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高数第一章习题

高等数学第一章习题

一、填空

1.设)(x f y =的定义域是]1,0(，x x ln 1)(-=?，则复合函数)]([x f y ?=的定义域为),1[e

2. 设)(x f y =的定义域是[1,2],则)1

(

+x f 的定义域 [-1/2,0] 。 3.设??

?≤<-≤≤=2

)(x x x f ，则)2(x f 的定义域 [0，1] 。

5.设)(x f 的定义域为)1,0(，则)(tan x f 的定义域 Z k k k x ∈+

∈,)4

,(π

ππ

6. 已知21)]([,sin )(x x f x x f -==φ，则)(x φ的定义域为 22≤≤-x 。

7. 设()f x 的定义域是[]0,1,则()x f e 的定义域(,0]-∞

8.设()f x 的定义域是[]0,1,则(cos )f x 的定义域2,22

2k k π

πππ??

???

9. x

sin lim

x ∞→＝ 0

10.()()()=+-+∞→176

1125632lim x x x x 176

3。

11.x

x x

)21(lim -∞

→＝ 2e -

12.当∞→x 时，

是比3+x 13.当0→x 时，1132-+ax 与1cos -x 为等价无穷小，则=a 2

14.若数列}{n x 收敛，则数列}{n x 是否有界有界。 15.若A x f x x =→)(lim 0

（A 为有限数），而)(lim 0

x g x x →不存在，

则)]()([lim 0

x g x f x x +→ 不存在。

16.设函数)(x f 在点0x x =处连续，则)(x f 在点0x x =处是否连续。（不一定） 17.函数2

++-=

x x x y 的间断点是－1、－2 18. 函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在该点处有定义的充分条件；函数)(x f 在0x 处有定义是)(x f 在该点处有极限的无关条件。（填：充要，必要，充分，既不充分也不必要，无关）。 19.函数左右极限都存在且相等是函数极限存在的充要条件，是函数连续的必要条件。（填：充分、必要、充要、既不充分也不必要）

21.函数x

y 1

在区间[)2,1内的最小值是不存在 22.已知??

???≥+-<+=0,230

,)1ln(2sin )(2x k x x x x x

x f 在x ＝0处连续，则k ＝ 2 。

23.设)(x f 处处连续，且3)2(=f ，则 )2sin (3sin lim

f x x x →＝ 9

24.a x =是a

x a x y --=

的第 1 类间断点，且为跳跃间断点.

25.0=x 是x

y 1

cos

=的第 2 类间断点，且为振荡间断点. 26．设函数????

????<+=>+=--1 ,1b 1

,1,)1(1)(2

)1(1

x x x a x e x x f x ,当=a 0 ，=b －1 时，函数)(x f 在点x=1处连续.

27.在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内：

（1）数列{}n x 有界是数列{}n x 收敛的必要条件。数列{}n x 收敛是数列{}n x 有界的充分条件。

（2）()f x 在0x 的某一去心邻域内有界是0

lim ()x x f x →存在的必要条件。

lim ()x x f x →存在是()f x 在0x 的某一去心邻域内有界的充分条件。

（3）()f x 在0x 的某一去心邻域内无界是0

lim ()x x f x →=∞存在的必要条件。0

lim ()x x f x →=∞存在是

()f x 在0x 的某一去心邻域内无界的充分条件。

二、选择

1.如果0

lim ()x x f x →+

与0

lim ()x x f x →-

存在，则（ C ）.

（A ）0

lim ()x x

f x →存在且00

lim ()()x x

f x f x →=

（B ）0

lim ()x x

f x →存在但不一定有00

lim ()()x x

f x f x →=

（C ）0

lim ()x x

f x →不一定存在

（D ）0

lim ()x x

f x →一定不存在

2.如果()∞=→x f x x 0

lim ，()∞=→x g x x 0

lim ，则必有（ D ）。

A 、()()[]∞=+→x g x f x x 0

lim B 、()()[]0lim 0

=-→x g x f x x

C 、()()

lim

=+→x g x f x x D 、()∞=→x kf x x 0

lim （k 为非零常数）

3.当∞→x 时，arctgx 的极限（ D ）。 A 、2

B 、2

= C 、∞= D 、不存在，但有界

4.1

1lim

--→x x x （ D ）。

A 、1-=

B 、1=

C 、=0

D 、不存在 5.当0→x 时，下列变量中是无穷小量的有（ C ）。 A 、x 1sin

B 、x

x sin C 、12--x

D 、x ln 6. 下列变量在给定的变化过程中是无穷大量的有（ A ）。

A 、(

)

→0lg x x B 、()1lg →x x C 、1

+x x ()+∞→x D 、()

-→01

x e x

7.无穷小量是（ C ）.

（A ）比0稍大一点的一个数（B ）一个很小很小的数（C ）以0为极限的一个变量（D ）常数0 8. 如果)(),(x g x f 都在0x 点处间断，那么（ D ）

（A ）)()(x g x f +在0x 点处间断（B ）)()(x g x f -在0x 点处间断（C ）)()(x g x f +在0x 点处连续（D ）)()(x g x f +在0x 点处可能连续。 9.已知0

()

lim

0x f x x

→=，且(0)1f =，那么（ A ）（A ）()f x 在0x =处不连续。（B ）()f x 在0x =处连续。（C ）0

lim ()x f x →不存在。（D ）0

lim ()1x f x →=

10.设2()43x x f x x x

- ，则0

lim ()x f x →为（ D ）

（A ）

12 (B)13 (C) 1

(D)不存在

11.设 ???

