一、选择题
1．现有以下结论： ①函数1
y x x
=+
的最小值是2； ②若a 、b R ∈且0ab >，则
2b a
a b
+≥；
③
y =2；
④函数()4
230y x x x
=-->的最小值为2-. 其中，正确的有（ ）个
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2．如果两个正方形的边长之和为1，那么它们的面积之和的最小值是（ ） A ．
14
B ．
12
C ．1
D ．2
3．已知0a >，0b >，且1a b +=，则14
a b
+的最小值为（ ） A ．9 B ．8
C ．7
D ．6
4．当1
04x <<时，不等式11014m x x
+
-≥-恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
5．对于实数x ，规定[]
x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式[][]2
463450x x -+<成立的x 的取值范围是（ ） A ．[
)1,15
B ．[]2,8
C ．[)2,8
D ．[
)2,15 6．已知m ＞0，xy ＞0，当x +y ＝2时，不等式4m x y +≥9
2
恒成立，则m 的取值范围是（ ）
A ．1
,)2
?+∞??
B ．[1,)+∞
C ．](01，
D ．1(02?
??
， 7．若直线220ax by +-=()
,a b R +
∈平分圆22
2460x y x y +---=，则
21
a b
+的最小值是（ ）.
A ．1
B ．5
C ．
D ．3+
8．已知AB AC ⊥，1AB t
=，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且
4AB AC AP AB
AC
=
+
，则·PB PC 的最大值等于（ ）. A ．13
B ．15
C ．19
D ．21
9．对于实数a 、b 、m ，下列说法：①若22am bm >，则a b >；②若a b >，则
a a
b b ；③若0b a >>，0m >，则
a m a
b m b
+>+；④若0a b >>且ln ln a b =，
则2a b +的最小值是，正确的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列，则不等式2
134m m a b
+≥+恒成立时实数m 的取值范围是（ ） A ．[]4,3-
B ．[]2,6-
C ．[]6,2-
D ．[]
3,4-
11．若两个正实数,x y 满足11
2x y
+=，且不等式2x y m m +<-有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,2- B ．()4,1- C ．()
()
,12,-∞-+∞
D ．()
(),14,-∞-+∞
12．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，90ACB ∠=?，D 为AB 边上的
一点，30ACD ∠=?，且2CD =，则a 的最小值为（ ）
A ．4
B ．4+
C ．8
D ．8+二、填空题
13．设m ，a R ∈，()()2
11f x x a x =+-+，2
()24
m
g x mx ax =++
，若“对于一切实数x ，()0f x >”是“对于一切实数x ，()0g x >”的充分条件，则实数m 的取值范围是___________.
14．定义,,a a b
a b b a b ≥??=?
，若,0x y >，则2222
41616xy y x xy x y μ????++=? ? ?????的最小值____________. 15．设函数4
()f x x x
=-对任意[2,)x ∈+∞，()()0f ax af x +<恒成立，则实数a 的取值范围是____________.
16．当1x >时，1
1x x +
-的最小值为___________. 17．已知()4x
x e e f x =+，若正数(),a b a b ≠满足()()f a f b =，则ln 2ln 2a b
+的取值范
围为__________.
18．已知函数121
()22
x x f x +-+=+，如果对任意t ∈R ，f （3t 2+2t ）+f （k 2﹣2t 2）＜0恒成立，
则满足条件的k 的取值范围是_____．
19．若0x >，则函数()16
4f x x x
=+
的最小值是______. 20．设2020a b +=，0b >，则当a =____________时，
1
2020a a b
+取得最小值.
三、解答题
21．已知函数2()(,)f x x bx c b c =++∈R ，且()0f x ≤的解集为[1,2]-． （1）求函数()f x 的解析式；
（2）设函数()f x 在[,1]x t t ∈+上的最小值为()g t ，求()g t 的表达式．
22．已知2,()23a f x ax x ∈=+-R ．
（Ⅰ）关于x 的方程()0f x =有且只有正根，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若()30f x a -≥对[1,0]a ∈-恒成立，求实数x 的取值范围．
23．解下列不等式： （1）2340x x -->； （2）
1
22
x x -≤+．
24．已知函数()2
2f x x ax =-，x ∈R ，a R ∈.
()1当1a =时，求满足()0f x <的x 的取值范围； ()2解关于x 的不等式()23f x a <；
()3若对于任意的()2,x ∈+∞，()1f x >均成立，求a 的取值范围．
25．已知函数()2
2f x x ax =-.
（1）若函数()f x 在区间(),1-∞上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若函数()()[]()
12,5g x f x x =+∈-的最大值为13，求实数a 的最小值.
26．解关于x 的不等式：()2
220ax x ax a -≥-<.
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
取0x <，可判断①的正误；利用基本不等式可判断②③④的正误. 【详解】
对于①，当0x <时，1
0y x x
=+
<，①错误；
对于②，若a ，b R ∈且0ab >，说明
0b a >，0a b >，则2b a a b +≥=，当且仅当22a b =时取等号，显然成立，②正确；
对于③，
2y =
≥=，
=
231x +=，显然这样的x 不存在，所以结论不正
确，③错误；
对于④，因为0x >，所以4
3x x
+≥
函数()4
230y x x x
=-->的最大值为2-，所以结论不正确，④错误. 故选：B. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
2．B
解析：B 【分析】
设两个正方形的边长分别为x 、y ，可得1x y +=，利用基本不等式可求得两个正方形的面积之和2
2x y +的最小值.
【详解】
设两个正方形的边长分别为x 、y ，则0x >，0y >且1x y +=，
由基本不等式可得22
2x y xy +≥，所以，(
)()2
22
22221x y
x y xy x y +≥++=+=，
所以，22
12
x y +≥
，当且仅当1
2x y ==时，等号成立，
因此，两个正方形的面积之和2
2x y +的最小值为
1
2
. 故选：B. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
3．A
解析：A 【分析】
利用“1”的代换，转化()1414a b a b a b ??
