y dx dx +∞
?∞
=
==?
∫
∫； 当0y ≤或2y ≥时，()0Y f y =；即()1,02,
2
0,Y y
y f y ??<
……（6分） (II) 当0z ≤时， ()0Z F z =；当2z ≥时， ()1Z F z =； ……（7分） 当02z <<时， (){}()22,Z x y z
F z P X Y z f x y dxdy ?≤=?≤=
∫∫
12=2
1202
124x z z z dx dy z ?××?=?∫∫， ……（10分） 所以 ()1,02,
2
0,Z z
z f z ??<
……（11分） (23) (本题满分11分)
设总体X 的概率密度为()()3
6,,
0,x
x x f x θθθ?? 0<
?其他. 1,,n X X ???是来自总体X 的简单随机样本.
(I) 求θ的矩估计量?θ
； (II) 求?θ
的方差()
?D θ. 【解析】(I) ()()()2
3
62
x E X xf x dx x dx θ
θ
θθ+∞
?∞
=
=?=
∫
∫
， ……（2分）
记1
1n i i X X n ==∑，令2X θ=，得到θ的矩估计量 ?2X θ=. ……（5分） (II) 由于 ()()()3
2
2
230
6620
x E X
x f x dx x dx θ
θθθ+∞
?∞
==?=
∫
∫
， ……（7分） ()()()2
22
2
2
620220D X E X E X θθθ??=?=?=????????
, ……
（9分） 所以?2X θ=的方差 ()()()
()2
4?245D D X D X D X n n
θθ====. ……（11分）