第七章 假设检验
一、教材说明
本章主要介绍统计假设检验的基本概念和基本思想、正态总体参数的统计假设的显著性检验方法.。
1、本章的教学目的与要求
（1）使学生了解假设检验的基本概念； （2）使学生了解假设检验的基本思想； （3）使学生掌握假设检验的基本步骤；
（4）使学生会计算检验的两类错误，搞清楚两类错误的关系；
（5）使学生掌握正态总体参数的假设检验，主要是检验统计量及其分布，检验拒绝域的确定；
（6）使学生灵活运用所学知识解决实际问题。 2、本章的重点与难点
本章的重点是正态总体参数的各种假设检验中的检验统计量及其分布，难点是假设检验拒绝域的确定。
二、教学内容
下面主要分3节来讲解本章的主要内容。
§7.1 假设检验的基本概念
对总体分布或分布中的某些参数作出假设，然后利用样本的观测值所提供的信息，运用数理统计的分析方法,检验这种假设是否成立，从而决定接受或拒绝“假设”,这一统计推断过程，称为假设检验。
1.引例
我们先举一个简单的实例来说明假设检验的基本思想及推理方法.
例1：某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布.且知标准差为0.015千克.当机器正常时, 其均值为0.5千克,某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为(千克):
0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 问机器是否正常? 分析：用μ和σ分别表示这一天袋装糖重总体X 的均值和标准差，则)015.0,(~2
μN X ,其中μ未知。 问题: 已知总体2(,)X
N μσ,且00.015,σσ==根据样本值判断0.5μ=还是
0.5μ≠。
提出两个对立假设00:0.5H μμ==（原假设或零假设）和 10:H μμ≠(备择假设).再利用已知样本作出判断是接受假设0H ( 拒绝假设1H ) , 还是拒绝假设0H (接受假设
1H ). 如果作出的判断是接受0H , 则0μμ=即认为机器工作是正常的, 否则, 认为是不
正常的.
因为X 是μ的无偏估计量，所以，若0H 为真，则0μ-x 不应太大，
0~(0,1)/X N n
σ，
衡量0μ-x 0/X n
σ的大小。于是可以选定一个适当的正数k ,当观察
值x 0
0/X k n
σ-≥时，拒绝假设0H ;反之，当观察值x 满足
时k n
X <-/0
σμ，接受假设
0H 。因为当0H 为真时，0
0~(0,1)/U N n
σ=
,由标准正态分布分位点的定义得:
/2,k u α= 0
/20/2000,,, .//x x u H u H n
n
ααμμσσ--≥<当
时拒绝时接受
假设检验过程如下: 在实例中,
(1)若取定 0.05, α=则/20.025 1.96,k u u α===我们有
00||
(|| 1.96)(
1.96)0.05./X P U P n
μσ->=>=
又已知0 9, 0.015, n σ==由样本算得 0.511, x =即有0
0 2.2 1.96,
/x n
μσ-=>于是根据小概率事件实际不可能性原理,拒绝假设0H , 认为包装机工作不正常. (2)若取定 0.01, α=则/20.005 2.58,k u u α===0
0 2.2 2.58, /x n
μσ-=<于是接
受假设0H , 认为包装机工作正常.
注:上述α称为显著性水平.此例表明假设检验的结论与选取的显著性水平α有密切的关系.所以,必须说明假设检验的结论是在怎样的显著水平α下作出的. 2.假设检验的基本思想及推理方法 1)假设检验基本思想
（1） 在假设检验中，提出要求检验的假设，称为原假设或零假设，记为0H ，原假设如
果不成立，就要接受另一个假设，这另一个假设称为备择假设或对立假设，记为1H 。
（2） 假设检验的依据——小概率原理：小概率事件在一次试验中实际上不会发生。
（3） 假设检验的思路是概率性质的反证法。即首先假设成立，然后根据一次抽样所得的
样本值得信息，若导致小概率事件发生，则拒绝原假设，否则接受原假设。
（4） 假设检验可能犯的两类错误：
① 第一类错误（弃真错误）：即假设0H 为真而被拒绝，记为α，即
00{|}P H H α=拒绝为真。
② 第二类错误（存伪错误）：假设0H 不真而被接受，记为β，即
00{|}P H H β=接受不真。
③ 当样本容量n 一定时，,αβ不可能同时减少，在实际工作中总是控制α适当的小。 2)假设检验的程序
对任何实际问题进行假设检验，其程序一般为五步，即： ⑴根据题意提出零假设0H （或相应备选假设1H ）。
⑵构造样本统计量并确定其分布；
⑶给定显著性水平α，查表确定临界值，从而得出接受域和拒绝域； ⑷由样本观测值计算出统计量的值；
⑸作出判断：若统计量的值落入拒绝域则拒绝0H ，若统计量的值落入接受域则接受0H 。 3)假设检验的主要方法
U 检验法、t 检验法、2χ检验法、F 检验法。
例2 已知某产品使用寿命X 服从正态分布，要求平均使用寿命不低于1000小时，现从一批这种产品中随机抽出25只，测得平均使用寿命为950小时，样本方差为100小时。则可用（ ）
① t--检验法 ②2
χ--检验法 ③Z--检验法 ④F--检验法 解 选①
例3 假设检验时，只减少样本容量，犯两类错误的概率（ ） ①都增大 ②都减少
③不变 ④一个增大，一个减少 解 选①
例4 正态总体()n X X X N X ,,,,,~212
σμ为样本，,11
∑==n
i i X n X 假设检验
()为已知数02
2
0:σσσ≤H ，在显著性水平α下，则当()
20
1
2
2
σ
χ∑=-=
n
i i
x x （ ）时拒绝0H
①()221;n αχ≥- ②()2
121n αχ-≤-
③()2
1n αχ≤
- ④()21n αχ≥-
解 由于当0H 成立时,
*2
*2
2
2
(1)(1),n S n S σσ--≤
而
*2
22
(1)(1)n S n χσ--,故
*2
*2
2
222
(1)(1)(
(1))(
(1))n S n S P n P n ααχχασ
σ
--≥-≤≥-=,于是选④
§7.2 单个正态总体的假设检验
⑴22
00X :N(μ,σ),σ已知，检验假设H ：μ=μ
U 检验法：
①001000H H μμμμμμμμ≠><：= （：或或）
②统计量0
00(0,1)()/U N H n
σ-
=
成立时。
③给出2
2
{}P U u u αααα>=，，查正表定.
④ 由样本值12n x x x （，，，） 计算u 的值
⑤ 判断：若/2||u u α>0，则拒绝H
（这是对双侧检验提出的U 检验法步骤，若是单侧可仿比）
（2）22
00X ～N(μ,σ),σ未知，检验假设H ：μ=μ
t 检验法：
①001000H H μμμμμμμμ≠><：= （：或或）
②00*
(1)()/T t n H S n
-
=
-成立时。
③给出2
2
{(1)}(1).P T t n t n αααα>-=-，，查t 分布表定
④由样本值计算T 的值.
⑤判断：若00
2
2
(1),(1),t t n H H t n αα≥--则拒绝，否则接受（若是单侧可查t 表定 同样得出拒绝域）.
