1（2017海淀二模）对于无穷数列{}n a ，记{|,}j i T x x a a i j ==-<
，若数列{}
n a 满足：“存在t T ∈，使得只要m k
a a t -=（*,m k ∈N 且m k >）
，必有11m k a a t ++-=”
，则称数列{}n a 具有性质()P t . （Ⅰ）若数列{}n a 满足2,
2,25,3,n n n a n n ≤?=?-≥?
判断数列{}n a 是否具有性质(2)P ？是否
具有性质(4)P ？
（Ⅱ）求证：“T 是有限集”是“数列{}n a 具有性质(0)P ”的必要不充分条件；
（Ⅲ）已知{}n a 是各项为正整数的数列，且{}n a 既具有性质(2)P ，又具有性
质(5)P ，求证：存在整数N ，使得12,,,
,,
N N N N k a a a a +++是等差数列.
2（2017海淀一模）已知含有n 个元素的正整数集12{,,,}
n A a a a =???12(,3)n a a a n <
的正整数,k 存在数集A 的一个子集，使得该子集所有元素的和等于k . （Ⅰ）写出12,a a 的值； （Ⅱ）证明：“12,,
,n a a a 成等差数列”的充要条件是“(1)
()2
n n S A +=
”； （Ⅲ）若()2017S A =，求当n 取最小值时，n a 的最大值.
3（2017西城二模）设集合
*
2{1,2,3,,2}(,2)n A n n n =∈N ≥．如果对于2n A 的每一个含有(4)m m ≥个元素的子集P ，P 中必有4个元素的和等于41n +，称正整数m 为集合2n A 的一个“相关数”．
（Ⅰ）当3n =时，判断5和6是否为集合6A 的“相关数”，说明理由； （Ⅱ）若m 为集合2n A 的“相关数”，证明：30m n --≥； （Ⅲ）给定正整数n ．求集合2n A 的“相关数”m 的最小值．
4（2017西城一模）如图，将数字1,2,3,,2(3)n n ≥全部填入一个2行n 列的表格中，每格填一个数字．第一行填入的数字依次为12,,,n a a a ，第二行填入的数字依次为12,,,n b b b ．
记11221
||||||||n
n i i n n i S a b a b a b a b ==-=-+-++-∑．
（Ⅰ）当3n =时，若11a =，23a =，35a =，写出3S 的所有可能的取值； （Ⅱ）给定正整数n ．试给出12,,,n a a a 的一组取值，使得无论12,,,n
b b b 填写的顺序如何，n S 都只有一个取值，并求出此时n S 的值；
（Ⅲ）求证：对于给定的n 以及满足条件的所有填法，n S 的所有取值
的奇偶性相同．
5（2017东城二模）对于n 维向量12(,,,)n A a a a ，若对任意{1,2,,}i n 均
有0i
a 或1i
a ，则称A 为n 维T 向量.对于两个n 维T 向量,A B ，定
义1
(,)
||n i i i d A B a b .
（Ⅰ）若(1,0,1,0,1)A ，(0,1,1,1,0)B ，求(,)d A B 的值.
（Ⅱ）现有一个5维T 向量序列：，若1(1,1,1,1,1)A 且满足：
1(,)
2i i d A A ，*i
N .求证：该序列中不存在5维T 向量(0,0,0,0,0).
（Ⅲ）现有一个12维T 向量序列：，若112(1,1,,1)A 个
且满足：
1(,)i i d A A m ，*m
N ，1,2,3,
i ，若存在正整数j 使得
12(0,0,
,0)j
A 个
，j A 为12维T 向量序列中的项，求出所有的m .
6（2017东城一模）已知集合12{,,,},1,2,,n i A a a a a ,i n R =∈=，并且2n ≥．定
义
1()||
j i i j n
T A a a ≤<≤=
-∑
（例如：
21313213
||||||||j i i j a a a a a a a a ）．
（Ⅰ）若{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A =，{1,2,3,4,5}M =，集合A 的子集N 满足：
N
M ，且()()T M T N =，求出一个符合条件的N ；
123,,,
A A A 123,,,
A A A
（Ⅱ）对于任意给定的常数C 以及给定的集合12{,,,}n A a a a =，求证：存
在集合12{,,,}n B b b b =，使得()()T B T A =，且1n
i i b C ==∑.
