试卷类型：A
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(理工农医类) (湖北卷)解析
本试题卷共4页，三大题21小题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。咎在试题卷、草稿纸上无效。 3填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。答在试题卷、草稿纸上无效。
4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.
1.i 为虚数单位，则=?
?
?
??-+2011
11i i
A.i -
B.1-
C.i
D.1 【答案】A
解析：因为()i i i i i =-+=-+22
1111，所以i i i i i i -====??
? ??-++?33502420112011
11，故选A.
2.已知{}
1,log 2>==x x y y U ，?
?????>=
=2,1
x x y y P ，则=P C U A. ??????+∞,21 B.??
? ??21,0 C.()+∞,0 D. ()??
????+∞∞-,2
1
0, 【答案】A
解析：由已知()+∞=,0U .??
? ?
?=2
1,0P ，所以??
????+∞=,2
1P C U ,故选A.
3.已知函数()x x x f cos sin 3-=，R x ∈，若()1≥x f ，则x 的取值范围为
A. ????
??∈+≤≤+
Z k k x k x ,3πππ
π B. ???
???∈+≤≤+Z k k x k x ,232ππππ
C. ????
??∈+
≤≤+
Z k k x k x ,656
πππ
π D. ?
?????∈+≤≤+Z k k x k x ,65262π
πππ 【答案】B
解析：由条件1cos sin 3≥-x x 得2
16sin ≥???
?
?
-
πx ，则 6526
6
2πππ
π
π+
≤-
≤+
k x k ，解得πππ
π+≤≤+k x k 23
2，Z k ∈，所以选B. 4.将两个顶点在抛物线()022
>=p px y 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n ，则
A. 0=n
B. 1=n
C. 2=n
D. 3≥n 【答案】C
解析：根据抛物线的对称性，正三角形的两个 顶点一定关于x 轴对称，且过焦点的两条直线 倾斜角分别为0
30和0
150，这时过焦点的直线 与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形 的个数记为n ，2=n ，所以选C.
5.已知随机变量ξ服从正态分布(
)2
,2σ
N ，且()8.04=<ξP ，则()=<<20ξP
A. 6.0
B. 4.0
C. 3.0
D. 2.0 【答案】C 解析：
如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于 直线2=x 对称，所以()5.02=<ξP ，并且
()()
4220<<=<<ξξP
P
则()()()2420<-<=<<ξξξP P P
3.05.08.0=-=
所以选C.
6.已知定义在R 上的奇函数()x f 和偶函数()x g 满足()()2+-=+-x
x
a
a x g x f
()1,0≠>a a 且，若()a g =2，则()=2f
A. 2
B. 415
C. 4
17 D. 2
a 【答案】B
解析：由条件()()2222
2
+-=+-a
a g f ，()()22222+-=-+--a a g f ，即
()()22222+-=+--a a g f ，由此解得()22=g ，()222--=a a f ，
所以2=a ，()4
15
2
222
2
=
-=-f ，所以选B. 7.如图，用21A A K 、、三类不同的元件连接成一个系统，K 正常工作且21A A 、至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知21A A K 、、正常工作的概率依次为9.0、8.0、8.0，则系统正常工作的概率为
A. 960.0
B. 864.0
C. 720.0
D. 576.0 【答案】B
解析：21A A 、至少有一个正常工作的概率为()()
211A P A P -
()()94.004.018.018.011=-=-?--=，
系统正常工作概率为()()()()
864.096.09.0121=?=-A P A P K P ，所以选B.
8.已知向量a ()3,z x +=，b ()z y -=,2，且a ⊥b .若y x ,满足不等式1≤+y x ，则z 的取值范围为
A. []2,2-
B. []3,2-
C. []2,3-
D. []
3,3-K
A 1
A 2
【答案】D
解析：因为a ⊥b ，()()032=-++z y z x ， 则y x z 32+=，y x ,满足不等式1≤+y x ， 则点()y x ,的可行域如图所示,
当y x z 32+=经过点()1,0A 时，y x z 32+=
当y x z 32+=经过点()1,0-C 时，y x z 32+=取得最小值-3 所以选D.