（3）2222
00(,),H X
N μσσσσ未知，检验假设：=
①2222
000H σσσ
σ≠1：=（H ：） ②*2
221
02
2
(1)(1)()i n S
n H χχσσ=-=
=
-∑
n
-
2
i
（X -X ）成立时。
③给出22
22
12
2
{(1)}{(1)}2
P n P n ααα
αχχχχ-
<-=>-=，，查2χ分布表定2
2
(1)
n αχ-及2
12
(1).n α
χ
-
-
④由样本值计算2
χ的值 ⑥ 判断：若2
2220012
2
(1)(1)n n H H ααχχχχ->
-<-或，则拒绝，反之则接受. （一）已知方差
例5 设某产品的某项质量指标服从正态分布，已知它的标准差150σ=，现从一批产品中随机地抽取26个，测得该项指标的平均值为1637。问能否认为这批产品的该项指标值为1600(0.05α=) ？
解 (1)提出原假设： H 0：μ=1600，H 1：μ≠1600； (2)选取统计量0
X U n
σ=
(3)对于给定的显著性水平0.05α= ，查标准正态分布表
0.0252
1.96u u α==
(4)计算统计量观察值
1.258150
26
x u n
μσ-=
=
≈
(5)结论 12
1.258 1.96u u
α
-
=<=接受原假设H 0
即不能否定这批产品该项指标为1600。 （二）未知方差，检验00μμ=：H
例6某厂生产乐器用合金弦线，其抗拉强度服从均值为10560（kg/2
cm ）的正态分布。现
从一批产品中抽取10根测得其抗拉强度（单位：kg/2
cm ）为： 10512 10623 10668 10554 10776 10707 10557 10581 10666 10670
⑴对显著性水平α=0.05，问这批产品的抗拉强度有无显著变化？ ⑵对显著性水平α=0.01，结果如何？（已知
()()()()0.050.0250.010.0059 1.833,9 2.262,9 2.821,9 3.250t t t t ====）
解 ①假设检验10560,10560:10≠=μμ：对H H ②方差未知时，检验数学期望选用统计量
()*2
20
0*
1
1,~1()1n i i X T n H T T n S
x x n S μ=-=
-=--∑在成立时，其中 ③对给定样本值，计算得()4.1063110670106231015210
1
11=+++=
=∑= n i i x n x ()2
2222211159044
*10512106701010631.419
9
n i i s x nx n =??=-=++-?=
?-??∑ 所以，统计量的样本值0*
2.78859044910
x t n
μ-=
==? ④当显著性水平α=0.05时，拒绝域为()0.0259 2.262T t ≥=，
02.788 2.262,0.05,t H α=>=这里落入拒绝域，所以在不应接受即认为抗拉强度
有显著变化。
当显著性水平α=0.01时，拒绝域为 0.005||(9) 3.250T t ≥=，即认为这批产品的抗拉强度无显著性变化。
例7已知某种元件的寿命服从正态分布，要求该元件的平均寿命不低于1000 小时，现从这批元件中随机抽取25 只，测得平均寿命 980X =小时 标准差65s =小时 试在显著水平0.05α= 下，确定这批元件是否合格
（附表0.900.950.975(24) 1.138,(24) 1.171,(24) 2.064t t t ===）
分析 元件是否合格，应通过寿命低于1000 小时来判断（1000≥小时都合格），这里对总体均值的单测检验， 2
σ未知，用 t -检验法
解 ①提出检验假设0010:1000,:1000H H μμμμ==<=
②选取统计量 0
*
X T n
μ-=
，当 0H 成立时~(1)T t n - ③由样本观测值，计算统计量所取的值。这里*
980,65x s == 得
9801000
1.5386525
t -=
=-
④对显著水平0.05α= 拒绝域（临界域）10.95(1)(24) 1.711t t n t α-≤--=-=- 因为0.95(24) 1.711t t >-=- ，未落入拒绝域，应接受0H ，否定1H ：即认为这批元
件合格。
(三)未知均值,检验2
020:σσ=H
例5 某工厂生产的铜丝折断力(单位:斤)服从正态分布(
)2
8
,μN ,某日随机抽取了10根进行
折断力检验,测得平均折断力为57.5斤,样本方差为68.16,在05.0=α下,检验2
208:=σH 对()()()
7.29,023.199,8:2
025.02975.0221==≠χχσH
解 用-2χ检验法,检验统计量为20
22
σχn nS =
对05.0,10==αn 拒绝域为:
()()023.19912
0975.02212==-≥-χχχαn 或
()()7.2912
0975.0222==-≤χχαn x
有样本观察值,计算得65.10816
.68102
2
=?=
χ 因为()()()
()023.19,7.29,965.102
975.02025.02=∈=χχχ所以接受0H 。
例6 某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005（欧姆）。今在生产的一批导线中取样品9根，测得s=0.007（欧姆），设总体为正态分布，问在水平05.0=α下能认为这种导线的标准差显著地偏大吗？（()()5.178,507.1582
975.02
95.0==χχ）
分析 凡方差“大于”、“不低于”、“偏大”、“偏小”等问题，均属于方差的单侧检验问题，
其假设的提出有两种方式：有的书提出原假设2
020:σσ=H 和备择假设
()()()
2
2
20
2
0102022
21,:σ
σσσσσσσ≤≥或：原假设；有的书只提出是对立假设与或H H H H （注意原假设含有等
号），本教材按前者讲述。 解 用2
χ--检验法
①检验假设22021220200005.0:005.0:===σσσσ H H H ，：
②选用统计量()()1~,1220
2
22
--=n H s n χχσχ
成立时，当。
③由样本观察值，计算统计量所取值为2
χ=2
2
005
.0007.0*)19(-=15.68 ④对a= 0.05，由已知)8(95
.02
χ
=15.507，拒绝域)8()1(995.02
122χχχ=-≥-n a =15.507。
这里68.152
=χ>15.507故拒绝0H ，接受1H ：即认为这批导线的标准差显著的偏大。
§7.3 两个正态总体的假设检验
（1）22
12012H σσμμ=，已知，检验假设：
U 检验法：
①01212H μμμμ=≠1：（H ：） ②02
21
2
1
2
(0,1),()U N H n n σ
σ
--
=
+
成立时。
③给出2
αα，查正态表定u
④由样本值
1212n n x x x y y （，，，），（y ，，，） 计算U 的值
⑤作出判断：若002
u u H H α≥则拒绝，反之接受.
（2）2212012H σσσσμμ=22
12，未知，但=，检验假设：
t 检验法：
①0121121212H H μμμμμμμμ><：= （：=或或） ②121212012
(2)
(2)()n n n n T t n n H n n --
+-=
+-++*2
*211
22
成立时（n -1）S （n -1）S
。
③④⑤同前
（3）22
120112,(:)H H μμσσσσ≠2212，未知，检验假设：=
F 检验法：
①22
0112(:)H H σσσσ≠2212：= ②*2*2
12
120/(1,1)()F S S F n n H =--成立时
（一） 已知21σ及2
2σ，检验假设210:μμ=H
例1 由累积资料知道甲，乙两矿的含灰率服从X ～N （5.7,1μ），Y ～N （6.2,2μ）。现从两矿中各取几个试件，分析其含灰率为：
甲矿：24.3 20.8 23.7 21.3 17.4（%） 乙矿：18.2 16.9 20.2 16.7（%） 问：甲乙两矿所采煤的含灰率的数学期望1μ和2μ有无显著性水平差异？（显著性水平
a=0.10）.（64.1,28.195.090.0==Z Z ）
解 已知21σ及2
2σ，假设检验210:μμ=H ，用Z ～检验法。
①提出零假设210:μμ=H ，对211:μμ≠H ②选取统计量2
22
1
21
21)
(n n y x Z σ
σ
μμ+
---=
，当0H 成立时，Z ～N （0.1）
③对显著性水平a=0.10，由64.195.0=Z =1.64，确定临界域64.12
1==-a Z Z
④计算统计量Z 的 观察值。18,5.21==Y X 于是
39.24
6
.255.7185.212
22
1
21
=+-=
+
-=
n n y
x Z σ
σ
由于Z =2.39> 1.64，故拒绝0H ，即可以认为1μ和2μ有显著性差异。
（二） 未知，但2
221σσ=，假设检验210:μμ=H
例2 某物品在处理前与处理后抽样分析含脂率（%）如下： 处理前x ：0.19 0.18 0.21 0.30 0.41 0.12 0.17
处理后y ：0.13 0.15 0.07 0.24 0.19 0.06 0.08 0.12
设含脂率分别服从正态分布N(211,σμ),N(2
22,σμ)，对显著性水平a=0.05，试问：处理前后的平均含脂率有无显著性差异？（145.2)14(,160.2)13(975.0975.0==t t ）
分析 首先需要F-检验法验证二总体方差是否有显著性差异，在无显著性差异（视为相等）的条件下，然后利用T-检验法在检验二总体均值是否有显著性差异。 解（1）利用F-检验法检验二总体方差有无显著性差异。
①检验假设2
2
21122210:,:σσσσ≠=H H ②选用统计量22
222
12
1σσS S F =，当0H :成立时，)1,1(~21--n n F F
③对给定显著性水平a=0.05，有F-分布表得临界值，
175.070
.51
)7,6(1)7,6(,12.5)7,6(2
2
2
1====-
a a a F F F
④计算统计量F 的样本观察值
∑∑====
==12
11
2
113.01,24.01n i n i i
i Y
n Y X n X
32
1
121
10*58.7)(111
-==--=∑n i i X X n S 31
2222
10*9.3)(112-==--=∑n i i Y Y n S 故)12.5,175.0(93.122
2
1∈==S S F ，接受0H ，认为二总体方差无显著性差异。
（2）利用T-检验法检验二总体均值有无显著性差异。
①检验假设221210:,:μμμμ≠=H H ②选取统计量
)
2(~11)
()(21-++---=
n m t n
m S y x T w
μμ2
121212
2
221121)
2()1()1()
(n n n n n n S n S n Y X T +-+-+----=
μμ
0H 成立时，)2(~21-+n n T
③对给定显著性水平a=0.05，得拒绝域160.2)13(975.0=≥t T ④计算统计量T 的观测值
849.2967.6*269
.011
.08713*8*710*9.3*710*5.7*613
.024.0)2()()1(3
32121212
212211==++-=
+-++--=
---n n n n n n S n S n Y X t
由于160.2)13(849.2975.0=>=t t 。故拒绝0H ，接受1H 。即处理后含脂率有显著差异。
（三） 均值未知，检验假设2
2210:σσ=H
例3 某一橡胶配方中，原用氧化锌5g ，现减为1g ，若分别用两种配方做一批实验，5g 配方测9个值，得橡胶伸长率的样本差是86.632
1=S ；1g 配方测3个值，橡胶伸长率的样本差是8.2362
2=S 。设橡胶伸长率遵从正态分布，问两种配方的伸长率的总体标准差有无显著差异？(a=0.10)(39.3)8,9(,23.3)9,8(95.095.0==F F )
分析 两种配方的伸长率的总体标准差有无显著差异，是通过样本值去判断2
221σσ=是否成立，是均值未知的两个总体方差是否相等的检验，5g 配方和1g 配方记为
),(~),,(~2
22211σμσμN Y N X
解 ①检验假设2221122210:,:σσσσ≠=H H
②选取统计量22
22212
1σσS S F =，当0H 成立时)1,1(~21222
1--=n n F S S F
③对显著性水平a=0.10由题设295.039
.31
)8,9(1)9,8(,23.3)9,8(95.005.095.0====F F F 。
故拒绝域为[][]+∞?,23.3295.0,0 ④计算统计量F 的样本观察值
2697.08
.23686.632221===S S F
由于F=0.2697)23.3,295.0(?，即F 落入拒绝域，应拒绝0H ，接受1H ，即在σ=0.10下
认为两个总体的方差是不等的。
注：若将显著性水平改为a=0.02，此时
91.5)8,9()8,9(,47.5)9,8()9,8(99.02
199.02
1====-
-
F F
F F
a a
此时拒绝域
[]
[][][)+∞?=+∞????
