《高等代数》第五版
目录
第一章基本概念
1．1集合
1．2映射
1．3数学归纳法
1．4整数的一些整除性质
1．5数环和数域
第二章多项式
2．1一元多项式的定义和运算
2．2多项式的整除性
2．3多项式的最大公因式
2．4多项式的分解
2．5重因式
2．6多项式函数多项式的根
2．7复数和实数域上多项式
2．8有理数域上多项式
2．9多元多项式
2．10对称多项式
第三章行列式
3．1线性方程组和行列式
3．2排列
3．3n阶行列式
3．4子式和代数余子式行列式的依行依列展开3．5克拉默规则
第四章线性方程组
4．1 消元法
4．2矩阵的秩线性方程组可解的判别法
4．3线性方程组的公式解
4．4结式和判别式
第五章矩阵
5．1矩阵的运算
5．2可逆矩阵矩阵乘积的行列式
5．3矩阵的分块
第六章向量空间
6．1定义和例子
6．2子空间
6．3向量的线性相关性
6．4基和维数
6．5坐标
6．6向量空间的同构
6．7矩阵的秩齐次线性方程组的解空间
第七章线性变换
7．1线性映射
7．2线性变换的运算
7．3线性变换和矩阵
7．4不变子空间
7．5本征值和本征向量
7．6可以对角化的矩阵
第八章欧氏空间和酉空间
8．1向量的内积
8．2正交基
8．3正交变换
8．4对称变换和对称矩阵
8．5酉空间
8．6酉变换和对称变换
第九章二次型
9．1二次型和对称矩阵
9．2复数域和实数域上的二次型
9．3正定二次型
9．4主轴问题
9．5双线性函数
第十章群，环和域简介
10．1群
10．2剩余类加群
10．3环和域
附录向量空间的分解和矩阵的若尔当标准形式§1向量空间的准素分解凯莱一哈密顿定理
§2线性变换的若尔当分解
§3幂零矩阵的标准形式
§4若尔当标准形式
索引
数学分析上册(第4版下面向21世纪课程教材) 定价：33.2元
作者:华东师范大学数学系
出版社：高等教育出版社
ISBN：9787040295665
出版时间：2011-06-01
第一章实数集与函数
1 实数
一实数及其性质
二绝对值与不等式
2 数集？确界原理
一区间与邻域
二有界集？确界原理
3 函数概念
一函数的定义
二函数的表示法
三函数的四则运算
四复合函数
五反函数
六初等函数
4 具有某些特性的函数
一有界函数
二单调函数
三奇函数和偶函数
四周期函数
第二章数列极限
1 数列极限概念
2 收敛数列的性质
3 数列极限存在的条件
第三章函数极限
1 函数极限概念
一x趋于∞时函数的极限
二x趋于x0时函数的极限
2 函数极限的性质
3 函数极限存在的条件
4 两个重要的极限
5 无穷小量与无穷大量
一无穷小量
二无穷小量阶的比较
三无穷大量
四曲线的渐近线
第四章函数的连续性
1 连续性概念
一函数在一点的连续性
二间断点及其分类
三区间上的连续函数
2 连续函数的性质
一连续函数的局部性质
二闭区间上连续函数的基本性质三反函数的连续性
四一致连续性
3 初等函数的连续性
一指数函数的连续性
二初等函数的连续性
第五章导数和微分
1 导数的概念
一导数的定义
二导函数
三导数的几何意义
2 求导法则
一导数的四则运算
二反函数的导数
三复合函数的导数
四基本求导法则与公式
3 参变量函数的导数
4 高阶导数
5 微分
一微分的概念
二微分的运算法则
三高阶微分
四微分在近似计算中的应用
第六章微分中值定理及其应用
1 拉格朗日定理和函数的单调性一罗尔定理与拉格朗日定理
二单调函数
2 柯西中值定理和不定式极限
一柯西中值定理
二不定式极限
3 泰勒公式
一带有佩亚诺型余项的泰勒公式
二带有拉格朗日型余项的泰勒公式三在近似计算上的应用
4 函数的极值与最大(小)值
一极值判别
二最大值与最小值
5 函数的凸性与拐点
6 函数图像的讨论
7 方程的近似解
第七章实数的完备性
1 关于实数集完备性的基本定理一区间套定理
二聚点定理与有限覆盖定理
三实数完备性基本定理之间的等价性2 上极限和下极限
第八章不定积分
1 不定积分概念与基本积分公式一原函数与不定积分
二基本积分表
2 换元积分法与分部积分法
一换元积分法
二分部积分法
3 有理函数和可化为有理函数的不定积分一有理函数的不定积分
二三角函数有理式的不定积分
三某些无理根式的不定积分
第九章定积分
1 定积分概念
一问题提出
二定积分的定义
2 牛顿-莱布尼茨公式
3 可积条件
一可积的必要条件
二可积的充要条件
三可积函数类
4 定积分的性质
一定积分的基本性质
二积分中值定理
5 微积分学基本定理？定积分计算(续)
一变限积分与原函数的存在性
二换元积分法与分部积分法
三泰勒公式的积分型余项
6 可积性理论补叙
一上和与下和的性质
二可积的充要条件
第十章定积分的应用
1 平面图形的面积
2 由平行截面面积求体积
3 平面曲线的弧长与曲率
一平面曲线的弧长
二曲率
4 旋转曲面的面积
一微元法
二旋转曲面的面积
5 定积分在物理中的某些应用
一液体静压力
二引力
三功与平均功率
6 定积分的近似计算
一梯形法
二抛物线法
第十一章反常积分
1 反常积分概念
一问题提出
二两类反常积分的定义
2 无穷积分的性质与收敛判别
一无穷积分的性质
二非负函数无穷积分的收敛判别法
三一般无穷积分的收敛判别法
3 瑕积分的性质与收敛判别
附录Ⅰ微积分学简史
附录Ⅱ实数理论
一建立实数的原则
二分析
三分划全体所成的有序集
四R中的加法
五R中的乘法
六R作为Q的扩充
七实数的无限小数表示
八无限小数四则运算的定义
附录Ⅲ积分表
习题答案
索引
人名索引
数学分析下册(第4版下面向21世纪课程教材) 定价：34.9元
作者:华东师范大学数学系
出版社：高等教育出版社
出版时间：2010-6-1
ＩＳＢＮ：9787040295672
第十二章数项级数
1 级数的收敛性
2 正项级数
一正项级数收敛性的一般判别原则
二比式判别法和根式判别法
三积分判别法
四拉贝判别法
3 一般项级数
一交错级数
二绝对收敛级数及其性质
三阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
第十三章函数列与函数项级数
1 一致收敛性
一函数列及其一致收敛性
二函数项级数及其一致收敛性
三函数项级数的一致收敛性判别法
2 一致收敛函数列与函数项级数的性质
第十四章幂级数
1 幂级数
一幂级数的收敛区间
二幂级数的性质
三幂级数的运算
2 函数的幂级数展开
一泰勒级数
二初等函数的幂级数展开式
3 复变量的指数函数？欧拉公式
第十五章傅里叶级数
1 傅里叶级数
一三角级数？正交函数系
