一、选择题
1．已知长方体的长2cm 、宽为1cm 、高为4cm ，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是（ ）
A ．29cm
B ．5cm
C ．37cm
D ．4.5cm
2．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，90D ∠=，8AD =，6BC =，分别以点A ，
C 为圆心，大于
1
2
AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 是AC 的中点，则CD 的长为（ ）
A ．42
B ．6
C ．210
D ．8
3．如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm ，在容器内壁离容器底部4 cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4 cm 的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 cm ，则该圆柱底面周长为（ ）cm ．
A ．9
B ．10
C ．18
D ．20
4．已知等边三角形的边长为a ，则它边上的高、面积分别是（ ）
A ．2,24a a
B 2
34a a
C 2
33a a D ．2
334a a 5．如图，已知1号、4号两个正方形的面积之和为7，2号、3号两个正方形的面积之和为4，则a 、b 、c 三个正方形的面积之和为（ ）
A ．11
B ．15
C ．10
D ．22
6．若直角三角形的三边长分别为-a b 、a 、+a b ，且a 、b 都是正整数，则三角形其中一
边的长可能为（） A ．22
B ．32
C ．62
D ．82
7．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝7，∠BAC 的角平分线AD 交BC 于点D ，则点D 到AB 的距离是（ ）
A ．3
B ．4
C ．7(21)-
D ．7(21)+
8．如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 折叠，点B 落在点B ′处，则重叠部分△AFC 的面积为（ ）
A ．12
B ．10
C ．8
D ．6
9．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ） A ．7.5平方千米
B ．15平方千米
C ．75平方千米
D ．750平方千米
10．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，ABC 中，90ACB ∠=?，
10AC AB +=尺，4BC =尺，求AC 的长. AC 的长为（ ）
A．3尺B．4.2尺C．5尺D．4尺
二、填空题
11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm、3 dm和1 dm，A和B 是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是 dm．
12．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1=A1A2=1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA2018A2019，则点
A2019的坐标为________．
13．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°,以AC为斜边向外作等腰直角三角形COA，已知
BC=8,OB=102,则另一直角边AB的长为__________.
14．如图，已知△DBC是等腰直角三角形，BE与CD交于点O，∠BDC=∠BEC=90°，
BF=CF，若BC=8，2，则OF=______.
15．在Rt△ABC中，直角边的长分别为a，b，斜边长c，且a+b=35，c=5，则ab的值为______．
16．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠BCA＝30°，点D在BC上，点E在△ABC外，且AD＝
AE＝CE，AD⊥AE，则AB
BD
的值为____________．
17．如图，在□ABCD中，AC与BD交于点O，且AB=3，BC=5．
①线段OA的取值范围是______________；
②若BD-AC=1，则AC?BD= _________．
18．一块直角三角形绿地，两直角边长分别为3m，4m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长长为3m的直角边，则扩充后等腰三角形绿地的面积为____m2．
19．如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则2________
BD=．
20．如图所示，圆柱体底面圆的半径是2
π
，高为1，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的
外侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是______
三、解答题
21．定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形．（1）如图1，四边形ABCD 中，∠ABC =70°，∠BAC =40°，∠ACD =∠ADC =80°，求证：四边形ABCD 是邻和四边形．
（2）如图2，是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A 、B 、C 三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点．．．．．．．D ．，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为邻和四边形．
（3）如图3，△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =23，若存在一点D ，使四边形ABCD 是邻和四边形，求邻和四边形ABCD 的面积．
22．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为CD 边上一点，将△ADE 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处． （1）求BF 的长； （2）求CE 的长．
23．如图，△ABC 中，90BAC ∠=?，AB=AC ，P 是线段BC 上一点,且045BAP ?<∠
（2）设∠BAP 的大小为α.求∠ADC 的大小(用含α的代数式表示).
（3）延长CD 与AP 交于点E,直接用等式表示线段BD 与DE 之间的数量关系.
24．如图，在四边形ABCD 中，=AB AD ，=BC DC ，=60A ∠?，点E 为AD 边上一点，连接CE ，BD . CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB .
（1）求证:CED ADB ∠=∠； （2）若=8AB ，=6CE . 求BC 的长 .
25．如图1, △ABC 和△CDE 均为等腰三角形，AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a ，且点A 、D 、E 在同一直线上，连结BE.
(1)求证: AD=BE.
