最近五年高考数学解析几何压轴题大全（含答案）
1.【2009年陕西卷】21．（本小题满分12分）
已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。
（I）求双曲线C的方程；
(II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别
位于第一、二象限，若，求面积的取值范围。
【答案】
21．（本小题满分14分）
已知双曲线C的方程为
离心率顶点到渐近线的距离为
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）如图，P是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分
别位于第一，二象限.若求△AOB面积的取值范围.
解答一（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点到渐近线
∴
由得∴双曲线C的方程为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为
设
由得P点的坐标为
将P点坐标代入化简得
设∠AOB
又
记
由
当时，△AOB的面积取得最小值2，当时，△AOB的面积取得最大值
∴△AOB面积的取值范围是
解答二（Ⅰ）同解答一
（Ⅱ）设直线AB的方程为由题意知
由{得A点的坐标为
由{得B点的坐标为
由得P点的坐标为
将P点坐标代入
设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）.
=
以下同解答一.
2.【2010年陕西卷】20. （本小题满分13分）
如图，椭圆的顶点为，焦点为，
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设n是过原点的直线，是与n垂直相交于F点、与椭圆相交于A,B亮点的直线，||=1，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。
【答案】
（Ⅰ）
由知，①
由知a=2c，②
又，③
由①②③解得，
故椭圆C的方程为
（Ⅱ）
设A，B两点的坐标分别为，
假设使成立的直线存在，
（ⅰ）当不垂直于x轴时，设的方程为，
由与垂直相交于P点且||=1得
，即
∵，||=1，
∴
=
= 1+0+0-1=0,
即
将代入椭圆方程，得
由求根公式可得，④
⑤
=
=
将④，⑤代入上式并化简得
⑥将代入⑥并化简得，矛盾
即此时直线不存在
（ⅱ）当垂直于x轴时，满足的直线的方程为x=1或x=-1，当X=1时，A,B,P的坐标分别为，
∴，
∴
当x=-1时，同理可得，矛盾
即此时直线也不存在
综上可知，使成立的直线不存在
3.【2011年陕西卷】17．（本小题满分12分）
如图，设P是圆上的动点，点D 是P在x轴上的摄影，M为PD上一点，且
（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度
【答案】17．解：（Ⅰ）设M的坐标为（x,y）P的坐标为（xp,yp）由已知得
∵P在圆上，∴，即C的方程为
（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线方程为，
设直线与C的交点为
将直线方程代入C的方程，得
即
∴∴线段AB的长度为
18．（本小题满分12分）
叙述并证明余弦定理。
4.【2012年陕西卷】19. （本小题满分12分）
已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆和上，，求直线的方程.
5.【2013年陕西卷】20. (本小题满分13分)
已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 已知点B(－1,0), 设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线过定点.
【答案】(Ⅰ); (Ⅱ) 定点（1,0）
【解析】(Ⅰ) A(4,0),设圆心C
(Ⅱ) 点B(－1,0),
.
直线PQ方程为：
所以，直线PQ过定点（1,0）