第4讲 数列中不等式的证明问题
高考定位 1.数列中不等式的证明是浙江高考数学试题的压轴题；2.主要考查数学归纳法、放缩法、反证法等数列不等式的证明方法，以及不等式的性质；3.重点考查学生逻辑推理能力和创新意识.
真 题 感 悟
(2017·浙江卷)已知数列{x n }满足：x 1＝1，x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)(n ∈N *). 证明：当n ∈N *时， (1)0＜x n ＋1＜x n ； (2)2x n ＋1－x n ≤x n x n ＋12； (3)
12
n －1
≤x n ≤1
2
n －2.
证明 (1)用数学归纳法证明：x n ＞0. 当n ＝1时，x 1＝1＞0.
假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，x k ＞0，
那么n ＝k ＋1时，若x k ＋1≤0，则0＜x k ＝x k ＋1＋ln(1＋x k ＋1)≤0，矛盾，故x k ＋1＞0， 因此x n ＞0(n ∈N *).
所以x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)＞x n ＋1， 因此0＜x n ＋1＜x n (x ∈N *). (2)由x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)得，
x n x n ＋1－4x n ＋1＋2x n ＝x 2n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)ln(1＋x n ＋1). 记函数f (x )＝x 2－2x ＋(x ＋2)ln(1＋x )(x ≥0). f ′(x )＝2x 2＋x x ＋1
＋ln ()1＋x ＞0(x ＞0)，
函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以f (x )≥f (0)＝0，
因此x 2
n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)ln(1＋x n ＋1)＝f (x n ＋1)≥0，
故2x n ＋1－x n ≤x n x n ＋1
2(n ∈N *).
(3)因为x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)≤x n ＋1＋x n ＋1＝2x n ＋1， 所以x n ≥12x n －1≥122x n －2≥…≥12n －1x 1＝1
2n －1.
故x n ≥
1
2n －1.
由x n x n ＋1
2≥2x n ＋1－x n 得 1
x n ＋1－12≥2? ????
1x n －12＞0，
所以1x n －12≥2? ????1x n －1－12≥…≥2n －1? ????1x 1－12＝2n －
2，
故x n ≤
1
2n －2.
综上，1
2n －1≤x n ≤1
2
n －2(n ∈N *).
考 点 整 合
1.数学归纳法
证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立. 2.反证法
一般地，由证明p ?q 转向证明：綈q ?r ?…?t ，t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定綈q 为假，推出q 为真的方法，叫做反证法. 3.放缩法
放缩法是利用不等式的传递性，证明不等式的方法，要证A
热点一 数学归纳法证明数列不等式
【例1】 (2017·金丽衢联考)设数列{a n }满足：a 1＝a ，a n ＋1＝2a n
a 2n ＋1(a >0且a ≠1，
n ∈N *).