(2)如图2,若a=90°，CM ⊥AE 于E.若CM=7, BE=10, 试求AB 的长.
(3)如图3,若a=120°, CM ⊥AE 于E, BN ⊥AE 于N, BN=a, CM=b,直接写出AE 的值(用a, b 的代数式表示).
26．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 经过点C （a ，a ），且交x 轴于点A （m ，0），交y 轴于点B （0，n ），且m ，n 满足6m -＋（n ﹣12）2＝0． （1）求直线AB 的解析式及C 点坐标；
（2）过点C 作CD ⊥AB 交x 轴于点D ，请在图1中画出图形，并求D 点的坐标； （3）如图2，点E （0，﹣2），点P 为射线AB 上一点，且∠CEP ＝45°，求点P 的坐标．
27．在ABC ?中，90ACB ∠=?，6AC BC ==，点D 是AC 的中点，点E 是射线DC 上一点，DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，连接CF ，作FH CF ⊥于点F ，交直线
AB 于点H ．
（1）如图（1），当点E 在线段DC 上时，判断CF 和FH 的数量关系，并加以证明； （2）如图（2），当点E 在线段DC 的延长线上时，问题（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请求出当ABC △和CFH △面积相等时，点E 与点C 之间的距离；如果不成立，请说明理由． 28．（知识背景）
据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数． （应用举例）
观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…
可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且 勾为3时，股14(91)2=
-，弦1
5(91)2
=+； 勾为5时，股112(251)2=-，弦1
13(251)2
=+； 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
（1）如果勾为7，则股24＝ 弦25＝
（2）如果勾用n （3n ≥，且n 为奇数）表示时，请用含有n 的式子表示股和弦，则股
＝ ，弦＝ ． （解决问题）
观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…根据应用举例获得的经验进行填空： （3）如果,,a b c 是符合同样规律的一组勾股数，2a m =（m 表示大于1的整数），则
b = ，
c = ，这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式．
（4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列）第一组： 、24、 ：第二组： 、 、37．
29．如图1，已知△ABC 是等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且CD ＝AE ，AD 与BE 相交于点F ．
（1）求证：∠ABE ＝∠CAD ；
（2）如图2，以AD 为边向左作等边△ADG ，连接BG ． ⅰ）试判断四边形AGBE 的形状，并说明理由；
ⅱ）若设BD ＝1，DC ＝k （0＜k ＜1），求四边形AGBE 与△ABC 的周长比（用含k 的代数
式表示）．
30．在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（m，0）在坐标轴上，点C，O关于直线AB 对称，点D在线段AB上．
（1）如图1，若m＝8，求AB的长；
（2）如图2，若m＝4，连接OD，在y轴上取一点E，使OD＝DE，求证：CE＝2DE；（3）如图3，若m＝43，在射线AO上裁取AF，使AF＝BD，当CD+CF的值最小时，请在图中画出点D的位置，并直接写出这个最小值．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】
解：根据题意，如图所示，最短路径有以下三种情况：
（1）沿AA'，A C''，C B''，B B'剪开，得图1:
22222
'=+'=++=；
AB AB BB
(21)425
（2）沿AC，CC'，C B''，B D''，D A''，A A'剪开，得图2:
22222
'=+'=++=+=；
2(41)42529
AB AC B C
DD，B D''，C B''，C A''，AA'剪开，得图3:
（3）沿AD，'
22222
'=+'=++=+=；
AB AD B D
1(42)13637
综上所述，最短路径应为（1）所示，所以225AB '=，即5cm AB '=． 故选：B ． 【点睛】
此题考查最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．
2．A
解析：A 【分析】
连接FC ，根据基本作图，可得OE 垂直平分AC ，由垂直平分线的性质得出AF =FC ．再根据ASA 证明△FOA ≌△BOC ，那么AF =BC =3，等量代换得到FC =AF =3，利用线段的和差关系求出FD =AD -AF =1．然后在直角△FDC 中利用勾股定理求出CD 的长． 【详解】
解：如图，连接FC ，
∵点O 是AC 的中点，由作法可知，OE 垂直平分AC ， ∴AF =FC ．
∵AD ∥BC ， ∴∠FAO =∠BCO ． 在△FOA 与△BOC 中，
FAO BCO OA OC
AOF COB ∠∠??
??∠∠?
