好，现在终于到了与Econ，Finance 关系最紧密的概率统计部分。关于概率统计的重要性我实在不想再强调了，不过需要再说一句的是，很多同学觉得学计量，学Finance很多东西看不懂，迷茫，那就是因为你概率统计没学好；甚至还有很多论调说什么Idea最重要，数学不重要，对于这种说法，我想说，别说Econ，Finance，连数学都是Idea最重要，任何学科都是Idea最重要的，但是你连基本的知识，研究工具都没掌握，都一窍不通，何来资本去讨论什么Idea？？好了，语调有点激烈，不想多说了，这个问题说多了没意思！下面我概率统计分开讲。
1概率
：Basic Probability Theory
这个很重要，虽然不是基于Measure-Theory的，但是是你明白概率是什么东西的基础。国内数学系本科一学期的概率论的内容基本跟这边Undergraduate的Honors Course for Probability差不多，但问题是很多学校的老师不怎么认真在讲的时候。比如我所在学校的数学系，当时那个老师真是不咋地，上课光在那闲扯淡，证明一点都不讲，而且课堂过大，整个数学院所有不同专业的学生一起在上课，起码100多号人，效果可想而知。我不知道别的学校情况咋样，但是我本科所在学校的数学系还是国内比较不错的，连这里况且如此，很多地方可能也好不到哪去。当然，这只是我个人的瞎猜想，没有任何证据。
这门课的主要教材是名家Durrett的《The essentials of Probability 》，我想很多人都知道他的另外一本Graduate Probability教材《Probability：Theory and Examples》，现在美国这边的学校几乎都用这本书作为Math PHD Probability课的教材。顺便说一句，Durrett是超级牛人钟开莱（中国人，虽然是美国公民）的学生，好像我记得他在一本书里管钟开莱叫做Academic Godfather，真是牛到无极限啊。
这门课Durrett这本书所有内容全讲，题目几乎全做，这样使得学生Basic Probability的基础相当好，Probability的Intuition很不错，从而在后面学习基于Measure Theory的Probability跟Stochastic Process时，不至于迷失在Technical Details中。不过这本主要是给Math的学生的，我自己觉得Casella & Berger的《Statistical Inference》前面的Basic Probability部分也是超
好无比，而且这是一本数理统计的教材，多了很多Distribution的东西，从而给你学数理统计打下一个坚实的基础。并且，这本书习题量大质量又好，而且网上有Solution Manual，所以是非常好的习题书。我自己其实没有上这门课，不过我们计量I（美国这边计量I其实是概率论与数理统计的内容，不过有经济系的特点罢了）当时教材是Cassella & Berger，于是我就把前五章的习题都给做了，真是受益匪浅。另外，国内复旦李贤平的那本概率论教材也是非常好的。
个人建议：经管类毕业的同学我想都有一点概率论基础了，所以个人觉得不必要专门花一学期修这门课，但是我想自己自学或者在上计量I的时候将基本内容再过一遍，查缺补漏是有必要的，多做点题目，最好能将Casella & Berger前面五章的题目做完，然后适当的参考下Durrett当有概念不清晰的问题时，这样基础就打的比较牢了。Casella & Berger国内有影印版，习题答案网上可以找得到。至于原来读数学的同学，请根据你原来学的深度自行决定。
：Measure-Based Probability-Probability I
这门课跟下面的Introduction to Stochastic Process-Probability II通常在美国这边是一年的Core Course Sequence 给那些将来可能做Probability的Math PHD学生。Probability I的内容一般包括（以我所在的学校为例）以测度论为基础的的概率基本概念，经典的极限定理（LLN于CLT for Independent Sequence）, Random Walk，Conditional Expectation,有的还会加上Discrete Time Martingale Theory。这门课的先修课为Real Analysis或者Measure Theory，你必须对Measure and Integration的内容很熟才行。这门课我想不论你是做微观，宏观，还是计量还是Finance基本上最好都要学，毕竟现代经济学Uncertainty是核心，从而概率的应用极为广泛。微观里现在做的Decision theory, 关于Imperfect Information的很多东西都需要很好的概率论基础，上周跟一个要跟我们这里一个微观牛人做的同学见面讨论，他说那个Professor的Paper里就用到了Martingale Convergence Theorem，虽然不是很深，但是一个好的Probability基础还是很必要的；宏观里面常用的Stochastic Optimal Control，Stochastic Dynamic Programming；还有更不要提Finance了，如果没有一个好的概率基础，根本连现在入门的Asset Pricing教材你都看不懂，比如Cochorane的《Asset Pricing》，更别说Duffie的《Dynamic Asset Pricing》跟Merton的《Continuous-time Finance》了；计量理论我就更不说了，它本来就是研究一些有经济数据特点的统计理论的，想想Time
Series Econometrics里的Unit，Cointergration吧，那里Asymptotic distribution的推导都是基于Functional CLT的。我就不多说了，总之，我们这里理论做的比较好的同学，几乎都有一个很好的Probability基础。
如果你Measure Theory掌握的好，学这门课会舒服很多，当然，你依然需要花费巨大的时间跟精力。我这门课上了两次，一次是在Operation Research系里上的，讲课的是个俄罗斯裔的老师，课讲的极好，真的算是领教了Russian的数学水平，一个字，牛！！！光作业就给我们布置了14次，每次5－7个题目，一学期下来做了快一百个题目，想象一下，Graduate Course，每个题目光写有的时候就要2页多纸，学的时候真的是痛苦之极，不过学完之后真的是感觉收获特别多。我经常跟OR几个同学讨论问题，他们都是国内数学系出身，有的都是在这边的学校读过数学然后再转到这边来的，他们对作业量之大也很头疼，不过我们都很觉得那个老师确实讲的好，没得说。一个搞笑的是，这个老师的Webpage上写着，“对于那些不想完成作业的同学请点这个链接”，然后等你点了后就到了另外一个Web上，上面是他练空手道的一张照片，而且照片的光线有问题，他两眼发的都是绿光，恐怖啊，呵呵！！
由于这个课老师为了照顾一些对Measure Theory不是很熟的同学，于是他花了快一半的时间又把Measure Theory讲了一遍（这部分内容他主要用Billingsley的《Probability and Measure》里面的测度论部分），因此后面概率的东西只是讲到了CLT，后面没有讲Martingale，而且LLN跟CLT讲的不是特别深入，只是证明了IID情形下的定理，并没有证明Independent but not Identical Distribution的情形，而且我也想学多一点，因此我就去上了Math PHD Probability Core Sequence 的第一学期的课（我本来想着上了OR这个然后直接去上第二学期的Probability II就算了的）。总算是把这个搞定了。
总的来说，Probability的好教材是非常之多，其中有Durrett,《Probability: Theory and Examples》，Williams,《Probability with Martingales》，Billingsley,《Probability and Measure》，Resnick 《A Probability Path 》，Jacod & Protter，《Probability Essentials》, Dudley，《Real Analysis and Probability》, Shirayev，《Probability》，以及牛人钟开莱的《A Course in Probability》这些教材基本上都是包括了Probability I的测度论为基础的的概率基本概念，极限定理与
Probability II的Stochastic Process的内容，所以基本上每一本都可以作为这一Sequence的教材，不过不同的教材特点还是不一样的。
Billingsley是公认的好教材，特点是全，既有Measure Theory的完整介绍，又包含有直到Brownian Motion的一年Probability课的所有内容，但有个问题是体系安排很怪异，不适合从头看到尾，事实上我们是从Chp2，Chp3开始学，然后穿插上Chp1的内容，然后再过渡到后面的Probability部分的。这本书的行文也是Informal式的，很多重要定理的叙述证明都是在字里行间完成的，并不是定理－证明式的写法。我个人经验是不适合自学，如果有老师教课用这本书，那真的是再好不过了，不过如果没有老师教，最好把这本作为参考。这本书的课后习题非常好，对于比较难的题目后面附有简要的答案。做Econ的人好多Paper后面在涉及Probability的时候引用的都是这本书（看看White 的《Asymptotic Theory for Econometrians》），我猜他们当时学概率用的都是Billingsley这本教材，呵呵。