??=≠=0

00,|

|)(x x x x

x f 则（ C ）

（A ） )(x f 在0=x 的极限存在且连续；（B ）)(x f 在0=x 的极限存在但不连续；

(C))(x f 在0=x 的左、右极限存在但不相等；（D ）)(x f 在0=x 的左、右极限不存在。 12. 设232)(-+=x

x f ，则当0→x 时，有（ B ）

（A ）)(x f 与x 是等价无穷小；（B ）)(x f 与x 是同阶但非等价无穷小；（C ）)(x f 是比x 高阶的无穷小；（D ）)(x f 是比x 低阶的无穷小。

13.当0→x 时，下列四个无穷小量中，哪一个是比另外三个更高阶的无穷小（ D ）

（A ） 2

x ；（B ） x cos 1-；（C ）112--x ；（D ） x x tan -。

14. 当0→x 时，x

x cos 3arctan 与

是等价无穷小，则：a ＝（ C ）（A ） 1 ；（B ） 2；（C ） 3；（D ）1/2 15下列运算正确的是（ C ）

（A ）01

cos lim 01cos lim sin lim 1cos sin lim 0000=?=?=→→→→x x x x x x x x x

（B ）00lim lim sin tan lim

0303

0==-=-→→→x x x x x

x x x x (C) )100sin (

lim +∞→x x x =100lim sin lim ∞→∞→+x x x

=0 + 100=100 (D) 5

53lim 5sin 3tan lim

==→→x x x x x x ππ 三、基本计算题

（一．求极限） 1. ()

x x x x

x --+-∞

→22

lim

1.解：－1

2. lim

x →+∞

2.解：1

3.2

529lim

--+→x x x

3. 解： 5

12 4.)cos 1(cos 1lim

x x x x --→

4.解：

1 5.)2(sin lim 2

n n n n -++∞

→π

5. 解：π

6.x

x x x cos 1sin )11(lim

0--+→

6.解：1

7.3

032sin sin 2lim x x

x x -→

7.解： 3

8.)

1ln(sin tan lim

30x x

x x +-→

8.解：

9.x

x e e x

x x sin lim sin 0--→ 9.解：1

10.设0→x 时，1cos 1)1(3

12--+x ax 与是等价无穷小，求a 的值 10.解：2

3-=a 11

x →

11 解：－3

12.2

)(sec lim x x x →

12.解：e

13. n

n n n ??

??+∞→1lim

13.解1

-e

14. 121)1

2(lim -→+x x

x x x

14解：e 15.()10lim 0,0,03x x x

x a b c a b c →??

++>>>

???

15.16. x

x x x

)21(lim 1

+∞→

16.解：2

ln 1+e

17.1

1lim

21arctan

t t te

te t

π→+- 17. 解：1 18.)2222

(lim 284

n ∞

→

18.解：2

19.设 ),1,0)(≠>=a a a x f x （求 )]()2()1(ln[1

lim 2

n f f f n n ∞→

19. 解a ln

20. ．??

???--+++++∞→2)1(321(21lim 2n n n n 20. 解： 2

21.

l i n 21.解： 1

22.)2211(lim 222n

n n

n n n ++++++∞→

22.解： 21

23.]1[lim 0x

x x +→ 23.解：1

24.x x x

x 1

)532(lim +++∞

→

24.解：5

25.????

? ??+++→||sin 12lim 41

0x x e e x

x x 25.解： 1

（二．连续与间断）

26.处连续．在之值，使补充定义　0)()0()0()2tan arcsin(

)(=≠=x x f f x x

x f 26.解,6

)(lim 0

→x f x

处连续．在，则补充定义0)(6

)0(==

∴x x f f π

27.指出函数1

2121

+-=

y 的间断点，并判定其类型.

27.解0=x 是函数的第一类间断点（跳跃间断点）。

四、综合计算题

（一．连续与间断） 1．设21()lim

n x

f x x →∞-=+，讨论()f x 在其定义域内的连续性，若有间断点，指出其类型。

1. 解????

?≥<<---=-<=1

1111

0)(x x x x x x f x =－1 是第一类跳跃间断点。

2．设???

????<--≥+=0,0,2

cos )(x x x a a x x x

x f ，试问：a 为何值时，使)(x f 在x ＝0处连续？

2. 解：a ＝1。

3．已知11lim

21=-++→x

ax x x ，求a 与b 的值， 3.解：b ＝2，a ＝－3。

4．讨论函数x

x x x y sin )4(2

2--=的连续性，并指明间断点的种类。

4.解当x ＝－2或0或2时函数无定义故，－2、0、2为间断点

x ＝－2为函数的第二类间断点。 x ＝0为函数的可去间断点。 x ＝2为函数的跳跃间断点。

5．设???

