初二数学期中压轴题 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
2017年10月31日429****1510的初中数学组卷
一．选择题（共2小题）
1．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2016的值为（）
A．（）2013B．（）2014C．（）2013 D．（）2014
2．钓鱼岛和中国台湾属于同一地质构造，按照国际法钓鱼岛属于中国．钓鱼岛周围海域石油资源丰富，地域战略十分重要．图中A为台湾基隆，B为钓鱼岛，单位长度为38千米，那么A，B相距（）
A．190千米B．266千米C．101千米D．950千米
二．解答题（共11小题）
3．在由6个大小相同的小正方形组成的方格中：
（1）如图（1），A、B、C是三个格点（即小正方形的顶点），判断AB与BC的关系，并说明理由；
（2）如图（2），连结三格和两格的对角线，求∠α+∠β的度数（要求：画出示意图并给出证明）．
4．在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
作AD⊥BC于D，设BD=x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．5．在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上的一点，BD=AD=8，∠ADC=60°，
求△ABC的面积．
6．在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要暂时封锁请通过计算进行说明．
7．在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD ⊥AB于D，CE是△ABC的角平分线．
（1）求∠DCE的度数．（2）若∠CEF=135°，求证：EF∥BC．
8．如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA=10km，
CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D 两村到E站的距离相等．求E应建在距A多远处
9．有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M，测得∠MAN=30°，航行100米到达B点时，测得∠
MBN=45°，你能算出A点与湖中小岛M的距离吗
10．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米若楼梯宽2米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元
11．附加题：
如图等腰△ABC的底边长为8cm，腰长为5cm，一个动点P在底边上从B向C以s的速度移动，请你探究，当P运动几秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直．
12．如图，四边形ABCD，AB=AD=2，BC=3，CD=1，∠A=90°，求∠ADC的度数．
13．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD 上的点B′处，点A落在点A′处；
（1）求证：B′E=BF；
（2）设AE=a，AB=b，BF=c，
试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．
2017年10月31日429****1510的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共2小题）
1．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2016的值为（）
A．（）2013B．（）2014C．（）2013 D．（）2014
【分析】根据等腰直角三角形的性质结合三角形的面积公式可得出部分S n的值，根据面积的变化即可找出变化规律“S n=4×”，依此规律即可解决问题．
【解答】解：观察，发现：S1=22=4，S2==2，S3==1，
S4==，…，
∴S n==4×，
∴S2016=4×=．
故选C．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形的面积、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“S n=4×”是解题的关键．
2．钓鱼岛和中国台湾属于同一地质构造，按照国际法钓鱼岛属于中国．钓鱼岛周围海域石油资源丰富，地域战略十分重要．图中A为台湾基隆，B为钓鱼岛，单位长度为38千米，那么A，B相距（）
A．190千米B．266千米C．101千米D．950千米
【分析】利用图中的格点可以得到直角三角形，然后利用勾股定理求得线段AB的长，然后乘以单位长度即可得到AB两点间的距离．
【解答】解：如图：BC⊥AC，且BC=3个单位长度，AC=4个单位长度，
由勾股定理得：AB===5，
∴A、B两地之间的距离为5×38=190千米，
故选A．
．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解决此类题目的关键是从实际问题中整理出直角三角形模型，并利用勾股定理求解．
二．解答题（共11小题）
3．在由6个大小相同的小正方形组成的方格中：
（1）如图（1），A、B、C是三个格点（即小正方形的顶点），判断AB与BC的关系，并说明理由；
（2）如图（2），连结三格和两格的对角线，求∠α+∠β的度数（要求：画出示意图并给出证明）．
【分析】（1）连接AC，再利用勾股定理列式求出AB2、BC2、AC2，然后利用勾股定理逆定理解答；
（2）类似于（1）的图形解答．