Durrett的教材是给Math PHD的标准教材，全书主要讲概率，将Measure Theory的主要结果附录在书的后面，以供参考，因此，学这本书必须有扎实的Measure Theory基础。现在国内这本书刚出了影印版（Billingsley现在也刚处影印版，痛啊，这两本书花了我快200刀就，因为我修课的时候国内还没有影印版，唉），忘记上面是谁做的序了，讲了一个故事，说是有个Math PHD学生放假还是怎么着出去玩的时候，身边就带了这么一本书，然后这个学生现在美国是美国一所著名大学的Professor了已经。抛开故事真假不说，我对这种传说式的故事一点都不信，搞得好像背着宝剑，身怀绝世武功，天生的武功奇才一样，不知道是不是武侠小说看的是不是太多了（实际上，我的武侠小说看的是巨多无比）。Durrett这本教材讲的虽然挺难，但只是一些早期Probability结果的总结，离着研究前沿还差的很远。所以我觉得序里的故事是想说明把这本书学透基础就会打的很牢固，但是这种故事容易对人形成误导，起码我记得我在未学Measure Theory跟Probability I之前也看过很多这种小故事，看完后热血沸腾，老想着一口气吃成个胖子，但是事与愿违，反而事倍功半，其实最重要的还是下功夫好好学。当然，这只是针对我个人而言，别的同学可能比我要理智的多。闲话不多说，Durrett这本书Probability I的内容讲的比较深，其中Random Walk作为单独一章进行深入透彻的讲解，我想Random Walk做Econ的同学应该很熟吧，这就是Unit Root Process了。其他书唯一这样做的就是钟开莱了，我想Durrett这样做跟他是钟开莱先生的学生有关系吧应该。Durrett这
本是我们这Probability I&II这个One Year Sequence的主要教材，老师没有自己的Lecture Notes，会把这本书从头讲到尾，至于为什么我就不多说了。
下面想说牛人钟开莱的书了，这本书如前面个人背景里面所述，我在国内的时候上那个测度论因为很多问题不明白所以就找了这本书来看，结果受益匪浅。忘记在哪里看过了，说这本书其实是将前苏联数学家对基于测度的概率论，对Independent情形下Limit Theorem的研究的一个总结。也就是说，这可以说是一本现代概率论教材的雏形，虽然在这之前也有很好的教材，但是正是这本书以及钟开莱在Stanford教授这个课程的经验，导致了现在大部分学校的第一门概率Core Course所教授的主要内容为Independent情形下的Limit Theorem。实际上，我觉得在Limit Theorem定理的证明上，这本书依然是讲的最好的，不但严格，而且清晰明了，反而现在很多新出的概率书讲的迷迷糊糊，要吗不严格，要么太Technical。不过这本书大量集中于Limit Theorem的证明，作为Probability II
主要内容的Martingale，Markov Chain讲的很少（当然，我觉得依然讲的很好，特别干脆利落），对Ergodicity，Brownian Motion更是一点都没涉及，他前言里好像说了这些应该作为第二门课的内容我记得。所以，这本书是加强版的Probability I教材，但是不能作为Probability II的教材。Shirayev的书是一本典型的Russian数学书，内容跟Durrett基本上一样，只是前面加了一章基本的Probability and Stochastic Process，后面用两章讲了Stationary Process，少了对Brownian Motion的介绍。这本教材证明上清楚明了，课后习题很多是一些重要结果，是很好的教材。而且对Stationary Process的讲解特别好，算是奠定了Time Series Analysis的一个数学基础。想做Time Series Analysis我想这是一本必备的参考书。
Williams的书短小精悍，讲完Probability的基本内容立即进入Martingale的学习，真的是又快又准，毕竟Martingale在现代Probability甚至是Econ，Finance等等都起着关键的作用。
Resnick的书是我上OR那个Probability的教材，因为Resnick本身就是在OR系，所以他写的教材就稍微简单点，很多结果都给出了证明，不象是前面那基本为Math PHD准备的书很多结果你自己要证明，有的时候花很多时间。这本书的内容最后一章讲了Martingale，前面是Measure Theory跟
Probability I的内容，看起来相对其他几本要稍微容易点，很多学校开给Engeering，Statistics 或者Finance学生的Probability课都用这个作为教材。
Dudley的书Probability部分讲的内容很多，从经典的Limit Theorem到Martingale，到Brownian Motion，Ergodicity甚至还有一些Weak Convergence的内容，由于这本书整合了Real Analysis跟这么多的Probability内容，深度上感觉稍微差一点。Dudley本人在Empirical Process方面是奠基人之一，他1978年左右的几篇Paper给出了处理Empirical Process不Measurable一种处理方法，奠定了他的地位。他本人是MIT的教授，这本书是MIT概率论的教材，这门课的内容你可以在MIT Opencourse上查得到，上面有一些讲义跟习题答案，可以用来作为参考。
Jacod & Protter我没读过，把它列出来是因为这本书近年来有很多地方都在用，更重要得是这两个人虽然都是数学出身，但是现在都在做Finance得东西，而且都是名家。Protter是OR的Professor，我想很多做Finance的人都知道，他跟Jarrow有一篇关于Term Structure的Paper影响很大，是用Diffusion Process作为Model的。而Jacod则是法国巴黎“？“大的数学系教授，他跟Princeton 经济系的Professor Ait-Sahalia（Review of Financial Studies的上一个三年的Editor）合作了一系列关系Continuous Time Process的算是金融计量领域的文章。
当然，在这边Finance领域主要还是在Business School，但由于Merton，Duffie等人对连续时间模型的使用导致了很多原来做Probability的数学出身的人都在搞Asset Pricing，不过他们管这个叫做Financial Mathematics，Financial Engeering等等，国内山东大学的彭实戈搞得所谓的金融数学其实就是这个。结果现在在搞Econ，Finance的人与这批以前数学出身的人之间有了巨大的分歧，前者认为后者摆弄数学，没有Intuition，没有Idea；而后者认为前者数学不行，模型用的不严格。于是就各搞各的，各自形成了一个圈子。个人认为两者都有道理，前者很多数学确实不行，模型用的不是很好，统计工具掌握的也不好，于是Journal of Finance上的Paper非常多的计量用的不对，或者是为了一个比较Significant，比较Interesting的结论故意这么做。其实很多结果，如果你用正确的或者比较严格的计量方法再做一遍，根本就不对，从而得出的Interesting的结论的可信度大打折扣。但是由于这些人已经形成了一个圈子，他们之间互相接受这种做法，所以文章还是能发，研究还是能做。说道这里，顺便说一下，记得以前在国内看到有人把Journal of Finance(JF), J of
Financial Economics(JFE) 跟Review of Financial Studies（RFS）给排了一个顺序，说什么这个比那个好，那个比这个好。我猜那个排法应该是按照所谓的影响因子或者引用率之类的来排的，但是个人觉得这种东西没什么意思，这三个Journal都是Finance的Top Journal，如我前面所说JF的文章数学水平，计量工具的严格性要差一点，但是这样导致了结果很Interesting，而RFS是数学应用深一点，计量工具用的严格，但反而结果不那么Interesting。如此一来，使得JF的引用率要高于RFS，但你能就说前者比后者好吗？如果你真的这么想，那比较一下Econometrica上文章的引用率跟其他Journal然后再来回答这个问题。实际上，在美国这边的学术圈子里也存在争论，有人觉得JF好一些，有人觉得RFS更好一些，所以这也是没办法的事。但是我觉得做事要严谨一点，不要对别人产生误导，所以当你说JF比RFS好，或者RFS比JF好的时候，我自己就会加上，“我觉得“，或者“按照引用率，按照工具使用的严格程度来说“等等的修饰词以表明你这样判断的根据。
接着上面，反过来讲，后者确实是Intuition比较差一点，由于Econ比较特殊的学科性质，你用的严格却没有Interesting的结论，模型很好，但是结论跟以前一样，这样就没什么太大的意义。拿彭实戈老师做的Backward SDE来说，数学上确实很重要，提供了一种新的处理SDE的方法，而且实践上也可以应用；但是拿到Finance理论上来看，就是提供了一种解B-S模型的方法，而Finance理论则是再探讨B-S模型本身的问题，所以这个研究对于Finance理论则基本上没什么意义或者意义不是很大。从这里可以看出，学术研究某种程度上也是市场化，需要有人跟你一起开拓，有人欣赏你的东西才行，要不然你自己认为的再好的东西也卖不出去。
好了，该结束这一部分了，太长了。这部分介绍的书太多了，说一下我的学习过程。我个人由于是修课所以主要用了Billingsley的教材，基本上通读了算是，钟开莱的书我也基本上看完了，看这个是因为LLN，CLT 的证明讲的好。Shirayev我精度了他讲Stationary Process的两章，及Martingale 那一章的部分内容。Durrett我没有精读，因为上面的好多证明都在别的书上认真推导过了，而且我下面会再去上那个一年的Core Course Sequence，这次完全讲这本书，所以打算把它精度一遍。其他几本Williams, Resnick , Dudley都只是在看别的书产生问题时候去找相应的部分做了参考。还有就是修完课后我花了几天时间把它们浏览了一下，以对照一下感觉。