＝＝＝ ， ∴△FOA ≌△BOC （ASA ），
∴AF =BC =6，
∴FC =AF =6，FD =AD -AF =8-6=2． 在△FDC 中，∵∠D =90°， ∴CD 2+DF 2=FC 2， ∴CD 2+22=62， ∴CD =42． 故选：A ． 【点睛】
本题考查了作图-基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF 与DF 是解题的关键．
3．C
解析：C 【分析】
将容器侧面展开，建立A 关于上边沿的对称点A’，根据两点之间线段最短可知A’B 的长度为最短路径15，构造直角三角形，依据勾股定理可以求出底面周长的一半，乘以2即为所求． 【详解】 解：如图，
将容器侧面展开，作A 关于EF 的对称点'A ，连接'A B ，则'A B 即为最短距离， 根据题意：'15A B cm =，12412BD AE cm =-+=，
2222'15129A D A B BD ∴--'==．
所以底面圆的周长为9×2=18cm. 故选：C ． 【点睛】
本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
4．C
解析：C 【分析】
作出等边三角形一边上的高，利用直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
得出BD ，利用勾股定理即可求出AD ，再利用三角形面积公式即可解决问题． 【详解】
解：如图作AD ⊥BC 于点D ． ∵△ABC 为等边三角形， ∴∠B ＝60°，∠B AD ＝30° ∴1122
BD AB a =
= 由勾股定理得，2222213
()2AD AB BD a a a =
-=-=
∴边长为a 的等边三角形的面积为12×a ×32a ＝34
a 2
， 故选：C ．
【点睛】
本题考点涉及等边三角形的性质、含30°角的直角三角形、勾股定理以及三角形面积公式，熟练掌握相关性质定理是解题关键.
5．B
解析：B 【分析】
由直角三角形的勾股定理以及正方形的面积公式不难发现：a 的面积等于1号的面积加上2号的面积，b 的面积等于2号的面积加上3号的面积，c 的面积等于3号的面积加上4号的面积，据此可以求出三个的面积之和. 【详解】
利用勾股定理可得：
12a S S S =+ ，23b S S S =+，34c S S S =+
∴122334a b c S S S S S S S S S ++=+++++
74415=++=
故选B 【点睛】
本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握相关性质定理是解题关键.
6．B
解析：B 【解析】
由题可知（a-b ）2+a 2=（a+b ）2，解得a=4b ，所以直角三角形三边分别为3b ，4b ，5b ，当
b=8时，4b=32，故选B ．
7．C
解析：C 【分析】
过点D 作DE ⊥AB 于点E ，根据角平分线的性质定理，可得：DE ＝DC ＝x ，则BE ＝72－x ，进而可得到AE ＝AC ＝7，在Rt △BDE 中，应用勾股定理即可求解． 【详解】
过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则∠AED ＝90°，AE ＝AC ＝7， ∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴BC ＝AC ＝7，AB ＝22AC +BC =72， 在Rt △AED 和Rt △ACD 中， AE ＝AC ，DE ＝DC ， ∴Rt △AED ≌Rt △ACD ， ∴AE ＝AC ＝7，
设DE ＝DC ＝x ，则BD ＝7－x ， 在Rt △BDE 中，222BE +DE =BD ， 即：()
()2
2
272-7
7-x x +=，
解得： 7(21)x =-， 故选：C ．
【点睛】
本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，运用方程思想是解题的关键．
8．B
解析：B 【分析】
已知AD 为CF 边上的高，要求AFC △的面积，求得FC 即可，求证AFD CFB '△≌△，得B F DF '=，设DF x =，则在Rt AFD △中，根据勾股定理求x ，于是得到CF CD DF =-，即可得到答案．
【详解】
解：由翻折变换的性质可知，AFD CFB '△≌△，
'DF B F ∴=，
设DF x =，则8AF CF x ==-，
在Rt AFD △中，222AF DF AD =+，即2
2
2
(8)4x x -=+， 解得：3x =，
835CF CD FD ∴=-=-=，
1
102
AFC S AF BC ∴=??=△．
故选：B ． 【点睛】
本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等内容，根据折叠的性质得到
AFD CFB '△≌△是解题的关键．
9．A
解析：A 【解析】
分析：直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案． 详解：∵52+122=132，
∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形， ∴这块沙田面积为：1
