第二章:实数
本章的知识网络结构:
知识梳理
一.数的开方主要知识点:
【1】平方根:如果一个数x 的平方等于a ,那么,这个数x 就叫做a 的平方根;也即,当)0(2≥=a a x 时,我们称x 是a 的平方根,记做:)0(≥±=a a x 。因此:
4.当a=0时,它的平方根只有一个,也就是0本身;
5.当a >0时,也就是a 为正数时,它有两个平方根,且它们是互为相反数,通常记做:a x ±=。
6.当a <0时,也即a 为负数时,它不存在平方根。 例1.
(1) 的平方是64,所以64的平方根是 ; (2) 的平方根是它本身。
(3)若
x 的平方根是±2,则x= ;的平方根是
(4)当x 时,x 23-有意义。
(5)一个正数的平方根分别是m 和m-4,则m 的值是多少?这个正数是多少?
【算术平方根】:
(1)如果一个正数x 的平方等于a ,即a x =2
,那么,这个正数x 就叫做a 的算术平方根,记为:“a ”,读
作,“根号a ”,其中,a 称为被开方数。特别规定:0的算术平方根仍然为0。 (2)算术平方根的性质:具有双重非负性,即:)0(0≥≥a a 。
(3)算术平方根与平方根的关系:算术平方根是平方根中正的一个值,它与它的相反数共同构成了平方根。因
此,算术平方根只有一个值,并且是非负数,它只表示为:a ;而平方根具有两个互为相反数的值,表
例2.
(1)下列说法正确的是 ( )
A .1的立方根是1±;
B .24±=;(
C )、81的平方根是3±; (
D )、0没有平方根; (2)下列各式正确的是( )
A 、981±=
B 、14.314.3-=-ππ
C 、3927-=-
D 、235=-
(3)2)3(-的算术平方根是 。 (4)若
x x -+
有意义,则
=+1x ___________。
(5)已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ,求c 的取值范围。
(6)已知:A=y x y x -++3是3++y x 的算术平方根,B=322+-+y x y x 是y x 2+的立方根。求A -B 的平方根。
(7)(提高题)如果x 、y 分别是4- 3 的整数部分和小数部分。求x - y 的值.
【立方根】
(1)如果x 的立方等于a ,那么,就称x 是a 的立方根,或者三次方根。记做:3a ,读作,3次根号a 。注意:
这里的3表示的是开根的次数。一般的,平方根可以省写根的次数,但是,当根的次数在两次以上的时候,则不能省略。
(2)平方根与立方根:每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根;但是,并不是每个数都有平方根,只有
非负数才能有平方根。
例3.
(1)64的立方根是
(2)若9.28,89.233==ab a ,则b 等于( )
A. 1000000
B. 1000
C. 10
D. 10000 (3)下列说法中:①3±都是27的立方根,②y y
=33
,③64的立方根是2,④()4832
±=±。
其中正确的有 ( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
【无理数】
(1)无限不循环小数的小数叫做无理数;它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在初中阶段,无理数
的表现形式主要包含下列几种:(1)特殊意义的数,如:圆周率π以及含有π的一些数,如:2-π,3π等;(2)开方开不尽的数,如:39,5,2等;(3)特殊结构的数:如:2.010 010 001 000 01…(两个1之间依次多1个0)等。应当要注意的是:带根号的数不一定是无理数,如:9等;无理数也不一定带根号,如:π
(2) 有理数与无理数的区别:(1)有理数指的是有限小数和无限循环小数,而无理数则是无限不循环小数;(2)
所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为1的分数),而无理数则不能写成分数形式。
例4.(1)下列各数:①3.141、②0.33333……、③75-
、④π、⑤252.±
、⑥3
2-
、⑦0.3030003000003……
(相邻两个3之间0的个数逐次增加2)、其中是有理数的有_______;是无理数的有_______。(填序号)
(2)有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个
A 2
B 3
C 4
D 5
【实数】
(1)有理数与无理数统称为实数。在实数中,没有最大的实数,也没有最小的实数;绝对值最小的实数是0,最大
的负整数是-1。
(2)实数的性质:实数a 的相反数是-a ;实数a 的倒数是a
1(a ≠0);实数a 的绝对值|a|=??
