第四节 万有引力与天体运动
［本章要点综述］ 1、开普勒行星运动定律
第一定律： 。 第二定律： 。 第三定律： 。即： 2、万有引力定律
（1）开普勒对行星运动规律的描述（开普勒定律）为万有引力定律的发现奠定了基础。 （2）万有引力定律公式： （3）万有引力定律适用于一切物体，但用公式计算时，注意有一定的适用条件。 3、万有引力定律在天文学上的应用 （1）基本方法：
①把天体的运动看成 运动，其所需向心力由万有引力提供： （写出方程）____________________________
②在忽略天体自转影响时，天体表面的重力加速度： 。（写出方程） （2）天体质量，密度的估算
测出环绕天体作匀速圆周运动的半径r ，周期为T ，由 （写出方程）得出被环绕天体的质量为 （写出表达式），密度为 （写出表达式），R 为被环绕天体的半径。
当环绕天体在被环绕天体的表面运行时，r ＝R ，则密度为 （写出表
周期定律
开普勒行星运动定律
轨道定律
面积定律
发现
万有引力定律 表述
G 的测定
天体质量的计算 发现未知天体 人造卫星、宇宙速度
应用
万有引力定律
达式）。
（3）环绕天体的绕行线速度，角速度、周期与半径的关系。
①由2
2Mm v G m r r
=得 ∴r 越大，v
②由22Mm
G
m r r
ω=得 ∴r 越大，ω ③由2
224Mm G m r r T
π=得 ∴r 越大，T
（4）三种宇宙速度
①第一宇宙速度（地面附近的环绕速度）：v 1=7.9km/s ，人造卫星在 附近环绕地球作匀速圆周运动的速度。
②第二宇宙速度（地面附近的逃逸速度）：v 2=11.2km/s ，使物体挣脱地球束缚，在 附近的最小发射速度。
③第三宇宙速度：v 3=16.7km/s ，使物体挣脱太阳引力束缚，在 附近的最小发射速度。
一．万有引力定律
1、内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向沿两物体的连线，引力的大小F 与这两个物体质量的乘积m1m2成正比，与这两个物体间距离r 的平方成反比．
2、公式：
其中G ＝6.67×10－11 N ·m2/kg2，称为引力常量．
3、适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r 应为两物体重心间的距离．对于均匀的球体，r 是两球心间的距离．
二．万有引力定律的应用
1、行星表面物体的重力：重力近似等于万有引力． ⑴表面重力加速度：因 则
⑵轨道上的重力加速度：因 则
2、人造卫星
⑴万有引力提供向心力：人造卫星绕地球的运动可看成是匀速圆周运动，所需的向心力是地
球对它的万有引力提供的，因此解决卫星问题最基本的关系是：
⑵同步卫星：地球同步卫星，是相对地面静止的，与地球自转具有相同的周期
①周期一定：同步卫星绕地球的运动与地球自转同步，它的运动周期就等于地球自转的周期，T＝24 h.
②角速度一定：同步卫星绕地球运动的角速度等于地球自转的角速度．
③轨道一定：所有同步卫星的轨道必在赤道平面内．
④高度一定：所有同步卫星必须位于赤道正上方，且距离地面的高度是一定的（轨道半径都相同，即在同一轨道上运动），其确定的高度约为h=3.6×104 km.
⑤环绕速度大小一定：所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一定的，都是3.08 km/s，环绕方向与地球自转方向相同．
3、三种宇宙速度
⑴第一宇宙速度:
要想发射人造卫星，必须具有足够的速度，发射人造卫星最小的发射速度称为第一宇宙速度，v1=7.9 km/s。但却是绕地球做匀速圆周运动的各种卫星中的最大环绕速度。
当人造卫星进入地面附近的轨道速度大于7.9 km/s时，它绕地球运行的轨迹就不再是圆形，而是椭圆形.
⑵第二宇宙速度:
当卫星的速度等于或大于11.2 km/s时，卫星就会脱离地球的引力不再绕地球运行，成为绕太阳运行的人造行星或飞到其他行星上去，我们把v2=11.2 km/s称为第二宇宙速度,也称脱离速度。
⑶第三宇宙速度:
当物体的速度等于或大于16.7 km/s时，物体将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间中去，我们把v3=16.7 km/s称为第三宇宙速度，也称逃逸速度。
说明：宇宙速度是指发射速度，不是卫星的运行速度。
三、万有引力定律的应用例析
基本方法：
⑴天体运动都可以近似地看成匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供
⑵在地面附近万有引力近似等于物体的重力
1、人造卫星的v 、ω、T 、a 与轨道半径r 的关系
r 越大，v 越小。
r 越大，ω越小。
r 越大，T 越大。
r 越大，a 向越小。
补充：V T W a 与r 的正比关系 F ∝
2
1r ；a ∝
21r ; v ∝r 1; ∝31r
；T ∝3
r 。 规律：越高越慢
2、天体质量M 、密度ρ的估算（以地球为例） ⑴若已知卫星绕地球运行的周期T 和半径 r
①地球的质量：
②地球的密度（设地 球半径R 已知）：
⑵若已知卫星绕地 球运行的线速度v 和半径 r
①地球的质量：
②地球的密度（设地 球半径R 已知）：
⑶若已知卫星绕地球运行的线速度v 和周期T
（或角速度ω）
①地球的质量：
②地球的密度（设地球半径R 已知）：
⑷若已知地球半径R 和地球表面的重力加速度g
①地球的质量：
②地球的密度（设地球半径R 已知）：
3、卫星变轨和卫星的能量问题 ⑴人造卫星在圆轨道变换时，总是主动或由于其他原因使速度发生变化，导致万有引力与向心力相等的关系被破坏，继而发生近心运动或者离心运动，发生变轨。在变轨过程中，由于动能和势能的相互转化，可能出现万有引力与向心力再次相等，卫星即定位于新的圆轨道。 ⑵轨道半径越大，速度越小，动能越小，重力势能越大，但机械能并不守恒，且总机械能也越大。也就是轨道半径越大的卫星，运行速度虽小，但发射速度越大。 ⑶解卫星变轨问题，可根据其向心力的供求平衡关系进行分析求解 ①若 F 供＝F 求，供求平衡——物体做匀速圆周运动． ②若 F 供＜F 求，供不应求——物体做离心运动． ③若 F 供＞F 求，供过于求——物体做向心运动．
卫星要达到由圆轨道变成椭圆轨道或由椭圆轨道变成圆轨道的目的，可以通过加速(离心)或减速(向心)实现．
⑷速率比较：同一点上，外轨道速率大；同一轨道上，离恒星(或行星)越近速率越大．
⑸加速度与向心加速度比较：同一点上加速度相同，外轨道向心加速度大；同一轨道上，近地点的向心加速度大于远地点的向心加速度。
4.近地卫星、赤道上物体及同步卫星的运行问题
近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转的物体三种匀速圆周运动的异同： 1．轨道半径：r 同>r 近＝r 物 2．运行周期：T 同＝T 物>T 近
A B
3．向心加速度：a近>a同>a物
5.双心问题
在天体运动中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星．
它们围绕两球连线上的某一点做圆周运动．由于两星间的引力而使它们在运动中距离保持不变．已知两星质量分别为M1 和M2，相距L，求它们的角速度．
如图，设M1的轨道半径为r1，M2 的轨道半径为r2，由于两星绕O 点做匀速圆周运动的角速度相同，都设为ω，根据万有引力定律有：
1．双星系统模型的特点：
(1)两星都绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，故两星的角速度、周期相等．
(2)两星之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力，所以它们的向心力大小相
等；
(3)两星的轨道半径之和等于两星间的距离，即r1＋r2＝L.
