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微分中值定理的总结及体会

微分中值定理

考点一: 验证微分中值定理的条件，构造辅助函数 1．设()1,2,3,,i a R i n ∈= 且满足12

00231

n a a a a n +

+++=+ ,证明方程2

012

a a x a x

a x ++

++= 在()0,1内至少有一个实根。

【分析】结论等价于证明存在(0,1)ξ∈，使2012()0n n F a a a a ξξξξ'=++++= . 证明：作辅助函数:

20120

()()x

n n F x a a a a d ξξξξ=++++?

1120,231

n n a a a a x x x x n +=+

++++ 显然, 120(0)0,(1)0.231

n a a a

F F a n ==++++=+ 又()F x 是多项式函数, 在[]0,1上连续,

在()0,1内可导,(0)(1),F F =满足洛尔定理的条件,故存在()0,1ξ∈,使()0F ξ'=.而

2012(),n n F a a a a ξξξξ'=++++

故方程2

0120n

n a a x a x a x ++++= 在()0,1内至少有一个实根ξ.

2. （2008）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 可导，则存在

(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-.

【分析】结论等价于证明存在(,)a b ξ∈，使()()()0f b f a f b a

ξ-'-=-.

证明：作辅助函数

()()()()()

()()()()()x

f b f a f b f a x f t dt f x f a x a b a

b a

?--'=-

=--

---?，

易验证()x ?满足：()()a b ??=；()x ?在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且

()()

()()f b f a x f x b a

?-''=-

根据罗尔定理，可得在(),a b 内至少有一点ξ，使()0?ξ'=，即

()()

()0f b f a f b a

ξ-'-

=-，

所以 ()()()()f b f a f b a ξ'-=-. 【评注】本题也可设辅助函数为

()()()()()

()()()()()x

f b f a f b f a x f t dt f x f b x b b a

b a

?--'=-

=--

---?

；

或 ()()()()()

()()()x

f b f a f b f a x f t d t f x x b a

b a

?--'=

--?

. 3. 设函数()f x 在[,]a b 上可微, 且a 与b 同号, 证明存在(,)a b ξ∈使

（1）2

2(()())()()f b f a b a f ξξ'-=-; （2）()()(ln )()b

f b f a f a

ξξ'-=. 证明：(1)将欲证等式变形为

()()()2f b f a f b a ξξ

'-=-知,需引入辅助函数2

()g x x =.由于()f x ,()g x 在(,)a b 上满足柯西中值定理条件,所以存在(,)a b ξ∈, 使

222(()())()()f b f a b a f ξξ'-=-;

(2)将欲证等式变形为

()()()

()ln ||ln ||1/f b f a f f b a ξξξξ

'-'==

-，需引入辅助函数()ln g x x =.由于()f x ,()g x 在(,)a b 上满足柯西中值定理条件,所以存在(,)a b ξ∈, 使

()()ln |

|()(ln )()b b

f b f a f f a a ξξξξ''-==.

【提高练习】 1. 若方程1

0110n

n n a x a x

a x --+++= 有一个正根0x x =，证明：方程

12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++= 必有一个小于0x 的正根.

考点二：用微分中值定理证明不等式

1．（2004）设2

e a b e <<<，证明

222ln ln 4

b a b a e

->-. 【分析】根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用

单调性证明.

【证法1】对函数2

ln x 在[,]a b 上应用拉格朗日中值定理，得

.),(ln 2ln ln 22b a a b a b <<-=

-ξξ

设t t t ln )(=

?，则2ln 1)(t

t t -='?，当t e >时，有,0)(<'t ? 所以)(t ?单调减少，从而)()(2

e ?ξ?>，即

2222

ln ln e

e e =>ξξ

，故 )(4

ln ln 22

2a b e

a b ->

-. 【证法2】设x e x x 22

4ln )(-

=?，则24ln 2)(e x x x -='?，2

ln 12)(x x

x -=''?,

所以当x e >时，,0)(<''x ? 故)(x ?'单调减少，从而当2

e x e <<时，

044)()(2

22=-=

'>'e e e x ??，即当2

e x e <<时，)(x ?单调增加.

因此当2

e x e <<时，有)()(a b ??>，即

a e a

b e b 2

224ln 4ln ->-

，故

)(4

ln ln 222a b e

a b ->

-. 【评注】本题也可设辅助函数为222

),(4

ln ln )(e x a e a x e

a x x <<<--

-=?或 2

222),(4ln ln )(e b x e x b e

x b x <<<--

-=?，再用单调性进行证明即可。【提高练习】

1、设0,1a b n >>>，证明：1

1()()n n n n nb a b a b nb a b ---<-<-.