?<-≥)
0()0(a a a a ,它的几
何意义是:在数轴上的点到原点的距离。
(3)实数的大小比较法则:实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同:即正数大于0,0大于负数;正
数大于负数;两个正数,绝对值大的就大,两个负数,绝对值大的反而小。(在数轴上,右边的数总是大于左边的数)。对于一些带根号的无理数,我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。
(4)实数的运算:在实数范围内,可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理
数的一致。 例5.
(1)下列说法正确的是( );
A 、任何有理数均可用分数形式表示 ;
B 、数轴上的点与有理数一一对应 ;
C 、1和2之间的无理数只有2 ;
D 、不带根号的数都是有理数。 (2)a ,b 在数轴上的位置如图所示,则下列各式有意义的是( )
A 、b a -
B 、ab
C 、b a +
D 、a b -
a
(3)比较大小(填“>”或“<”).
-
, 76______67,
2
15-
2
1,
(4)数 2,3-- 的大小关系是 ( )
A. 32<-<-
B. 32-<<-
C. 23-<<-
D.
32-<-<(5)将下列各数:51,3,8,23---,用“<”连接起来;______________________________________。
(6)若2,3==b a ,且 (7)计算: 3 2 27 81 15 .041-- + 3 2 38116 13 125.0?? ? ??-+ - (8)已知:()()064.01,12173 2 -=+=-y x ,求代数式3 245102y y x x + +- -的值。 6.(提高题)观察下列等式:回答问题: ①2 11 1 111 112 11 112 2 =+- + =+ + ②6 11 1 212 113 12 112 2 =+- + =+ + ③12 11 1 313 114 13 112 2 =+- + =+ + ,…… (1)根据上面三个等式的信息,请猜想2 2 5 14 11+ +的结果; (2)请按照上式反应的规律,试写出用n 表示的等式,并加以验证。 课后练习 重点考查题型: 一、考查题型: 1.-1的相反数的倒数是 2.已知|a+3|+b+1 =0,则实数(a+b)的相反数 3.数-3.14与-Л的大小关系是 4.和数轴上的点成一一对应关系的是 5.和数轴上表示数-3的点A距离等于2.5的B所表示的数是 6.在实数中Л,-2 5 ,0, 3 ,-3.14, 4 无理数有() (A)1 个(B)2个(C)3个(D)4个 7.一个数的绝对值等于这个数的相反数,这样的数是() (A)非负数(B)非正数(C)负数(D)正数 8.若x<-3,则|x+3|等于() (A)x+3 (B)-x-3 (C)-x+3 (D)x-3 9.下列说法正确是() (A)有理数都是实数(B)实数都是有理数 (B)带根号的数都是无理数(D)无理数都是开方开不尽的数10.实数在数轴上的对应点的位置如图,比较下列每组数的大小: (1) c-b和d-a (2) bc和ad 二、考点训练: *1.判断题: (1)如果a为实数,那么-a一定是负数;() (2)对于任何实数a与b,|a-b|=|b-a|恒成立;() (3)两个无理数之和一定是无理数;() (4)两个无理数之积不一定是无理数;() (5)任何有理数都有倒数;()(6)最小的负数是-1;()(7)a的相反数的绝对值是它本身;() (8)若|a|=2,|b|=3且ab>0,则a-b=-1;() 2.把下列各数分别填入相应的集合里 -|-3|,21.3,-1.234,-22 7 ,0,-9 ,- 3 -18 , -Л 2 ,8 , ( 2 - 3 )0,3-2,ctg45°,1.2121121112......中 无理数集合{ } 负分数集合{ } 整数集合{ } 非负数集合{ } *3.已知1 (A )-2x (B )2 (C )2x (D )-2 4.下列各数中,哪些互为相反数?哪些互为倒数?哪些互为负倒数? -3, 2 -1, 3, - 0.3, 3-1, 1 + 2 , 31 3 互为相反数: 互为倒数: 互为负倒数: *5.已知x、y是实数,且(X - 2 )2和|y+2|互为相反数,求x,y 的值 6.a,b 互为相反数,c,d 互为倒数,m 的绝对值是2, 求 |a+b| 2m 2+1 +4m-3cd= 。 *7.已知(a-3b)2+|a2-4| a+2 =0,求a+b= 。 三、解题指导: 1.下列语句正确的是( ) (A )无尽小数都是无理数 (B )无理数都是无尽小数 (C )带拫号的数都是无理数 (D )不带拫号的数一定不是无理数。 2.和数轴上的点一一对应的数是( ) (A )整数 (B )有理数 (C )无理数 (D )实数 3.零是( ) (A ) 最小的有理数 (B )绝对值最小的实数 (C )最小的自然数 (D )最小的整数 4.如果a 是实数,下列四种说法: (1)a2和|a|都是正数,(2)|a|=-a,那么a一定是负数, (3)a的倒数是1a ,(4)a和-a的两个分别在原点的两侧,几个是正确的( ) (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 *5.比较下列各组数的大小: (1) 34 45 (2) 3 2 3 时, 1a 1 b 6.若a,b 满足|4-a 2|+a+b a+2 =0,则2a+3b a 的值是 *7.实数a,b,c 在数轴上的对应点如图,其中O 是原点,且|a|=|c| (1) 判定a+b,a+c,c-b 的符号 (2) 化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b| *8.数轴上点A 表示数-1,若AB =3,则点B 所表示的数为 9.已知x<0,y>0,且y<|x|,用"<"连结x ,-x ,-|y|,y 。 10.最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么? 11.绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么? 12.把下列语句译成式子: (1)a 是负数 ;(2)a 、b 两数异号 ;(3)a 、b 互为相反数 ; (4)a 、b 互为倒数 ;(5)x 与y 的平方和是非负数 ; (6)c 、d 两数中至少有一个为零 ;(7)a 、b 两数均不为0 。 *13.数轴上作出表示 2 , 3 ,- 5 的点。 四.独立训练: 1.0的相反数是 ,3-л的相反数是 ,3 -8 的相反数是 ;-л的绝对值是 , 0 的绝对值是 , 2 3 的倒数是 2.数轴上表示-3.2的点它离开原点的距离是 。 A 表示的数是-12 ,且A B =1 3 ,则点B 表示的数是 。 3 -33 ,л,(1- 2 )o,-22 7 ,0.1313…,2cos60o, -3-1 ,1.101001000… (两1之间依次多一个0),中无理数有 ,整数有 ,负数 有。 4. 若a的相反数是27,则|a|=;5.若|a|= 2 ,则a= 5.若实数x,y满足等式(x+3)2+|4-y|=0,则x+y的值是 6.实数可分为() (A)正数和零(B)有理数和无理数(C)负数和零(D)正数和负数 *7.若2a与1-a互为相反数,则a等于() (A)1 (B)-1 (C)1 2 (D) 1 3 8.当a为实数时,a2 =-a在数轴上对应的点在() (A)原点右侧(B)原点左侧(C)原点或原点的右侧(D)原点或原点左侧 *9.代数式 a |a| + b |b| + ab |ab| 的所有可能的值有() (A)2个(B)3个(C)4个(D)无数个 10.已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图 (1)比较a-b与a+b的大小 (2)化简|b-a|+|a+b| 11.实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示,其中|a|=|c| 试化简:|b-c|-|b-a|+|a-c-2b|-|c-a| *12.已知等腰三角形一边长为a,一边长b,且(2a-b)2+|9-a2|=0 。求它的周长。*13.若3,m,5为三角形三边,化简:(2-m)2-(m-8)2 1 / 4 北师大版八年级数学上册第二章实数测试题 一、选择题 1.在实数?1.414,√2,π, 3.1.4. ,2+√3,3.212212221…,3.14中,无理数的个数是( )个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.下列说法中 ①无限小数是无理数; ②无理数是无限小数; ③无理数的平方一定是无理数; 正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 3.