【解答】解：（1）如图，连接AC，
由勾股定理得，AB2=12+22=5，
BC2=12+22=5，
AC2=12+32=10，
∴AB2+BC2=AC2，AB=BC，
∴△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
综上所述，AB与BC的关系为：AB⊥BC且AB=BC；
（2）∠α+∠β=45°．
证明如下：如图，由勾股定理得，AB2=12+22=5，
BC2=12+22=5，
AC2=12+32=10，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∵AB=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠α+∠β=45°．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握网格结构以及勾股定理和逆定理是解题的关键．
4．在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
作AD⊥BC于D，设BD=x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．【分析】设BD=x，由CD=BC﹣BD表示出CD，分别在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用勾股定理表示出AD2，列出关于x的方程，求出方程的解得到AD的长，即可求出三角形ABC面积．
【解答】解：如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，
设BD=x，则有CD=14﹣x，
由勾股定理得：AD2=AB2﹣BD2=152﹣x2，AD2=AC2﹣CD2=132﹣（14﹣x）2，
∴152﹣x2=132﹣（14﹣x）2，
解之得：x=9，
∴AD=12，
∴S△ABC=BCAD=×14×12=84．
【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上的一点，BD=AD=8，∠ADC=60°，求△ABC的面积．
【分析】由在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ADC=60°，故可得出∠CAD=30°，再由直角三角形的性质求出CD的长，利用勾股定理得出AC的长，进而可得出BC的长，由三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：∵∠C=90°，∠ADC=60°，
∴∠CAD=30°．
∵AD=8，
∴CD=AD=4，
∴AC===4，
∴BC=CD+BD=4+8=12，
∴S△ABC=ACBC=×4×12=24．
【点评】本题考查的是勾股定理及直角三角形的性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
6．在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要暂时封锁请通过计算进行说明．
【分析】过C作CD⊥AB于D．根据BC=400米，AC=300米，∠ACB=90°，利用根据勾股定理有AB=500米．利用S△ABC=ABCD=BCAC得到CD=240米．再根据240米＜250米可以判断有危险．
【解答】解：公路AB需要暂时封锁．
理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．
因为BC=400米，AC=300米，∠ACB=90°，
所以根据勾股定理有AB=500米．
因为S△ABC=ABCD=BCAC
所以CD===240米．
由于240米＜250米，故有危险，
因此AB段公路需要暂时封锁．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，以便利用勾股定理．
7．在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于D，CE是△ABC的角平分线．
（1）求∠DCE的度数．
（2）若∠CEF=135°，求证：EF∥BC．
【分析】（1）由图示知∠DCE=∠DCB﹣∠ECB，由∠B=30°，CD⊥AB于D，利用内角和定理，求出∠DCB的度数，又由角平分线定义得∠ECB=∠ACB，则∠DCE的度数可求；
（2）根据∠CEF+∠ECB=180°，由同旁内角互补，两直线平行可以证明EF∥BC．【解答】解：∵∠B=30°，CD⊥AB于D，
∴∠DCB=90°﹣∠B=60°．
∵CE平分∠ACB，∠ACB=90°，
∴∠ECB=∠ACB=45°，
∴∠DCE=∠DCB﹣∠ECB=60°﹣45°=15°；
（2）∵∠CEF=135°，∠ECB=∠ACB=45°，
∴∠CEF+∠ECB=180°，
∴EF∥BC．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的判定，解答的关键是沟通未知角和已知角的关系．
8．如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA=10km，
CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D 两村到E站的距离相等．求E应建在距A多远处
【分析】根据题意设出E点坐标，再由勾股定理列出方程求解即可．
【解答】解：设AE=x，则BE=25﹣x，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，
DE2=AD2+AE2=102+x2，
在Rt△BCE中，
CE2=BC2+BE2=152+（25﹣x）2，
由题意可知：DE=CE，
所以：102+x2=152+（25﹣x）2，