???≤<-+-=-<-=11,arccos 1,

1,1)(2x x a x b x x x f ，应怎样选取数a ，b ，才能使)(x f 在x ＝－1处连续？ 5.解 π-=a ，b ＝0。

6．讨论函数2

22+--=x x x y 的连续性，并指明间断点的种类

6.解当x ＝1或2时函数无定义，故x ＝1和2为函数的间断点， x ＝1为函数的可去间断点。 x ＝2为函数的第二类间断点。 7．求极限 x

t x x t x t sin sin sin sin lim -→?

??，记此极限为)(x f ，求函数)(x f 的间断点并指出其类型。

7. 解：x

e x

f sin )(=

当

2,1,0,±±==k k x π时，函数无定义，所以，是函数)(x f 的间断点，

0=x 是可去间断点；

2,1,±±==k k x π，是第二类间断点。

8．设 ?????<<-+≥=-0

1,)1ln(0,)(11

x x x e x f x ，求函数)(x f 的间断点并指出其类型。

8. 解1=x 是第二类间断点；0=x 是跳跃间断点。 9．1,0)

1)(()(,==---=

x x x a x b

x x f b a ，有可去间断点有无穷间断点的值，使确定

9.解,0=a 1=b

（二．已知某些极限，求另外的极限或常数）

10．若22

2lim 22

x x ax b

x x →++=--，求a ，b 的值 10.解4-=c ， 8,2-==b a

11．已知 4cos 1)(lim 0=-→x x f x ，求x

x x x f 1

0)(1lim ??

? ??

+→。

11. 解：2

12．设 2)13(lim 2

=++-+∞

→bx ax x x ，试确定a 与b 的值。

12. 解： 12,9-==b a

13． ).(,1)

(lim ,2)(lim ,)(023x p x

x p x x x p x p x x 求且是多项式

设==-→∞→ 13.解：x x x x p ++=2

32)(

（三．零点定理、介值定理）

14．设)(x f 在]1,0[上连续。且1)(0<

15.设函数)(x f 在],[b a 上连续，.0,0),,(,>>∈g q b a d c 证明：在],[b a 上至少存在一点ξ，使得

).()()()(ξf g q d gf c qf +=+

15.解：利用最值、介值定理

16．设)(x f 在]3,1[上连续，且3)3()2()1(=++f f f ，则]3,1[∈?ξ，使得1)(=ξf 。 16.解：利用最值、介值定理

六、提高题

（一．求极限）

1．当 1||

x x x x n ++++∞

←

1. 解原式＝x

x x x x x x x x x n

n n n n -=

-+-=-++++-∞←∞←11

1)1)(1(lim 1)1()1)(1)(1)(1(lim 22242 2．设n

x n ++++++++++

= 211

32112111 求n n x ∞→lim

2.解))1(1

321211(lim 2)

1(2lim

lim 1+++?+?=+=∞→=∞→∞

→∑n n k k x n n

k n n n ＝2)111(lim 2=+-∞→n n 3. x

x x x x sin tan )

sin(tan )tan(sin lim

0--→

3.解x x x x x x x x x x x x sin tan )

sin(tan )sin(sin )sin(sin )tan(sin lim sin tan )sin(tan )tan(sin lim 00--+-=--→→

x x x x x x x x x sin tan )sin(tan )sin(sin lim sin tan )sin(sin )tan(sin lim 00--+--=→→

0tan sin lim 212

12tan sin sin

2tan sin cos 2lim 21)(sin 21lim 3030330=-+=-++=→→→x x x x

x x x x x x x x x

（二．零点定理、介值定理）

4．设)(x f 在[0,n ](n 为自然数，n ≥2)上连续，)()0(n f f =，证明：存在],0[1,n ∈+ξξ使

)1()(+=ξξf f 。

4.解设)()1()(x f x f x F -+=，]1,0[-∈n x 且连续，

则：).1()()1(,,)2()3()2(,)1()2()1(,)0()1()0(--=--=-=-=n f n f n F f f F f f F f f F

将以上各式相加得

0)0()()(1

=-=∑-=f n f i F n i ，

另一方面，因为)(x f 连续，所以有，1,,1,0)(-=≤≤n i M i F m

M i F n m M n i F m n n i n i ≤≤≤≤∑∑-=-=1

)(1,)(由介值定理知 ],0[]1,0[n n ?-∈?ξ 使

0)(1)(1

==∑-=n i i F n F ξ 即)1()(+=ξξf f

5．证明：奇次方程012221120=++++++n n n n a x a x a x a 至少有一个实根00≠a 。

5. 证不妨设 00>a ，令12221120)(++++++=n n n n a x a x a x a x f

则)()(1

222101

2+++++++

=n n n n n x a x a x a a x

x f ，-∞=+∞=-∞→+∞→)(lim )(lim x f x f x x ，

0)(,0)(2211>?