9.若实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则称a 与b 互补，记()b a b a b a --+=22,?，
那么()0,=b a ?是a 与b 互补
A. 必要而不充分条件
B. 充分而不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要的条件 【答案】C
解析：若实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则a 与b 至少有一个为0，不妨设0=b ，则
()0,2=-=-=a a a a b a ?；反之，若()0,22=--+=b a b a b a ?，
022≥+=+b a b a
两边平方得ab b a b a 22
2
2
2
++=+0=?ab ，则a 与b 互补，故选C.
10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：()30
02
t
M t M -=，其中0M 为0=t 时铯137的含量，已知30=t 时，
铯137的含量的变化率．．．
是2ln 10-（太贝克/年），则()=60M A. 5太贝克 B. 2ln 75太贝克 C. 2ln 150太贝克 D. 150太贝克 【答案】D
解析：因为()300/
22ln 30
1
t
M t M -?-
=，则()2ln 1022ln 301303030
0/-=?-=-M M ，解得
6000=M ，所以()30
2
600t
t M -?=，那么()1504
1
6002
6006030
60=?
=?=-
M （太贝克），所以选D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分
11.在18
31???? ?
?-x x 展开式中含15
x 的项的系数为 .（结果用数值表示）
【答案】17
【解析】二项式展开式的通项公式为r
r r r x x C T ?
??
? ??-=-+3118181
r
r r r x C ??? ??-=--312
11818，令2152118=?=--r r r ，含15x 的项的系数为17312
218=??
? ??-C ，故填17.
12.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为 .（结果用最简分数表示） 【答案】
145
28
解析：从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A ，从这30瓶饮料中任取2瓶，没有取到1瓶已过了保质期饮料为事件B ，则A 与B 是对立事件，因为
()29
1513
272302527??=
=C C B P ，所以()()145282915132711=??-=-=B P A P ，所以填14528. 12.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升. 【答案】
66
67
解析：设该数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意
??
?=++=+++439874321a a a a a a a ，即???=+=+421336411d a d a ，解得???
????
=
=+6673
471d d a ， 则d d a d a a 374115-+=+=66
67662134=-=
，所以应该填6667
.
14.如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系/
/
Oy x （其中/
y 轴与y 轴重合）所
在的平面为
β，0/45=∠xOx .
（Ⅰ）已知平面β内有一点()
2,22/
P ，
则点/P 在平面α内的射影P 的坐标为 ； （Ⅱ）已知平面β内的曲线/
C 的方程是
()
02222/2
/
=-+-y x
，则曲线/C 在平面α内的
射影C 的方程是 .
【答案】()2,2,()112
2
=+-y x
解析：（Ⅰ）设点/
P 在平面α内的射影P 的坐标为()y x ,，
则点P 的纵坐标和()
2,22/
P 纵坐标相同，
所以2=y ，过点/
P 作Oy H P ⊥/
，垂足为H ，
连结PH ，则0
/45=∠HP P ，P 横坐标
0/45cos H P PH x ==22
2
2245cos 0/=?
==x ， 所以点/
P 在平面α内的射影P 的坐标为()2,2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得2245cos /
/
?==x x x ，y y =/，所以?????==y
y x x /
/2代入曲线/
C 的方程
()
02222/2
/
=-+-y x
，
得(
)
?=-+-0222222
y x ()1122
=+-y x ，
所以射影C 的方程填()112
2
=+-y x .
15.给n 个则上而下相连的正方形着黑色或白色.当4≤n 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．
的着色方案如下图所示：
由此推断，当6=n 时，黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻．．
着色方案共有 种.（结果用数值表示） 【答案】43,21
解析：设n 个正方形时黑色正方形互不相邻．．．．
的着色方案数为n a ，由图可知， 21=a ，32=a ， 213325a a a +=+==， 324538a a a +=+==，
由此推断1365435=+=+=a a a ，21138546=+=+=a a a ，故黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种；由于给6个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有2种方法，所以一共有6422222226
==?????种方法，由于黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种，所以至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有432164=-种着色方案，故分别填43,21. 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分10分）
设ABC ?的内角A 、B 、C 、所对的边分别为a 、b 、c ，已知1
1. 2.cos .4
a b C === （Ⅰ）求ABC ?的周长 （Ⅱ）求()cos A C -的值
本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力。（满分10分）
解：（Ⅰ）222
1
2cos1444
4
c a b ab C
=+-=+-?= 2.
c
∴=
ABC
∴?的周长为122 5.
a b c
++=++=
（Ⅱ）
1
cos,sin
44
C C
=∴===
sin4
sin
28
a C
A
c
∴===
,
a c A C
<∴<，故A为锐角，
7
cos.