解得：x=15km．（6分）
所以，E应建在距A点15km处．
【点评】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
9．有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M，测得∠MAN=30°，航行100米到达B点时，测得∠MBN=45°，你能算出A点与湖中小岛M的距离吗
【分析】作MC⊥AN于点C，设AM=x米，根据∠MAN=30°表示出MC=m，根据∠MBN=45°，表示出BC=MC=m然后根据在Rt△AMC中有AM2=AC2+MC2列出法方程求解即可．
【解答】解：作MC⊥AN于点C，
设AM=x米，
∵∠MAN=30°，
∴MC=m，
∵∠MBN=45°，
∴BC=MC=m
在Rt△AMC中，
AM2=AC2+MC2，
即：x2=（+100）2+（）2，
解得：x=100+100米，
答：A点与湖中小岛M的距离为100+100米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理不仅能在直角三角形中知两边求第三边，也可以利用这一等量关系列出方程．
10．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米若楼梯宽2米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元
【分析】先求出AC的长，利用平移的知识可得出地毯的长度，然后求出所需地毯的面积，继而可得出答案．
【解答】解：在RT△ABC中，AC==4米，
故可得地毯长度=AC+BC=7米，
∵楼梯宽2米，
∴地毯的面积=14平方米，
故这块地毯需花14×30=420元．
答：地毯的长度需要7米，需要花费420元．
【点评】此题考查了勾股定理的应用及平移的知识，属于基础题，利用勾股定理求出AC的长度是解答本题的关键．
11．附加题：
如图等腰△ABC的底边长为8cm，腰长为5cm，一个动点P在底边上从B向C以s的速度移动，请你探究，当P运动几秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直．
【分析】根据等腰三角形三线合一性质可得到BD的长，由勾股定理可求得AD的长，再分两种情况进行分析：①PA⊥AC②PA⊥AB，从而可得到运动的时间．
【解答】解：如图，作AD⊥BC，交BC于点D，
∵△ABC是等腰三角形，
∴BD=CD=BC=4cm，
在Rt△ABD中，AD==3，
分两种情况：当点P运动t秒后有PA⊥AC时，
∵AP2=PD2+AD2=PC2﹣AC2，∴PD2+AD2=PC2﹣AC2，
∴PD2+32=（PD+4）2﹣52∴PD=，
∴BP=4﹣==，
∴t=7秒，
当点P运动t秒后有PA⊥AB时，同理可证得PD=，
∴BP=4+==，
∴t=25秒，
∴点P运动的时间为7秒或25秒．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用，此题难度适中，解题的关键是分类讨论思想、方程思想与数形结合思想的应用．
12．如图，四边形ABCD，AB=AD=2，BC=3，CD=1，∠A=90°，求∠ADC的度数．【分析】首先在Rt△BAD中，利用勾股定理求出BD的长，求出∠ADB=45°，再根据勾股定理逆定理在△BCD中，证明△BCD是直角三角形，即可求出答案．
【解答】解：连接BD，
在Rt△BAD中，
∵AB=AD=2，
∴∠ADB=45°，BD==2，
在△BCD中，
DB2+CD2=（2）2+12=9=CB2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=45°+90°=135°．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及逆定理的运用，解决问题的关键是求出∠
ADB=45°，再求出∠BDC=90°．
13．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处；
（1）求证：B′E=BF；
（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．
【分析】（1）首先根据题意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE，接着根据平行线的性质和等腰三角形的判定即可证明B′E=BF；
（2）解答此类题目时要仔细读题，根据三角形三边关系求解分类讨论解答，要提高全等三角形的判定结合勾股定理解答．
【解答】（1）证明：由题意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE，
在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠B′EF=∠BFE，
∴∠B′FE=∠B'EF，
∴B′F=B′E，
∴B′E=BF；
（2）a，b，c三者存在的关系是a2+b2=c2．
证明：由（1）知B′E=BF=c，A'E=AE=a，
∵B′E=BF=c，
∴在△A'B'E中，∠A=90°，
∴A'E2+A'B'2=B'E2，
∴a2+b2=c2．
【点评】此题以证明和探究结论形式来考查矩形的翻折、等角对等边、三角形全等、勾股定理等知识．
第一，较好考查学生表述数学推理和论证能力，第（1）问重点考查了学生逻辑推理的能力，主要利用等角对等边、翻折等知识来证明；
第二，试题呈现显示了浓郁的探索过程，试题设计的起点低，图形也很直观，也可通过自已动手操作，寻找几何元素之间的对应关系，形成较为常规的方法解决问题，第（2）问既考查了学生对勾股定理掌握的程度又考查学生的数学猜想和探索能力，这对于培养学生创新意识和创新精神十分有益；
第三，解题策略多样化在本题中得到了充分的体现．