浙02198#线性代数试卷 第1页(共25页)
全国2010年7月高等教育自学考试
试卷说明：在本卷中， 列式；E 表示单位矩阵。 A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵；R(A)表示矩阵A 的秩；|A|表示A 的行
1?设3阶方阵A=[ a 1, a 2, a 3]，其中a i (i= 1,2,3)为A 的列向量, 若|B|=|[a 1+2 a 2, a 2, a 3]|=6，则 |A|= (
) A.-12 B.-6 C.6 D.12
3
2 0
2 10 5 0 0 0 2 0 2
3
2 3
4. 设a 1, a 2 , a 3, a 4都是3维向量，则必有 A. a 1, a 2, a
3, a 4 线性无关 B. a 1 , a 2, a 3, a 4 线性相关 C. a 1可由a 2, a
3, a 4线性表示
D. a 1不可由a 2 , a 3, a 4线性表示 5.
若A 为6阶方阵，齐次线性方程组
Ax=0的基础解系中解向量的个数为 2,贝U
R(A)= ( ) A . 2 B 3C . 4 D . 5
6. 设A 、B 为同阶矩阵，且 R(A)=R(B)，则( )A . A 与B 相似 B . A|=|B|C . A 与B 等价 D . A 与B 合同
7 .设A 为3阶方阵，其特征值分别为 2, 1, 0则|A+2E|= (
) A . 0 B . 2C . 3 D . 24
&若A 、B 相似，则下列说法错误.的是( )A . A 与B 等价B . A 与B 合同C . |A|=|B| D . A 与B 有相同特征
9.
若向量 a =(1 , -2, 1)与 B = (2 , 3, t)正交，则 t= ( ) A . -2 B . 0C . 2 D . 4
10 .设3阶实对称矩阵 A 的特征值分别为 2, l , 0,则(
)A . A 正定 B . A 半正定C . A 负定 D . A 半负定
二、填空题(本大题共10小题海小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
3
2
2
1
1
山
1l.设 A= 0
1 ,B= ，则 AB= _______ .
0 1 0
2
4
12 .设A 为3阶方阵，且|A|=3，则|3A -l |= _________ . 13 .三元方程 X 1+X 2+X 3=0的结构解是 ________ .
14 .设a =(-1 , 2 , 2)，则与a 反方向的单位向量是 _________ .
15 .设A 为5阶方阵，且 R(A)=3，则线性空间 W={x|Ax=0}的维数是 __________ .
1
16 .设A 为3阶方阵，特征值分别为-2,丄，I ，则|5A -1匸 .
2 ------------------------------- 17 .若A 、B 为同阶方阵，且 Bx=0只有零解，若 R(A)=3，贝U R(AB )= _________ .
2
2
2 ?计算行列式
)A.-180 B.-120C.120
D.180
1 2
3
?设 A=3 4，则 |2A *F (
)A.-8 B.-4C.4 D.8
18 .二次型f(X1 , X2, X3)= X1 -2X1X2+X2-X2X3 所对应的矩阵是________ .
浙02198#线性代数试卷第2页（共25页）
浙02198#线性代数试卷 第3页(共25页)
1 20.设a =
2 ,则A= aa T 的非零特征值是 ___________
3
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
2 0 0 2 0 0 0 0 1
2
0 0
1 0 0 1 4 3
21 .计算5阶行列式D=
0 0 2 0 0 22.设矩阵X 满足方程0
1
0 X 0 0 1 = =2
0 1求X 0 0 0 2 0 0
0 2 0 1 0
1
2
1 0 0 0 2
f （X 1,X 2,X 3）= x j 2x f 2x f 4x 2X 3为标准形，并写出所用的正交变换
四、证明题（本大题共 1小题，6分） 27.设a 1， a 2， a 3是齐次线性方程组 Ax = 0的一个基础解系?证明a 1，a 1+ a 2， a 2+ a 3也是Ax = 0的基础解系
19.设3元非齐次线性方程组
1 1
Ax=b 有解 a 1= 2 , a 2= 2 3
3
,且R （A ）=2，则Ax=b 的通解是
3x
3 X
4 1
3x 1 x 2 3x
3
4x 4 4白 勺结构解?