+=++ ???
，结合基本不等式即可得解. 【详解】
1a b +=，0a >，0b >
()1414455549b a a b a b a b a b ??+++=++≥+=+= ???
∴
=， 当且仅当
4b a a b =，即13
a =，2
3b =时，等号成立. 14
a b ∴+的最小值为9 故选：A. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
4．C
解析：C 【分析】
分离参数化为41414m x x
≤+-恒成立，再利用基本不等式求出不等式右边的最小值即可得解. 【详解】
不等式11014m x x
+-≥-恒成立化为41
414m x x ≤+-恒成立， 因为1
04
x <<，所以140x ->，
所以
()4141414414414x x x x x x ??+=+-+ ?--??
44(14)5144x x x x -=++-
5≥+549=+=，当且仅当44(14)144x x x x -=-，即16x =时，等号成立.
所以9m ≤，所以m 的最大值为9. 故选：C 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
5．A
解析：A 【分析】
先由不等式[][]2
463450x x -+<得出[]x 的取值范围，再由[]
x 的定义得出x 的取值范围. 【详解】
不等式[][]2
463450x x -+<即为[](
)[]()43
150x x --<，解得[]3
154
x <<， 则[]{}1,2,3,,14x ∈，因此，115x ≤<，故选A.
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法，同时也考查了取整函数的定义，解题的关键要结合不等式得出[]
x 的取值，考查计算能力，属于中等题.
6．B
解析：B 【分析】
根据“乘1法”，可得()4142m m x y x y x y ??
+=++ ???
，展开后，利用基本不等式可推出其最小
值，则可得不等式(19
422
m ++≥，解不等式即可. 【详解】 解：
xy ＞0，且x +y ＝2，
0,0x y ∴>>，
()(4141411
4442222m m y mx x y m m m x y x y x y ?????∴+=++=+++≥++=++ ? ? ?????
当且仅当4y mx
x y
=2y =时，等号成立， 不等式
4m x y +≥9
2
恒成立， (19
422
m ∴
++≥，化简得50m +≥ 解得m 1≥.
∴m 的取值范围是[1,)+∞
故选：B ． 【点睛】
本题考查利用基本不等式解决最值问题，熟练掌握“乘1法”是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题
7．D
解析：D 【分析】
根据条件可知直线过圆心，求解出,a b 的关系式，利用常数代换法以及基本不等式求解出
21
a b +的最小值. 【详解】
因为直线220ax by +-=(
),a b R
+
∈平分圆2
22460x
y x y +---=，所以直线
220ax by +-=过圆心，
又因为圆的方程()()2
2
1211x y -+-=，所以圆心为()1,2，所以222a b +=，即
1a b +=，
所以
()21212333b a a b a b a b a b ??+=+?+=++≥+=+ ???
取等号时222a b =即a =，此时21a b ==，
故选：D.
【点睛】
本题考查圆的对称性与基本不等式的综合应用，其中涉及到利用常数代换法求解最小值，对学生的理解与计算能力要求较高，难度一般.利用基本不等式求解最值时注意说明取等号的条件.
8．A
解析：A 【详解】
以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t
，(0,)C t ，
1AP =（，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P
（，4)，所以114)PB t
=--（，，14)PC t =--（，，因此PB PC ?
11416t t =--+117(4)t t =-+，因为11
4244t t t t
+≥?=，所以PB PC ?的最大值等于
13，当1
4t t =，即12
t =时取等号．
考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．
9．C
解析：C 【解析】
分析：由不等式性质对其判定 详解：对于①，若22am bm >，
20m >，则a b >，故正确
对于②，若a b >，则a a b b >，正确 对于③，若0b a >>，0m >，则
a m a
b m b
+>+，故正确 对于④，若0a b >>且lna lnb =，则1ab =，1b a
=
1
22a b a a
∴+=+
≥
当12a a =
时等号成立，即1a =< 这与a b >矛盾，故错误 综上所述，正确的个数为3 故选C
点睛：由不等式性质对其判定，若能举出反例即可判断其错误，注意数值的符号，对于④中利用基本不等式求出最小值需要满足一正二定三相等，本题在取等号时是取不到的，故错误．
10．C
解析：C 【分析】
由题意利用等差数列的定义和性质求得13a b =+，再利用基本不等式求得1
12ab
，根据题意，2412m m +，由此求得m 的范围． 【详解】 解：
两个正实数a ，b 满足3a ，
1
2
，b 成等差数列， 13a b ∴=+，123ab ∴，112ab
∴，∴
1
12ab
． ∴不等式21
34m m a b +
+恒成立，即234a b m m ab
++恒成立， 即
21
4m m ab
+恒成立． 2412m m ∴+，求得62m -，
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查等差数列的定义和性质，不等式的恒成立问题，基本不等式的应用，属于基础题．
11．C
解析：C 【解析】 正实数x ,y 满足
11
2x y
+=， 则()111
112222224y x x y x y x y x y ??+=++=+++=
?
??
， 当且仅当1,y x x y ==+取得最小值2.
由2x y m m +<-有解,可得22m m ->， 解得m >2或m
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
12．B
解析：B 【分析】
设,0,2A παα??∠=∈ ???
，在ACD △中，利用正弦定理得()2sin 150sin b αα=?-，化简得到1
tan b α
=
ABC 中，有tan a b α=?，然后将a +转化为
4ta n a αα
=+
+利用基本不等式求解. 【详解】
设,0,2A παα??∠=∈ ???