个人建议：可以用Billingsley，Durrett，钟开莱，Shirayev中的任意一本作为主攻教材，尽量完成大部分的课后习题，很多题目网上应该可以搜索到答案。这四本书国内都已经有了英文影印版了，可以省钱了又。其他几本Williams, Resnick , Dudley可以作为参考，Williams网上有电子版，而Dudley国内有英文影印版，Resnick就不知道了。
：Introduction to Stochastic Process-Probability II
这门课主要内容是Discrete time Stochastic Process,，讲Martingale, Markov Chain, Stationary Process and Ergodicity, Brownian Motion(BM)，有的老师还会加上点Introduction to Ito’s Integral with respect to BM。我这学期上这个课的老师是在概率领域里面一个超级牛的Russian 老头，他教的东西太多了。除了上面的内容，他还讲了Continuous-time 下的Martingale跟Markov Process，甚至包括了Stochastic Integral最General的情形即对于Semi-martingale的积分，所有这些内容加起来一般都是分两门课来讲的，因此作业做的我很痛苦。不过痛苦完后感觉收获还是很大的。由于他这种教法是非常规的，并不是Probability II应该包含的内容，因此学这门课我觉得还是以标准内容为主，打好基础，这样以后要用到比较深的概率理论就可以自己学了，因为后面你要用到的可能都是近年才得出的结果，这种内容开课讲的好像不多，即使有也跟老师的研究方向有关了。鉴于前面已经将众多概率教材做了详细介绍，这里就简要一谈就可以了。Billingsley的书把Probability II里面的内容都包含了，但不是特别成体系，都是分散开来的，所以不太适合作业主要教材。不过他最后一部分分两章讲的General Theory for SP跟BM是非常好的，前面一章详细的介绍了给出一个Finite Distribution然后Construct一个SP的方法，也即Kolmogrov Consistency Theorem，给SP的存在性奠定了一个基础。Durrett是标准的教材，因为将Measure Theory作为附录，从而腾出了大量空间详细介绍SP，是非常好的现代教材。钟开莱这方面的内容很少，但是他最后一张对Martingale跟Markov Process的介绍切中要害，理解深刻，我觉得非常值得一读。Shirayev 内容跟Durrett差不多，只是少了BM的介绍，但是多了Stationary Process的详细讨论。Williams, Resnick , Dudley都有一些相关的介绍，但不如前面基本书是系统的介绍，所以只能用作参考我觉得。
个人建议：Durrett或者Shirayev都可以作为主要教材，主要的参考教材可以用Billingsley，钟开莱，其它基本可以翻一翻，了解一下别的处理方法。
：Continuous time SP, Stochastic Integral and SDE, Weak Convergence and Convergence of SP, Limit Theorems for Dependent Sequence
这些内容每一个都是概率论的一部分比较现代一点的内容，关于这些内容的书一般都叫做Monograph，而不是象前面那些一样可以叫做Textbook，当然每一部分都是挺难的，想学会也挺不容易的。我这里只能稍微说几句，没法细论，一是因为这些内容都比较Specialized，如果你不需要根本不需要学，不象前面的内容是一个Econ PHD最好能具备的素质基础；二是因为我也说不了，因为我自己还没有修这些课，有的是无课可修，根本没人讲，只能自己学，比如Limit Theorems for Dependent Sequence，虽然计量尤其是Time Series Analysis经常用，但是没人教这些东西，不过如果前面Probability I & II你基础打好了，花上一点时间跟精力学好是没问题的。还有的是因为这些课程需要的预备知识太多，比如Stochastic Integral and SDE需要Discrete time SP的一些知识，Weak Convergence and Convergence of SP需要Topology跟SP的知识，所以我也没法修（这个是很难跨越的，Weak Convergence and Convergence of SP去年有个老师开这门课，我当时只是上了Probability I，学了Topology，但是没有SP的知识，前面讲Weak Convergence还勉强可以听，后来讲Convergence of SP时完全听不懂，最后只好Drop掉了那门课），自己水平还不到。
我在这里稍微写一下是因为有些人将来可能会修其中的内容，比如做Finance的人会去修Continuous time SP, Stochastic Integral and SDE,做计量的人有的会去学Weak Convergence and Convergence of SP跟Limit Theorems for Dependent Sequence等。我虽然没有修过但是已经接触到了其中甚至大部分的内容，比如我这学期上的Probability II已经将重要的Continuous time SP 跟Stochastic Integral，SDE都讲了；Weak Convergence and Convergence of SP虽然后面我没学好，但是Weak Convergence我还算是学明白了，因此我知道有哪些书是用的比较多的，在这里稍微列一下，以便兄弟姐妹需要学的能找到合适的参考书，还有过来读Econ PHD的知道哪些书可以带来，以便省钱，呵呵，省钱万岁！！
Continuous time SP跟Stochastic Integral and SDE都是联系在一起的，好多教材都是两者一起讲，这其中比较好的教材为：
Revuz and Yor, 《Continuous time martingale and BM》(国内世图好像即将出影印版了) Williams and Rogers, 《Diffusions, Markov Process and Martingales》I & II（有影印版）Oksendal，《Stochastic Differential Equations》(有影印版，好像都出到第六版了，可能是最简单的Stochastic Calculus教材)
Karatzas and Shreve, 《BM and Stochastic Calculus》（GTM，有影印版）
Protter，《Stochastic integration and differential equations 》（国内即将有影印版，这是最难的一本Stochastic Integral教材了可能）
Shreve，《Stochastic Calculus for Finance》，Vol II（国内有影印版，这本是现在标准的Continuous Time Finance的教材了，这边大部分的Financial Engeering Program都用这个）
Weak Convergence and Convergence of SP的教材有：
Billingsley，《Convergence of Probability Measure》
Jocod and Shereve，《Limit Theorems for Stochastic Process》
Ethier and Kurtz，《Markov Process: Characterization and Convergence》
Van der Vart and Weller, 《Weak Convergence and Empirical Process》(这其实是一本Empirical Process的教材，但Weak Convergence讲的很不错)
这些书国内好像没有影印版，不过倒是都有电子书，大家在网上应该可以搜索得到。
Limit Theorems for Dependent Sequence
用这些内容的我觉得肯定是想做Time Series Analysis的同志们，可以参考的教材有；
Hall, 《Martingale Limit Theorems》（这本书早已不印刷了，不过网上找得到）
Davidson, 《Stochastic Limit Theorem》（这是计量经济学家写的，不过连Billingsley都在他的
好了概率部分就结束了，最后还有数理统计的一部分就大功告成了。
2 数理统计
：Basic Mathematical Statistics：
这是基本的非基于测度论的数理统计，这部分内容加上的Basic Probability Theory其实正好是美国这边Econ PHD计量I的内容。这部分数理统计的内容相当于这边本科Hornors Course for Math Statistics的内容，因为我在国内既上过经管类那种概率统计一门课大杂烩的数理统计，也上过数学系单独一学期的数理统计，从而比较知道两者的区别，当然这也仅限于我本科所就读的学校。这门课跟前面的 Basic Probability Theory一样，我觉得不需要去专门修本科Honors的课，但是最好自己或者在上计量I的时候认认真真的把基本数理统计的基础打好，这样做不光是对那些做将来做计量理论的同学而言，对那些打算做别的领域的，也同样适用。因为不管你做微观，宏观还是Finance，哪个现在都是Theory跟Empirical并重的，现在连Auction Theory都在做计量检验，更别说宏观，Finance等等了。顺便说一下，经常看到有人在BBS上说自己看不懂计量经济学的教材，比如Green，Hayashi或者Davidson & Mackinnon，其实我以前也是看不懂，跟大家的感觉一样，迷迷糊糊。后来才知道，其实就是因为数理统计不行，因为现在所谓的计量就是以统计里面的回归分析为基础发展起来的具有经济金融数据特点的统计理论，这本身就是统计学，数理统计不行当然看不懂。