(?3)2的平方根是( ) A. ?3 B. 3 C. 3或?3 D. 9 4.若a 2=4,b 2=9,且ab >0,则a ?b 的值为( ) A. ±5 B. ±1 C. 5 D. ?1 5.64的立方根是( ) A. 4 B. 8 C. ±4 D. ±8 6.√83的算术平方根是( ) A. 2 B. ±2 C. √2 D. ±√2 7.估算√19的值是在( ) A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 8.下列四个数:?3,?√3,?π,?1,其中最小的数是( ) A. ?π B. ?3 C. ?1 D. ?√3 9.用计算器依次按键,得到的结果最接近的是( ) A. 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.8 10.实数a ,b 在数轴上的位置如图所示,以下说法正确的是( ) 一、选一选(每小题3分,共30分) 1.下列实数2π,722 ,,39 ,21中,无理数的个数是( ) (A)2个 (B)3个(C)4个(D)5个 2.下列说法正确的是( ) (A )278的立方根是23± (B )-125没有立方根 (C )0的立方根是0 (D )-4)8(3=- 3.下列说法正确的是( ) (A )一个数的立方根一定比这个数小 (B )一个数的算术平方根一定是正数 (C )一个正数的立方根有两个 (D )一个负数的立方根只有一个,且为负数 4.一个数的算术平方根的相反数是312 -,则这个数是( ). (A)79 (B)349 (C)499 (D)949 5.下列运算中,错误的有 ( )(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 ①1251144251 =;②4)4(2±=-;③22222-=-=-;④21414 1161+=+ 6.下列语句中正确的是( ) (A)带根号的数是无理数 (B)不带根号的数一定是有理数 (C)无理数一定是无限不循环的小数 (D)无限小数都是无理数 7.下列叙述正确的是( ) (A)有理数和数轴上点是一一对应的 (B)最大的实数和最小的实数都是存在的 (C)最小的实数是0 (D)任意一个实数都可以用数轴上的一个点来表示 8.2)25(-的平方根是 ( )(A)25 (B)5 (C)±5 (D)±25 的立方根与4的平方根的和是( )(A)-1 (B)-5 (C)-1或-5 (D)±5或±1 10.已知平面直角坐标系中,点A 的坐标是(2,-3),将点A 向右平移3个单位长度,然后向上平移33个单位长度后得到B 点,则点B 的坐标是( ) (A)(33,23) (B)(32,32+) (C)(34,32--) (D)(3,33). 二、 填一填(每小题3分,共30分) 11.9的平方根是________. 12.面积为13的正方形的边长为_______. 13.若实数a 、b 满足(a+b-2)2+032=+-a b 则2b-a+1的值等于______. 八年级数学单元测试试卷---第二单元《实数》大全 第二章 实数 2.1认识无理数 一、问题引入: 1、 和 统称有理数,它们都是有限小数和无限 (填循环或不 循环)小数。 2、(1)在下图中,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少? (2)设该正方形的边长为b ,则b 应满足什么条件? (3)b 是有理数吗? 3、请你举出一个无限不循环小数的例子___________,并说出它的整数部分是 ,小数部分是 ,请指出它的十分位、 百分位、千分位……..。 4、 称为无理数,请举两个例子 。 二、基础训练: 1、2 8x =,则x _____分数,______整数,______有理数.(填“是”或“不是”) 2、在0.351,- 3 2 ,4.969696…,0,-5.2333,5.411010010001…,6.751755175551…中,不是有理数的数有_____ 。 3、长、宽分别是3、2的长方形,它的对角线的长可能是整数吗?可能是分数吗? _______ 个. 下图是由16个边长为1的小正方形拼成的,任意连结这些小正方形的若干个顶点,可得到一些线段,试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段. 