2．双星系统模型的三大规律：
(1)双星系统的周期、角速度相同．
(2)轨道半径之比与质量成反比．
(3)双星系统的周期的平方与双星间距离的三次方之比只与双星的总质量有关，而与双星
个体的质量无关．
6.三星模型
宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星等间距地位于同一直线上，外侧的两颗星绕中央星在同一圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运行．
3
22)(33R h R GT GT +==
远近
ππρ附录：万有引力相关公式
1思路和方法:①卫星或天体的运动看成匀速圆周运动, ② F 心=F 万 (类似原子模型)
2公式：G 2r
Mm =ma n ，又a n =r )T 2(r r v 22
2π=ω=， 则v=r GM ，3
r GM =ω，T=GM r 23π 3求中心天体的质量M 和密度ρ
由G 2r
Mm ==m 2
ωr =m r
)T 2(2π?M=23
2GT r 4π (恒量=2
3
T
r ) ρ=233
3
3
43T GR r R M ππ=(当r=R 即近地卫星绕中心天体运行时)?ρ=2
G T 3π
=
（M=ρV 球=ρπ34r 3） s 球面=4πr 2 s=πr 2 (光的垂直有效面接收，球体推进辐射) s 球冠=2πRh
轨道上正常转： F 引=G 2r Mm = F 心= m a 心= m ωm R v =2 2
R= m 422πT R =m42πn 2 R 地面附近： G 2R
Mm = mg ?GM=gR 2
(黄金代换式) mg = m R v 2?gR =v =v
第一宇宙
=7.9km/s
题目中常隐含：(地球表面重力加速度为g)；这时可能要用到上式与其它方程联立来求解。
轨道上正常转： G 2r Mm = m R v 2 ? r
GM
v =
【讨论】(v 或E K )与r 关系，r 最小时为地球半径时，v 第一宇宙=7.9km/s (最大的运行速度、最小
的发射速度)；
T 最小=84.8min=1.4h
①沿圆轨道运动的卫星的几个结论: v=
r
GM ，3
r GM =
ω，T=GM
r 23π
②理解近地卫星：来历、意义 万有引力≈重力=向心力、 r 最小时为地球半径、 最大的运行速度=v 第一宇宙=7.9km/s (最小的发射速度)；T 最小=84.8min=1.4h ③同步卫星几个一定：三颗可实现全球通讯(南北极仍有盲区)
轨道为赤道平面 T=24h=86400s 离地高h=3.56ｘ104km(为地球半径的5.6倍) V 同步=3.08km/s ﹤V 第一宇宙=7.9km/s ω=15o /h(地理上时区) a=0.23m/s 2 ④运行速度与发射速度、变轨速度的区别
⑤卫星的能量:r 增?v 减小(E K 减小 ⑦卫星在轨道上正常运行时处于完全失重状态,与重力有关的实验不能进行 ⑥应该熟记常识：地球公转周期1年, 自转周期1天=24小时=86400s, 地球表面半径6.4ｘ103km 表面重力加速度g=9.8 m/s 2 月球公转周期30天 例题精讲 1. 对万有引力定律的理解 （1）万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比，两物体间引力的方向沿着二者的连线。 （2）公式表示：F= 2 2 1r m Gm 。 （3）引力常量G ：①适用于任何两物体。 ②意义：它在数值上等于两个质量都是1kg 的物体（可看成质点）相距1m 时的相互作用力。 ③G 的通常取值为G=6。67×10-11Nm 2/kg 2。是英国物理学家卡文迪许用实验测得。④一个重要物理常量的意义：根据万有引力定律和牛 顿第二定律可得：G 2r Mm ＝mr 2)2(T π∴k GM T r ==2 234π.这实际上是开普勒第三定律。它表明k T r =23 是一个与行星无关的物理量，它仅仅取决于中心天体的质量。在实际做题时，它具有重要的物理意义和广泛的应用。它同样适用于人造卫星的运动，在处理人造卫星问题时，只要围绕同一星球运转的卫星，均可使用该公式。 （4）适用条件：①万有引力定律只适用于质点间引力大小的计算。当两物体间的距离远大于每个物体的尺寸时，物体可看成质点，直接使用万有引力定律计算。 ②当两物体是质量均匀分布的球体时，它们间的引力也可以直接用公式计算，但式中的r 是指两球心间的距离。 ③当所研究物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个质点与另一物体上所有质点的万有引力，然后求合力。（此方法仅给学生提供一种思路） （5）万有引力具有以下三个特性： ①普遍性：万有引力是普遍存在于宇宙中的任何有质量的物体（大到天体小到微观粒子）间的相互吸引力，它是自然界的物体间的基本相互作用之一。 ②相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，符合牛顿第三定律。 ③宏观性：通常情况下，万有引力非常小，只在质量巨大的天体间或天体与物体间它的存在才有宏观的物理意义，在微观世界中，粒子的质量都非常小，粒子间的万有引力可以忽略不计。天体间的主要作用力就是万有引力了。 【例1】设地球的质量为M ，地球的半径为R ，物体的质量为m ，关于物体与地球间的万有引力的说法，正确的是： A 、地球对物体的引力大于物体对地球的引力。 B 、物体距地面的高度为h 时，物体与地球间的万有引力为F=2 h GMm 。 C 、物体放在地心处，因r=0，所受引力无穷大。 D 、物体离地面的高度为R 时，则引力为F= 2 4R GMm 答案D 〖总结〗（1）物体与地球之间的吸引是相互的，由牛顿第三定律，物体对地球与地球对物体的引力大小相等。 （2）F= 2 2 1r m Gm 。中的r 是两相互作用的物体质心间的距离，不能误认为是两物体表面间的距离。 （3）F= 2 2 1r m Gm 适用于两个质点间的相互作用，如果把物体放在地心处，显然地球已不能看为质点，故选项C 的推理是错误的。 【例2】对于万有引力定律的数学表达式F= 2 2 1r m Gm ，下列说法正确的是： A 、公式中G 为引力常数，是人为规定的。 B 、r 趋近于零时，万有引力趋于无穷大。 C 、m 1、m 2之间的引力总是大小相等，与m 1、m 2的质量是否相等无关。 D 、m 1、m 2之间的万有引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力。 答案C 2.关于万有引力和重力的关系 地面上物体所受万有引力F 可以分解为物体所受的重 力mg 和随地球自转而做圆周运动的向心力F ’。 其中2R Mm G F = 2 ωmr F =' ① 当物体在赤道上时，F 、mg 、F ’三力同向，此时满足F ’＋mg ＝F ② 当物体在两极点时，F ’＝0 ,F=mg=2R Mm G ③ 当物体在地球的其他位置时，三力方向不同。 【例3】 地球赤道上的物体由于地球自转产生的向心加速度a ＝3.37×10－ 2 m/s 2,赤道上重力加速度g 取10m/s 2 试问： （1）质量为m kg 的物体在赤道上所受的引力为多少？ （2）（2）要使在赤道上的物体由于地球的自转而完全失重，地球自转的角速度应加快到实际角速度的多少倍？ 解析：（1）物体所受地球的万有引力产生了两个效果：一是使物体竖直向下运动的重力，一是提供物体随地球自转所需的向心力，并且在赤道上这三个力的方向都相同，有F 引＝mg+F 向＝m(g+a)=m(9.77+3.37×10-2 )=9.804m(N) （2）设地球自转角速度为ω，半径为R ，则有a ＝ωR ，欲使物体完全失重，即万有引力完全提供了物体随地球自转所需的向心力，即m ω’R ＝F 引＝9.804m ，解以上两式得ω’＝17.1ω. 3.计算重力加速度 1、 在地球表面附近的重力加速度，在忽略地球自转的情况下，可用万有引力定律来计算。 g=G 2R M =6.67*11 10-*2 324) 10*6730(10*98.5=9.8(m/2s )=9.8N/kg 即在地球表面附近，物体的重力加速度g ＝9.8m/2 s 。这一结果表明，在重力作用下，物体 加速度大小与物体质量无关。 2、 即算地球上空距地面h 处的重力加速度g ’。有万有引力定律可得： g ’＝2)(h R GM +又g ＝2R GM ，∴g g '＝2 2 ) (h R R +，∴g ’＝2)(h R R +g 3 计算任意天体表面的重力加速度g ’。有万有引力定律得： g ’＝ 2''R GM （M ’为星球质量，R ’卫星球的半径），又g ＝2 R GM ， ∴ g g '＝2)' ('R R M M ?。 4.估算中心天体的质量和密度 1 中心天体的质量，根据万有引力定律和向心力表达式可得：G 2 r Mm ＝mr 2 )2(T π，∴M ＝2 3 24GT r π 2 中心天体的密度 方法一：中心天体的密度表达式ρ＝ V M ，V ＝3 4 3R π（R 为中心天体的半径），根据前面M 的表达式可得：ρ＝3233R GT r π。当r ＝R 即行星或卫星沿中心天体表面运行时，ρ＝2 3GT π 。 此时表面只要用一个计时工具，测出行星或卫星绕中心天体表面附近运行一周的时间，周期 T ，就可简捷的估算出中心天体的平均密度。 方法二：由g=2R GM ,M=G gR 2进行估算，ρ＝V M ，∴ρ＝R G g π43 地球的同步卫星（通讯卫星） 同步卫星：相对地球静止，跟地球自转同步的卫星叫做同步卫星，同步卫星的运行方向与地球自转方向相同，周期T=24h ，同步卫星又叫做通讯卫星。 同步卫星必定点于赤道正上方，且离地高度h ，运行速率v 是唯一确定的。 设地球质量为m '，地球的半径为6 R=6.410m ×，卫星的质量为m ，根据牛顿第二定律 () ()2 2 m m 2πG =m R+h T R+h '?? ??? 设地球表面的重力加速度2 g=9.8m s ，则2 Gm =R g ' 以上两式联立解得：()()2 2 622 3322 7 6.4102436009.8 R T g R+h==m 4π4 3.14 =4.210m ×××××× 同步卫星距离地面的高度为 ()767h=4.210 6.410m=3.5610m ×××－ 注意：赤道上随地球做圆周运动的物体与绕地球表面做圆周运动的卫星的区别 在有的问题中，涉及到地球表面赤道上的物体和地球卫星的比较，地球赤道上的物体随地球自转做圆周运动的圆心与近地卫星的圆心都在地心，而且两者做匀速圆周运动的半径均可看作为地球的R ，因此，有些同学就把两者混为一谈，实际上两者有着非常显著的区别。 地球上的物体随地球自转做匀速圆周运动所需的向心力由万有引力提供，但由于地球自转角速度不大，万有引力并没有全部充当向心力，向心力只占万有引力的一小部分，万有引力的另一分力是我们通常所说的物体所受的重力（请同学们思考：若地球自转角速度逐渐变大，将会出现什么现象？）而围绕地球表面做匀速圆周运动的卫星，万有引力全部充当向心力。 赤道上的物体随地球自转做匀速圆周运动时由于与地球保持相对静止，因此它做圆周运 动的周期应与地球自转的周期相同，即24小时，其向心加速度22 4πR a=T ≈20.034m s ；而绕地球表面运行的近地卫星，其线速度即我们所说的第一宇宙速度， 它的周期可以由下式求出：2 22Mm 4πG =m R R T 求得3 R T=2πGM ，代入地球的半径R 与质量，可求出地球近地卫星绕地球的运行周期T 约为84min ，此值远小于地球自转周期，而向心加速度2 2GM a = =9.8m s R '远大于自转时向心加速度。 