2、证明：当0x >时，

ln(1)1x

x x x

<+<+.

考点三: 微分中值定理和闭区间上连续函数的性质

2．（2003）设函数()f x 在[0,3]上连续，在(0,3)内可导,且(0)(1)(2)3f f f ++=，且

(3)1f =，试证：必存在(0,3)ξ∈，使()0f ξ'=.

【分析】根据洛尔定理，只需证明存在一点[0,3)c ∈，使得)3(1)(f c f ==，然后在

[,3]c 上应用洛尔定理即可. 注意到条件(0)(1)(2f f f ++=等价于

)

2()1()0(=++f f f ，问题转化为1介于()f x 的最值之间，用闭区间上连续函数的介

值定理可以达到目的.

【详解】因为()f x 在[0,3]上连续，所以()f x 在[0,2]上连续，且在[0,2]上必有最大值M 和最小值m ，于是

M f m ≤≤)0(， M f m ≤≤)1(， M f m ≤≤)2(.

故

)

2()1()0(M f f f m ≤++≤

由介值定理知，至少存在一点]2,0[∈c ，使

.13

)

2()1()0()(=++=

f f f c f

因为()1(3)f c f ==, 且()f x 在[,3]c 上连续，在(,3)c 内可导，所以由洛尔定理知，必存在)3,0()3,(?∈c ξ，使.0)(='ξf

【评注】介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点，且一般是两两结合起来考. 本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形.

2. 设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导,且()()0,()()02

a b

f a f b f a f +?>?<,证明在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()0f f ξξ'-=. 证明：不妨设()0,f a >则由已知条件知()0,(

)02

a b

f b f +><，引入辅助函数

()()x F x e f x -=，则

()()0,a

F a e f a -=>2()0,2

2a b a b

a b F e f

+-++??=< ???

()()0,b F b e f b -=> 依闭区间上连续函数的零点存在定理,至少存在一点()

1,,2a b a ξ+∈使1()0F ξ=；至少

存在一点()

2,2

a b b ξ+∈，使2()0F ξ=.

综上所述知, ()F x 在[]12,ξξ上满足洛尔定理的条件,故存在点()()12,,a b ξξξ∈?,使()0F ξ'=,即

()()()()0.e f e f f f ξξξξξξ--''-=?=

【评注】读者可以从证明中看出，之所以选择()()x

F x e

f x -=, 是因为0x e ->，且由

()F x 的导数可以得出()()f f ξξ'=. 记住下面常见的一些辅助函数的构造

1）假如证明结论为()()0f f ξξ'+=，则可引入辅助函数()()x

F x e f x =；

2）假如证明结论为()()0f f ξλξ'+=，则可引入辅助函数()()x

F x e

f x λ=； 3）假如证明结论为()()0f f ξλξ'-=，则可引入辅助函数()()x

F x e

f x λ-=；

4）假如证明结论为()()0f nf ξξξ'+=，则可引入辅助函数()()n

F x x f x =；

5）假如证明结论为()()0f nf ξξξ'-=，则可引入辅助函数()()n

F x x

f x -=.

3. 设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导,且(0)(1)0f f ==，1

()12

f =，试证明: (I) 存在1(,1)2

η∈，使()f ηη=;

(II) 对任何实数λ，必存在(0,)ξη∈，使()[()]1f f ξλξξ'--=.

【分析】本题主要考查连续函数零点定理、洛尔定理的应用以及相关的辅助函数的构造. 在(1)中,由欲证结论的形式可知,只需证明存在1(,1),2

η∈使()()0F f ηηη=-=;在(2)中,由

欲证结论的形式等价于()()10f f ξλξλξ'-+-=，则只需证明()()x

x e f x x λ-Φ=-????

在()0,η内存在ξ,使()0.x 'Φ=

证明：(1) 设()()F x f x x =-，则()F x 在1

[,1]2

上连续，且

()()()()1111

0,111102222

f F f =-=>=-=-< 由闭区间上连续函数的零点存在定理知,存在1(,1)2

η∈，使得

()0F η=，

即()f ηη=.