(1)证明：当n ≥2时，a n （b －a 2）（b ＋1） a 2（1－ b ） ＋1时，a k ＋1>b . 证明 (1)由a n ＋1＝2a n a 2n ＋1知，a n 与a 1的符号相同， 而a 1＝a >0，所以a n >0， 所以a n ＋1＝ 2 a n ＋1a n ≤1，当且仅当a n ＝1时，a n ＋1＝1， 下面用数学归纳法证明： ①因为a >0且a ≠1，所以a 2<1， a 3a 2＝2a 22＋1 >1，即有a 2 ＝ 2 a k ＋1＋ 1a k ＋1 <1， 且a k ＋2a k ＋1＝2a 2k ＋1＋1 >1，即a k ＋1a k ＋1>a k ≥b ； 若a k ≥1＋nx ， 而a 2k ＋1 所以a k ＋1＝a 2·a 3a 2 ·a 4a 3 ·…· a k ＋1a k ＝a 2·2k －1（1＋a 22）（1＋a 23）…（1＋a 2k ）>a 2? ????21＋b 2k －1 > a 2? ?? ??21＋b k －1 ＝a 2? ????1＋1－b 1＋b k －1≥a 2?????? 1＋ 1－b 1＋b （k －1）. 因为k ≥（b －a 2）（b ＋1） a 2（1－ b ） ＋1， 所以1－b 1＋b (k －1)＋1≥b －a 2a 2＋1＝b a 2， 所以 a k ＋1>b . 探究提高 数学归纳法是解决和正整数有关命题的证明方法，可以借助递推公式，证明由特殊到一般的结论成立问题.因此，可以在数列不等式的证明中大显身手.在本例中，(1)首先根据条件等式的结构特征推出a n >0，然后用数学归纳法证明即可；(2)首先由(1)知当k ≥2时，1>a k ＋1>a k ≥b ，然后利用数列的递推公式证明即可. 热点二 反证法证明数列不等式 【例2】 (2017·台州调考)已知数列{a n }满足：a n >0，a n ＋1＋1a n <2(n ∈N *). (1)求证：a n ＋21(n ∈N *). 证明 (1)由a n >0，a n ＋1＋1 a n <2， 得a n ＋1<2－1 a n <2. 因为2>a n ＋2＋1 a n ＋1>2 a n ＋2 a n ＋1 (由题知a n ＋1≠a n ＋2)， 所以a n ＋2 (2)法一 假设存在a N ≤1(N ≥1，N ∈N *)， 由(1)可得当n >N 时，a n ≤a N ＋1<1. 根据a n ＋1－1<1－1a n ＝a n －1 a n <0，而a n <1， 所以1a n ＋1－1>a n a n －1＝1＋1 a n －1， 于是1a N ＋2－1>1＋1a N ＋1－1， …… 1a N ＋n －1>1＋1a N ＋n －1－1 . 累加可得1a N ＋n －1>n －1＋1a N ＋1－1 .(*) 由假设可得a N ＋n －1<0， 而当n >－ 1a N ＋1－1＋1时，显然有n －1＋1 a N ＋1－1 >0， 因此有1a N ＋n －1 a N ＋1－1， 这显然与(*)矛盾. 所以a n >1(n ∈N *). 法二 假设存在a N ≤1(N ≥1，N ∈N *)， 由(1)可得当n >N 时，0 a n <0，而a n <1， 所以11－a n ＋1 1－a n ， 所以1－a n ＋11－a n >1a n ≥1a N ＋1>1. 于是1－a n >(1－a n －1)? ???? 1a N ＋1， 1－a n －1>(1－a n －2)? ???? 1a N ＋1， …… 1－a N ＋2>(1－a N ＋1)? ?? ?? 1a N ＋1. 累乘可得1－a n >(1－a N ＋1)? ????1a N ＋1n －N －1 ，(*) 由(1)可得1－a n <1， 而当n >log 1a N ＋1? ?? ??11－a N ＋1＋N ＋1时， 则有(1－a N ＋1)? ????1a N ＋1n －N －1 >1， 这显然与(*)矛盾. 所以a n >1(n ∈N *). 探究提高 数列不等式需要对数列的范围及变化趋势进行探究，而条件又少，因此，反证法就成为解决有关问题的利器.在本例中，(1)首先根据已知不等式由a n ＋1 ＜2－1 a n <2证明不等式的右边，再根据已知不等式利用基本不等式，可证明不 等式的左边；(2)考虑反证法，即假设存在a N ≤1，利用条件和(1)，并结合放缩法逐步推出矛盾.进而证明不等式成立. 