【例4】 已知引力常量G ＝6.67×10－ 11N·m 2/kg 2,重力加速度g ＝9.8m/s 2,地球半径R ＝6.4×104m ，可求得地球的质量为多少？（结果保留一位有效数字） 解析：在地球表面质量为m 的物体所受的重力等于地球对物体的引力，有 mg R Mm G ＝2 ,得kg kg G R g M 24112 62106106.67106.48.9?=???==－）（ 【例5】一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，认为行星是密度均匀的球体，要 确定该行星的密度，只需要测量 A ．飞船的轨道半径 B ．飞船的运行速度 C ．飞船的运行周期 D ．行星的质量 解析：“飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行”，可以认为飞船的轨道半径与行星的半径相等，飞船做圆周运动的向心力由行星对它的万有引力提供，由万有引力定律和牛顿第二定律：R T m R Mm G 2 2 )2(π＝， 由上式可知： 2233 443 4GT R M ?= ?π ππ，即行星的密度2 3GT π ρ= ； 上式表明：只要测得卫星公转的周期，即可得到行星的密度，选项C 正确。 【例6】已知地球的半径为R=6400km ，地球表面附近的重力加速度2 g=9.8m s ，若发射一颗地球的同步卫星，使它在赤道上空运转，其高度和速度应为多大？ [思路分析]：设同步卫星的质量为m ，离地面的高度的高度为h ，速度为v ，周期为T ，地球的质量为M 。同步卫星的周期等于地球自转的周期。 2Mm G =mg R ① () ()2 2 Mm 2πG =m R+h T R+h ?? ??? ② 由①②两式得 ()()2 2 322 33 32 2 76400102436009.8 R T g h=-R m 640010m 4π4 3.143.5610m ????= -??=? 又因为() () 2 2 Mm v G =m R+h R+h ③ 由①③两式得 ()2 32 337 6400109.8 R g v= m s 3.110m s R+h 640010 3.5610 ??==??+? [答案]：3 7 h 3.5610m v 3.110m s =?=? [总结]：此题利用在地面上2Mm G =mg R 和在轨道上() ()2 2 Mm 2πG =m R+h T R+h ?? ???两式联立解题。 【例7】下面关于同步卫星的说法正确的是（ ） A .同步卫星和地球自转同步，卫星的高度和速率都被确定 B .同步卫星的角速度虽然已被确定，但高度和速率可以选择，高度增加，速率增大；高度降低，速率减小 C .我国发射的第一颗人造地球卫星的周期是114分钟，比同步卫星的周期短，所以第一颗人造地球卫星离地面的高度比同步卫星低 D .同步卫星的速率比我国发射的第一颗人造卫星的速率小 [答案]：ACD 5.双星问题 【例8】两个星球组成双星,它们在相互之间的万有引力作用下,绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动,现测得两星中心距离为R,其运动周期为T,求两星的总质量? 答案 4π2r 3/GT 2 2 21L m m 【例9】两颗靠得很近的恒星，必须各以一定的速率绕它们连线上某一点转动，才不至于由于万有引力的作用而将它们吸引到一起．已知这两颗恒星的质量为m1、m2，相距L ，求这两颗恒星的转动周期． 解析：由万有引力定律和向心力公式来求即可．m1、m2做匀速圆周运动的半径分别为R1、R2，它们的向心力是由它们之间的万有引力提供，所以 G ＝m12 2 4T πR1 ① G 2 2 1L m m ＝m2224T πR2 ② R1+R2＝L ③ 由①②③得： 1 2 21m m R R =，得：R1＝ 2 12m m m +L 代入①式 T2＝ )(442122222122m m L m Gm L Gm R L +?=ππ 所以：T ＝2 π) (213 m m G L + 答案：2 π) (213 m m G L + 第四节 万有引力与天体运动 创新训练 1.同步卫星离地心距离为r ，运行速率为v1，加速度为a1，地球赤道上物体随地球自转的向心加速度为a2,第一宇宙速度为v2,地球半径为R ，则（ AD ） A. a1/a2=r/R B. a1/a2=R2/r2 C. v1/v2=R2/r2 D. v1/v2 r R /= 2.若航天飞机在一段时间内保持绕地球地心做匀速圆周运动则（ C ） A.它的速度大小不变 B.它不断地克服地球对它的万有引力做功 C.它的动能不变，重力势能也不变 D.它的速度大小不变，加速度等于零 3．“探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中，发现A 、B 两颗天体各有一颗靠近表面飞行的卫星，并测得两颗卫星的周期相等，以下判断错误的是（ B ） A ．天体A 、B 表面的重力加速度与它们的半径成正比 B ．两颗卫星的线速度一定相等 C ．天体A 、B 的质量可能相等 D ．天体A 、B 的密度一定相等 4．将卫星发射至近地圆轨道1（如图所示），然后再次点火，将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于Q 点，2、3相切于P 点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是：( BD ) A ．卫星在轨道3上的速率大于轨道1上的速率。 B ．卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度。 C ．卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度大于它在轨道2上经过Q 点时的加速度。 D ．卫星在轨道2上经过P 点的加速度等于它在轨道3上经过P 点时的加速度。 5．关于万有引力公式F ＝G m1m2 r2 ，以下说法中正确的是 ( C ) A ．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体 B ．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大 C ．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律 D ．公式中引力常量G 的值是牛顿规定的 6．一宇航员在某星球上以速度v 0竖直上抛一物体，经t 秒落回原处，已知该星球半径为R 那么该星球的第一宇宙速度是( B ) A.v 0t R B. 2v 0R t C. v 0R t D. v 0Rt 解析 设该星球表面重力加速度为g ，由竖直上抛知识知，t ＝2v 0g ，所以g ＝2v 0 t ；由牛顿1． 7.如图7所示，飞船从轨道1变轨至轨道2.若 飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于 在轨道1上，飞船在轨道2上的 ( CD ) P 1 2 3 ??Q A ．动能大 B ．向心加速度大 图7 C ．运行周期长 D ．角速度小 解析 飞船绕中心天体做匀速圆周运动，其万有引力提供向心力，即F 引＝F 向，所以GMm r 2 ＝ma 向＝m v 2r ＝4π2mr T 2＝mrω2，即a 向＝GM r 2，E k ＝12m v 2＝GMm 2r ，T ＝ 4π2r 3 GM ，ω＝ GM r 3 (或用公式T ＝2π ω求解)．因为r 1 正确． 8．关于环绕地球运动的卫星，下列说法正确的是 ( B ) A ．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期 B ．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率 C ．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同 D ．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合 解析 根据开普勒第三定律，a 3 T 2＝恒量知，当圆轨道的半径R 与椭圆轨道的半长轴a 相 等时，两卫星的周期相等，故选项A 错误；卫星沿椭圆轨道运行且从近地点向远地点运行时，万有引力做负功，根据动能定理知，动能减小，速率减小；从远地点向近地点移动时动能增加，速率增大，且两者具有对称性，故选项B 正确；所有同步卫星的运行周期相等，根据G Mm r 2＝m (2π T )2r 知，同步卫星轨道的半径r 一定，故选项C 错误；根据卫 星做圆周运动的向心力由万有引力提供，可知卫星运行的轨道平面过某一地点时，轨道平面必过地心，但轨道平面不一定重合，故北京上空的两颗卫星的轨道平面可以不重合，选项D 错误． 9．2011年11月3日，“神舟八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接．任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道，等待与“神舟九号”交会对接．变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R 1、R 2，线速度大小分别为v 1、v 2.则v 1 v 2等于( B ) A. R 31 R 32 B. R 2R 1 C.R 22 R 21 D.R 2 R 1 解析 “天宫一号”运行时所需的向心力由万有引力提供，根据G Mm R 2＝m v 2 R 得线速度v ＝ GM R ，所以v 1v 2 ＝ R 2 R 1 ，故选项B 正确，选项A 、C 、D 错误． 10．由于通信和广播等方面的需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，这些卫星的 ( A ) A ．质量可以不同 B ．轨道半径可以不同 C ．轨道平面可以不同 D ．速率可以不同 答案 A 解析 同步卫星运行时，万有引力提供向心力，GMm r 2＝m 4π2T 2r ＝m v 2r ，故有r 3T 2＝GM 4π2，v ＝ GM r ，由于同步卫星运行周期与地球自转周期相同，故同步卫星的轨道半径大小是确定的，速度v 也是确定的，同步卫星的质量可以不同．要想使卫星与地球自转同步，轨道平面一定是赤道平面．故只有选项A 正确． 第二定律得：mg ＝m v 2 R ，所以v ＝gR ＝ 2v 0R t . 10．天宫一号是中国第一个目标飞行器，已于2011年9月29日21时16分3秒在酒泉卫星发射中心发射成功，它的发射标志着中国迈入中国航天“三步走”战略的第二步第二阶段.21时25分，天宫一号进入近地点约200公里，远地点约346.9公里，轨道倾角为42.75度，周期为5 382秒的运行轨道．由此可知( AD ) A ．天宫一号在该轨道上的运行周期比同步卫星的运行周期短 B ．天宫一号在该轨道上任意一点的运行速率比同步卫星的运行速率小 C ．天宫一号在该轨道上任意一点的运行加速度比同步卫星的运行加速度小 D ．天宫一号在该轨道上远地点距地面的高度比同步卫星轨道距地面的高度小 解析 由题意知天宫一号的轨道半径比同步卫星要小，由GMm r 2＝m v 2 r 知v ＝ GM r ，即v 天>v 同．