（Ⅲ）已知集合122{,,,}m A a a a =满足：1i i a a +<，1,2,,21i m =-，2m ，
12,m a a a b ==，其中,a b R 为给定的常数，求()T A 的取值范围．
7（2017朝阳二模）各项均为非负整数的数列}{n a 同时满足下列条件： ①m a =1 ()N m ∈*；②1n a n ≤- (2)n ≥；③n 是12n a a a +++的因数（1n ≥）．
（Ⅰ）当5=m 时，写出数列}{n a 的前五项；
（Ⅱ）若数列}{n a 的前三项互不相等，且3≥n 时，n a 为常数，求m 的值；
（Ⅲ）求证：对任意正整数m ，存在正整数M ，使得n M ≥时，n a 为常数．
8（2017朝阳一模）对于正整数集合12{,,,}n A a a a （n *∈N ，3n
）
，如果去掉其中任意一个元素i a （1,2,,i n ）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“和谐集”.
（Ⅰ）判断集合{1,2,3,4,5}是否是“和谐集”（不必写过程）；
（Ⅱ）求证：若集合A 是“和谐集”，则集合A 中元素个数为奇数； （Ⅲ）若集合A 是“和谐集”，求集合A 中元素个数的最小值.
9（2017丰台二模）若无穷数列{}n a 满足：k ?∈*N ，对于00()n n n ?≥∈*N ，都
有n k n a a d +-=（其中d 为常数），则称{}n a 具有性质“0()P k n d ,,”.
（Ⅰ）若{}n a 具有性质“(320)P ,,”，且23a =，45a =，67818a a a ++=，求3a ； （Ⅱ）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，132b c ==，318b c ==，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质“(210)P ,,”，并说明理由；
（Ⅲ）设{}n a 既具有性质“1(2)P i d ,,”，又具有性质“2(2)P j d ,,”，其中
i j ∈*N ，，i j <，i j ,互质，求证：{}n a 具有性质“1(2)j i
P j i i d i
--+,,
”. 10（2017丰台一模）对于*N ?∈n ，若数列{}n x 满足11+->n n x x ，则称这个数列为“K 数列”．
（Ⅰ）已知数列：1，m +1，m 2是“K 数列”，求实数m 的取值范围；
（Ⅱ）是否存在首项为-1的等差数列{}n a 为“K 数列”，且其前n 项和n
S 满足
2*1
(N )
2
<-∈n S n n n ？若存在，求出{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）已知各项均为正整数的等比数列{}n a 是“K 数列”，数列1
2
n a ??
????不
是“K 数列”，若1
1
n n a b n +=
+，试判断数列{}n b 是否为“K 数列”，并说明理由．
11（2017昌平二模）设集合，.对数列，
规定：
① 若,则；
② 若，则.
例如：当，时，.
(I)已知等比数列，，且当时，，求数列的通项公式；
(II)已知数列，证明：对于任意的，且，存
在，使；
(III)已知集合, ，．设中最大元
素为
，中最大元素为，求证：.
12（石景山期末）集合M 的若干个子集的集合称为集合M 的一个子集族．对
于集合{1,2,3}n 的一个子集族D 满足如下条件：若,A D B A ∈?，则
B D ∈，则称子集族D 是“向下封闭”的．
（Ⅰ）写出一个含有集合{1,2}的“向下封闭”的子集族D 并计算此时(1)
A
A D
∈-∑的值（其中A 表示集合A 中元素的个数，约定0φ=；A D
∈∑表示对子集族D 中所有成员A 求和）；
{}
1,2,100U =…，T U ?{}()n a n ∈*N T =?0T S ={}12k T n ,n ,n =…，
1
2
+k T n n n S a a a =++2n a n ={}=1,3,5T 135261018=++=++=T S a a a {}()n a n ∈*
N 11a =={2,3}T =12T S {}
n a 12,1,2,2
n n n a n -=?=?≥?1100≤≤k ∈*N k ?T U 1T k S a +=,,A U B U A B ??=?1
3n n a -=A B S S ≥A m
B r
1m r ≥+
（Ⅱ）D 是集合{1,2,3}n 的任一“向下封闭的”子集族，对A D ?∈,记
max k A
=，
()max (1)
A
A D
f k ∈=-∑（其中max 表示最大值），
（ⅰ）求(2)f ； （ⅱ）若k 是偶数，求()f k ．
1（2017海淀二模）（Ⅰ）数列{}n a 不具有性质(2)P ；具有性质(4)P . （Ⅱ）（不充分性）对于周期数列1,1,2,2,1,1,2,2,，{1,0,1}T =-是有限集，但是由于21320,1a a a a -=-=，
所以不具有性质(0)P ；
（必要性）因为数列{}n a 具有性质(0)P ，
所以一定存在一组最小的*,m k ∈N 且m k >，满足0m k a a -=，即m k a a =
由性质(0)P 的含义可得11222112,,
,,,m k m k m k m m k m a a a a a a a a ++++----====
所以数列{}n a 中，从第k 项开始的各项呈现周期性规律：11
,,
,k k m a a a +-为一个周期中的各项，
所以数列{}n a 中最多有1m -个不同的项，
所以T 最多有2
1m C -个元素，即T 是有限集.