，在ACD △中，由正弦定理得：()2sin 150sin b αα=?-，
所以()
2sin 1501
sin tan b αα
α
?-=
=+，
在直角ABC 中，tan a b α=?，
所以(1tan tan 4tan tan a b ααααα??==+
?+=
44≥+=+
an α=，即4πα=时取等号，
故选：B
【点睛】
本题主要考查正弦定理和基本不等式的解三角形中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】先求出和恒成立时的范围然后根据充分条件的定义求解【详解】在上恒成立则解得在上恒成立首先都不可能恒成立因此解得∵对于一切实数x 是对于一切实数x 的充分条件∴解得故答案为：【点睛】思路点睛：本题考 解析：[6,)+∞
【分析】
先求出()0f x >和()0>g x 恒成立时a 的范围，然后根据充分条件的定义求解． 【详解】
()0f x >在R 上恒成立，则2(1)40a ?=--<，解得13a -<<，
()0>g x 在R 上恒成立，首先0m ≤都不可能恒成立，因此22
40m a m >???=-
，解得22
m m
a -
<<， ∵“对于一切实数x ，()0f x >”是“对于一切实数x ，()0g x >”的充分条件，
∴12320m
m
m ?-≤-???≥??>???
，解得6m ≥． 故答案为：[6,)+∞．
【点睛】
思路点睛：本题考查一元二次不等式恒成立问题，考查由充分条件求参数范围，一元二次不等式恒成立问题，注意讨论最高次项系数（若最高次项系数为0，则不等式不是二次不等式），充分条件与必要条件问题可以利用集合的包含关系进行求解．
14．【分析】换元判定单调性利用基本不等式求解【详解】令则在为增函数在在为减函数从而当且仅当时取等号故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就
解析：9
4
【分析】
换元判定单调性，利用基本不等式求解 【详解】
令y t x =，则 2
22
44xy y t t x
+=+在()0,∞+为增函数， 2221611
1616x xy y t t
+=+在在()0,∞+为减函数，
从而2
2
1119
42164
t t t t μ??≥+++≥ ??
?
， 当且仅当1
2
t =
时取等号.
故答案为：94
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
15．【分析】由题意可得在恒成立运用参数分离和讨论结合恒成立思想和不等式的解法即可得到所求范围【详解】函数对任意恒成立即有即有在恒成立当时由于不满足题意；当时由于可得解得或即有成立则的取值范围是故答案为： 解析：(,1)-∞-
【分析】
由题意可得2
1
2ax a a
<+
在[2，)+∞恒成立，运用参数分离和讨论0a >，0a <，结合恒成立思想和不等式的解法，即可得到所求范围． 【详解】 函数4
()f x x x
=-，对任意[2x ∈，)+∞，()()0f ax af x +<恒成立， 即有440a ax ax ax x
-
+-<， 即有2
12ax a a ??<+ ??
?在[2，)+∞恒成立，
当0a >时，2
2121x a ??<+ ???，由于2[4x ∈，)+∞，不满足题意；
当0a <时，2
2121x a ??>+ ???，由于2[4x ∈，)+∞，可得21214a ??+< ???，
解得1a >或1a <-，即有1a <-成立． 则a 的取值范围是(,1)-∞-． 故答案为：(,1)-∞-． 【点睛】
本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和单调性，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．
16．【分析】化简得到结合基本不等式即可求解【详解】由可得则当且仅当时即等号成立所以的最小值为故答案为：【点睛】利用基本不等式求最值时要注意其满足的三个条件：一正二定三相等：（1）一正：就是各项必须为正数 解析：3
【分析】 化简得到111111
x x x x +=-++--，结合基本不等式，即可求解. 【详解】
由1x >，可得10x ->，则11111311x x x x +=-++≥=--， 当且仅当1
11
x x -=-时，即2x =等号成立， 所以1
1
x x +
-的最小值为3. 故答案为：3. 【点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”： （1）“一正”：就是各项必须为正数；
（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
17．【分析】根据可得代入利用基本不等式可求解【详解】由可知即故即则故答案为：【点睛】本题考查由函数关系得参数关系考查根据基本不等式求最值属于中档题 解析：()2,+∞
【分析】
根据()()f a f b =可得2ln 2a b +=，代入ln 2ln 2
a b
+，利用基本不等式可求解. 【详解】
由()()f a f b =可知44a
b
a b
e e e e +
=+， 即()4441a
b
a b a b a b
e e e e e e e
+?
?-+-=--= ?
??()40a b
a b a b e e e e ++??--= ???
， 故4a b e +=，即2ln 2a b +=，则ln 2ln 21222b a a b a b ??
+=++> ???
. 故答案为：()2,+∞. 【点睛】
本题考查由函数关系得参数关系，考查根据基本不等式求最值，属于中档题.
18．k<-1或k>1【分析】利用定义先求出函数为单调减函数与奇函数然后化简得到然后利用不等式得恒成立条件求出答案【详解】对于函数定义域为且所以
为奇函数且对求导可得则在时为减函数可得利用为奇函数化简得利用
解析：k <-1或k >1.
【分析】
利用定义，先求出函数()f x 为单调减函数与奇函数，然后化简
()()2223220f t t f k t ++-<得到222t t k --<，然后利用不等式得恒成立条件求出答案
【详解】
对于函数()f x ，定义域为R ，且()12122
x x f x ---+-=+1122222
x
x
x x +-+=+()1
2122x x f x +-==-+，所以，()f x 为奇函数，且对()f x 求导可得()'
0f
x <，则()f x 在x ∈R 时为减函数，
()()2223220f t t f k t ++-<，可得()()222322f t t f k t +<--，利用()f x 为奇函数
化简得(
)(
)2
22
322f t t f t k
+-<，利用()f x 在x ∈R 时为减函数，得
222322t t t k +->，化简得222t t k --<恒成立，令()2
2g t t t =--，则有
()2max g t k <，
而()()max 11g t g =-=，所以21k <，得到1k >或1k <- 答案：1k >或1k <- 【点睛】
本题考查函数的单调性、奇偶性以及不等式的恒成立问题，属于中档题
19．16【分析】本题先判断再求函数的最小值即可【详解】解：∵∴∴当且仅当即时取等号∴函数的最小值是16故答案为：16【点睛】本题考查基本不等式求最值是基础题
解析：16 【分析】
本题先判断40x >，160x
>，再求函数()16
4f x x x =+的最小值即可.