由GMm r 2＝mr 4π2 T 2知T ＝ 4π2r 3GM ，知T 天 r 2，从而a 天>a 同． 故选项A 、D 正确． 11．“天宫一号”被长征二号火箭发射后， 准确进入预定轨道，如图所示，“天宫一号”在轨道1上运行 4周后，在Q 点开启发动机短时间加速，关闭发动机后，“天宫 一号”沿椭圆轨道2运行到达P 点，开启发动机再次加速，进入 轨道3绕地球做圆周运动，“天宫一号”在图示轨道1、2、3上 图1 正常运行时，下列说法正确的是 ( D ) A ．“天宫一号”在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B ．“天宫一号”在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度 C ．“天宫一号”在轨道1上经过Q 点的加速度大于它在轨道2上经过Q 点的加速度 D ．“天宫一号”在轨道2上经过P 点的加速度等于它在轨道3上经过P 点的加速度 解析 根据v ＝ GM r ，可知v 3 r 3 可知ω3<ω1，选项B 错误；加速度与万有引力大小有关，r 相同，则a 相同，与轨道无关，选项C 错误，选项D 正确． 12. 一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v .假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N .已知引力常量为G ，则这颗行星的质量为( B ) A.m v 2 GN B.m v 4GN C.N v 2 Gm D.N v 4Gm 解析 设卫星的质量为m ′ 由万有引力提供向心力，得G Mm ′R 2＝m ′v 2 R ① m ′v 2 R ＝m ′g ② 由已知条件：m 的重力为N 得 N ＝mg ③ 由③得g ＝N m ，代入②得：R ＝m v 2 N 代入①得M ＝m v 4 GN ，故B 项正确． 13. 一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T ，速度为v ，引力常量为G ，则( ACD ) A ．恒星的质量为v 3T 2πG B ．行星的质量为4π2v 3 GT 2 C ．行星运动的轨道半径为v T 2π D ．行星运动的加速度为2πv T 解析 由GMm r 2＝m v 2 r ＝m 4π2 T 2r 得M ＝v 2r G ＝v 3T 2πG ，A 对；无法计算行星的质量，B 错；r ＝ v ω ＝v 2πT ＝v T 2π，C 对；a ＝ω2r ＝ωv ＝2π T v ，D 对． 14. 质量为m 的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M ，月球半径为R ，月球表面重力加速度为g ，引力常量为G ，不考虑月球自转的影响，则航天器的( AC ) A ．线速度v ＝ GM R B ．角速度ω＝gR C ．运行周期T ＝2π R g D ．向心加速度a ＝Gm R 2 解析 由GMm R 2＝m v 2R ＝mω2 R ＝m 4π2T 2R ＝mg ＝ma 得v ＝ GM R ，A 对；ω＝g /R ，B 错；T ＝2π R g ，C 对；a ＝GM R 2，D 错． 15. 已知地球质量为M ，半径为R ，自转周期为T ，地球同步卫星质量为m ，引力常量为G .有关同步卫星，下列表述正确的是( BD ) A ．卫星距地面的高度为 3GMT 2 4π2 B ．卫星的运行速度小于第一宇宙速度 C ．卫星运行时受到的向心力大小为G Mm R 2 D ．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度 解析 天体运动的基本原理为万有引力提供向心力，地球的引力使卫星绕地球做匀速圆周运动，即F 引＝F 向＝m v 2r ＝4π2mr T 2.当卫星在地表运行时，F 引＝GMm R 2＝mg (此时R 为地 球半径)，设同步卫星离地面高度为h ，则F 引＝GMm (R ＋h )2＝F 向＝ma 向 D 正确．由GMm (R ＋h )2＝m v 2R ＋h 得，v ＝ GM R ＋h < GM R ，B 正确．由GMm (R ＋h )2 ＝4π2 m (R ＋h ) T 2，得R ＋h ＝ 3GMT 24π2，即h ＝ 3GMT 2 4π2－R ，A 错误． 16. 北斗导航系统又被称为“双星定位系统”，具有 导航、定位等功能．“北斗” 系统中两颗工作卫星1和2 均绕地心O 做匀速圆周运动，轨道半径均为r ，某时刻两颗 工作卫星分别位于轨道上的A 、B 两位置，如图3所示．若卫 星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g ， 图3 地球半径为R ，不计卫星间的相互作用力．以下判断正确的是( AC ) A ．两颗卫星的向心加速度大小相等，均为R 2g r 2 B ．两颗卫星所受的向心力大小一定相等 C ．卫星1由位置A 运动到位置B 所需的时间可能为 7πr 3R r g D ．如果要使卫星1追上卫星2，一定要使卫星1加速 答案 AC 17. 北京航天飞行控制中心对“嫦娥二号”卫星实施多次变轨 控制并获得成功．首次变轨是在卫星运行到远地点时实施的， 紧随其后进行的3次变轨均在近地点实施．“嫦娥二号”卫 星的首次变轨之所以选择在远地点实施，是为了抬高卫星近 图4 地点的轨道高度．同样的道理，要抬高远地点的高度就需要在近地点实施变轨．图4为“嫦娥二号”某次在近地点A 由轨道1变轨为轨道2的示意图，下列说法中正确的是( A ) A ．“嫦娥二号”在轨道1的A 点处应点火加速 B ．“嫦娥二号”在轨道1的A 点处的速度比在轨道2的A 点处的速度大 C ．“嫦娥二号”在轨道1的A 点处的加速度比在轨道2的A 点处的加速度大 D ．“嫦娥二号”在轨道1的B 点处的机械能比在轨道2的C 点处的机械能大 解析 卫星要由轨道1变轨为轨道2需在A 处做离心运动，应加速使其做圆周运动所需向心力m v 2r 大于地球所能提供的万有引力G Mm r 2，故A 项正确，B 项错误；由G Mm r 2＝ma 可知，卫星在不同轨道同一点处的加速度大小相等，C 项错误；卫星由轨道1变轨到轨道2，反冲发动机的推力对卫星做正功，卫星的机械能增加，所以卫星在轨道1的B 点处的机械能比在轨道2的C 点处的机械能小，D 项错误． 18. 2011年9月29日，中国首个空间实验室“天宫一号” 在酒泉卫星发射中心发射升空，由长征运载火箭将飞船送入近 地点为A 、远地点为B 的椭圆轨道上，B 点距离地面高度为h ， 地球的中心位于椭圆的一个焦点上．“天宫一号”飞行几周后 进行变轨，进入预定圆轨道，如图5所示．已知“天宫一号” 图5 在预定圆轨道上飞行n 圈所用时间为t ，万有引力常量为G ，地球半径为R .则下列说法正确的是 ( BD ) A ．“天宫一号”在椭圆轨道的 B 点的向心加速度大于在预定圆轨道的B 点的向心加速 度 B ．“天宫一号”从A 点开始沿椭圆轨道向B 点运行的过程中，机械能守恒 C ．“天宫一号”从A 点开始沿椭圆轨道向B 点运行的过程中，动能先减小后增大 D ．由题中给出的信息可以计算出地球的质量M ＝(R ＋h )34π2n 2 Gt 2 解析 在B 点，由GMm r 2＝ma 知，无论在哪个轨道上的B 点，其向心加速度相同，A 项 错；“天宫一号”在椭圆轨道上运行时，其机械能守恒，B 项对；“天宫一号”从A 点开始沿椭圆轨道向B 运行中，动能一直减小，C 项错；对“天宫一号”在预定圆轨道上运行，有G Mm (R ＋h )2 ＝m (R ＋h )4π2T 2，而T ＝t n ，故M ＝(R ＋h )34π2n 2Gt 2，D 项对． 19. 宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h 处释放，经时间t 落到月球表面(设月球半径为R )．据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为 ( B ) A.2Rh t B. 2Rh t C. Rh t D.Rh 2t 解析 设在月球表面处的重力加速度为g 则h ＝12gt 2，所以g ＝2h t 2 飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动时有 mg ＝m v 2 R 所以v ＝gR ＝ 2hR t 2＝2Rh t ，选项B 正确. 20. 冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O 做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O 点运动的( A ) A ．轨道半径约为卡戎的1 7 B ．角速度大小约为卡戎的1 7 C ．线速度大小约为卡戎的7倍 D ．向心力大小约为卡戎的7倍 解析 本题是双星问题，设冥王星的质量、轨道半径、线速度分别为m 1、r 1、v 1，卡戎的质量、轨道半径、线速度分别为m 2、r 2、v 2，由双星问题的规律可得，两星间的万有引力分别给两星提供做匀速圆周运动的向心力，且两星的角速度相等，故B 、D 均错；由G m 1m 2L 2＝m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2(L 为两星间的距离)，因此r 1r 2＝m 2m 1＝17，v 1v 2＝ωr 1ωr 2＝m 2m 1＝1 7，故A 对，C 错. 21. 宇航员在月球表面完成下面实验：在一固定的竖直光滑圆弧轨道内部的最低点，静止一质量为m 的小球(可视为质点)，如图所示．当给小球一水平初速度v0时，刚好能使小球在竖直平面内做完整的圆周运动．已知圆弧轨道半径为r ，月球的半径为R ，万有引力常量为 一．三个解题思路 1.思路一：万有引力等于向心力（适用于天体运动） __________=F向=ma向=___________=___________=____________ 2.思路二：万有引力等于重力（常用于近地面的物体） 忽略天体自转的影响，天体表面的物体重力等于万有引力 1.“黄金代换” 二．万有引力定律应用典例 1.第一宇宙速度的两种求法： 第一宇宙速度又叫环绕速度，它是在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具备的速度。它既是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度。 2.天体质量的两个计算方法 A.通过观察绕被测天体（中心天体）旋转的行星的运行周期T和轨道半径r， B.对于没有卫星的天体，已知天体半径R和天体表面重力加速度g，忽略天体自转影响可得 3.天体密度的计算： A.由天体的卫星绕天体做圆周运动，已知天体半径R和轨道半径r以及周期T 其中，卫星环绕天体表面运动时，r约等于R B.对于没有卫星的天体，已知天体表面重力加速度g,天体半径R 4.万有引力提供星体做圆周运动的向心力人造地球卫星的绕行速度，角速度，周期与半径的 关系 A. r v B. r ω C. r T 题型一开普勒定律的应用 1.已知一行星，它的轨道半径是地球绕太阳运动半径的3倍，求该行星围绕太阳一周所需要 的时间。 题型二对万有引力定律的理解 2.如图所示，在距一质量为M，半径为T，密度均匀的球体R远处有一质量为m的质点，此时M对m的万有引力为F，当从球M中挖去一个半径为R/2的小球时，剩下部分对m 的万有引力为F’，则F与F’的比值为多少? 