二以2π为周期的函数的傅里叶级数三收敛定理
2 以21为周期的函数的展开式
一以21为周期的函数的傅里叶级数二偶函数与奇函数的傅里叶级数
3收敛定理的证明
第十六章多元函数的极限与连续
1 平面点集与多元函数
一平面点集
二R2上的完备性定理
三二元函数
四n元函数
2 二元函数的极限
一二元函数的极限
二累次极限
3 二元函数的连续性
一二元函数的连续性概念
二有界闭域上连续函数的性质
第十七章多元函数微分学
1 可微性
一可微性与全微分
二偏导数
三可微性条件
四可微性几何意义及应用
2 复合函数微分法
一复合函数的求导法则
二复合函数的全微分
3 方向导数与梯度
4 泰勒公式与极值问题
一高阶偏导数
二中值定理和泰勒公式
三极值问题
第十八章隐函数定理及其应用
1 隐函数
一隐函数的概念
二隐函数存在性条件的分析
三隐函数定理
四隐甬数求导举例
2 隐函数组
一隐函数组的概念
二隐函数组定理
三反函数组与坐标变换
3 几何应用
一平面曲线的切线与法线
二空间曲线的切线与法平面
三曲面的切平面与法线
4 条件极值
第十九章含参量积分
含参量正常积分
2 含参量反常积分
一一致收敛性及其判别法
二含参量反常积分的性质
3 欧拉积分
一■函数
二B函数
三■函数与B函数之间的关系
第二十章曲线积分
1 第一型曲线积分
一第一型曲线积分的定义
二第一型曲线积分的计算
2 第二型曲线积分
一第二型曲线积分的定义
二第二型曲线积分的计算
三两类曲线积分的联系
第二十一章重积分
1 二重积分的概念
一平面图形的面积
二二重积分的定义及其存在性
三二重积分的性质
2 直角坐标系下二重积分的计算
3 格林公式？曲线积分与路线的无关性一格林公式
二曲线积分与路线的无关性
4 二重积分的变量变换
一二重积分的变量变换公式
二用极坐标计算二重积分
5 三重积分
一三重积分的概念
二化三重积分为累次积分
三三重积分换元法
6 重积分的应用
一曲面的面积
二质心
三转动惯量
四引力
7 n重积分
8 反常二重积分
一无界区域上的二重积分
二无界函数的二重积分
9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明第二十二章曲面积分
1 第一型曲面积分
一第一型曲面积分的慨念
二第一型曲面积分的计算
2 第二型曲面积分
一曲面的侧
二第二型曲面积分的概念
三第二型曲面积分的计算
四两类曲面积分的联系
3 高斯公式与斯托克斯公式
一高斯公式
二斯托克斯公式
4 场论初步
一场的概念
二梯度场
三散度场
四旋度场
五管量场与有势场
第二十三章向量函数微分学
1 n维欧氏空间与向量函数
一n维欧氏空间
二向量函数
三向量函数的极限与连续
2 向量函数的微分
一可微性与可微条件
二可微函数的性质
三黑赛矩阵与极值
3 反函数定理和隐函数定理
一反函数定理
二隐函数定理
三拉格朗日乘数法
习题答案
索引
教育科学系14级小学教育（科学与数学）专业2014—2015学年度春学期 期末考试《高等代数Ⅱ》试卷(B ) 试卷说明：1.本试卷共2页，4个大题，满分100分，120分钟完卷； 2.试题解答全部书写在本试卷上。 班号： 学号 姓名 一、选择题：（每题3分，共15分） 1．当λ=（ ）时，方程组1231 231 222x x x x x x λ++=??++=?，有无穷多解。 A 1 B 2 C 3 D 4 2．若向量组中含有零向量，则此向量组（ ）。 A 线性相关 B 线性无关 C 线性相关或线性无关 D 不一定 3．设α是n 阶可逆矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，在下列矩阵中，α不是（ ） 的特征向量。 A 2()A E + B -3A C *A D T A 4．若A 为n 阶实对称矩阵，P 为n 阶正交阵，则1P A P -为（ ）。 A 实对称阵 B 正交阵 C 非奇异阵 D 奇异阵 5．设矩阵 A ， B ， C 均为n 阶矩阵，则矩阵A B 的充分条件是（ ）。 A A 与 B 有相同的特征值 B A 与B 有相同的特征向量 C A 与B 与同一矩阵相似 D A 一定有n 个不同的特征值 1．已知向量组)4,3,2,1(1=α，)5,4,3,2(2=α，)6,5,4,3(3=α，)7,6,5,4(4=α，则向量=+-+4321αααα 。 2．若120s ααα++ +=，则向量组12,, ,s ααα必线性 。 3．设向量空间1212{(,, )|0,}n n i V x x x x x x x R =++ +=∈，则V 是 维 空间。 4．A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为1，2，3，1B =-，则*A B B += 。 5．设矩阵A 满足条件2560A A E -+=，则矩阵A 的特征值 是 。 6.二次型yz xz xy z y x z y x f 222),,(222---++=的矩阵是____________。 二、填空题：（每题3分，共27分）
高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分） 1、线性空间[]P x 的两个子空间的交() ()11L x L x -+= 2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是 3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是 4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()2 1,,1,λλ λ+ 则其特征矩阵E A λ-的标准形是 5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是： 二、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构： （A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。 2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：