这门课的教材可以用一般计量I的教材，比如Gallant的《An Introduction to Econometric Theory》，Birrens，《Introduction to the mathematical and Statistical Foundation of Econometrics》，但是我个人更偏好一些纯数理统计的教材，比如Casella & Berger的《Statistical Inference》，还有更深一点的Bickel & Dokosum《Mathematical Statistics: Basic Ideas and Selected Topics》，
因为我是打算做计量理论的。前面两本因为是计量I的教材，更偏重于一些在计量中有直接作用的统计的介绍，而后两本是标准的北美这边统计系非测度数理统计的教材，当然其实Bickel & Dokosum 已经算是接近于使用测度论作为语言了。学习后两本可以使得你对统计的理解更深刻，知识面也更广。我自己是在上计量I的时候将Casella & Berger认真的通读了一遍，做了大量的课后习题，同时参考了Bickel & Dokosum的教材，而后来在修下面基于测度论的数理统计时又参考了Bickel & Dokosum。我没有读过Gallant与Birrens，因为计量I的Professor有自己的Lecture Notes，所以我对这两本不是很有发言权。但是这两本我都浏览过，所以知道它们的内容。
个人建议：如果你打算做计量理论，可以将Casella & Berger与Bickel & Dokosum作为计量I的主要教材，认认真真的把前一本上面的习题完成，打好基础；如果不是做计量理论的，我觉得可以读Gallant与Birrens，适当参考一下Casella & Berger，它上面的习题多又好，而且还能找得到答案做完后对照思路。Casella & Berger国内有影印版，Bickel & Dokosum现在都是第二版了用，第一版国内有翻译版，不过第二版好像也要快出影印了，我不建议读翻译的；Gallant与Birrens好像国内有些学校有复印的，网上可能也可以找的到。
：Measure-based Mathematical Statistics I & II
这其实是包含两门课的一个一年的Sequence，因为一门讲不完这么多内容的。但是我觉得只有打算做计量理论的才需要考虑这个课，不象在讨论前面的Probability I & II时，我觉得所有Fields 的人最好都修Probability I，而Probability II则不一定这样的分开来考虑，所以我把它们放到一起讨论。这个课其实是Statistics PHD一年的Core Course，可想而知是讲的比较严格的。
这门课的主要内容就是严格的数理统计理论，既包含Statistical Inference（Point Estimation, Hypothesis Testing，以及Confidence Set），又包括Statistical Decision Theory；既包含Frequentist方法，又包括Bayesian的方法；既有小样本的uation标准，像是Unbiased，UMVUE等等，又包括大样本的Asymptotic Efficiency统计评价方法。当然，这个课还包含很多现代统计方法的简单介绍，比如Nonparametric，Semiparametric，Bootstrap为代表的Resampling方法。不过这里只能是简单介绍，详细的内容只能由后续课程或者通过自学（因为这些课程的开设都是跟老师的研
究兴趣有关的，一个学校不一定能把所有的课都开起来）来完成。详细的课程内容我就不多说了，因为我个人觉得，凡是想做计量理论的人这门课的内容都是必然要具备的素质，起码对于现在这个年代的计量理论来说我觉得是这样，看看现在Econometrica，Econometric Theory，Journal of Econometrics上的Paper，基本上都是各种各样的新的Estimation，Hypothesis Testing方法的提出，所用的工具无不是基于现代数理统计最新的研究进展，如果不能打一下一个很坚固的数理统计基础，起码对我来说真是难以想象怎么来做研究将来。
这门课的主要教材就是著名的《Theory of Point Estimation》（TPE） by Lehmann and Casella，与《Testing Statistical Hypotheses》（TSH）by Lehmann and Romano，我想这两本教材的难度很多人都早就听说过了，反正我觉得这两本书真是得至少花一年的时间才能学好，课后的习题多，质量也好，这边的图书馆里能借到他们第一版的习题解答，非常老了，感觉字体很象是手写然后复印的。这本习题解答的作者一说大家肯定知道，就是写了类似于Probability百科全书的《Modern Theory of Probability》的Kallenberger了。跟这两本书难度差不多相当的Bayesian统计的书可以参考《Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis》by Berger，注意这个Berger跟与Casella 写《Statistical Inference》的Berger可不是一个人。另外，Shao Jun的《Mathematical Statistics》写的也是非常之好，内容涵盖了TPE跟TSH的所有内容几乎，当然程度要容易的多，并且这本书简单介绍了包括Nonparametric，Semiparametric，Bootstrap，甚至还有Empirical Likelihood的几乎所有的现代统计方法，真是一书在手，天下事尽知啊。还值得一提的是，这本书习题也是很丰富，而且还有专门的一本习题答案，以供大家参考，如果能好好利用这些习题，还是那句话，受益终生。我自己上课时老师把这基本都列为了参考教材，我则除了TPE跟TSH上老师上课讲的内容外，仔细读了Shao Jun的相关内容，并且做了上面的一小部分题目，收获颇丰。Shao先生（我不知道是不是邵，所以只好写拼音）好像是国内华东师大毕业的，现在为U of Wisconsin at Madison统计系的主任，那里Statistics PHD第一年的Math Stat Core Squence就是讲他这本书。
不知道为什么纯数学的书国内有影印版的非常多，但是统计的书国内很少找到影印版，这使我想起了有位统计牛人在一个报告上说的，国内跟国外在统计学研究上的差距这几年非但没有缩小，某种程度上反而有点扩大了。我不是做数理统计的，也不知道事实是否如此，不过统计方面影印书的出版比纯数学方面的差了很多，这是一个很奇怪的现象，因为统计在现实中的应用应该更多些，按说统计书的
引进应该是更快一步才对，现在反而是相反的。这里想推荐一本中文的高等数理统计教材，那就是陈希儒先生的《高等数理统计》了，陈老的地位以及水平我想我不需要多说了，他这本书写的是非常之好，基本跟TPE，TSH差不多一个难度水平，不过就是内容少了一点。还有就是这本书习题令人称赞，而且书的后半部分就是习题的参考答案，供大家研习之用。陈老对做习题以掌握内容，训练基本技能的说法我想很多同学都是见过的，不得不说，姜还是老的辣啊！！！
个人建议：这门课值得好好花一年的时间学好TPE，TSH或者学好Shao Jun，Bayesian的部分可以参考下Berger。Berger的书国内有影印版，其他基本好像没有，不过可以找得到电子版，而且国内一些学校也有复印版。题目要认真做，多做。
：Asymptotic Statistics
Asymptotic Statistics包括了数理统计里面的很多大样本理论，比如M-Statistic, U-Statistic，MLE，Asymptotic Relative Efficiency，Empirical Process等等，我觉得是应该作为一门课认真学学的，教材可以用现在最流行的Van der Vart 的《Asymptotic Statistics》，事实上很多学校都已经将这门课开做一本Stat PHD的必修课。由于我自己还没修过，所以我没什么发言权，只能推荐这么一本书，不过很多Professor都有Course Webpage，大家可以去网上搜索，看看他们怎么个讲法，讲哪些内容，找相应的课本认真学习，打好基础。我本人正打算这个Summer学这个，因为以后要把大部分的时间都转向与我自己的研究方向相关的学习，还要开始准备我的PHD Dissertation，因此估计比较少有时间再去象第一，二年一样这样耐心的打基础了，所以觉得最好在Summer将这门重要的内容解决掉。
：Topics in Modern Math Statistics
这个不是一门课，是我把所有的除了基本的One-Year Core Sequence与上面的Asymptotic之外的现代统计方法都放到了一起，大致包括了Nonparametric，Semi-parametric，Bootstrap，Empirical Likelihood等内容。这些都是近几十年才发展壮大起来的现代统计方法，其中像是Bootstrap也不过是1980年左右才开始的。