（Ⅲ）因为数列{}n a 具有性质(2)P ，数列{}n a 具有性质(5)P ，
所以存在*','M N ∈N ，使得''2M p M a a +-=，''5N q N a a +-=，其中,p q 分别是满足
上述关系式的最小的正整数，
由性质(2),(5)P P 的含义可得k ?∈N ，''''2,5M p k M k N q k N k a a a a ++++++-=-=，
若''M N <，则取''k N M =-，可得''2N p N a a +-=； 若''M N >，则取''k M N =-，可得''5M q M a a +-=. 记max{','}M M N =，则对于M a ，有2M p M
a a +-=，5M q M a a +-=，显然p q ≠，
由性质(2),(5)P P 的含义可得k ?∈N ，2,5M p k M k N q k N k a a a a ++++++-=-=，
所
以
(1)(1)(2)()()()2M qp M M qp M q p M q p M q p M p M a a a a a a a a q +++-+-+-+-=-+-+
+-=
(1)(1)(2)()()()5M qp M M pq M p q M p q M p q M q M a a a a a a a a p +++-+-+-+-=-+-++-=
所以25M qp M M a a q a p +=+=+.所以25q p =，
又,p q 是满足2M p M a a +-=，5M q M a a +-=的最小的正整数，
所以5,2q p ==，
252,5M M M M a a a a ++-=-=，
所以k ?∈N ，252,5M k M k M k M k a a a a ++++++-=-=，
所
以
k ?∈N
，22(1)22M k M k M a a a k
++-=+==+，
55(1)55M k M k M a a a k
++-=+=
=+，
取5N M =+，则k ?∈N ， 所以，若k 是偶数，则N k
N a a k +=+；
若
k
是奇数，则
5(5)5(5)5(5)N k N k N N N a a a k a k a k +++-+==+-=++-=+，
所以k ?∈N ，N k
N a a k +=+
所以12,,,
,,
N N N N k a a a a +++是公差为1的等差数列.
2（2017海淀一模）解：（Ⅰ）121,2a a ==. （Ⅱ）先证必要性
因为121,2a a ==，又12,,,n a a a 成等差数列，故n a n =，所以(1)
()2
n n S A +=； 再证充分性
因为12n a a a <
12341,2,3,4,,n a a a a a n ==≥≥???≥,
所以12()n S A a a a =++???+(1)
122
n n n +≥++???+=, 又(1)
()2
n n S A +=
，故m a m =(1,2,,)m n =，故12,,
,n a a a 为等差数列.
（Ⅲ）先证明12(1,2,,)m m a m n -?≤=???.
假设存在12p p a ->，且p 为最小的正整数. 依题意3p ≥,则
2112112221p p p a a a ---++???+≤++???+=-，又因为12n a a a <<
<,
故当1(21,)p p k a -∈-时，k 不能等于集合A 的任何一个子集所有元素的
和.
故假设不成立，即12(1,2,,)m m a m n -?≤=???成立. 因此112201712221n n n a a a -=++???+≤++???+=-, 即22018n ≥，所以11n ≥.
因为2017S =，则1212017n n a a a a -++???=-，
若20171n n a a -<-时，则当(2017,)n n k a a ∈-时，集合A 中不可能存在若
干不同元素的和为k ，
故20171n n a a -≥-，即1009n a ≤.