???=+∞???????=??????+∞???????-,47.5169.0,0,47.591.51,0,)8,9(1,0),9,8()9,8(,099.099
.0212F F F F a a
样本观察值F=0.2697未落入拒绝域，故接受0H ，即认为两种配方总体方差无显著差异，说明显著性水平越小，否定零假设越困难。
（四） 均值未知，检验假设2
2210:σσ≤H
例4 有甲乙两车床生产同一型号的滚珠，根据已有经验可以认为，这两台车床生产的滚珠都服从正态分布，问题是要比较台车床生产的滚珠的直径的方差。现在从这两台车床的产品中分别抽取8个和9个，经计算得甲X =15.01，乙X =14.99，2
甲S =0.0955，2
乙S =0.0261，对显著性水平a=0.05，试问：乙车床产品的方差是否比甲车床的小？
（90.4)7,8(,53.4)8,7(,73.3)7,8(,50.3)8,7(975.0975.095.095.0====f f f f ）
分析 由题意，是验证2
2乙甲σσ<是否成立，而单边检验所提假设含等号，故此题可假设为2
20:乙甲σσ≤H
解 利用F-检验法检验两总体方差比。
①检验假设220:乙甲σσ≤H ，221:乙甲σσ>H
②选取统计量22乙
甲
S
S F =
，第一自由度是7，第二自由度是8的F-分布
③由题知)8,7(95.0f =3.50，故拒绝域为[)+∞,50.3 ④统计量F 的样本观察值
694.30261
.00955
.022==
=
乙
甲S S F
由于f=3.659 >3.50，故应拒绝0H ，接受1H 。即乙车床产品的直径的方差比甲车床的小。
二、两个正态总体均值差的检验
设m x x x ,,,21 是来自总体X 服从),(2
11σμN 的样本，n y y y ,,,21 是来自总体Y 服从),(2
22σμN 的样本，且两样本相互独立，考虑如下的三种检验：
0:0:211210>-≤-μμμμH vs H （１）
0:0
:211210<-≥-μμμμH vs H （２）
0:0:211210≠-=-μμμμH vs H （３）
主要分两种情况讨论。
1、12,σσ已知时的两样本的检验
此时21μμ-的估计y x -的分布完全已知，),(~22
2
121n
m
N y x σσμμ+
--，由此可
采用U 检验法，检验统计量为
n
m
y
x U 22
21
σ
σ
+
-=
在21μμ=时，)1,0(~22
21
N n
m
y
x U σ
σ
+
-=
。检验的拒绝域取决于备择假设的形式。上述三
对假设检验的拒绝域分布为：
};{1α-≥=U U U W
};{αU U U W <=
};{2
1α
-
≥=U
U U W
2、σσσ==21但未知时的两样本t —检验
在22
2
21σσσ==未知时，类似于单个正态总体方差未知时均值的检验，我们仍用2
σ的无偏估计代替2σ，而此时可以证明2
σ的无偏估计为：
2)1()1(])()([212212
122-+-+-=
-+--+=∑∑==n m S n S m y y x x n m S y x n i i m i i w
于是有
)2(~11)
()(21-++---=
n m t n
m S y x T w
μμ
从而检验统计量为
n
m S y x T w
11+-=
在021=-μμ时，)2(~11-++-=
n m t n
m S y x T w
。上述三对假设检验的拒绝域分布为：
)}2(;{1-+≥=-n m t T T W α )}2(;{-+≤=n m t T T W α
)}2(;{2
1-+≥=-
n m t
T T W α
例7.２.3 某厂铸造车间为提高铸件的耐磨性而试制了一种镍合金铸件以取代铜合金铸件，从两种铸件中各抽取一个容量分别为8和9的样本，测得其硬度（一种耐磨性指标）为：
镍合金 76.43 76.21 73.58 69.69 65.29 70.83 82.75 72.34
铜合金 73.66 64.27 69.34 71.37 69.77 68.12 67.27 68.07 62.61 根据专业经验，硬度服从正态分布，且方差保持不变，试在显著性水平=α0.05下判断镍合金的硬度是否有明显提高？ 解 略。
综上，关于两个正态总体均值差的假设检验问题可汇总成如下的表： 条 件 原假设0H
备择假设
1H
检验统计量 及其分布
拒绝域
2
1σσ
已 知 2
1μμ≤
21μμ>
)1,0(~22
21
N n
m
y
x U σ
σ
+
-=
α-≥1U U
2
1μμ≥
2
1μμ<
αU U ≤
0μμ=
0μμ≠
2
1α
-
≥U
U
2
1σσ=
2
1μμ≤
21μμ>
)2(1-+≥-n m t T α
第七章 假设检验 Ⅰ．学习目的 假设检验包括参数检验与非参数检验，是一种最能体现统计推断思想和特点的方法。通过本章学习，要求：1.掌握统计检验的基本原理，理解该检验的规则及犯两类错误的性质；2.熟练掌握总体均值、总体成数及总体方差指标的各种检验方法，包括：z 检验、t 检验和p 值检验；3.掌握2 检验、符号检验、秩和检验及游程检验四种基本的非参数检验方法。 Ⅱ．课程内容要点 第一节 假设检验的基本原理 一、假设检验的基本原理 “小概率原理”：小概率事件在一次试验中几乎是不会发生的。 事先所做的假设，是假设检验中关键的一项工作。它包括原假设和备选假设两部分。原假设是建立在假定原来总体参数没有发生变化的基础之上的。备选假设是原假设的对立，是在否认原假设之后所要接受的，通常这是我们真正感兴趣的一个判断。 二、假设检验的规则与两类错误 1、假设检验的规则 假设检验的步骤： （1）首先根据实际应用问题确定合适的原假设0H 和备选假设1H ； （2）确定检验统计量，通过数理统计分析确定该统计量的抽样分布；
（3）给定检验的显著性水平α。在原假设成立的条件下，结合备选假设的定义，由检验统计量的抽样分布情况求出相应的临界值，该临界值为原假设的接受域与拒绝域的分界值； （4）从样本资料计算检验的样本统计量，并将其与临界值进行比较，判断是否接受或拒绝原假设。 从检验程序我们可以看出，统计量的取值范围可以分为接受域和拒绝域两个区域。拒绝域正是统计量取值的小概率区域。按照我们将这个拒绝域安排在所检验统计量的抽样分布的某一侧还是两端，可以将检验分为单侧检验或双侧检验。双侧检验中，又可以根据拒绝域，是在左侧还是在右侧而分为左侧检验和右侧检验。对于这些双侧、左、右单侧检验，我们要结合备选假设来考虑。 在检验规则中，我们经常碰到两种重要的检验方法：z检验与t检验。 p值检验的原理：给出原假设后，在假定原假设正确的情况下，参照备选假设，可以计算出检验统计量超过或者小于（还要依照分布的不同、单侧检验、双侧检验的差异而定）由样本所计算的检验统计量的数值的概率，这便是p值；而后将此概率值跟事先给出的显著性水平值α进行比较。如果该值小于α，否定原假设，取对应的备选假设。如果该值大于α，我们不就能否定原假设。 2、两类错误 H实际为真，但我们却依据样本信息，做出拒绝的错误结论当原假设 时，称为“弃真”错误；当原假设实际为假，而我们却错误接受时，称为“纳伪”错误。通常记显著性水平α为犯“弃真”错误的可能性大小，β为犯“纳伪”错误的可能性大小。由于两类错误是一对矛盾，在其他条件不变得情况下，减少犯“弃真”错误的可能性大小（α），势必增大犯“纳伪”错误的可能性大小（β），也就是说，β的大小和显著性水平α的大小成相反方向变化。 三、检验功效 -可以用来表明所做假设检验工作好坏的一个指标，我们称之为检1β