012221120=++++++n n n n a x a x a x a 至少有一个实根。

6．设)(x f 在),(b a 内为非负连续函数，b x x x a n <<<<< 21，证明：在),(b a 内存在点ξ，使得

n n x f x f x f f )()()()(21 =ξ

6. 证设)(ln )(x f x F =，)(x F 在],[1n x x 上连续且有最小值m 和最大值M ，即有

M x F m M x F m M x F m n ≤≤≤≤≤≤)(,,)(,)(21 M n

x F x F x F m n ≤+++≤

)

()()(21 由介值定

理知，存在),(],[21b a x x ?∈ξ，使得n

x F x F x F F n )

()()()(21+++= ξ，即

n n x f x f x f f )()()(ln )](ln[21 =ξ，从而n n x f x f x f f )()()()(21 =ξ成立。

高等数学求极限的常用方法附例题和详解

高等数学求极限的14种方法一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和 0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．．时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f

高等数学1(理工类)第1章答案

高等数学第一章习题一、填空 1.设)(x f y =的定义域是]1,0(，x x ln 1)(-=?，则复合函数)]([x f y ?=的定义域为),1[e 2. 设)(x f y =的定义域是[1,2],则)1 1 ( +x f 的定义域 [-1/2,0] 。 3.设?? ?≤<-≤≤=2 11 101 )(x x x f ，则)2(x f 的定义域 [0，1] 。 5.设)(x f 的定义域为)1,0(，则)(tan x f 的定义域 Z k k k x ∈+ ∈,)4 ,(π ππ 6. 已知2 1)]([,sin )(x x f x x f -==φ，则)(x φ的定义域为 22≤≤-x 。 7. 设()f x 的定义域是[]0,1,则()x f e 的定义域(,0]-∞ 8.设()f x 的定义域是[]0,1,则(cos )f x 的定义域2,22 2k k π πππ?? -+ ??? ? 9. x x sin lim x ∞→＝ 0 10.()()()=+-+∞→17 6 1125632lim x x x x 176 5 3。 11.x x x )2 1(lim -∞ →＝ 2 e - 12.当∞→x 时， x 1 是比3-+x 13.当0→x 时，1132-+ax 与1cos -x 为等价无穷小，则=a 2 3- 14.若数列}{n x 收敛，则数列}{n x 是否有界有界。 15.若A x f x x =→)(lim 0 （A 为有限数），而)(lim 0 x g x x →不存在，则)]()([lim 0 x g x f x x +→ 不存在。 16.设函数)(x f 在点0x x =处连续，则)(x f 在点0x x =处是否连续。（不一定） 17.函数2 31 22 ++-= x x x y 的间断点是－1、－2 18. 函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在该点处有定义的充分条件；函数)(x f 在0x 处有定义是)(x f 在该点处有极限的无关条件。（填：充要，必要，充分，既不充分也不必要，无关）。 19.函数左右极限都存在且相等是函数极限存在的充要条件，是函数连续的必要条件。（填：充分、必要、充要、既不充分也不必要）

大学高等数学阶段测验卷

第一章函数与极限阶段测验卷学号班级成绩考试说明：1、请将客观题答案全部填涂在答题卡上，写在试卷上一律无效。 2、请在答题卡上填涂好、班级、课程、考试日期、试卷类型和考号。试卷类型划A;考号为学号的后九个数，请填涂在“考号”的九个空格并划线。 3、答题卡填涂不符合规者，一切后果自负。一．是非判断题(本大题共10题，每题2分，共20分) 1. x y 2cos 1-=与x y sin =是相同的函数. ( ) A 、正确 B 、错误 2. 函数ln(1)y x x =-+在区间(,1)-∞-单调递增.（） A 、正确 B 、错误 3. 函数x y e =在(0,)+∞有界. ( ) A. 正确 B. 错误 4. 设()f x 在[,](0)a a a ->上有定义，则函数1 ()[()()]2 g x f x f x =--是奇函数.（） A. 正确 B. 错误 5. 函数2sin y x =是当0x →时的无穷小.（） A. 正确 B. 错误 6.函数y = 是初等函数.（） A 、正确 B 、错误 7. 当x →∞时，函数22135x y x +=+趋向于1 3 .（） A 、正确 B 、错误 8. 当0x →时，函数2 12 y x = 与1cos y x =-是等价无穷小.（） A 、正确 B 、错误 9. 211lim cos 2 x x x →∞=-（） A 、正确 B 、错误

10. 函数1 (12),0;, 0x x x y e x ?? +≠=??=? 在0x =处连续. ( ) A 、正确 B 、错误二．单项选择题(本大题共12个，每题3分，共36分) 11.函数)5)(2ln(+-=x x y 的定义域为( ). A. 25≤≤-x ; B. 2>x ; C. 2>x 或5-

高等数学下册典型例题精选集合.doc

最新高等数学下册典型例题精选集合第八章多元函数及其微分法最大者泄义域,并在平面上画出泄义域的图形。 A - 77 Z[ = J4x_），的定义域是y 2 < 4x z 2二丿的定义域是从而z = :）-的定义域是Z]=』4x-护与z? = / 1 定义域的公共部分，即 V4x >y>0 x 2 > y>0 例 2 设 z 二 x+y + /(x 一 y),当 y = 0吋 z = ,求 z. 解：代入y = 0时Z = F,得〒=兀+ /（兀），即/（兀）=亍一匕所以 z = (x- y)2 +2y. 2 2 例3求lim —— >4o J ，+)" +1 _ [ lim(Jx 2 + y 2 +1 +1) = 2 XT O V 尸0 例1求函数z 解：此函数可以看成两个函数Z 严』4x-y2与Z2 =的乘积。兀-">0,即兀2 >y >0o y>0 lim (* + )(J 兀2 + y2 + ] 4- 1) 解: XT O 原式=厂0 (J 对 + )厂 +1 -1)( J 兀~ + + ] + 1)