此时可构造集合{1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009}A =.
因为当{2,21}k ∈+时，k 可以等于集合{1,2}中若干个元素的和， 故当2222{2,21,22,23}k ∈+++时，k 可以等于集合2{1,2,2}中若干不同元
素的和，
……
故当8888{2,21,22,,2255}k ∈+++时，k 可以等于集合8{1,2,,2}中若干不同元素的和，
故当{4973,4974,,497511}k ∈+++时，k 可以等于集合8{1,2,,2,497}中若干不同元素的和，
故当{1009,10091,10092,,10091008}k ∈+++时，k 可以等于集合
8{1,2,,2,497,1009}中若干不同元素的和，
所以集合{1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009}A =满足题设， 所以当n 取最小值11时，n a 的最大值为1009.
3（2017西城二模）解：（Ⅰ）当3n =时，6{1,2,3,4,5,6}A =，4113n +=．[ 1分]
①对于6A 的含有5个元素的子集{2,3,4,5,6}， 因为234513+++>，
所以5不是集合6A 的“相关数”．……[ 2分] ②6A 的含有6个元素的子集只有{1,2,3,4,5,6}， 因为134513+++=，
所以6是集合6A 的“相关数”．……[ 3分]
（Ⅱ）考察集合2n A 的含有2n +个元素的子集{1,,1,,2}B n n n n =-+．[ 4分]
B 中任意4个元素之和一定不小于(1)(1)(2)42n n n n n -+++++=+．
所以2n +一定不是集合2n A 的“相关数”．……[ 6分]
所以当2m n +≤时，m 一定不是集合2n A 的“相关数”．……[ 7分] 因此若m 为集合2n A 的“相关数”，必有3m n +≥．
即若m 为集合2n A 的“相关数”，必有30m n --≥．……[ 8分] （Ⅲ）由（Ⅱ）得 3m n +≥．
先将集合2n A 的元素分成如下n 组：
(,21)(1)i i n C i n i =+-≤≤．
对2n A 的任意一个含有3n +个元素的子集P ，必有三组1
2
3
,,i i i C C C 同属于集合
P ．
??[10分]
再将集合2n A 的元素剔除n 和2n 后，分成如下1n -组：
1(,2)(1)j j n D j n j -=-≤≤．
对于2n A 的任意一个含有3n +个元素的子集P ，必有一组4
j D 属于集合P ．??
[11分]
这一组4
j D 与上述三组1
2
3
,,i i i C C C 中至少一组无相同元素，
不妨设4
j D 与1
i C 无相同元素．
此时这4个元素之和为1144[(21)[(2)]41i n i j n j n ++-++-=+．[12分]
所以集合2n A 的“相关数”m 的最
4（2017西城一模）解：（Ⅰ） 3S 的所有可能的取值为3，5，7，9. [ 3分]
（Ⅱ） 令i a i = (1,2,,)i n =，则无论12,,,n b b b 填写的顺序如何，都有
2n S n =．
[ 5分]
因为 i a i =，
所以
{1,2,,2}
i b n n n ∈++，
(1,2,,)i n =． [ 6分]
因为 i i a b < (1,2,,)i n =， 所
以
22
1
1
1
1
1
1
||()n
n
n
n
n n
n i i i i i i i i i i i n i S a b b a b a i i n
=====+==-=-=-=
-=∑∑∑∑∑∑． [ 8分]
注：12{,,,}{1,2,,}n a a a n =，或12{,,,}{1,2,,2}n a a a n n n =++均满
足条件．
（Ⅲ）解法一：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的n S 的值不变．
不妨设i i a b >，记1
n
i i A a ==∑，1
n
i i B b ==∑，其中1,2,,i n =．
则 1
1
1
1
||()n n n n
n i i i i i i i i i i S a b a b a b A B =====-=-=-=-∑∑∑∑． [ 9分]
因为 21
2(21)
(21)2
n
i n n A B i n n =++==
=+∑， 所以 A B +与n 具有相同的奇偶性． [11分] 又因为 A B +与A B -具有相同的奇偶性， 所以 n S A B =-与n 的奇偶性相同，
所以 n S 的所有可能取值的奇偶性相
同． [13分]
解法二：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的n S 的值不
变．
考虑如下表所示的任意两种不同的填法，1