【详解】
解：∵ 0x >，∴ 40x >，16
0x
>， ∴ ()
16416f x x x
=+≥=， 当且仅当16
4x x
=
即2x =时，取等号， ∴ 函数()16
4f x x x
=+的最小值是16.
故答案为：16. 【点睛】
本题考查基本不等式求最值，是基础题.
20．【分析】根据题中所给的式子结合已知条件将式子进行整理结合绝对值的意义以及基本不等式求得结果【详解】由已知有：当且仅当时等号成立即故答案为：【点睛】该题考查的是有关求最值的问题涉及到的知识点有基本不等 解析：2020
2019
-
【分析】
根据题中所给的式子，结合已知条件，将式子进行整理，结合绝对值的意义以及基本不等式求得结果. 【详解】 由已知有：
22212020202020202020a a a a b a b a b a b a a b ++=+=++
212020≥-
+ 22
114039
2202020202020
=-
+?=， 当且仅当0a <，2
2020a b
a b
=时，等号成立. 即2
2
2
2020
2019
2020a a b ?=-=. 故答案为：2020
2019
-. 【点睛】
该题考查的是有关求最值的问题，涉及到的知识点有基本不等式，属于简单题目.
三、解答题 21．无 22．无 23．无 24．无
25．无26．无
第6讲 分式方程 表头加底纹注意事项：只是章首页考纲要求 命题趋势 1．理解分式方程的概念，会解可化为一元一次(二次)方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)，知道解分式方程的基本思想是把分式方程化为整式方程． 2．了解解分式方程产生增根的原因，能解决有关字母系数的问题． 3．会列分式方程解决实际问题. 中考中多以选择题、填空题、解答题的形式考查以下几点：(1)找分式方程的最简公分母，将分式方程化成整式方程；(2)已知方程有增根，确定有关字母的值；(3)解分式方程．列分式方程解决实际问题是中考的重点. 知识梳理 一、分式方程 1．分母里含有________的有理方程叫做分式方程． 2．使分式方程分母为零的未知数的值即为__________；分式方程的增根有两个特征： (1)增根使__________为零； (2)增根是分式方程化成的__________方程的根． 二、分式方程的基本解法 解分式方程的一般步骤： (1)去分母，把分式方程转化为__________方程． (2)解这个整式方程，求得方程的根． (3)检验，把解得整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为零，则它不是原方程的根，而是方程的__________，必须舍去；如果使最简公分母不为零，则它是原分式方程的根． 三、分式方程的实际应用 分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验： (1)检验所求的解是否是所列分式方程的解； (2)检验所求的解是否符合实际． 自主测试 1．分式方程32x －4－x x －2＝12 的解为( ) A ．x ＝52 B ．x ＝53 C ．x ＝5 D ．无解 2．货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，那么两车的速度各为多少？设货车的速度为x 千米/时，依题意列方程正确的是 ( ) A ．25 x ＝35x －20 B ．25x －20＝35x C ．25x ＝35x ＋20 D ．25x ＋20＝35x 3．已知关于x 的分式方程a ＋2x ＋1＝1的解是非正数，则a 的取值范围是__________． 考点一、分式方程的解法 【例1】解方程：x ＋12x ＝x ＋13 .
主讲：黄冈中学高级教师 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式
法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)； (2)； (3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，
湖北省黄冈中学人教版七年级上册数学期末试卷及答案百度文库 一、选择题 1．下列方程中，以3 2 x =-为解的是（ ） A ．33x x =+ B ．33x x =+ C ．23x = D ．3-3x x = 2．如图，直线AB ⊥直线CD ，垂足为O ，直线EF 经过点O ,若35BOE ∠=，则 FOD ∠=( ) A ．35° B ．45° C ．55° D ．125° 3．下列判断正确的是（ ） A ．有理数的绝对值一定是正数． B ．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等． C ．如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身． D ．如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数． 4．下列每对数中，相等的一对是（ ） A ．（﹣1）3和﹣13 B ．﹣（﹣1）2和12 C ．（﹣1）4和﹣14 D ．﹣|﹣13|和﹣（﹣ 1）3 5．计算32a a ?的结果是（ ） A ．5a ； B ．4a ； C ．6a ； D ．8a ． 6．将图中的叶子平移后，可以得到的图案是() A ． B ． C ．
D ． 7．下列分式中，与2x y x y ---的值相等的是() A ．2x y y x +- B ．2x y x y +- C ．2x y x y -- D ．2x y y x -+ 8．如图，直线AB ∥CD ，∠C ＝44°，∠E 为直角，则∠1等于（ ） A ．132° B ．134° C ．136° D ．138° 9．下列日常现象：①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程；③体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩；④建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙．其中，可以用“两点确定一条直线”来解释的现象是( ) A ．①④ B ．②③ C ．③ D ．④ 10．以下调查方式比较合理的是（ ） A ．为了解一沓钞票中有没有假钞，采用抽样调查的方式 B ．为了解全区七年级学生节约用水的情况，采用抽样调查的方式 C ．为了解某省中学生爱好足球的情况，采用普查的方式 D ．为了解某市市民每天丢弃塑料袋数量的情况，采用普查的方式 11．下列式子中，是一元一次方程的是（ ） A ．3x+1=4x B ．x+2＞1 C ．x 2－9=0 D ．2x －3y=0 12．方程312x -=的解是（ ） A ．1x = B ．1x =- C ．13 x =- D ．13 x = 13．某中学进行义务劳动，去甲处劳动的有30人，去乙处劳动的有24人，从乙处调一部分人到甲处，使甲处人数是乙处人数的2倍，若设应从乙处调x 人到甲处，则所列方程是（ ） A ．2（30+x ）＝24﹣x B ．2（30﹣x ）＝24+x C ．30﹣x ＝2（24+x ） D ．30+x ＝2（24﹣x ） 14．正方形ABCD 的轨道上有两个点甲与乙，开始时甲在A 处，乙在C 处，它们沿着正方形轨道顺时针同时出发，甲的速度为每秒1 cm ，乙的速度为每秒5 cm ，已知正方形轨道
一元二次方程求根公式标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]
主讲：黄冈中学高级教师 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式 法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。
(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为 ，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实 根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)； (2)； (3).