第五章 假设检验 一、填空题： 1．称12(,,,)n X X X 是总体X 的简单随机样本，则它满足（ ）. 2．2~(,)X N μσ，12,, ,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，X ，2S 分别为样本均值与样~X （ ）. 3．给定一组样本观测值129,, x x x ，经计算得9145i i x ==∑， 9 21285i i x ==∑，则x =（ ）；2S =（ ）. 4．在假设检验中，把符合0H 的总体判为不符合0H 加以拒绝，这类错误称为（ ）错误；把不符合0H 的总体当作符合0H 而接受，这类错误称为（ ）错误；显著性水平α是用来控制犯第（ ）类错误的概率. 5．样本12,, ,n X X X 来自总体2(,12)N μ，检验0:100H μ=，采用统计量是（ ）. 二、选择题 1．12,,,n X X X 是来自总体2(,)N μσ的样本，样本均值X 服从（ ）分布. A. 2(,)N μσ B. (0,1)N C. 2(,)N n n μσ D. 2 (,)N n σμ 2．假设检验和抽样估计的不同和联系：（甲）都是对总体某一数量特征的推断，都是运用概率估计来得到自己的结论；（乙）前者则需要事先对总体参数作出某种假设，然后根据已知的抽样分布规律确定可以接受的临界值；（丙）后者无须事先对总体数量特征作出假设.它是根据已知的抽样分布规律找出恰当的区间，给定总体参数落在这一区间的概率. （ ） A.甲 B.甲、丙 C.乙、丙 D.甲、乙、丙 3．假设检验——利用样本的实际资料来检验事先对总体某些数量特征所作的假设——如果两者的差异很小，则有理由认为这种差异：（甲）是由随机因素引起的（我们可以接受无差异的原假设）；（乙）是由随机因素引起，同时还存在条件变化的因素造成的（我们就不能接受无差异的原假设，而应拒绝它）.可以说，两者的差异愈小，则：（丙）原假设真实的可能性愈大；（丁）原假设真实的可能性愈小. （ ） A.甲、丙 B.甲、丁 C.乙、丙 D.乙、丁 4．统计假设检验拒绝原假设能证明原假设有逻辑上的错误或根本不存在？（甲）能；（乙）不能.而只说明原假设的出现：（丙）可能性很小；（丁）可能性很大. （ ） A.甲、丙 B.甲、丁 C.乙、丙 D.乙、丁
第五章+统计学教案（假设检验）参数估计和假设检验是统计推断的两个组成部分，它们分别从不同的角度利用样本信息对总体参数 进行推断。前者讨论的是在一定的总体分布形式下，借助样本构造的统计量，对总体未知参数作出估计 的问题；后者讨论的是如何运用样本信息对总体未知参数的取值或总体行为所做的事先假定进行验证， 从而作出真假判断。通俗地、简单地说，前者是利用样本信息估计总体参数将落在什么范围里；而后者 则是利用样本信息回答总体参数是不是会落在事先假定的某一个范围里。 通过本章学习，要求学生在充分理解有关抽样分布理论的基础上，理解掌握假设检验的有关基本概 念；明确在假设检验中可能犯的两种错误，以及这两种错误之间的联系；熟练掌握总体均值和总体成数 的检验方法，主要是 Z 检验和 t 检验；对于非参数的检验，也应有所了解，包括符号检验、秩和检验与游程检验等。 2 一、假设检验概述与基本概念 1、假设检验概述 2、假设检验的有关基本概念 二、总体参数检验 1、总体平均数的检验 2、总体成数的检验
3、总体方差的检验 三、总体非参数检验 1、符号检验 2、秩和检验 3、游程检验 一、假设检验的有关基本概念； 二、总体平均数与总体成数的检验； 三、非参数检验； 一、假设检验的基本思路与有关概念； 二、两类错误的理解及其关系； 一、假设检验概述 假设检验：利用统计方法检验一个事先所作出的假设的真伪，这一假设称为统计假设，对这一假设 所作出的检验就是假设检验。 基本思路：首先，对总体参数作出某种假设，并假定它是成立的。然后，根据样本得到的信息（统 计量），考虑接受这个假设后是否会导致不合理的结果，如果合理就接受这个假设，不合理就拒绝这个 假设。 所谓合理性，就是看是否在一次的观察中出现了小概率事件。 小概率原理：就是指概率很小的事件，在一次试验中实际上是几乎不可能出现。这种事件可以称其 为“实际不可能事件”。 二、假设检验的基本概念
第七章 假设检验与方差分析 习题答案 一、名词解释 用规范性的语言解释统计学中的名词。 1. 假设检验：对总体分布或参数做出某种假设，然后再依据抽取的样本信息，对假设是否正确做出统计判断，即是否拒绝这种假设。 2. 原假设：又叫零假设或无效假设，进行统计检验时预先建立的假设，表示为 H 0，总是含有等号。 3. 备择假设：是零假设的对立，表示为 H 1，总是含有不等号。 4. 单侧检验：备择假设符号为大于或小于时的假设检验。 5. 显著性水平：原假设为真时，拒绝原假设的概率。 6. 方差分析：通过对数据总变异进行分解，来检验多个总体均值是否相等的一种统计分析方法。 二、填空题 根据下面提示的内容，将适宜的名词、词组或短语填入相应的空格之中。 1. u ，n x σμ0-，标准正态； ),(),(2/2/+∞--∞n z n z σσ αα 2. 参数检验，非参数检验 3. 弃真，存伪 4. 方差 5. 卡方， F 6. 方差分析 7. t ，u 8. n s x 0 μ-，不拒绝 9. 单侧，双侧 10．新产品的废品率为5% ，0.01 11．相关，总变异，组间变异，组内变异 12．总变差平方和=组间变差平方和+组内变差平方和 13．连续，离散 14．总体均值 15．因子，水平 16．组间，组内 17．r-1，n-r
18. 正态，独立，方差齐
三、单项选择 从各题给出的四个备选答案中，选择一个最佳答案，填入相应的括号中。 1．B 2．B 3. B 4．A 5． C 6． B 7． C 8． A 9． D 10． A 11． D 12． C 四、多项选择 从各题给出的四个备选答案中，选择一个或多个正确的答案，填入相应的括号中。 1.AC 2．A 3.B 4.BD 5. AD 五、判断改错 对下列命题进行判断，在正确命题的括号内打“√”；在错误命题的括号内打“×”，并在错误的地方下划一横线，将改正后的内容写入题下空白处。 1. 在任何情况下，假设检验中的两类错误都不可能同时降低。 ( × ) 样本量一定时 2. 对于两样本的均值检验问题，若方差均未知，则方差分析和t 检验均可使用，且两者检验结果一致。 ( √ ) 3. 方差分析中，组间离差平方和总是大于组内离差平方和。( × ) 不一定 4. 在假设检验中，如果在显著性水平0.05下拒绝了 00:μμ≤H ，则在同一水平一定可以拒绝假设00:μμ=H 。( × ) 不一定 5. 为检验k 个总体均值是否显著不同，也可以用t 检验，且与方差分析相比，犯第一类错误的概率不变。（ × ） 会增加 6. 方差分析中，若拒绝了零假设，则认为各个总体均值均有显著性差异。( × ) 不完全相等 六、简答题 根据题意，用简明扼要的语言回答问题。 1. 假设检验与统计估计有何区别与联系？ 【答题要点】 假设检验是在给定显著性水平下，计算出拒绝域，并根据样本统计量信息来做出是否拒
第七章假设检验基础 一、选择题 （一）A1型 每一道题下面有A、B、C、D、E五个备选答案，请从中选择一个最佳答案。 1、下面有关假设检验的描述，错误的是（） A、检验假设又称无效假设，用H0表示 B、备择假设用符号H1表示 C、H1是从反证法角度提出的 D、H0、H1既相互联系有相互对立 E、H0、H1都是根据统计推断的目的而提出的对总体特征的假设 2、两样本均数比较，经t检验差别有统计学意义时，P值越小，越有理由认为（） A、样本均数与总体均数差别大 B、两样本均数差别越大 C、两总体均数差别越大 D、两样本均数不同 E、两总体均数不同 3、当样本例数相同时，计量资料的成组t检验与配对t检验相比，一般情况下为（） A、成组t检验效率高一些 B、配对t检验效率高一些 C、二者效率相等 D、大样本时二者效率一致 E、与两组样本均数的大小有关