（A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。 3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0; A A B A λλ≠是一个非零常数； ()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。 4、（ ）设实二次型 f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为： 222 1122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是： ()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。 5、（ ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当 标准形是： ()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---?? ?? ?? ? ? ? --- ? ? ? ? ? ?---?????? ()D 以上各情形皆有可能。 三、 是非题（每小题2分，共10分） （请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”） 1、（ ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}1 20V V = 则12V V V =⊕。 2、（ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。
高等代数习题 第一章基本概念 §集合 1、设Z是一切整数的集合，X是一切不等于零的有理数的集合．Z是不是X的子集 2、设a是集A的一个元素。记号{a}表示什么 {a} A是否正确 3、设 写出和 . 4、写出含有四个元素的集合{ }的一切子集． 5、设A是含有n个元素的集合．A中含有k个元素的子集共有多少个 6、下列论断那些是对的，那些是错的错的举出反例，并且进行改正． (i) (ii) (iii)
(iv) 7．证明下列等式： (i) (ii) (iii) §映射 1、设A是前100个正整数所成的集合．找一个A到自身的映射，但不是满射． 2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射． 3、是不是全体实数集到自身的映射 4．设f定义如下： f是不是R到R的映射是不是单射是不是满射 5、令A={1,2,3}.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射 6、设a ,b是任意两个实数且a 7、举例说明，对于一个集合A到自身的两个映射f和g来说，f g与 g f一般不相等。 8、设A是全体正实数所成的集合。令 (i)g是不是A到A的双射 (ii)g是不是f的逆映射 (iii)如果g有逆映射，g的逆映射是什么 9、设是映射，又令，证明 (i)如果是单射，那么也是单射； (ii)如果是满射，那么也是满射； (iii)如果都是双射，那么也是双射，并且 10．判断下列规则是不是所给的集合A的代数运算: 集合 A 规则1 2 3 全体整数 全体整数 全体有理数 b a b a+ → |) , ( 4 全体实数 §数学归纳法 1、证明: 2、设是一个正整数.证明 ,是任意自然数. 3、证明二项式定理: 是个元素中取个的组合数. 这里 ， 4、证明第二数学归纳法原理. 5、证明,含有个元素的集合的一切子集的个数等于。 §整数的一些整除性质 1、对于下列的整数 ,分别求出以除所得的商和余数: ; ; ; . 大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x 沈阳农业大学理学院第一学期期末考试 《高等代数》试卷(1) 1 ?设 f (x) = x 4 +x ? +4x - 9 ,贝H f (一3) = 69 .. 2?当 t = _2,-2 . 时，f(x)=x 3 —3x+t 有重因式。 3.令f(x),g(x)是两个多项式，且f(x 3) xg(x 3)被x 2 x 1整除，则 f(1)=_0_^ g(1)= 0 . 0 6 2 =23 。 1 1 — -2 0 1 x , 2x 2 2x 3 x 4 二 0 7. 2x 1 x 2 -2x 3 -2x 4 二 0 的一般解为 x( ~'X 2 _'4x 3 ~3x 4 = 0 题号 -一- -二二 -三 四 五 六 七 总分 得分 、填空(共35分，每题5 分) 得分 4.行列式 1 -3 5. ■’4 10" 1 0 3 -1、 -1 1 3 '9 -2 -1 2 1 0 2」 2 0 1 < 9 9 11 <1 3 4 丿 6. z 5 0 0 1 -1 <0 2 1； 0-2 3 矩阵的积 c 亠5 刘=2x3 X4 4 x3, x4任意取值。X2 二-2x^ --x4 、(10分)令f(x),g(x)是两个多项式。求证 当且仅当(f(x) g(x), f(x)g(x))=1。 证：必要性.设(f(x) g(x), f (x)g(x)) =1。(1% 令 p(x)为 f (x) g (x), f (x)g(x)的不可约公因式,(1% 则由 p(x) | f (x)g (x)知 p(x)| f (x)或 p(x) |g(x) o (1%) 不妨设 p(x) | f (x)，再由 p(x)|(f(x) g (x))得 p(x) | g(x)。故 p(x) |1 矛盾。(2%) 充分性.由(f (x) g(x), f (x)g(x)^1知存在多项式u(x), v(x)使 u(x)(f(x) g(x)) v(x)f(x)g(x)=1,(2%) 从而 u(x)f(x) g(x)(u(x) v(x) f(x)) =1,(2%) 故(f (x), g(x)) =1 o (1%) ax 「bx 2 2x 3 =1 ax 1 (2 b -1)x 2 3x 3 =1 ax 1 bx 2 - (b 3)X 3 = 2b _1 有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。 