黄冈中学2006年秋季七年级数学期中考试试题 （分数：120分时间：120分钟） 命题：李琳胡晓英校对：方诚余燕 一、填空题（每小题3分，共30分） 11．下列各数中： 5 3 -， . 3.3 -，0， 3.14 -，4 +，1 -， 22 7 ．整数有a个，负数有 b个，则a+b等于（） A．5 B．6 C．7 D．8 12．把数轴上表示4的点沿数轴移动5个单位后所得的点所表示的数为( ) A．9 B．－1 C．9或－1 D．－9或1
13．有理数a b 、在数轴上的位置如图所示，下列各式错误的是（ ） A ．(1)(1)a b --＞0 B ．ab ＜1 C ．a b +＜2 D ．(1)(1)a b ++＞4 14．下列等式变形，正确的是（ ） 2 （1）225332(3)5轾-??+犏臌 ； （2）241310.25()(12 3.75)24283 -?++-?．
22．解方程：（每小题4分，共8分） （1）3(1)2(2)23x x x +--=+； （2）21 534 x x ---=． 试化简：a b c b c a +--+-．
27．（6分）如图摆放在地上的正方体的大小均相等，现在把露在外面的表面涂成红色， 从上向下数，每层正方体被涂成红色的面数分别为： 第一层：侧面个数＋上面个数=1×4＋1=5； 第二层：侧面个数＋上面个数=2×4＋3=11； 第三层：侧面个数＋上面个数=3×4＋5=17； 第四层：侧面个数＋上面个数=4×4＋7=23； …… 根据上述的计算方法，总结规律，并完成下列问题： （1）求第6层有多少个面被涂成了红色？ （2）求第n 层有多少个面被涂成了红色？（用含n 的式子表示） （3）若第m 层有89个面被涂成红色，请你判断这是第几层？并说明理由。 28．（12分）罗田县是有名的“板栗之乡”，在板栗丰收的季节，某食品加工厂收购了15吨 板栗，若在市场上销售，每吨利润为500元；若将板栗进行粗加工，每天可以加工2吨，每吨利润为1000元；若进行精加工，每天可以加工1吨，每吨利润为1400元。由于受条件限制，在同一天中只能采用一种方式加工，并必须在12天内全部加工完毕。为此该厂设计了三种加工方案： 方案一：将板栗全部进行粗加工； 方案二：尽可能多的对板栗进行精加工，其余的在市场上直接销售； 方案三：部分板栗进行精加工，其余的板栗进行粗加工，并恰好用12天完成。 你认为选择哪种方案获利最多？为多少？试说明理由． 第一层 第二层 第三层
黄冈中学秋季七年级数学期中考试试题 （分数：120分 时间：120分钟） 一、填空题（每小题3分，共30分） 1．－3的相反数为 ；－1.5的倒数为 ； 35 ． 2．零下５℃比零下８℃低 ℃；将收入200元记作：＋200，则支出150元记作： ；某天白天的平均气温为５℃，夜晚平均气温比白天下降了８℃，则夜晚的平均气温为 ℃． 3．废旧电池对环境的危害十分大，一粒纽扣电池能污染600立方米的水（相当于一个人一生的饮水量）．我校七年级有6个班，每班60人，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，且没有回收，那么我们年级学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水用科学记数法表示为 立方米． 4．若单项式14 13 x a b 与2146x a b 的和仍为单项式，则x ＝ ． 5．若31 520a b ，则3(65)6(65) 2(65)a b a b a b ＝ ． 6．若ｙ＝－３是方程2 (51)40my m y 的解，则ｍ＝ ． 7．已知3,2x y ，且x y y x ，则x y 的值为 ． 8．已知2 (1)(1)8 0m x m x 是关于x 的一元一次方程，则m x 的值为 ． 9．已知方程 115 2()6 2006 6 x ，则代数式2 11545()2006 x = ． 10．我们平常的数都是十进制数，如3 2 2639 210610310+9，表示十进制的数 要用10个数码（也叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子数字计算机中用二进制，只要两个数码0和1．如二进制数2110112021 5，故二进制的 101等于十进制的数5；43 2 10111 120212121=23，故二进制的 10111等于十进制的数23．那么二进制的110111等于十进制的数 ． 二、选择题（每小题3分，共30分） 11．下列各数中：53 ，.3.3，0， 3.14，4，1，22 7．整数有a 个，负数有 b 个，则a+b 等于（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 12．把数轴上表示4的点沿数轴移动5个单位后所得的点所表示的数为( ) A ．9 B ．－1 C ．9或－1 D ．－9或1 13．有理数a b 、在数轴上的位置如图所示，下列各式错误的是（ ）
八年级数学期末考试试题 一、填空题（共10小题，每小题3分，共30分） 12 ，则x 的取值范围是 . 2．在实数范围内分解因式325a ab -= . 3．一元一次方程0.310x -=的解是直线0.31y x =-与 轴交点的 坐标. 4．当m 时，代数式 . 5．已知一元二次方程23410x x --=的两根为12,x x ，则12x x += ，12x x = . 6．已知13x <<= . 7．若222x x +-，则x = . 8．设 a b c = = = ，则,,a b c 从小到大的顺序是 . 9．三个连续奇数的平方和等于155，这三个奇数依次是 . 10．若一个等腰三角形的两边a, b 都满足|2|0a b -=，则该三角形的周长 是 . 二、选择题（11~16为单选题，每小题3分，17~19为多选题，每小题4分，共30分） 11．已知函数y b =+的图象过点12(1,),(2,)A y B y -（b 为实常数），则1y 与2y 的关系 是（ ） A ．12y y < B ．12y y > C ．12y y ≤ D ．12y y ≥ 12．直线3 65 y x =-+和直线2y x =-与y 轴围成的三角形的面积是（ ） A ．20 B ．10 C ．40 D ．12 13．若ABC ?的三边a 、b 、c 满足2226a b +=+ABC ?是 （ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．不等边三角形 14．关于x 的一元二次方程2(21)0mx m x m +++=有实数根，则（ ） A ．14 m >- B ．104 m m >-≠且 C ．104m m -≠且≥ D ．14 m -≤
第二单元 方程(组)与不等式(组) 第5讲 一次方程(组 ) 考纲要求 命题趋势 1．了解等式、方程、一元一次方程和二元一次方程(组)的概念，掌握等式的基本性质． 2．掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法． 3．会列方程(组)解决实际问题. 一元一次方程在各省市的中考试题中体现的不突出，个别省市仅以填空题、选择题、列方程解应用题的方式出现．二元一次方程组在中考中一般以填空题、选择题考查定义与解法，以解答题考查列方程组解应用题. 知识梳理 一、等式及方程的有关概念 1．等式及其性质 (1)用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式． (2)等式的性质：等式两边加(或减)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能是0)，所得结果仍是等式． 2．方程的有关概念 (1)含有未知数的等式叫做方程． (2)方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，一元方程的解，也叫它的根． (3)解方程：求方程解的过程叫做解方程． 二、一元一次方程 1．只含有______未知数，并且未知数的最高次数都是____，系数不等于零的______方程叫做一元一次方程，其标准形式为__________，其解为x ＝______. 2．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)________；(3)移项；(4)____________；(5)未知数的系数化为1. 三、二元一次方程组的有关概念 1．