2
×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）． 故选A ．
点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．
10．B
解析：B 【分析】
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(10)x -尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】
解：设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(10)x -尺， 根据勾股定理得：2224(10)x x +=-． 解得： 4.2x =，
∴折断处离地面的高度为4.2尺，
故选：B ． 【点睛】
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
二、填空题
11．【解析】
试题分析：将台阶展开，如图，
331312,5,AC BC =?+?==222169,AB AC BC ∴=+=13,AB ∴=即蚂蚁爬行的最
短线路为13.dm
考点：平面展开：最短路径问题． 12．(21009，0)． 【分析】
根据等腰直角三角形的性质得到OA 1=1，OA 2=1
2，OA 3=
2
2，
OA 4=
3
2，…OA 2019
=2018
2，再利用1A 、2A 、3A …，每8个一循环，再回到y 轴的
正半轴的特点可得到点A 2019在x 轴的正半轴上，即可确定点A 2019的坐标． 【详解】
∵等腰直角三角形OA 1A 2的直角边OA 1在y 轴的正半轴上，且OA 1=A 1A 2=1，以OA 2为直角边作第二个等腰直角三角形OA 2A 3，以OA 3为直角边作第三个等腰直角三角形OA 3A 4，…，∴OA 1=1，OA 22，OA 3=2）2，…，OA 2019=2）2018， ∵A 1、A 2、A 3、…，每8个一循环，再回到y 轴的正半轴， ∴2019÷8=252…3， ∴点A 2019在x 轴正半轴上． ∵OA 2019=2）2018， ∴点A 2019的坐标为（
2018
2
,0）即(21009，0)．
故答案为：(21009，0)． 【点睛】
本题考查了规律型：点的坐标，等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两底角都等于45°；斜边等于直角边的2倍．也考查了直角坐标系中各象限内点的坐标特征． 13．12 【分析】
延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.证?BCO ?∠EAO ，再证三角形BOE 是等腰直角三角形，利用勾股定理可得(
)(
)
2
2
22102
102
20BO EO +=+=，可得AB=BE-AE.
【详解】
如图，延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE. 因为三角形COA 是等腰直角三角形 所以CO=AO,∠AOC=∠BOC+∠AOB=90° 因为∠ABC=90°，∠AOC=90°， 所以∠BAO+∠BCO=180°, 又∠BAO+∠OAE=180° 所以∠BCO=∠OAE 所以?BCO ?∠EAO 所以BO=EO, ∠BOC=∠EOA 所以，∠BOE=∠EOA+∠AOB=90° 所以三角形BOE 是等腰直角三角形 所以BE=(
)(
)
2
2
22102
102
20BO EO +=+=
所以AB=BE-AE=20-8=12 故答案为：12 【点睛】
考核知识点：全等三角形，勾股定理.构造全等三角形是关键.
14．10
【分析】
过点F 作FG ⊥BE ，连接OF 、EF ，先根据等腰直角三角形的性质得出DC 的值，再用勾股定理求出OE 的值，然后根据中位线定理得出FG 的的值，最后再根据勾股定理得出OF 的值即可. 【详解】
过点F 作FG ⊥BE ，连接OF 、EF ，如下图所示：
∵DBC ?是等腰直角三角形，且BF CF =，8BC =
∴
DC DB ===
∵OD =
∴OC DC OD =-=
∴OB =设OE x =， ∵∠BEC=90°
则()2
222OC OE BC OB OE -=-+
∴17
OE =
∴EC ==
∵BF CF =，FG ⊥BE ，∠BEC=90°
∴12FG EC =
=
∴BE BO OE =+=
∴12GO GE OE BE OE =-=
-=
∴OF =【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形、中位线定理、勾股定理等，综合度比较高，准确作出辅助线是关键. 15．10 【分析】
先根据勾股定理得出a 2+b 2＝c 2，利用完全平方公式得到（a +b ）2﹣2ab ＝c 2，再将a +b ＝
c ＝5代入即可求出ab 的值． 【详解】
解：∵在Rt △ABC 中，直角边的长分别为a ，b ，斜边长c ， ∴a 2+b 2＝c 2， ∴（a +b ）2﹣2ab ＝c 2，
∵a +b ＝c ＝5，
∴（2﹣2ab ＝52， ∴ab ＝10． 故答案为10． 【点睛】
本题考查勾股定理以及完全平方公式，灵活运用完全平方公式是解题关键.