解： a b 2 1 a b 2 1 a 2b -1 3 1 T 0 b —1 1 0 b J* b+3 2b-1 , b+1 2b-2 ‘ (5%) a 2 - b 0 1 0 b -1 1 0 L 0 0 b+1 2b —2 当b =1时，有无穷解：X 3 = 0, X 2 = 1 - a%,人任意取值; 当a =0,b =5时，有无穷解：x 1 = k,x^ --3,x^ 4 ，k 任意取值；(3%) 当b = T 或a =0且b =二1且b = 5时，无解。(4%) 三、(16分)a,b 取何值时，线性方程组 当a(b 2 T) = 0时，有唯一解: 5-b a(b 1) X 2 2 b+1 x3 = 2b -2 b 1 ；4%) (f(x),g(x)) =1 含数学分析和高等代数两门课 数 学 分 析（I ） （1）集合与函数 实数概述，绝对值不等式，区间与邻域，有界集，确界原理，函数概念。 （2）数列极限 数列。数列极限的N -∑定义。收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算。子列。数列极限存在的条件；单调有限定理、柯西收敛原理。????????????? ??+n n 11、STOLZ 定理。 （3）函数极限 函数极限概念（x x x →∞→与。瞬时函数的极限。δ-∑定义、M -∑定义）函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算。 函数极限存在的条件：归结原则、柯西准则。 两个重要极限：1sin lim ,)11(lim 0==+→∞→x x e x x x x 无穷小量与无穷大量及其阶的比较。 （4）函数的连续性 函数在一点的连续性。单侧连续性。间断点及其分类。在区间上连续的函数。连续函数的局部性质：有界性、保号性、连续函数的有理运算、复合函数的连续性。闭区间上连续函数的性质：有界性、取得最大最小值性、介值性、一致连续性。初等函数的连续性。 （5）极限与连续性（续） 实数完备性的基本定理：区间套定理、数列的柯西收敛准则、聚点原理、致密性定理、有限覆盖定理、实数完备性基本定理的等价性。闭区间上连续函数性质的说明。实数系。压缩映射原理。 （6）导数与微分 引入问题（切线问题与瞬时速度问题）。导数的定义。单侧导数。导函数。导数的几何意义。和、积、商的导数。反函数的导数。复合函数的导数。初等函数的导数。 微分概念。微分的几何意义。微分的运算法则。一阶微分形式的不变性。微分在近似 高等代数(下）期末考试试卷及答案（B 卷） 一．填空题（每小题3分，共21分） 1. 22 3[]-2-31,(-1),(-1)P x x x x x 在中,在基下的坐标为 2. 设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλL ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为 . 3.'=n 在数域P 上的线性空间P[x]中,定义线性变换:(,则的值域())()A A f x f x A ()-n P[x]= ,的核(0)= 1A A A 4．已知3阶λ-矩阵A （λ）的标准形为21 0 00 00 0λλλ?? ? ? ?+?? ，则A （λ）的不变 因子________________________； 3阶行列式因子 D 3 =_______________. 5. 若4阶方阵A 的初等因子是（λ-1）2，（λ-2），（λ-3），则A 的若当标准形 J= 6.在n 维欧氏空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,,n ηηηL 下的坐标是 12(,,,)n x x x L ，那么(,)i ξη＝ 7. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是 ． 二. 选择题( 每小题2分，共10 分) 1.( ) 已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间， 则dim(V)为 (A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4 2. ( ) 下列哪个条件不是n 阶复系数矩阵A 可对角化的充要条件 (A) A 有n 个线性无关的特征向量； (B) A 的初等因子全是1次的； (C) A 的不变因子都没有重根； (D) A 有n 个不同的特征根； 3．( ) 设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A 10-11学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷 厦门大学《高等代数》课程试卷 数学科学学院 各 系 2010 年级 各 专业 主考教师：杜妮、林鹭 试卷类型：（A 卷） 2011.1.13 一、 单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分） 1) 设b 为 3 维行向量， 123123 V {(,,)|(,,)} x x x x x x b == ，则____。C A)对任意的b ，V 均是线性空间；B)对任意的b ，V 均不是线性空间；C)只有当 0 b = 时，V 是线性空间；D)只有当 0 b 1 时，V 是线性空间。 2)已知向量组 I ： 12 ,,..., s a a a 可以由向量组 II ： 12 ,,..., t b b b 线性表示，则下列叙述正确的是____。 A A)若向量组 I 线性无关，则s t ￡ ；B)若向量组 I 线性相关，则s t > ； C)若向量组 II 线性无关，则s t ￡ ；D)若向量组 II 线性相关，则s t > 。 3)设非齐次线性方程组AX b = 中未定元个数为 n ，方程个数为m ，系数矩阵 A 的秩为 r ，则____。 D A)当r n < 时，方程组AX b = 有无穷多解； B) 当r n = 时，方程组AX b = 有唯一解；C)当r m < 时，方程组AX b = 有解；D)当r m = 时，方程组AX b = 有解。 4) 设 A 是m n ′ 阶矩阵，B 是n m ′ 阶矩阵，且AB I = ，则____。A A)(),() r A m r B m == ；B)(),() r A m r B n == ；C)(),() r A n r B m == ； D)(),() r A n r B n == 。 