如Nonparametric，Semi-parametric，Bootstrap，Empirical Likelihood这些内容都是现代统计理论中的研究方向，很多研究还正在进行中，我个人只是因为要用从而自学了Nonparametric的一些书，但因为这方面的书特别散，没有一本将所有Nonparametric方法都讲好的书，所以很难做推荐，所以这里就不多说了。需要说的是，这些研究方向都有相关的计量领域对应，比如Nonparametric Econometrics，Semi-parametric Econometrics，Bootstrap Econometrics，这些其实是相应的统计方法在对Econ跟 Finance特点的数据的应用，有的时候Statisticians搞出来的这些统计方法针对的数据类型跟Econ，Finance的数据特点不符，而Econometricians做的就是基于原来的方法提出针对这些Econ，Finance特点的数据进行分析的新的统计工具，由于基于的General的统计方法不一样，因此便有了Nonparametric Econometrics，Semi-parametric Econometrics，Bootstrap Econometrics 这些称呼。这与以数据本身类型对计量分为Micro-econometrics（Cross-section, Limited Dependent Variables） Time Series Analysis, Panel Data Econometrics(有的把这个也归为
Micro-econometrics)，是不同的，不同的方法跟不同的数据类型结合在一起便形成了很多不同研究方向与叫法，总之，对计量进行完全彻底的分类好像很难。
由于这些内容既不简单，我也没有完整学过，所有我在这里就说到此为止了。实际上，我也不可能把它们都学完，一是我知道自己没那么大能量，水平毕竟有限；二是也没有必要，这些学不学，学到什么程度都要视你的研究而定，你需要用就学，不需要就算。说实话，我觉得现在经济学研究已经开始逼近象数学一样的高度分工了，做微观跟做计量的互相很少有共同语言，即使都是做计量的，不同的方向能通话的也是比较少的，比如你做Panel Data，他做Financial Econometrics，不光使用的方法不一样。模型的假设不一样，就连最基本的检验的经济理论更不一样。你需要学习不同的经济理论，这一点就使得两者很难对话。不过话说回来，大家还是有的，象Hausman，L Hansen, Philips，White 那样的，诸多方向通吃，水平确实高，没办法。不过我觉得他们的概率，数理统计的基础肯定很牢固，从而来了新的Topic时很快就能上手，我自己觉得这个一个很重要的原因
数三《概率论与数理统计》教学大纲 教材：四川大学数学学院邹述超、何腊梅：《概率论与数理统计》，高等教育出版社出，2002年8月。 参考书：袁荫棠：《概率论与数理统计》（修订本），中国人民大学出版社。 四川大学数学学院概率统计教研室：《概率论与数理统计学习指导》 总学时：60学时，其中：讲课50学时，习题课10学时。 学分：3学分。 说明： 1.生源结构：数三的学生是由高考文科生和一部分高考理科生构成。有些专业全是文科生或含极少部分理科生（如：旅游管理，行政管理），有些专业约占1/4～1/3的理科生（国贸，财政学，经济学），有些专业全是理科生（如：国民经济管理，金融学）。 2.高中已讲的内容：高中文、理科都讲了随机事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率，即教材第一章除条件概率以及有关的内容以外，其余内容高中都讲了。高中理科已讲离散型随机变量的概率分布（包括二项分布、几何分布）和离散型随机变量的期望与方差，统计基本概念、频率直方图、正态分布、线性回归。而高中文科则只讲了一点统计基本概念、频率直方图、样本均值和样本方差的简单计算。 3.基本要求：学生的数学基础差异大，不同专业学生对数学课重视程度的差异大，这就给讲授这门课带来一定的难度，但要尽量做到“分层次”培养学生。高中没学过的内容要重点讲解，学过的内容也要适当复习或适当增加深度。讲课时，既要照顾数学基础差的学生，多举基本例子，使他们掌握大纲要求的基本概念和方法；也要照顾数学基础好的学生，使他们会做一些综合题以及简单证明题。因为有些专业还要开设相关的后继课程（如：计量经济学），将用到较多的概率统计知识；还有一部分学生要考研，数三的概率考研题往往比数一的难。 该教材每一章的前几节是讲述基本概念和方法，习题(A)是针对基本方法的训练而编写的，因此，这一部分内容须重点讲解，并要求学生必须掌握；每一章的最后一节是综合例题，习题(B)具有一定的综合性和难度，可以选讲部分例题，数学基础好的学生可选做(B)题。 建议各章学时分配(+号后面的是习题课学时)： 第一章随机事件及其概率 一、基本内容 随机事件的概念及运算。概率的统计定义、古典定义及公理化定义。概率的基本性质、加法公式、条件概率与乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。事件的独立性，独立随机试验、
·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：
概率论与数理统计习题及答案 习题一 1.见教材习题参考答案. 2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C （1）A发生，B，C都不发生； （2）A与B发生，C （3）A，B，C都发生； （4）A，B，C （5）A，B，C都不发生； （6）A，B，C （7）A，B，C至多有2个发生； （8）A，B，C至少有2个发生. 【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC （4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC (5) ABC=A B C(6) ABC (7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC 3.. 4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）. 【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7, （1）在什么条件下P（AB （2）在什么条件下P（AB） 【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6. （2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3. 6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率. 【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)
= 14+14+13-112=34 7. 52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？ 【解】 p =5332 131313131352C C C C /C 8. （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）= 517=（17 ）5 （亦可用独立性求解，下同） （2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故 P （A 2）=5567 =(67)5 (3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日} P （A 3）=1-P (A 1)=1-( 17 )5 9..见教材习题参考答案. 10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n 第一章 事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数 （设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产 品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上 “正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品 就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的 结果。 （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。 （2）}18,,4,3{ =Ω。 （3）},11,10{ =Ω。 （4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100， 1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中 0表示次品，1表示正品。 （5）=Ω{(x,y)| 0 （2）A 与B 都发生，而C 不发生。 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生。 （4）A ，B ，C 都发生。 （5）A ，B ，C 都不发生。 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生。 （7）A ，B ，C 至少有一个不发生。 （8）A ，B ，C 中至少有两个发生。 解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ， （5）C B A ， （6）C B C A B A ++或 C B A C B A C B A C B A +++， （7）C B A ++， （8）BC AC AB ++或 ABC BC A C B A C AB ??? 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作 图说明。 （1）B B A B A =（2）AB B A = （3）AB B A B =?则若,（4）若 A B B A ??则, （5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ?， 《概率论与数理统计》 第一章概率论的基本概念 (2) §2．样本空间、随机事件..................................... 2.. §4 等可能概型（古典概型）................................... 3.. §5．条件概率.............................................................. 4.. . §6．独立性.............................................................. 4.. . 第二章随机变量及其分布 (5) §1随机变量.............................................................. 5.. . §2 离散性随机变量及其分布律................................. 5..§3 随机变量的分布函数....................................... 6..§4 连续性随机变量及其概率密度............................... 6..§5 随机变量的函数的分布..................................... 7..第三章多维随机变量. (7) §1 二维随机变量............................................ 7...§2边缘分布................................................ 8...§3条件分布................................................ 8...§4 相互独立的随机变量....................................... 9..§5 两个随机变量的函数的分布................................. 9..第四章随机变量的数字特征.. (10) 习题 1. 写出下列随机试验的样本空间: (1) 掷两颗骰子,观察两颗骰子出现的点数. (2) 从正整数中任取一个数,观察取出数的个位数. (3) 连续抛一枚硬币,直到出现正面时为止. (4) 对某工厂出厂的产品进行检查,如连续检查出两个次品,则停止检查,或 检查四个产品就停止检查,记录检查的结果. (5) 在单位圆内任意取一点,记录它的坐标. 解:(1){(,)|1,2,,6,1,2, ,6}i j i j Ω===; (2){|0,1, ,9}i i Ω==; (3)Ω={(正), (反, 正), (反, 反, 正), (反, 反, 反, 正), … }; (4)Ω={(次, 次), (次, 正, 正, 正), (次, 正, 正, 次), (次, 正, 次, 次), (次, 正, 次,正), (正, 次, 次), (正, 次, 正, 正), (正, 次, 正, 次)}; (5)22{(,)|,,1}x y x R y R x y Ω=∈∈+≤. 2. 在掷两颗骰子的试验中写出下列事件的集合表示: (1) A =”出现的点数之和为偶数”. (2) B =”出现的点数之和为奇数, 但没有骰子出现1点”. (3) C =”至少掷出一个2点”. (4) D =”两颗骰子出现的点数相同”. 解: (1) {(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),A = {(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)}=; (2){(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,3),(6,5)}B =; (3){(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)}C =; (4){(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}D =. 3. 设,,A B C 是三个事件,试用,,A B C 来表示下列事件: 概率论与数理统计课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：概率论与数理统计 所属专业：物理学 课程性质：必修 学分：3 （二）课程简介、目标与任务； 《概率论与数理统计》是研究随机现象规律性的一门学科；它有着深刻的实际背景，在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用。通过本课程的学习，使学生掌握概率与数理统计的基本概念，并在一定程度上掌握概率论认识问题、解决问题的方法。同时这门课程的学习对培养学生的逻辑思维能力、分析解决问题能力也会起到一定的作用。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 先修课程：高等数学。后续相关课程：统计物理。《概率论与数理统计》需要用到高等数学中的微积分、级数、极限等数学知识与计算方法。它又为统计物理、量子力学等课程提供了数学基础，起了重要作用。 （四）教材与主要参考书。 教材： 同济大学数学系编，工程数学–概率统计简明教程（第二版），高等教 育出版社，2012. 主要参考书： 1.浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编，概率论与数理统计（第四版）， 高等教育出版社，2008. 2.J.L. Devore, Probability and Statistics(fifth ed.)概率论与数 理统计（第5版）影印版，高等教育出版社，2004. 二、课程内容与安排 第一章随机事件 1.1 样本空间和随机事件； 1.2 事件关系和运算。 第二章事件的概率 2.1概率的概念；2.2 古典概型；2.3几何概型；2.4 概率的公理化定义。第三章条件概率与事件的独立性 3.1 条件概率； 3.2 全概率公式； 3.3贝叶斯公式；3.4 事件的独立性； 3.5 伯努利试验和二项概率。 第四章随机变量及其分布 4.1 随机变量及分布函数；4.2离散型随机变量；4.3连续型随机变量。 第五章二维随机变量及其分布 5.1 二维随机变量及分布函数；5.2 二维离散型随机变量；5.3 二维连续随机变量；5.4 边缘分布； 5.5随机变量的独立性。 第六章随机变量的函数及其分布 6.1 一维随机变量的函数及其分布；6.2 多元随机变量的函数的分布。 第七章随机变量的数字特征 7.1数学期望与中位数； 7.2 方差和标准差； 7.3协方差和相关系数； *7.4大数律； 7.5中心极限定理。 第八章统计量和抽样分布 8.1统计与统计学；8.2统计量；8.3抽样分布。 第九章点估计 《概率论与数理统计》课程标准 一、课程概述 （一）课程定位 《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics)，由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科，是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。从学科性质讲，它是一门基础性学科，它为建筑专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。 （二）先修后续课程 《概率论与数理统计》的先修课程为《高等数学》、《线性代数》等，这些课程为本课程的学习奠定了理论基础。 《概率论与数理统计》的后续课程为《混凝土结构设计》、《地基与基础》等课程。通过该课程的学习可为这些课程中的模型建立等内容的知识学习奠定良好的基础,在教学中起到了承上启下的作用。 二.课程设计思路 本课程的基本设计思路是极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;理论和方法相结合，以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的 进一步学习打下一个良好的基础。 三、课程目标 《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，并能用所掌握的方法具体解决工程实践中所遇到的各种问题。 （一）能力目标 力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。 （二）知识目标 1.理解掌握概率论中的相关概念和公式定理； 2.学会应用概率论的知识解决一些基本的概率计算； 3.理解数理统计的基本思想和解决实际问题的方法。 （三）素质目标 1.培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神； 2.培养具有较好的逻辑思维、较强的计划、组织和协调能力； 3.培养具有认真、细致严谨的职业能力。 四、课程内容 根据能力培养目标的要求，本课程的主要内容是随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理。具体内容和学时分配见表4-1。 表4-1 课程内容和学时分配 《概率论与数理统计》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号：450006 课程名称：概率论与数理统计 课程类别：公共基础课（必修） 学时学分：理论48学时/3学分 适用专业：计算机、自动化、经管各专业 开课学期：第一学期 先修课程：高等数学 后续课程： 执笔人： 审核人： 制（修）订时间：2015.9 二、课程性质与任务 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律性的数学学科，是高等学校理、工、管理类本科各专业的一门重要的基础理论课。