法2化为一元函数的极限计算。令衣+八］=(,则当 x —0, y —?0 吋，t ―> 1 o 『2 _1 原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。 t —I / — ] i ―I 例 4 求 lim r 兀+厂，T() 丿解:法1用夹逼准则。因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以 2 9 0<

而lim凶=0,从而lim| |=0 XT O 2 XT O厂 + \厂〉?T O 〉?T O兀十〉于是lim「1=0 牙-叮兀.+ y 尸0 丿法2利用无穷小与有界函数的乘积是无穷小的性质。因为2|xy|< x2 + y2所以—^― Q +y =lim( AT O 〉?T O 尢y ?x) = 0 例5研究lim^- :护+y 解：取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零 F *+y k yTO 丿的常数，表明原极限不存在。a, 又limx = 0 XT O 〉T() 所以

高等数学第一章练习题答案

第一章练习题一、设()0112>++=?? ? ??x x x x f ，求)(x f 。二、求极限：思路与方法： 1、利用极限的运算法则求极限； 2、利用有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小这一性质； 3、利用两个重要极限：1sin lim 0=→x x x ，e x x x =??? ??+∞→11lim ； 4、利用极限存在准则； 5、用等价无穷小替换。注意：用等价无穷小代替时被代替的应是分子、分母或其无穷小因子。如果分子或分母是无穷小的和差，必须将和差化为积后方可用等价无穷小代替积中的因子部分。 6、利用函数的连续性求极限，在求极限时如出现∞-∞∞ ∞,,00等类型的未定式时，总是先对函数进行各种恒等变形，消去不定因素后再求极限。 7、利用洛比达法则求极限。 1、()()()35321lim n n n n n +++∞ → 2、???? ? ?---→311311lim x x x 3、122lim +∞ →x x x 4、x x x arctan lim ∞ →

5、x x x x sin 2cos 1lim 0-→ 6、x x x x 30 sin sin tan lim -→ 7、()x x 3cos 2ln lim 9 π → 8、11232lim +∞→??? ??++x x x x 三、已知(),0112lim =??? ?????+-++∞→b ax x x x 求常数b a ,。四、讨论()nx nx n e e x x x f ++=∞→12lim 的连续性。五、设()12212lim +++=-∞→n n n x bx ax x x f 为连续函数，试确定a 和b 的值。六、求()x x e x f --=111 的连续区间、间断点并判别其类型。七、设函数()x f 在闭区间[]a 2,0上连续，且()()a f f 20=，则在[]a ,0上至少有一点，使()()a x f x f +=。八、设()x f 在[]b a ,上连续，b d c a <<<，试证明：对任意正数p 和q ，至少有一点[]b a ,∈ξ，使 ()()()()ξf q p d qf c pf +=+

高等数学第一章测试卷

高等数学第一章测试卷(B ) 一、选择题。(每题4分，共20分) 1?假设对任意的 x R ，都有(x) f(x) g(x)，且]im[g(x) (x)] 0，则 lim f (x)() A.存在且等于零 B.存在但不一定为零 C. 一定不存在 D.不一定存在 1 x 2. 设函数f(x) lim 2n ，讨论函数f (x)的间断点，其结论为( ) n 1 x A.不存在间断点 B.存在间断点x 1 C.存在间断点x 0 D.存在间断点x 1 x 2 X 1 3. 函数f (x) 一2 . 1 —2的无穷间断点的个数为( ) X 1 \ x 7.[x]表示取小于等于x 的最大整数，则lim x - x 0 x f(x) asinx A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.设函数f (x)在( )内单调有界, ｛X n ｝为数列，下列命题正确的是( A.若｛x n ｝收敛，则｛ f (x n ) ｝收敛 B.若｛&｝单调，则｛ f (x n ) ｝收敛 0若｛ f (X n ) ｝收敛，则仏｝收敛 D.若｛ f (X n ) ｝单调，则｛X n ｝收敛 5.设｛a n ｝, ｛b n ｝, ｛C n ｝均为非负数列，且 lim n a n 0,lim b n 1,limc n n n ，则() A. a n b n 对任意n 成立 B. b n C n 对任意n 成立 C.极限lim a n C n 不存在 n D. 极限lim b n C n 不存在 n 二、填空题(每题 4分，共 20分) 6.设 X, f (X) 2f (1 X) 2 x 2x , 则 f (X) 8.若 lim]1 X X ( 丄 X a)e x ] 1, 则实数a 9.极限lim X (X 2 X a)(x b) 10.设 f (X)在 x 0处可导, f (0) 0,且f (0) b ，若函数 F(x) 在x 0处连续, 则常数 A

高数典型例题解析

第一章函数及其图形例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（）解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设

解：在令t=cosx-1，得又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有。 5：例 f(2)没有定义。注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有。因此，所给函数是有界的，即应选择B。例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定