5) 设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换j 在基 123 ,, x x x 下的表示矩阵是 111 101 111 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ，则j 在基 123 ,2, x x x 下的表示矩阵是____。C A) 121 202 121 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ； B) 1 2 11 22 1 2 11 0 11 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ； C)11 22 121 0 121 ?? ?÷ ? ÷ ?÷ è? ；D) 1 2 1 2 11 202 11 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? 。 6) 设j 是 V 到 U 的线性映射，dim V ,dim U n m == 。若m n < ，则j ____。B A)必是单射； B)必非单射； C)必是满射；D)必非满射。 浙江师范大学硕士研究生入学考试初试科目 考试大纲 科目代码、名称: 904数学分析与高等代数 适用专业: 420104学科教学（数学） 一、考试形式与试卷结构 （一）试卷满分及考试时间 本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。 （二）答题方式 答题方式为闭卷、笔试。 试卷由试题和答题纸组成；答案必须写在答题纸相应的位置上；答题纸一般由考点提供。 （三）试卷内容结构 各部分内容所占分值为： 数学分析约100分 高等代数约50分 （四）试卷题型结构 计算题：7大题，约100分。 分析论述题：3大题，约50分。 二、考查目标（复习要求） 全日制攻读教育硕士专业学位入学考试数学分析与高等代数考试内容包括数学分析、高等代数二门数学学科基础课程，要求考生系统掌握相关学科的基本知识、基础理论和基本方法，理解数学分析和高等代数中反映出的数学思想与方法，并能运用相关理论和方法分析、解决具有一定实际背景的数学问题。 三、考查范围或考试内容概要 第一部分：数学分析 考查内容 1、数列极限 数列极限概念、收敛数列的定理、数列极限存在的条件 2、函数极限 函数极限概念、函数极限的定理、两个重要极限、无穷大量与无穷小量 3、函数的连续性 连续性概念、连续函数的性质 4、导数与微分 导数的概念、求导法则、微分、高阶导数与高阶微分 5、中值定理与导数应用 微分学基本定理、函数的单调性与极值 6、不定积分 不定积分概念与基本积分公式、换元法积分法与分部积分法 7、定积分 定积分概念、可积条件、定积分的性质、定积分的计算 8、定积分的应用 平面图形的面积、旋转体的侧面积 9、级数 正项级数、函数项级数、幂级数、傅里叶级数 10、多元函数微分学 偏导数与全微分、复合函数微分法、高阶偏导数与高阶全微分、泰勒公式与极值问题 第二部分：高等代数 考查内容 多项式、行列式、线性方向组、矩阵、线性空间、线性变换 参考教材或主要参考书： 华东师范大学编：《数学分析》（上、下），高等教育出版社，2001年，第三版。 北京大学编：《高等代数》，高等教育出版社，2003年，第三版。 四、样卷 见往年试卷。 高等代数在数学分析解题中的某些应用分析 摘要：作为高等教育的基础性课程，高等代数的内容会伴随整个大学时代的数学学习，但是由于它的内容比较抽象，因此它也是比较难的一门学科。通过对高等代数在数学分析题中的某些应用分析，进一步探讨高等代数不同的解题方法和思维方式，以期能够为提高学生解题能力提供建设性的意见与建议。 关键词：高等代数；数学分析；多项式 高等代数涉及多项式代数、矩阵代数、线性空间等方面，采用的是逻辑严谨的数学公理化方法，结构严密的程序化方法，很好地与古希腊教学思想结合在一起。但是，它也是学生的学习难点，也是教师较难教授的一门学科。虽然大学生较高中生而言活跃了许多，但是由于高等教育的自由度较大，老师学生几乎没有什么约束力，所以学生的听讲课率并不高，那么教学模式也仅仅局限于“教师提问，学生回答”这种言语交流活动中。当然很难锻炼学生的解题能力，也不利于学生今后的发展。 一、加强高等代数在数学分析题中应用的必要性 不同的数学解题方法会启发学生不同的思维能力会产 生不一样的教学效果。对于各种各样复杂的数学题，提倡不 同的解题方法是很有必要的。如果能够加强高等数学在数学解题分析中的应用，至少会产生以下两大好的效果。 1.有利于增强学生的主体地位 从小学以来，学生一直都是为了考试、升学而学习，变成了应试教育的工具。但是高等教育会给学生更多的自由空间，让学生有更多的权利来支配自己的时间与精力。在高等代数教学中培养学生的解题能力，在学生自主地学习、探讨过程中就能够充分展现他们的主体地位，而不再是被动地接受知识了。 2.有利于激发学生的创新思维 探索是创新的基础，只有带着问题去思考、去探索，才会有新的发现，否则便是无谓的思索。对于高等代数那种集数理性与逻辑性于一体的学科而言，教师简单地把概念性的东西传授给学生是不可以的，那样会使学生显得很被动，难以构建新的认知结构。长期以来，在应试教育的大背景下，数学教学中一直过分强调数学知识的系统性、严谨性和对学生的解题训练，却忽视了引导学生去学习了解数学思想和方法发生、发展的过程，数学课堂上缺少在现实情境中发现问题和解决问题的能力培养。这样的教学方式虽然培养了大批解题速度快、擅于解高难度题的学生，但是他们的实践能力和创新意识却不够。接受高等教育的学生即将面向社会，教学应该更加注重学生的主体意识以及所教知识的实践性。高 高等代数与数学分析的学习体会 摘要：作为数学系的学生，高等代数和数学分析，是我们一进大学就开始学习的两门最重要的课程。同时它们也是数学中最基础的两门课程，几乎所有的后学课程都要用到它们。在本文中，我就自己对这两门课程的基本内容，学习体会，以及这两门课程与后学课程的联系三个方面谈了一些自己的看法。 高等代数部分 基本内容： 在谈自己对高等代数的学习体会之前，我想先回顾一下高等代数的基本内容。我们大一所学习的高等代数，主要包括两部分：多项式代数和线性代数。 其中线性代数部分又可以分成：行列式，线性方程组，矩阵，二次型，线性空间，线性变换， —矩阵，欧几里得空间，双线性函数与辛空间等一些章节。而在这些章节中，又是以向量理论，线性方程理论和线性变换的相关理论为核心的。 