16．
62
+ 【解析】 【分析】
过A 点作BC 的垂线，E 点作AC
的垂线，构造全等三角形，利用对应角相等计算得出∠DAM=15°，在AM 上截取AG=DG ，则∠DGM=30°，设DM=a,通过勾股定理可得到DG=AG=2a ，GM=3a,AM=BM=(32)a +，BD=(31)a +，AB=2(31)a +,代入计算即可. 【详解】
过A 点作AM ⊥BC 于M 点，过E 点EN ⊥AC 于N 点. ∵∠BCA ＝30°，AE=EC
∴AM=
12AC ，AN=12AC ∴AM=AN 又∵AD=AE
∴R t?ADM ? R t?AEN (HL) ∴∠DAM=∠EAN
又∵∠MAC=60°，AD ⊥AE ∴∠DAM=∠EAN=15°
在AM 上截取AG=DG ，则∠DGM=30° 设DM=a,则 DG=AG=2a ， 根据勾股定理得：GM=3a, ∵∠ABC ＝45° ∴AM=BM=(32)a +
∴BD=(31)a +，AB=2(32)a +,
∴(
)
(
)
62262
31a
AB
BD
a ++==
+ 故答案为：
62
+
【点睛】
本题主要考查等于三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，关键
是能根据已知条件构建全等三角形及构建等腰三角形将15°角转化为30°角，本题有较大难度.
17．①1＜OA ＜4． ②67
2
． 【解析】
(1)由三角形边的性质 5-3<2OA <5+3, 1＜OA ＜4.
(2)过A 作AF BC ,F ⊥于过D 作DE BC ⊥于E,可知，ABF 全等DCE , 由题意知，22BD DE =+()2
BC CE +=2DE +()2
4CE +，
()()22
2225AC DE BC CE DE CE ∴=+-=+-， 2AC ∴+ 2BD
=2DE +()()2
2
245CE DE CE +++-=2(22)5018DE CE ++=+50=68， BD -AC =1，两边平方2AC ∴+ 2BD -2AC ?BD =1，
∴AC ?BD =
672
.
18．8或10或12或253
【详解】 解：①如图1：
当BC=CD=3m 时，AB=AD=5m ，AC ⊥BD ， 此时等腰三角形绿地的面积：1
2
×6×4=12（m 2）； ②如图2：
当AC=CD=4m时，AC⊥CB，
此时等腰三角形绿地的面积：1
2
×4×4=8（m2）；
③如图3：
当AD=BD时，设AD=BD=xm，
在Rt△ACD中，CD=（x-3）m，AC=4m，
由勾股定理，得AD2=DC2+CA2，即(x-3)2+42=x2，
解得x=25
6
，
此时等腰三角形绿地的面积：1
2
BD·AC=
1
2
×
25
6
×4=
25
3
（m2）；
④如图4，
延长BC到D，使BD=AB=5m，故CD=2m，
此时等腰三角形绿地的面积：1
2
BD·AC=
1
2
×5×4=10（m2）；
综上所述，扩充后等腰三角形绿地的面积为8m2或12m2或10m2或25
3
m2．
点睛：此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解决问题的关键是根据题意正确画出图形．
19．41 【解析】
作AD′⊥AD ，AD′=AD ，连接CD′，DD ′，如图：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ， 即∠BAD=∠CAD′， 在△BAD 与△CAD ′中，
;BA CA BAD CAD AD AD ＝＝＝??
∠∠'???
∴△BAD ≌△CAD′（SAS ），
∴BD=CD′， ∠DAD′=90°， 由勾股定理得DD′=
22AD AD +' ，
∠D′DA+∠ADC=90°，
由勾股定理得CD′=22DC DD +'， ∴BD=CD′=41，即BD 2=41． 故答案是：41．
20．5
【分析】
先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知． 【详解】
圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C 是边的中点，矩形的宽
即高等于圆柱的母线长．
∵AB=π?