高等数学第一章测试题

高等数学第一章测试题一、单项选择题（20分） 1、当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（）不一定是无穷小. (A) ()()x x βα+ (B) ()()x x 22 βα + (C) [])()(1ln x x βα?+ (D) )() (2 x x βα 2、极限a x a x a x -→??? ??1 sin sin lim 的值是（）. （A ） 1 （B ） e （C ） a e cot （D ） a e tan 3、 ??? ??=≠-+=0 01sin )(2x a x x e x x f ax 在0x =处连续，则a =（）. （A ） 1 （B ） 0 （C ） e （D ） 1- 4、函数 ??? ?? ? ???<+<≤>-+=0,sin 1 0,2tan 1,1) 1ln()(x x x x x x x x x f π 的全体连续点的集合是（） (A) (-∞,+∞) (B) (-∞,1) (1,+ ∞) (C) (-∞,0) (0, +∞) (D) (-∞,0) (0,1) (1,+ ∞) 5、设 )1 1( lim 2 =--++∞ →b ax x x x ，则常数a ,b 的值所组成的数组（a ,b ）为（）（A ）（1，0）（B ）（0，1）（C ）（1，1）（D ）（1，-1） 6、已知函数 231 )(2 2 +--= x x x x f ，下列说法正确的是（）。 (A) )(x f 有2个无穷间断点 (B) )(x f 有1个可去间断点，1个无穷间断点 (C) )(x f 有2个第一类间断点 (D) )(x f 有1个无穷间断点，1个跳跃间断

高等数学第一章练习题

第一章函数、极限、连续一、单项选择题 1.区间[a,+∞)，表示不等式（） 2.若 3.函数是（）。（A）偶函数（B）奇函数（C）非奇非偶函数（D）既是奇函数又是偶函数 4.函数y=f(x)与其反函数 y=f-1（x）的图形对称于直线（）。 5.函数 6.函数 7.若数列{x n}有极限a,则在a的ε邻域之外，数列中的点（）（A）必不存在（B）至多只有有限多个（C）必定有无穷多个（D）可以有有限个，也可以有无限多个 8.若数列{ x n }在（a-ε, a+ε）邻域内有无穷多个数列的点，则（），（其中为某一取定的正数）（A）数列{ x n }必有极限，但不一定等于 a （B）数列{ x n }极限存在且一定等于 a （C）数列{ x n }的极限不一定存在（D）数列{ x n }一定不存在极限

9.数列（A）以0为极限（B）以1为极限（C）以（n-2）/n为极限（D）不存在极限 10.极限定义中ε与δ的关系是（）（A）先给定ε后唯一确定δ （B）先确定ε后确定δ，但δ的值不唯一（C）先确定δ后给定ε　（D）ε与δ无关 11.任意给定 12.若函数f（x）在某点x0极限存在，则（）（A） f（x）在 x0的函数值必存在且等于极限值（B） f（x）在x0的函数值必存在，但不一定等于极限值（C） f（x）在x0的函数值可以不存在（D）如果f（x0）存在则必等于极限值 13.如果 14.无穷小量是（）（A）比0稍大一点的一个数（B）一个很小很小的数（C）以0为极限的一个变量（D）0数 15.无穷大量与有界量的关系是（）（A）无穷大量可能是有界量

(完整版)高等数学第一章函数与极限试题2

高等数学第一章函数与极限试题一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有（A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则（A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点（C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1-，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( D ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( C ) A ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e

5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( C )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1(lim ( C ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e 7．极限：∞ →x lim 332x x +=（ A ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0 -+→ =（ C ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞ +→=（ D ） A.0； B.∞； C.2； D. 2 1 ． 10．极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=（ C ） A.0； B.∞； C. 16 1； D.16．二. 填空题 11．极限1 2sin lim 2+∞ →x x x x = 2 . 12. lim 0 →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在点 x 连续，则 f )]()([lim 0→-0 x f x f x x =______f ’(xo)_________； 14. =→x x x x 5sin lim 0_________0.2__； 15. =-∞→n n n )2 1(lim _______e*e__________； 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ，则它的间断点是___________2___1_____

高等数学试题库

高等数学试题库第二章导数和微分一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数

高数第一章综合测试题复习过程

第一章综合测试题一、填空题 1 、函数1()arccos(1) f x x =-的定义域为 . 2、设()2ln f x x =,[()]ln(1ln )f g x x =-, 则()g x = . 3、已知1tan ,0,()ln(1) , 0ax x e e x f x x a x +?+-≠?=+??=? 在0x =连续，则a = . 4、若lim 25n n n c n c →∞+??= ?-?? ，则c = . 5 、函数y =的连续区间为 . 二、选择题 1、设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则（）为奇函数. （A ）[()]g g x （B ）[()]g f x （C ）[()]f f x （D ）[()]f g x 2、设)(x f 在(,)-∞+∞内单调有界， {}n x 为数列，则下列命题正确的是（）. （A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛（B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛（C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛（D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛 3、设21(2)cos ,2,()4 0, 2, x x f x x x ?+≠±?=-??=±? 则()f x （）. （A ）在点2x =，2x =-都连续（B ）在点2x =，2x =-都间断（C ）在点2x =连续，在点2x =-间断（D ）在点2x =间断，在点2x =-连续 4、设lim 0n n n x y →∞ =，则下列断言正确的是（）. （A ）若{}n x 发散，则{}n y 必发散（B ）若{}n x 无界，则{}n y 必有界（C ）若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小（D ）若1n x ?????? 收敛，则{}n y 必为无穷小 5、当0x x →时，()x α与()x β都是关于0x x -的m 阶无穷小，()()x x αβ+是关于0x x -的n 阶无