如果和以前学过的初等代数相比，我觉得，高等代数在初等代数的基础上把研究对象作了进一步的扩充。它引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。 简单体会： 记得大一刚学习高等代数的时候，那时感觉自己真的学得云里雾里，因为那时感觉它实在是太抽象了而无法理解。但是通过不断地对它的学习，慢慢地开始有好转，开始感觉它不再那么陌生，并对它有了初步的认识。而当我学完抽象代数之后，我发现自己对高等代数的有了更好的理解。其实高等代数中的每个不同的章节，都是由一个集合再加上一套运算规则，进而构成的一个代数结构。 例如，第一章多项式，我们所有的讨论都是在某个数域P上的一元多项式环中进行。其中的某个数域P中的一元多项式全体，就相当于某个集合，在这个集合的基础上再加上关于多项式的运算规则，就构成了一个代数结构。 因为高等代数具有这种结构，所以在学习每种代数结构时，我们总会先学这个代数结构是建立在那个集合上以及它的运算规则是怎样定义的。因此，在高等代数学习中对每种代数 《高等代数》（上）期末试卷（A ） 一、填空题（每空3分，共15分） 1．设方阵1112223 3 3b x c A b x c b x c ????=??????，1 112 223 3 3b y c B b y c b y c ?? ??=? ????? ，且2,3A B =-=， 则行列式2A B += . 2.已知A 是一个34?矩阵，且秩()2A =，而102020103B ????=?????? ，则秩()BA = . 3. 多项式2005 20042 322006()(54)31(8112)f x x x x x x ??=--+-+?? 的所有系数之和 ＝ ，常数项＝ . 4. ()f x 为多项式，用1x -除时余式为3，用3x -除时余式为5，则用(1)(3)x x --除时余式为 . 二、选择题（每题3分，共12分） 1．设n 维向量组12345,,,,ααααα的秩为3，且满足135230,ααα+-= 242,αα=则向量组的一个极大无关组为（ ） A ． 125,,ααα； B ． 124,,ααα； C. 245,,ααα； D. 135,,ααα. 2. A 是m n ?矩阵，B 是n m ?矩阵，则（ ） A ． 当m n >时，必有行列式0A B ≠； B ． 当m n >时，必有行列式0AB =； C ． 当n m >时，必有行列式0AB ≠； D ． 当n m >时，必有行列式0AB =. 3．设,A B 都是可逆矩阵，则矩阵0A C B ??????的逆矩阵为（ ） A ． 1 1 10A C B ---?? ????； B ． 1110B C A ---?????? ； 含数学分析和高等代数两门课 数 学 分 析（I ） （1）集合与函数 实数概述，绝对值不等式，区间与邻域，有界集，确界原理，函数概念。 （2）数列极限 数列。数列极限的N -∑定义。收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算。子列。数列极限存在的条件；单调有限定理、柯西收敛原理。????????????? ??+n n 11、STOLZ 定理。 （3）函数极限 函数极限概念（x x x →∞→与。瞬时函数的极限。δ-∑定义、M -∑定义）函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算。 函数极限存在的条件：归结原则、柯西准则。 两个重要极限：1sin lim ,)11(lim 0==+→∞→x x e x x x x 无穷小量与无穷大量及其阶的比较。 （4）函数的连续性 函数在一点的连续性。单侧连续性。间断点及其分类。在区间上连续的函数。连续函数的局部性质：有界性、保号性、连续函数的有理运算、复合函数的连续性。闭区间上连续函数的性质：有界性、取得最大最小值性、介值性、一致连续性。初等函数的连续性。 （5）极限与连续性（续） 实数完备性的基本定理：区间套定理、数列的柯西收敛准则、聚点原理、致密性定理、有限覆盖定理、实数完备性基本定理的等价性。闭区间上连续函数性质的说明。实数系。压缩映射原理。 （6）导数与微分 引入问题（切线问题与瞬时速度问题）。导数的定义。单侧导数。导函数。导数的几何意义。和、积、商的导数。反函数的导数。复合函数的导数。初等函数的导数。 微分概念。微分的几何意义。微分的运算法则。一阶微分形式的不变性。微分在近似 计算中的应用。高阶导数与高阶微分。由参量方程所表示的曲线的斜率。 （7）中值定理与导数的应用 费马(Fermat)定理。罗尔（Rolle）中值定理。拉格朗日（Lagrange）中值定理。柯西中 值定理。泰勒（Taylor）定理（Taylor公式及其拉格朗日型余项、皮亚诺余项）、泰勒公式 的某些应用。 函数的单调性的判别法。极值。最大值与最小值。函数的凸性。拐点。渐近点。函数 图象的讨论。 数学分析（II） （8）不定积分 原函数与不定积分概念。基本积分表。线性运算法则。换元积分法。分部积分法。有理 函数的积分。三角函数有理式的积分。若干初等可积函数。 （9）定积分 引入问题（曲边梯形面积与变力作功）。定积分定义。定积分的几何意义。可积的必要 条件。上下和及其性质。可积主要条件。几乎处处连续函数。可积函数类：在闭区间上连续 函数、在闭区间上只有有限个间断点的有界函数、单调有界函数。 定积分性质：线性运算法则、区间可加性、不等式性质、绝对可积性、积分中值定理、第二积分中值定理。微积分基本定理。牛顿—莱布尼兹公式。换元积分法。分部积分法。近 似求积。用活动上限定积分定义对数函数，并导出对数函数和指数函数的基本性质。 （10）定积分的应用 简单平面图形面积。曲线的弧长与弧微分。曲率。已知截面面积函数的立体体积。旋转体体积 沈阳农业大学理学院第一学期期末考试 《高等代数》试卷（1） 一、 填空（共35分，每题5分） 1．设4 2 ()49f x x x x =++-, 则(3)f -= 69_ .. 2．当t = _2,-2 .时, 3()3f x x x t =-+有重因式。 3. 令 ()f x ,()g x 是两个多项式, 且33()()f x xg x +被21x x ++整除, 则 (1)f = 0_ , (1)g = _0 . 4. 行列式 31 0210 62 101132 1 -=-- 23 。 5. 矩阵的积41010311 1321022 011 34?? ? --?? ?= ? ??? ??? 