4、在比较两个独立样本资料的总体均数时，进行t检验的前提条件是（） A、两总体均数不等 B、两总体均数相等 C、两总体方差不等 D、两总体方差相等 E、以上都不对 （二）A2型 该题以一个小案例出现，其下面都有A、B、C、D、E五个备选答案，请从中选择一个最佳答案。 1、某地成年男子红细胞数普查结果为:均数为480万/mm3，标准差为 41.0万/mm3，那么标准差反应的是（） A、抽样误差 B、总体均数不同 C、随机误差 D、个体误差 E、以上均不正确 2、测定某地100名正常男子的血红蛋白量，要估计该地正常男子血红蛋白均数，95%置信区间为（） A、μ±1.96X B、X±1.96 C、X±2.58S D、X±1.96S E、μ±2.58S 3、以往的经验：某高原地区健康成年男子的红细胞数不低于一般健康成年男子的红细胞数。某医师在高原地区随机抽取调查了100名健康成年男子的红细胞数，与一般健康成年男子的红细胞数进行t检验后，得到P=0.1785，故按照a=0.05的水准，结论是（） A、该地区健康成年男子的红细胞数高于一般
假设检验习题及答案 填空题 1.原假设与备择假设是一个__________，也就是说在假设检验中原假设与备择假设只有一个成立，且必有一个成立。（完备事件组） 2.我们在检验某项研究成功与否时，一般以研究目标作为__________，如在研究新管理方法是否对销售业绩（周销售量）产生影响时，设原周销售量为A 元，欲对新管理方法效果进行检验，备择假设为__________。 （备择假设H1：μ>A） 单选题 从统计量出发，对总体某些特性的“假设”作出拒绝或接受的判断的过程称为( ) A.参数估计 B.统计推断 C.区间估计 D.假设检验 答案：d 2.假设检验的概率依据是( )。 A.小概率原理 B.最大似然原理 C.大数定理 D.中心极限定理 答案：a 多选题 1.统计推断包括以下几个方面的内容( )。 A.通过构造统计量，运用样本信息，实施对总体参数的估计 B.从统计量出发，对总体某些特性的“假设”作出拒绝或接受的判断 C.相关分析 D.时间序列分析 E.回归分析 答案：a, b 2.假设检验的基本思想是( )。 A.先对总体的参数或分布函数的表达式做出某种假设，然后找出一个在假设成立条件下出现可能性甚小的(条件)小概率事件。 B.如果试验或抽样的结果使该小概率事件出现了，这与小概率原理相违背，表明原来的假设有问题，应予以否定，即拒绝这个假设。 C.若该小概率事件在一次试验或抽样中并未出现，就没有理由否定这个假设，表明试验或抽样结果支持这个假设，这时称假设也实验结果是相容的，或者说可以接受原来的假设。 D.如果试验或抽样的结果使该小概率事件出现了，则不能否认这个假设。 E.若该小概率事件在一次试验或抽样中并未出现，则否定这个假设。 答案：a, b, c 3.假设检验的具体步骤包括( )。 A.根据实际问题的要求，提出原假设及备择假设;
《统计学》教案 第七章假设检验 教学目的：介绍假设检验的基本思想、步骤和规则，两类错误的概念，以及重要总体参数的检验方法。 基本要求：通过本章学习要求同学们理解假设检验的基本思想、规则和两类错误的概念，掌握假设检验的步骤和总体均值、成数、方差的检验方法。 重点和难点：假设检验的基本思想、规则和两类错误的概念。 教学内容：§1假设检验的一般问题§2 一个正态总体的参数检验§3二个正态总体的参数检验§4假设检验中的其它问题 学时分配：4学时 主要参考书目： 1、陈珍珍等，统计学，厦门：厦门大学出版社，2003年版 2、于磊等，统计学，上海：同济大学出版社，2003年 3、徐国强等，统计学，上海：上海财经大学出版社，2001年版 思考题： 1、请阐述假设检验的步骤 2、假设检验的结果是接受原假设，是否表明原假设是正确的？ 3、如何构造检验统计量？ §1假设检验的一般问题 教学内容 一、假设检验的概念 1.概念 ?事先对总体参数或分布形式作出某种假设 ?然后利用样本信息来判断原假设是否成立 2.类型 ?参数假设检验----检验总体参数 ?非参数假设检验----检验总体分布形式 3.特点 ?采用逻辑上的反证法
?依据统计上的小概率原理----小概率事件在一次试验中不会发生 二、假设检验的步骤 ?提出原假设和备择假设 ?确定适当的检验统计量 ?规定显著性水平α ?计算检验统计量的值 ?作出统计决策 三、假设检验中的小概率原理 在一次试验中小概率事件一旦发生，我们就有理由拒绝原假设。因为我们拒绝发生错误的可能性至多是α 四、假设检验中的两类错误 1. 第一类错误（弃真错误） ?原假设为真时，我们拒绝了原假设 ?第一类错误的概率为α 2. 第二类错误（取伪错误） ?原假设为假时，我们接受了原假设 ?第二类错误的概率为 β ?比第一类错误更容易发生 即接受原假设很容易发生 五、Neyman和Pearson检验原则 在控制犯第一类错误的概率α条件下, 尽可能使犯第二类错误的概率β减小。 该原则的含义是, 原假设要受到维护, 使它不致被轻易否定, 若要否定原假设, 必须有充分的理由---小概率事件发生了; 接受原假设, 只说明否定它的理由还不充分 六、双侧检验和单侧检验 教学方法 采用课堂教学方法 提问与讨论 1．在假设检验中显著性水平α有什么意义？ 2．显著性水平α相同时，双侧检验和单侧检验的拒绝域是否相同？ 板书设计 主要运用多媒体课件展示。重要内容采用书写板书
假设检验的基本步骤
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
假设检验的基本步骤 (三)假设检验的基本步骤 统计推断 １.建立假设检验,确定检验水准 H０和H1假设都是对总体特征的检验假设，相互联系且对立。 Ｈ0总是假设样本差别来自抽样误差，无效／零假设 H1是来自非抽样误差，有单双侧之分，备择假设。 检验水准，a=0.0５ 检验水准的含义 ２．选定检验方法,计算检验统计量 选择和计算检验统计量要注意资料类型和实验设计类型及样本量的问题， 一般计量资料用t检验和u检验; 计数资料用χ2检验和ｕ检验。 3.确定Ｐ值,作出统计推理 P≤ａ，拒绝H0,接受H１ P＞a,按a=0.05水准,不拒绝H0，无统计学意义或显著性差异 假设检验结论有概率性，无论使拒绝或不拒绝Ｈ0,都有可能发生错误 (四）两均数的假设检验（各种假设检验方法的适用条件及假设的特点、计算公式、自由度确定以及确定概率P值并做出推断结论) ｕ检验适用条件 t检验适用条件 t检验和u检验 1.样本均数与总体均数比较 2.配对资料的比较/成组设计的两样本均数的比较 配对设计的情况：3点 3. 两个样本均数的比较 (1）两个大样本均数比较的u检验 （2)两个小样本均数比较的t检验 (五)假设检验的两类错误及注意事项(Ⅰ和Ⅱ类错误） 1.两类错误 拒绝正确的H０称Ⅰ型错误－弃真，用检验水准α表示,α＝０.０５,犯I型错误概率为0．05，理论上平均每1０0次抽样有5次发生此类错误； 接受错误的H0称Ⅱ型错误－存伪。用β表示，(１-β)为检验效能或把握度，意义为两总体有差异，按α水准检出差别的能力，1－β＝０.9,若两总体确有差别，理论上平均每１00次抽样有90次得出有差别的结论。 两者的关系:α愈大β愈小;反之α愈小β愈大。 2．假设检验中的注意事项 （1)随机化：代表性和均衡可比性 (2）选用适当的检验方法 (３）正确理解统计学意义 (4）结论不绝对 (5）单侧与双侧检验的选择 四.分类变量资料的统计描述
第七章假设检验 第一节二项分布 二项分布的数学形式·二项分布的性质 第二节统计检验的基本步骤 建立假设·求抽样分布·选择显著性水平和否定域·计算检验统计量·判定第三节正态分布 正态分布的数学形式·标准正态分布·正态分布下的面积·二项分布的正态近似法 第四节中心极限定理 抽样分布·总体参数与统计量·样本均值的抽样分布·中心极限定理 第五节总体均值和成数的单样本检验 σ已知，对总体均值的检验·学生t分布(小样本总体均值的检验)·关于总体成数的检验 一、填空 1．不论总体是否服从正态分布，只要样本容量n足够大，样本平均数的抽样分布就趋于（正态）分布。 2．统计检验时，被我们事先选定的可以犯第一类错误的概率，叫做检验的( 显著性水平)，它决定了否定域的大小。 3．假设检验中若其他条件不变，显著性水平的取值越小，接受原假设的可能性越（大），原假设为真而被拒绝的概率越（小）。 4．二项分布的正态近似法，即以将B(x；n，p)视为N( np ，npq) 查表进行计算。 二、单项选择 1．关于学生t分布，下面哪种说法不正确（ B ）。 A要求随机样本 B 适用于任何形式的总体分布 C 可用于小样本 D 可用样本标准差S代替总体标准差 2．二项分布的数学期望为（ C ）。 A n(1-n)p B np(1- p) C np D n(1- p)。 3．处于正态分布概率密度函数与横轴之间、并且大于均值部分的面积为（ D ）。 A大于0.5 B －0.5 C 1 D 0.5。 4．假设检验的基本思想可用（ C ）来解释。 A中心极限定理 B 置信区间 C 小概率事件 D 正态分布的性质 5．成数与成数方差的关系是（D）。 A成数的数值越接近0，成数的方差越大