题型三万有引力与重力 3.物体在距离地心4R(R是地球半径)处，由于地球的作用力而产生的加速度为g’，则g’/g 为 A.1 B.1/9 C.1/4 D.1/16 题型四万有引力与其他知识的综合应用 4.某星球的半径R'是地球半径R的1/2,该星球的质量m'是地球质量m的4倍.已知在地球表面以初速度v0竖直上抛的物体能到达的最大高度为H,问在该星球表面上以同样大小的初速 度竖直上抛的物体能到 某星球的半径R'是地球半径R的1/2,该星球的质量m'是地球质量m的4倍.已知在地球表面以初速度v0竖直上抛的物体能到达的最大高度为H,问在该星球表面上以同样大小的初速度 竖直上抛的物体能到达的最大高度H'多大? 1．若知道太阳的某一颗行星绕太阳运转的轨道半径为r ，周期为T ，引力常量为G ，则 可求得( B ) A ．该行星的质量 B ．太阳的质量 C ．该行星的平均密度 D ．太阳的平均密度 2．有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面表面处重力加速 度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的(D ) A .14 B ．4倍 C ．16倍 D ．64倍 3．火星直径约为地球直径的一半，质量约为地球质量的十分之一，它绕太阳公转的轨道 半径约为地球绕太阳公转半径的1.5倍．根据以上数据，下列说法中正确的是(AB ) A ．火星表面重力加速度的数值比地球表面小 B ．火星公转的周期比地球的长 C ．火星公转的线速度比地球的大 D ．火星公转的向心加速度比地球的大 4．若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设其周期为T ，引力常量为G ， 那么该行星的平均密度为(B ) A .GT 23π B .3πGT 2 C .GT 24π D .4πGT 2 5．为了对火星及其周围的空间环境进行监测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星 探测器“萤火一号”．假设探测器在离火星表面高度分别为h 1和h 2的圆轨道上运动时， 周期分别为T 1和T 2.火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，引力常 量为G .仅利用以上数据，可以计算出( A ) A ．火星的密度和火星表面的重力加速度 B ．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力 C ．火星的半径和“萤火一号”的质量 D ．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力 6．设地球半径为R ，a 为静止在地球赤道上的一个物体，b 为一颗近地绕地球做匀速圆 周运动的人造卫星，c 为地球的一颗同步卫星，其轨道半径为r.下列说法中正确的是( D ) A ．a 与c 的线速度大小之比为r R B ．a 与c 的线速度大小之比为R r C ．b 与c 的周期之比为r R D ．b 与c 的周期之比为R r R r 7．2008年9月27日“神舟七号”宇航员翟志刚顺利完成出舱活动任务，他的第一次太 空行走标志着中国航天事业全新时代的到来．“神舟七号”绕地球做近似匀速圆周运动， 其轨道半径为r ，若另有一颗卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为2r ，则可以确定 2018年高考物理复习天体运动专题练习（含答 案） 天体是天生之体或者天然之体的意思，表示未加任何掩盖。查字典物理网整理了天体运动专题练习，请考生练习。 一、单项选择题(本题共10小题，每小题6分，共60分.) 1.(2014武威模拟)2013年6月20日上午10点神舟十号航天员首次面向中小学生开展太空授课和天地互动交流等科 普教育活动，这是一大亮点.神舟十号在绕地球做匀速圆周运动的过程中，下列叙述不正确的是() A.指令长聂海胜做了一个太空打坐，是因为他不受力 B.悬浮在轨道舱内的水呈现圆球形 C.航天员在轨道舱内能利用弹簧拉力器进行体能锻炼 D.盛满水的敞口瓶，底部开一小孔，水不会喷出 【解析】在飞船绕地球做匀速圆周运动的过程中，万有引 力充当向心力，飞船及航天员都处于完全失重状态，聂海胜做太空打坐时同样受万有引力作用，处于完全失重状态，所以A错误;由于液体表面张力的作用，处于完全失重状态下的液体将以圆球形状态存在，所以B正确;完全失重状态下并不影响弹簧的弹力规律，所以拉力器可以用来锻炼体能，所以C正确;因为敞口瓶中的水也处于完全失重状态，即水对瓶底部没有压强，所以水不会喷出，故D正确. 【答案】 A 2.为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量，已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期T.则太阳的质量为() A.B. C. D. 【解析】地球表面质量为m的物体万有引力等于重力，即G=mg，对地球绕太阳做匀速圆周运动有G=m.解得M=，D正确. 【答案】 D 3.(2015温州质检)经国际小行星命名委员会命名的神舟星和杨利伟星的轨道均处在火星和木星轨道之间.已知神舟星平均每天绕太阳运行1.74109 m，杨利伟星平均每天绕太阳运行1.45109 m.假设两行星都绕太阳做匀速圆周运动，则两星相比较() A.神舟星的轨道半径大 B.神舟星的加速度大 C.杨利伟星的公转周期小 D.杨利伟星的公转角速度大 【解析】由万有引力定律有：G=m=ma=m()2r=m2r，得运行速度v=，加速度a=G，公转周期T=2，公转角速度=，由题设知神舟星的运行速度比杨利伟星的运行速度大，神舟星的轨道半径比杨利伟星的轨道半径小，则神舟星的加速度比杨利伟星的加速度大，神舟星的公转周期比杨利伟星的公转周期小，神舟星的公转角速度比杨利伟星的公转角速度大，故选 万有引力与天体运动 一、开普勒三定律 1．开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个__________上． 2．开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的__________相等． 3．开普勒第三定律：所有行星的轨道的__________的三次方跟__________的二次方的比值都相等． 二、万有引力定律 1．内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成________，跟它们的距离的二次方成________． 2．公式：________________ (其中引力常量G ＝6.67×10－11 N·m 2/ kg 2)． 3．适用条件：公式适用于质点间的相互作用．当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点，均匀的球体视为质点时，r 是两球心间的距离． 【对点检测】 一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，该星球的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是它在地球上所受万有引力的( ) A ．1 4 B ．1 2 C ．2倍 D ．4倍 三、天体运动问题的分析 1．运动学分析：将天体或卫星的运动看成_________________运动． 2．动力学分析：(1)万有引力提供__________，即F 向＝G Mm r 2＝ma ＝m v 2r ＝mω2 r ＝m ? ??? ?2πT 2r .(2)在星球表面附近物体所受万有引力近似等于__________，即G Mm r 2＝mg (g 为星球表面的重力加速度)． 考点一 万有引力的计算和应用 1．万有引力的特点：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向沿两物体的连线且相反，分别作用在两个物体上，其作用效果一般不同． 2．万有引力的一般应用： 万有引力的一般应用问题主要涉及万有引力的基本计算、天体质量和密度的计算等．在这类问题的分析中应注意：(1)万有引力公式F ＝G m 1m 2 r 2中的r 应为两物体球心间距，如果某一物体内部存在球形空腔，则宜采取“割补法”分析；(2)万有引力提供向心力情景下的天体运动，根据万有引力定律和牛顿第二定律有G m 1m 2 r 2＝m 1a ，且a ＝ω2r ＝v 2r ＝? ????2πT 2r ；(3)根据万有引力等于重力，得G Mm R 2＝mg ，GM ＝gR 2(黄金代换公式)，利用黄 金代换公式进行天体质量和天体重力加速度之间的代换． 例 1 [2014·北京卷]万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性． (1)用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果．已知地球质量为M ，自转周期为T ，引力常量为G .将地球视为半径为R 、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，弹簧测力计的读数是F 0. ①若在北极上空高出地面h 处称量，弹簧测力计读数为F 1，求比值F 1 F 0 的表达式，并就h ＝1.0%R 的情形算出具体数值(计算结果保留两位有效数字)； ②若在赤道地面称量，弹簧测力计读数为F 2，求比值F 2 F 0 的表达式． 【1】天体的质量与密度的估算 下列哪一组数据能够估算出地球的质量 A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离 B.地球表面的重力加速度与地球的半径 C.绕地球运行卫星的周期与线速度 D.地球表面卫星的周期与地球的密度 解析：人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动。月球也是地球的一颗卫星。 设地球的质量为M ，卫星的质量为m ，卫星的运行周期为T ，轨道半径为r 根据万有引力定律：r T 4m r Mm G 2 22π=……①得：23 2G T r 4M π=……②可见A 正确 而T r 2v π= ……由②③知C 正确 对地球表面的卫星，轨道半径等于地球的半径，r=R ……④ 由于3 R 4M 3 π= ρ ……⑤结合②④⑤得： G 3T 2π = ρ 可见D 错误 球表面的物体，其重力近似等于地球对物体的引力 由2 R Mm G mg =得：G g R M 2= 可见B 正确 【2】普通卫星的运动问题 我国自行研制发射的“风云一号”“风云二号”气象卫星的运行轨道是不同的。“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为12 h ，“风云二号”是同步轨道卫星，其运行轨道就是赤道平面,周期为24 h 。问：哪颗卫星的向心加速度大？哪颗卫星的线速度大？若某天上午8点，“风云一号”正好通过赤道附近太平洋上一个小岛的上空，那么“风云一号”下次通过该岛上空的时间应该是多少？ 解析：由开普勒第三定律T 2∝r 3知：“风云二号”卫星的轨道半径较大 又根据牛顿万有引力定律r v m ma r Mm G 2 2==得： 2r M G a =，可见“风云一号”卫星的向心加速度大， r GM v =，可见“风云一号”卫星的线速度大， “风云一号”下次通过该岛上空，地球正好自转一周，故需要时间24h ，即第二天上午8点钟。 