2
π
=2，CB=1．
勾股定理知识点归纳和题型归类 一．知识归纳 １．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2 ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++，所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
中考数学勾股定理知识点-+典型题及解析 一、选择题 1．图中不能证明勾股定理的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为( ) A ．121 B ．110 C ．100 D ．90 3．如图，在ABC 中，90A ∠=?，6AB =，8AC =，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点O ，过点O 作⊥OD AB 于点D ，若则AD 的长为( )
A ．2 B ．2 C ．3 D ．4 4．已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的面积是( ) A ．2n ﹣2 B ．2n ﹣1 C ．2n D ．2n+1 5．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C 旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE 2+BG 2=2a 2+2b 2，其中正确结论有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 6．如图是我国数学家赵爽的股弦图，它由四个全等的直角三角形和小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是l3，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a ，较长直角边长为b ，那么()2 a b +值为（ ） A ．25 B ．9 C ．13 D ．169 7．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知90A ∠=?正方形ADOF 的边长是2，4BD =，则CF 的长为（ ） A ．6 B ．2 C ．8 D ．10 8．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了上图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
新人教版八年级下册勾股定理典型例习题 一、经典例题精讲 题型一:直接考查勾股定理 例１.在ABC ?中,90C ∠=?. ⑴已知6AC =,8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接应用勾股定理 222a b c += 解:⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-= 题型二:利用勾股定理测量长度 例题1 如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米? 解析:这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后,．已 知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理! 根据勾股定理AC 2+BC 2＝AB 2， 即ＡＣ2+9２=1５2,所以AC ２ =144,所以AC=12. 例题２ 如图(8），水池中离岸边D 点１.5米的C 处,直立长着一根芦苇，出水部分B Ｃ的长是0.５米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点,并求水池的深度AC. 解析:同例题１一样，先将实物模型转化为数学模型，如图 2. 由题意可知△AC Ｄ中,∠ACD=90°,在Ｒt △ACD 中,只知道CD ＝１．5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。 标准解题步骤如下(仅供参考）: 解:如图2,根据勾股定理，AC 2+CD 2=A Ｄ2 设水深AC= x 米，那么AD ＝A Ｂ=AC+CB ＝x +0.5 ｘ２+1．52=( x ＋0.5）2 解之得x =2. 故水深为2米. 题型三:勾股定理和逆定理并用—— 例题3 如图3，正方形ＡＢCD 中，E 是ＢC 边上的中点,F 是AB 上一点，且AB FB 4 1= 那么△ＤEF 是直角三角形吗?为什么? C B D A
中考数学二轮复习勾股定理知识点及练习题及答案 一、选择题 1．如图，ABC 是等边三角形，点D ．E 分别为边BC ．AC 上的点，且CD AE =，点F 是BE 和AD 的交点，BG AD ⊥，垂足为点G ，已知75∠=?BEC ，1FG =，则2AB 为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 2．如图，点A 的坐标是(2)2， ，若点P 在x 轴上，且APO △是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（ ） A ．（2，0） B ．（4，0） C ．（－22，0） D ．（3，0） 3．已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是 （ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 4．如果直角三角形的三条边为3、4、a ，则a 的取值可以有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，P 是BC 上一点，且DB ＝DC ，过BC 上一点P ，作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥DC 于F ，已知：AD ：DB ＝1：3，BC ＝46，则PE+PF 的长是（ ） A ．6 B ．6 C ．42 D ．266．已知：如图在△ABC ，△AD E 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ，以下四个结论： ①BD=CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE 2=2（AD 2+AB 2）， 其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知△ABC的三边分别是6，8，10，则△ABC的面积是（） A．24 B．30 C．40 D．48 8．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)() A．3 B．5 C．4.2D．4 9．甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75?的方向航行，它们出发1.5小时后，两船相距30海里，若乙以12海里/时的速度航行，则它的航行方向为（） A．北偏西15?B．南偏西75° C．南偏东15?或北偏西15?D．南偏西15?或北偏东15? 10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则点C到AB的距离是（） A．3 4 B． 3 5 C． 4 5 D． 12 5 二、填空题 11．如图，AB＝12，AB⊥BC于点B， AB⊥AD于点A，AD＝5，BC＝10，E是CD的中点，则AE的长是____ ___． 12．如图所示的网格是正方形网格，则ABC ACB ∠+∠=__________°（点A，B，C是网格线交点）．
典型例题 知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理 例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF、GH四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是（） A.CD、EF、 GH C. AB、CD GH B.AB、EF、GH D. AB、CD EF 愿路分乐屮 1）題意分析’本题考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠 2）解題思器；可利用勾脸定理直接求出各边长，再试行判断?』 解答过整屮 在取DEAF中，Af=l, AE=2,根据勾股定理，得昇 EF = Q抡於十￡尸° = Q +F二艮 同理HE = 2百* QH. = 1 CD = 2^5 计算发现W十◎血尸=（鸥31即血+曲=GH2,根据勾股定理的逆宦理得到UAAE、EF\ GH为辺的三角形是直毎三角形.故选B. * 縮題后KJ思专：* 1.勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于说角三角形和钝角三角形? 因此」辭题时一宦妾认真分析题目所蛤■条件■,看是否可用勾股定理来解口* 2.在运用勾股左理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为就是斜 迫而“固执”地运用公式川二/十就其实，同样是S6
"不一罡就等于餌，疋不一罡就昱斜辺，KABC不一定就是直角三祐
3.直角三第形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从 卅形s—个三角形是直角三角形）到懺 y =沖十沪）的过程，而直角三角形的判定是一 ①从嗦（一个三角形的三辺满足X二护+酹的条件）到偲个三角形是直角三角形）的过 程.a 4?在应用勾股定理解题叭聲全面地琴虑间题.注意m题中存在的多种可能性，遊免漏辭.初 例玉如圏，有一块直角三角形?椀屈U,两直角迫4CM5沁丸m?现将直角边AC沿直绘AD折蠡便它落在斜边AB上.且点C落到点E处, 则切等于（、* C/) "禎 B. 3cm G-Icni n題童分析，本题着查勾股定理的应用刎 ：）解龜思路；車题若直接在△MQ中运用勾股定理是无法求得仞的长的，因为貝知遒一条边卫0的长，由题意可知，AACD和心迓门关于直线KQ对称.因而^ACD^hAED ?进一歩则有应RUm CZAED ED 丄AB,设UD=E2＞黄泱，则在Rt A ABO中，由勾股定 理可得^=^（^+^=^83=100,得AB=10cm,在松迟DE 中,W ClO-fl）2= d驚解得尸 九4 解龜后的思琴尸 勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。所以，在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。 方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解 决问题等。 例3：一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占 明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。 清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。” “是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！” “但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。 张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗？” 占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角