8
A
∴===
7111
cos()cos cos sin sin.
8416
A C A C A C
∴-=+=?+=
17．（本小题满分12分）
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200
x
≤≤时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（Ⅰ）当0200
x
≤≤时，求函数()
v x的表达式;
（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）()()
.
f x x v x
=可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）
本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。（满分12分）
解：（Ⅰ）由题意：当020,()60
x v x
≤≤=
时；当20200,()
x v x ax b
≤≤=+
时设
再由已知得1,2000,32060,200.
3a a b a b b ?=-?+=????
+=??=??
解得
故函数()v x 的表达式为60,020,()1(200),202003
x v x x x ≤≤??
=?-≤≤??
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得60,020,()1(200),202003
x x f x x x x ≤
=?-≤≤??
当020,()x f x ≤≤时为增函数，故当20x =时，其最大值为60×20=1200； 当20200x ≤≤时，211(200)10000
()(200)[]3323
x x f x x x +-=
-≤=
当且仅当200x x =-，即100x =时，等号成立。
所以，当100,()x f x =时在区间[20，200]上取得最大值
10000
.3 综上，当100x =时，()f x 在区间[0，200]上取得最大值10000
33333
≈。
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。
18．（本小题满分12分）
如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合． （Ⅰ）当CF =1时，求证：EF ⊥1A C ；
（Ⅱ）设二面角C AF E --的大小为θ，求tan θ的最小值．
本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。（满分12分） 解法1：过E 作EN AC ⊥于N ，连结EF 。 （I ）如图1，连结NF 、AC 1，由直棱柱的性质知， 底面ABC ⊥侧面A 1C 。 又度面ABC
侧面A ，C=AC ，且EN ?底面ABC ，
所以EN ⊥侧面A 1C ，NF 为EF 在侧面A 1C 内的射影，
在Rt CNE ?中，cos60CN CE =?=1， 则由
11
4
CF CN CC CA ==，得NF//AC 1， 又11,AC A C ⊥故1NF A C ⊥。 由三垂线定理知1.EF A C ⊥
（II ）如图2，连结AF ，过N 作NM AF ⊥于M ，连结ME 。 由（I ）知EN ⊥侧面A 1C ，根据三垂线定理得,EM AF ⊥ 所以EMN ∠是二面角C —AF —E 的平面角，即EMN θ∠=， 设,045FAC αα∠=?<≤?则
在Rt CNE ?
中，sin 60NE EC =??= 在,sin 3sin ,Rt AMN MN AN a a ?=?=中
故tan .3sin NE MN a
θ=
=
又045,0sin ,2
a α?<≤?∴<≤
故当sin 45a α=
=?即当时，tan θ达到最小值；
tan θ=
=，此时F 与C 1重合。 解法2：（I ）建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得
1(0,0,0),(0,4,0),(0,0,4),(0,4,1),A B C A E F
于是1(0,4,4),(3,1
,1).CA EF =-=
- 则1(0,4,4)(,1)0440,CA EF ?=-?=-+= 故1.EF A C ⊥
（II ）设,(04)CF λλ=<≤， 平面AEF 的一个法向量为(,,)m x y z =，
则由（I ）得F （0，4，λ）
(3,3,0),
(0,4,)AE AF λ==，于是由,m AE m AF ⊥⊥可得
0,330,40.0,m AE x y y z m AF λ???=+=??
?
?+=??=???