二元一次方程 (1)概念：含有______未知数，并且未知数的项的次数都是____，这样的整式方程叫做二元一次方程． (2)一般形式：ax ＋by ＝c (a ≠0，b ≠0)． (3)使二元一次方程两边的值______的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． (4)解的特点：一般地，二元一次方程有无数个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集． 2．二元一次方程组 (1)概念：具有相同未知数的______二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组． (2)一般形式：? ???? a 1x ＋ b 1y ＝ c 1， a 2x ＋ b 2y ＝ c 2(a 1，a 2，b 1，b 2均不为零)． (3)二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的________，叫做二元一次方程组的解． 四、二元一次方程组的解法 解二元一次方程组的基本思想是______，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有______消元法和__________消元法． 1．用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤
初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 1 绝对值： ⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?-<<；||(0)x a a x a >>?<-或x a > 2 乘法公式： ⑴平方差公式：22 ()()a b a b a b -=+- ⑵立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ ⑷完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+， 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++ ⑸完全立方公式：33223()33a b a a b ab b ±=±+± 3 分解因式： ⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。 ⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。 4 一元一次方程： ⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。 ⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 ⑶关于方程ax b =解的讨论 ①当0a ≠时，方程有唯一解b x a = ； ②当0a =，0b ≠时，方程无解 ③当0a =，0b =时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。 5 二元一次方程组： （1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。 （2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 （3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 （4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。
2020-2021湖北省黄冈中学初一数学上期中试卷(带答案) 一、选择题 1．﹣3的绝对值是（） A．﹣3B．3C．-1 3 D． 1 3 2．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为（） A．35°B．45°C．55°D．65° 3．下列各数中，比-4小的数是（） A． 2.5 -B．5-C．0D．2 4．一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即1.496亿km．用科学记数法表示1.496亿是（） A．7 1.49610 ?B．7 14.9610 ?C．8 0.149610 ?D．8 1.49610 ? 5．下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（）. A．B．C．D． 6．已知∠1=18°18′，∠2=18.18°，∠3=18.3°，下列结论正确的是（） A．∠1=∠3 B．∠1=∠2C．∠2=∠3D．∠1=∠2=∠3 7．一个多项式加上3y2－2y－5得到多项式5y3－4y－6，则原来的多项式为（）． A．5y3+3y2+2y－1B．5y3－3y2－2y－6C．5y3+3y2－2y－1D．5y3－3y2－2y－1 8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（） A．a+b=0 B．b＜a C．ab＞0 D．|b|＜|a| 9．已知x＝2是关于x的一元一次方程mx+2＝0的解，则m的值为（） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 10．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．
黄冈市启黄中学2011年秋季七年级数学期末考试试题 满分： 120分 时间：120分钟 一. 填空题（每小题3分，共24分） 1．在1()2 -- ，1-，0，22-，4(3)-，2--，328-，2 (2)--中，是正有理数的有 个. 2．若2313x y a b +-与53 110 a b - 是同类项，则xy = . 3．若13a +与213 a +互为相反数，则a 的值是____ . 4．如图，将长方形ABCD 沿AE 折叠，已知60CED '∠=?，则AED ∠的 度数是_______. 5．规定一种新的运算：b a b a 1 1+=?，则=?21____. 6．如果3 (3)16m y m y --++是关于y 的二次三．．． 项式，则m 的值是____. 7. 商品的进价为800元，出售标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折 销售，但要保证利润率最低为5%，则最多可打____折. 8．若∠MON ＝80°，且OA 平分∠MOP ， OB 平分∠NOP ，当射线OP 在∠MON 外部．．绕 点O 旋转时，∠AOB 度数是__________________. 二. 选择题（每小题3分，共30分） 9．如图1，∠1＋∠2等于（ ） A ．60° B ．90° C ．110° D ．180° 10.一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯 的角度可能是（ ） A ．第一次向右拐80°，第二次向右拐100° B ．第一次向右拐80°，第二次向左拐100° C ．第一次向左拐75°，第二次向左拐75° D ．第一次向右拐50°，第二次向左拐50° 11．如图是一个三棱柱，下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（ ） 12．2009年我省GDP 突破万亿达到10052.9亿元，这意味着安徽已经成为全国GDP 万亿俱乐部的第14 个成员，10052.9亿元用科学记数法表示为（保留三个有效数字）（ ） A ．12 1.0010?元 B ．12 1.00510?元 C ．12 1.0110?元 D ．12 1.0052910?元 (第11题) 1 2 (第9题) （第4题） A ． B ． C ． D ．