高等数学第一章测试卷

高等数学第一章测试卷（B ）一、选择题。（每题4分，共20分） 1.假设对任意的∈x R ，都有)()()(x g x f x ≤≤?，且0)]()([lim =-∞→x x g x ?，则)(lim x f x ∞ →（） A.存在且等于零 B.存在但不一定为零 C.一定不存在 D.不一定存在 2.设函数n n x x x f 211lim )(++=∞→，讨论函数)(x f 的间断点，其结论为（） A.不存在间断点 B.存在间断点1=x C.存在间断点0=x D. 存在间断点1-=x 3.函数222111)(x x x x x f +--=的无穷间断点的个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.设函数)(x f 在),(+∞-∞内单调有界，}{n x 为数列，下列命题正确的是（） A.若}{n x 收敛，则｛)(n x f ｝收敛 B.若}{n x 单调，则｛)(n x f ｝收敛 C.若｛)(n x f ｝收敛，则}{n x 收敛 D.若｛)(n x f ｝单调，则}{n x 收敛 5.设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且∞===∞ →∞→∞→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ，则（） A. n n b a <对任意n 成立 B. n n c b <对任意n 成立 C. 极限n n n c a ∞→lim 不存在 D. 极限n n n c b ∞ →lim 不存在二、填空题（每题4分，共20分） 6.设x x x f x f x 2)1(2)(,2-=-+?，则=)(x f ____________。 7.][x 表示取小于等于x 的最大整数，则=??????→x x x 2lim 0__________。 8.若1])1(1[lim 0=--→x x e a x x ，则实数=a ___________。 9.极限=???? ??+-∞→x x b x a x x ))((lim 2 ___________。 10.设)(x f 在0=x 处可导，b f f ='=)0(,0)0(且，若函数?????=≠+=00sin )()(x A x x x a x f x F 在0=x 处连续，则常数=A ___________。

关于高等数学经典方法与典型例题归纳

2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义高职高专类高等数学经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五曲天尧编写一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；

(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22 +- ++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2+++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 + ，最后凑指数部分。【解】22 21212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =?? ? ??-++∞ →x x a x a x ，求a 。 5．用等价无穷小量代换求极限【说明】 (1)常见等价无穷小有：

高等数学习题集答案(第一章)

第一章函数、极限与连续 §1.1函数习题1 1.（1）?? ????+∞-,32，（2）[)(]1,00,1?-，（3）[]2,0，（4）{}0≠x x ，（5）()∞+-.1； 2.（1）不同，（2）不同，（3）相同，（4）不同； 3.单调增加； 4.（1）偶，（2）非奇非偶，（3）非奇非偶，（4）偶，（5）奇； 5.（1）x y 2sin ln =是由,u y =v u ln =，2w v =，x w sin =四个函数复合而成；（2）2arctan x e y =是由u e y =，v u arctan =，2x v =三个函数复合而成；（3）)2ln(cos 2x y +=是由2u y =， v u cos =，w v ln =，x w +=2四个函数复合而成；（4）32cos arctan x e y =是由31u y =，v u arctan =，w v cos =，t e w =，x t 2=五个函数复合而成；（5）)e ln(tan sin 22x x y +=是由u y ln =，v u tan =，w e v =，x x w sin 22+=四个函数复合而成； 6.()011)(2 >++=x x x x f ； 7.()1,011)]([≠- =x x x f f ，{}()1,0)]([≠=x x x f f f 。习题2 1.（1）{}0≠x x ，（2）(]1,0，（3）? ?????≥-??? ??+≠≥01210k k x x x π且； 2.（1）不同，（2）不同； 3.（1）奇，（2）偶； 4.原点； 5. ()1sin 0211)(2<<--=x x x x f 。

高等数学上册第一章测试试卷

理科A 班第一章综合测试题一、填空题 1 、函数1()arccos(1) f x x =-的定义域为 . 2、设()2ln f x x =,[()]ln(1ln )f g x x =-, 则()g x = . 3、已知1tan ,0,()ln(1) , 0ax x e e x f x x a x +?+-≠?=+??=? 在0x =连续，则a = . 4、若lim 25n n n c n c →∞+??= ?-?? ，则c = . 5 、函数y =的连续区间为 . 二、选择题 1、设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则（）为奇函数. （A ）[()]g g x （B ）[()]g f x （C ）[()]f f x （D ）[()]f g x 2、设)(x f 在(,)-∞+∞内单调有界， {}n x 为数列，则下列命题正确的是（）. （A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛（B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛（C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛（D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛 3、设21(2)cos ,2,()4 0, 2, x x f x x x ?+≠±?=-??=±? 则()f x （）. （A ）在点2x =，2x =-都连续（B ）在点2x =，2x =-都间断（C ）在点2x =连续，在点2x =-间断（D ）在点2x =间断，在点2x =-连续 4、设lim 0n n n x y →∞ =，则下列断言正确的是（）. （A ）若{}n x 发散，则{}n y 必发散（B ）若{}n x 无界，则{}n y 必有界（C ）若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小（D ）若1n x ?????? 收敛，则{}n y 必为无穷