x 1 5x 2 9X 3
8x 4 0
24.求向量
组
a 1= :(1,
2,
3，4)， a 2=(
a
4= (2， 3 ?，6，
8) 的秩
2
1 2
25.已知A=
5 a 3 的一个特征向量
1
b
2
a 3= (2， 3， 8，
11），
=（1，1，-1）丁，求a,b 及所对应的特征值, 并写出对应于这个特征值的
26.用正交变换化二次型
23.求非齐次线性方程组
-1，2, 3），
0， 全部特征向量
浙02198#线性代数试卷 第4页（共25页）
全国2011年1月
说明：本卷中，A T 表示矩阵A 转置，det(A)表示方阵A 的行列式，A -1表示方阵A 的逆矩阵，(，)表示向量 ，的
内积，E 表示单位矩阵.
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无 1. 设 A 是 4 阶方阵，且 det(A)=4，贝U det(4A)=( )A . 44 B . 45C . 46
D . 47
2. 已知 A 2+A+E=0，则矩阵 A -1=(
)A . A+E B . A-EC . -A-E D . -A+E
3. 设矩阵A , B , C , X 为同阶方阵，且 A , B 可逆，AXB=C ,则矩阵X=( )
A . A -1C
B - B . CA -1B -1
C . B -1A -1C
D . CB -1A -1
4. 设A 是s >n 矩阵(s 丰n)则以下关于矩阵 A 的叙述
正确的是(
)
A . A T A 是 s > 对称矩
B . A T A=AA T
C . (A T A)T =AA T
设 1,
2 , 3, 4, 5是四维向量，贝U (
秩(A)=秩(B) B . A 与B 等价C . A 与B 有相同的特征值D . A 与B 的特征向量一定相同
13 .设同阶方阵A , B 的行列式分别为-3, 5，则det (AB ) = _____________ 14 .设向量 =(6,-2, 0, 4), =
(-3, 1, 5, 7)，向量满足 2 + =3 ,则=
2 3 0
3 1 7 “丄
15 .实数向量空间 V={( X 1, X 2,
…X n )|3 X 1+ X 2+…+ X n =0}的维数是
.16 .矩阵A=
0 2 的秩 4
1 4
5
D . AA T 是s >对称矩阵
l ,
2,
3,
4, 5一定线性无关 B . l ,
2,
3,
4,
5一定线性相关 5 —定可以由 1 ,
2,
3,
4线性表出D .
1一定可以由
2,
3,
4,
5线性表出
设A 是n 阶方阵，若对任意的 n 维向量X 均满足 设矩阵A 与B 相似，则以下结论不正确.的是(
AX=0，贝U
( )
)A . A=0 B . A=EC .秩(A)=n D . 0< 秩(A) 8. 3 3为矩阵 A= 0 5的三个特征值，则 1 2 3=( 2 )A . 10 B . 20C . 24 D . 30 二次型 f(X 1 , X 2, X 3)= X 12 2 X 2 2 X 3 2X 1X 2 2X 1X 3 2X 2X 3 的秩为( )A . 1 B . 2C . 3 D . 10 .设 A , B 是正定矩阵，则 A . A B 一定是正定矩阵 B . A+B 一定是正定矩阵 C . (AB) 二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) T 一定是正定矩阵 D . A-B 一定是负定矩阵 1 0 11 .设A= , k 为正整数，则A k = 1 1 .12 .设2阶可逆矩阵A 的逆矩阵 1 A-1 = 3 ,则矩阵A= 17 .设1, 2是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则A ( 3 1 7 2 ) = __________________ 浙02198#线性代数试卷第5页(共25页) 浙02198#线性代数试卷 第6页（共25页） 18. ____________________________________________ 设方阵A 有一个特征值为 0,则det （A 3）= . 