热点三 放缩法证明数列不等式 [命题角度1] 放缩为等比数列 【例3】 (2017·湖州调研测试)已知数列{a n }满足a 1＝25，a n ＋1＝2a n 3－a n ，n ∈N *. (1)求a 2； (2)求???? ?? 1a n 的通项公式； (3)设{a n }的前n 项的和为S n ，求证：65? ????1－? ????23n ≤S n <2113. (1)解 由条件可知a 2＝ 2a 13－a 1 ＝4 13. (2)解 由a n ＋1＝2a n 3－a n 得1a n ＋1＝32· 1a n －1 2， 即1a n ＋1 －1＝32? ???? 1a n －1， 所以???? ?? 1a n －1是等比数列， 又1a 1－1＝32，则1a n －1＝32×? ????32n －1＝? ????32n ， 所以1a n ＝? ????32n ＋1. (3)证明 由(2)可得 a n ＝1? ????32n ＋1≥1? ????32n ＋? ????32n －1＝25? ????23n －1 . 所以S n ≥25＋25·? ????231＋…＋25·? ????23n －1 ＝65? ????1－? ????23n ， 故S n ≥65? ????1－? ????23n 成立. 另一方面a n ＝1? ????32n ＋1<1? ???? 32n ＝? ????23n ， 所以S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n <25＋413＋? ????233＋? ????234＋…＋? ????23n ＝4665＋89－89·? ????23n －2<4665＋89<2113，n ≥3， 又S 1＝25<2113，S 2＝4665<2113，因此S n <21 13. 所以65? ????1－? ????23n ≤S n <2113. [命题角度2] 放缩为裂项求和 【例4】 (2017·温州联考)已知数列{a n }中，a 1＝3，2a n ＋1＝a 2n －2a n ＋4. (1)证明：a n ＋1>a n ； (2)证明：a n ≥2＋? ?? ??32n －1 ； (3)设数列???? ?? 1a n 的前 n 项和为S n ，求证：1－? ?? ??23n ≤S n <1. 证明 (1)∵2a n ＋1－2a n ＝a 2n －4a n ＋4＝(a n －2)2 ≥0， ∴a n ＋1≥a n ≥3，∴(a n －2)2>0， ∴a n ＋1>a n . (2)∵2a n ＋1－4＝a 2n －2a n ＝a n (a n －2)， ∴a n ＋1－2a n －2 ＝a n 2≥32， ∴a n －2≥32(a n －1－2)≥? ????322 (a n －2－2)≥…≥ ? ????32n －1(a 1－2)＝? ?? ??32n －1， ∴a n ≥2＋? ?? ??32n －1 . (3)∵2(a n ＋1－2)＝a n (a n －2)， ∴12（a n ＋1－2）＝1a n （a n －2）＝12? ????1 a n －2－1a n ， ∴1a n ＋1－2＝1a n －2－1a n ，∴1a n ＝1a n －2－1a n ＋1－2， ∴S n ＝1a 1 ＋1a 2 ＋…＋1a n ＝1a 1－2－1a 2－2＋1a 2－2－1a 3－2＋…＋1a n －2－1a n ＋1－2 ＝ 1a 1－2－1 a n ＋1－2 ＝1－ 1 a n ＋1－2 . ∵a n ＋1－2≥? ????32n ，∴0<1a n ＋1－2≤? ????23n ， ∴1－? ????23n ≤S n ＝1－1a n ＋1－2 <1. 探究提高 数列中不等式的证明本身就是放缩的结果，在证明过程中，要善于观察数列通项的特点，结合不等式的结构合理地选择放大与缩小，常见的两种放缩方式是：①放缩成等比数列求和形式；②放缩成裂项求和形式. 数列、不等式是高中数学的重点内容之一，也是初等数学与高等数学的衔接点之一.命题方式灵活，对学生的数学思维要求较高，具有良好的高考选拔功能.数列中不等式的证明，是浙江省高考数学试题的特色，解决问题方法独特，需要综合运用分析法、放缩法、反证法、数学归纳法、以及构造函数借助导数的工具、不等式的性质等解决问题. 1.(2017·绍兴仿真考试)已知数列{a n }满足，a 1＝1，a n ＝1a n ＋1－1 2. (1)求证：2 3≤a n ≤1； (2)求证：|a n ＋1－a n |≤1 3； (3)求证：|a 2n －a n |≤10 27. 