(2)设()()x x e f x x λ-Φ=-????，则()x Φ在[]0,η上连续,在(0,)η内可导,且

()()00,0ηΦ=Φ=

由洛尔定理知,存在(0,),ξη∈使

()0ξ'Φ=

而

()()()1x x

x e f x e f x x λλλ--''Φ=---????????

于是有

()()10e f e f λξλξ

ξλξξ--'---=????????

即有

()()()100f f e λξξλξξ-'---=≠????

亦即

()[()] 1.f f ξλξξ'--=

考点四: 微分中值定理和积分中值定理相结合

1. 设)(x f 在(0,1)内可导，且?

=13

)(3

)0(dx x f f ，证明：在)1,0(内方程()0f x '=有根。

证明：由于)(x f 在(0,1)内可导，由积分中值定理可知，存在η，使得 12

()()(1)()33

f x dx f f ηη=-=?

，

即

123

(0)3

()()f f x dx f η==?

，

在区间[0,][0,1]η?上考察函数)(x f ，其满足洛尔定理的条件，因而至少存在一个ξ，使得

()0f ξ'=，即在)1,0(内方程()0f x '=有根。

2. 设函数)(x f 在[]1,0上可微，且?

-=k x dx x f xe k

f 10

1)()1(，)1(>k ，证明：存在一点

()1,0∈ξ，使得)(11)(ξξξf f ???

??-='。

证明：由于函数)(x f 在[]1,0内可导，由积分中值定理可知，存在()0,1η∈，使得

1110

(1)()(0)()()x k f k xe f x dx k e f e f k

ηηηηηη---==-=?

，

即

1(1)()e f e f η

ηη--=，

在区间[0,][0,1]η?上考察函数()()x

F x xe f x -=，其在[]1,0内可导，且(1)()F F η=，因

而至少存在一个ξ，使得

()[()(1)()]

0x x

x F e f x x xe f x ξ

ξ--=''=-+=，

整理得

)(11)(ξξξf f ???

??-='

考点五：结论中含有两个不同的参数

【解题思路】这时基本上考虑两种情况，

1）同一个函数在不同的区间上同时运用微分中值定理； 2）两个函数在同一个区间上同时运用微分中值定理。【典型考题】

1. （2003）设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且()0f x '>. 若极限a

x a x f a

x --+

→)

2(lim 存在，证明：

(1) 在(,)a b 内()0f x >; (2) 在(,)a b 内存在点ξ，使

)

(2)(2

2ξξ

f dx

x f a b b

； (3) 在(,)a b 内存在与(2)中ξ相异的点η，使 ?-=

-'b

a dx x f a

a b f .)(2))((2

ξξη 【分析】 (1) 由a

x a x f a

x --+

→)

2(lim 存在知，()0f a =, 利用单调性即可证明()0f x >. (2)

要证的结论显含(),()f a f b ，应将要证的结论写为拉格朗日中值定理或柯西中值定理的形式进行证明. (3) 注意利用(2)的结论证明即可.

【详解】 (1) 因为a

x a x f a

x --+

→)

2(lim 存在，故.0)()2(lim ==-+→a f a x f a x 又0)(>'x f ，

于是()f x 在(,)a b 内单调增加，故

).,(,0)()(b a x a f x f ∈=> (2) 设2

()F x x =,)()()(b x a dt t f x g x

≤≤=

, 则0)()(>='x f x g ，

故)(),(x g x F 满足柯西中值定理的条件，于是在(,)a b 内存在点ξ，使

22()()

()

|()()

()()(

())x b

a x

F b F a b a

x g b g a f t d t f t d t f t d t

ξ='--

==-'-?

?，

即

)

(2)(2

2ξξ

f dx

x f a b b

. (3) 因)()()0()()(a f f f f f -=-=ξξξ，在],[ξa 上应用拉格朗日中值定理，知在

),(ξa 内存在一点η，使))(()(a f f -'=ξηξ，从而由(2) 的结论得

)

)((2)(2

2a f dx

x f a b b

-'=

ξηξ

，

即有 ?-=

-'b

dx x f a a b f .)(2))((2

ξξη 【评注】证明(3)，关键是用（2）的结论：

?-=-'b a dx x f a

a b f )(2))((2

ξξη?)

)((2)(22a f dx x f a b b a

-'=-?ξηξ

))(()(a f f -'=?ξηξ （根据(2) 结论）

))(()()(a f a f f -'=-?ξηξ，

可见对()f x 在区间],[ξa 上应用拉格朗日中值定理即可.