【探讨评价】由万有引力定律得：2 M a G r =，v = ω= 2T π = 【3】同步卫星的运动 下列关于地球同步卫星的说法中正确的是： A 、为避免通讯卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上 B 、通讯卫星定点在地球赤道上空某处，所有通讯卫星的周期都是24h C 、不同国家发射通讯卫星的地点不同，这些卫星的轨道不一定在同一平面上 D 、不同通讯卫星运行的线速度大小是相同的，加速度的大小也是相同的。 . 1.人造地球卫星做半径为r，线速度大小为v 的匀速圆周运动。当其角速度变为原来的 2 4 倍后，运动半径 为，线速度大小为。 【解析】由 G Mm m 2r 可知，角速度变为原来的 2 r 可知，角速度变为原 倍后，半径变为 2r ，由v r 24 222 来的 4 倍后，线速度大小为2 v。【答案】2r，2 v 2.一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为 v0假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力 计测量一质量为 m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N0，已知引力常量为 G,则这颗行星的质量为 A． mv 2 B. mv 4 C． Nv 2 D. Nv 4 GN GN Gm Gm 【解析】卫星在行星表面附近做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有 G M m /m / v2，宇航员在行星表面用弹簧测力计测得质量为m 的物体的重为N ，则G M m N ，解 R 2R R 2 得 M= mv 4， B 项正确。【答案】B GN 3.如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说确的是 A.太阳对小行星的引力相同 B.各小行星绕太阳运动的周期小于一年 C.小行星带侧小行星的向心加速度值大于小行星带外侧小行星的向心加速度值 D.小行星带各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值 【答案】 C【解析】根据行星运行模型，离地越远，线速度越小，周期越大，角速度越小，向心加速度等于 万有引力加速度，越远越小，各小行星所受万有引力大小与其质量相关，所以只有 C 项对。 4.宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球,经过时间 t 小球落回原处 ;若他在某星球表面以相同的速 度竖直上抛同一小球 ,需经过时间 5t 小球落回原处 .(取地球表面重力加速度 2 g=10 m/s ,空气阻力不计 ) (1)求该星球表面附近的重力加速度g ′. (2)已知该星球的半径与地球半径之比为R 星∶ R 地 =1 ∶4,求该星球的质量与地球质量之比M 星∶M 地. 精心整理 天体运动总结 1. 开普勒三定律 1.1所有绕太阳运动的行星轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上（后简化为所有轨道都是圆，太阳在圆心上），注意：第一定律只是描述了一个图像，并没有需要计算的东西，而且太阳究竟在哪个焦点上还得看第二定律 1.2对于某一颗行星来说，它的扫面速度是恒定的。这句话也可以说成是：离太阳越近，速度越大。这是判断近日点远日点的根据。 第二定律有个计算是研究近日点远日点速度与到太阳距离关系的。 ab 2.m 1的错误，将会直接导致后面计算错误。 C.万有引力的方向肯定在两物体之间的连线上而指向对方 D.甲对乙的引力和乙对甲的引力是一对作用力反作用力 2.2万有引力的规律 2.2.1从公式上来看，当两个物体质量一定时，万有引力随着距离的增大而减小，并且 和距离的“平方”成反比。所以一定要养成这样的意识，距离是原来n 倍，力就 变为原来的n 2分之一倍，或者，力变为原来的n 分之一倍，倍。这样会缩短做题时间，一般做题的时候不要在这方面浪费时间。 2.2.2地球对地球表面的物体都有吸引力，这个力就表现在重力上，但要清楚，重力只 是万有引力的一个分力。可以这么想：万有引力首先得提供物体由于随地球自转 而所需的向心力，剩下来的那部分就是重力。这样就需要注意，向心力指向自转 轴，所以重力就不能指向地心了。又由于这个向心力很小，所以重力很接近万有 引力。当然，地球不同纬度所需向心力是不同的，赤道所需向心力最大，两极点 不需要向心力，所以赤道表面的重力加速度最小，两极点重力加速度最大。 2.2.3一个物体受到另一个物体的吸引力和第三个物体无关，所以太空中一个物体所受 吸引力应为所有其他物体对它的吸引力的矢量和，只不过我们现在所考虑的都是 吸引力最大的那个力（其他的引力比起这个引力小的不是一点半点）。不过也有例 外情况，最常见的就是在地球和月球的连线上，肯定会有那么一个点，使得地球 和月球对这一点上的物体的吸引力大小相等方向相反。 3.天体运动 参阅八大行星的公转周期。 3.4关于开普勒第三定律 上面三个公式推导过程都是用了万有引力提供向心力，从 2 2 2 Mm G m r r T π ?? = ? ?? 可知： 3 22 4 r GM Tπ =，只要中心天体质量M一样，那么轨道半径的三次方和周期平方只比就 是固定值，这也就是为什么第三定律在应用时必须绕同一中心天体。 其实我们可以推导出这样的定律： 对于所有绕同一中心天体运动的行星来说，轨道半径的三次方与角速度的平方的乘积是固定值 万有引力定律及其应用 知识网络: 一、万有引力定律：（1687年） 2 2 1r m m G F = 适用于两个质点或均匀球体；r 为两质点或球心间的距离； G 为万有引力恒量（1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出）2211 /10 67.6kg m N G ??=- 二、万有引力定律的应用 1．解题的相关知识： （1）在高考试题中，应用万有引力定律解题的知识常集中于两点：一是天体运动的向心力来源于天体之间 的万有引力，即222r v m r Mm G =＝r T m 224πr m 2 ω=；二是地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，即 G 2R mM ＝mg 从而得出GM ＝R 2 g 。 （2）圆周运动的有关公式：ω＝T π 2，v=ωr 。 讨论： ①由222r v m r Mm G =可得：r GM v = r 越大，v 越小。 ②由r m r Mm G 2 2 ω=可得：3r GM =ω r 越大，ω越小。 ③由r T m r Mm G 2 22?? ? ??=π可得：GM r T 3 2π= r 越大，T 越大。 ④由向ma r Mm G =2可得：2r GM a =向 r 越大，a 向越小。 点评：需要说明的是，万有引力定律中两个物体的距离，对于相距很远因而可以看作质点的物体就是指两质点的距离；对于未特别说明的天体，都可认为是均匀球体，则指的是两个球心的距离。人造卫星及天体的运动都近似为匀速圆周运动。 2．常见题型 万有引力定律的应用主要涉及几个方面： 万有引力定律 天体运动 地球卫星 （1）测天体的质量及密度：（万有引力全部提供向心力） 由r T m r Mm G 2 22??? ??=π 得2 324GT r M π= 又ρπ?=3 3 4R M 得3 233R GT r πρ= 【例1】中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为 T = 30 1 s 。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。(引力常数G =6.67?10 11 -m 3/kg.s 2) 解析：设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解。 设中子星的密度为ρ，质量为M ，半径为R ，自转角速度为ω，位于赤道处的小物块质量为m ，则有 R m R GMm 2 2ω= T πω2= ρπ33 4R M = 由以上各式得2 3GT πρ= ，代入数据解得：3 14/1027.1m kg ?=ρ。 点评：在应用万有引力定律解题时，经常需要像本题一样先假设某处存在一个物体再分析求解是应用万有引力定律解题惯用的一种方法。 （2）行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题：（重力近似等于万有引力） 表面重力加速度：2 02R GM g mg R Mm G =∴= 轨道重力加速度：()()2 2h R GM g mg h R GMm h h += ∴=+ 【例2】一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g 0，行星的质量M 与卫星的质量m 之比M /m=81，行星的半径R 0与卫星的半径R 之比R 0/R ＝3.6，行星与卫星之间的距离r 与行星的半径R 0之比r /R 0＝60。设卫星表面的重力加速度为g ，则在卫星表面有 mg r GMm =2 …… 经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的1/3600。上述结果是否正确？若正确，列式证明；若有错误，求出正确结果。 解析：题中所列关于g 的表达式并不是卫星表面的重力加速度，而是卫星绕行星做匀速圆周运动的向心加速度。正确的解法是 天体运动习题及答案 1．若知道太阳的某一颗行星绕太阳运转的轨道半径为r ，周期为T ，引力常量为G ，则 可求得( B ) A ．该行星的质量 B ．太阳的质量 C ．该行星的平均密度 D ．太阳的平均密度 2．有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面表面处重力加速 度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的(D ) A .14 B ．4倍 C ．16倍 D ．64倍 3．火星直径约为地球直径的一半，质量约为地球质量的十分之一，它绕太阳公转的轨道 半径约为地球绕太阳公转半径的 1.5倍．根据以上数据，下列说法中正确的是(AB ) A ．火星表面重力加速度的数值比地球表面小 B ．火星公转的周期比地球的长 C ．火星公转的线速度比地球的大 D ．火星公转的向心加速度比地球的大 4．若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设其周期为T ，引力常量为G ， 那么该行星的平均密度为(B ) A .GT 23π B .3πGT 2 C .GT 24π D .4πGT 2 5．为了对火星及其周围的空间环境进行监测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星 探测器“萤火一号”．假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时， 周期分别为T1和T2.火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，引力常 量为G.