||n
n i i i S a b ==-∑，
1
||n
n
i i i S a b ='''=-∑，不妨设
i i
a b <，
i i a b ''
<，其中
1,2,,i n =． [ 9分]
1
1
1
1
1
1
()()()()n n n n n n
n n
i i i i i i i i i i i i i i S S b a b a b b a a ======'''''+=-+-=+-+∑∑∑∑∑∑． 对于任意{1,2,,2}k n ∈，
① 若在两种填法中k 都位于同一行，
则k 在n n
S S '+的表达式中或者只出现在1
1
n
n
i i i i b b =='+∑∑中，或只出现在1
1
n n
i
i
i i a a =='+∑∑ 中，且出现两次，
则对k 而言，在n n
S S '+的结果中得到2k ±． [11分]
② 若在两种填法中k 位于不同行，
则k 在n n
S S '+的表达式中在1
1
n
n
i i i i b b =='+∑∑与1
1
n
n
i i i i a a =='+∑∑中各出现一次，
则对k 而言，在n n
S S '+的结果中得到0． 由 ① ② 得，对于任意{1,2,,2}k n ∈，n n
S S '+必为偶数． 所以，对于表格的所有不同的填法，n S 所有可能取值的奇偶性相同． [13分]
5（2017东城二模）解：（Ⅰ）由于(1,0,1,0,1)A =，(0,1,1,1,0)B =，由定义
1
(,)
||n i i i d A B a b ，可得(,)4d A B . …………4分
（Ⅱ）反证法：若结论不成立，即存在一个含5维向量序列
，
使得1(1,1,1,1,1)A ，(0,0,0,0,0)m A .
因为向量1(1,1,1,1,1)A 的每一个分量变为0，都需要奇数次变化，
不妨设1A 的第(1,2,3,4,5)i i 个分量1变化了21i n 次之后变成0，
T 123,,,,m A A A A
所以将1A 中所有分量1 变为0 共需要
12345(21)(21)(21)(21)(21)n n n n n 123452(2)1n n n n n 次，此数为奇数.
又因为*1(,)2,i i d A A i N ，说明中的分量有个数值发生改变，
进而变化到，所以共需要改变数值次，此数为偶数，
所以矛盾.
所以该序列中不存在5维T 向量(0,0,0,0,0). ……………9分
（Ⅲ）此时. ……………13分
易见当为12的因子时，给 (1分).
答出给(1分).
答出中任一个给(1分)，都对给(2分)
6（2017东城一模）解：（Ⅰ）由于{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A =，{1,2,3,4,5}M =，
所以{6,7,8,9,10}N =，{5,6,7,8,9}N =，{4,5,6,7,8}N =
{3,4,5,6,7}N =，{2,3,4,5,6}N =，回答其中之一即可 ………
i A 21i A +2(1)m -1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12m =m 1,2,3,4,6,125,8,10m =7,9,11m =
3分
（Ⅱ）若集合12{,,,}n A a a a =，如果集合A 中每个元素加上同一个常数
t ，形成新的集合12{,,
,}n M a t a t a t =+++. ……………5分
根据1()||j i i j n
T A a a ≤<≤=
-∑
定义可以验证：()()T M T A =. ……………6分
取1
n
i
i C a t n
=-=
∑，此时1
1
1
12{,,
,}n
n
n
i
i
i
i i i n C a C a C a B a a a n
n
n
===---=-
-
-
∑∑∑.
通过验证，此时()()T B T A =，且1
n
i i b C ==∑. ……………8分
（Ⅲ）由于2m
21314121()()()()()m T A a a a a a a a a =-+-+-++-
324222()()()m a a a a a a +-+-+
+-
4323()()m a a a a +-+
+-
221()m m a a -+-
121212=(21)(23)(23)(21)m m m m m a m a a a m a m a +------
-++
+-+-212121=(21)()(23)()()
m m m m m a a m a a a a -+--+--++-
2121=(21)()(23)()()m m m m b a m a a a a -+--+--+
+-………11分
由于2120m a a b a -<-<-，
2230m a a b a -<-<-，
2340m a a b a -<-<-，
10m m a a b a +<-<-.