第六章假设检验习题 及答案
假设检验习题及答案 填空题 1.原假设与备择假设是一个__________，也就是说在假设检验中原假设与备择假设只有一个成立，且必有一个成立。（完备事件组） 2.我们在检验某项研究成功与否时，一般以研究目标作为__________，如在研究新管理方法是否对销售业绩（周销售量）产生影响时，设原周销售量为A元，欲对新管理方法效果进行检验，备择假设为__________。 （备择假设H1：μ>A） 单选题 从统计量出发，对总体某些特性的“假设”作出拒绝或接受的判断的过程称为( ) A.参数估计 B.统计推断 C.区间估计 D.假设检验 答案：d 2.假设检验的概率依据是( )。 A.小概率原理 B.最大似然原理 C.大数定理 D.中心极限定理 答案：a 多选题
1.统计推断包括以下几个方面的内容( )。 A.通过构造统计量，运用样本信息，实施对总体参数的估计 B.从统计量出发，对总体某些特性的“假设”作出拒绝或接受的判断 C.相关分析 D.时间序列分析 E.回归分析 答案：a, b 2.假设检验的基本思想是( )。 A.先对总体的参数或分布函数的表达式做出某种假设，然后找出一个在假设成立条件下出现可能性甚小的(条件)小概率事件。 B.如果试验或抽样的结果使该小概率事件出现了，这与小概率原理相违背，表明原来的假设有问题，应予以否定，即拒绝这个假设。 C.若该小概率事件在一次试验或抽样中并未出现，就没有理由否定这个假设，表明试验或抽样结果支持这个假设，这时称假设也实验结果是相容的，或者说可以接受原来的假设。 D.如果试验或抽样的结果使该小概率事件出现了，则不能否认这个假设。 E.若该小概率事件在一次试验或抽样中并未出现，则否定这个假设。 答案：a, b, c 3.假设检验的具体步骤包括( )。 A.根据实际问题的要求，提出原假设及备择假设;
第五章假设检验 参数估计和假设检验是统计推断的两个组成部分，它们分别从不同的角度利用样本信息对总体参数进行推断。前者讨论的是在一定的总体分布形式下，借助样本构造的统计量，对总体未知参数作出估计的问题；后者讨论的是如何运用样本信息对总体未知参数的取值或总体行为所做的事先假定进行验证，从而作出真假判断。通俗地、简单地说，前者是利用样本信息估计总体参数将落在什么范围里；而后者则是利用样本信息回答总体参数是不是会落在事先假定的某一个范围里。 本章的目的与要求 通过本章学习，要求学生在充分理解有关抽样分布理论的基础上，理解掌握假设检验的有关基本概念；明确在假设检验中可能犯的两种错误，以及这两种错误之间的联系；熟练掌握总体均值和总体成数的检验方法，主要是Z 检验和t检验；对于非参数的检验，也应有所了解，包括符号检验、秩和检验与游程检验等。 本章主要内容（计划学时2 ） 一、假设检验概述与基本概念 1、假设检验概述 2、假设检验的有关基本概念 二、总体参数检验 1、总体平均数的检验 2、总体成数的检验 3、总体方差的检验 三、总体非参数检验 1、符号检验 2、秩和检验 3、游程检验 学习重点 一、假设检验的有关基本概念； 二、总体平均数与总体成数的检验； 三、非参数检验； 学习难点 一、假设检验的基本思路与有关概念； 二、两类错误的理解及其关系； 第一节统计检验的基本概念 一、假设检验概述
基本思路：首先，对总体参数作出某种假设，并假定它是成立的。然后，根据样本得到的信息（统计量），考虑接受这个假设后是否会导致不合理的结果，如果合理就接受这个假设，不合理就拒绝这个假设。 所谓合理性，就是看是否在一次的观察中出现了小概率事件。 小概率原理：就是指概率很小的事件，在一次试验中实际上是几乎不可能出现。这种事件可以称其为“实际不可能事件”。 二、假设检验的基本概念 （一）原假设与对立假设 1、原假设：用“H0：”表示（也称“零假设”、“虚无假设”） 这是研究者对总体参数事先提出的假设。通常以总体没有发生显著变化为原假设。 2、对立假设：用“H1：”表示 对立假设也称“备择假设” 这是与原假设完全对立的、矛盾的假设，假设总体发生了显著的变化。 （二）显著性水平与显著性差异 1、显著性水平： 在统计检验中，判断假设是否合理，是根据一定的标准来确定的，这个标准是在检验之前由研究者事先主观选定的一个小概率值，用α表示.这个α就是显著性水平。 常用的α有0.1、0.05或0.01等 2、显著性差异： 如果统计量和假设的参数值存在差距，有两种可能： （1）差距不是很大（即不在小概率范围内出现），即可认为总体没发生显著变化。可接受原假设。 （2）差距很大（即出现在小概率范围内），即可认为总体发生了显著变化。说明存在着显著性差异，故拒绝原假设。 （三）双侧检验与单侧检验 1、双侧检验（双尾检验）： 双侧检验要求同时注意估计值偏高和偏低的倾向，这时，差距不分正负， 给出的显著水平α 2、单侧检验（单尾检验）：（有左单侧和右单侧两种） 单侧检验只注意估计值是否偏高（或偏低）,它是单方向的，给出的显著性水平α集中在同一侧。偏高时，差距为正，为右单侧检验；偏低时,差距为负，为左单侧检验。 （四）两种类型的错误 1、第一类错误——以真为假
§7.4 一般总体均值的假设检验 一、一般总体均值的大样本假设检验 1． 一个总体均值的大样本假设检验 设样本12(,,,)n X X X 取自非正态总体X ，记总体均值μ=)(X E 。样本均值及样本方差分别为1 1n i i X X n ==∑，2211()1n i i S X X n ==--∑。 如果我们要做双侧检验：0100::μμμμ≠?=H H ，在大样本情况（样本容量30≥n ）下可选 n S X Z /0 μ-=为检验统计量，由中心极限定理知，它在0H 成立时近 似服从)1,0(N 。检验的P 值近似为|))(|1(2)| |(20O O z z Z P Φ-==≥μμ，其中检验统计量Z 的观测值为 n s x z O /0 μ-=。 例7.4.1 一种机床加工的零件尺寸绝对平均误差为1.35mm 。生产厂家现采用一种新的 机床进行加工以期降低误差。为检验新机床加工的零件平均误差与旧机床相比是否有显著降低，从某天生产的零件中随机抽取50个进行检验。50个零件尺寸的绝对误差数据（mm ）如下所示： 1.26 1.19 1.31 0.97 1.81 1.13 0.96 1.06 1.00 0.94 0.98 1.10 1.12 1.03 1.16 1.12 1.12 0.95 1.02 1.13 1.23 0.74 1.50 0.50 0.59 0.99 1.45 1.24 1.01 2.03 1.98 1.97 0.91 1.22 1.06 1.11 1.54 1.08 1.10 1.64 1.70 2.37 1.38 1.60 1.26 1.17 1.12 1.23 0.82 0.86 利用这些数据，检验新机床加工的零件尺寸的平均误差是否显著降低？（0.01α=） 解：这里研究者所关心的是新机床加工的零件尺寸的平均误差与旧机床相比是否有显著降低，也就是新机床加工的零件尺寸的误差的数学期望μ=)(X E 是否小于1.35，因此属于单左侧检验。提出的假设如下： 0: 1.35H μ≥?1: 1.35H μ< 现在50=n ，检验统计量可选为 )1,0(~/35.135 .1N n S X Z =-=μ； 由数据得：215.1=x ，366.0=s ，故检验统计量Z 的观测值为608.250 /366.035 .1215.1-≈-≈O z ，所以检验的P 值近似为 0046.0)608.2()35.1608.2(=-Φ≈=-≤μZ P 。 因为01.0