高等数学(上)第一章练习题

高等数学（上）第一章练习题一．填空题 1． 12sin lim sin _________.x x x x x →∞??+= ??? 2． lim 9x x x a x a →∞+??= ?-?? ，则__________.a = 3．若21lim 51x x ax b x →++=-，则___________,___________.a b == 4． 02lim __________.2x x x e e x -→+-= 5． 1(12)0()ln(1)0 x x x f x x k x ?-<=?++≥?在0x =连续，则k = 6．已知当0x →时，()1 2311ax +-与cos 1x -是等价无穷小，则常数________.a = 7．设21()cos 1 x k x f x x x π?+≥=??? 在0x =处间断,则常数a 和b 应满足关系____________. 9．()1lim 123n n n n →∞++= 10 ．lim x →+∞?=? 11 ．lim x ax b →+∞?-=? 0 ，则a = b = 12．已知111()23x x e f x e +=+ ，则0x =是第类间断点二．单项选择题 13．当0x →时, 变量211sin x x 是____________. A. 无穷小量 B. 无穷大量 C. 有界变量但不是无穷小, D. 无界变量但不是无穷大. 14．. 如果0 lim ()x x f x →存在，则0()f x ____________. A. 不一定存在, B. 无定义, C. 有定义, D. 0=. 15．如果0lim ()x x f x -→和0 lim ()x x f x +→存在, 则_____________.

高等数学经典求极限方法

求极限的各种方法 1．约去零因子求极限例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ??? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 01 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】) sin 1tan 1(sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 x x x x x x x x x x +++-=+-+→→

(完整word版)专升本高数第一章练习题(带答案)

第一部分： 1．下面函数与y x =为同一函数的是（） 2 .A y= .B y=ln .x C y e =.ln x D y e = 解：ln ln x y e x e x === Q，且定义域() , -∞+∞，∴选D 2．已知?是f的反函数，则()2 f x的反函数是（） () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? =() 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x：() 1 , 2 x y =?互换x，y位置得反函数() 1 2 y x =?，选A 3．设() f x在() , -∞+∞有定义，则下列函数为奇函数的是（） ()() .A y f x f x =+-()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x =()() .D y f x f x =-? 解：() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=-∴选C 4．下列函数在() , -∞+∞内无界的是（） 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x =.sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法：A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界，B arctan 2 x π <有界， C sin cos x x +≤，故选D 5．数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的（） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件解：Q{}n x收敛时，数列n x有界（即n x M ≤），反之不成立，（如() {}11n--有界，但不收敛，选A. 6．当n→∞时，2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小，则k= （） A 1 2 B 1 C 2 D -2 解：Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==，2 k=选C

微积分十大经典问题

这里入选原则是必须配得起“经典”二字。知识范围要求不超过大二数学系水平，尽量限制在实数范围内，避免与课本内容重复。排名不分先后。 1）开普勒定律与万有引力定律互推。绝对经典的问题，是数学在实际应用中的光辉典范，其对奠定数学科学女皇的地位起着重要作用。大家不妨试试，用不着太多的专业知识，不过很有挑战性。重温下牛顿当年曾经做过的事，找找当牛人的感觉吧，这个问题是锻炼数学能力的好题！ 2）最速降线问题。该问题是变分法中的经典问题，不少科普书上也有该问题。答案是摆线（又称悬轮线），关于摆线还有不少奇妙的性质，如等时性。其解答一般变分书上均有。本问题的数学模型不难建立，即寻找某个函数，它使得某个积分取最小值。这个问题往深层次发展将进入泛函领域，什么是泛函呢？不好说，一个通俗的解释是“函数的函数”，即“定义域”不是区间，而是“一堆”函数。最速降线问题通过引入光的折射定律可以直接化为常微分方程，大大简化了求解过程。不过变分法是对这类问题的一般方法，尤其在力学中应用甚广。 3）曲线长度和曲面面积问题。一条封闭曲线，所围面积是有限的，但其周长却可以是无限的，比如02年高中数学联赛第14题就是这样一条著名曲线-----雪花曲线。如果限制曲线是可微的，通过引入内折线并定义其上确界为曲线长度。但把这个方法搬到曲面上却出了问题，即不能用曲面的内折面的上确界来定义曲面面积。德国数学家H.A.Schwarz 举出一个反例，说明即使像直圆柱面这样的简单的曲面，也可以具有面积任意大的内接折面。 4）处处连续处处不可导的函数。长久以来，人们一直以为连续函数除了有限个或可数无穷个点外是可导的。但是，魏尔斯特拉斯给出了一个函数表达式，该函数处处连续却处处不可导。这个例子是用函数级数形式给出的，后来不少人仿照这种构造方式给出了许多连续不可导的函数。现在教材中举的一般是范德瓦尔登构造的比较简单的例子。至于魏尔斯特拉斯那个例子，可以在齐民友的《重温微积分》中找到证明。其实上面那个雪花曲线也是一条处处连续处处不可导的曲线。 5）填满正方形的连续曲线。数学总是充满神奇与不可思议，以前人们总是以为曲线是一维的，但是皮亚诺却发现了一条可以填满正方形的连续曲线。结果人们不得不重新审视以往对曲线的看法。 BTW：先写到这里，明天接着写另外5个。1345中的例子可以在《数学分析新讲》中找到。