2. 设函数()f x 在[0,1]内连续，在(0,1)内可导，已知(0)0,(1)1f f ==，证明：对于任意的,0a b >，存在,(0,1)ξη∈且ξη≠，使得

()()

a b

a b f f ξη+=+''. 证明：因为,0a b >,所以01a

a b

<<+，

又()f x 在[0,1]上连续,由介值定理知存在(0,1)t ∈，使()a

f t a b

+.在区间[0,]t 和[,1]t 上对()f x 分别应用拉格朗日中值定理,得 ()(0)()(0),(0,)f t f f t t ξξ'-=-∈， (1)()()(1),(,1)f f t f t t ηξ'-=-∈，

由于(0)0,(1)1f f ==，所以由以上两式可得

()()()a f t a b t f f ξξ+==''，1()1()()

f t a b

t f f ηη-+-==

''，于是，将前后两式两边分别相加，得

1()()()()

a b

a b f a b f ξη=

''++，即

()()

a b

a b f f ξη+=+''. 3.（2005）已知函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0,(1)1f f ==. 证明：

（I ）存在(0,1),ξ∈使得ξξ-=1)(f ；

（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f

【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可

考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.

【详解】（I ）令x x f x F +-=1)()(，则()F x 在[0,1]上连续，且(0)10F =-<,

(1)10F =>,于是由介值定理知，存在存在),1,0(∈ξ 使得0)(=ξF ，即ξξ-=1)(f .

（II ）在],0[ξ和]1,[ξ上对()f x 分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点

)1,(),,0(ξζξη∈∈，使得0)0()()(--=

'ξξηf f f ，ξ

ξζ--='1)

()1()(f f f

于是 .1111)(1)()()(=-?-=--?=

''ξ

ξξξξξξζηf f f f 【评注】中值定理的证明问题是历年出题频率最高的部分，而将中值定理与介值定理

或积分中值定理结合起来命题又是最常见的命题形式.

4. 设函数()f x 在[,]a b 内连续,在(,)a b 内可导, 且()()1f a f b ==，证明：存在

,(,)a b ξη∈使[()()]1e f f ηξηη-'+=.

证明:设()()x

F x e f x =，()

G x x =，由柯西中值定理可得，至少存在(,)a b η∈,使得

()()()()()()

F b F a F

G b G a G ηη'-=

'-，即 (()())b a

e e e

f f b a ηηη-'=+-，设()x

x e φ=，由拉格郞日中值定理可得，至少存在(,)a b ξ∈，使得

()()

()()()()b a G b G a G φφφηη'-='-，即 b a

e e e b a ξ-=-，

从而(()())e f f e ηξηη'+=，即[()()]1e f f ηξ

ηη-'+=.

5. 设函数()f x 在[,]a b 内连续，在(,)a b 内可导, 0a b <<，()()f a f b ≠，证明：存在

,(,)a b ξη∈，使()()2a b

f f ξηη

+''=

. 证明:将欲证等式变形为

2()()()()12f f b a b a ξηη

''-=-，引入辅助函数1()g x x =和22()g x x =. 在[,]a b 上分别对1(),()f x g x 和2(),()f x g x 应用柯西中值定理，得

()()()

,(,)1f b f a f a b b a ξξ'-=∈-,

22()()()

,(,)2f b f a f a b b a ηηη

'-=∈-,

即()()2a b

f f ξηη

+''=

. 6. 设函数()f x 在[,]a b 内连续,在(,)a b 内可导,且()0f x '≠,试证存在,(,)a b ξη∈使

()()b a f e e e f b a

ξη-'-='-. 证明: 引入辅助函数()x

g x e =，由柯西中值定理可得，对于(),()f x g x ，存在(,)a b η∈使

()()()

b a e e e f b f a f η

η-=

'-，对于()f x ，由拉格郞日中值定理可得, 存在(,)a b ξ∈，使得

()()

()f b f a f b a

ξ-'=-，

将以上两式相乘可得结论:

()()b a f e e e f b a η

ξη-'-='-.

7. （2010）设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)上可导，且f f 1

(0)=0,(1)=3

.证明：存在1

(0,

ξ∈，1(,1)2η∈，使得22()()=f f ξηξη''++.

【证明】令()()313

F x f x x =-

()F x 在1

[0,]2

上用拉格朗日中值定理，

()()1110,,0222F F F ξξ????

'?∈-= ? ?????