第18章 勾股定理复习 一．知识归纳 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证
a b c c b a E D C B A ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5 、利用勾股定理作长为 的线段 作长为 、 、 的线段。 思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为 和1的直 角三角形斜边长就是，类似地可作 。 作法：如图所示 （1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB ，使AB 为斜边； （2）以AB 为一条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为 ； （3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边 、 、 、 的长度就是 、 、 、 。 举一反三 【变式】在数轴上表示的点。 解析：可以把 看作是直角三角形的斜边， ， 为了有利于画图让其他两边的长为整数， 而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。
一、选择题 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，在矩形内部有一动点P满足S△PAB＝3S△PCD，则动点P到点A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为（） A．5 B．35C．332 D．213 2．如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC=5，AB=8，D为底边上一动点（不与点A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，则DE+DF= （） A．5 B．8 C．13 D．4．8 3．如图所示，在中，，，.分别以，，为直径作半圆（以为直径的半圆恰好经过点，则图中阴影部分的面积是（） A．4 B．5 C．7 D．6 4．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若S1+S2+S3=15，则S2的值是( ) A．3 B．15 4 C．5 D． 15 2 5．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，D为BC边上的一点，现将直角边AC沿直线AD折叠，使AC落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为（）
A ．2cm B ．2.5cm C ．3cm D ．4cm 6．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知90A ∠=?正方形ADOF 的边长是2，4BD =，则CF 的长为（ ） A ．6 B ．42 C ．8 D ．10 7．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O ，在数轴上找到表示数2的点A ，然后过点A 作AB ⊥OA ，使AB=3(如图)．以O 为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P ，则点P 所表示的数介于( ) A ．1和2之间 B ．2和3之间 C ．3和4之间 D ．4和5之间 8．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，2，5，分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ） A ．② B ．①② C ．①③ D ．②③ 9．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ） A ．7.5平方千米 B ．15平方千米 C ．75平方千米 D ．750平方千米 10．如图，在ABC ?中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点．已知90ACB ∠=?， 4BE =，7AD =，则AB 的长为（ ） A ．10 B ．53 C ．213 D ．15
勾股定理知识点与常见题型总结
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勾股定理复习 一.知识归纳 1．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ,斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股,斜边称为弦．早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,2214()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形,2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证
【趣味链接】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1,S 2，S 3．若S 1，S 2，S 3＝10，则S 2的值是多少呢？ 【知识梳理】 1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2 ＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C a b c 弦股勾 勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。 2、勾股数：满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数， 那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。） *附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13 3、判断直角三角形：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2 ，那么这个三角形是 直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c）； （2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形； 若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）； 若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边） 4、注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 5、勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。 （3）用于证明线段平方关系的问题。 （4）利用勾股定理，作出长为n的线段 【经典例题】【例1】（2016山东烟台）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角
勾股定理课时练（1） 1. 在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB2 2 2AC BC+ +的值是（） A.2 B.4 C.6 D.8 2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是______ cm（结果不取近似值）. 3. 直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______． 4.一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高多少m？ 5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米. 6. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米? 7. 如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度. 8. 一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm。求CD的长. 9. 如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB的长. 10. 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北 7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 11如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱? 12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？