2015-2016学年湖北省黄冈中学七年级（上）期中数学试卷 、选择题： （每题3分，共30 分） 1. 0.2的相反数是（ ) C .- 8 - 8=0 D . - 5 - 2=- 3 3?若等式x=y 可以变形为一上，则有（ ） a 3 A . a > 0 B . a v 0 C . a 旳 D . a 为任意有理数 4.如果x=2是方程*x+a= - 1的解，那么a 的值是（ ） A . 0 B . 2 C . - 2 D . - 6 5.下列变形中，不正确的是( ) A . a+ (b+c - d ) =a+b+c - d B . a -( b - c+d ) =a - b+c - d 6 . 2010年5月1日至2010年10月31日期间在上海举行的世界博览会总投资约 450亿元 人民币，其中450亿”用科学记数法表示为（ ）元. 10 9 8 9 A . 4.5 XI0 B . 4.5 XI0 C . 4.5X10 D . 0.45 X10 7.若-3x 2m y 3与2x 4y n 是同类项，那么m - n=( ) A . 0 B . 1 C . - 1 D . - 2 &已知代数式x+2y 的值是3，则代数式2x+4y+1的值是（ ） A . 1 B . 4 C . 7 D .不能确定 9.在数轴上表示a , b 两个实数的点的位置如图所示，则化简 |a+b|- |a - b|的结果为（ ） ■ ||丁 3 0 ? A . 2a B . 2b C . 2a - 2b D . - 2b 10 .若当x=3时，代数式ax 5+bx 3+cx - 10的值为3,则当x= - 3时，该多项式的值是 （ ） A. - 3 B . - 7 C . - 13 D . - 23 、填空题（每题 3分，共30 分） 2?下列计算正确的是( 3 2 A . 2 =6 B . - 4= — 16 C . a - b -( c - d ) =a - b - c - d D . a+b - (- c - d ) =a+b+c+d
一元二次方程求根公式公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-
主讲：黄冈中学高级教师 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入 (≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；
一元二次方程求根公式 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
主讲：黄冈中学高级教师 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。
(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往 能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程 ；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若 配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑 运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才 能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)； (2)； (3).
2020-2021湖北省黄冈中学初一数学上期末试卷(带答案) 一、选择题 1．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为( ) A ．x(x －1)＝2070 B ．x(x ＋1)＝2070 C ．2x(x ＋1)＝2070 D ． (1) 2 x x -＝2070 2．下列计算中： ①325a b ab +=；②22330ab b a -=；③224246a a a +=；④33532a a -=；⑤若 0,a ≤a a -=-，错误．． 的个数有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．一条数学信息在一周内被转发了2180000次，将数据2180000用科学记数法表示为 （ ） A ．2.18× 106 B ．2.18×105 C ．21.8×106 D ．21.8×105 4．下列各式的值一定为正数的是( ) A ．(a +2)2 B ．|a ﹣1| C ．a +1000 D ．a 2+1 5．一家商店将某种服装按照成本价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？设这种服装每件的成本是x 元，则根据题意列出方程正确的是( ) A ．0.8×(1+40%)x =15 B ．0.8×(1+40%)x ﹣x =15 C ．0.8×40%x =15 D ．0.8×40%x ﹣x =15 6．某商场购进一批服装，每件进价为200元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利20%，则该服装标价是( ) A ．350元 B ．400元 C ．450元 D ．500元 7．点C 是线段AB 上的三等分点，D 是线段AC 的中点，E 是线段BC 的中点，若 6CE =，则AB 的长为（ ） A ．18 B ．36 C ．16或24 D ．18或36 8．某种商品的标价为120元，若以九折降价出售，相对于进价仍获利20%，则该商品的进 价是（ ）. A ．95元 B ．90元 C ．85元 D ．80元 9．在下列变形中，错误的是（ ） A ．（﹣2）﹣3+（﹣5）＝﹣2﹣3﹣5 B ．（ 37﹣3）﹣（37﹣5）＝37﹣3﹣3 7 ﹣5 C ．a +（b ﹣c ）＝a +b ﹣c D ．a ﹣（b +c ）＝a ﹣b ﹣c 10．如图，每个图案均由边长相等的黑、白两色正力形按规律拼接面成，照此规律，第n
期末测试（一） 一、选择题。 1．在下列四个实数中，最大的数是( ) A.-3 B．0 D. 2．如图，数轴上有三个点A、B、C，若点A、B 表示的数互为相反数，则图中点C 对应的数是( ) A.-2 B.0 C.1 D.4 3．如图是由5 个相同的正方体搭成的几何体，从正面看，所看到的图形是( ) A. B. D. 4．如果以x=-5 为方程的解构造一个一元一次方程，那么下列方程中不满足要求的是( ) A.x+5=0 B.x-7= -12 C.2x+5= -5 D. 5．已知∠1：∠2：∠3=2：3：6，且∠3 比∠1 大60°，则∠2=( ) A.10° B.60° C.45° D.80° 6．在一条直线上顺次取A、B、C 三点，使得AB=5 cm，BC=3 cm，如果O 是线段AC 的中点，那么线段OB 的长度是( ) A．0.5 cm B．1 cm C．1.5 cm D．2 cm 7．下列运算中，正确的是( ) A.3a-a=2 B.2ab+3ba= 6ab C.( -6)÷(-2)=-3 D. 8．如图，∠AOB= 90°，∠BOC= 40°，OD 平分∠AOC，则∠BOD 的度数是( ) A.25° B.30° C.40° D.60° 9．已知方程2x+k=5 的解为正整数，则k 所能取的正整数为( ) A.1 B.1 或3 C．3 D．2 或3 10．小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过5 吨，每吨水费x 元；超过5 吨，超过部分每吨加收2 元，小明家今年5 月份用水9 吨，缴纳水费44 元，根据题意列出关于x 的方程正确的是( ) A.5x+4(x+2)=44 B.5x+4(x-2)=44 C.9(x+2)=44 D.9(x+2)-4x2= 44 二、填空题。 11.计算= ．
一元二次方程求根公 式 Revised on November 25, 2020
主讲：黄冈中学高级教师 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。
(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往 能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程 ；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若 配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑 运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才 能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)； (2)； (3).