①

()F x 在1

[,1]2

上利用拉格朗日中值定理，

()()111

,1,1222

F F F ηη????'?∈-= ? ????? ②

两式相加得

()()2

f f ξηξη''+=+.

8. 设函数()f x 在 [0,]π内连续，且

()0f x dx π

，

cos ()0x f x dx π

证明：在(0,)π内至少存在两个不同的点12ξξ、，使12()()0f f ξξ==. 【提示】本题主要考查罗尔定理，零点定理（或积分中值定理）。令0

()()x

F x f t dt =

，则

(0)()0F F π==. 要完成证明，需通过条件0

cos ()0x f x dx π

=?，找到另一点ξ，使

()0F ξ=，再两次运用罗尔定理即可.

【证法1】令()()0

,0,x

F x f t dt x π=≤≤?则()()00.F F π==

又因为

()()0

0cos 0cos f x xdx xdF x ππ

===??

()()00

=F cos sin x x F x xdx π

π+?

()0

=sin ,F x xdx π

所以存在(0,)ξπ∈,使()sin 0.F ξξ=若不然，则在()0,π内或()sin F x x 恒为正，或

()sin F x x 恒为负，均与()0

sin 0F x xdx π

=?矛盾。但当(0,

)ξπ∈时，si n 0,ξ≠故()0.F ξ=

由上证得

()()()00,0.F F F ξπξπ===<<

再对()F x 在区间[][

]0,,,ξξπ上分别用罗尔定理，知至少存在()10,ξξ∈, ()2,ξξπ∈使

()()120,F F ξξ''==

即

()()120.f f ξξ==

【证法2】由

()0

0f x dx π

=?知，存在()1

0,,ξπ∈使()1

0f ξ=，若不然，则在()0,π内或

()f x 恒为正，或()f x 恒为负，均与()0

0f x dx π

=?矛盾。

若在()0,π内()0f x =仅有一个实根1x ξ=, 则由

()0

0f x dx π

=?推知,()f x 在

()10,ξ内与()1,ξπ内异号，不妨设在()10,ξ内()0,f x >在()1,ξπ内()0.f x <于是由

()()0

cos 0,0f x xdx f x dx π

==?

?及cos x 在[]0,π上的单调性知：

()()10

0cos cos f x x dx π

ξ=-?

()()()()1

110

=cos cos cos cos 0f x x dx f x x dx ξπ

ξξξ-+->??

得出矛盾。从而推知，在()0,π内除1ξ外，()0f x =至少还有另一实根2ξ，故知存在

()1212,0,,,ξξπξξ∈≠使()()120.f f ξξ==

考点六：结论中含有二阶导数，应考虑两次使用微分中值定理

1. 假设函数()f x 在[0,1]内连续, 在(0,1)内二阶可导, 过点(0,(0))A f 与(1,(1))B f 的直线与曲线()y f x =相交于点(,())C c f c , 其中01c <<, 证明在(0,1)内至少存在一点ξ, 使()0f ξ''=.

【提示】:本题主要考查罗尔定理和拉格朗日中值定理的应用以及它们的几何意义.由拉格朗日中值定理的几何意义知,在(0,)c 内存在一点1ξ,使得该点对应的切线与直线AC 平行, 在

(,1)c 内存在一点2ξ,使得该点对应的切线与直线CB 平行,即有12()()f f ξξ''=.再在12[,]ξξ上用洛尔定理即可得结论.

证明:由题设知()f x 在[0,]c ,[,1]c 上满足拉格郎日中值定理的条件,故存在

1(0,)c ξ∈,2(,1)c ξ∈,使得

1()(0)()0f c f f c ξ-'=-,2(1)()

()1f f c f c

ξ-'=-，

由于,,A B C 三点共线,故

()(0)(1)()(1)(0)

0110

f c f f f c f f c c ---==

---，即

12()()f f ξξ''=

再考察函数()f x '，其在12[,]ξξ上满足洛尔定理的条件，由洛尔定理知至少存在一点

12(,)ξξξ∈，使()0f ξ''=.

2. （2007）设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==, 证明：存在(,)a b ξ∈，使得()().f g ξξ''''=

【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令

()()()F x f x g x =-，则问题转化为证明()0F ξ''=, 只需对()F x '用罗尔定理，关键是找

到()F x '的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F (a )=F (b )=0,

若能再找一点(,)c a b ∈，使得()0F c =，则在区间[,],[,]a c c b 上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对()F x '用罗尔定理即可.