第十七章勾股定理知识点总结 一．基础知识点： 1：勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ?中，90 ∠=?，则c， C b，a=） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c； （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 （若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a ，b ，c 有下列关系：a 2+b 2＝c 2，?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解． 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 5：勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 勾股定理知识总结 一．基础知识点： 1：勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2+b 2＝c 2 ） 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主 要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ?中，90C ∠=?，则22c a b =+， 22b c a =-，22 a c b =-） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ； （2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2 ，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形 （若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2 勾股定理全章知识点和典型例习题 一、基础知识点： 1?勾股定理 内容：____________________________________________________________ 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a , b，斜边为c，那么__________________ 2 ?勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 3 ?勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，C 90 , 则 __________________________________________ ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定 理解决一些实际问题 4. 勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a , b , c满足a2 b2c，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过数转化为形”来确定三角形的可能 形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2 b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以 a , b , c为三边 的三角形是直角三角形；若 _________ ，时，以a , b , c为三边的三角形是钝角三角形；若__________________ ，时，以a , b , c为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a , b , c及a2 b2 c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a , b , c满足a2 c2 b2, 那么以a , b , c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 5. 勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2 b2 c2中，a , b , c为正整数时，称a , b , c为 一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ; 6,8,10 ; 5,12,13; 7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n组勾股数： 2 2 n 1,2n,n 1 （n 2, n 为正整数）； 2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1 （n为正整数）m2 n2,2mn,m2 n2（m n, m , n为正整数）7 .勾股定理的应用 全国中考信息资源门户网站 https://www.doczj.com/doc/ac11402386.html, 勾股定理全章知识点归纳总结 一．基础知识点： 1：勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2+b 2＝c 2） 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在A B C ?中，90C ∠=? ，则22 c a b = +， 2 2 b c a = -，22 a c b = -） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ； （2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形 （若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2 全国中考信息资源门户网站 https://www.doczj.com/doc/ac11402386.html, 3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a ，b ，c 有下列关系：a 2+b 2＝c 2，?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解． 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 5：勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ? +=正方形正方形ABCD ，22 14()2 ab b a c ? +-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 勾股定理复习 一．知识归纳 １．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明，常见的是拼图的方法 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用：勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边。在ABC ?中，90C ∠=?，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =- ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） 常见图形： 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt △ABC 中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b ， (2)已知a=40，b=9，求c ； (3)已知c=25，b=15，求a. 2. 已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为 ． 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB 的长是多少? 类型二：勾股定理的构造应用 c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A XX教育一对一个性化教案 授课日期：2014 年月日学生姓名许XX 教师姓名授课时段2h 年级8 学科数学课型VIP 教学内容勾股定理及逆定理 教学重、难点重点：运用勾股定理判定一个三角形是否为直角三角形。难点：运用用勾股定理和勾股定理逆定理解决实际问题。 教学步骤及突出教学方法一、知识归纳 1、勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a，b，c满足222 a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22 a b +与较长边的平方2c作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若222 a b c +<，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若222 a b c +>，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a，b，c及222 a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足222 a c b +=，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边。 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。 2、勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222 a b c +=中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n组勾股数： 22 1,2,1 n n n -+（2, n≥n为正整数）； 22 21,22,221 n n n n n ++++（n为正整数） 2222 ,2, m n mn m n -+（, m n >m，n为正整数）勾股定理知识点总结及练习
(完整版)勾股定理经典例题(教师版)
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