9219911--?? ???。 6. 1 500031021-?? ?= ? ??? 1 05011023?? ? ?- ? ? - ??? 7. 1234123412342202220430 x x x x x x x x x x x x +++=?? +--=??---=?的一般解为 134234523423x x x x x x ? =+??? ?=--?? , 34,x x 任意取值。 二、（10分）令()f x ,()g x 是两个多项式。求证((),())1f x g x =当且仅当 (()(),()())1f x g x f x g x +=。 证：必要性. 设(()(),()())1f x g x f x g x +≠。（1%） 令()p x 为()(),()()f x g x f x g x +的不可约公因式，（1%）则由()|()()p x f x g x 知 ()|()p x f x 或()|()p x g x 。(1%) 不妨设()|()p x f x ，再由()|(()())p x f x g x +得()|()p x g x 。故()|1p x 矛盾。(2%) 充分性. 由(()(),()())1f x g x f x g x +=知存在多项式(),()u x v x 使 ()(()())()()()1u x f x g x v x f x g x ++=,(2%) 从而()()()(()()())1u x f x g x u x v x f x ++=,(2%) 故((),())1f x g x =。(1%) 三、(16分),a b 取何值时，线性方程组 有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。 解： 21212131011032100122201011000122a b a b a b b a b b b b b a b b b b ???? ? ?-→- ? ? ? ?+-+-????-?? ?→- ? ?+-?? (5%) 当2 (1)0a b -≠时，有唯一解：1235222 , (1)+11 b b x x x a b b b ---= ==++，； (4%) 当1b =时，有无穷解：3210,1,x x ax ==-1x 任意取值； 当a 0,5b ==时，有无穷解：14 12333,,,x k x x k ==-=任意取值；(3%) 当1b =-或0 1 5a b b =≠±≠且且时，无解。(4%) 四、(10分)设12,,...,n a a a 都是非零实数，证明 证: 对n 用数学归纳法。当n=1时 , 1111 1 1(1)D a a a =+=+, 结论成立(2%); 假设n-1时成立。则n 时 数学与应用数学专业本科期末考试试卷（A ） 课程名称： 高等代数 任课教师： 考试时间： 120 分钟 考试性质（学生填写“√”）：正常考试（ ）缓考补考（ ）重修（ ）提前修读（ ） 一、填空题（每小题2分） 1. 设n x f =?))((, 且)()(x f x g , )()(x g x f , 则))((x g ?=_________． 2. 在数域P 上有根, 但是在P 上不可约的多项式是__________多项式． 3. )(x f 是首项系数为1的实系数三次多项式. 若0)()3(==i f f , 则 )(x f =_________________． 4. 在行列式55 5115 11a a a a 中, 含有32a 且带有负号的项共有_________项． 5. 在行列式131402 1 b a -中, b 的代数余子式为-24, 则a =________． 6. 当矩阵A=______时, 秩A=0. 7. 已知A 为三阶矩阵, 且A =1, 则A 2-=_________． 8. 向量组{k ααα,,,21 }和{m βββ,,,21 }的秩分别是s 和t , 则{k αα,,1 , m ββ,,1 }的秩r 与s ,t 适合关系式____________． 9. 设A 为n 阶方阵, X 1, X 2均为方程组AX=B 的解, 且21X X ≠, 则A =____． 10. 设A, B 都是三阶方阵, 秩A=3, 秩B=2, 则秩(AB)=____________． 二、单选题（每小题2分） ）. (A) S 1={Z n m m n ∈,2 }; (B) S 2={Z b a bi a ∈+,}; (C) S 3={Z z nz ∈}; (D) S 4={Q b a b a ∈+,2}． 2. 设0)(≠x f , 且)())(),((x d x g x f =, )()()()()(x d x v x g x u x f =+, 则错误的结．．．．论．是( ). (A) 1)) () (,)()(( =x d x g x d x f ; (B) )())(),((x d x v x u =; (C) )())(),()((x d x g x g x f =+; (D) )())(),((m m m x d x g x f =． 3. 设行列式D 1=3332 31232221 13 1211 a a a a a a a a a , D 2=31 32 33 21222311 1213 a a a a a a a a a ,则下面结论正确的有( ). (A)D 2=－D 1； (B)D 2=0； (C)D 2与D 1无关； (D)D 2=D 1． 4. )(x f = x x x x x 1 11 1231 11212-中 4x 的系数为（ ） (A) 1, (B) 2, (C) 0, (D) 3． 5. 22)13)()(1()(--+=x i x x x f 在复数域上的标准分解式是（ ） (A)22)13)()(1(--+x i x x ; (B) 22)13())((--+x i x i x ; (C)22)31())((--+x i x i x ; (D) 22)3 1 ())((9--+x i x i x ． 6．若r ααα,,,21 是线性无关的向量组, 则r r k k k ααα,,,2211 也线性无关的条件 教材部分习题解答 高等代数/高等学校小学教育专业教材 作者：唐忠明//戴桂生编 出版社：南京大学 ISBN ：7305034797 习题1.1 1．证明两个数域之交是一个数域。 证：设A 、B 是两个数域，则0，1∈A ，0，1∈B 0,1A B ?