四、课堂检测: 1、在下列实数-12,π,4,13,5中,无理数有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 2、下列说法正确的是( ) A .有理数只是有限小数 B .无理数是无限不循环小数 C .无限小数都是无理数 D .3 π 是分数 3、实数:3.14,π,0.315315315…, 7 22 ,0.3030030003…中,无理数有 _________ 个. 4、下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数? π 、0.351,-? ?69.4,3 2,3.14159,-5.2323332…,0、0.1234567891011112131…(小数部分由相继 的正整数组成)在下列每一个圈里,至少填入三个适当的数 . 5、(1)设面积为10的正方形的边长为x ,x 是有理数吗?说说你的理由。 (2)估计x 的值(结果精确到十分位),用计算器验证你的估计如果精确到百分位呢? 6、如图,是面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的正方形 边长是无理数的正方形有________个 7、如图,在△ABC 中,CD ⊥AB ,垂足为D ,AC =6,AD =5,问:CD 可能是整数吗?可能是分数吗?可能是有理数吗? 最新八年级上册数学第二章实数测试题 一、选择题 1.下列各数:2π , 0 0.23·, 227 ,27, 1010010001.6,1理数个数为( ) A .2 个 B .3 个 C .4 个 D .5 个 2.在实数03 2 -,|-2|中,最小的是( ). A .-错误! B . C .0 D .|-2| 3.下列各数中是无理数的是( ) A B C D 4.下列说法错误的是( ) A .±2 B 是无理数 C 是有理数 D 5.下列说法正确的是( ) A .0)2 (π是无理数 B .3 3是有理数 C .4是无理数 D .38-是有理数 6.下列说法正确的是( ) A .a 一定是正数 B .错误! 是有理数 C .2,2是有理数 D .平方根等于自身的数只有1 7.估计,20的大小在( ) A .2与3之间 B .3与4之间 C .4与5之间 D .5与6之间 8. (-2)2的算术平方根是( ) A .2 B . ±2 C .-2 D .2 9.下列各式中,正确的是( ) A .3- B .3- C 3± D 3=± 10.下列说法正确的是( ) A .5是25的算术平方根 B .±4是16的算术平方根 C .-6是(-6)2的算术平方根 D .0.01是0.1的算术平方根 11.36的算术平方根是( ) A .±6 B .6 C .±,6 D . ,6 12.下列计算正确的是( ) 4=± B.1= 4= 2= 13.下列运算正确的是( ) A .25=±5 B .43-27=1 C .18÷2=9 D .24·错误!=6 14.下列计算正确的是( ) A .= B .错误!=错误!-错误!=1 C .(21-= D =15.如图:在数轴上表示实数,15的点可能是( ) A .点P B .点Q C .点M D .点N 16.如图,矩形OABC 的边OA 长为2 ,边AB 长为1,OA 在数轴上,以原点O 为圆心,对角线OB 的长为半径画弧,交正半轴于一点,则这个点表示的实数是 A .2.5 B .2,2 C .,3 D .,5 17.下列计算正确的是( ). A .2234-=4-3=1 B .)25()4(-?-=4-2)×(-5)=10 C .22511+=11+5=16 D . 32=3 6 18.已知n -12是正整数,则实数n 的最大值为( ) A .12 B .11 C .8 D .3 19.2)9(-的平方根是x , 64的立方根是y ,则x +y 的值为( ) A .3 B .7 C .3或7 D .1或7 20.若||4x =9,且||x y x y -=-,则x y +的值为( ) A .5或13 B .-5或13 C .-5或-13 D .5或-13 二、填空题 1.实数27的立方根是 2.若一个正数的两个平方根分别是2a -2和a -4,则a 的值是 . 3.-,6的绝对值是___________. 4.估计,7的整数部分是 5.比较下列实数的大小(在 填上>、<或=)北师大版八年级数学上册第二章实数测试题
八年级数学《实数》单元测试题及答案
北师大版新教材八年级上数学《实数》教案
最新八年级上册数学第二章实数测试题
北师大版八年级数学上册实数练习题