【证明】构造辅助函数()()()F x f x g x =-，由题设有()()0F a F b ==. 又(),()f x g x 在

(,)a b 内具有相等的最大值, 不妨设存在21x x ≤, ),(,21b a x x ∈使得

12[,]

[,]

()max (),()max ()a b a b f x M f x g x M g x ====，

若21x x =，令1x c =, 则()0.F c =

若21x x <，因111222()()()0,()()()0F x f x g x F x f x g x =-≥=-≤，从而存在

12[,](,)c x x a b ∈?，使()0.F c =

在区间[,],[,]a c c b 上分别利用罗尔定理知，存在12(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得

12()()0F F ξξ''==.

再对()F x '在区间12[,]ξξ上应用罗尔定理，知存在12(,)(,)a b ξξξ∈?，有

()0F ξ''=，即 ()().

f g ξξ''''= 3. （2008）若函数()x ?具有二阶导数，且满足(2)(1)??>，3

(2)()x dx ??>?，证明至

少存在一点(1,3)ξ∈，使得()0?ξ''<.

证明：由于函数()x ?具有二阶导数，故()x ?在[1,3]上连续，由积分中值定理可知，存在[2,3]η∈，使得

()()(32)()x dx ??η?η=-=?，因而有(2)(1),(2)()????η>>，

分别在区间[1,2]和[2,]η上应用拉格朗日中值定理，至少存在一点1[1,2]ξ∈，使得

1(2)(1)

()021

???ξ-'=

>-，

至少存在一点2[2,]ξη∈，使得

2()(2)

()02

?η??ξη-'=

<-,

再在区间12[,]ξξ上对函数()x ?'应用拉格朗日中值定理，至少存在一点12[,]ξξξ∈，使得

21121

()()

()0?ξ?ξ?ξξξ''-''=

<-,

即证。

4. (2010) 设函数()f x 在闭区间[0,3]上连续, 在开区间(0,3)内二阶可导, 且

2(0)()(2)(3)f f x dx f f ==+?.

(I) 证明存在(0,2)η∈ 使得()(0)f f η=; (II) 证明存在(0,3)ξ∈, 使得()0f ξ''=.

【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理

【证明】(I) 因()f x 在闭区间[0,2]上连续, 由积分中值定理得，至少存在一点(0,2)η∈, 使得

()()(20)f x dt f η=-?

又20

2(0)()f f x dt =

，得()(0)f f η=,

即存在(0,2)η∈, 使()(0)f f η= (Ⅱ) 因2(0)(2)(3)f f f =+，即2

)

3()2()0(f f f +=

,又()f x 在闭区间[2,3]上连续, 由

介值定理知，至少存在一点[2,3]γ∈, 使得 ()(0)f f γ=.

因此()f x 在区间[0,]η,[,]ηγ上都满足罗尔中值定理条件, 于是至少存在点1(0,)ξη∈,

2(,)ξηγ∈, 有

12()()f f ξξ''=,

由()f x 在[0,3]上连续, 在(0,3)内二阶可导, 知()f x '在12[,]ξξ上连续, 在12(,)ξξ可导,用罗尔中值定理, 至少存在一点12(,)(0,3)ξξξ∈?, 使得()0f ξ''=. 【评注】一般地有如下结论：设)(x f 在[,]a b 上连续，

12,(1,2,,)n a x x x b i n <<<<<= ，

则存在],[b a ∈ξ ，使得 12()()()

()n f x f x f x f n

ξ+++=

(完整版)利用微分中值定理证明不等式

微分中值定理证明不等式微分中值定理主要有下面几种： 1、费马定理：设函数()f x 在点0x 的某邻域内有定义,且在点0x 可导,若点0x 为()f x 的极值点,则必有 0()0f x '=. 2、罗尔中值定理：若函数()f x 满足如下条件：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；（3）()()f a f b =, 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()0f ξ'=. 3、拉格朗日中值定理：若函数()f x 满足如下条件：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()()()f b f a f b a ξ-'=-. 4、柯西中值定理：若函数()f x ,()g x 满足如下条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续；（2）在开区间(,)a b 内可导；（3）()f x ',()g x '不同时为零；（4）()()g a g b ≠；则在开区间(),a b 内存在一点ξ,使得 ()()()()()() f f b f a g g b g a ξξ'-='-. 微分中值定理在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决. 例1、设 ⑴(),()f x f x '在[,]a b 上连续； ⑵()f x ''在(,)a b 内存在； ⑶()()0;f a f b == ⑷在(,)a b 内存在点c ,使得()0;f c > 求证在(,)a b 内存在ξ,使()0f ξ''<. 证明由题设知存在1(,)x a b ∈,使()f x 在1x x =处取得最大值,且由⑷知1()0f x >,1x x =也是极大值点,所以 1()0f x '=. 由泰勒公式：211111()()()()()(),(,)2! f f a f x f x a x a x a x ξξ'''-=-+-∈. 所以()0f ξ''<. 例2 、设0b a <≤,证明ln a b a a b a b b --≤≤.