第七章 假设检验 一、教材说明 本章主要介绍统计假设检验的基本概念和基本思想、正态总体参数的统计假设的显著性检验方法.。 1、本章的教学目的与要求 （1）使学生了解假设检验的基本概念； （2）使学生了解假设检验的基本思想； （3）使学生掌握假设检验的基本步骤； （4）使学生会计算检验的两类错误，搞清楚两类错误的关系； （5）使学生掌握正态总体参数的假设检验，主要是检验统计量及其分布，检验拒绝域的确定； （6）使学生灵活运用所学知识解决实际问题。 2、本章的重点与难点 本章的重点是正态总体参数的各种假设检验中的检验统计量及其分布，难点是假设检验拒绝域的确定。 二、教学内容 下面主要分3节来讲解本章的主要内容。 §7.1 假设检验的基本概念 对总体分布或分布中的某些参数作出假设，然后利用样本的观测值所提供的信息，运用数理统计的分析方法,检验这种假设是否成立，从而决定接受或拒绝“假设”,这一统计推断过程，称为假设检验。 1.引例 我们先举一个简单的实例来说明假设检验的基本思想及推理方法. 例1：某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布.且知标准差为0.015千克.当机器正常时, 其均值为0.5千克,某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为(千克): 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 问机器是否正常? 分析：用μ和σ分别表示这一天袋装糖重总体X 的均值和标准差，则)015.0,(~2 μN X ,其中μ未知。 问题: 已知总体2(,)X N μσ,且00.015,σσ==根据样本值判断0.5μ=还是 0.5μ≠。 提出两个对立假设00:0.5H μμ==（原假设或零假设）和 10:H μμ≠(备择假设).再利用已知样本作出判断是接受假设0H ( 拒绝假设1H ) , 还是拒绝假设0H (接受假设
第六章 假设检验 一.思考题 1.备择假设通常是研究者( A ) A.想搜集证据予以支持的假设 B.想搜集证据予以反对的假设 C.想要支持的一个正确假设 D.想要反对的一个正确假设 2.在假设检验中”=”总是放在( A ) A.原假设上 B.可以放在原假设上,也可以放在备择假设上 C.备择假设上 D.有时放在原假设上,有时放在备择假设上 3.支出下列假设检验哪一个属于右侧检验(C ) A.H 0:μ<600;H 1:μ≥600 B: H 0:μ=600; H 1:μ≠600 C: H 0:μ≤600; H 1:μ>600 D: H 0:μ≥600; H 1:μ<600 4.一项研究表明,中学生吸烟的比例超过30%,为检验这一方法是否属实,我们建立的原假设和备择假设应为(D ) A. H 0:π=30%; H 1: π≠30% B. H 0:π≠30%; H 1: π=30% C. H 0:π≥30%; H 1: π<30% D. H 0:π≤30%; H 1: π>30% 5.随即取一个n=100的样本，计算得到?x=60，s=15，要检验假设：H 0:μ=65；H 1:μ≠65，则检验统计量的值为（ A ） A ．-3.33 B.3.33 C.-2.36 D.2.36 6.在小样本，正态总体方差未知的情况下，检验总体均值所使用的统计量是（C ） A. z=?x -μ0/ (σ/√n) B. z= ?x -μ0/ (σ2/√n) C. t=?x -μ0/(s/√n) D. t=?x -μ0/(s/√n) 7.从正态总体中随机抽取一个n=25的随机样本，计算得到?x=17，s 2=8，假定σ20=10，要检验H 0: σ2=σ20，则检验统计量的值为（A ） A.x 2 =19.2 B. x 2 =18.7 C. x 2 =30.38 D. x 2 =39.6 8.若检验的假设H 0:μ≤μ0；H 1:μ>μ0，则拒绝域为（A ） A. z>z a B .Z <- z a C. z> z a 或z<-z a /2 D. z> z a 或z<- z a 9.在假设检验中，如果计算出来的P 值越小，则说明（ A ） A.不利于原假设的证据越强 B.不利于原假设的证据越弱 C.不利于备择假设的证据越强 D.不利于备择假设的证据越弱 10.环保部门想检验餐馆一天所有的快餐盒平均是否超过600个，建立的原假设和备择假设应为（ C ） A. H 0: μ<600;H 1:μ≥600 B: H 0:μ=600; H 1:μ≠600
第七章假设检验 第一节检验原理 一．提出原假设（Null Hypothesis）和备择假设（Alternative Hypothesis）； 所谓假设，是指需要进行验证的统计结论。 原假设是作为统计分析前提的假设，备择假设是在原假设不成立的情况下所接受的假设。 二．确定适当的检验统计量T； 检验统计量T是用于检验原假设是否成立的标准，在原假设成立的前提下，统计量T 满足某种特征， 三．规定显著性水平a（犯弃真错误的概率）； 显著性水平是设定一个弃真错误的概率，理论上说，没有一个检验是百分之百正确的，必然有一定的概率犯错误。 检验的错误分为两种类型，一是弃真错误，二是取伪错误。 所谓弃真错误，是指原假设为真，但检验的结果拒绝了原假设； 取伪错误，是指原假设为假，但检验的结果接受了原假设。 当在原假设条件下，T值出现的概率小于a时，拒绝原假设。 一个小概率事件出现，因此拒绝原假设。 a值越大，表明犯弃真错误的概率越大，越容易拒绝原假设，此时称检验越严格。 如果减小拒绝域，就意味着扩大接受域，从而扩大了犯取伪错误的概率。弃真和取伪是一对矛盾体，只有通过改进检验方法，例如扩大样本量，或者使用更好的统计量，才可以使二者同时缩小。 a值需要由检验目的来确定，当取伪造成的损失大于弃真造成的损失时，应扩大a值。 四．计算检验统计量T的值； 根据检验中获得的数据，计算统计量T的值。 五．作出统计决策。 根据T的取值特征，计算取该值的概率，如果此概率小于a，则拒绝原假设。 例子： 某裁判观察到球员A有类似于上肢触球的表现，现需决定是否判其为手球。 1．确定原假设：球员A没有上肢触球 2．确定统计量T：球在接触球员A的身体后反弹的角度 3．确定显著性水平：a＝0.05 4．计算T值：根据裁判的观察确定球的反弹角度为X 5．统计判断：当一名球员使用上肢之外的身体部分触球时，球的反弹角度为X的概率为0.03。由于0.03＜0.05，拒绝原假设，即认为球员A存在上肢触球。 在本例中，有3％的可能性发生弃真错误，即球员A没有上肢触球，但裁判作出了错误判断。 第二节利用正态分布的假设检验案例 利用正态分布的特征进行假设检验是比较常用的方法，有许多统计量符合正态分布，因此可以利用正态分布进行分析。