仅利用以上数据，可以计算出( A ) A．火星的密度和火星表面的重力加速度 B．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力 C．火星的半径和“萤火一号”的质量 D．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力 6．设地球半径为R，a为静止在地球赤道上的一个物体，b为一颗近地绕地球做匀速圆 周运动的人造卫星，c为地球的一颗同步卫星，其轨道半径为r.下列说法中正确的是( D ) A．a与c的线速度大小之比为r R B．a与c的线速度大小之比为R r C．b与c的周期之比为r R D．b与c的周期之比为R r R r 7．2008年9月27日“神舟七号”宇航员翟志刚顺利完成出舱活动任务，他的第一次太 空行走标志着中国航天事业全新时代的到来．“神舟七号”绕地球做近似匀速圆周运动， 其轨道半径为r，若另有一颗卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为2r，则可以确定 ( AB ) A．卫星与“神舟七号”的加速度大小之比为1∶4 B．卫星与“神舟七号”的线速度大小之比为1∶2 C．翟志刚出舱后不再受地球引力 第三节 万有引力?天体运动 随堂演练巩固 1.(2010安徽高考,17)为了对火星及其周围的空间环境进行探测,我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器”萤火一号”.假设探测器在离火星表面高度分别为1h 和2h 的圆轨道上运动时,周期分别为1T 和2T .火星可视为质量分布均匀的球体,且忽略火星的自转影响,万有引力常量为G.仅利用以上数据,可以计算出( ) A.火星的密度和火星表面的重力加速度 B.火星的质量和火星对”萤火一号”的引力 C.火星的半径和”萤火一号”的质量 D.火星表面的重力加速度和火星对”萤火一号”的引力 2.(2010江苏高考,6)2009年5月,航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后,在A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ,B 为轨道Ⅱ上的一点,如图所示,关于航天飞机的运动,下列说法中正确的有( ) A.在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于经过B 的速度 B.在轨道Ⅱ上经过A 的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能 C.在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期 D.在轨道Ⅱ上经过A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的加速度 3.(2011宁夏银川二中月考,2)地球同步卫星是指相对地面静止不动的人造地球卫星( ) A.它只能在赤道正上方,且离地心的距离是一定的 B.它可以在地面上任一点的正上方,且离地心的距离可按需要选择不同的值 C.它可以在地面上任一点的正上方,但离地心的距离是一定的 D.它只能在赤道的正上方,但离地心的距离可按需要选择不同的值 4.(人教版必修2,P 44习题4改编)金星的半径是地球的倍,质量是地球的倍,则关于金星表面的自由落体加速度和第一宇宙速度,下列数据正确的是( ) m/2 7, km/s m/2s , km/s m/2s , km/s m/2s ,46 km/s 5.我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体1S 和2S 构成,两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点O 做匀速圆周运动.由天文观察测得其运动周期为1T S ,到O 点的距离为11r S ,和2S 间的距离为r,已知引力常量为G.由此可求出 2S 的质量为( ) A. 2212 4r (r r ) GT π- B. 2312 4r GT π 万有引力定律·典型例题解析 【例1】设地球的质量为M ，地球半径为R ，月球绕地球运转的轨道半径为r ，试证在地球引力的作用下： (1)g (2)(3)r 60R 地面上物体的重力加速度＝ ；月球绕地球运转的加速度＝；已知＝，利用前两问的结果求的值； GM R GM r g 22αα (4)已知r ＝3.8×108m ，月球绕地球运转的周期T ＝27.3d ，计算月球绕地球运转时的向心加速度a ； (5)已知地球表面重力加速度g ＝9.80m/s 2，利用第(4)问的计算结果， 求 的值．α g 解析： (1)略；(2)略； (3)2.77×10-4； (4)2.70×10-3m/s 2 (5)2.75×10-4 点拨：①利用万有引力等于重力的关系，即＝．②利用万有引力等于向心力的关系，即＝．③利用重力等于向心力 G Mm r mg G Mm r m 2 2α 的关系，即mg ＝ma ．以上三个关系式中的a 是向心加速度，根据题目 的条件可以用、ω或来表示．v r r T 2224r 2 π 【例】月球质量是地球质量的 ，月球半径是地球半径的，在21811 38. 距月球表面14m 高处，有一质量m ＝60kg 的物体自由下落． (1)它落到月球表面需用多少时间？ (2)它在月球上的“重力”和质量跟在地球上是否相同(已知地球表面重力 加速度g 地＝9.8m/s 2)？ 解析：(1)4s (2)588N 点拨：(1)物体在月球上的“重力”等于月球对物体的万有引力，设 mg G M m R mg G M m R 22月月月 地地地 ＝．同理，物体在地球上的“重力”等于地球对物体的 万有引力，设＝． 以上两式相除得＝，根据＝可得物体落到月球表 面需用时间为＝＝×＝． 月月g 1.75m /s S gt t 4s 2 2 12 2214 175S g . (2)在月球上和地球上，物体的质量都是60kg ．物体在月球上的“重力”和在地球上的重力分别为G 月＝mg 月＝60×1.75N ＝105N ，G 地＝mg 地＝60×9.8N ＝588N ． 跟踪反馈 1．如图43－1所示，两球的半径分别为r 1和r 2，均小于r ，两球质量分布均匀，大小分别为m 1、m 2，则两球间的万有引力大小为： [ ] A ．Gm 1m 2/r 2 B ．Gm 1m 2/r 12 C ．Gm 1m 2/(r 1＋r 2)2 D ．Gm 1m 2/(r 1＋r 2＋r)2 授课主题 万有引力与重力的关系 教学目的 理解万有引力与重力之间的关系及会运用知识解此类问题 授课日期及时段 2013.04.06 ;3课时 教学内容 一， 本周错题讲解 二， 知识归纳 ．考点梳理 (1).基本方法：把天体运动近似看作圆周运动，它所需要的向心力由万有引力提供， 即： Ｇ r v m r Mm 2 2 =＝ｍω２ ｒ＝ｍ r T 2 2 4π (2).估算天体的质量和密度 由G 2 r Mm ＝ｍ r T 2 2 4π得：Ｍ＝ 2 3 24Gt r π．即只要测出环绕星体M 运转的一颗卫星运转的半径和周期，就可以计算出 中心天体的质量. 由ρ＝ V M ，Ｖ＝ 3 4πＲ３ 得： ρ＝ 3 2 33R GT r π．R 为中心天体的星体半径 特殊:当ｒ＝Ｒ时，即卫星绕天体M 表面运行时，ρ＝2 3GT π(2003年高考)，由此可以测量天体的密度. (3)行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题 表面重力加速度g 0,由 02 G M m m g R = 得：0 2 G M g R = 轨道重力加速度g ，由 2 () G M m m g R h =+ 得：2 2 0( )()G M R g g R h R h ==++ (４)卫星的绕行速度、角速度、周期与半径的关系 (1)由Ｇr v m r Mm 2 2 =得:ｖ＝ r GM ． 即轨道半径越大，绕行速度越小 (2)由Ｇ 2 r Mm ＝ｍω２ ｒ得：ω＝ 3 r GM 即轨道半径越大，绕行角速度越小 (3)由2 2 24M m G m r r T π=得：3 2r T G M π = 即轨道半径越大，绕行周期越大. (５)地球同步卫星 所谓地球同步卫星是指相对于地面静止的人造卫星，它的周期T ＝24h ．要使卫星同步，同步卫星只能位于赤道正上方某一确定高度h ． 由: Ｇ2 2 2 4()M m m R h T π=+（Ｒ＋ｈ） 得： 23 2 4h R GM T π = -=3.6×104 ｋｍ=5.6Ｒ Ｒ表示地球半径 三.热身训练 1．把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周。由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得 A ．火星和地球的质量之比 B ．火星和太阳的质量之比 C ．火星和地球到太阳的距离之比 D ．火星和地球绕太阳运动速度之比 2.宇航员在探测某星球时，发现该星球均匀带电，且电性为负，电荷量为Q ．在一次实验时，宇航员将一带负电q （q < 1.人造地球卫星做半径为r ，线速度大小为v 的匀速圆周运动。当其角速度变为原来的 24倍后，运动半径为_________，线速度大小为_________。 【解析】由22Mm G m r r ω=可知，角速度变为原来的24倍后，半径变为2r ，由v r ω=可知，角速度变为原来的24倍后，线速度大小为22v 。【答案】2r ，22 v 2.一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为0v 假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力 计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为 N ，已知引力常量为G,则这颗行星的质量为 A ．2GN mv B.4GN mv C ． 2Gm Nv D.4Gm Nv 【解析】卫星在行星表面附近做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有 R v m M G 2/2/R m =，宇航员在行星表面用弹簧测力计测得质量为m 的物体的重为N ，则 N M G =2R m ，解得M=GN 4 mv ，B 项正确。【答案】B 3.如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是 A.太阳对小行星的引力相同 B.各小行星绕太阳运动的周期小于一年 C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于小行星带外侧小行星的向心加速度值 D.小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于 地球公转的线速度值 【答案】C 【解析】根据行星运行模型，离地越远，线速度越小，周期越大，角速度越小，向心加速度等于万有引力加速度，越远越小，各小行星所受万有引力大小与其质量相关，所以只有C 项对。 4.宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球,经过时间t 小球落回原处;若他在某星球表面以相同的 速度竖直上抛同一小球,需经过时间5t 小球落回原处.(取地球表面重力加速度g=10 m/s 2,空气阻力不计) (1)求该星球表面附近的重力加速度g ′. (2)已知该星球的半径与地球半径之比为R 星∶R 地=1∶4,求该星球的质量与地球质量之比M 星∶M 地. 答案 (1)2 m/s2 (2)1∶80 万有引力定律与天体运动知识总结 一、开普勒行星运动定律 1） 轨道定律：近圆，太阳处在圆心（焦点）上 2） 面积定律：对任意一个行星来说， 它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。 K= k 取决于中心天体 3） 周期定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值相等。 k= ，[r 为轨道半径] 二、万有引力定律 F 引=2r Mm G G=6.67×10-11Nm 2/kg 2 卡文迪许扭秤 测量出来 三、重力加速度 1. 星体表面：F 引≈G =mg 所以：g = GM/ R 2（R 星体体积半径） 2. 距离星体某高度处：F ’引 ≈G’ =mg ’ 3. 其它星体与地球 重力加速度的比值 四、星体（行星 卫星等）匀速圆周运动 状态描述 1. 假设星体轨道近似为圆. 2. 万有引力F 引提供星体圆周运动的向心力Fn F n =r m v 2 F n=22T mr 4π F n = m ω2r Fn=F 引 r m v 2=2r Mm G =2 2T mr 4π = m ω2r r GM v =，r 越大，ν越小； 3r GM =ω，r 越大，ω越小 GM r T 3 24π=，r 越大，T 越大。 23 T a 23T r 3. 计算中心星体质量M 1) 根据 g 求天体质量 mg= M= M 为地球质量，R 为物体到地心的距离 2 ）根据环绕星体的圆周运动状态量， F 引=Fn 2r Mm G =22T mr 4π M= （M 为中心天体质量，m 为行星（绕行天体）质量 4. 根据环绕星体的圆周运动状态量(已知绕行天体周期T ，环绕半径≈星体半径)， 计算中心星体密度ρ ρ=v m =323R GT r 3π [v=3r 34π] 若r≈R ，则ρ=2GT 3π 5. 计算卫星最低发射速度 （第一宇宙速度VI = （近地）= (r 为地球半径 黄金代换公式) 第一宇宙速度（环绕速度）：s km v /9.7=； 第二宇宙速度（脱离速度，飞出地月系）：s km v /2.11=； 第三宇宙速度（逃逸速度，飞出太阳系）：s km v /7.16=。 6. 人造卫星上失重的现象 分析卫星上某物体受合力及圆周运动的状态 F 万 – N = m v 2／r 物体视重 N= F 万 - m v 2／r ( r=R 地 + h ) ∵F 万 = m v 2／r ∴ N=0 即卫星在围绕地球做圆周运动时，它上面物体处于失重状态 7. 同步卫星升轨，全球通信 8. 其它功能人造卫星： 1）全球定位系统 GPS ，由24颗卫星组成 分布在6个轨道平面 2）人造月球卫星 G 2 23 2GT r 4πr GM 万有引力与航天--例题 考点一 天体质量和密度的计算 1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路 (1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即 G Mm r 2＝ma n ＝m v 2r ＝m ω2 r ＝m 4π2r T 2 (2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G Mm R 2＝mg (g 表示天体表面的 重力加速度)． 2．天体质量和密度的计算 (1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R . 由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2 G ， 天体密度ρ＝M V ＝M 43 πR 3＝3g 4πGR . (2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r . ①由万有引力等于向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r 3 GT 2； ②若已知天体半径R ，则天体的平均密度 ρ＝M V ＝M 43 πR 3＝3πr 3 GT 2R 3 ； ③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体 密度ρ＝3π GT 2.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度． 例1 1798年，英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G ，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人．若已知万有引力常量G ，地球表面处的重力加速度g ，地球半径R ，地球上一个昼夜的时间T 1(地球自转周期)，一年的时间T 2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距 离L 1，地球中心到太阳中心的距离L 2.你能计算出( ) A ．地球的质量m 地＝gR 2 G B ．太阳的质量m 太＝4π2L 32 GT 22 C ．月球的质量m 月＝4π2L 3 1 GT 21 D ．可求月球、地球及太阳的密度 1．[天体质量的估算]“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km 的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2，月球 的半径为1.74×103 km.利用以上数据估算月球的质量约为( ) A ．8.1×1010 kg B ．7.4×1013 kg C ．5.4×1019 kg D ．7.4×1022 kg 2．[天体密度的计算]“嫦娥三号”探测器已于20XX 年12月2日1时30分，在西昌卫星发射中心成功发射．“嫦娥三号”携带“玉免号”月球车首次实现月球软着陆和月面巡视勘察，并开展月表形貌与地质构造调查等科学探测．已知月球半径为R 0，月球表面处重力加速度为 g 0，地球和月球的半径之比为R R 0＝4，表面重力加速度之比为g g 0 ＝6，则地球和月球的密度之比 ρ ρ0 为( ) A.23 B.3 2 C ．4 D ．6 估算天体质量和密度时应注意的问题 (1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量． (2)区别天体半径R 和卫星轨道半径r ，只有在天体表面附近的卫星才有r ≈R ；计算天体密度 时，V ＝4 3 πR 3中的R 只能是中心天体的半径． 考点二 卫星运行参量的比较与计算 物理测试 1、 两颗人造卫星A 、B 绕地球做圆周运动，周期之比为TA ：TB=1：8；则轨道半径之比和运动速率之比分别为（ ） A 、RA ：RB=4:1 vA ：vB=1:2 Ｂ、RA ：RB=4:1 vA ：vB=2:1 Ｃ、RA ：RB=１:４ vA ：vB=1:2 Ｄ、RA ：RB=１:４ vA ：vB=２:１ ２、如图，在一个半径为Ｒ、质量为Ｍ的均匀球体中，紧贴着球的边缘挖去一个半径为Ｒ／２的球星空穴后，剩余的 阴影部分对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距ｄ的质点ｍ的引力是多大？ ３、两个球形的行星Ａ、Ｂ各有一个卫星ａ和ｂ，卫星的圆轨迹接近各行星的表面。如果两行星质量之比为ＭＡ／ＭＢ＝ｐ，两个行星半径之比ＲＡ／ＲＢ＝ｑ，则两卫星周期之比ＴＡ／ＴＢ为＿＿＿＿＿＿ ４、一颗人在地球卫星以初速度ｖ发射后，可绕地球做匀速圆周运动，若使发射速度为２ｖ，该卫星可能（ ） Ａ、绕地球做匀速圆周运动，周期变大 Ｂ、绕地球运动，轨道变为椭圆 Ｃ、不绕地球运动，轨道变为椭圆 Ｄ、挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙 ５、如图，有Ａ、Ｂ两颗行星绕同一颗恒星做圆周运动，Ａ行星的周期为Ｔ１，Ｂ行星的周期为Ｔ２，在某一时刻两行星相距最近，则 （１）至少经过多长时间，两行星再次相距最近？ （２）至少经过多长时间，两行星相距最远？ ６、已知地球的质量为Ｍ，地球的半径为Ｒ，地球的自传周期为Ｔ，地球表面的重力加速度为ｇ，无线电信号的传播 速度为Ｃ，如果你用卫星电话通过地球卫星中的转发器发的无线电信号与对方通话，则在你讲完话后要听到对 方的回话，所需要的最短时间为（ ） Ａ、322244πT gR c ? B 、322242πT gR c ? C 、)4(43222R T gR c -?π D 、)4(23222R T gR c -?π ７、在天体演变过程中，红色巨星发生爆炸后，可以形成中子星，中子星具有极高的密度。 （1）若已知某中子星的密度为ρ，该中子星的卫星绕它作圆周运动，试求该中子星运行的最小周期。 万有引力与天体运动 万有引力与航天综合 一、开普勒行星运动规律 1．所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上． 2．对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。 3．所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都 相等．表达式：23 T R ＝k (R 表示椭圆的半长轴，T 表示公转周期) k 是一个与行星本身无关的量，而所有行星都绕太阳运转，则k 仅与太阳这个中心体有关． 二、万有引力定律 自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比．跟它们的距离的二次方成反比． F ＝221r m m G ,万有引力常量：G ＝6.67×10－ 11N·m 2/kg 2 三、天体圆运动问题分析及公式推导 1．我们把环绕天体绕中心天体的运动看作匀速圆周运动。 ①线速度v s t = ,角速度ω=t θ ，它们之间的关系是：T r r v πω2== ②向心加速度大小的表达式是2v a r =，或2 a r ω= ③周期T=2r v π,或T= 2πω. ④向心力的作用只改变速度的方向，不改变速度的大小。根据牛顿第二定律得 2 v F ma m r ==，2F ma m r ω==. 2.天体圆运动问题的分析方法：对于那些在万有引力作用下，围绕某中心天体(质量为M )做圆运动的天体(质量为m )来说，其圆运动问题的分析应紧紧把握住“引力充当向心力”这一要点 来进行．即2r Mm G ＝ma ．其中的向心加速度a n ＝r v 2＝2 r ω＝r T 2)2(π 至于a n 应取何种表达形式，应依据具体问题来确定． 环绕天体绕中心天 体作匀速圆周运动 ma 2 Mm G a ＝ 2 r GM ． v ＝r GM ω＝ 3r GM Ｔ＝２ π GM r 3 由R v m mg 2 = 得gR v = 2GM最新万有引力解题方法总结加例题
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