证明 (1)用数学归纳法证明. ①当n ＝1时，命题显然成立； ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，有2 3≤a k ≤1成立， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝ 1 a k ＋12≤ 123＋ 12<1， a k ＋1＝1a k ＋12≥11＋12＝ 2 3， 即当n ＝k ＋1时也成立， 所以对任意n ∈N *，都有2 3≤a n ≤1. (2)当n ＝1时，|a 2－a 1|＝1 3， 当n ≥2时，∵? ? ???a n ＋12? ????a n －1＋12＝? ????a n ＋12·1a n ＝1＋12a n ≥1＋ 12＝32， ∴|a n ＋1－a n |＝????????1 a n ＋12－1a n －1＋12 ＝ |a n －a n －1| ? ? ???a n ＋12? ?? ??a n －1＋12 ≤23|a n －a n －1|≤…≤? ????23n －1|a 2－a 1| ＝13·? ?? ??23n －1<13. 综上所述，|a n ＋1－a n |≤1 3. (3)当n ＝1时，|a 2－a 1|＝13＝927<10 27； 当n ≥2时，由(2)知 |a 2n －a n |≤|a 2n －a 2n －1|＋|a 2n －1－a 2n －2|＋…＋|a n ＋1－a n |≤ 13??????? ????232n －2＋? ????232n －3＋…＋? ????23n －1 ＝? ????23n －1－? ????232n －1≤23－? ????233＝1027. 综上所述，|a 2n －a n |≤1027. 2.(2017·浙东北大联盟考试)已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝a n －a 2n n （n ＋1） ，数 列? ???????? ?a n ＋1a n 的前n 项和为S n .证明：当n ∈N *时， (1)0 (3)S n >n －1 2. 证明 (1)由于a n ＋1－a n ＝－a 2n n （n ＋1）≤0， 则a n ＋1≤a n . 若a n ＋1＝a n ，则a n ＝0，与a 1＝1 2矛盾， 故a n ≠0，从而a n ＋1 2>a 2>a 3>…>a n . 又a n ＋1a n ＝1－a n n （n ＋1）≥1－12n （n ＋1）>0， 则a n ＋1与a n 同号. 又a 1＝1 2>0，则a n ＋1>0，故0 则a n ＋1＝a n －a 2n n （n ＋1） 即1a n －1a n ＋1<－1n （n ＋1）＝1n ＋1－1 n ， 1 a n ＋1－1a n >1n －1 n ＋1. 当n ≥2时，1a n ＝? ????1a n －1a n －1＋? ????1a n －1－1a n －2＋…＋? ????1a 2－1a 1＋1a 1>1 n －1－1n ＋1n －2－ 1n －1＋…＋1－12＋1a 1＝3－1n ＝3n －1 n >0， 从而a n 当n ＝1时，a 1＝1 2＝ 13×1－1，从而a n ≤n 3n －1 . (3)由a n ＋1a n ＝1－a n n （n ＋1）≥1－a 1 n （n ＋1） ＝1－12? ????1n －1n ＋1(当且仅当n ＝1时，取等号)， 得S n ＝a 2a 1＋a 3a 2＋…＋a n ＋1a n ≥n －12? ?? ??1－1n ＋1>n －12. 3.(2017·杭州质量检测)已知数列{a n }的各项均为非负数，其前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *，都有a n ＋1≤a n ＋a n ＋2 2. (1)若a 1＝1，a 505＝2 017，求a 6的最大值； (2)若对任意n ∈N *，都有S n ≤1，求证：0≤a n －a n ＋1≤2n （n ＋1）. (1)解 由题意知a n ＋1－a n ≤a n ＋2－a n ＋1， 设d i ＝a i ＋1－a i (i ＝1，2，…，504)， 则d 1≤d 2≤d 3≤…≤d 504， 且d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 