第六章 参数估计与假设检验 第一节 参数估计 一、参数估计概述 在许多实际问题中，总体被理解为我们所研究的那个统计指标，它在一定范围内取数值，而且是以一定的概率取各种数值的，从而形成一个概率分布，但是这个概率分布往往是未知的。例如为了制定绿色食品的有关规定，我们需要研究蔬菜中残留农药的分布状况，对这个分布我们知之甚少，以致它属于何种类型我们都不清楚。有时我们可以断定分布的类型，例如在农民收入调查中，根据实际经验和理论分析如概率论中的中心极限定理，我们断定收入服从正态分布，但分布中的参数取何值却是未知的。这就导致统计估计问题。统计估计问题专门研究由样本估计总体的未知分布或分布中的未知参数。直接对总体的未知分布进行估计的问题称为非参数估计；当总体分布类型已知，仅需对分布的未知参数进行估计的问题称为参数估计。本节我们研究参数估计问题。本节及以后假定抽样方法为放回简单随机抽样，样本的每个分量都与总体同分布，它们之间相互独立。 二、参数估计的基本方法 （一）估计量与估计值 1.参数估计就是用样本统计量去估计总体参数 2.用来估计总体参数的统计量的名称称为估计量，如样本均值、样本比例、样本方差等都可以是一个估计量。 3.估计量的具体数值称为估计值 （二）点估计与区间估计 参数估计方法有点估计与区间估计两种方法。 1.参数估计的点估计法 （1）设总体X 的分布类型已知，但包含有未知参数θ，从总体中抽取一个简单随机样本12(,,,)n X X X L ，欲利用样本提供的信息对总体未知参数θ进行估计。构造一个适当的统计量 ?T θ=12(,,,)n X X X L 作为θ的估计，称?θ为未知参数θ的点估计量（Point estimate ）。当有了一个具体的样本 观察值12(,,,)n x x x L 后，将其代入估计量中就得到估计量的一个具体观察值 T 12(,,,)n x x x L ，称为参数θ的一个点估计值。今后点估计量和点估计值这两个名词将不 强调它们的区别，通称为点估计，根据上下文不难知道此处的点估计究竟是点估计量还是点 估计值。 通俗地说，用样本估计量的值直接作为总体参数的估计值称为点估计。 常用的点估计量有：X μ∧= p P ∧ = 2 2 2() 1 X X s n σ∧-== -∑ 2、估计的评价标准： （1）无偏性： 设?T θ=12(,,,)n X X X L 是未知参数θ的一个点估计量，若?θ满足
第六章 假设检验基础 一、假设检验的概念与原理
概述 n假设检验（hypothesis testing） 对总体的某种规律提出一个假设，通过样本数据推 断，决定是否拒绝这一假设，这样的统计活动，称为 假设检验。
假设检验的思维逻辑 例1 某市抽取400名小学生进行视力干预方法研究，干预组和对 照组各200人。研究前首先作基线调查，发现干预组屈光度的均 数为-0.34D，标准差为0.12D；对照组屈光度的均数为-0.57D， 标准差为0.36D。试问在基线时，干预组和对照组屈光度的总体 均数有无差别？
样本均数分别为-0.34D和 -0.57D ，总体均数不等？ 造成这种差别的原因可能有两种： (1)两总体均数相等 -- 样本均数不同，乃抽样误差 (2)两总体均数不相等 -- 样本均数不同，并非抽样误差 需进行假设检验!
1. 建立检验假设，确定检验水准： n 零假设（null hypothesis ），又称原假设，记为H 0 ； 干预组小学生和对照组小学生屈光度的总体均数相等 H 0 ： n 对立假设 (alternative hypothesis), 又称备择假设,记为H 1 ； 干预组小学生和对照组小学生屈光度的总体均数不等 H 1 ： （ ， ） 2 1 m m = 2 1 m m 1 2 1 m m > 2 1 m m < 05 0. = a 假设检验的基本步骤
2. 选择并计算检验统计量 选择适宜的统计量 利用样本数据计算统计量的数值 12 2222 12 0.34(0.57) 8.57 0.120.36 200200 X X Z S S n n - --- === + + 12 22 12 12 X X Z S S n n - = + 假设检验的基本步骤 分子：样本均数之差 分母：样本均数之差的标准差 Z ：样本均数的差别（以其标准差为单位）
第七 章 假设检验 一、教材说明 本章主要介绍统计假设检验的基本概念和基本思想、正态总体参数的统计假设的显著性检验方法.。 1、本章的教学目的与要求 （1）使学生了解假设检验的基本概念； （2）使学生了解假设检验的基本思想； （3）使学生掌握假设检验的基本步骤； （4）使学生会计算检验的两类错误，搞清楚两类错误的关系； （5）使学生掌握正态总体参数的假设检验，主要是检验统计量及其分布，检验拒绝域的 ? ),问题: 已知总体2 (,)X N μσ:,且00.015,σσ==根据样本值判断0.5μ=还是 0.5μ≠。 提出两个对立假设00:0.5H μμ==（原假设或零假设）和 10:H μμ≠(备择假设).再利用已知样本作出判断是接受假设0H ( 拒绝假设1H ) , 还是拒绝假设0H (接受假设 1H ). 如果作出的判断是接受0H , 则0μμ=即认为机器工作是正常的, 否则, 认为是不
正常的. 因为X 是μ的无偏估计量，所以，若0H 为真，则0μ-x ~(0,1)N ， 衡量0μ-x X 的大小。于是可以选定一个适当的正数k ,当观察 值x X k ≥时，拒绝假设0H ;反之，当观察值x 满足 时k n X <-/0 σμ，接受假设 X 注:上述α称为显著性水平.此例表明假设检验的结论与选取的显著性水平α有密切的关系.所以,必须说明假设检验的结论是在怎样的显著水平α下作出的. 2.假设检验的基本思想及推理方法 1)假设检验基本思想 （1） 在假设检验中，提出要求检验的假设，称为原假设或零假设，记为0H ，原假设如 果不成立，就要接受另一个假设，这另一个假设称为备择假设或对立假设，记为1H 。 （2） 假设检验的依据——小概率原理：小概率事件在一次试验中实际上不会发生。 （3） 假设检验的思路是概率性质的反证法。即首先假设成立，然后根据一次抽样所得的
第七章 假设检验 【思考与练习】 一、思考题 1．解释零假设与备择假设的含义。 2．简述假设检验的基本步骤。 3．比较单侧检验与双侧检验的区别。 4．解释I 型错误、II 型错误和检验效能，并说明它们之间的关系。 5．简述假设检验与置信区间估计的联系。 二、案例辨析题 为了比较非洛地平与常规药物治疗高血压的疗效差异，现已知常规药能使高血压患者的血压平均下降20 mmHg ，某医生随机抽取100名原发性高血压患者，分别测量患者接受非洛地平治疗前后的血压差值，计算得其21.5X =mmHg ， 8.0S =mmHg 。该医生进行了t 检验，零假设是μμ0=，备择假设是μμ0≠，检验水准0.05α=。计算得 1.875t =，按100ν=查t 界值表，得0.10P 0.05<<，故接受0H ，认为非洛地平与常规药物治疗高血压的疗效无差别。你认为该结论正确吗？请说明理由。 三、最佳选择题 1．比较两药疗效时，下列哪种情况可作单侧检验 A ．已知A 药与B 药均有效 B ．已知A 药与B 药均无效 C ．已知A 药不会优于B 药 D ．已知A 药与B 药差不多好 E ．不知A 药好还是B 药好 2．假设检验的步骤是 A ．计算检验统计量、确定P 值、作出推断结论 B ．建立无效假设、建立备择假设、确定检验水准 C ．建立无效假设、计算检验统计量、确定P 值
D．确定单侧检验或双侧检验、选择t检验或Z检验、估计I型错误概率和II型错误概率 E．建立检验假设和确定检验水准、计算检验统计量、确定P值并作出统计推断3．假设检验时，下列关于检验结果的说法正确的是 A．若P值小于0.05，则不拒绝 H，此时可能犯II型错误 B．若P值小于0.05，则拒绝 H，此时可能犯II型错误 C．若P值小于0.05，则不拒绝 H，此时可能犯I型错误 D．若P值大于0.05，则拒绝 H，此时可能犯I型错误 E．若P值大于0.05，则不拒绝 H，此时可能犯II型错误 4．假设检验时，取以下何种检验水准时可能犯II型错误的概率最小 A．0.025 α= B．0.01 α= C．0.05 α= D．0.10 α= E．0.20 α= 5．下列有关检验统计量t的说法中正确的是 A．t越大，说明总体参数差别越大 B．t越大，说明总体参数差别越小 C．t越大，说明样本统计量差别越大 D．t越大，说明样本统计量差别越小 E．t越大，越有理由认为两总体参数不等 6．在样本均数与已知总体均数比较的t检验中，结果 3.24 t=， 0.05/2,2.086 t ν =， 0.01/2,2.845 t ν=，按检验水准0.05 α=，正确的结论是 A．可认为此样本均数与该已知总体均数不同 B．可认为此样本均数与该已知总体均数差异很大 C．可认为此样本均数所对应的总体均数与已知总体均数差异很大D．可认为此样本均数所对应的总体均数与已知总体均数相同E．可认为此样本均数所对应的总体均数与已知总体均数不同7．下列关于单侧检验和双侧检验的说法正确的是