微分中值定理

微分中值定理班级：姓名：学号：

摘要微分中值定理是一系列中值定理的总称，是研究函数的有力工具，包括费马中值定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理.以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的重要理论。它不仅沟通了函数与其导数的关系，而且也是微分学理论应用的桥梁，本文在此基础上，综述了微分中值定理在研究函数性质，讨论一些方程零点（根）的存在性，和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明. 罗尔定理定理1 若函数f 满足下列条件： (1)在闭区间[,]a b 连续； (2)在开区间(,)a b 可导； (3)()()f a f b =，则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()0f ξ'=. 几何意义：在每一点都可导的连续曲线上，若端点值相等则在曲线上至少存在一条水平曲线。（注：在罗尔定理中，三个条件有一个不成立，定理的结论就可能不成立.）例1 若()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导()0>a ，证明：在()b a ,内方程 ()()[]() ()x f a b a f b f x '222-=-至少存在一个根. 证明：令()()()[]()()x f a b x a f b f x F 222---= 显然()x F 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，而且 ()()()()b F a f b a b f a F =-=22 根据罗尔定理，至少存在一个ξ，使

()()[]() ()x f a b a f b f '222-=-ξ 至少存在一个根. 例2 求极限： 1 2 20(12) lim (1) x x e x ln x →-++ 解：用22ln )(0)x x x →:(1+有 20 2 12 012 01(12)2lim (1) 1(12)2 lim (12)lim 2(12)lim 2212 x x x x x x x x e x In x e x x e x x e x →→-→- →-++-+=-+=++=== 拉格朗日中值定理定理2：若函数f 满足如下条件： (1)在闭区间[,]a b 连续； (2)在开区间(,)a b 可导，则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()() () f b f a f b a ξ-'=- 显然，特别当()()f a f b =时，本定理的结论即为罗尔中值定理的结论．这表明罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情形．拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线()y f x =上至少存在一点(,())P f ξξ，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB ．此外，拉格朗日公式还有以下几种等价表示形式，供读者在不同场合适用：

第3章-微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理：条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理：条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论：闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。第三章微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得'()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理

条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，则导数存在0值。如果翻来覆去变形无法弄到两端相等，那么还是别用罗尔定理了，两端相等，证明0值是采用罗尔定理的明显特征。拉格朗日定理是两个端点相减，所以一般用它来证明一个函数的不等式： 122()()-()1()m x f x f x m x <<；一般中间都是两个相同函数的减法，因为这样便于直接应用拉格朗日，而且根据拉格朗日的定义，一般区间就是12[,]x x 。 5、洛必达法则应用注意正常求极限是不允许使用洛必达法则的，洛必达法则必须应用在正常求不出来的不定式极限中。不定式极限有如下7种： 000,,0*,,0,1,0∞∞∞∞-∞∞∞ 每次调用洛必达方法求解极限都必须遵从上述守则。 6、泰勒公式求极限。如果极限是0 lim ()x x f x → 那么就在0 x 附近展开。如果极限是 lim ()x f x →∞ ，

微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”，虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用. 1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题. 2．教学重点与难点：重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性. 难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性. 3．教学内容： §1 拉格朗日定理和函数的单调性本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性. 一罗尔定理与拉格朗日定理定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足 (ⅰ)在[]b a,上连续; (ⅱ)在) a内可导; (b , (ⅲ)) a f= f ) ( (b

则),(b a ∈?ξ使 0)(='ξf (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可. 如: 1o ? ??=<≤=1 010 x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足, 结论不成立. 2o x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立. 3o x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立. (ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件. 如:[]1,1 )(2 2-∈?????-∈-∈=x Q R x x Q x x x f , f 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(='f . (ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线. 例 1 设f 在R 上可导,证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根. 证 (反证法,利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式 n n n n n dx x d n x P )1(!21)(2-?= 在)1,1(-内有n 个互不相同的零点. 将Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广