即 取(3,,4).m λλ=-
又由直三棱柱的性质可取侧面AC 1的一个法向量为(1,0,0)n =，
于是由θ为锐角可得||cos ||||m n m n θ?=?2223162424
λλθλλ+==
++， 所以2216116
tan 333λθλλ
+==+
由04λ<≤，得
1
1
4
λ
≥
，即116tan 333θ≥
+= 故当4λ=，即点F 与点C 1重合时，tan θ6
19．（本小题满分13分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：1a a =(0)a ≠，1n n a rS += (n ∈N *
，
,1)r R r ∈≠-．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若存在k ∈ N *
，使得1k S +，k S ，2k S +成等差数列，是判断：对于任意的m ∈N *
，
且2m ≥，1m a +，m a ，2m a +是否成等差数列，并证明你的结论．
本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想。（满分13分）
解：（I ）由已知1,n n a rS +=可得21n n a rS ++=，两式相减可得 2111(),n n n n n a a r S S ra ++++-=-= 即21(1),n n a r a ++=+
又21,a ra ra ==所以r=0时， 数列{}n a 为：a ，0，…，0，…；
当0,1r r ≠≠-时，由已知0,0n a a ≠≠所以（*n N ∈），
于是由21(1),n n a r a ++=+可得2
1
1()n n a r n N a *++=+∈， 23,,
,n a a a ∴+
成等比数列，
∴≥当n 2时，2
(1).n n a r r a -=+
综上，数列{}n a 的通项公式为2
1,(1),2n
n n a n a r r a n -=?=?+≥?
（II ）对于任意的*
m N ∈，且122,,,m m m m a a a ++≥成等差数列，证明如下： 当r=0时，由（I ）知，,1,0,2m a n a n =?=?
≥?
∴对于任意的*
m N ∈，且122,,,m m m m a a a ++≥成等差数列， 当0r ≠，1r ≠-时，
21211,.k k k k k k S S a a S a +++++=+++
若存在*
k N ∈，使得112,,k k S S S ++成等差数列， 则122k k k S S S +++=，
1221222,2,k k k k k k S a a S a a ++++∴++==-即 由（I ）知，23,,
,,
m a a a 的公比12r +=-，于是
对于任意的*
m N ∈，且122,2,4,m m m m m a a a a ++≥=-=从而
12122,,,m m m m m m a a a a a a ++++∴+=即成等差数列，
综上，对于任意的*
m N ∈，且122,,,m m m m a a a ++≥成等差数列。 20．（本小题满分14分）
平面内与两定点1(,0)A a -，2(,0)A a (0)a >连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线． （Ⅰ）求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值得关系；
（Ⅱ）当1m =-时，对应的曲线为1C ；对给定的(1,0)(0,)m U ∈-+∞，对应的曲线为2C ，
设1F 、2F 是2C 的两个焦点。试问：在1C 撒谎个，是否存在点N ，使得△1F N 2
F 的面积2
||S m a =。若存在，求tan 1F N 2F 的值；若不存在，请说明理由。
本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。（满分14分） 解：（I ）设动点为M ，其坐标为(,)x y ，
当x a ≠±时，由条件可得12
2
22
,MA MA y y y k k m x a x a x a ?=?==-+- 即2
2
2
()mx y ma x a -=≠±，
又12(,0),(,0)A a A A -的坐标满足222
,mx y ma -= 故依题意，曲线C 的方程为2
2
2
.mx y ma -=
当1,m <-时曲线C 的方程为22
22
1,x y C a ma
+=-是焦点在y 轴上的椭圆； 当1m =-时，曲线C 的方程为2
2
2
x y a +=，C 是圆心在原点的圆；
当10m -<<时，曲线C 的方程为22
221x y a ma +
=-，C 是焦点在x 轴上的椭圆； 当0m >时，曲线C 的方程为22
22
1,x y a ma
-=C 是焦点在x 轴上的双曲线。 （II ）由（I ）知，当m=-1时，C 1的方程为2
2
2
;
x y a +=
当(1,0)
(0,)m ∈-+∞时，
C 2
的两个焦点分别为12((F F - 对于给定的(1,0)
(0,)m ∈-+∞，
C 1上存在点000(,)(0)N x y y ≠使得2
||S m a =的充要条件是
2220002
0,0,12|||.2
x y a y y m a ?+=≠?
??=?? 由①得00||,y a <≤
由②得0||y =
当0,0,a m <
≤≤<
或102
m +<≤
时， 存在点N ，使S=|m|a 2
；
当
1,,2a >即-1 或m > 不存在满足条件的点N ， 当1150,22m ???-+∈? ?? ???? 时， 由100200(1),(1,)NF a m x y NF a x y =-+--=+-， 可得2222 1200(1),NF NF x m a y ma ?=-++=- 令112212||,||,NF r NF r F NF θ==∠=， 则由22 121212cos ,cos ma NF NF r r ma r r θθ ?==-=-可得， 从而22121sin 1 sin tan 22cos 2 ma S r r ma θθθθ==- =-，① ②
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