19. __________________________________________________ 设P 为正交矩阵，若（Px, Py ） =8,贝卩（x, y ） = . 2 2 2 20 .设 f （x i , X 2, X 3）= X ! 4X 2 2x 3 2tXM 2 2^X 3 是正定二次型，则 t 满足 ______________ 4 1 0 0 2 22.判断矩阵A= 3 0 0 是否可逆，若可逆，求其逆矩阵 0 0 5 6 0 0 6 7 23. 求向量组 i =（1，2，-1，-2）, 2=（2，5，-6，-5）, 3=（3，1，1，1）, 4=（-1，2，-7，-3）的一个最大线性无关组, 并将其余向量通过该最大线性无关组表示出来. 2x 1 3x 2 X 3 5x 4 24.求齐次线性方程组 3x 1 X 2 2x 3 4x 4 0的一个基础解系及其结构解 X 1 2X 2 3x 3 X 4 3 2 8 2的特征值和特征向量. 14 3 26. 写出下列二次型的矩阵，并判断其是否是正定二次型. f(X 1, X 2， X 3)= xj 3xf 2X 1X 2 2X 1X 3 6X 2X 3 四、证明题（本大题共1小题，6分） 27. 设方阵A 满足（A + E ）2=E ，且B 与A 相似，证明：B 2+2B=0. a b c 2a 2a 21.计算行列式 2b b a c 2b 2c 2c cab 三、计算题（本大题共 6小题，每小题9分，共54 分） 2 25.求矩阵A= 1 2 全国2011年4月高等教育自学考试 浙02198#线性代数试卷 第7页（共25页） 1 0 1 2 0 1 2 0 C.5 10 D. 0 2 0 3 5 0 3 5 ( ) A .3 B.2 C.1 D.0 A. a=-1,b=-2 B. a=-1,b=2 C. a=1,b=-2 D. a=1,b=2 0 B C= 0 B ，则 C -1 是( A 0 A. (0, 0, 0) T B. (0, 2, -1) T C. (1, 0, -1) T 10. 下列矩阵中 1.卜列等式中, 正确的是 ( ) 2 0 0 1 0 0 1 2 3 3 6 9 A. 2 B. 3 0 0 1 0 2 1 4 5 6 4 5 6 1 0 0 2.设矩阵 A= 2 2 0 ，那么矩阵A 的列向量组的秩为 3 4 0 说明：A T 表示矩阵A 的转置矩阵, 3.设向量 1 =（ -1，4）， 2 = （1，_2）， A. 1 , 4 B. 1 , 3 C. 1 , 2 D. 2 , 1 3 5. 下列矩阵 车 中, 是初等矩阵的为（ ) 1 1 1 2 0 0 1 0 8 1 0 8 A. 0 1 0 B. 0 2 0 C. 0 1 0 D. 0 1 8 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 1 4.向量组 1= (1 , 2, 0), 2 = (2, 4, 0), 3 = (3, 6, 0), A. B 1 J B. A C. 7.设A 为3阶矩阵, 8.设=3是可逆矩阵 A 的秩r （ A ）=3，则矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 9.设矩阵A= 2 D. A 1 A* 的秩 r( A*)=( 1 2，则A 的对应于特征值 )A.0 B.1 C. 2 D.3 1 有一个特征值等于（ =0的特征向量为（ )A. D.- 3 A*表示矩阵A 的伴随矩阵, E 是单位矩阵, |A|表示方阵A 的行列式。 3 = （ 3， -8），右有常数 a,b 使 a 1 -b 2 - 3 =0,则( 4 = （4, 9, 0）的极大线性无关组为（ 6?设A 、B 均为n 阶可逆矩阵，且 D. (0, 1, 1) T
相关主题
文本预览