2.2微分中值定理

§2.2 微分中值定理一、罗尔定理设函数()f x 满足（1）在闭区间［a ,b ］上连续；（2）在开区间（a ,b ）内可导；（3）()()f a f b =. 则至少存在一点()a b x ?，，使得()0f x ￠=. 几何意义：条件（1）说明曲线()y f x =在(,())A a f a 和(,())B b f b 之间是连续曲线［包括点A 和点B ］. 条件（2）说明曲线()y f x =在A ，B 之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x 轴的切线［不包括点A 和B ］条件（3）说明曲线()y f x =在端点A 和B 处纵坐标相等。结论说明曲线()y f x =在A 点和B 点之间［不包括点A 和B ］至少有一点，它的切线平行于x 轴。注意：构造辅助函数时，可考虑以下形式（1）()()k F x x f x =（加法）（2）() ()k f x F x x = （加法）（3）()()kx F x f x e =（函数加导数）【例1】设()f x 在[]0，3上连续，在()0，3内可导，且()()()0123f f f ++=， ()31f =，试证：必存在()ξ∈0，3，使()0f ξ'=。证 ()f x Q 在[]0，3上连续，()f x ∴在[]0，2上连续，且有最大值M 和最小值m , 于是(0)m f M ≤≤；(1)m f M ≤≤；(2)m f M ≤≤，

故[]1 (0)(1)(2)3 m f f f M ≤ ++≤。由连续函数介值定理可知，至少存在一点[]c ∈0，2，使得 ()[]1 (0)(1)(2)13 f c f f f = ++= 因此()()3f c f =，且()f x 在[]c ，3上连续，()c ，3内可导，由罗尔定理得出必存在()()03ξ∈?c ，3，，使得()0f ξ'=。【例2】设()f x 在[]0，1上连续，在()01，内可导，且()()2 3 1 3 0f x dx f =?. 求证：存在()0，1x ?使()0f x ￠ = 证由积分中值定理可知，存在轾 ?犏臌 2,13c ，使得()()2 3 1 213f x dx f c ?? =- ??? ? 得到 ()()23 1 3 (0)f c f x dx f ==? 对()f x 在[]0c ，上用罗尔定理（三个条件都满足），故存在() 0(01)c ，，x 翁，使()0f x ￠= 【例3】（07）设函数()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=。分析：令()()()()F x f x g x F x =-?在[,]a b 连续，在(,)a b 可导，在题设条件下，要证存在(,)a b ξ∈，()0F ξ''=。已知()()0F a F b ==，只需由题设再证(,)c a b ?∈， ()0F c =。证明：由题设11[,] (,),max ()()a b x a b M f x f x ?∈==， 22[,] (,),max ()()a b x a b M g x g x ?∈==。

微分中值定理的证明题(题目)

微分中值定理的证明题 1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0f f ξλξ'+=。。 2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。。 3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。证 4. 设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)0(=f ，1)1(=f .证明： (1)在(0,1)内存在ξ，使得ξξ-=1)(f ． (2) 在(0,1)内存在两个不同的点ζ，1)()(//=ηζηf f 使得 5. 设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+. 6. 若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0<

9. 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导(0),a b ≤<()(),f a f b ≠ 证明: ,(,)a b ξη?∈使得 ()().2a b f f ξηη +''= (1) 10. 已知函数)(x f 在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，b a <<0，证明存在),(,b a ∈ηξ，使)()()(3/22/2ηξηf b ab a f ++= 略） 11. 设)(x f 在a x ≥时连续，0)(时，0)(/>>k x f ，则在))(,(k a f a a -内0)(=x f 有唯一的实根根 12. 试问如下推论过程是否正确。对函数21sin 0()0 0t t f t t t ?≠?=??=?在[0,]x 上应用拉格朗日中值定理得： 21s i n 0()(0)111s i n ()2s i n c o s 00x f x f x x f x x x ξξξξ --'====--- (0)x ξ<< 即：1 1 1cos 2sin sin x x ξξξ=- (0)x ξ<< 因0x ξ<<，故当0x →时，0ξ→，由01l i m 2s i n 0ξξξ+→= 01lim sin 0x x x +→= 得：0lim x +→1cos 0ξ=，即01lim cos 0ξξ+→= 出 13. 证明：02x π?<<成立2cos x x tgx x <<。