通过本课程的教学，应使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机事件的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。 三、课程教学基本要求 本课程以课堂讲授为主，致力于讲清楚基本的概率统计思想，使学生掌握基本的概率、统计计算方法。注意培养基本运算能力、分析问题和解决实际问题的能力。讲授中运用实例来说明本课程应用的广泛性和重要性。每节课布置适量的习题以巩固所学知识，使学生能够运用概率统计思想和方法解决一些实际问题。 四、课程教学内容及各教学环节要求 （一）概率论的基本概念 1、教学目的 理解随机现象、样本空间、随机事件、概率等概念，掌握事件的关系与运算，掌握古典概犁及其计算、条件概率的计算、全概率公式和贝叶斯公式的应用。 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 概率、条件概率与独立性的概念； ② 加法公式；乘法公式；全概率公式；贝叶斯公式。 （2）教学难点 ① 古典概型的有关计算；② 全概率公式的应用； ③ 贝叶斯公式的应用。 3、教学方法 采用传统教学方式，以课堂讲授为主，课堂讨论、多媒体演示、课下辅导等为辅的教学方法。加强互动教学，学生对课程的某一学术问题通过检索资料、实际调查来提高自学能力和实践应用能力。 4、教学要求 （1）理解随机试验、样本空间、随机事件等基本概念；熟练掌握事件的关系及运算 （2）理解频率和概率定义；熟练掌握概率的基本性质 （3）理解等可能概型的定义性质；,会计算等可能概型的概率 （4）理解条件概率的定义；熟练掌握加法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式（5）理解事件独立性概念,掌握应用独立性进行概率计算 （二）随机变量及其分布 1、教学目的 了解随机变量的概念；理解离散型随机变量的分布律和连续型随机变量的概率密度的概念及性质，会利用性质确定分布律和概率密度；理解分布函数的概念及性质，会利用此概念和性质确定分布函数，会利用概率分布计算有关事件的概率；掌握正态分布、均匀分布、指数分布、0-1分布、二项分布、泊松分布，会求简单的随机变量函数的分布 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 随机变量及其概率分布的概念； ② 离散型随机变量分布律的求法； 第二章随机变量及其分布第一节随机变量及其分布函数 一、随机变量 随机试验的结果是事件，就“事件”这一概念而言，它是定性的。要定量地研究随机现象，事件的数量化是一个基本前提。很自然的想法是，既然试验的所有可能的结果是知道的，我们就可以对每一个结果赋予一个相应的值，在结果(本事件)数值之间建立起一定的对应关系，从而对一个随机试验进行定量的描述。 例2-1 将一枚硬币掷一次，观察出现正面H、反面T的情况。这一试验有两个结果：“出现H”或“出现T”。为了便于研究，我们将每一个结果用一个实数来代表。比如，用数“1”代表“出现H”，用数“0”代表“出现T”。这样，当我们讨论试验结果时，就可以简单地说成结果是1或0。建立这种数量化的关系，实际上就相当于引入一个变量X，对于试验的两个结果，将X的值分别规定为1或0。如果与样本空间 { } {H,T}联系起来，那么，对于样本空间的不同元素，变量X可以取不同的值。因此，X是定义在样本空间上的函数，具体地说是 1,当 H X X( ) 0,当 T 由于试验结果的出现是随机的，因而X(ω)的取值也是随机的，为此我们称 X( )X(ω)为随机变量。 例2-2 在一批灯泡中任意取一只，测试它的寿命。这一试验的结果（寿命）本身就是用数值描述的。我们以X记灯泡的寿命，它的取值由试验的结果所确定，随着试验结果的不同而取不同的值，X是定义在样本空间 {t|t 0}上的函数 X X(t) t,t 因此X也是一个随机变量。一般地有 定义2-1 设 为一个随机试验的样本空间，如果对于 中的每一个元素 ，都有一个实数X( )与之相对应，则称X为随机变量。 一旦定义了随机变量X后，就可以用它来描述事件。通常，对于任意实数集合L,X在 L上的取值，记为{X L}，它表示事件{ |X( ) L}，即 。 {X L} { |X( ) L} 例2-3 将一枚硬币掷三次，观察出现正、反面的情况。设X为“正面出现”的次数，则X是一个随机变量。显然，X的取值为0，1，2，3。X的取值与样本点之间的对应关系如表2-1所示。 表2-1 表2-1 福州大学概率论与数理统计课后习题答案 高等教育出版社 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数 之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下 事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： C B A ++，C AB +，AC B -. 《概率论与数理统计》课程自学指导书 前言 . . 《概率论与数理统计》是城市规划专业和地理信息系统专业的专业必修课。《概率统计》教材系统阐述了概率论和数理统计的基本内容、理论和应用方法。概率统计是研究随机现象客观规律的数学学科，它的应用非常广泛，并具有独特的思维和方法。通过概率论的学习能使学生了解概率与数理统计的基本概念和基本理论，初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。通过本课程的学习，能够为学生学习后继课程及进一步提高打下必要的数学基础。其内容可分为三大部分。第一部分概率论部分，包括第一、二、三、四、五章。作为基础知识，为读者提供了必要的理论基础。第二部分数理统计部分，包括第六、七、八、九章，主要讲述参数估计和假设检验，并介绍了方差分析和回归分析。第三部分随机过程部分，主要讨论了平稳随机过程，还介绍了马尔可夫过程。 本指导书是作为函授学员在集中授课后，指导自学而编制的。内容较为简明扼要。主要是为了让学员能够抓住要领，掌握重点，理解难点，从而达到能够融会贯通、灵活掌握概率统计的基本概念、基本理论从而解决实际问题的目的。 本指导书的主要参考书目： 1． 景泰等编。概率论与数理统计.上海科学技术文献出版社,1991. 2． 玉麟主编。概率论与数理统计.复旦大学出版社，1995。 3．大茵，陈永华编。概率论与数理统计。浙江大学出版 社.1996 本课程的考核内容以教学大纲为依据，注重基本概念、基本理论的掌握和应用的考核。主要考核方式为笔试。 第一章概率论的基本概念 一、内容概述 # 本章介绍了概率论的基本概念：随机试验、样本空间、随机事件、频率与概率，讨论研究等可能概型问题、条件概率及独立性问题。 二、教学目的要求 # （1） 理解并掌握概率论的基本概念。 概率论与数理统计 学习报告 学院 学号： 姓名： 概率论与数理统计学习报告 通过短短一学期的学习，虽然学习、研究地并不深入，但该课程的每一处内容都有不同的奇妙吸引着我，让我对它在生活中饰演的角色充满遐想；它将我带入了一个由随机变量为桥梁，通过表面偶然性找出其内在规律性，从而与其它的数学分支建立联系的世界，让我对这种进行大量的随机重复实验，通过分析研究得出统计规律性的过程产生了极大地兴趣。我很喜欢这门课程，但也不得不说课后在它上面花的时间并不多，因此学得还不深入，但它真的深深地吸引了我，我一定会找时间进一步深入地学习它。 先简单地介绍一下概率论与数理统计这门学科。 概率论是基于给出随机现象的数学模型，并用数学语言来描述它们，然后研究其基本规律，透过表面的偶然性，找出其内在的规律性，建立随机现象与数学其他分支的桥梁，使得人们可以利用已成熟的数学工具和方法来研究随机现象，进而也为其他数学分支和其他新兴学科提供了解决问题的新思路和新方法。数理统计是以概率论为基础，基于有效的观测、收集、整理、分析带有随机性的数据来研究随机现象，进而对所观察的问题作出推断和预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议。 概率论与数理统计是研究随机现象及其规律性的一门数学学科。研究随机现象的规律性有其独特的思想方法，它不是寻求出现每一现象的一切物理因素，不能用研究确定性现象的方法研究随机现象，而是承认在所研究的问题中存在一些人们不能认识或者根本不知道的 随机因素作用下，发生随机现象。这样，人们既可以通过试验来观察随机现象，揭示其规律性，作出决策，也可根据实际问题的具体情况找出随机现象的规律，作出决策。 至今，概率论与数理统计的理论与方法已经广泛应用于自然科学、社会科学以及人文科学等各个领域中，并随着计算机的普及，概率论与数理统计已成为处理信息、制定决策的重要理论和方法。它们不仅是许多新兴学科，如信息论、控制论、排队论、可靠性论以及人工智能的数学理论基础，而且与其他领域的新兴学科的相互交叉而产生了许多新的分支和边缘学科，如生物统计、统计物理、数理金融、神经网络统计分析、统计计算等。 概率论应用随机变量与随机变量的概率分布、数字特征及特征函数为数学工具对随机现象进行描述、分析与研究，其前提条件是假设随机变量的概率分布是已知的；而数理统计中作为研究对象的随机变量的概率分布是完全未知的，或者分布类型已知，但其中的某些参数或某些数字特征是未知的。概率论研究问题的方法是从假设、命题、已知的随机现象的事实出发，按一定的逻辑推理得到结论，在方法上是演绎式的。而统计学的方法是归纳式的，从所研究地对象的全体中随机抽取一部分进行试验或观测，以获得试验数据，依据试验数据所获取的信息，对整体进行推断，是归纳而得到结论的。因此掌握它特有的学习方法是很重要的。 在学习的过程中，不论是老师提出的一些希望我们课后讨论的问题还是自己在做作业看书过程中遇到的一些问题都引发了我的一些 《概率论与数理统计》课程重点与难点要记 第一章：随机事件及其概率 题型一：古典概型 1．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码，求最小号码为5的概率，及最大号码是5的概率。 