504＝a 505－a 1＝2 016. ∵d 1＋d 2＋…＋d 55≤d 6＋d 7＋…＋d 504499 ＝2 016－（d 1＋d 2＋…＋d 5） 499， ∴d 1＋d 2＋…＋d 5≤20， ∴a 6＝a 1＋(d 1＋d 2＋…＋d 5)≤21， a 6的最大值为21. (2)证明 若存在k ∈N *，使得a k 则由a n ＋1≤a n ＋a n ＋2 2，得a k ＋1≤a k －a k ＋1＋a k ＋2＜a k ＋2， 因此，从第k 项a k 开始，数列{a n }严格递增， 故a 1＋a 2＋…＋a n ≥a k ＋a k ＋1＋…＋a n ≥(n －k ＋1)a k . 对于固定的k ，当n 足够大时，必有a 1＋a 2＋…＋a n ＞1，与题设矛盾，∴{a n }不可能递增，即只能a n －a n ＋1≥0. 令b k ＝a k －a k ＋1(k ∈N *)， 由a k －a k ＋1≥a k ＋1－a k ＋2得b k ≥b k ＋1，b k ≥0， 故1≥a 1＋a 2＋…＋a n ＝(b 1＋a 2)＋a 2＋…＋a n ＝b 1＋2(b 2＋a 3)＋a 3＋…＋a n ＝… ＝b 1＋2b 2＋…＋nb n ＋na n ＋1≥(1＋2＋…＋n )b n ＝n （n ＋1） 2 b n ， ∴b n ≤2 n （n ＋1） ， 综上，对一切n ∈N *，都有0≤a n －a n ＋1≤2 n （n ＋1） . 4.(2017·温州模拟)数列{a n }的各项均为正数，且a n ＋1＝a n ＋2 a n －1(n ∈N *)，{a n }的 前n 项和是S n . (1)若{a n }是递增数列，求a 1的取值范围； (2)若a 1>2，且对任意n ∈N *，都有S n ≥na 1－1 3(n －1)， 证明：S n <2n ＋1. (1)解 由a 2>a 1?a 1＋2 a 1 －1>a 1， 得0 又由a 3>a 2?a 2＋2a 2－1>a 2?0 a 1－1<2， 得1 当1 (ⅱ)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，1 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋2 a k －1∈[22－1，2)?(1，2). 综上，可知1 a n －1>0，即{a n }是递增数列. 所以a 1的取值范围是1 (2)证明 因为a 1>2，可用数学归纳法证明：a n >2对任意n ∈N *恒成立. 于是a n ＋1－a n ＝2 a n －1<0，即{a n }是递减数列. 在S n ≥na 1－1 3(n －1)中，令n ＝2， 得2a 1＋2a 1－1＝S 2≥2a 1－1 3，解得a 1≤3， 故2 下证：①当2 3时， S n ≥na 1－1 3(n －1)恒成立. 事实上，当2 3时， 由于a n ＝a 1＋(a n －a 1)≥a 1＋? ? ? ??2－73＝a 1－13， 于是S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ≥a 1＋(n －1)? ? ???a 1－13＝na 1－13(n －1). 再证：②当7 37 3时，设a n ＝b n ＋2， 则由a n ＋1＝a n ＋2a n －1可得b n ＋1＝b n ＋2 b n ＋2－1， 得b n ＋1b n ＝b n ＋1b n ＋2≤b 1＋1b 1＋2≤2 3 ? ?? ?? 因为由73 于是数列{b n }的前n 项和T n ≤b 1· 1－? ?? ??23n 1－23<3b 1≤3， 故S n ＝2n ＋T n <2n ＋3＝na 1＋(2－a 1)n ＋3.(*) 令a 1＝7 3＋t (t >0)，则由(*)式得 S n 3， 只要n 充分大，就有S n 3(n －1)矛盾. 所以7 3 3 . 于是b n ＋1b n ＝b n ＋1b n ＋2≤b 1＋1b 1＋2≤47? ?因为2 ? ?? ≤13， 故数列{b n }的前n 项和T n ≤b 1· 1－? ????47n 1－47<7 3b 1<1， 所以S n ＝2n ＋T n <2n ＋1.
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