一元一次方程应用题归类汇集 一、列方程解应用题的一般步骤（解题思路） （1）审—审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）． （2）设—设出未知数：根据提问，巧设未知数． （3）列—列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系 列出方程． （4）解——解方程：解所列的方程，求出未知数的值． （5）答—检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际， 检验后写出答案．（注意带上单位） 二、一般行程问题（相遇与追击问题） 1.行程问题中的三个基本量及其关系： 路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间 2.行程问题基本类型 （1）相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 （2）追及问题： 快行距－慢行距＝原距 1、从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速 度为每小时40千米，设甲、乙两地相距x 千米，则列方程为 。 解：等量关系 步行时间－乘公交车的时间＝3.6小时 列出方程是：6.340 8=-x x 2、某人从家里骑自行车到学校。若每小时行15千米，可比预定时间早到15分钟；若每小时行9千 米，可比预定时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？ 解：等量关系 ⑴ 速度15千米行的总路程＝速度9千米行的总路程 ⑵ 速度15千米行的时间＋15分钟＝速度9千米行的时间－15分钟 提醒：速度已知时，设时间列路程等式的方程，设路程列时间等式的方程。 方法一：设预定时间为x 小/时，则列出方程是：15（x －0.25）＝9（x ＋0.25） 方法二：设从家里到学校有x 千米，则列出方程是：60 159601515-=+x x 3、一列客车车长200米，一列货车车长280米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车 车尾完全离开经过16秒，已知客车与货车的速度之比是3：2，问两车每秒各行驶多少米？ 提醒：将两车车尾视为两人，并且以两车车长和为总路程的相遇问题。 等量关系：快车行的路程＋慢车行的路程＝两列火车的车长之和 设客车的速度为3x 米/秒，货车的速度为2x 米/秒，则 16×3x ＋16×2x ＝200＋280 4、与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。行人的速度是每小时3.6km ， 骑自行车的人的速度是每小时10.8km 。如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是22秒，通过骑自行车的人的时间是26秒。⑴ 行人的速度为每秒多少米？ ⑵ 这列火车的车长是多少米？
黄冈中学2012年秋季七年级数学期中考试试题 （分数：120分 时间：120分钟） 一、填空题（每小题3分，共30分） 1．－3的相反数为 ；－1.5的倒数为 ；35-+-= ． 2．零下５℃比零下８℃低 ℃；将收入200元记作：＋200，则支出150元记作： ；某天白天的平均气温为５℃，夜晚平均气温比白天下降了８℃，则夜晚的平均气温为 ℃． 3．废旧电池对环境的危害十分大，一粒纽扣电池能污染600立方米的水（相当于一个人一生的饮水量）．我校七年级有6个班，每班60人，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，且没有回收，那么我们年级学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水用科学记数法表示为 立方米． 4．若单项式14 13 x a b +与2146x a b -的和仍为单项式，则x ＝ ． 5．若31520a b -++=，则3(65)6(65)2(65)a b a b a b ---+-＝ ． 6．若ｙ＝－３是方程2 (51)40my m y -+-=的解，则ｍ＝ ． 7．已知3,2x y ==，且x y y x -=-，则x y +的值为 ． 8．已知2 (1)(1)80m x m x ---+=是关于x 的一元一次方程，则m x +的值为 ． 9．已知方程1152()620066x --=，则代数式2 11545()2006 x --= ． 10．我们平常的数都是十进制数，如3 2 2639210 610310+9=???，表示十进制的 数要用10个数码（也叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子数字计算机中用二进制，只要两个数码0和1．如二进制数2 1101120215=??=，故二进制的101等于十进制的数5；4 32 1011112 0212121=????=23，故二进制的 10111等于十进制的数23．那么二进制的110111等于十进制的数 ． 二、选择题（每小题3分，共30分） 11．下列各数中：53 -，.3.3-，0， 3.14-，4+，1-，22 7．整数有a 个，负数有 b 个，则a+b 等于（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 12．把数轴上表示4的点沿数轴移动5个单位后所得的点所表示的数为( ) A ．9 B ．－1 C ．9或－1 D ．－9或1 13．有理数a b 、在数轴上的位置如图所示，下列各式错误的是（ ）