所以2(21)()()()m b a T A m b a --<<-.………13分
7（2017朝阳二模）解：（Ⅰ）5，1，0，2，2. …………3分
（Ⅱ）因为10-≤≤n a n ，所以20,1032≤≤≤≤a a ，
又数列}{n a 的前3项互不相等，
（1）当02=a 时，
若13=a ，则3451a a a ===
=，
且对3≥n ，
12
)2(0+-=-++n
m n n m 都为整数，所以2=m ；
若23=a ，则3452a a a ===
=，
且对3≥n ，
24
)2(20+-=-++n
m n n m 都为整数，所以4=m ；
（2）当12=a 时，
若03=a ，则3450a a a ===
=，且对3≥n ，
n
m n n m 1
)2(01+=
-?++都为整数，所以1-=m ，不符合题意；
若23=a ，则3452a a a ===
=，
且对3≥n ，
23
)2(21+-=-++n
m n n m 都为整数，所以3=m ；
综上，m 的值为2,3,4. ………8分 （Ⅲ）对于1≥n ，令12n n S a a a =++
+，
则
11111+=+≤+=<++++n
S n n S n a S n S n S n
n n n n n . 又对每一个n ，n S
n 都为正整数，所以
11++n S n m S
n
S n =≤≤≤1...1，其中“<”至多出现1-m 个.故存在正整数M m >，当n M >时，必有n
S n S n
n =++11成立.
当
n S n S n n =++11时，则n
S
S n S n S S a n n n n n n =-+=-=++)1(11.
从而
2
2)1(221
2
112122+-+=+++=+++=+++++++++n a a a n a n a n S a a n S n n n n n n n n n . 由题设知
121
2||12<++≤+-++n n n a a n n ，又2
2++n S n 及1+n a 均为整数，
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．14 B ．π8 C ． 12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；
高考数学中的放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i
1．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为 棱1DD ，AB 上的点. 已知下列判断： ①1 AC ^平面1B EF ；②1B EF D 在侧面11BCC B 上 的正投影是面积为定值的三角形；③在平面 1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；④平 面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点E 的位置有关，与点F 的位 置无关. 其中正确判断的个数有 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（B ） 2.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点,F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F//面A 1BE ，则B 1F 与平面CDD 1C 1 所成角的正切值构成的集合是 C A. {}2 B. 255?? ? ??? C. {|222}t t ≤≤ D. 2 {|52}5 t t ≤≤ 3. 如图，四面体OABC 的三条棱OC OB OA ,,两两垂直，2==OB OA ,3=OC ，D 为四 面体OABC 外一点.给出下列命题. ①不存在点D ,使四面体ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点D ,使四面体ABCD 是正三棱锥 ③存在点D ,使CD 与AB 垂直并且相等 ④存在无数个点D ,使点O 在四面体ABCD 的外接球面上 其中真命题的序号是D （A ）①② （B ）②③ （C ）③ （D ）③④ 4. 在一个正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形 1111A B C D 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心， ,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=u u u u r u u u u r 的实数λ的值 有 C A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做 A B C D E 1A 1 D 1 B 1 C O A B D C A 1 D 1 A 1 C 1 B D C B O P N M Q
高考数学压轴题解题思路 一、数学归纳法的工具显神通. 案例一 下面是：2016年北京理科高考数学压轴题。 设数列A ：1a ，2a ,…N a (N ≥2)。如果对小于n(2≤n ≤N)的每个正整数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”。记“G （A ）是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合. （I ）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出G （A ）的所有元素； (I I)证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则G （A ）≠ ? ； (I I I ）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2,3, …,N ）,则G （A ）的元素个数不小于1a a N -. 仅证第三小问. 分析：(I I I ）记|)|A G （表示集合中元素个数. （1）2=n 时，当1|)(|,12=>A G a a ，又112≤-a a ，则.|(|12a a A G -≥） 当0|)(|012=≤-A G a a ，显然，，）12|(|a a A G -≥2=∴n 成立. （2）假设k n =成立,如何利用k n =去证1+=k n 成立是个难点.首先对k n =成立的理解.其实质是k 个元素，k b b b ,,21.如果),2.(11k n b b n n =≤--,则)(A G 元素个数不小于1b b k -，k b b b ,,21,可能是k a a a ,,21，也可能是 n a a a ,,21中任k 个元素组成的数列，只要新数列后一项减去前一项不超过1，就可以利用归纳假设.在利用k n =来证1+=k n 成立时.必须对121,+k a a a 减少一个元素，减少谁呢？显然，根据“G 时刻定义”，去掉最大或最小元素对处理G 时刻增加或减少较好处理. 选择最小元素所在位置为分类标准. ①在121,+k a a a 中如果最小元素是1+k a ，011≤-+a a k 显然成立. ②如果最小元素是1a ，去掉1a 后，12+k a a ，)1,,3,11+=≤--k n a a n n （符合k n =成立的条件.令12+k a a 的G 时刻组成的集合为)A G （，则.|(|21a a A G k -≥+）因为1a 是最小元素，121,+k a a a 的G 时刻元素个数为