∈I 。 又 ,,,,u v A B u v A u v B ?∈?∈∈I 且,u v A u v B ?±∈±∈且 所以，u v A B ±∈I ，类似可得,(0)uv A B u v A B v ∈÷∈≠I I 。 从而证得A B I 是数域。 2．证明：F={,,}a bi a b Q +∈( i 是虚数单位)是一个数域。 证明：000,110, 0,1i i A =+=+∈ ,,,u v A u a bi v c di ?∈?=+=+设 ()(),u v a c b d i A ±=±+±∈ ()()uv ac bd i ad bc =-++,A ∈ 设0,a bi +≠则0,a bi -≠否则，0,a bi a b ===或矛盾！ 所以 2222()()()()v c di c di a bi ac db ad cb i u a bi a bi a bi a b a b ++-+-===+++-++,A ∈由定义A 是数域。 习题1.2 (1) 213123110113213033312042r r r r ----???????????→???????????? …100010001?? ??→?? ???? ()21231 34142(1) 3(1)5(1)12 3 2123212 3 2214103230323231210775077550 62010912010 912r r r r r r r r r ------?????? ??????---? ???? ????→???→?? ???? ----? ?????----?????? 12 32 32422321032123 212 3 21 34032301310131013103230076010 912010912002122r r r r r r r r r r -----?????? ??????--? ?? ?? ????→????→???? ?? --? ????? -?????? u u u u u u u r 东南大学2002年数学分析试题解答 一、叙述定义(5分+5分=10分) 1. ()+∞ =-∞ →x f x lim . 解：设.)(,,0,0,0E M x f x E M >-<>?>->->?>?时使得当δδ 二、计算（9分×7=63分） 1． 求曲线2 10),1ln(2≤≤-=x x y 的弧长。 解 ： = += ?dx x f s β α 2 )]('[1? ? ? - =-++ -= -+= --+2 1 2 1 2 22 1 2 2 2 13ln )11111( 11)12(1dx x x dx x x dx x x 2． 设都具有一阶连续 与且己知g f x y z e x g z y x f u y ,sin ,0),,(),,,(2===偏导 数， .,0dx du z g 求 ≠?? 解：由x z z f x y y f x f dx du dz g dy g e dx xg z e x g y y ??? ??+ ??? ??+ ??= =++=从而知,02,0),,(3212 =32121)cos 2(cos f g e x xg f x f y ?++?+ 3.求?dx x x 2 )ln ( 解：令?= ===dx x x dt e dx e x x t t t 2 )ln ( ,,,ln 则??dt e e t t t 22=?=-dt e t t 2t t te e t ----22 C e t +--2C x x x +++-=2 ln 2)(ln 2 4.求()2 lim x a x a x x x -+→()0>a 解：()2 l i m x a x a x x x -+→== 11 6 x i n ∑ 2 ∑ x 一、填空题 （共 10 题，每题 2 分，共 20 分） 1．只于自身合同的矩阵是 矩阵。 ? 3 7 ?? x 1 ? 2．二次型 f (x 1, x 2 )= (x 1 x 2 ) ? ? 的矩阵为 。 ? ?? 2 ? 3. 设 A 是实对称矩阵，则当实数t , tE + A 是正定矩阵。 4. 正交变换在标准正交基下的矩阵为 。 5. 标准正交基下的度量矩阵为 。 6. 线性变换可对角化的充要条件为 。 7. 在 P 2?2 中定义线性变换 为： (X ) = ? a b ? X ，写出 在基 E , E , E , E 下 ? ? c d ? 的矩阵 。 11 12 21 22 8. 设V 1 、V 2 都是线性空间V 的子空间，且V 1 ? V 2 ，若dim V 1 = dim V 2 ，则 。 9. 叙述维数公式 。 10．向量在基1,2 ,???,n （1）与基1,2 ,???,n （2）下的坐标分别为 x 、 y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为 A ，则 x 与 y 的关系为 。 二、判断题 （共 10 题，每题 1 分，共 10 分） 1. 线性变换在不同基下的矩阵是合同的。（ ） 2. 设 为n 维线性空间V 上的线性变换，则V + -1 (0)= V 。 （ ） 3. 平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实 数域上的线性空间。（ ） 4. 设V 1 与V 2 分别是齐次线性方程组 x 1 + x 2 + ??? + x n = 0 与 x 1 = x 2 = ??? = x n 的解空间，则 V 1 ⊕V 2 = P n （ ） n ? n ?2 5. n x - i ? 为正定二次型。（ ） i =1 ? i =1 ? 6. 数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。（ ） 7. 把复数域C 看作复数域上的线性空间， ?∈ C ，令= ，则是线性变换。（ ） 8. 若 是正交变换，那么的不变子空间的真正交补也是的不变子空间。（ ） 9. 欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。（ ） 10. 若 为P [x ] ( n > 1 )中的微分变换，则不可对角化。（ ） 三、计算题 （共 3 题，每题 10 分，共 30 分）大一第二学期高数期末考试题(含答案)
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