高考能力测试步步高数学基础训练19
基础训练19 三角形中的三角函数问题
●训练指要
运用三角函数中的基本公式以及正、余弦定理、三角形内角和定理解决三角形中的计算和证明问题以及判断三角形的形状.
一、选择题
1.在△ABC 中，“∠A ＞∠B ”是“sin A ＞sin B ”的
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.在Rt △ABC 中，∠C =90°,∠A =60°，D 是BC 中点，则∠CAD 等于 A.6
πB.arctan 23 C.4
πD.arctan 332 3.在△ABC 中，已知tan A +tan B =3tan A ·tan B -3,且sin B cos B =
43，则△ABC 是 A.正三角形B.直角三角形
C.正三角形或直角三角形
D.直角三角形或等腰三角形
二、填空题
4.半径为1的圆内接三角形的面积是4
1，则abc =_________. 5.△ABC 中，如果(1+cot A )(1+cot B )=2，那么log 2sin C =_________.
三、解答题
6.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，tan A ·tan C =2+3且tan A ＜tan C ,求角
A 、
B 、
C 的大小.又已知顶点C 的对边上的高等于43，求三角形各边a 、b 、c 的长.
7.在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边.如果(a 2+b 2)·sin(A -B )=(a 2-b 2)·sin(A +B ),且A ≠B .求证：△ABC 是直角三角形.
8.已知直角三角形周长为1，求其面积的最大值.
高考能力测试步步高数学基础训练19答案
一、1.C 2.B
3.A
提示：tan A +tan B =－3(1－tan A tan B )
若tan A tan B =1,则tan A +tan B =0,
tan A ,tan B 是方程x 2+1=0的实数根，但x 2+1=0无实根，
∴1－tan A tan B ≠0, ∴.3tan tan 1tan tan -=-+B
A B A ,3tan ,3)tan(=-=+C B A
∴C =3
π. .3.2
,6.36,3232.2
0,232sin ππ
π
πππππ=
==∴====∴<<=
C B A A B B B B B 与题设不符则若或即或又 二、4.1
5.－2
1 提示：由已知?cot A +cot B +cot A cot B =1?tan A +tan B +1=tan A tan B 易知1－tan A tan B ≠0，
∴tan(A +B )=－1,C =4
π, log 2sin C =log 2.2
122-= 三、6.A =45°，B =60°，C =75°，a =8,b =434,6=c
7.略
提示：已知条件?a 2［sin(A +B )－sin(A －B )］=b 2［sin(A +B )+sin(A －B )］ ?a 2·2cos A sin B =b 2·2sin A cos B
?a 2·bc a c b 2222-+·b =b 2·a ·ac
b c a 2222-+ ?(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)=0.
∵A ≠B ,∴a ≠b ,
∴a 2+b 2=c 2,∠C =90°.
8.S max =2
223-. 提示：设两直角边为a ,b ，则a +b +,2223221122-≤
?+≥?=+ab ab ab b a ∴
S △=422321-≤ab (当a =b 时取等号).