1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；
（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：．
6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；
高考理科数学压轴题 (21)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 ,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点 的距离的最大值为 3,最小值为 1. (I) 求椭圆 C 的标准方程 ; (II) 若直线l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点 ),且以 AB 为直径的圆 过椭 圆 C 的右顶点 .求证 :直线 l 过定点 ,并求出该定点的坐标 . (22)(本小题满分 14分)设函数 f(x) x 2 bln(x 1),其中 b 0. 1 (I) 当 b 时 ,判断函数 f (x) 在定义域上的单调性 ; 2 (II)求函数 f (x)的极值点 ; 1 1 1 (III) 证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( 1) 2 3 都成立 . n n n 22 xy (21)解： (I) 由题意设椭圆的标准方程为 2 2 1(a b 0) ab 2 a c 3,a c 1，a 2,c 1, b 2 3 22 x 2 y 2 1. 43 Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD k BD 1， y kx m (II)设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2)， 由 2 x 2 y 得 1 4 3 2 2 2 (3 4k 2 )x 2 8mkx 4(m 2 3) 2 2 2 64m 2 k 2 16( 3 4k 2)( 2 m 3) 0， 22 3 4k 2 m 2 0 8mk 2 ,x 1 x 2 2 4(m 2 3) 3 4k 2 y 1 y 2 2 (kx 1 m) (kx 2 m) k x 1x 2 mk(x 1 x 2) m 2 3(m 2 4k 2) 3 4k 2
放缩技巧 （高考数学备考资料） 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 1 2142的值; (2)求证:3 511 2 <∑=n k k . 解析:(1)因为 121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 112 22 2+-+-+j i j i j i
高考数学填空选择压轴题试题汇编（理科） 目录（120题） 第一部分函数导数(47题)······································2/23 第二部分解析几何(23题)······································9/29第三部分立体几何（11题）·····································12/31 第四部分三角函数及解三角形（10题）··························14/32 第五部分数列（10题）········································15/33 第六部分概率统计（6题）·····································17/35 第七部分向量（7题）·········································18/36 第八部分排列组合（6题）······································19/37 第九部分不等式（7题）········································20/38
第十部分 算法（2 题）··········································21/40 第十一部分 交叉部分（2 题）·····································22/40 第十二部分 参考答 案············································23/40 【说明】：汇编试题来源 河南五年高考真题5套；郑州市2011年2012年一模二模三模试题6套；2012年河南省各地市检测试题12套；2012年全国高考文科试题17套。共计40套试题.试题为每套试卷选择题最后两题，填空最后一题。 第一部分 函数导数 1.【12年新课标】（12）设点P 在曲线1 2 x y e = 上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的 最小值为( ) 2.【11年新课标】(12)函数x y -= 11 的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于( ) 3.【10年新课标】（11）()??? ??>+-≤<=10,62 1100,lg x x x x x f ，若c b a ,,均不相等，且 ()()()c f b f a f ==，则abc 的取值范围是（ ） 4.【09年新课标】（12）用{}c b a ,,m in 表示c b a ,,三个数中的最小值。设 (){}()010,2m in ≥-+=x x x x f ,则()x f 的最大值为( ) 5.【11年郑州一模】12．若定义在R 上的偶函数()(2)()f x f x f x +=满足，且当 [0,1],(),x f x x ∈=时则函数3()log ||y f x x =-的零点个数是( ) A ．多于4个 B ．4个 C ．3个 D ．2个 6.【11年郑州二模】 7.【11年郑州二模】设()x f 是R 上的奇函数，且()01=-f ，当0>x 时， () ()()021'2 <-+x xf x f x ，则不等式()0>x f 的解集为________.