2．设袋中有5个白球，3个黑球，从袋中随机摸取4个球，分别求出下列事件的概率： 1）采用有放回的方式摸球，则四球中至少有1个白球的概率； 2）采用无放回的方式摸球，则四球中有1个白球的概率。 3．一盒子中有10件产品，其中4件次品，每次随机地取一只进行检验， 1）求第二次检验到次品的概率； 2）求第二才次检验到次品的概率。 4．在1－2000的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除 的概率是多少？（合理的设置事件，通过概率的性质解题也很重要） 课后习题：P16：2，3，4，5， 7，9，10，11，12，13，14 P30：8，9，10，16 题型二：利用条件概率、乘法公式及事件的独立性计算事件的概率 1。3人独立去破译一个密码，他们能译出的概率分别为1/5、1/4、1/3，问能将此密码译出的概率。 2。设口袋有2n-1只白球，2n 只黑球，一次取出n 只球，如果已知取出的球都是同一种颜色，试计算该颜色是黑色的概率。 3。设袋中装有a 只红球，b 只白球，每次自袋中任取一只球，观察颜色后放回，并同时放入m 只与所取出的那只同色的球，连续在袋中取球四次，试求第一、第二次取到红球且第三次取到白球，第四次取到红球的概率。 课后习题：P23：1，2，3，4，6，10，11 P28：1，2，4，5，6，7，9，10，12， 13 题型三：全概率与贝叶斯公式 1．在一个每题有4个备选答案的测验中，假设有一个选项是正确的，如果一个学生不知道问题的正确答案，他就作随机选择。知道正确答案的学生占参加测验者的90%，试求： （1）学生回答正确的概率； （2）假如某学生回答此问题正确，那么他是随机猜出的概率。 2．一通讯通道，使用信号“0”和“1”传输信息。以A 记事件收到信号“1”，以B 记事件发出信号“1”。已知()0.4,(/)0.95,(/)0.90P B P A B P A B ===。 1）求收到信号“1”的概率？ 2）现已收到信号“1”，求发出信号是“1”的概率？ 课后习题：P23：7，8，9，12 P31：19，26，27，28 第二章：随机变量及其分布 题型一：关于基本概念：概率分布律、分布函数、密度函数 1．一房间有三扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了 《概率论与数理统计》教学大纲 编写人：刘雅妹审核：全焕 一、课程性质与任务 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律的数学学科，是高等学校本科各专业的一门重要的基础理论课。本课程的任务是使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决、处理实际不确定问题的基本技能和基本素质，它是为培养我国现代建设所需要的高质量、高素质专门人才服务的。 二、教学基本要求 本课程按要求不同，分深入理解、牢固掌握、熟练应用，其中概念、理论用“理解”、“了解”表述其要求的强弱，方法运算用“会”或“了解”一词表述。 〈一〉、随机事件与概率 ⒈理解随机实验，样本空间和随机事件的概念，掌握事件的关系与运算。 ⒉理解概率的定义，掌握概率的基本性质，能计算古典概型和几何概型的概率，能用概率的基本性质计算随机事件的概率。 3.理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式。 ⒋理解全概率公式和贝叶斯公式，能计算较复杂随机事件的概率。 ⒌理解事件的独立性概念，能应用事件的独立性进行概率计算。 6.理解随机实验的独立性概念，掌握n重贝努里实验中有关随机事件的概率计算。 〈二〉、一维随机变量及其概率分布 ⒈理解一维随机变量及其概率分布的概念. 2.理解随机变量分布函数的概念,了解分布函数的性质,会计算与随机变量有关的事件的概率. 3.理解离散型随机变量及概率分布的概念.掌握0-1分布、二项分布、泊松分布及其它们的应用。 4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、指数分布、正态分布及其它们的应用。 5.会求简单的随机变量的函数的分布。 〈三〉、二维随机变量及其分布 ⒈了解二维（多维）随机变量的概念。 ⒉了解二维随机变的联合分布函数及其性质；了解二维离散型随机变的联合概率分布及其性质；了解二维连续型随机变量的联合概率密度函数及其性质，并会用这些性质计算有关事件的概率。 3．掌握二维离散型与二维连续型随机变量的边缘分布的计算，了解条件分布及其计算。 4．理解随机变量独立性的概念，掌握运用随机变量独立性进行概率计算。 概率论与数理统计课程总结报告——概率论与数理统计在日常生活中的应用 姓名： 学号： 专业：电子信息工程 摘要：数学作为一门工具性学科在我们的日常生活以及科学研究中扮演着极其重要的角色。概率论与 数理统计作为数学的一个重要组成部分，在生活中的应用也越来越广泛，近些年来，概率论与数理统计知识也越来越多的渗透到经济学，心理学，遗传学等学科中，另外在我们的日常生活之中，赌博，彩票，天气，体育赛事等都跟概率学有着十分密切的关系。本文着眼于概率论与数理统计在我们生活中的应用，通过前半部分对概率论与数理统计的一些基本知识的介绍，包括概率的基本性质，随机变量的数字特征及其分布，贝叶斯公式，中心极限定理等，结合后半部分的事例分析讨论了概率论与数理统计在我们生活中的指导作用，可以说，概率论与数理统计是如今数学中最活跃，应用最广泛的学科之一。 关键词：概率论 数理统计 经济生活 随机变量 贝叶斯公式 基本知识 §1.1 概率的重要性质 1.1.1定义 设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率。 概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P （3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( （n 可以取∞） 1.1.2 概率的一些重要性质 （i ） 0)(=φP （ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( （n 可以取∞） （iii ）设A ，B 是两个事件若B A ?，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P （v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率） （vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=? 《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1 )S (=P 概率论与数理统计作业及解答 概率论与数理统计作业及解答 第一次作业 ★1. 甲, 乙, 丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹, 设事件A , B , C 分别表示甲, 乙, 丙击中目标, 则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示. 事件E ={事件,,A B C 最多有一个发生},则E 的表示为 ;E ABC ABC ABC ABC =+++或;AB AC BC =U U 或;AB AC BC =U U 或;AB ACBC =或().ABC ABC ABC ABC =-++ (和A B +即并A B U ,当,A B 互斥即AB φ=时,A B U 常记为A B +.) 2. 设M 件产品中含m 件次品, 计算从中任取两件至少有一件次品的概率. 22 1M m M C C --或1122 (21)(1)m M m m M C C C m M m M M C -+--=- ★3. 从8双不同尺码鞋子中随机取6只, 计算以下事件的概率. A ={8只鞋子均不成双}, B ={恰有2只鞋子成双}, C ={恰有4只鞋子成双}. 61682616()32()0.2238,143C C P A C ===1414 8726 16()80 ()0.5594,143C C C P B C === 22128626 16()30 ()0.2098.143 C C C P C C === ★4. 设某批产品共50件, 其中有5件次品, 现从中任取3件, 求: (1)其中无次品的概率; (2)其中恰有一件次品的概率. (1)34535014190.724.1960C C == (2)21455350990.2526.392 C C C == 5. 从1～9九个数字中, 任取3个排成一个三位数, 求: (1)所得三位数为偶数的概率; (2)所得三位数为奇数的概率. (1){P 三位数为偶数}{P =尾数为偶数4 },9= (2){P 三位数为奇数}{P =尾数为奇数5 },9 = 或{P 三位数为奇数}1{P =-三位数为偶数45 }1.99 =-= 6. 某办公室10名员工编号从1到10,任选3人记录其号码,求:(1)最小号码为5的概率;(2)最大号码为5的概率. 记事件A ={最小号码为5}, B ={最大号码为5}. (1) 253101();12C P A C ==(2) 2 43101 ().20 C P B C == 7. 袋中有红、黄、白色球各一个,每次从袋中任取一球,记下颜色后放回,共取球三次, 求下列事件的概率:A ={全红},B ={颜色全同},C ={颜色全不同},D ={颜色不全同},E ={无黄色球},F ={无红色且无黄色球},G ={全红或全黄}. 311(),327P A ==1()3(),9P B P A ==33333!2(),339A P C ===8 ()1(),9 P D P B =-=概率论与数理统计课后习题答案
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